PENENTUAN NILAI EIGEN TAK DOMINAN SUATU MATRIKS DEFINIT NEGATIF MENGGUNAKAN METODE KUASA INVERS DENGAN SHIFT
Skripsi untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat Sarjana S-1
Program Studi Matematika
diajukan oleh Hanifah Nurlatifah 08610042
Kepada PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA 2012
ii
iii
iv
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat melaksanakan dan menyusun skripsi ini dengan baik. Salawat dan salam semoga selalu tercurahkan kepada pahlawan sepanjang masa, Nabi Muhammad Saw yang begitu banyak berjasa bukan hanya untuk umatnya di zamannya, namun juga pengikutnya hingga saat ini. Penyusunan skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Program Studi Matematika. Skripsi ini berisi mengenai pembahasan cara menentukan nilai eigen tak dominan suatu matriks definit negatif menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan, bimbingan dan motivasi dari berbagai pihak, laporan skripsi ini tidak dapat selesai dengan baik. Oleh karena itu ucapan terima kasih disampaikan sebesar-besarnya kepada : 1.
Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.
2.
Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.
3.
M.Wakhid Musthofa, M.Si selaku pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk membantu, memotivasi dan mengarahkan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
v
4.
Mochammad Farhan Qudratullah, M.Si selalu Penasihat Akademik yang telah meluangkan waku untuk membantu dan mengarahkan selama menempuh studi juga segenap dosen dan karyawan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.
5.
Teman-teman Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan
Kalijaga
Yogyakarta
terutama
teman-teman
seperjuangan
”Matematika 2008” yang selalu mmberikan semangat dan motivasi. 6.
Kepada yang tak akan terlupakan Apa, Mamah (Almh.) dan kakak-kakak sebagai sumber inspirasi serta menjadi menjaga agar tetap semangat.
7.
Nabiel Karamy, yang tak bosan menemani dan menjadi alasan terselesaikannya skripsi ini juga tak lelah membantu untuk bangkit kembali, jangan pernah lelah dan putus asa. Semoga Allah SWT berkenan membalas kebaikan dengan segala pahala
yang berlipat ganda. Hanya kepada Allah penulis menyembah dan memohon ampunan atas segala kekurangan dan kekhilafan. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan penulis khususnya.
Yogyakarta, 7 Mei 2012 Penulis
vi
PERSEMBAHAN
Skripsi ini penulis persembahkan untuk : 1. Apa dan Mamah (Almh.) yang telah membesarkan, mendidik dan selalu mendoakanku. 2. Kakak-kakakku
yang selalu memberi motivasi dan
semangat. 3. Dosen-dosen
yang
telah
memberikan
ilmu
dan
pengetahuan kepadaku. 4. Almamater seperjuangan Prodi Matematika Fakultas
Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogykarta.
vii
MOTTO
“Nuun, demi pena dan apa yang mereka tuliskan” (Q.S. Al-Qalam : 1)
“Anything is Possible if You Really Want to “
viii
DAFTAR ISI
Halaman Judul …………………………………………………………….
i
Halaman Pengesahan Skripsi/Tugas Akhir ………………………………..
ii
Surat Persetujuan Skripsi/Tugas Akhir ……………………………………
iii
Surat Pernyataan Keaslian Skripsi ………………………………………...
iv
Kata Pengantar ……………………………………………………….……
v
Persembahan ………………………………………………………………
vii
Motto ………………………………………………………………………
viii
Daftar Isi …………………………………………………………………..
ix
Daftar Bagan ………………………………………………………………
xiii
Daftar Lambang dan Singkatan …………………………………………...
xiv
Abstraksi …………………………………………………………………..
xvi
BAB I Pendahuluan ……………………………………………………….
1
1.1.
Latar Belakang …………………………………………………….
1
1.2.
Batasan Masalah …………………………………………………...
3
1.3.
Rumusan Masalah …………………………………………………
3
1.4.
