Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6, No. 02 (2017), hal 17 โ 26.
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL MENGGUNAKAN METODE PANGKAT
Yuyun Eka Pratiwi, Mariatul Kiftiah, Eka Wulan Ramadhani
INTISARI Matriks interval merupakan perluasan dari matriks real dengan entri-entrinya berupa interval. Interval yang digunakan adalah interval tertutup. Permasalahan yang sering muncul pada suatu matriks tidak terkecuali matriks interval adalah nilai eigen dan vektor eigen. Pada matriks interval permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu metode numerik yaitu metode pangkat. Metode pangkat adalah metode iterasi yang digunakan untuk menentukan nilai eigen terbesar dan vektor eigen yang bersesuaian dari suatu matriks. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks interval menggunakan metode pangkat dengan operasi aritmetika interval yang dimodifikasi. Operasi tersebut digunakan agar dual yang merupakan operator penting dalam menukar batas atas dengan batas bawah dari suatu interval dapat digunakan dalam perhitungan. Langkah pertama dalam menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks interval menggunakan metode pangkat adalah menentukan vektor tak nol (๐ฏฬ0 ) dari matriks interval ๐ดฬ๐ร๐ . Selanjutnya menghitung ๐ฒฬ๐+1 = ๐ดฬ๐ฏฬ๐ dengan ๐ = 0,1,2, โฆ , ๐ dan menentukan ๐ ฬ ๐+1 yang ๐ฒฬ digunakan untuk menghitung ๐ฏฬ๐+1 = ฬ๐+1 . Setelah itu menentukan kekonvergenan ๐ฏฬ๐ . Kemudian menentukan ๐๐+1
nilai eigen matriks interval menggunakan formula ๐ฬ๐ = ๐๐๐
(๐ฒฬ๐+1 )๐
๐โโ (๐ฏฬ๐ )๐
dengan ๐ = 1,2,3, โฆ , ๐ dan ๐ = 1,2,3, โฆ , ๐.
Setelah diperoleh nilai eigen dan vektor eigen, dilakukan pengecekan nilai eigen dan vektor eigen dengan menggunakan persamaan ๐ดฬ๐ฏฬ โ ๐ฬ๐ ๐ฏฬ. Diperoleh nilai eigen dan vektor eigen matriks interval yang bersesuaian. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa metode pangkat bisa digunakan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen pada matriks interval dengan operasi aritmetika interval yang dimodifikasi. Kata Kunci : aritmetika interval, modifikasi aritmetika interval
PENDAHULUAN Permasalahan nilai eigen dan vektor eigen merupakan salah satu masalah yang sering muncul pada matriks tidak terkecuali matriks interval. Mencari nilai eigen dan vektor eigen pada matriks interval akan sangat sulit dan memerlukan waktu yang lama jika dilakukan dengan cara analitik yaitu menggunakan persamaan karakteristik |๐ดฬ โ ๐ฬฮฬ| = 0ฬ. Oleh sebab itu, untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks interval diperlukan suatu metode numerik yaitu dengan menggunakan metode pangkat [1]. Metode pangkat menghasilkan sebuah aproksimasi terhadap nilai eigen terbesar dan vektor eigen yang bersesuaian [2]. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks interval menggunakan metode pangkat dengan operasi aritmetika interval yang dimodifikasi. Pada penelitian ini, entri-entri pada matriks interval merupakan interval tertutup dan aritmetika interval yang digunakan adalah aritmetika interval yang dimodifikasi. Langkah pertama yang dilakukan dalam penelitian ini adalah mendefinisikan matriks interval berukuran ๐ ร ๐, misalkan ๐ดฬ dan menentukan sebarang vektor tak nol, misalkan ๐ฏฬ0. Langkah selanjutnya, menghitung ๐ฒฬ1 = ๐ดฬ๐ฏฬ0 dan menentukan elemen terbesar dari ๐ฒฬ1 yaitu ๐ ฬ 1 . Kemudian menghitung aproksimasi pertama ๐ฒฬ1 vektor eigen, ๐ฏฬ1 = ๐ฬ . Ulangi langkah tersebut hingga diperoleh aproksimasi vektor eigen yang konvergen 1
17
18
Y. E. PRATIWI, M. KIFTIAH, E. W. RAMADHANI
dengan aproksimasi vektor eigen pada iterasi sebelumnya atau dapat ditulis lim ๐ฏฬ๐+1 = ๐ฏฬ. Langkah ๐โโ
(๐ฒฬ๐+1 )๐ , ๐โโ (๐ฏฬ๐ )๐
selanjutnya, setelah diperoleh vektor eigen dapat dicari nilai eigen menggunakan formula ๐ฬ๐ = lim
