Bab 3 Teori Comonotonic Pada bab ini konsep teori comonotonic akan dipaparkan dari awal dan berakhir pada konsep teori ini untuk jumlah dari peubah - peubah acak1 . Setelah itu untuk membantu pemahaman akan diberikan sebuah contoh yang sangat berkaitan dengan kepentingan tugas akhir ini pada bab selanjutnya.
3.1
Pengurutan Variabel Acak
Sebelum membahas masalah pengurutan variabel acak, perlu ditekankan bahwa variabel acak yang digunakan di buku ini adalah variabel acak yang memiliki mean yang terbatas. Konsep yang digunakan untuk mengurutkan variabel acak adalah konsep urutan stop loss dan convex. Untuk suatu variabel acak X berlaku lim x(1
x!1
FX (x)) = lim xFX (x) = 0 x! 1
dengan FX (x) = PrfX 1
xg
Semua de…nisi (kecuali de…nisi 21), teorema, bukti, dan penjelasan di bab ini dikutip
dari paper [1] The Concept of Comonotonicity in Actuarial Science and Finance : Theory karangan J. Dhaene dkk. De…nisi 21 dikutip dari paper [7] Upper and Lower Bound for Sums of Random Variables karangan R. Kaas dkk.
21
BAB 3. TEORI COMONOTONIC dan
Z0
E[X] =
22
FX (x)dx +
1
Z1
(1
(3.1)
FX (x)) dx:
0
Persamaan terakhir dapat kita dapatkan dengan cara sebagai berikut
E[X] =
Z1
xf (x)dx =
1
Z0
xf (x)dx
1
E[X] =
Z0
Z1
x [ f (x)] dx
0
Z1
xdFX (x)
1
xd (1
FX (x)) :
0
Dengan integral parsial kita akan dapatkan Z0
0
E[X] = xFX (x)j
1
FX (x)dx
x(1
FX (x))j1 0
(1
FX (x)) dx
0
1
Z0
E[X] =
+
Z1
FX (x)dx +
1
Z1
(1
FX (x)) dx
0
yang sesuai dengan persamaan (3.1). Persamaan ini akan kita modi…kasi menjadi E[(X
0)+ ] =
Z1
(1
FX (x)) dx
0
dengan (X
d)+ = maxfX
8 < X d d; 0g = : 0
;X > d ;X
:
d
De…nisi 18 Stop Loss Premium dide…nisikan sebagai E (X
d)+ =
Z1
[1
FX (x)] dx
; 1 < d < 1:
(3.2)
d
De…nisi 19 Misalkan X dan Y adalah dua buah peubah acak. Kita katakan X melebihi Y dalam urutan stop loss, dinotasikan dengan X
sl
Y , jika dan
hanya jika X memiliki stop loss premium yang lebih rendah dari Y E (X
d)+
E (Y
d)+
; 1 < d < 1:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
23
Berikutnya kita akan membuktikan bahwa untuk suatu keadaan yang sesuai dengan de…nisi di atas, kita akan mendapatkan E[X]
E[Y ]:
Untuk membuktikan pernyataan di atas kita akan memisalkan bahwa d adalah suatu bilangan yang kecil. Dengan pemisalan ini kita dapat mengklaim kebenaran pernyataan di atas untuk semua nilai d yang lebih besar. Misalkan d < 0 maka E (X
d)+ =
Z1
[1
FX (x)] dx =
d
d + E (X
Z0
[1
Z0
d)+ =
lim d+E (X
d)+ = lim
d! 1
Z0
FX (x)dx +
FX (x)] dx
Z1
[1
FX (x)] dx
0
FX (x)dx+ lim
d! 1
d
Dengan demikian untuk d !
[1
0
d
d
d! 1
FX (x)] dx +
Z1
Z1
[1
FX (x)] dx = E[X]:
0
1, de…nisi (19) membawa kita kepada
hasil yang menunjukkan bahwa E[X]
E[Y ]:
De…nisi 20 Misalkan X dan Y adalah dua buah peubah acak. Kita katakan X melebihi Y dalam urutan convex, dinotasikan dengan X
cx
Y , jika dan hanya
E[X] = E[Y ] dan E (X
d)+
E (Y
; 1 < d < 1:
d)+
De…nisi 21 Misalkan X dan Y adalah dua buah peubah acak. Kita katakan X melebihi Y dalam urutan convex, dinotasikan dengan X E[f (X)] untuk semua fungsi convex f.