Tujuan Penelitian …………………………………………………..
4
1.5.
Manfaat Penelitian …………………………………………………
4
1.6.
Tinjauan Pustaka …………………………………………………..
4
1.7.
Metode Penelitian ……………………………………………….…
5
BAB II Dasar Teori ………………………………………………………..
6
Matriks dan Operasi Matriks ………………………………………
6
2.1.
ix
Definisi 1.1. Matriks ……………….…….………………………...
6
Definisi 1.2. Penjumlahan Matriks ..……………………………….
6
Definisi 1.3. Perkalian Matriks dengan Skalar …..……...……........
6
Definisi 1.4. Perkalian Dua Matriks ……..…………………….......
7
Definisi 1.5. Transpose Suatu Matriks …………………………….
8
Definisi 1.6. Matriks Persegi ………………...…….……………...
8
Definisi 1.7. Matriks Simetri …………….……...…………………
8
Definisi 1.8. Matriks Segitiga Atas ………………………………..
9
Definisi 1.9. Matriks Segitiga Bawah ……………………………..
9
Definisi 1.10. Matriks Identitas ……………………………………
9
Definisi 1.11. Invers Suatu Matriks ……...……………………......
9
Definisi 1.12. Matriks Kolom …………………..…………………
10
2.2.
Operasi Baris Elementer …………………….……………………..
11
2.3.
Matriks Elementer dan Metode untuk Mencari A-1 ………………..
13
Definisi 3.1. Matriks Elementer ………….……………………......
13
Metode 3.2. Mencari A-1 …………………………………………...
13
Teorema 3.3..…………………………...…………………………..
14
Teorema 3.4.…………………………...…………………….……..
16
Vektor ……………………………………………………………...
16
Definisi 4.1. Vektor ………...……………..……………………….
16
Definisi 4.2. Vektor Kolom...………………………………………
17
Definisi 4.3. Vektor Hampiran Awal …..………………………….
17
Ruang Vektor ……………………………………………………...
17
2.4.
2.5.
x
Definisi 5.1. Ruang Vektor .. ……………………………………...
17
Ruang-n Euclidis …………………………………………………..
18
Definisi 6.1. Ruang-n Euclidis …………………………………….
18
Definisi 6.2. Hasil Kali Dalam Euclidisn ………………………….
19
Ruang Hasil Kali Dalam …………………………………………..
19
Definisi 7.1. Ruang Hasil Kali Dalam ….………………………….
19
Definisi 7.2. Panjang Vektor di Ruang Hasil Kali Dalam …………
21
Nilai Eigen dan Vektor Eigen ……………………………………..
21
Definisi 8.1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ……..………………...
21
Nilai Eigen Tak Dominan …………………………………………
22
Definisi 9.1. Nilai Eigen Tak Dominan ……………………………
22
2.10. Bentuk Kuadrat ……………………………………………………
23
Definisi 10.1. Bentuk Kuadrat ……………………………………..
23
2.11. Matriks Definit Negatif ……………………………………………
24
Definisi 11.1. Matriks Definit Negatif ….…………………………
24
Teorema 11.2. ………………………..…………………………….
24
2.12. Dekomposisi-LU …………………………………………………..
25
Definisi 12.1. Dekomposisi-LU ………..………………………….
25
Teorema 12.2. ………………………...……………………………
32
BAB III Pembahasan ……………………………………………………...
34
3.1.
Teorema Gerschgorin ……………………………………………..
34
3.2.
Kuosien Rayleigh ………………………………………………….
37
3.3.
Analisis Galat ……………………………..……………………….
37
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
xi
3.4.
3.5.
Metode Kuasa Invers dengan Shift ………………………………..
38
Definisi 4.1. Metode Kuasa Invers dengan Shift ……..……………
38
Algoritma 4.2. Metode Kuasa Invers dengan Shift ……..…………
39
Penentuan Nilai Eigen Tak Dominan Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift ………………...
