NILAI EIGEN DAN FUNGSI EIGEN DARI OPERATOR MOMENTUM SUDUT A. Sifat Dasar Momentum Sudut L rxp
(8.1)
L
r
L
Gambar 8.1 Definisi klasik momentum angular Arah L mengikuti aturan putaran skrup kanan
B. Komponen-Komponen Momentum Orbital dalam Kerangka Koordinat Cartesian r
p
iˆ p x
iˆx
ˆjy
ˆj p y
kˆz
(8.2)
kˆ p z
(8.3)
Dengan cara yang sama komponen-komponen momentum angular dapat dituliskan
L l
L
( ypz
iˆ Lx r xp
kˆ Lz
ˆj Ly iˆ x px
ˆj y py
zp y )iˆ ( zp x
(8.4)
kˆ z pz
xp z ) ˆj ( xp y
(8.5)
yp x )kˆ
(8.6)
Dengan demikian berdasarkan pers (8.4) dan pers. (8.5) dapat kita identifikasi bahwa komponen-komponen momentum sudut adalah sebagai berikut : Lx = y pz – z py
(8.7) 115
Ly = z px – x pz
(8.8)
Lz = x py – y px
(8.9)
y
p
py
Px y
x x Gambar 8.2 Momen dari momentum terhadap pusat sumbu koordinat Lz = x p y – y p x
Anda telah pelajari dalam modul pengantar fisika kuantum bahwa setiap besaran yang bisa diamati dan diukur (observable) dapat dikaitkan dengan operatornya. Coba anda ingat lagi konsep postulat kuantisasi.
Tabel 8.1 Besaran dinamis dan operatornya Besaran Dinamis Posisi X, Y, Z
Operator Xˆ , Yˆ , Zˆ
Momentum linear Px
Pˆx = i
Py
x
Pˆy = i y
Pz
Pˆz =
Momentum sudut Lx , L y ,
Lˆ X , LˆY , Lˆ Z
i
z
Lz
Dengan demikian maka momentum angular dapat diungkapkan sebagai berikut: 116
Lˆ X
yˆpˆ z
zˆpˆ y
i y
Lˆ y
zˆpˆ x
xˆpˆ z
i z
Lˆ z
xˆpˆ y
yˆpˆ x
i x
z
z
x
x
y
y
(8.10)
y
(8.11)
z
(8.12)
x
Operator momentum linearnya Pˆ bila kita perluas ke dalam ruang tiga dimensi dapat dituliskan seperti :
Pˆ Pˆ
Dengan
( Pˆx , Pˆy , Pˆz )
i
x
,
y
,
z
i
(8.13)
adalah operator nabla atau operator Laplace.
Persamaan
(8.10), (8.11), (8.13) berdasarkan persamaan (8.13) dapat dituliskan sebagai: Lˆ i r (8.14) C. Relasi Komutasi Aˆ , Bˆ = Aˆ Bˆ - Bˆ Aˆ
(8.15)
Anda juga sudah mempelajari komutator antara operator posisi dan momentum ialah
Xˆ i , Pˆj = + i
(8.16)
ij
Sekarang kita gunakan apa yang sudah kita pelajari untuk menghitung komutator antara operator momentum angular. Komutator antara operator Lˆ X dan LˆY ialah:
Lˆxˆ, Lˆ y = Lˆ X LˆY - LˆY Lˆ X = YˆPˆzˆ
ZˆPˆy
ZˆPˆx
XˆPˆz - ZˆPˆx
XˆPˆz
YˆPˆz
ZˆPˆy
= YˆPˆz ZˆPˆx - YˆPˆz Xˆ Pˆz - ZˆPˆy ZˆPˆx + ZˆPˆy XˆPˆz - ZˆPˆxYˆPˆz + ZPˆx ZˆPˆy + XˆPˆzYˆPˆz - XˆPˆz ZˆPˆy = YˆPˆz ZˆPˆx
ZˆPˆy XˆPˆz
ZˆPˆxYˆPˆz + ZˆPˆx ZˆPˆy
ZˆPˆy ZˆPˆx + XˆPˆzYˆPˆz YˆPˆz XˆPˆz +
XˆPz ZˆPˆy 117
+ ZˆPˆ , XˆPˆ = YˆPˆz , ZˆPˆx + ZˆPˆx , ZˆPˆy + XˆPˆz , YˆP z y z
= Yˆ Pˆz , Zˆ Pˆx + Zˆ , Zˆ Pˆx , Pˆy + XˆYˆ Pˆz , Pˆz + XˆPˆy Zˆ , Pˆz = - i YˆPˆx + 0 + 0 + i XˆPˆY = i YˆPˆX
XˆPˆy
= i XˆPˆy YˆPˆx = iLˆ2 :
Lˆ y , Lˆ z
i Lˆ x
(8.17)
Lˆ z , Lˆ x
i Lˆ y
