NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL
NISA RACHMANI G54103051
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
ABSTRACT NISA RACHMANI. Eigenvalues and Eigenvectors of Tridiagonal Matrix. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED. Let A be a n × n matrix. The scalar λ is called an eigenvalue of A if there is a nonzero vector x in R n so that Ax = λ x . Vector x is said to be an eigenvector of A corresponding to the eigenvalue λ . A tridiagonal matrix is a matrix which has zero elements except the elements at the main diagonal, the elements at the first diagonal below the main diagonal (subdiagonal) and the elements at the first diagonal above the main diagonal (superdiagonal). In this paper, all the entries on the subdiagonal and superdiagonal are different, while all the entries on the main diagonal are the same and denoted by b, except at the first and last columns. The entry at the first column and at the first row is −α + b, while the entry at the last column and at the last row is − β + b. All entries in this tridiagonal matrix are complex numbers. In this paper, several cases of tridiagonal matrices are discussed, and for each case, it’s eigenvalues and eigenvectors will be discussed in a theorem.
ABSTRAK NISA RACHMANI. Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI MAS’OED. Misalkan A adalah suatu matriks n × n . Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x , sehingga Ax = λ x . Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen λ . Matriks tridiagonal adalah suatu matriks yang mempunyai entri-entri bernilai nol kecuali pada diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama (superdiagonal). Dalam karya ilmiah ini, setiap entri pada subdiagonal dan superdiagonal adalah berbeda, sedangkan entri-entri pada diagonal utama adalah sama, dinotasikan dengan b, kecuali pada kolom pertama dan kolom terakhir. Entri pada kolom pertama baris pertama yaitu −α + b, sedangkan entri pada kolom terakhir baris terakhir yaitu − β + b. Setiap entri pada matriks tridiagonal adalah bilangan kompleks. Dalam karya ilmiah ini, matriks tridiagonal tesebut diuraikan dalam beberapa kasus, dan dalam setiap kasus, nilai eigen dan vektor eigennya akan dibahas dalam suatu teorema.
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh: NISA RACHMANI G54103051
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Judul : Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal Nama : Nisa Rachmani NIM : G54103051
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si.
Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si.
NIP. 131 779 501
NIP. 132 232 006
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 22 Mei 1985 dari pasangan Dolah Abdurachman dan Yoyoh Huriah. Penulis merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara. Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 28 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru). Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif dalam kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Badan Eksekutif Mahasiswa maupun oleh GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2004/2005.
KATA PENGANTAR Puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan kepada umatnya hingga akhir jaman. Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada program studi Matematika. Penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, pengarahan, semangat, dan saran sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. 2. Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang telah diberikan. 3. Ibu Dra.Farida Hanum, M.Si selaku Penguji yang telah memberikan saran dan masukannya. 4. Keluarga di rumah (Mama, Bapak, suamiku tercinta Ijal, anakku tersayang Boni dan kakakku mbak Ia) terima kasih atas doa, cinta, semangat, dan kasih sayangnya. 5. Keluarga kakakku di apartemen (Aa, mbak Tanti, dan keponakanku yang lucu Darryl) terima kasih atas doa, cinta, semangat, dan kasih sayangnya. 6. Dosen-dosen atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis, serta staff departemen matematika (bu Ade, bu Marisi, bu Susi, mas Yono, mas Bono, mas Deni, dll) terima kasih atas bantuannya selama di Departemen Matematika. 7. Sahabat-sahabat: Iwit, Ifni, Jaja, Metha, Vina, Gatha, Amie, Gandronk, Mika, Icha, Achie, Muchie, Om Rama, Bedu, Azis, Rusli, Manto, Sri, Elis, Mita, Uly, Kafi, Ari, Ali, Mayang, Herni, Walidah, Sawa, Dimas, Fee, Jayu, Abay, Marlin, Nchie, Putra, Uve, Berry, Prima, Yuda, Dwi Puspa, Aam, Lili, Anton, Ucup, Demi, dan Komeng, terima kasih atas doa, semangat dan kebersamaannya selama ini. 8. Teman-teman: Tities, Kuren, Tia, Echie, Fitri, dan math 41 lainnya, terima kasih atas doa, semangat dan bantuannya selama ini. 9. Kak Sugeng 38, Ria, dan Rita, selaku pembahas, terima kasih atas bantuannya. 10. Teman-teman Wisma Ungu (Maryam, Rani, mbak Uphi, mbak Nesa, Salin, dll), terima kasih atas doa, semangat dan kebersamaannya selama ini. 11. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membaca.