dengan ๐ = 1,2,3, โฆ , ๐ dan ๐ = 1,2,3, โฆ , ๐. Setelah diperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian, selanjutnya dilakukan pengecekan untuk melihat apakah nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks interval yang diperoleh telah memenuhi persamaan ๐ดฬ๐ฏฬ โ ๐ฬ๐ ๐ฏฬ. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Sebuah matriks persegi ๐ ร ๐ memiliki nilai dan vektor karakteristik yang lebih sering disebut sebagai nilai dan vektor eigen. Berikut diberikan definisi nilai dan vektor eigen dari suatu matriks. Definisi 1 [3] Jika ๐ด adalah sebuah matriks ๐ ร ๐, maka sebuah vektor tak nol ๐ฏ pada ๐น๐ disebut vektor eigen (eigenvector) dari ๐ด jika ๐ด๐ฏ adalah sebuah kelipatan skalar dari ๐ฏ yaitu ๐ด๐ฏ = ๐๐ฏ untuk sebarang skalar ๐. Skalar ๐ disebut nilai eigen (eigenvalue) dari ๐ด, dan ๐ฏ disebut sebagai vektor eigen dari ๐ด yang bersesuaian dengan ๐. Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matriks ๐ด berukuran ๐ ร ๐, dapat ditulis sebagai ๐ด๐ฏ = ๐๐ผ๐ฏ atau ekuivalen dengan (๐๐ผ โ ๐ด)๐ฏ = ๐ (1) agar ๐ dapat menjadi nilai eigen, harus terdapat paling sedikit satu solusi tak nol dari Persamaan 1. Namun, Persamaan 1 memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika ๐๐๐ก(๐๐ผ โ ๐ด) = 0 (2) Persamaan 2 disebut persamaan karakteristik matriks ๐ด. Skalar-skalar yang memenuhi persamaan tersebut adalah nilai-nilai eigen matriks ๐ด. INTERVAL Interval adalah himpunan bilangan-bilangan real yang ditunjukkan sebagai suatu pasangan berurut dan dinyatakan dalam suatu ketaksamaan [4]. Dalam analisis interval, suatu ketaksamaan interval dinyatakan dalam bentuk interval tertutup pada garis real. Berikut ini diberikan definisi tentang interval tertutup, midpoint, dan width dari suatu interval. Definisi 2 [5] Interval tertutup adalah himpunan semua bilangan real ๐ฅ yang dinyatakan dalam suatu ketaksamaan ๐ฅ โค ๐ฅ โค ๐ฅ untuk sebarang konstanta real ๐ฅ dan ๐ฅฬ
dengan ๐ฅ โค ๐ฅ dan dinotasikan dengan [๐ฅ, ๐ฅ]. Dikenal pula istilah titik tengah (midpoint) dan lebar (width) dari suatu interval yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi 3 [6] Titik tengah atau midpoint dari suatu interval dengan ๐ฅฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] adalah bilangan real: ๐ฅ+๐ฅ ๐(๐ฅฬ) = 2 Definisi 4 [6] Lebar atau width dari suatu interval dengan ๐ฅฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] adalah bilangan real: ๐ค(๐ฅฬ) = ๐ฅ โ ๐ฅ Selanjutnya, dalam mempelajari interval dikenal istilah himpunan semua interval sejati yang didefinisikan dengan: ๐๐ = {๐ฅฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] โถ ๐ฅ โค ๐ฅ, dengan ๐ฅ, ๐ฅ โ โ } dan himpunan semua interval tak sejati yang didefinisikan dengan: ๐๐ = {๐ฅฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] โถ ๐ฅ > ๐ฅ, dengan ๐ฅ, ๐ฅ โ โ }
Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Interval Menggunakan โฆ.
19
Sedangkan gabungan himpunan interval sejati dan himpunan interval tak sejati yang disebut dengan generalisasi interval didefinisikan dengan: ๐ = ๐๐ โช ๐๐ = {[๐ฅ, ๐ฅ], dengan ๐ฅ, ๐ฅ โ โ }. Entri-entri matriks interval dalam penelitian ini berada pada ๐ agar operator dual bisa digunakan. ARITMETIKA INTERVAL Diberikan +, โ, โ , dan รท, yang masing-masing menyatakan operasi aritmetika pada penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian suatu interval. Jika โ โ {+, โ, โ , รท} dan ๐ฅฬ, ๐ฆฬ โ ๐ dengan ๐ = ๐๐ โช ๐๐ = {[๐ฅ, ๐ฅ], dengan ๐ฅ, ๐ฅ โ โ }, maka berikut ini diberikan definisi operasi aritmetika pada bilangan interval ๐ฅฬ dan ๐ฆฬ. Definisi 5 [6] Operasi pada aritmetika interval dengan ๐ฅฬ, ๐ฆฬ โ ๐ซ dan โ โ {+, โ,โ,รท} dapat ditulis sebagai berikut: ๐ฅฬ โ ๐ฆฬ = {๐ฅ โ ๐ฆ|๐ฅ โ ๐ฅฬ, ๐ฆ โ ๐ฆฬ} Oleh karena itu, interval ๐ฅฬ โ ๐ฆฬ menghasilkan operasi yang memuat setiap bilangan yang dapat dibentuk sebagai ๐ฅ โ ๐ฆ untuk setiap ๐ฅ โ ๐ฅฬ dan ๐ฆ โ ๐ฆฬ. Berikut ini diberikan sifat-sifat untuk dua interval ๐ฅฬ โ ๐ฆฬ dari suatu interval tertutup. Misalkan diberikan dua interval yaitu ๐ฅฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] dan ๐ฆฬ = [๐ฆ, ๐ฆ]; ๐ฅฬ,๐ฆฬ โ ๐, sifat-sifat yang memenuhi operasi aritmetika interval ๐ฅฬ โ ๐ฆฬ adalah sebagai berikut: 1. ๐ฅฬ + ๐ฆฬ = [๐ฅ + ๐ฆ, ๐ฅ + ๐ฆ], 2.