(8.18)
Lˆ x , Lˆ y
i Lˆ z
(8.19)
Latihan : 1. Buktikanlah ketiga relasi tersebut. Relasi komutator tersebut dapat digabungkan ke dalam satu persamaan vektor tuggal sebagai berikut : L x L i L
(8.20)
Relasi komutator di atas merupakan relasi yang mendasar di antara komponen-komponen dari setiap vektor momentum angular. Persamaan tersebut menyatakan bahwa rotasi-rotasi yang berturutan dari kerangka koordinat tertentu dalam dua arah yang berbeda bukan merupakan operasi yang komut. Besar dari vektor momentum angular adalah akar dari momentum angular total yaitu :
L
L2
(8.21)
L. L
Operator momentum angular total adalah operator vektor L iˆLˆ ˆjLˆ kˆLˆ x
y
z
(8.22)
dari persamaan (8.22) dapat kita tentukan bahwa :
Lˆ2 Lˆ . Lˆ Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z
(8.23) 118
Operator Lˆ2 berkomutasi atau komut dengan setiap komponen dari operator vektor momentum angular. Hal itu berarti operator-operator tersebut mempunyai fungsi eigen-fungsi eigen yang simultan. Untuk itu mari kita buktikan pernyataan tersebut yaitu dengan menghitung komutator Lˆ2z dan Lˆ2 sebagai berikut : Lˆ2z , Lˆ2
Lˆ2z , Lˆ2x
Lˆ2y
Lˆ2z
Lˆ2z , Lˆ2x
Lˆ2z , Lˆ2y
Lˆ2z , Lˆ2z
Lˆ2z , Lˆ2x
Lˆ2z , Lˆ2y
0
Lˆ z , Lˆ x . Lˆ x Lˆ x Lˆ z , Lˆ x i Lˆ x Lˆ y
Lˆ z , Lˆ y . Lˆ y Lˆ z , Lˆ x Lˆ x i Lˆ y Lˆ x
Lˆ y Lˆ z , Lˆ y
i Lˆ y Lˆ x
Lˆ z , Lˆ y Lˆ y
i Lˆ x Lˆ y
0
Dengan cara yang sama dapat kita buktikan bahwa
Lˆ x , Lˆ2 Lˆ , Lˆ2
Lˆ y , Lˆ2
0
atau
0
Sifat lainnya dari operator momentum angular adalah bahwa operator Lˆ2 dan Lˆ juga komponen-komponennya bersifat hermitian.
Contoh : Tunjukkanlah bahwa operator Lˆ x bersifat hermitian. Jawab : Bila Lˆ x bersifat hermitian harus dipenuhi bahwa : Lˆ x Lˆ x
119
Lˆ
yp z
x
zp y
pˆ z yˆ i
yˆ
i
yˆ
z i
i
z
zp y
pˆ y zˆ
z
i
yp z
i
y
yˆ
z
yˆ
zˆ
y
i
y
i
zˆ y
zˆ
zˆ
pˆ z yˆ pˆ y zˆ yˆ pˆ z
zˆpˆ y
Lˆ x
Jadi diperoleh Lˆ
x
Lˆ x yang berarti operator Lˆ x adalah Hermitian.
2. Tunjukkan bahwa operator-operator momentum angular berikut bersifat Hermitian. a. Lˆ 2 b. Lˆ c. Lˆ x d. Lˆ y D. Operator-Operator Shift Operator Shift didefinisikan sebagai berikut :
Operator Lˆ
Lˆ
Lˆ
Lˆ x
iLˆ y
(8.24)
Lˆ
Lˆ x
iLˆ y
(8.25)
dinamakan operator penaik (rasing operator) dan operator
dinamakan operator penurun (lowering operator). Apa yang akan dinaikkan
atau diturunkan oleh kedua operator tersebut? Nanti kita akan pelajari bahwa sifat kedua operator ini serupa dengan operator kreasi dan operator anihilasi. Kedua operator Lˆ
dan Lˆ
tak bersifat Hermitian tapi satu sama lain merupakan
adjointnya. Contoh : Buktikan bahwa operator Lˆ
dan Lˆ
tidak Hermitian.
