PENJUMLAHAN MOMENTUM SUDUT
A. Penjumlahan Momentum Sudut L = L 1 + L2
L2
L1
m1 m2
m2 m1
Gambar.9.1 Penjumlahan momentum angular secara klasik. Dua vektor momentum angular L1 dan L2 dijumlahkan menghasilkan L
Jika momentum angular elektron pertama adalah L1 dan momentum angular elektron kedua adalah L2, besar momentum angular total dari sistem gabungan dua elektron adalah : L2
L1
L2
L2
2 L1
2
2 L2
(9.1) 2 L1 L2
(9.2)
Komponen dalam arah z dari momentum angular total dari sistem gabungan dua elektron adalah : Lz
L1z
L2 z
(9.3)
Pada kasus bahwa Lˆ2 tidak komut dengan L12 misalnya. Untuk lebih jelasnya mari kita hitung komutatornya. Lˆ1z , Lˆ2
2 Lˆ1z , Lˆ1 2 Lˆ1z , Lˆ1
2 Lˆ 2
2 Lˆ1 Lˆ 2
2 Lˆ1z , Lˆ 2
Lˆ1z ,2 Lˆ1 Lˆ 2
139
2 Lˆ1z , Lˆ1 Lˆ 2
0 0
2i Lˆ1y Lˆ 2 x
Lˆ1x Lˆ 2 y
(9.4)
Dalam rangka untuk menetapkan bahwa seperangkat nilai eigen 1 , 2 , m1 , m2 adalah bilangan-bilangan kuantum yang baik (good quantum numbers), maka harus kita tunjukkan bahwa empat operator Lˆ1z , Lˆ 2 z , Lˆ1 2 , Lˆ 2 2 adalah operatoroperator yang satu sana lain saling komut atau berupa Complete Set of Commuting Operators ( CSCO ). Lˆ1z , Lˆ 2 z
komutator
2 Lˆ1 , Lˆ1z
2 Lˆ1z , Lˆ1
2 Lˆ1z , Lˆ 2
0 dan
Lˆ1z , Lˆ 2 z
2 Lˆ 2 z , Lˆ1
2 Lˆ 2 z , Lˆ 2
2 2 Lˆ1 , Lˆ 2
0
(9.5)
0 sudah kita buktikan sebelumnya karena
sistem koordinat 1 tidak bergantung pada sistem koordinat 2. 0
Contoh :
Z1 , Z 2
0
Dengan alasan yang sama seluruh komutator pada persamaan diatas sama dengan nol atau operator Lˆ1z , Lˆ 2 z , Lˆ1 2 , Lˆ 2 2 adalah komut. Bilamana kita mengukur L2 dan L2 yang sebelum pengukuran keadaannya dinyatakan oleh m , setelah pengukuran keadaannya akan berubah yaitu sistem berada di sebelah kiri keadaan semula m 1 2 . Untuk menunjukkan bahwa , m, 1 , 2 adalah bilangan-bilangan kuantum yang baik, kita harus membuktikan
bahwa sistem L12 , L22 , L2 , L2 adalah seperangkat operator-operator komut yaitu : Lˆ12 , Lˆ2
(9.6)
0
dan 2 Lˆ1 , Lˆ 2
(9.7)
0
Mari kita buktikan komutator tersebut ! Lˆ12 , Lˆ2
Lˆ12 , Lˆ12 Lˆ12 , Lˆ12
Lˆ22
2 Lˆ1 Lˆ 2
Lˆ12 , Lˆ22
Lˆ12 ,2 Lˆ1 Lˆ 2
140
2 Lˆ12 , Lˆ1 Lˆ 2
0 0
0 Lˆ12 , Lˆ 2
Lˆ12 , Lˆ1z
Lˆ 2 z
Lˆ12 , Lˆ1z
Lˆ12 , Lˆ 2 z
0
B. Representasi Gandeng dan Tak Gandeng (Coupled and Uncoupled)
L
L1
L1
1 1
L2
2 2
L
L1
1 1
L2
L 1
L1
dengan
1
(9.8) 2 .... 1
2
Gambar 9.2 Representasi Gandeng
: 1 2 m1 m 2 = 1 m1
2 m2
(9.9)
atau equivalen dengan : Ym1 1
dengan
1,
1
1,
1
, Ym2 2
2,
(9.10)
2