๐ฅฬ โ ๐ฆฬ = [๐ฅ โ ๐ฆ, ๐ฅ โ ๐ฆ],
3.
๐ฅฬ โ ๐ฆฬ = [๐๐๐ {๐ฅ ๐ฆ, ๐ฅ ๐ฆ, ๐ฅ ๐ฆ, ๐ฅ ๐ฆ} , ๐๐๐ฅ {๐ฅ ๐ฆ, ๐ฅ ๐ฆ, ๐ฅ ๐ฆ, ๐ฅ ๐ฆ}],
4.
๐ฅฬ รท ๐ฆฬ = ๐ฅฬ โ ๐ฆฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] โ
5.
๐ผ + ๐ฅฬ = [๐ผ + ๐ฅ, ๐ผ + ๐ฅ].
1
๐
, dengan
[๐ฆ,๐ฆ]
๐ [๐ฆ,๐ฆ]
๐ ๐
= [๐ฆ , ๐ฆ] untuk 0 โ ๐ฆฬ.
6. ๐ผ โ ๐ฅฬ = [๐๐๐{๐ผ โ ๐ฅ , ๐ผ โ ๐ฅ }, ๐๐๐ฅ{๐ผ โ ๐ฅ , ๐ผ โ ๐ฅ}] Dikenal pula istilah nilai mutlak pada interval yang dapat ditentukan dengan melihat nilai maksimum dari lower endpoint dan upper endpoint. Selain itu dapat pula ditentukan relasi (hubungan) antar dua interval yang digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu interval lebih besar dari interval lainnya yang dapat dilihat dari midpoint kedua interval. Berikut ini diberikan definisi nilai mutlak dari suatu interval dan relasi (hubungan) antar dua interval. Definisi 6 [6] Nilai mutlak suatu interval didefinisikan sebagai berikut: (โ ๐ฅฬ โ ๐ซ)(|๐ฅฬ| = ๐๐๐ฅ(|๐ฅ|, |๐ฅ|) Definisi 7 [7] Relasi โค pada ๐ซ didefinisikan sebagai berikut: (โ ๐ฅฬ, ๐ฆฬ โ ๐ซ)(๐ฅฬ โค ๐ฆฬ โบ ๐๐๐ ๐ฅฬ โค ๐๐๐ ๐ฆฬ) Selain aritmetika interval dikenal pula modifikasi aritmetika interval. Adanya modifikasi aritmetika interval menyebabkan berlakunya sifat distributif pada perkalian interval. Dikenal pula istilah dual pada modifikasi aritmetika interval yang nantinya digunakan pada perhitungan menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks interval menggunakan metode pangkat. MODIFIKASI ARITMETIKA INTERVAL Dikenal istilah dual dalam modifikasi aritmetika interval. Dual merupakan operator penting dalam menukar batas atas (upper endpoint) dengan batas bawah (lower endpoint) dari suatu interval. Operator dual pada modifikasi aritmetika interval hanya digunakan pada operasi pengurangan dan pembagian pada dua interval yang bernilai sama. Misalkan diberikan ๐ฅฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] maka dual dari interval ๐ฅฬ dapat ditulis sebagai
20
Y. E. PRATIWI, M. KIFTIAH, E. W. RAMADHANI
๐๐ข๐๐(๐ฅฬ) = ๐๐ข๐๐[๐ฅ, ๐ฅ] = [๐ฅ, ๐ฅ]. Pada sebuah interval ๐ฅฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] dikenal pula istilah half-width yaitu setengah dari lebar interval ๐ฅฬ. Berikut ini diberikan definisi mengenai half-width dan sifat-sifat operasi modifikasi aritmetika interval. Definisi 8 [8] Misalkan diberikan suatu interval ๐ฅฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] dengan ๐ฅฬ โ ๐. Setengah dari lebar interval ๐ฅฬ yang disebut sebagai half-widht ๐ฅฬ, dapat dituliskan sebagai berikut: ๐ค(๐ฅฬ) = (
๐ฅโ๐ฅ 2
)
Definisi 9 [9] Diberikan dua interval dengan ๐ฅฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] dan ๐ฆฬ = [๐ฆ, ๐ฆ], sehingga: i.