Bukti :
120
Lˆ
Lˆ x iLˆ y Lˆ x
iLˆ y
Lˆ x
i Ly
Lˆ x iL y
Lˆ
Lˆ tapi Lˆ Lˆ
Jadi operator
Lˆ
(8.26)
tak Hermitian
Lˆ
Lˆ x iLˆ y Lˆ x
iLˆ y
Lˆ x
i Ly
Lˆ x iL y Lˆ Lˆ
Jadi operator
Lˆ tapi Lˆ
Lˆ
(8.27)
tak Hermitian
Dengan demikian operator
Lˆ
dan Lˆ
tak bersifat Hermitian tapi satu sama
lain merupakan adjointnya. Sekarang mari kita hitung komutator antara operator shift dengan operator momentum sudut orbital dan juga dengan komponen-komponennya yaitu :
Lˆ z , Lˆ
,
Lˆ z , Lˆ
,
Lˆ z , Lˆ
Lˆ2 , Lˆ
Lˆ x , Lˆ
,
dan yang lainnya.
Lˆ z , Lˆ x iLˆ y Lˆ z , Lˆ x
i Lˆ z , Lˆ y
(menggunakan sifat komutator)
iLˆ y Lˆ x ( Lˆ x
Lˆ y )
Lˆ
jadi komutator antara Lˆ z dan Lˆ
(8.28) menghasilkan Lˆ
121
Lˆ z , Lˆ
Lˆ z , Lˆ x iLˆ y Lˆ z , Lˆ x
i Lˆ z , Lˆ y
(menggunakan sifat komutator)
iLˆ y Lˆ x ( Lˆ x
(8.29)
Lˆ y )
Lˆ
jadi komutator antara Lˆ z dan Lˆ
Lˆ2 , Lˆ
2 2 Lˆ x , Lˆ y
2 Lˆ z , Lˆ x iLˆ y
2 Lˆ x , Lˆ x
2 i Lˆ z , Lˆ y
0 iLˆ x Lˆ x , Lˆ y Lˆ z Lˆ z , Lˆ x
Lˆ
menghasilkan
2 Lˆ y , Lˆ x
2 i Lˆ y , Lˆ y
i Lˆ x , Lˆ y Lˆ x Lˆ y Lˆ y , Lˆ x
Lˆ z , Lˆ x Lˆ z iLˆ z Lˆ z , Lˆ y
.
2 Lˆ z , Lˆ x
2 i Lˆ z , Lˆ y
Lˆ y , Lˆ x Lˆ y 0
i Lˆ z , Lˆ y Lˆ z
Lˆ x Lˆ z Lˆ z Lˆ x iLˆ y Lˆ z iLˆ z Lˆ y Lˆ z Lˆ y iLˆ y Lˆ z Lˆ z Lˆ x Lˆ x Lˆ z Lˆ2 , Lˆ
jadi komutator antara Lˆ2 Lˆ
0
dan Lˆ
(8.30)
menghasilkan nol atau operator
Lˆ2
dan
komut Lˆ x , Lˆ
Lˆ x , Lˆ x iLˆ y Lˆ x , Lˆ x
.
i Lˆ x , Lˆ y
(menggunakan sifat komutator)
0 i (iLˆ z ) Lˆ z
jadi komutator antara Lˆ x dan Lˆ
(8.31) menghasilkan
Lˆ z
Latihan : 3. Coba anda buktikan relasi komutator berikut : a.
Lˆ2 , Lˆ
0
b. Lˆ2 , Lˆ z
0
c. Lˆ z , Lˆ
2Lˆ z
4. Hitunglah komutator dari a.
Lˆx , Lˆ 122
b. Lˆ y , Lˆ c. Lˆ y , Lˆ
Selanjutnya marilah kita pelajari lebih jauh bagaimanakah relasi antara operator Lˆ2 , Operator shift dan komponen-komponen vektor operator momentum angular orbital. Untuk itu kita kalikan Lˆ dan Lˆ sebagai berikut : Lˆ Lˆ
( Lˆ x
iLˆ y ) ( Lˆ x
Lˆ Lˆ
2 Lˆ x
2 Lˆ y i[ L x , L x ]
Lˆ Lˆ
2 Lˆ x
Lˆ Lˆ
Lˆ z
Lˆ Lˆ
Lˆ z
iLˆ y )
2 Lˆ y Lˆ z 2 Lˆ x
2 Lˆ z
2 Lˆ y
2 2 Lˆ x Lˆ y
2 Lˆ z Lˆ2
(8.32)
maka operator Lˆ2 dinyatakan dengan operator lainnya adalah
Lˆ2 Lˆ Lˆ
2 Lˆz Lˆz
(8.33)
bila operator perkaliannya dibalik maka akan diperoleh ungkapan yang berbedabeda sebagai berikut : Lˆ Lˆ
( Lˆ x iLˆ y ) ( Lˆ x
Lˆ Lˆ
2 2 Lˆ x Lˆ y Lˆ z
Lˆ Lˆ
2 Lˆ z Lˆ z
iLˆ y )
(8.34)
2 2 2 Lˆ x Lˆ y Lˆ z Lˆ2
atau
Lˆ2
Lˆ Lˆ
2 Lˆz Lˆz
jadi dengan demikian hubungan antara
Lˆ2
(8.35) dan operator lainnya dapat
diungkapkan sebagi berikut :
Lˆ2
2 Lˆ Lˆ Lˆz Lˆz
(8.36)
operator Lˆ2 bisa juga diungkapkan dengan bentuk lain yaitu kita jumlahkan
Lˆ Lˆ dengan Lˆ Lˆ
123
Lˆ Lˆ 1 ˆ ˆ (L L 2
Lˆ Lˆ
2 2 Lˆ x Lˆ y Lˆ z
Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ
2 2 Lˆ x Lˆ y Lˆ z 2 2 2( Lˆx Lˆ y )
2 Lˆ Lˆ ) Lˆ z
2 2 2 Lˆ x Lˆ y Lˆ z Lˆ2
sehingga diperoleh:
Lˆ2
1 ˆ ˆ (L L 2
2 Lˆ Lˆ ) Lˆz
(8.37)
E. Nilai Eigen dari Operator Momentum Angular Setelah anda memahami sifat-sifat dasar momentum sudut orbital, maka pada bagian ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan nilai eigen dari momenmtum angular. Nilai eigen relevan terhadap dua jenis momentum angular yaitu orbital dan spin. Pada bagian ini kita akan menggunakan momentum angular umum yang diberi notasi J selain L yang menyatakan momentum angular orbital dan s untuk spin. Operator Jˆ dapat menyatakan Lˆ dan sˆ atau juga menyatakan gabungan keduanya
Lˆ sˆ . Momentum angular umum dinyatakan dalam
komponennya adalah sebagi berikut : J i Jx
j Jy
k Jz
(8.38)
relasi komutasi antar komponen-komponennya adalah :
[ Jˆ x , Jˆ y ] iJˆ z
(8.39)
[ Jˆ y , Jˆ z ] iJˆ x
(8.40)
[ Jˆ z , Jˆ x ] iJˆ y
(8.41)
momentum angular umum total dinotasikan dengan Jˆ 2 . Operator Jˆ 2 ini komut dengan setiap komponen dari Jˆ yaitu :
[ Jˆ x , Jˆ 2 ] [ Jˆ y , Jˆ 2 ] [ Jˆ z , Jˆ 2 ] 0
(8.42)
Demikian pula pernyataan untuk operator shift dengan menggunakan momentum angular umum diubah menjadi operator ladder (Operator tangga) yaitu
Jˆ
Jˆx iJˆ y
(8.43) 124
Jˆ
Jˆ x iJˆ y
(8.44)
Relasi komutasinya : [ Jˆ z , Jˆ ]
Jˆ
(8.45)
[ Jˆ 2 , Jˆ z ] 0
(8.46)
sedangkan hubungan antar operator momentum sudut orbital umum dengan operator lainnya diungkapkan sebagai berikut :
Jˆ 2
2 Jˆ Jˆ Jˆz Jˆz
(8.47)
dan
1 ˆ ˆ Jˆ 2 (J J 2
2 Jˆ Jˆ ) Jˆ z
(8.48) Jˆ 2 , Jˆ z , Jˆ
Dengan menggunakan relasi antara operator
dan Jˆ kita akan
menentukan nilai eigen dari operator Jˆ z dan Jˆ 2 . Persamaan nilai eigen untuk operator Jˆ z ditulis :
Jˆz Dengan
m
m
m
(8.49)
m
adalah fungsi eigen dari operator Jˆ z dengan nilai m . Kita akan
mempelajari batasan-batasan harga m pada persamaan nilai eigen tersebut. Dalam modul Fisika Modern dan modul Pengantar Fisika Kuantum disebutkan bahwa m berupa kelipatan ganjil dari setengan atau integer.