E[f (Y )]
cx
Y , jika dan hanya
BAB 3. TEORI COMONOTONIC Proposisi 22 Jika X
cx
Y maka V ar[x]
24 V ar[Y ]:
Bukti. V ar[X] = E[X 2 ]
E[X]2
Oleh karena E[X] = E[Y ] maka kita cukup membuktikan bahwa E[X 2 ] E[Y 2 ]: Perhatikan bahwa f (X) = X 2 adalah fungsi convex. Dengan demikian berlaku E[f (X)] = E[X 2 ] V ar[X]
3.2
E[f (Y )] = E[Y 2 ]: Jadi jelas terbukti bahwa
V ar[Y ]:
Invers Fungsi Distribusi
Pada bahasan mengenai teori peluang invers fungsi distribusi kumulatif tidak dijelaskan karena fungsi distribusi kumulatif bisa saja merupakan suatu fungsi yang tidak turun sehingga dapat terjadi kemungkinan terdapatnya beberapa titik yang mempunyai nilai fungsi yang sama. Akan tetapi pada bahasan ini akan dijelaskan de…nisi invers fungsi distribusi yang "biasa" dipakai, yaitu dengan memakai sifat fungsi distribusi kumulatif yang tidak turun dan kontinu kanan. Invers fungsi distribusi kumulatif FX (x) = PrfX
xg dide…nisikan
sebagai suatu fungsi tak turun yang kontinu kiri FX 1 (p) = inffx 2 R j FX (x)
; p 2 [0; 1]g:
p
(3.3)
Adapun sifat yang perlu diperhatikan adalah untuk setiap x 2 R dan p 2 [0; 1] berlaku FX 1 (p)
x , FX (x)
p:
Akan tetapi pada pembahasan di buku ini kita tidak akan mende…nisikan invers fungsi distribusi seperti pada pengertian di atas. Untuk itu akan dide…nisikan suatu bentuk yang lain, yaitu FX 1+ (p) = supfx 2 R j FX (x) suatu fungsi tak turun yang kontinu kanan.
p
; p 2 [0; 1]g
(3.4)
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
25
Dengan kedua bentuk di atas kita akan mendapatkan bahwa untuk setiap p 2 [0; 1], pilihan yang tepat untuk invers FX di titik p ada pada interval tutup FX 1 (p); FX 1+ (p) dengan ketentuan bahwa 1
sup ? = FX 1 (0) =
inf ? = 1 FX 1+ (0) = 1:
1
Hal yang patut menjadi catatan adalah invers FX di titik p tidaklah harus FX 1 (p) atau FX 1+ (p) akan tetapi merupakan salah satu bagian dari selang tutup yang dibentuk oleh keduanya. Selain itu FX 1 (p) dan FX 1+ (p) mempunyai nilai …nite di selang (0; 1) : Untuk seterusnya kita akan memakai ketentuan bahwa p 2 (0; 1) : Oleh karena invers FX di titik p berada pada suatu selang maka kita akan mende…nisikan FX
1( )
invers untuk FX di titik p seperti berikut
(p) = FX 1 (p) + (1
Secara otomatis FX
1( )
)FX 1+ (p)
; p 2 (0; 1)
2 [0; 1] : (3.5)
(p) adalah suatu fungsi yang tak turun.
Sifat yang
dapat ditarik dari de…nisi ini adalah FX 1 (p)
FX
1( )
(p)
FX 1+ (p)
; p 2 (0; 1) :
Apabila gra…k dari FX ditinjau maka ketiga nilai FX 1 (p); FX
1( )
(p); dan FX 1+ (p)
hanya akan berbeda pada saat ketiganya berada pada suatu segmen horizontal dengan nilai p yang sama. Sekarang misalkan bahwa terdapat d dimana Dengan demikian nilai dari FX 1 (FX (d)) dan FX 1+ (FX (d))
0 < FX (d) < 1.
berhingga dan FX 1 (FX (d))
d
FX 1+ (FX (d)): Jadi untuk suatu
d
, d dapat dituliskan menjadi d=
d FX
1
(FX (d)) + (1
d )FX
1+
(FX (d)) = FX
1(
d)
(FX (d)) :
2 [0; 1]
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
26
Hasil ini mengakibatkan untuk suatu peubah acak X dan untuk suatu d dimana 0 < FX (d) < 1; terdapat
d
2 [0; 1] sedemikian sehingga FX
1(
d)
(FX (d)) = d:
Pada teorema berikut ini akan dijelaskan hubungan antara invers fungsi distribusi dari peubah acak X dan fungsi monoton g(X). Teorema 23 Misalkan X dan g(X) adalah suatu peubah acak bernilai real dan misalkan 0
(3.6)
2. Jika g adalah fungsi yang tidak turun dan kontinu kanan maka 1+ Fg(X) (p) = g(FX 1+ (p)):
(3.7)
3. Jika g adalah fungsi yang tidak naik dan kontinu kiri maka 1+ Fg(X) (p) = g(FX 1 (1
(3.8)
p)):