40
BAB IV Penutup… …………………………………………………..……
76
4.1.
Kesimpulan ………………………………………………………..
76
4.2.
Saran ……………………………………………………………….
77
Daftar Pustaka …………………………………………………………….
xii
78
DAFTAR BAGAN
Bagan 3.1 ………………………………………………...............................
xiii
42
DAFTAR LAMBANG DAN SINGKATAN
aij
=
entri dari matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j
aii
=
entri dari matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-i
ri
=
radius/jari-jari dari matriks A pada baris ke-i
nxn
=
ukuran atau orde dari suatu matriks, yaitu n baris dan n kolom
mxn
=
ukuran atau orde dari suatu matriks, yaitu m baris dan n kolom
mxr
=
ukuran atau orde dari suatu matriks, yaitu r baris dan n kolom
I
=
matriks identitas
AT
=
transpose dari matriks A
A-1
=
invers dari matriks A
=
=
sama dengan
=
tidak sama dengan
=
lebih besar sama dengan
=
kurang dari sama dengan
=
harga mutlak
=
panjang vektor
=
panjang vektor-1
=
himpunan bilangan real
=
himpunan semua bentuk x1, x2 ,..., xn dengan xi
1
n
i 1, 2,..., n
xiv
,
u, v xT k
=
himpunan bilangan kompleks
=
himpunan bilangan bulat
=
nilai eigen
=
hasil kali dalam vektor u dan v
=
transpose dari vektor x
=
rho digunakan untuk pendekatan nilai eigen tak dominan pada iterasi ke-k
V
=
ruang vektor V
L
=
matriks segitiga bawah
U
=
matriks segitiga atas
Ri
=
baris ke-i dari suatu matriks, i 1, 2,..., n
P
=
matriks permutasi yang dihasilkan karena pertukaran baris pada operasi baris elementer
Rowi(A)
=
baris ke-i pada matriks A
ei
=
basis ke-i dari ruang vektor V
D
=
disk/cakram
=
notasi sigma
=
notasi gabungan
s
=
nilai shift
TOL
=
toleransi maksimal nilai galat
=
nilai galat/error relatif
xv
PENENTUAN NILAI EIGEN TAK DOMINAN SUATU MATRIKS DEFINIT NEGATIF MENGGUNAKAN METODE KUASA INVERS DENGAN SHIFT
ABSTRAKSI
Hanifah Nurlatifah NIM. 08610042
Dalam matriks definit negatif A yang berukuran n x n dikenal istilah nilai eigen tak dominan. Nilai eigen dari sebuah matriks definit negatif A dikatakan nilai eigen tak dominan A jika nilai mutlaknya paling kecil dibandingkan dengan nilai mutlak nilai-nilai eigen yang selebihnya. Penelitian ini membahas mengenai matriks definit negatif yang berbentuk persegi n x n dengan entri-entri bilangan real. Dalam mencari nilai eigen tak dominan dari suatu matriks definit negatif A yang berukuran n x n dapat menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift. Nilai shift tersebut dapat diperoleh dari penerapan teorema Gerschgorin. Diakhir penyelesaian akan didapatkan juga vektor eigen tak dominan. Adapun untuk pendekatan nilai eigen tak dominannya dapat digunakan Kuosien Rayleigh. Kata kunci : nilai eigen tak dominan, vektor eigen tak dominan, matriks definit negatif, Metode Kuasa Invers dengan shift, teorema Gerschgorin, Kuosien Rayleigh.