m
0 ,
1 3 5 , 1 , , 2 , , 3 , ......, 2 2 2
untuk itu mari kita tinjau relasi komutasi berikut : [ Jˆ z , Jˆ ] Jˆ
kalikan kedua ruas dengan
maka
m
[ Jˆ z , Jˆ ] ( Jˆ z Jˆ
m
Jˆ
Jˆ Jˆ z )
m
m
Jˆ
m
Jˆ z Jˆ
m
Jˆ
m
Jˆ Jˆ z
Jˆ z Jˆ
m
Jˆ
m
Jˆ m ) m
m
125
Jˆ z Jˆ
(m 1) Jˆ
m
Persamaan (8.50) menyatakan bahwa Jˆ
(8.50)
m
adalah juga operator dari Jˆ z dengan
m
nilai eigen (m 1) dan diungkapkan oleh Jˆ kedua ruas persamaan (8.50) dengan Jˆ [ Jˆ z , Jˆ ]Jˆ
kemudian kalikan dengan
m
m 1
. Selanjutnya kita kalikan
dari kanan
Jˆ Jˆ
m
[ Jˆ z , Jˆ ]Jˆ m Jˆ Jˆ m ( Jˆ z Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ z Jˆ ) m Jˆ Jˆ Jˆ z Jˆ Jˆ m Jˆ Jˆ m Jˆ Jˆ z Jˆ
(8.51)
m m
Substitusikan persamaan (8.50) ke dalam pers.(8.51) :
Jˆz Jˆ Jˆ Jˆz Jˆ Jˆ
Jˆ Jˆ
m
m
Jˆ (m 1) Jˆ
m
(m 2) Jˆ Jˆ
(8.52) (8.53)
m
Persamaan (8.53) tersebut menyatakan bahwa Jˆz Jˆ Jˆ dari operator Jˆ
m
m
adalah juga fungsi eigen
dengan nilai eigen (m 2) dan diungkapkan oleh:
Jˆ ( Jˆ
m
) Jˆ
m 1
(8.54)
m 2
Dengan menggunakan cara yang sama seperti diuraikan diatas dapat dibuktikan bahwa : Jˆ z Jˆ Jˆ Jˆ
m
atau 3 Jˆ J
(m 3) Jˆ
z
(m 3) Jˆ z Jˆ Jˆ Jˆ
m
(8.55) m
3 m
berikutnya kita tinjau relasi komutasi berikut: [ Jˆ z , Jˆ ]
Jˆ
kalikan kedua ruas masing-masing dengan
[ Jˆ z Jˆ ] m Jˆ ( Jˆ z Jˆ Jˆ Jˆ z ) m Jˆ z Jˆ m Jˆ Jˆ z Jˆ
m
m
dari kanan
m
m
Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ m
m z
m m
126
(m 1) Jˆ Pers. (8.56) menyatakan bahwa Jˆ
m
(8.56)
m
adalah juga fungsi eigen dari operator Jˆ z
dengan nilai eigen (m 1) dan diungkapkan oleh Jˆ kalikan kedua ruas pers.(8.56) dengan Jˆ
[ Jˆ z Jˆ ( Jˆ Jˆ
] Jˆ Jˆ
z
Jˆ z Jˆ Jˆ
dan
Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ z Jˆ ) m Jˆ Jˆ Jˆ
m
z
m 1
. Sekarang kita
dari sebelah kanan
m
m
m
m
m
Jˆ Jˆ Jˆ Jˆ
(8.57)
m m
Substitusikan pers.(8.56) ke dalam persamaan di atas Jˆ z Jˆ Jˆ Jˆ z
Jˆ Jˆ
Jˆ (m 1) Jˆ (m 2) Jˆ Jˆ
m m
Persamaan (8.58) menyatakan bahwa Jˆ Jˆ
Jˆ Jˆ
m
m
(8.58)
m
adalah juga fungsi eigen dari
m
operator Jˆ z dengan nilai eigen (m 2) dan diungkapkan sebagai berikut:
Jˆ ( Jˆ
m
) Jˆ
m 1
(8.59)
m 2
Dengan menggunakan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa :
Jˆz Jˆ Jˆ Jˆ
Jˆz Jˆ
m
3 m
(m 3) Jˆ
3 m
(8.60)
demikian seterusnya hingga secara umum dapat dituliskan sebagai berikut :
Jˆz Jˆ
n
Jˆ
n
m
(m n)
m
(8.61)
dan m
m n
(8.62)
Berdasarkan apa yang sudah kita pelajari di atas, sekarang kita sudah memperoleh generasi fungsi eigen dari operator Jˆ z yang berasal dari fungsi eigen tunggal
m
(...
yaitu : m 2
,
m 1
,
m
,
m 1
,
m 2
,
m 3
, ...)