Penjumlahan ๐ฅฬ + ๐ฆฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] + [๐ฆ, ๐ฆ] = [๐(๐ฅฬ) + ๐(๐ฆฬ) โ ๐, ๐(๐ฅฬ) + ๐(๐ฆฬ) + ๐] dengan ๐ = (
(๐ฆ+๐ฅ)โ(๐ฆ+๐ฅ) 2
)
ii. Pengurangan ๐ฅฬ โ ๐ฆฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] โ [๐ฆ, ๐ฆ] = [๐(๐ฅฬ) โ ๐(๐ฆฬ) โ ๐, ๐(๐ฅฬ) โ ๐(๐ฆฬ) + ๐] dengan ๐ = (
(๐ฆ+๐ฅ)โ(๐ฆ+๐ฅ)
) tetapi, jika ๐ฅฬ = ๐ฆฬ atau [๐ฅ, ๐ฅ] = [๐ฆ, ๐ฆ], maka ๐ฅฬ โ ๐ฆฬ = ๐ฅฬ โ ๐๐ข๐๐(๐ฅฬ) =
2
[๐ฅ, ๐ฅ] โ [๐ฅ, ๐ฅ] = [(๐ฅ โ ๐ฅ), (๐ฅ โ ๐ฅ)] = [0,0] iii. Perkalian ๐ฅฬ โ ๐ฆฬ = [๐ฅ, ๐ฅ] โ [๐ฆ, ๐ฆ] = [(๐(๐ฅฬ)๐(๐ฆฬ) โ ๐), (๐(๐ฅฬ)๐(๐ฆฬ) + ๐)] dengan ๐ = ๐๐๐{(๐(๐ฅฬ)๐(๐ฆฬ) โ ๐ผ), (๐ฝ โ ๐(๐ฅฬ)๐(๐ฆฬ))} ๐ผ = ๐๐๐(๐ฅ๐ฆ, ๐ฅ๐ฆ, ๐ฅ๐ฆ, ๐ฅ๐ฆ) dan ๐ฝ = ๐๐๐ฅ (๐ฅ๐ฆ, ๐ฅ๐ฆ, ๐ฅ๐ฆ, ๐ฅ๐ฆ) iv. Pembagian 1 รท ๐ฅฬ =
1 ๐ฅฬ
=
1 [๐ฅ,๐ฅ]
=[
1 โ ๐(๐ฅฬ)
๐,
1 + ๐(๐ฅฬ)
1 ๐ฅโ๐ฅ 1 ๐ฅโ๐ฅ ) , ( )} ๐ฅ ๐ฅ+๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ+๐ฅ
dengan ๐ = ๐๐๐ { (
๐]
dan 0 โ ๐ฅฬ, Jika ๐ฅฬ = ๐ฆฬ, maka
๐ฅฬ ๐ฅฬ ๐ฅฬ = = ๐ฆฬ ๐ฅฬ ๐๐ข๐๐(๐ฅฬ) 1 = [๐ฅ, ๐ฅ] [๐ฅ, ๐ฅ] 1 1
= [๐ฅ, ๐ฅ] [๐ฅ , ๐ฅ] ๐ฅ ๐ฅ
= [๐ฅ , ๐ฅ] = [1,1] v. Perkalian interval dengan sebuah skalar ๐๐ฅฬ = {
[๐๐ฅ, ๐๐ฅ], ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ โฅ 0 [๐๐ฅ, ๐๐ฅ], ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ < 0
MATRIKS INTERVAL Matriks interval merupakan himpunan dari matriks-matriks dengan ๐ฬ๐๐ yang menyatakan entri dari matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j. Untuk setiap ๐๐๐ , ๐๐๐ โ โ maka ๐๐๐ adalah entri pada matriks interval dengan nilai terkecil dari ๐ฬ๐๐ dan ๐๐๐ adalah entri pada matriks dengan nilai terbesar dari ๐ฬ๐๐ . Secara umum, matriks interval didefinisikan sebagai berikut.
Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Interval Menggunakan โฆ.
21
Definisi 10 [8] Suatu matriks ๐ดฬ berukuran ๐ ร ๐ dengan setiap entri-entrinya sebagai berikut: ๐ฬ11 โฏ ๐ฬ1๐ โฑ โฎ ] = [๐ฬ๐๐ ] ๐ดฬ = [ โฎ ๐ร๐ ๐ฬ๐1 โฏ ๐ฬ๐๐ ๐ฬ๐๐ = [๐๐๐ , ๐๐๐ ] โ ๐ atau ๐ดฬ = [๐ด, ๐ด] untuk sebarang ๐ด, ๐ด yang memenuhi ๐ด โค ๐ด, dengan masing-masing entrinya ๐11 โฏ ๐1๐ ๐11 โฏ ๐1๐ โฑ โฎ ] dan ๐ด = [ โฎ ๐ด=[ โฎ โฑ โฎ ]. ๐๐1 โฏ ๐๐๐ ๐๐1 โฏ ๐๐๐ Selanjutnya untuk menyatakan himpunan semua matriks interval yang berukuran ๐ ร ๐ digunakan notasi ๐๐ร๐ (๐ซ). Pada matriks interval dikenal istilah midpoint dan width. Midpoint dari matriks interval ๐ดฬ merupakan matriks dengan entri-entrinya didefinisikan sebagai berikut: ๐(๐ฬ11 ) โฏ ๐(๐ฬ๐1 ) ฬ โฎ โฑ โฎ ๐(๐ด) = [ ] ๐(๐ฬ๐1 ) โฏ ๐(๐ฬ๐๐ ) dan width matriks interval ๐ดฬ merupakan matriks width dengan entri-entrinya didefinisikan sebagai berikut: ๐ค(๐ฬ11 ) โฏ ๐ค(๐ฬ๐1 ) โฑ โฎ ๐ค(๐ดฬ) = [ โฎ ] ๐ค(๐ฬ๐1 ) โฏ ๐ค(๐ฬ๐๐ ) dengan entri-entri matriks ๐ค(๐ดฬ) selalu non negatif. Definisi 11 [8] Diketahui bahwa dua matriks interval ๐ดฬ dan ๐ตฬ berordo ๐ ร ๐ dikatakan sama yang dinotasikan dengan ๐ดฬ = ๐ตฬ jika dan hanya jika ๐(๐ดฬ) = ๐(๐ตฬ) dan ๐ค(๐ดฬ) = ๐ค(๐ตฬ). Sedangkan matriks interval ๐ดฬ dan ๐ตฬ dikatakan ekuivalen dan dinotasikan dengan ๐ดฬ โ ๐ตฬ jika dan hanya jika ๐(๐ดฬ) = ๐(๐ตฬ). METODE PANGKAT MATRIKS INTERVAL Misalkan ๐ดฬ๐ร๐ merupakan matriks interval berukuran ๐ ร ๐. Diasumsikan bahwa ๐ฬ1 , ๐ฬ2 , โฆ , ๐ฬ๐ adalah nilai-nilai eigen matriks interval ๐ดฬ yang berbeda sehingga |๐ฬ1 | > |๐ฬ2 | > โฏ > |๐ฬ๐ | Matriks ๐ด memiliki nilai eigen terbesar dengan vektor eigen yang bersesuaian. Selanjutnya, dipilih vektor eigen tak nol dari matriks ๐ดฬ โ ๐๐ร๐ (๐ซ). Inisialisasi vektor tak nol berada di ๐๐ . Dimisalkan ๐ฏฬ๐ , ๐ฏฬ๐ , โฏ , ๐ฏฬ๐ sebagai vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ๐ฬ1 , ๐ฬ2 , โฆ , ๐ฬ๐ . Setiap vektor ๐ฏฬ yang berada dalam ruang vektor eigen ๐ฏฬ๐ , ๐ฏฬ๐ , โฏ , ๐ฏฬ๐ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut [10]. Adapun kombinasi linearnya dapat ditulis sebagai berikut: ๐ฏฬ = ๐ฬ1 ๐ฏฬ๐ + ๐ฬ2 ๐ฏฬ๐ + โฏ + ๐ฬ๐ ๐ฏฬ๐ง (3) Misalkan ๐ดฬ๐ฏฬ๐ = ๐ฬ1 ๐ฏฬ๐ ๐ดฬ๐ฏฬ๐ = ๐ฬ2 ๐ฏฬ๐ (4) โฎ ๐ดฬ๐ฏฬ๐ = ๐ฬ๐ ๐ฏฬ๐ } Selanjutnya, dengan mengalikan kedua ruas pada Persamaan 3 dengan ๐ดฬ dan mensubstitusikan Sistem Persamaan 4 sehingga diperoleh: ๐ดฬ๐ฏฬ = ๐ฬ1 ๐ฬ1 ๐ฏฬ1 + ๐ฬ2 ๐ฬ2 ๐ฏฬ๐ + โฏ + ๐ฬ๐ ๐ฬ๐ ๐ฏฬ๐ง
22
Y. E. PRATIWI, M. KIFTIAH, E. W. RAMADHANI
๐ฬ2 ๐ฬ๐ โ ๐ฬ1 [๐ฬ1 ๐ฏฬ๐ + ๐ฬ2 ( ) ๐ฏฬ๐ + โฏ + ๐ฬ๐ ( ) ๐ฏฬ๐ง ] ๐ฬ1 ๐ฬ1 Selanjutnya dengan menggunakan cara yang sama diperoleh: 2 ๐ ๐ฬ2 ๐ฬ๐ 2 2ฬ ฬ ฬ ๐ด ๐ฏ โ ๐1 [๐ฬ1 ๐ฏฬ๐ + ๐ฬ2 ( ) ๐ฏฬ๐ + โฏ + ๐ฬ๐ ( ) ๐ฏฬ๐ง ] ๐ฬ1 ๐ฬ1 โฎ
โฎ
๐ดฬ๐ ๐ฏฬ โ
โฎ
๐ ฬ ๐ ๐ฬ1๐ [๐ฬ1 ๐ฏฬ1 + ๐ฬ2 (ฬ๐2 ) ๐ฏฬ๐ 1 ฬ
๐ ๐ดฬ๐+1 ๐ฏ โ ๐ฬ1๐+1 [๐ฬ1 ๐ฏฬ๐ + ๐ฬ2 (ฬ๐2 )
๐+1
1
๐
ฬ ๐
+ โฏ + ๐ฬ๐ ( ฬ๐๐ ) ๐ฏฬ๐ง ]
(5)
1
๐+1
ฬ ๐
๐ฏฬ๐ + โฏ + ๐ฬ๐ ( ฬ๐๐ ) 1
๐ฏฬ๐ง ]
(6)
ฬ 1, ๐ = 2,3, โฆ , ๐ dan 0 โ Telah diasumsikan sebelumnya bahwa nilai-nilai eigennya berbeda dan |๐ฬ๐ โ๐ฬ1 | < ๐ฬ1 , sehingga untuk ๐ โ โ, maka ๐ ๐ฬ๐ lim ( ) = 0ฬ ๐โโ ๐ฬ1 Dengan demikian Persamaan 5 dan Persamaan 6 menjadi ๐ดฬ๐ ๐ฏฬ = ๐ฬ1๐ ๐ฬ1 ๐ฏฬ๐ dan ๐ดฬ๐+1 ๐ฏฬ = ๐ฬ1๐+1 ๐ฬ1 ๐ฏฬ1 Selanjutnya untuk ๐ โ โ dan rasio ๐ diperoleh (๐ดฬ๐ ๐ฏฬ)๐ ๐โโ (๐ฬ1 ๐ฏฬ๐ )๐