Bogor, Agustus 2008
Nisa Rachmani
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................. I
ix
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ............................................................................................................... 1.2 Tujuan ............................................................................................................................
1 1
II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks .......................................................................................................................... 2.2 Determinan dan Sifat-sifatnya ........................................................................................ 2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ........................................................................................ 2.4 Ruang Vektor dan Kebebasan Linear ............................................................................. 2.5 Bilangan Kompleks ........................................................................................................ 2.6 Grup, Ring, dan Lapangan .............................................................................................. 2.7 Trigonometri ................................................................................................................... 2.8 Fungsi, Pemetaan Identitas, dan Pemetaan Injektif ........................................................ 2.9 Matriks Blok (Partisi Matriks) ........................................................................................
1 2 2 2 3 3 4 4 4
III PEMBAHASAN 3.1 Matriks Tridiagonal ........................................................................................................ 5 3.2 Kasus d1d 2 ≠ 0 ............................................................................................................... 7 3.2.1 Kasus n ganjil ....................................................................................................... 12 3.2.2 Kasus n genap ...................................................................................................... 15 3.3 Kasus d1d 2 = 0 ............................................................................................................... 17 IV KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................................................. 19 V DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................................... 19 LAMPIRAN .............................................................................................................................. 21
viii
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Bukti Teorema 1 ..................................................................................................................... 21 2 Bukti Teorema 4 ..................................................................................................................... 28 3 Bukti Teorema 5 ..................................................................................................................... 32 4 Bukti Teorema 6 ..................................................................................................................... 41 5 Bukti Teorema 7 ..................................................................................................................... 49 6 Bukti Teorema 8 ..................................................................................................................... 52 7 Bukti Proposisi 10 .................................................................................................................. 55
ix
1
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Kata vektor eigen adalah campuran dari bahasa Jerman dan bahasa Inggris. Dalam bahasa Jerman, eigen dapat diterjemahkan sebagai ‘sebenarnya’ atau ‘karakteristik’; oleh karena itu, nilai eigen dapat dinamakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik. Dalam aljabar linear, jika ada persamaan Ax = λ x dengan A adalah suatu matriks dan persamaan tersebut mempunyai penyelesaian taknol x, maka λ disebut sebagai nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang berpadanan dengan λ . Dalam karya ilmiah ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal yang berukuran n × n. Matriks tridiagonal adalah matriks yang mempunyai entri yang bernilai nol pada selain diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama (superdiagonal). Selain itu, entri pada matriks tridiagonal adalah bilangan kompleks karena bilangan kompleks adalah bentuk umum dari bilangan yang lain termasuk bilangan real. Lagipula
nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal yang mencakup bilangan real telah dibahas di buku Matrix Theory oleh Zhang. Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dibutuhkan polinomial karakteristik, sehingga dalam karya ilmiah ini terlebih dahulu akan dibahas polinomial karakteristik dari suatu matriks tridiagonal. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi tulisan Said Kouachi (2006) yang berjudul Eigenvalues and Eigenvectors of Tridiagonal Matrices. Sebelumnya Said Kouachi telah membuat suatu tulisan yang berjudul Eigenvalues and Eigenvectors of Tridiagonal Matrices with Nonequal Diagonal Entries yang menjadi salah satu acuan dari karya ilmiah ini dan persamaan yang telah dibuktikan di tulisan tersebut tidak dijabarkan di karya ilmiah ini. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal untuk beberapa kasus.
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 1 (Matriks) Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. [Anton, 1998] Definisi 2 (Matriks kuadrat berorde n ) Sebuah matriks A dengan n baris dan n kolom dinamakan matriks kuadrat berorde n, dan entri-entri a11 , a22 ,..., ann dikatakan berada pada diagonal utama dari A (lihat (2.1)). a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ a a22 a2 n ⎟ (2.1) A = ⎜ 21 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ann ⎠ ⎝ an1 an 2 [Anton, 1998]
Definisi 3 (Matriks Tridiagonal) Suatu matriks tridiagonal yang berukuran n × n , dinotasikan sebagai Tn , adalah matriks dengan entri-entri tij = 0 jika i − j > 1 (lihat (2.2)). ⎛a b ⎜ ⎜c a ⎜ c Tn = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝0
b a
b c
a c
0⎞ ⎟ ⎟ ⎟ (2.2) ⎟. ⎟ b⎟ ⎟ a ⎟⎠ [Zhang,1999]
Definisi 4 Entri-entri tepat di bawah diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut subdiagonal dan entri-entri tepat di atas diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut superdiagonal. [Kouachi, 2006]