Anda sudah mempelajari generasi fungsi eigen dan nilai eigen dari operator Jˆ z . Sekarang kita akan bahas kasus yang sama untuk operator momentum sudut orbital total umum Jˆ 2 . Sebelumnya sudah kita tunjukkan bahwa Jˆ z berkomutasi 127
Jˆ 2 .atau [ Jˆ z Jˆ 2 ] 0 , dengan demikian operator-operator tersebut
dengan
mempunyai fungsi eigen umum. Misalkan dari Jˆ 2
adalah sembarang fungsi eigen
m
dengan nilai eigen 2 k 2 . Maka persamaan nilai eigennya dapat
diungkapkan sebagai berikut:
Jˆ 2
2k 2
m
(8.63)
m
Tinjau kembali pers. (8.30) dan nyatakan dengan momentum angular orbital umum: [ Jˆ 2 , Jˆ ] 0 ,
Kalikan kedua ruas persamaan itu dengan
[ Jˆ 2 Jˆ ] Jˆ 2 Jˆ Jˆ 2 Jˆ
m
m
0 Jˆ Jˆ 2
m
m
Jˆ Jˆ 2
m
m
(8.64)
0
substitusikan persamaan (8.63) pada pers.(8.64) maka diperoleh
Jˆ 2 Jˆ
m
Jˆ 2k 2
2k 2 Jˆ
m
persamaan (8.65) tersebut menyatakan bahwa Jˆ
m
(8.65)
m
adalah juga fungsi eigen
dari operator Jˆ 2 dengan nilai eigen yang sama 2 k 2 . Diungkapkan oleh :
Jˆ
m
(8.66)
m 1
Selanjutnya kita kalikan persamaaan (8.64) dengan Jˆ
[ Jˆ 2 Jˆ ]Jˆ Jˆ 2 Jˆ Jˆ Jˆ 2 Jˆ Jˆ
m
0 Jˆ Jˆ 2 Jˆ
m
m
Jˆ Jˆ 2 Jˆ
m
m
dan
m
dari kanan
0
substitusi pers. (8.65) ke dalam persamaan di atas maka Jˆ 2 Jˆ Jˆ Jˆ 2 Jˆ Jˆ
m m
Jˆ 2 k 2 Jˆ 2 k 2 Jˆ Jˆ
Persamaan (8.67) menyatakan bahwa Jˆ Jˆ
m
(8.67)
m
m
adalah juga fungsi eigen dari
operator Jˆ 2 dengan nilai eigen yang sama 2 k 2 . Berdasarkan apa yang sudah 128
kita pelajari dapat disimpulkan bahwa seluruh fungsi eigen dari operator Jˆ 2 berkaitan dengan nilai eigen yang sama yaitu 2 k 2 . Pertanyaan kita adalah ada berapa banyak fungsi eigen tersebut?. Untuk menjawab permasalahan tersebut mari kita hitung harga rata-rata dari Jˆ 2 .
Jˆ 2
Jˆ 2
m
m
2 2 2 Jˆ x Jˆ y Jˆ z
2k 2
m
m
2 Jˆ x
m
Jˆ x
2
m
Jˆ x
2
m
m
2k 2
m
m 2
k karena besar
m
2
2 Jˆx
m
m
2 Jˆx
m
0
m
2 Jˆ y
m
0
maka 2 k 2
m
m m m
dan
m
2 Jˆ y
m
m
Jˆ y
2 m
m
Jˆ y
2
2 Jˆ y
m
m
m
2 Jˆ z
m 2 2
m m
m
2 2
m
m
selalu positif atau nol
m2 2 atau
k
(8.68)
m
jadi untuk suatu harga k > o maka harga yang mungkin untuk m dalam urutan persamaan (8.) berada di antara +k dan –k. jika mmax adalah harga maksimum dari m, dapat diasumsikan untuk suatu besaran momentum angular ħk maka
Jˆ
max
0
(8.69)
Jˆ
m in
0
(8.70)
dengan cara yang sama
Sekarang kita tinjau persamaan:
Jˆ 2 Jˆ Jˆ kalikan kedua ruas masing-masing dengan
Jˆ 2
mmax
Jˆ Jˆ
mmax
2 Jˆz
Jˆz
mm a x
2 Jˆz
mmax
Jˆz
mmax
Berdasarkan pers. (8.49) dan pers. (8.63) maka persamaan di atas menjadi: 2k 2
2k 2
m ax
0 mm2 ax 2
m ax
2 mm ax (mm ax 1)
mm ax 2
m ax
(8.71) 129
Cara yang sama kita lakukan dengan menggunakan persamaan :
Jˆ 2 Jˆ Jˆ
2 Jˆz Jˆz
kalikan kedua ruas masing-masing dengan
Jˆ 2 2
k
min 2
2k 2
Jˆ Jˆ
2 Jˆ z
min 2
2 min
0 m
min
min
Jˆ z
min
2
mmin
(8.72)
2 mmin (mmin 1)
dengan demikian peluang harga m untuk suatu harga J 2
2k 2 membentuk
urutan yang simetris berpusat di m=0 sesuai gambar 8.3. Dari pers. (8.71) dan pers. (8.72), diperoleh : mm ax (mm ax 1)
mm in (mm in 1)
persamaan tersebut dipenuhi jika mm ax
mm in misalkan mm ax
(8.73) j harga-harga j
dapat berupa suatu integer (0, 1, 2, 3, 4, 5 …) atau setengah kali bilangan ganjil
1 3 5 7 ( , , , , ... ). Dengan demikian jika j adalah suatu integer maka m juga integer 2 2 2 2 dan jika j adalah
1 1 kali bilangan ganjil maka m juga kali bilangan ganjil. 2 2
Contoh : Bila j = 1 maka harga m adalah -1, 0, 1. Bila j = 2 maka harga m adalah -2, -1, 0, 1, 2. Bila j = Bila j =
1 2 3 2
maka harga m adalah maka harga m adalah
1 2
, 12 .