(7)
(๐ดฬ๐+1 ๐ฏฬ)๐ ๐โโ (๐ฬ1 ๐ฏฬ๐ )๐
(8)
๐ ๐ฬ1 = lim
dan ๐+1 ๐ฬ1 = lim
Dengan mensubstitusikan Persamaan 7 ke Persamaan 8 maka diperoleh: (๐ดฬ๐+1 ๐ฏฬ)๐ ๐โโ (๐ดฬ๐ ๐ฏฬ)๐
๐ฬ1 = lim
(9)
dengan ๐ menunjukkan komponen ๐ vektor dengan ๐ = 1,2,3, โฆ , ๐. Oleh karena itu, diperoleh ๐ rasio yang mendekati nilai yang sama yang merupakan nilai eigen terbesar. Algoritma sederhana untuk metode pangkat diberikan sebagai berikut: ๐ฒฬ๐+1 = ๐ดฬ๐ฏฬ๐ , ๐ = 0,1,2 โฆ , ๐ ๐ฏฬ๐+1 = ๐ฒฬ๐+1 โ๐ ฬ ๐+1 dengan ๐ ฬ ๐+1 merupakan elemen terbesar dari ๐ฒฬ๐+1 dengan 0 โ ๐ ฬ ๐+1 . Sehingga Persamaan 9 bisa ditulis sebagai: (๐ฒฬ ) ๐ฬ1 = lim ๐+1 ๐ , ๐ = 1,2,3, โฆ , ๐ ๐โโ (๐ฏฬ๐ )๐
dan ๐ฏฬ๐+1 sebagai vektor eigen yang bersesuaian. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL
Berdasarkan Definisi 1, nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks ๐ด dengan entri-entri bilangan real harus memenuhi ๐ด๐ฏ = ๐๐ฏ. Dalam penelitian ini konsep tersebut juga diterapkan untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen pada matriks interval menggunakan metode pangkat dengan operasi aritmetika interval yang dimodifikasi. Akan tetapi pada matriks interval digunakan ๐ดฬ๐ฏฬ โ ๐ฬ๐ ๐ฏฬ.
Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Interval Menggunakan โฆ.
23
Berdasarkan Definisi 11, dua matriks interval ๐ดฬ dan ๐ตฬ berordo ๐ ร ๐ dikatakan sama yang dinotasikan dengan ๐ดฬ = ๐ตฬ jika dan hanya jika ๐(๐ดฬ) = ๐(๐ตฬ ) dan ๐ค(๐ดฬ) = ๐ค(๐ตฬ ). Sedangkan matriks interval ๐ดฬ dan ๐ตฬ dikatakan ekuivalen dan dinotasikan dengan ๐ดฬ โ ๐ตฬ jika dan hanya jika ๐(๐ดฬ) = ๐(๐ตฬ ). Definisi inilah yang menjadi dasar untuk mengatakan bahwa persamaan ๐ดฬ๐ฏฬ โ ๐ฬ๐ ๐ฏฬ ekuivalen. Berikut ini diberikan contoh mencari nilai eigen dan vektor eigen matriks interval menggunakan metode pangkat. [3,4] [1,5] [0,0] [3,4] [2,3] [3,7] [1,5] [1,1] Contoh 11 Diberikan matriks interval ๐ถฬ = [ ], tentukan nilai eigen dan vektor [0,0] [5,6] [3,4] [1,1] [1,1] [1,2] [1,2] [2,4] ฬ eigen matriks interval ๐ถ ! Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks interval ๐ถฬ dengan metode pangkat sebagai berikut. [1,1] [1,1] A. Menentukan sebarang vektor tak nol ๐ฏฬ0 = [ ]. [1,1] [0,0] B. Melakukan proses iterasi vektor eigen matriks interval sebagai berikut: 1. Iterasi Pertama ๏ฉ [4,9] ๏น ๏ช[6,15]๏บ ๏บ , dengan elemen terbesar dari y1 yaitu m1 ๏ฝ [6,15] y1 ๏ฝ Cv0 ๏ฝ ๏ช ๏ช[8,10]๏บ ๏ช ๏บ ๏ซ [3,5] ๏ป Menghitung aproksimasi pertama vektor eigen:
