TEORI COMONOTONIC dan APLIKASINYA pada MATEMATIKA KEUANGAN
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh: Gita Tjendana 10103021
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2008
TEORI COMONOTONIC dan APLIKASINYA pada MATEMATIKA KEUANGAN
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh: Gita Tjendana 10103021
Telah Diperiksa dan Disetujui Bandung, Februari 2008
Dr.M.Syamsuddin, M.Com NIP. 131284803
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2008
I’ll spread my wings and I’ll learn how to ‡y. I’ll do what it takes till I touch the sky. Out of the darkness and into the sun, but I won’t forget all the ones that I love. I won’t forget the place I come from. — — for my lovely family and ITB — — (taken from Breakaway - Kelly Clarkson)
Daftar Isi Prakata
v
Abstract
viii
Abstrak
ix
1 Pendahuluan
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4 Ruang Lingkup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Landasan Teori
4
2.1 Fungsi Convex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Ruang Probabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Aljabar dan
- Aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Ukuran, Ruang Probabilitas, dan Peubah Acak . . . . .
7
2.3 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4 Gerak Brownian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5 Model Pergerakan Harga Saham . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6 Opsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6.1
Konsep Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.2
Opsi Asia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 i
DAFTAR ISI
ii
2.7 Formula Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.8 Simulasi Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.8.1
Konsep Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8.2
Metode Antithetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8.3
Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Asia . . . . . . . . . . . 18
3 Teori Comonotonic
21
3.1 Pengurutan Variabel Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Invers Fungsi Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Teori Comonotonic untuk Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Teori Comonotonic untuk Vektor Acak . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Jumlah Peubah Acak Comonotonic . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6 Batas Atas Comonotonic untuk Jumlah Peubah Acak . . . . . . 40 3.7 Batas Bawah Comonotonic untuk Jumlah Peubah Acak . . . . . 46 4 Aplikasi Teori Comonotonic
48
4.1 Batas Atas Harga Opsi Asia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2 Batas Bawah Untuk Harga Opsi Asia . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3 Penerapan Dalam Persamaan Black Scholes . . . . . . . . . . . 52 4.3.1
Batas Atas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.2
Batas Bawah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Simulasi Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5 Penutup
66
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Daftar Algoritma
68
Daftar Gambar 3.1 Himpunan Kurva Terhubung antara X c dan Y c . . . . . . . . . 32
iii
Daftar Tabel 4.1 Kasus pertama T = 120 dan n = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 Kasus kedua T = 60 dan n = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3 Kasus ketiga T = 120 dan n = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
iv
Prakata Masalah pencarian harga suatu opsi adalah suatu masalah yang banyak dilihat dalam matematika keuangan dan dalam tugas akhir ini opsi yang akan dijadikan objek adalah opsi asia aritmatik diskrit. Pada umumnya masalah pencarian nilai harga opsi asia dan selang kepercayaannya dapat diselesaikan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo. Dalam tugas akhir ini akan dibahas sebuah teori dari dunia insurance yang dapat diterapkan ke dalam perhitungan batas atas dan batas bawah (sebagai selang kepercayaan) harga opsi asia. Manusia adalah makhluk yang penuh rasa ingin tahu. Demikian halnya penulis yang tertarik dengan masalah ini. Untuk mengembangkan metode ini penulis membutuhkan suatu alat yang bernama teori comonotonic. Sampai saat ini teori ini masih menjadi bahan perbincangan yang cukup asing antara teman dan senior-senior penulis di S1. Hal inilah yang makin mendorong ketertarikan penulis untuk membahas hal ini. Penulis gembira bisa menyajikan suatu hal yang baru pada orang-orang di sekitar penulis. Satu hal yang pasti adalah penulis sangat mengharapkan tugas akhir ini kelak akan berguna bagi mereka yang sedang mendalami dunia matematika keuangan. Pada akhirnya penulis ingin berterima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa dan guru spiritual penulis yang telah memberikan banyak pelajaran mengenai hidup, Buddha Gautama. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada: 1. Keluarga penulis, Papa Mama tercinta, Cece Jufang dan Cece Lili, dan tentunya Lopi Leki Bobo Boli yang terus menyajikan sesi keceriaan dan v