3 2
,
1 2
, 12 , 32 .
130
+k mmax mmax-1 Harga yang berturutan dari m
m=0
mmax+1 mmin
Gambar 8.3 Peluang harga m untuk harga J
2
2k 2
Dalam kasus j = mmax = mmin dan kita substitusikan ke dalam pers. (8.71) maka kita akan memperoleh nilai eigen-nilai eigen dari operator Jˆ 2 yaitu J2
2 k 2 2 j ( j 1)
(8.73)
F. Fungsi Eigen dari Operator Momentum Angular Orbital Lˆ2 dan Lˆ z 1. Harmonik Bola (Spherical Harmonics) Pada bagian sebelumnya anda sudah mempelajari bagaimana menentukan nilai eigen dari suatu operator momentum angular orbital. Pada bagian ini anda akan mempelajari tentang bagaimana menentukan fungsi eigen dari operator momentum angular orbital. Pada bagian ini anda akan
mempelajari tentang
bagaimana menentukan fungsi eigen dari operator momentum angular. Terdapat dua cara atau dua teknik untuk menentukan fungsi eigen
m
dari operator –
operator momentum angular Lˆ2 dan Lˆ z Pertama dengan cara langsung memecahkan persamaan-persamaan nilai eigen berikut: L2 Lˆ z
m m
2 1 m
m
(8.74)
m
131
Kedua mencari solusi persamaan :
Lˆ dengan
(8.75)
0
adalah fungsi eigen-fungsi eigen dari operator Lˆ2 dan Lˆ Z yang
berkaitan dengan bilangan kuantum orbital m
,
,
1
,...,
,
(8.76)
yang diperoleh dengan mengaplikasikan Lˆ pada Lˆ Lˆ Lˆ
yaitu :
,
1
(8.77)
Lˆ
,
,
1
2
Dalam teknik lainnya untuk memperoleh fungsi eigen
m
sangat cocok
sekali dan sangat praktis untuk bekerja dalam sistim koordinat spheres (r, , ). Sistim koordinat tersebut berkaitan dengan sistim koordinat Cartesian (x,y,z) melalui persamaan transformasi X = r sin
cos
(8.78)
Y = r sin
sin
(8.79)
Z = r cos
(8.80)
Berdasarkan transformasi tersebut maka komponen-komponen Cartesian adalah sebagai berikut :
Lˆ X
y i z
Lˆ X
y i
z
z
y
(8.81)
z
r
z
y
y
r y r
132
z
r = (r, , )
y
x Gambar 8.4 Transformasi koordinat Cartesian pada koordinat bola
Berdasarkan pers. (8.81) dan dengan bantuan gambar diatas diperoleh relasi-relasi berikut :
r2 cos tan
x z y r x
x2
y2
z2
z r y x cos cos r sin r sin cos r x r
r y r z x y z
y r z r y cos2 2 x cos2 x 0
Dengan menggunakan relasi tersebut maka komponen dalam arah sumbu x dari momentum sudut orbital ditransformasikan pada sistim koordinat bola adalah
133
Lˆ X
r sin sin i
sin r
0
Lˆ X
i sin
z r r
cos2 x
sin cos r
r cos
y r r
(8.82)
cos cos
Komponen Lˆ dalam arah sumbu y ialah :
LˆY
z i x
LˆY
z i
LˆY
r cos i
x
z
x
r x r
x cos cos r
LˆY
z
y cos2 x2
r
i
x
cos
r z r
z x r r
sin r
r sin cos
0 (8.83)
cot sin
Komponen Lˆ searah sumbu-z ialah: Lˆ Z
x i y
Lˆ Z
x i
y
x
y
r sin cos i
Lˆ Z
Lˆ Z
r sin cos
r y r
y sin cos r
y
x
cos2 x
cos cos r x r r
x
r y r
y r r
y cos2 x2
i
(8.84)
Operator momentum sudut orbital total dinyatakan dalam koordinat bola adalah sebagai berikut :
Lˆ2
1 sin 2
sin
1 sin 2
2 2
(8.85)
134
z r r
Kita sekarang akan menentukan fungsi eigen
m
dengan menggunakan