xvi
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian merupakan salah satu bagian dari cabang ilmu matematika yaitu aljabar linear. Pembahasan nilai eigen dan vektor eigen memegang peranan sangat penting dalam pengembangan teknologi atau bahkan pengembangan teori dalam dunia keilmuan itu sendiri. Nilai eigen dan vektor eigen banyak digunakan dalam permasalahan kehidupan. Namun demikian, seringkali nilai eigen dan vektor eigen tersebut diabaikan dalam proses pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Dengan demikian kualitas pengembangan teknologi dan pengetahuan menjadi tidak dapat diperhitungkan karena proses yang tidak memadai dalam pengembangan tersebut. Sehingga untuk menemukan sebuah teori tanpa menyertakan nilai eigen dan vektor eigen membutuhkan waktu yang lama yang membuat proses tersebut tidak efisien. Dalam mencari nilai eigen dari suatu matriks n x n dapat digunakan penyelesaian persamaan karakteristik. Penyelesaian persamaan karakteristik ini akan menghasilkan nilai eigen dominan dengan vektor eigen yang bersesuaian dan nilai eigen tak dominan dengan vektor eigen yang bersesuaian. Nilai eigen dominan suatu matriks dapat ditentukan dengan menggunakan suatu metode yang dikenal dengan metode pangkat atau metode kuasa, sedangkan untuk nilai eigen tak dominan dapat ditentukan dengan menggunakan invers dari metode kuasa
1
2
tersebut, dimana matriks yang digunakan dicari inversnya. Metode ini disebut Metode Kuasa Invers. Selain Metode Kuasa Invers di atas, nilai eigen tak dominan dapat ditentukan dengan menggunakan nilai shift yang diperoleh dari penerapan teorema Gerschgorin. Nilai shift ini merupakan nilai pendekatan dari nilai eigen tak dominan. Metode seperti ini disebut Metode Kuasa Invers dengan shift. Perbedaan yang signifikan antara Metode Kuasa Invers dan Metode Kuasa Invers dengan shift terletak pada banyaknya iterasi. Metode Kuasa Invers memerlukan iterasi yang sangat banyak, seringkali enam atau tujuh iterasi atau bahkan lebih dari tujuh iterasi, sedangkan Metode Kuasa Invers dengan shift dikenal dengan metode yang sangat efisien, karena seringkali hanya tiga atau empat iterasi. Terlepas dari perbedaan yang signifikan tersebut, antara Metode Kuasa Invers dan Metode Kuasa Invers dengan shift sama-sama menghasilkan hampiran nilai eigen tak dominan yang mendekati nilai eigen tak dominan eksak. Metode Kuasa Invers dengan shift ini harus diketahui vektor eigen tak dominan sehingga nilai eigen tak dominan dapat langsung ditentukan. Sedangkan dengan perhitungan persamaan karakteristik nilai eigen tak dominan dan vektor eigen tak dominan yang bersesuaian tidak dapat langsung ditentukan bersamaan, hanya nilai eigen tak dominan yang dapat ditentukan. Oleh karena itu, maka untuk vektor eigen tak dominan digunakan vektor hampiran awal. Melalui vektor hampiran awal tersebut, pada akhir iterasi akan didapatkan nilai eigen tak dominan dan vektor eigen tak dominan yang bersesuaian.
3
Meskipun dengan perhitungan persamaan karakteristik nilai eigen tak dominan dan vektor eigen tak dominan yang bersesuaian tidak dapat langsung ditentukan bersamaan, namun dengan adanya vektor hampiran awal, Metode Kuasa Invers dengan shift ini dapat digunakan pada matriks definit positif. Dalam buku ”An Introduction to Numerical Linear Algebra” (Charles G. Cullen, 1994) disajikan beberapa contoh matriks definit positif beserta penggunaan Metode Kuasa Invers dengan shift dalam menentukan nilai eigen tak dominan. Namun, tidak ada satupun contoh matriks definit negatif. Hal ini membuat penulis tertarik untuk menerapkan Metode Kuasa Invers dengan shift pada matriks definit negatif. Bagaimana dengan matriks definit negatif, apakah masih dapat ditentukan nilai eigennya bila menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift. 1.2. Batasan Masalah Pembatasan masalah sangat penting dilakukan dalam suatu penelitian untuk memfokuskan objek yang diteliti. Pembahasan penelitian ini dibatasi pada masalah nilai eigen tak dominan pada matriks definit negatif dan menyediakan metode untuk memecahkan masalah yang terkait, yaitu suatu metode yang dinamakan metode kuasa invers dengan shift. Selain itu, pembahasan penelitian ini juga mencakup definisi, pembuktian teorema-teorema dan sifat-sifat dari topik. 1.3. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah dijabarkan, maka dirumuskan permasalahan sebagai berikut : 1) Bagaimana konsep dasar nilai eigen tak dominan dan nilai shift? 2) Bagaimana konsep dasar metode kuasa invers dengan shift?