4. Jika g adalah fungsi yang tidak naik dan kontinu kanan maka 1 Fg(X) (p) = g(FX 1+ (1
(3.9)
p)):
Bukti. Akan dibuktikan untuk masing-masing kriteria. 1. Misalkan g adalah fungsi yang tidak turun dan kontinu kiri. Pernyataan di bawah ini saling ekuivalen. 1 Fg(X) (p)
x , inffg(z) 2 R j Fg(X) (g(z))
1 Fg(X) (p)
x , inffg(z) 2 R j Prfg(X)
g(z)g
1 Fg(X) (p)
x , inffz 2 R j PrfX
pg
1 Fg(X) (p)
x , FX 1 (p)
1 Fg(X) (p)
x , g(FX 1 (p))
zg
supfy j g(y) x
pg
xg
x pg
x
supfy j g(y)
xg
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
27
2. Misalkan g adalah fungsi yang tidak turun dan kontinu kanan. Pernyataan di bawah ini saling ekuivalen. 1+ Fg(X) (p)
x , supfg(z) 2 R j Fg(X) (g(z))
1+ Fg(X) (p)
x , supfg(z) 2 R j Prfg(X)
g(z)g
1+ Fg(X) (p)
x , supfz 2 R j PrfX
pg
1+ Fg(X) (p)
x , FX 1+ (p)
1+ Fg(X) (p)
x , g(FX 1+ (p))
zg
inffy j g(y)
pg
x pg
x
inffy j g(y)
xg
xg
x
3. Misalkan g adalah fungsi yang tidak naik dan kontinu kiri. Pernyataan di bawah ini saling ekuivalen. 1+ Fg(X) (p)
x , supfg(z) 2 R j Fg(X) (g(z))
1+ Fg(X) (p)
x , supfg(z) 2 R j Prfg(X)
1+ Fg(X) (p)
x , inffz 2 R j PrfX
1+ Fg(X) (p)
x , FX 1 (1
1+ Fg(X) (p)
x , g(FX 1 (1
pg g(z)g
zg
1
supfy j g(y)
p) p))
pg
x pg
x
supfy j g(y)
xg
xg
x
4. Misalkan g adalah fungsi yang tidak naik dan kontinu kanan. Pernyataan di bawah ini saling ekuivalen. 1 Fg(X) (p)
x , inffg(z) 2 R j Fg(X) (g(z))
1 Fg(X) (p)
x , inffg(z) 2 R j Prfg(X)
g(z)g
1 Fg(X) (p)
x , supfz 2 R j PrfX
1
1 Fg(X) (p)
x , FX 1+ (1
1 Fg(X) (p)
x , g(FX 1+ (1
zg
pg
inffy j g(y)
p) p))
pg
x pg
x
inffy j g(y)
xg
x
Oleh karena peubah acak X; FX 1 (U ); FX
1( )
(U ); dan FX 1+ (U ) berasal
dari fungsi distribusi yang sama maka dapat dikatakan bahwa d
d
X = FX 1 (U ) = FX
xg
1( )
d
(U ) = FX 1+ (U ):
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
3.3
28
Teori Comonotonic untuk Himpunan
Teori comonotonic akan dijelaskan pertama kali untuk suatu himpunan dari n-vektor di Rn : Sebuah n-vektor (x1 ; :::; xn ) akan dinotasikan dengan x. Untuk dua buah n-vektor x dan y, notasi x
y akan digunakan untuk menjelaskan
urutan perkomponen atau dengan kata lain xi
yi 8i = 1; 2; :::; n:
Rn dikatakan comonotonic jika untuk setiap x
De…nisi 24 Himpunan A
dan y di A berlaku salah satu dari x
y atau y
x:
Rn notasi Ai;j akan digunakan untuk menje-
Untuk suatu himpunan A
laskan proyeksi himpunan A pada bidang (i,j). Ai;j dide…nisikan sebagai Ai;j = f(xi ; xj ) j x 2 Ag: Lemma 25 Himpunan A
Rn dikatakan comonotonic jika dan hanya jika
Ai;j comonotonic untuk setiap i 6= j di f1; 2; :::; ng: Bukti. Akan dibuktikan bahwa jika Ai;j comonotonic untuk setiap i 6= j di f1; 2; :::; ng maka himpunan A
Rn dikatakan comonotonic.
Jika Ai;j comonotonic untuk setiap i 6= j di f1; 2; :::; ng maka dapat dibentuk kumpulan vektor dalam suatu himpunan A dimana untuk setiap vektor x dan y di dalam A berlaku x
y atau y
x: Dengan demikian, sesuai de…nisi
di atas, A adalah suatu himpunan yang comonotonic. Akan dibuktikan jika himpunan A
Rn comonotonic maka Ai;j comono-
tonic untuk setiap i 6= j di f1; 2; :::; ng: Jika himpunan A
Rn comonotonic maka Ai;j = f(xi ; xj ) j x
Ag adalah
himpunan-himpunan yang comonotonic karena setiap elemen dari Ai;j adalah bagian dari elemen A. Dari kedua hasil di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa himpunan A
Rn
dikatakan comonotonic jika dan hanya jika Ai;j comonotonic untuk setiap i 6= j di f1; 2; :::; ng:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
3.4
29
Teori Comonotonic untuk Vektor Acak
Suatu himpunan A
Rn dikatakan support dari X jika PrfX 2 Ag = 1.