teknik pertama. Solusi dari persamaan nilai eigen diatas dinamakan harmonik bola (spherical harmonics) dan secara umum dinotasikan oleh Ym . Sebelum kita bahas lebih jauh ada dua hal yang perlu kita perhatikan yaitu : Petama operator-operator momentum angular bilamana dinyatakan dalam koordinat bola tidak bergantung pada r. Fungsi-fungsinya hanya bergantung pada variable
,
. Hal tersebut berarti bahwa fungsi eigen-fungsi eigen dari operator
Lˆ2 dan Lˆ Z dapat dipilih tak bergantung pada r yaitu: Ym
Ym ,
(8.85)
Kedua fungsi eigen yang akan kita tentukan adalah fungsi eigen yang ternomalisasi yaitu : 2
Ym dr
1
(8.86)
seluruh ruang
Persamaan nilai eigen untuk operator Lˆ Z diungkapkan oleh Ym
imYm
(8.87)
Persamaan tersebut hanya menentukan kebergantungan Ym ,
m
pada Ym misalkan: (8.88)
m
subtitusikan persamaan (8.88) ke persamaan (8.87) maka m
m
kemudian bagi kedua ruas dengan
im m
m
m
m
(8.89)
maka
135
1
m
im
m m
im
m
m
im
(8.90)
m
1 im e 2 0,1,2,3....
m
m
Selanjutnya kita substitusikan pers (8.90) dan pers (8.85) kedalam pers (8.74): 2
1 sin
1 d sin d
sin
d
misalkan cos d sin d 1 d d sin sin 2 1 cos2
2
1 sin 2
sin m
m2 sin 2
1
d
ungkapan dalam variable
1 im e 2
2 1
m
m l
0
ke dalam pers (8.91) maka kita peroleh
yaitu:
d d antara
m
2
1
substitusikan harga d dan sin 2
dengan harga
1 im e 2
2
1
1
2
d d
m2
1
1
2
0
(8.92)
1bila pada pers.(8.92) kita ambil harga m=0 dan
harga maka persamaan tersebut menjadi
d d
1
2
d d
0
(8.93)
Persamaan (8.93) dikenal dengan nama persamaan Legendre. P tersebut adalah persamaan nilai eigen dari operator
Lˆ2 nilai eigen
diperoleh dengan membentuk deret pangkat dari
. Solusi pers (8.93) dapat
. Solusi deret tersebut terbatasi 136
dalam interval
1
1 hal itu berakibat nilai eigen
harus berbentuk
1 dimana dan berupa integer. Hal itu berarti kembali ke bentuk nilai eigen
dari operator Lˆ Z semula yaitu : Lˆ2
Solusi deret untuk bahwa
2 1
terdiri dari sejumlah bilangan berhingga hal itu berarti
adalah suatu polinomial berorde . Polinomial ini dinamakan Legendre
polimonial yang dinyatakan dalam bentuk formula Rodrigues yaitu :
1 d 2 ! d
P
2
1
(8.94)
Solusi persamaan (8.92) dan pers (8.93) diperoleh dengan member associated Legendre Polynomials yang didefinisikan oleh operator operator diferensial pada P
berikut : m
m
P dengan m
1 1
2
m
1 2
d m P d m
(8.95)
berupa integer positip
Diferensialkan persamaan Legendre pers.(8.93) sebanyak mk dan gantikan dengan 1 dan
d d
dengan P maka
1
2
dPm d
1
m2 1
2
Pm
(8.96)
0
Bila pers.(8.96) kita bandingkan dengan pers (8.92) maka d diindikasikan bahwa
P
m
adalah solusi dari persamaan yang sama. Persamaan itu juga tidak berubah
bila diganti dengan –m, jadi dapat kita simpulkan bahwa P
m
adalah juga
solusi dari persamaan tersebut. Dengan demikian secara ringkas kita telah temukan bahwa solusi pers(8.92) diberikan oleh associated Legendre Polynomial Pm relasi yang tepat antara
m
dan Pm
m
pada
. Sedangkan
diperoleh dari syarat normalisasi
137
m
Y 4
karena
d
m
2
2
2
dr
d 0
eim 2
2 1 m
(8.97)
1
1
1
maka diperoleh: 1 m
2 m ! 2 m P 2 m !
(8.98)
Substitusi pers.(8.90) dan (8.98) ke dalam (8.88) maka funsi eigen Ym menjadi:
Ym
1 2
1 im 2 m ! e Pm 2 m ! 2
(8.99)
138