4
3) Bagaimana cara menentukan nilai shift berdasarkan teorema Gerschgorin? 4) Bagaimana penggunaan metode kuasa invers dengan shift pada penentuan nilai eigen tak dominan matriks definit negatif? 1.4. Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah : 1) Mengetahui konsep dasar nilai eigen tak dominan dan nilai shift. 2) Mengetahui konsep dasar metode kuasa invers dengan shift. 3) Mengetahui cara menentukan nilai shift berdasarkan teorema Gerschgorin. 4) Menerapkan penggunaan metode kuasa invers dengan shift pada penentuan nilai eigen tak dominan matriks definit negatif. 1.5. Manfaat Penelitian Manfaat penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut : a.
Memberikan pengetahuan tentang nilai eigen tak dominan dan nilai shift.
b.
Memberikan pengetahuan tentang metode kuasa invers dengan shift.
c.
Memberikan pengetahuan tentang cara menentukan nilai shift berdasarkan teorema Gerschgorin.
d.
Memberikan pengetahuan tentang penggunaan metode kuasa invers dengan shift pada penentuan nilai eigen tak dominan matriks definit negatif.
1.6. Tinjauan Pustaka Penulisan skripsi ini terinspirasi dari jurnal yang berjudul “Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift” (Yuli Andriani, Januari 2011). Jurnal ini menjelaskan
5
penggunaan metode kuasa invers dengan shift pada penentuan nilai eigen tak dominan suatu matriks definit negatif. Jurnal yang ditulis Yuli Andriyani juga menjabarkan tentang penerapan Kuesien Rayleigh yang memberikan nilai eigen tak dominan perkiraan dan iterasi berhenti ketika nilai galat mendekati nilai eigen tak dominan. Buku penunjang yang dijadikan referensi menyusun landasan teori diantaranya ”An Introduction to Numerical Linear Algebra” (Charles G. Cullen, 1994), ”Linear Lgebra and It’s Application” (Gilbert Strang, 1988), serta bukubuku lainnya sebagai penunjang landasan teori tentang topik ini. 1.7. Metode Penelitian Penelitian skripsi dilakukan dengan cara studi literatur, yaitu penulis mempelajari beberapa sumber tentang metode kuasa invers dengan shift dan penggunaannya pada penentuan nilai eigen tak dominan matriks definit negatif. Sumber data yang penulis gunakan dalam penulisan tugas akhir ini berupa buku, makalah, catatan-catatan kuliah online, artikel, dan hasil penelitian lain yang berhubungan. Tidak semua sumber data yang telah disebutkan, penulis jadikan sebagai acuan secara langsung. Hanya sumber data berupa buku yang penulis jadikan sebagai bahan acuan secara langsung, terutama yang berkaitan dengan definisi dan contoh. Walaupun begitu, sumber-sumber data lain memberikan warna tersendiri dalam penulisan tugas akhir ini.
BAB IV KESIMPULAN
4.1. Kesimpulan Berdasarkan hasil studi literatur tentang cara menentukan nilai eigen tak dominan suatu matriks definit negatif dengan menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift yang dilakukan penulis dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut : 1.