De…nisi berikut ini akan terkait dengan support dari suatu vektor acak. De…nisi 26 Suatu vektor acak X dikatakan comonotonic jika X mempunyai support yang comonotonic. Teorema 27 Suatu vektor acak X dikatakan comonotonic jika dan hanya jika salah satu pernyataan ekuivalen ini berlaku. 1. Vektor acak X mempunyai support yang comonotonic. 2. Untuk setiap x = (x1 ; :::; xn ) berlaku FX (x) = minfFX1 (x1 ); :::; FXn (xn )g: 3. Untuk suatu peubah acak uniform (0,1) U berlaku d
X = FX11 (U ); :::; FXn1 (U ) : 4. Terdapat suatu peubah acak Z dan sebuah fungsi yang tidak turun fi (i = 1; 2; :::; n) sehingga d
X = (f1 (Z); :::; fn (Z)) : Bukti. Asumsikan kita mempunyai vektor acak X dengan support comonotonic B. (1) ) (2) Misalkan x 2 Rn dan de…nisikan Aj = fx 2 B j yj
xj g:
Karena sifat comonotonic pada himpunan B (vektor-vektor pada B telah terurut) maka terdapat i sedemikian sehingga Ai = \nj=1 Aj : Dengan demikian FX (x) = PrfX 2 \nj=1 Aj g = PrfX 2 Ai g = FXi (xi ) = minfFX1 (x1 ); :::; FXn (xn )g:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
30
Persamaan di atas timbul karena sifat dari Ai FXi (xi )
Aj
8j = 1; 2; :::; n sehingga
FXj (xj ) 8j = 1; 2; :::; n:
(2) ) (3) Asumsikan bahwa FX (x) = minfFX1 (x1 ); :::; FXn (xn )g 8x = (x1 ; :::; xn ) : PrfFX11 (U )
x1 ; :::; FXn1 (U )
xn g = PrfU
FX1 (x1 ); :::; U
PrfFX11 (U )
x1 ; :::; FXn1 (U )
xn g = PrfU
minfFX1 (x1 ); :::; FXn (xn )gg
PrfFX11 (U )
x1 ; :::; FXn1 (U )
xn g = minfFX1 (x1 ); :::; FXn (xn )g:
FXn (xn )g
Apabila kita bandingkan dengan FX (x) = minfFX1 (x1 ); :::; FXn (xn )g maka dapat ditarik kesimpulan bahwa d
X = FX11 (U ); :::; FXn1 (U ) : (3) ) (4) Dengan jelas kita telah mendapatkan salah satu fungsi yang
tidak turun yaitu FX11 (x) dimana peubah acaknya adalah U yaitu peubah acak uniform (0,1). (4) ) (1) Asumsikan bahwa terdapat suatu peubah acak Z dengan support B dan sebuah fungsi yang tidak turun fi (i = 1; 2; :::; n) sehingga d
X = (f1 (Z); :::; fn (Z)) : Himpunan keluaran dari X yang mungkin adalah f(f1 (z); :::; fn (z)) j z 2 Bg dimana sudah pasti himpunan ini bersifat comonotonic. Dengan demikian X juga bersifat comonotonic. Dengan menggunakan cara yang serupa dengan pembuktian teorema di atas maka dapat dihasilkan d
1(
X = FX1
1)
1(
(U ); :::; FXn
n)
(U ) :
Hal ini dikarenakan 1(
PrfFX1
1)
(U )
1(
x1 ; :::; FXn
n)
(U )
xn g = PrfU
FX1 (x1 ); :::; U
FXn (xn )g
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
31
sehingga 1(
PrfFX1 dengan
i
Jika U
1)
1(
(U )
x1 ; :::; FXn
n)
xn g = minfFX1 (x1 ); :::; FXn (xn )g
(U )
2 [0; 1]. U nif orm (0; 1) maka 1
U
U nif orm (0; 1). Hal ini mengaki-
batkan d
X = FX11 (1
U ); :::; FXn1 (1
U) :
c
Untuk selanjutnya notasi X = (X1c ; :::; Xnc ) akan digunakan untuk menjelaskan vektor acak comonotonic dari vektor acak X: Dari teorema di atas c
telah dibuktikan bahwa himpunan keluaran / ouput dari X adalah f FX11 (p); :::; FXn1 (p) j 0 < p < 1g: Himpunan di atas belum tentu terhubung dalam suatu kurva. Hal ini dikarenakan oleh sifat fungsi FXi (xi ) yang tidak turun. Andaikan FXi (xi ) adalah suatu fungsi yang monoton naik maka himpunan di atas terhubung dalam satu kurva. Untuk melihat bentuk keterhubungan dari himpunan ini maka c
akan dide…nisikan suatu himpunan kurva terhubung dari X sebagai berikut 1( )
f FX1
1( )
(p); :::; FXn
(p) j 0 < p < 1; 0
1g:
Untuk lebih jelasnya akan diberikan contoh sebagai berikut Contoh 28 Sebagai contoh, hanya akan diberikan contoh dengan distribusi yang diskrit. Misalkan X
U nif orm f0; 1; 2; 3g sedangkan Y
Binomial(3; 21 ):
Jika X dan Y bersifat saling bebas maka support dari (X,Y) adalah f(x; y) j x 2 f0; 1; 2; 3g; y 2 f0; 1; 2; 3gg: Support dari vektor acak (X c ; Y c ) adalah f FX 1 (p); FY 1 (p) j 0 < p < 1g
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
32
dengan FX 1 (p); FY 1 (p)
= (0; 0) untuk 0 < p = (0; 1) untuk = (1; 1) untuk = (2; 2) untuk = (3; 2) untuk = (3; 3) untuk
1 8 2 8 4 8 6 8 7 8
1 8 2 8 4 8 6 8 7 8 1:
Himpunan kurva terhubung dari (X c ; Y c ) dapat dibuat dengan menghubungkan keenam titik di atas seperti pada gambar berikut.
