APLIKASI BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENGHITUNG MATRIKS EKSPONENSIAL
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Sebagian Syarat Mencapai Gelar Sarjana S1
Disusun Oleh : SUGIARTI 0701060008
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2011
i
HALAMAN PERSETUJUAN
APLIKASI BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENGHITUNG MATRIKS EKSPONENSIAL
SKRIPSI
Oleh : SUGIARTI 0701060008
Skripsi ini telah disetujui oleh dosen pembimbing untuk diajukan dan dipertahankan di depan tim penguji skripsi Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purwokerto
Pembimbing I,
Chumaedi S, S.Si, M.Si NIK. 2160127
Pembimbing II,
Erni Widyastuti, S.Si., M.Si NIK. 2160227
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum. Wr. Wb Puji syukur kehadirat Allah swt, yang telah memberikan rahmat, taufik, hidayah dan karunia-Nya, sehingga skripsi dengan judul “Aplikasi Bentuk Kanonik
Jordan
Dalam
Menghitung
Matriks
Eksponensial”
dapat
terselesaikan. Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi syarat mencapai gelar sarjana strata satu (S1). Peneliti yakin tanpa bantuan dari berbagai pihak skripsi ini tidak akan terselesaikan. Untuk itu peneliti mengucapkan terima kasih yang setulus-tulusnya kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan baik secara moral maupun materi. Ucapan terima kasih peneliti ucapkan kepada : 1. DR. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H., M.H., Rektor Universitas Muhammadiyah Purwokerto. 2. Drs. Joko Purwanto, M.Si, Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purwokerto. 3. Chumaedi Sugihandardji, S.Si., M.Si., Ketua Program Studi Pendidikan Matematika sekaligus sebagai dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk dan pengarahan dalam penyusunan skripsi ini. 4. Erni Widyastuti, S.Si., M.Si., Dosen pembimbing II yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk dan pengarahan dalam penyusunan skripsi ini.
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah memotivasi dan mengajarkan banyak hal selama belajar di Universitas Muhammadiyah Purwokerto. 6. Semua pihak yang tidak mungkin peneliti sebutkan satu persatu yang secara langsung maupun tidak langsung telah memberikan bantuan dan semangat selama penyusunan skripsi ini. Teriring doa semoga bantuan yang diberikan menjadi amal shalih yang diterima oleh Alloh SWT. Akhirnya peneliti berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia pendidikan matematika dan bagi pembaca. Wassalamualaikum Wr.Wb
Purwokerto,
Juli 2011
Peneliti
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
MOTTO Jika kamu meminjamkan kepada Alloh dengan pinjaman yang baik, niscaya Alloh melipatgandakan (balasan) untukmu dan mengampuni kamu. Dan Alloh Maha pembalas jasa lagi Maha penyantun. (QS. At-Taghobun: 17) Setiap orang yang mencintai dan dicintai karena Alloh akan ditarik ke arah mencintai Alloh
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
PERSEMBAHAN Skripsi ini saya persembahkan kepada : Ayah Bunda tersayang “Atas segala keikhlasan, ketulusan dan pengorbanan dalam menghantarkan dan mendidik saya untuk menjalani kehidupan ini. Motivasi dan lantunan do’amu menguatkan langkah kaki ini untuk mengarungi samudera kehidupan. Semoga surga terindah engkau raih”
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan matriks eksponensial dengan menggunakan bentuk Kanonik Jordan. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi literatur. Adapun langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah : 1) Menentukan sebarang matriks persegi berukuran n x n, 2) Menentukan persamaan karakteristik dan nilai eigen dari matriks tersebut, 3) Menentukan matriks nonsingular dan invers matriks nonsingular, 4) Mencari bentuk Kanonik Jordan, 5) Menghitung Matriks Eksponensial. Hasil dari penelitian ini adalah matriks bentuk Kanonik Jordan berlaku untuk setiap matriks persegi berukuran n × n dan matriks bentuk Kanonik Jordan dapat digunakan untuk menghitung matriks eksponensial. Kata kunci : Matriks persegi, nilai eigen, matriks nonsingular, matriks bentuk Kanonik Jordan, matriks eksponensial.
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ......................................................................................
i
HALAMAN PERSETUJUAN …………………………………………….
ii
HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................
iii
SURAT PERNYATAAN ..............................................................................
iv
KATA PENGANTAR ....................................................................................
v
HALAMAN MOTTO ....................................................................................
vii
HALAMAN PERSEMBAHAN ....................................................................
viii
ABSTRAK ......................................................................................................
ix
DAFTAR ISI ..................................................................................................
x
DAFTAR SIMBOL ........................................................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN A.
Latar Belakang Masalah ...........................................................
1
B.
Perumusan Masalah ..................................................................
2
C.
Tujuan Penelitian ......................................................................
2
D.
Manfaat Penelitian ....................................................................
2
BAB II LANDASAN TEORI A.
B.
Matriks .....................................................................................
4
1. Pengertian Matriks..............................................................
4
2. Operasi pada Matriks ..........................................................
5
3. Macam-Macam Matriks .....................................................
8
Determinan Matriks, Invers Matriks dan Rank Matriks ..........
10
1. Determinan Matriks ............................................................
10
2. Invers Matriks .....................................................................
15
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
3. Rank Matriks ......................................................................
16
C.
Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Persamaan Karakteristik .........
17
D.
Ruang Eigen Suatu Matriks dan Basisnya................................
19
E.
Matriks-Matriks Serupa ............................................................
21
F.
Matriks Bentuk Kanonik Jordan ...............................................
22
G.
Matriks EKsponensial ………………………………………..
25
BAB III METODOLOGI PENELITIAN .................................................
26
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ......................................................
28
A.
Matriks nonsingular untuk Mencari Bentuk Kanonik Jordan ..
B.
Menghitung Matriks Eksponensial Dalam Bentuk Kanonik
28
Jordan .......................................................................................... 35 C.
Contoh Aplikasi Bentuk Kanonik Jordan Dalam Menghitung Matriks Eksponensial ………………………………………...
39
BAB V PENUTUP A.
Kesimpulan ...............................................................................
63
B.
Saran .........................................................................................
63
DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................
64
LAMPIRAN …………………………………………………………………
66
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
DAFTAR SIMBOL 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖
: Elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j
I
: Matriks identitas
D
: Matriks diagonal
N
: Matriks nilpoten
Det (A) atau |𝐴𝐴|
: Determinan matriks A
Adj (A)
: Adjoint matriks A
Rank (A) atau r (A)
: Rank matriks A
𝜆𝜆
: Nilai eigen matriks
𝐵𝐵𝑖𝑖
: Blok Jordan untuk setiap i
T : V→V
: Operator linear dari V ke V
𝑒𝑒 𝐴𝐴
: Matriks eksponensial dari A
𝐸𝐸𝜆𝜆
: Ruang eigen dari T yang bersesuaian dengan 𝜆𝜆
𝐽𝐽
: Matriks bentuk Kanonik Jordan
𝐾𝐾𝜆𝜆 (𝑇𝑇)
: General ruang eigen dari T yang bersesuaian dengan 𝜆𝜆
Dim 𝐾𝐾𝜆𝜆 (𝑇𝑇)
: Dimensi general ruang eigen dari T yang bersesuaian
𝑁𝑁(𝐴𝐴)
: Ruang vektor nol pada matriks A
𝑟𝑟𝑗𝑗
dengan 𝜆𝜆
: Banyaknya titik pada baris j : Subset : Anggota atau elemen : Gabungan : Irisan
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