Nilai shift dan galat maksimal sangat berpengaruh terhadap nilai eigen tak dominan yang dihasilkan. Semakin nilai shift mendekati nilai eigen tak dominan dan galat awal kecil, maka hampiran nilai eigen tak dominan semakin mendekati nilai eigen tak dominan yang eksak serta galat akhir semakin kecil pula dan sebaliknya.
2.
Penggunaan Metode Kuasa Invers dengan shift untuk menentukan nilai eigen tak dominan suatu matriks definit negatif akan lebih baik jika nilai shift yang diperkirakan sangat mendekati nilai eigen tak dominan eksak. Hal ini pun mempengaruhi jumlah iterasi yang dilakukan.
3.
Berdasarkan teorema Gerschgorin diketahui bahwa nilai eigen tak dominan harus berada pada cakram Di, dengan menggunakan definisi n
Di
z
: z aii
ri
aik
Rowi ( A) aii ei
1
dapat
ditentukan
k 1 k i
daerah nilai eigen tak dominan dari suatu matriks A, sehingga dapat diperoleh nilai shift(s).
76
77
4.
Metode Kuasa Invers dengan shift tidak hanya bisa digunakan pada matriks definit negatif yang simetri, namun juga bisa digunakan pada matriks definit negatif yang non-simetri.
4.2. Saran Berdasarkan pada proses penelitian yang dilakukan tentang cara menentukan nilai eigen tak dominan suatu matriks definit negatif dengan menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift, maka saran-saran yang ingin disampaikan penulis adalah : 1.
Pembahasan tentang matriks definit negatif dapat dikembangkan kembali misalkan dengan entri-entrinya adalah bilangan kompleks.
2.
Penelitian ini dapat dikembangkan kembali misalkan dengan sasaran objek adalah matriks semidefinit positif, semidefinit negatif atau bahkan indefinit.
3.
Penelitian
ini
dapat
dikembangkan
pula
dengan
penyelesaian
menggunakan program komputer, misalkan dengan software MATLAB, MathChad, dsb. Demikian saran-saran yang dapat disampaikan penulis. Semoga skripsi ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca untuk mengembangkan lebih lanjut tentang menentukan nilai eigen tak dominan dengan menggunakan Metode Kuasa Invers dengan shift.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. dan Pantur Silaban, 1987, Aljabar Linear Elementer, Edisi kelima, Erlangga, Jakarta. Anton, H., Elementary Linear Algebra, 2000, Anton Textbook Inc, Ottawa. Antoh, H., Dasar-dasar Aljabar Linear, 2000, Interaksara, Batam. Cullen, C.G., 1994, An Introduction Numerical Linear Algebra, PWS Publishing Company, Boston. Demmel, James W., Applied Numerical Linear Algebra, 1996, University of California, Berkeley California. Strang, G, 1988, Linear Algebra and It’s Applications, Harcourt Brace Jovanovich Inc., New Jersey. Hadley, G., 1983, Aljabar Linear, Erlangga, Jakarta. Hager, W., 1988, Applied Numerical Linear Algebra, Prentice Hall International Inc., Pennsylvania. http://jpsmipaunsri.files.wordpress.com/2011/03/0308-12-a-yuli.pdf, diakses pada tanggal 16 Oktober 2011 pukul 16:04 WIB. Lipschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson, 2005, Aljabar Linear , Erlangga, Jakarta. Lipschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson, 2009, Linear Algebra , The McGrawHill Companies, United States of America. N. Trefethen, Lloyd dan David Bau, III, 1997, Numerical Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia.
78
79
O’Nan, M., 1976, Linear Algebra, Harcourt Brace Jovanovich Inc., San Francisco. Setiadji, 2008, Aljabar Linear, Graha Ilmu, Yogyakarta. Soemantri, R., 1994, Fungsi Variabel Kompleks, Yogyakarta. Susatio, Yerri., Metode Numerik Berbasis MathCad, 2005, Penerbit ANDI, Yogyakarta.