Gambar 3.1: Himpunan Kurva Terhubung antara X c dan Y c
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
3.5
33
Jumlah Peubah Acak Comonotonic
Dalam subbab ini notasi S c akan dipakai untuk menjelaskan jumlah dari komc
ponen vektor acak comonotonic X = (X1c ; :::; Xnc ):Dengan demikian S c = X1c + ::: + Xnc : 1( )
invers fungsi distribusi FS c
Teorema 29
dari jumlah peubah acak co-
monotonic S c diberikan oleh 1( )
FS c
(p) =
n X
1( )
FXi
(p);
0 < p < 1;
0
1:
i=1
c
Bukti. Misalkan X = (X1 ; :::; Xn ) dan vektor comonotonic-nya adalah X = (X1c ; :::; Xnc ): Dengan melihat hasil dari teorema sebelumnya maka didapatkan d
S c = X1c + ::: + Xnc = g(U ) dengan g(u) =
n X
FXi1 (u);
o < u < 1:
i=1
Jelas bahwa g adalah suatu fungsi yang tidak turun dan kontinu kiri. Dengan memanfaatkan hasil dari persamaan (3.6) didapatkan FS c1 (p) = Fg(U1 ) (p) = g(FU 1 (p)) = g(p);
0 < p < 1:
Dengan demikian 1
FS c (p) = g(p) =
n X
FXi1 (p);
0 < p < 1:
i=1
Di lain pihak juga berlaku d
S c = X1c + ::: + Xnc = h(U ) dengan g(u) =
n X i=1
FXi1+ (u);
0 < u < 1:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
34
Jelas bahwa g adalah suatu fungsi yang tidak turun dan kontinu kanan. Dengan memanfaatkan hasil dari persamaan (3.7) didapatkan FS c1+ (p) = Fh(U1+) (p) = h(FU 1+ (p)) = h(p);
0 < p < 1:
Dengan demikian 1+
FS c (p) = h(p) =
n X
FXi1+ (p);
0 < p < 1:
i=1
Dari kedua hasil di atas didapatkan 1( )
FS c
FS c1 (p) + (1 )FS c1+ (p) n n X X 1 FXi (p) + (1 ) FXi1+ (p)
(p) = = =
i=1 n X
i=1
FXi1 (p) + (1
)FXi1+ (p)
i=1
=
n X
1( )
FXi
(p);
0 < p < 1;
0
1:
i=1
Berikut ini adalah sifat-sifat dari jumlah peubah acak comonotonic S c : 1. Oleh karena S c =
n P
i=1
(0; 1)
1( )
FXi
(p) maka berlaku untuk suatu U
d
Sc =
n X
1( )
FXi
(U ):
i=1
2. Himpunan kurva terhubung dari S c diberikan oleh 1( )
fFS c atau
( n X i=1
(p) j 0 < p < 1; 0
1( )
FXi
(p) j 0 < p < 1; 0
1g )
1 :
U nif orm
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
35
3. Untuk masing-masing nilai peluang p = f0; 1g berlaku 1
FS c (0) = FS c1+ (0) =
n X
i=1 n X
FXi1 (0) =
1
FXi1+ (0)
i=1
FS c1 (1) =
n X
FXi1 (1)
i=1
FS c1+ (1) =
n X
FXi1+ (1) = +1:
i=1
4. Apabila diberikan suatu invers fungsi distribusi FXi1 ; fungsi distribusi kumulatif dari S c dapat ditentukan dengan FS c (x) = supfp 2 (0; 1) j FS c (x)
pg
= supfp 2 (0; 1) j FS c1 (p) xg ( n X = sup p 2 (0; 1) j FXi1 (p)
)
x :
i=1
Perhatikan bahwa untuk sebarang peubah acak X berlaku FX selalu naik , FX 1 kontinu di (0,1) dan FX kontinu , FX 1 selalu naik di (0,1). Dengan memakai fakta ini akan didapat bahwa FS c selalu naik dan kontinu di FS c1+ (0); FS c1 (1) apabila FXi selalu naik dan kontinu. Bukti. Pernyataan FXi selalu naik , FXi1 kontinu di (0,1) mengakibatkan FXi selalu naik ,
n X i=1
FXi1 kontinu di (0,1)
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
36
atau FXi selalu naik , FS c1 kontinu di (0,1). Dengan kata lain didapatkan hasil bahwa FXi selalu naik , FS c selalu naik di FS c1+ (0); FS c1 (1) : Di lain sisi didapatkan bahwa pernyataan FXi kontinu , FXi1 selalu naik di (0,1) mengakibatkan FXi kontinu , atau
n X
FXi1 selalu naik di (0,1)
i=1
FXi kontinu , FS c1 selalu naik di (0,1). Dengan kata lain didapatkan hasil bahwa FXi kontinu , FS c kontinu di FS c1+ (0); FS c1 (1) : Dari kedua hasil ini didapatkan pernyataan bahwa FS c selalu naik dan kontinu di FS c1+ (0); FS c1 (1) apabila FXi selalu naik dan kontinu. Pernyataan di atas juga mengakibatkan untuk suatu x dimana FS c1+ (0) < x < FS c1 (1); berlaku