๏ฉ [4,9] ๏น ๏ฉ[0.24,0.93]๏น ๏ช ๏บ ๏ช ๏บ 1 1 ๏ช[6,15]๏บ ๏ช [1,1] ๏บ v1 ๏ฝ y1 ๏ฝ ๏ฝ m1 [6,15] ๏ช[8,10]๏บ ๏ช[0.48,1.14]๏บ ๏ช ๏บ ๏ช ๏บ ๏ซ [3,5] ๏ป ๏ซ[0.18,0.54]๏ป 2. Iterasi Kedua
๏ฉ[2.26,10.35]๏น ๏ช[4.14,14.36]๏บ ๏บ ,dengan elemen terbesar dari y 2 yaitu m2 ๏ฝ [4.14,14.36] y 2 ๏ฝ Cv1 ๏ฝ ๏ช ๏ช[6.62,10.77]๏บ ๏ช ๏บ ๏ซ [2.08,6.68] ๏ป
Menghitung aproksimasi kedua vektor eigen: ๏ฉ[2.26,10.35]๏น ๏ฉ[0.15,1.22]๏น ๏ช[4.14,14.36]๏บ ๏ช [1,1] ๏บ 1 1 ๏ช ๏บ๏ฝ๏ช ๏บ v2 ๏ฝ y2 ๏ฝ m2 [4.14,14.36] ๏ช[6.62,10.77]๏บ ๏ช[0.46,1.44]๏บ ๏ช ๏บ ๏ช ๏บ ๏ซ [2.08,6.68] ๏ป ๏ซ[0.14,0.81]๏ป
24
Y. E. PRATIWI, M. KIFTIAH, E. W. RAMADHANI
Dengan cara yang sama diperoleh iterasi ketiga, keempat, kelima, dan keenam vektor eigen matriks interval sebagai berikut:
y3
y4
y5
y6
๏ฉ[1.87,12.24]๏น ๏ฉ[0.11,1.29] ๏น ๏ช [3.9,16.17] ๏บ ๏ช ๏บ ๏บ , m ๏ฝ [3.9,16.17], v ๏ฝ ๏ช [1,1] ๏บ ๏ฝ๏ช 3 ๏ช[6.52,12.08]๏บ 3 ๏ช[0.39,1.46]๏บ ๏ช ๏บ ๏ช ๏บ [1.89,8.18] ๏ซ ๏ป ๏ซ[0.11,0.89]๏ป ๏ฉ[1.66,12.74] ๏น ๏ฉ [0.1,1.34] ๏น ๏ช[3.72,16.33]๏บ ๏ช ๏บ ๏บ , m ๏ฝ [3.72,16.33], v ๏ฝ ๏ช [1,1] ๏บ ๏ฝ๏ช 4 4 ๏ช[6.28,12.19]๏บ ๏ช[0.37,1.47]๏บ ๏ช ๏บ ๏ช ๏บ ๏ซ [1.72,8.45] ๏ป ๏ซ [0.1,0.91] ๏ป ๏ฉ [1.6,12.97] ๏น ๏ฉ [0.1,1.36] ๏น ๏ช[3.67,16.46]๏บ ๏ช ๏บ ๏บ , m ๏ฝ [3.67,16.46], v ๏ฝ ๏ช [1,1] ๏บ ๏ฝ๏ช 5 ๏ช[6.21,12.24] ๏บ 5 ๏ช[0.37,1.47]๏บ ๏ช ๏บ ๏ช ๏บ ๏ซ [1.67,8.56] ๏ป ๏ซ [0.1,0.92] ๏ป ๏ฉ [1.6,13.08] ๏น ๏ฉ [0.1,1.36] ๏น ๏ช[3.67,16.52]๏บ ๏ช ๏บ ๏บ , m ๏ฝ [3.67,16.52], v ๏ฝ ๏ช [1,1] ๏บ ๏ฝ๏ช 6 ๏ช[6.21,12.25] ๏บ 6 ๏ช[0.37,1.47]๏บ ๏ช ๏บ ๏ช ๏บ [1.67,8.61] ๏ซ ๏ป ๏ซ [0.1,0.92] ๏ป
Dari iterasi yang telah dilakukan dapat diketahui bahwa ๐ฏฬ6 konvergen ke ๐ฏฬ5, sehingga iterasi dapat dihentikan. Dengan demikian, diperoleh vektor eigen matriks interval ๐ถฬ adalah [0.1,1.36] [1,1] ๐ฏฬ = [ ] [0.37,1.47] [0.1,0.92] C.
Menentukan nilai eigen matriks interval ๐ถฬ (y ) ๏ฌi ๏ฝ lim k+1 r , dengan r ๏ฝ 1, 2,3, 4 k ๏ฎ๏ฅ ( v ) k r
[1.6,13.08] ๏ฝ [1.18,18.92] [0.1,1.36] [3.67,16.52] ๏ฌ2 ๏ฝ ๏ฝ [3.67,16.52] [1,1] [6.21,12.25] ๏ฌ3 ๏ฝ ๏ฝ [4.28,15.83] [0.37,1.47]
๏ฌ1 ๏ฝ
๏ฌ4 ๏ฝ
[1.67,8.61] ๏ฝ [1.82,18.32] [0.1,0.92]
D. Ditunjukkan bahwa nilai eigen dan vektor eigen yang telah diperoleh memenuhi persamaan [0.1,1.36] [1,1] Untuk ๐ฬ1 = [1.18,18.92] dengan ๐ฏฬ = [ ] memenuhi Cv ๏ป ๏ฌ1v . [0.37,1.47] [0.1,0.92]
Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Interval Menggunakan โฆ.