PRAKATA
vi
kerinduan dalam hidup penulis. “Aku bukan apa tanpamu, kalianlah api terbesar dalam hidupku. Kalianlah yang akan selalu berada di samping diri ini sampai kapanpun” 2. Dr. Muhammad Syamsuddin, M.Com yang telah membimbing penulis memahami ilmu halus ini. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih atas gelak tawa saat pembahasan yang membuat hati ini rileks, tekanan batin untuk menjadi terbaik, motivasi dalam belajar, dan tentunya semua pelajaran menghadapi hidup yang pernah diberikan Bapak. "Dari Bapaklah diri ini belajar untuk hanya bergantung pada diri sendiri, tidak bergantung pada orang lain." 3. Dr.Kuntjoro Adji Sidarto dan Dr.Novriana Sumanti yang telah bersedia menjadi dosen penguji untuk tugas akhir ini. Terima kasih atas semua masukan dan waktunya. 4. Dr. Johann Mattheus Tuwankotta yang telah menjadi dosen wali bagi penulis selama berada di kampus ini. "Sungguh beruntung bisa mendapatkan dosen wali seperti Bapak, sangat memotivasi diri ini. " 5. Dr. Lienda Noviyanti yang telah membantu menjawab kesulitan yang penulis hadapi saat mengerjakan tugas akhir ini. 6. Segenap sta¤ Tata Usaha dan semua penghuni Gedung Labtek III Matematika yang telah menemani penulis menjalani pembelajaran selama kurang lebih 4.5 tahun lamanya. 7. Vijayo Sugi, Lucky, Indra, Je¤san,Markus Kasim, dan Spektro. Kalianlah sahabat terbaikku, sahabat di kampus yang selalu mendewasakan diri ini. Semoga kita dapat berkumpul lagi di lain hari, hari dimana semua kenangan bersatu kembali. "Senang rasanya bisa bertemu dan bersahabat dengan kalian semua."
PRAKATA
vii
8. Keluarga besar KMB Dhammanano ITB. Jangan lupakan motto kita “Ohanna – Organisasi – Kerohanian. Ohanna means family, family means nobody left behind.”Sungguh bahagia aku bisa mempunyai jalan hidup yang berpapasan dengan jalan hidup kalian semua. 9. Keluarga besar Math-03 ITB yang membuat penulis makin merasa kehilangan di sisa-sisa hidup penulis di ITB. Tak lupa penulis ingin mengucapkan terima kasih untuk tim penelitian HIMATIKA - Tanoto Foundation (2007). 10. Semua orang yang pernah menjadi cambuk bagi penulis dalam menghadapi hidup. 11. The Hongkong and Shanghai Banking Corporation (HSBC) yang telah menyediakan semua dana bagi penulis untuk tetap belajar disini. Penulis bersedia menerima saran dan kritik dari pembaca tentang isi tugas akhir ini yang tentunya dapat membuat penulis semakin berkembang.
Bandung, Februari 2008
Gita Tjendana
[email protected]
Abstract Asian option has an interesting characteristic because the price of asian option depends on the price of some stocks before its maturity time. In this …nal project the main object is arithmetic discrete asian option. The price of this option depends on the sum of the price of some stocks before its maturity time. Pricing this option analytically is not an easy job because we have to determine the probability distribution function of the sum of these stocks. That’s why in many cases we determine the price of asian option numerically and Monte Carlo simulation is one way to make it done. Monte Carlo simulation provides us informations about the price of asian option and its con…dence interval. In this …nal project I use a new method using comonotonic theory from insurance. The result is the con…dence interval of the price of asian option and it will be compared with Monte Carlo simulation con…dence interval. Keywords : Comonotonic theory, asian option, Monte Carlo simulation.
viii
Abstrak Opsi asia adalah salah satu jenis opsi yang sifatnya unik karena harga opsi asia bergantung kepada harga beberapa saham sebelum maturity time-nya. Dalam tugas akhir ini opsi asia yang akan dibahas adalah opsi asia aritmatik diskrit. Harga opsi asia aritmatik diskrit bergantung kepada jumlah dari beberapa saham sebelum maturity time-nya. Pencarian harga opsi ini secara analitik tidaklah mudah karena proses pencarian ini memerlukan fungsi distribusi peluang dari jumlah harga beberapa saham tersebut. Oleh karena itu pencarian harga opsi asia umumnya dilakukan secara numerik. Salah satu metode yang sering digunakan adalah metode simulasi Monte Carlo. Hasil dari metode ini bukan saja harga opsi asia tersebut tetapi juga dapat berupa selang kepercayaan dimana harga opsi tersebut berada. Tugas akhir ini akan membahas suatu metode baru yang menggunakan sebuah teori dari dunia insurance bernama teori comonotonic. Hasil dari metode ini adalah selang kepercayaan untuk harga opsi asia dan hasil ini akan dibandingkan dengan hasil dari simulasi Monte Carlo. Kata kunci : Teori comonotonic , opsi asia , simulasi Monte Carlo .
ix