n X
FXi1 (FS c (x)) = x:
i=1
Teorema 30 Stop Loss Premium dari jumlah komponen comonotonic S c dari suatu vektor acak (X1c ; :::; Xnc ) diberikan oleh E (S c
d)+ =
n X
E (Xi
di )+ ;
FS c1+ (0) < d < FS c1 (1)
i=1
dengan 1(
di = FXi
d)
(FS c (d));
(i = 1; 2; :::; n);
d
2 [0; 1] :
(3.10)
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
37
Bukti. Misalkan d 2 FS c1+ (0); FS c1 (1 ). Dengan demikian 0 < FS c (d) < 1: Selanjutnya akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa support terhubung dari c
X hanya memiliki satu titik potong dengan bidang fx j x1 + ::: + xn = dg: c
Misalkan terdapat dua titik potong antara support terhubung dari X dengan bidang fx j x1 + ::: + xn = dg yaitu y dan z: Oleh karena y dan z adalah c
anggota dari support terhubung dari X maka berlaku salah satu dari y atau y
z: Misalkan berlaku y
z: Dengan demikian
8i = 1; 2; :::; n berlaku yi atau
z
n X
n X
yi
i=1
zi
zi :
i=1
Akan tetapi hal ini jelas melanggar fakta bahwa y dan z adalah anggota dari bidang fx j x1 + ::: + xn = dg dimana seharusnya berlaku n X
yi =
i=1
n X
zi :
i=1
Hal yang serupa berlaku untuk kasus y
z dan kasus dimana terdapat lebih c
dari dua titik potong antara support terhubung dari X dengan bidang fx j x1 + ::: + xn = dg: Selanjutnya didapat bahwa d adalah titik potong tunggal c
antara support terhubung dari X dengan bidang fx j x1 + ::: + xn = dg:Hal ini dikarenakan untuk 0 < FS c (d) < 1 terdapat 1(
FS c
d)
d
2 [0; 1] dimana d =
(FS c (d)): Dengan kata lain d adalah anggota dari support terhubung
c
dari X : Di lain sisi berlaku
n X
di = d
i=1
dengan 1(
di = FXi
d)
(FS c (d));
(i = 1; 2; :::; n);
d
2 [0; 1] :
Hal ini mengatakan bahwa d adalah anggota dari bidang fx j x1 +:::+xn = dg: Jadi d adalah satu-satunya titik potong antara support terhubung dari X dengan bidang fx j x1 + ::: + xn = dg:
c
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
38 c
Sekarang misalkan xc adalah anggota dari support terhubung dari X : Dengan demikian berlaku d1 )+ + ::: + (xcn
d)+ = (xc1
(xc1 + ::: + xcn
dn )+ :
Selanjutnya E (S c
= E (X1c + ::: + Xnc
d)+
d)+
= E (X1c d1 )+ + ::: + (Xnc n h i X = E FXi1 (U ) di + i=1 n X
=
E (Xi
dn )+
di )+ :
i=1
Proposisi 31 Jika d
FS c1+ (0) maka E[(S c
d)+ ] =
i=1
Bukti. Pernyataan d
FS c1+ (0)
berarti d
supfx R j FS c (x)
0g:
Dengan kata lain FS c (d) = 0g: Jadi S c > d: Dengan demikian E[(S c
d)+ ] =
n X
E[(Xi
di )+ ]
i=1
E[(S
c
d)+ ] =
n X
E[Xi
di ]
E[Xi ]
d:
i=1
E[(S
c
d)+ ] =
n X i=1
n P
E[Xi ]
d:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
39
FS c1 (1) maka E[(S c
Proposisi 32 Jika d
d)+ ] = 0:
Bukti. Pernyataan FS c1 (1)
d berarti
inffx R j FS c (x)
d
1g:
Dengan kata lain FS c (d) = 1: Jadi Sc
d:
Dengan demikian jelas bahwa E[(S c
d)+ ] = 0:
Ekspresi dari stop loss premium dapat dibentuk dalam persamaan lain yaitu jika FS c1+ (0) < d < FS c1 (1) maka E[(S c
d)+ ] = E[ Xi = E[ Xi (1
1(
FXi
d)
(FS c (d))
FXi1 (FS c (d))
+
] + 1(
]
FXi
d)
(FS c (d))
FXi1 (FS c (d))
FS c (d)) :
Bukti. E[ Xi
1(
FXi
d)
(FS c (d))
]= + FX
E[ Xi
1(
FXi
d)
(FS c (d))
Z1
[1
FXi (x)] dx
1( d ) (FS c (d))
i
Z1
] = +
[1
FXi (x)] dx
FX 1 (FS c (d)) i
FX
1( d ) (FS c (d))
i
Z
FX 1 (FS c (d)) i