25
Cv ๏ป ๏ฌ1 v ๏ฉ[3, 4] ๏ช [2,3] ๏๏ช ๏ช[0, 0] ๏ช ๏ซ [1,1] ๏
[1,5] [3, 7] [5, 6] [1, 2]
[0, 0] [1,5] [3, 4] [1, 2]
[3, 4]๏น ๏ฉ [0.1,1.36] ๏น ๏ฉ [0.1,1.36] ๏น ๏ช [1,1] ๏บ [1,1] ๏บ๏บ ๏ช๏ช [1,1] ๏บ๏บ ๏บ ๏ป [1.18,18.92] ๏ช ๏ช[0.37,1.47]๏บ [1.1]๏บ ๏ช[0.37,1.47]๏บ ๏บ๏ช ๏บ ๏ช ๏บ [2, 4] ๏ป ๏ซ [0.1, 0.92] ๏ป ๏ซ [0.1, 0.92] ๏ป ๏ฉ [1.6,13.08] ๏น ๏ฉ[0.12,14.55]๏น ๏ช[3.67,16.52]๏บ ๏ช[1.18,18.92]๏บ ๏ช ๏บ๏ป๏ช ๏บ ๏ช[6.21,12.25] ๏บ ๏ช[0.44,18.05]๏บ ๏ช ๏บ ๏ช ๏บ ๏ซ [1.67,8.61] ๏ป ๏ซ[0.12,10.13]๏ป
Berdasarkan Definisi 11, bahwa diperoleh midpoint dan width dari Cv ๏ป ๏ฌ1v yaitu: 7.3 7.3 10.1 10.1 ๐(๐ถฬ ๐ฏฬ) = [ 9.2 ] , ๐(๐ฬ1 ๐ฏฬ) = [ 9.2 ] 5.1 5.1 11.4 14.4 12.8 17.7 ๐ค(๐ถฬ ๐ฏฬ) = [6.04] , ๐ค(๐ฬ1 ๐ฏฬ) = [ 17.6 ] 6.9 10.01 ฬ ฬ ฬ ฬ Karena ๐(๐ถ ๐ฏฬ) = ๐(๐1 ๐ฏฬ) dan ๐ค(๐ถ ๐ฏฬ) โ ๐ค(๐1 ๐ฏฬ) maka ๏ฌ1 ๏ฝ [1.18,18.92] merupakan nilai eigen matriks [0.1,1.36] [1,1] interval ๐ถฬ dengan ๐ฏฬ = [ ]. Cara yang sama juga dilakukan untuk mengecek ๏ฌ2 , ๏ฌ3 , ๏ฌ4 dengan [0.37,1.47] [0.1,0.92] [0.1,1.36] [1,1] ๐ฏฬ = [ ] memenuhi persamaan Cv ๏ป ๏ฌi v . Sehingga dapat disimpulkan bahwa matriks interval [0.37,1.47] [0.1,0.92] ฬ ๐ถ mempunyai empat nilai eigen yaitu ๐ฬ1 = [1.82,18.92] , ๐ฬ2 = [3.67,16.52] ๐ฬ3 = [4.28,15.83] , ๐ฬ4 = [1.82,18.32] Berdasarkan Definisi 6 dapat disimpulkan bahwa yang menjadi nilai eigen terbesar dari matriks interval [0.1,1.36] [1,1] ๐ถฬ adalah ๐ฬ1 dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut adalah ๐ฏฬ = [ ]. [0.37,1.47] [0.1,0.92] PENUTUP Berdasarkan pembahasan yang telah disampaikan maka dapat disimpulkan bahwa: Metode pangkat dapat digunakan untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen pada matriks interval yang berukuran ๐ ร ๐ dengan operasi yang digunakan adalah operasi aritmetika interval yang dimodifikasi. Adapun langkah-langkah dalam menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks interval dengan metode pangkat yaitu menentukan vektor tak nol dari sebarang matriks interval yang berada di ๐๐ . Menghitung iterasi vektor eigen matriks interval dengan menggunakan formula ๐ฒฬ๐+1 = ๐ดฬ๐ฏฬ๐ untuk selanjutnya menghitung ๐ฏฬ๐+1 = ๐ฒฬ๐+1โ๐ ฬ ๐+1 dengan ๐ = 0,1,2, โฆ , ๐, selanjutnya menghitung nilai eigen matriks
26
Y. E. PRATIWI, M. KIFTIAH, E. W. RAMADHANI (๐ฒฬ๐+1 )๐ ,๐ ๐โโ (๐ฏฬ๐ )๐
interval dengan formula ๐ฬ๐ = lim
= 0,1,2, , โฆ , ๐ dan ๐ = 1,2,3, โฆ , ๐. Kemudian mengecek
nilai eigen dan vektor eigen yang telah diperoleh dengan menggunakan persamaan ๐ดฬ๐ฏฬ โ ๐ฬ๐ ๐ฏฬ. DAFTAR PUSTAKA [1]. Veeramalai, G., 2012. Eigen Values of an Interval Matrix. Volume 02. [2]. Anton, H., 1987. Aljabar Linear Elementer. Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga. [3]. Howart, A. R., 2004. Aljabar Linear Elementer. Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga [4]. Ramon E. Moore, R. B. K. M. J. C., 2009. Introduction to Interval Analysis. Philadelphia: SIAM. [5]. Hansen, E., 1965. Interval Arithmetic With Some Aplication for Digital Computers. California: Lickheed Missiles & Space Company. [6]. Walster, E. H. &. G. W., 2004. Global Optimization Using Interval Analysis. Edisi Kedua. New York: Marcel Dekker. [7]. Kaleyski, N. S., 2014. Eigenvalues of Symmetric Interval Matrices. Halaman. 7. [8]. K.Ganesan, 2007. On Some Properties of Interval Matrices. International Journal of Mathematical, Computational, Physical and Quantum Engineering, Volume 1, Halaman. 25-30. [9]. T. Nirmala, D. D. H. K. K. G., 2011. Inverse Interval Matrix: A New Approach. Applied Mathematical Sciences, Volume 5, Halaman. 609-615. [10]. S.R.K.Iyengar, R., 2009. Numerical Methods. Edisi Kedua. India: New Age. YUYUN EKA PRATIWI : FMIPA Untan, Pontianak,
[email protected] MARIATUL KIFTIAH : FMIPA Untan, Pontianak,
[email protected] EKA WULAN RAMADHANI : FMIPA Untan, Pontianak,
[email protected]