[1
FXi (x)] dx
BAB 3. TEORI COMONOTONIC 1(
Oleh karena FXi
d)
40
(FS c (d)) dan FXi1 (FS c (d)) mempunyai nilai yang sama pada
fungsi FXi (x), yaitu FS c (d) maka FX
1( d ) (FS c (d))
i
Z
h 1( FXi (x)] dx = FXi
[1
FX 1 (FS c (d)) i
d)
i FXi1 (FS c (d)) (1
(FS c (d))
FS c (d)) :
Jadi E[ Xi
1(
FXi
d)
(FS c (d))
Z1
] = +
[1
FXi (x)] dx
FX 1 (FS c (d)) i
FX
1( d ) (FS c (d))
i
Z
[1
FXi (x)] dx
FX 1 (FS c (d)) i
E[ Xi
1(
FXi
d)
(FS c (d))
+
] = E[ Xi FXi1 (FS c (d)) + ] i h 1( d ) 1 c c (FS (d)) FXi (FS (d)) (1 FXi
FS c (d)) :
Dalam kasus FXi adalah suatu fungsi yang monoton naik maka 1(
FXi
d)
(FS c (d)) = FXi1 (FS c (d))
sehingga E[ Xi
3.6
1(
FXi
d)
(FS c (d))
+
] = E[ Xi
FXi1 (FS c (d))
+
]:
Batas Atas Comonotonic untuk Jumlah Peubah Acak
Pada subbab ini akan dijelaskan batas atas dari jumlah peubah acak S = X1 +:::+Xn dimana fungsi distribusi marginal dari X1 ; :::; Xn diberikan. Batas atas akan ditentukan dalam urutan (aturan convex ). Oleh karena itu batas atas ini akan disebut sebagai batas atas convex untuk S = X1 + ::: + Xn :
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
41
Teorema 33 Untuk suatu vektor acak (X1 ; :::; Xn ) berlaku X1 + ::: + Xn
X1c + ::: + Xnc :
cx
Bukti. Oleh karena E [(X1 + ::: + Xn )] = E [(X1c + ::: + Xnc )] maka hanya perlu dibuktikan bahwa E (X1 + ::: + Xn
E (X1c + ::: + Xnc
d)+
d)+
untuk semua d dimana d 2 FS c1+ (0); FS c1 (1) : Sebelumnya perlu diketahui dahulu bahwa untuk setiap (x1 ; :::; xn ) dan (d1 ; :::; dn ) dimana d1 + ::: + dn = d berlaku (x1
d1 ) + ::: + (xn
dn )
(x1
d1 )+ + ::: + (xn
dn )+ :
Dengan demikian ((x1
d1 ) + ::: + (xn
((x1
dn ))+
d1 ) + ::: + (xn
((x1
d1 )+ + ::: + (xn
dn )+ )+
(x1
d1 )+ + ::: + (xn
dn )+ :
dn ))+
Dengan memakai sifat ini maka didapatkan E ((X1
d1 ) + ::: + (Xn
dn ))+
E (X1 + ::: + Xn
E [(X1 n X
d)+
d1 )+ + ::: + (Xn E [(Xi
dn )+ ]
di )+ ]
i=1
sehingga terbukti bahwa E (X1 + ::: + Xn
d)+
E (X1c + ::: + Xnc
Jadi terbukti sudah bahwa X1 + ::: + Xn
cx
d)+ :
X1c + ::: + Xnc :
Hasil inilah yang menunjukkan batas atas convex untuk S = X1 + ::: + Xn dan oleh karena Xic bersifat comonotonic 8i = 1; 2; :::; n maka sudah pasti berlaku V ar [S c ]
V ar [S] :
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
42
Untuk lebih jelasnya akan diberikan contoh dengan peubah acak yang berdistribusi lognormal. Untuk selanjutnya contoh ini akan sangat membantu pemahaman pada bagian aplikasi teori comonotonic untuk pencarian batas atas harga opsi asia. Contoh 34 Contoh untuk variabel lognormal. Misalkan kita mempunyai vektor acak ( 8i = 1; 2; :::; n. Misalkan pula Xi N ( i;
2 i ):
1 X1 ; :::;
2 i)
LN ( i ;
n Xn )
dimana
i
6= 0
atau dengan kata lain ln(Xi )
Dengan demikian berlaku E[Xi ] = exp( V ar[Xi ] = exp(2
i
i
+
1 2
2 i)
+
2 i) 2 i
e
1 :
Sekarang akan dicari terlebih dahulu invers fungsi distribusi dari F
i Xi
(x) = p:
Perhatikan bahwa persamaan di atas sama dengan Prf i Xi Apabila
i
xg = p:
>0 Pr f i Xi
x
xg = Pr Xi
= p:
i
Berdasarkan sifat dari peubah acak lognormal maka ! x ) ln( x i i g= =p PrfXi i
i
sehingga 1
(p) =
ln( xi )
i
i
atau i
Apabila
i
exp
i
+
i
1
(3.11)
(p) = x:
<0 Prf i Xi
xg = Pr Xi
x i
= p:
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
43
Dengan demikian 1
x
Pr Xi
=p
i
atau x
Pr Xi
=1
p:
i
Dari persamaan di atas bisa didapatkan ln( xi )
i
i
atau
ln( xi )
i
1
=
!
(1
=1
p
1
p) =
(p):
i
Akhirnya didapatkan i
exp
1
i
i
(3.12)
(p) = x:
Dari kedua hasil pada persamaan (3.11) dan (3.12) didapatkan F
1 i Xi
(p) = x =
i
exp
i
+ sign( i )
1
i
(p)
dimana
sign( i ) =
0
1
bila
i
>0
i
<0
:
Stop loss premium untuk variabel Xi ditentukan oleh E[(Xi
di )+ ] = exp(
i
+
1 2
2 i)
(di;1 )
di (di;2 )
dimana di;1 =
i
+
2 i
ln(di ) i
di;2 = di;1
i
=
i
ln(di ) i
sedangkan E[(di
Xi )+ ] = E[(Xi =
di )+ ] E [Xi ] + di 1 2 exp( i + ) ( di;1 ) + di ( di;2 ) : 2 i
(3.13)
BAB 3. TEORI COMONOTONIC Sekarang akan dicari E[ i (Xi Apabila
i
di )+ ] untuk tiap kondisi
di )+ ] =
di )+ ] 1 2 ) (di;1 ) i exp( i + 2 i
(3.14)
i E[(Xi
= i
i:
>0
E[ i (Xi
Apabila
44
i di
(di;2 ) :
<0
E[ i (Xi
di )+ ] =
Xi )+ ] 1 2 ) ( di;1 ) i exp( i + 2 i
(3.15)
i E[(di
=
i di
( di;2 ) :
Jadi dari hasil pada persamaan (3.14) dan (3.15) didapatkan E[ i (Xi
di )+ ] =
i
exp(
i
+
1 2
2 i)
(sign( i )di;1 )
i di
(sign( i )di;2 ) : (3.16)
Beralih kepada kasus jumlah peubah acak lognormal, sekarang de…nisikan S=
n X
i Xi
i=1
dan c
S =
n X
1
F
i Xi
(U ):
i=1
Sesuai dengan convex order maka berlaku S
cx
S c:
Oleh karena FS c1 (FS c (x)) = x dan dengan bantuan persamaan (3.13) maka berlaku juga n X
1
F
i Xi
(FS c (x)) = x
i=1
n X
i
exp
i
+ sign( i )
i
1
((FS c (x)))
i=1
dengan FS c1+ (0) < x < FS c1 (1):
= x
BAB 3. TEORI COMONOTONIC d)+ ] dimana FS c1+ (0) < d < FS c1 (1)
Sekarang akan dicari E[(S c E[(S c
n X
d)+ ] =
45
1
E[( i Xi
F
E[ i (Xi
exp
i Xi
(FS c (d)))+ ]
i=1
n X
=
+ sign( i )
i
i
1
(FS c (d)) )+ ]:
i=1
Dengan menggunakan hasil pada persamaan (3.16) didapatkan E[(S
c
d)+ ] =
n X
i
exp(
i
1 2
+
i=1
n X
i
+
2 i
i+
2 i
exp
2 i)
+ sign( i )
i
(3.17)
(sign( i )di;1 ) 1
i
(FS c (d))
(sign( i )di;2 )
i=1
dengan i
di;1 =
ln(exp [
+ sign( i )
i
1
i
(FS c (d))])
i
=
sign( i )
i
1
i
(FS c (d))
i
=
1
sign( i )
i
(FS c (d))
sehingga sign( i )di;1 = sign( i )
1
i
(FS c (d))
(3.18)
dan di;2 =
i
ln(exp [
i
+ sign( i )
i
1
(FS c (d))])
i i
sign( i )
=
i
=
sign( i )
1
i
(FS c (d)))
i 1
(FS c (d)))
sehingga sign( i )di;2 =
1
(FS c (d))):
Berikutnya 1
(sign( i )di;2 ) = = = 1
1
(FS c (d)))
(1
FS c (d):
FS c (d))) (3.19)
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
46
Dengan kata lain, persamaan (3.18) dan (3.19) membuat persamaan (3.17) menjadi E[(S
c
d)+ ] =
n X
i
exp( i +
i=1
3.7
1 2
2 i)
sign( i )
1
i
(FS c (d))
d [1
FS c (d)] : (3.20)
Batas Bawah Comonotonic untuk Jumlah Peubah Acak
Pada subbab sebelumnya telah dijelaskan mengenai batas atas convex untuk S = X1 + ::: + Xn : Penjelasan pada subbab ini akan memperlengkap batas convex untuk S = X1 + ::: + Xn yaitu dengan menambahkan konsep batas bawah convex untuk S = X1 +:::+Xn : Idenya berasal dari ekspektasi bersyarat dari suatu variabel acak yang selalu lebih kecil secara urutan (aturan convex ) daripada variabel acaknya sendiri. Teorema 35 Untuk suatu vektor acak X dan suatu variabel acak n X i=1
E [Xi j ]
cx
n X
berlaku
Xi :
i=1
Bukti. Dari sifat suatu fungsi convex kita mendapatkan bahwa untuk suatu fungsi convex v berlaku E [v (X1 + ::: + Xn )] = E [E [v (X1 + ::: + Xn ) j ]] E [v (E [X1 + ::: + Xn j ])] : Di lain hal kita dapatkan bahwa E [v (E [X1 + ::: + Xn j ])] = E [v (E [X1 j ] + ::: + E [X1 j ])] : sehingga E [v (X1 + ::: + Xn )]
E [v (E [X1 j ] + ::: + E [X1 j ])] :
BAB 3. TEORI COMONOTONIC
47
Dari hasil ini telah dibuktikan pernyataan di atas adalah benar. Misalkan S = X1 + ::: + Xn dan de…nisikan S l = E [S j ] = E [X1 + ::: + Xn j ] n X = E [Xi j ] : i=1
Dengan demikian dari teorema di atas didapatkan Sl
cx
S:
Variabel S l inilah yang akan menjadi batas bawah convex untuk S = X1 + ::: + Xn : Seperti pada batas atas convex, akan ditunjukkan bahwa V ar S l
V ar [S] :
Dengan memanfaatkan sifat dari fungsi convex dan karena f (X) = X 2 adalah suatu fungsi convex maka E (E [S j ])2
E E S2 j
= E S2 :
Dengan demikian terlihat jelas bahwa V ar S l
= V ar [E [S j ]] = E (E [S j ])2
E [E [S j ]]2
= E (E [S j ])2
E [S]2
E S2
E [S]2 = V ar [S] :