adalah koordinat untuk elektron pertama dan
2,
2
adalah koordinat
untuk elektron kedua dan digambarkan sebagai berikut :
141
z
m2 Θ1 β
Θ2
m1 y Φ1 Φ2
x
Gambar 9.3 Koordinat angular untuk partikel m1 dan m2
: L2
2 L1
2 L2
Lz
L1z
L2 z
2 L1 L2
Lˆ12 Lˆ22
m 1 2
(9.11) (9.12) (9.13)
1 2 m1m2 1 2 m1m2 m 1 2
(9.14)
m1 m2 m
Penjumlahan hanya dapat berjalan meliputi bilangan kuantum m1 dan m2. Pembatasan m1 + m2 = m berasal dari persamaan dan orthogonalitas dari keadaan 1 2 m1 m 2 . Persamaan dapat dituliskan kembali sebagai berikut :
m 1 2
C m1m2 1 2 m1m2
(9.15)
m1 m2 m
dengan C m1m2
1 2 m1 m 2 m 1 2
adalah koefisien dan dinamakan koefisien
clebsch – Gordan. C. Representasi Koordinat Kita telah menuliskan m untuk menyatakan vektor dari operator Lˆ2 dan Lˆ 2 . Representasi koordinat keadaan diberikan oleh proyeksinya
142
Ym ,
m
,
.
(9.16)
Dengan cara yang sama representasi koordinat dari keadaan campuran 1 2 m1 m2 diberikan oleh proyeksinya: 1
1 2
2
Ym1 1
1 2 m1m2
1
1
Ym2 2
2
(9.17)
2
dengan cara ini representasi koordinat dari pers (9.14) adalah 1
1 2
2
m 1 2
1
1 2
2
1 2 m1m2
(9.18)
m1 m2 m
Cm1m2 Ym1 1
1,
1
Ym2 2
2,
2
D. Harga Momentum Sudut Sistem Dua Elektron : Lz = L1z + L2z
(9.19)
Harga m maksimum yang dapat dimiliki oleh sistem itu adalah : mmax= m1 max+ m2 max
(9.20)
atau equivalen dengan mmax
1
2
(9.21)
jelas bahwa dari variasi harga bilangan kuantum momentum angular total dapat diasumsikan harga maksimumnya ( m ax ) sama dengan mmax max
1
2
(9.22)
harga–harga momentum angular total berurutan dari m ax menurun hingga harga minimumnya. Mungkin anda bertanya berapa harga minimumnya ?
: 1 2
2 1
2 1 1 2 2
1
(9.23)
min
143
Relasi tersebut dipenuhi bila kita ambil m in
1
2 .
Dengan cara ini kita temukan harga dari yang berkaitan dengan sistem dua elektron dengan masing – masing harga adalah 1 , dan 2 yaitu : m in
1
2 ,..., 1
2
(9.24)
Pada kasus yang kita bahas yaitu sistem dua elektron dengan satu elektron p ( 1 =1) dan satu lagi elektron d ( 2 = 2). Sistem tersebut mempunyai harga-harga momentum angular total salah satu dari harga = 1, 2, 3. Harga-harga itu berasal dari pers.(9.24) dengan memasukkan Harga 1 dan 2 . Harga L dapat ditentukan dengan menggunakan formulasi L 1
(9.25)
untuk =1 maka L 2 = 2 maka L 6 = 3 maka L 12
Jumlah total keadaan eigen yang berkaitan dengan ketiga harga dari tersebut adalah ditentukan dengan menggunakan pers (9.23) dan diperoleh : N = (2x1 + 1) + (2x2 + 1) + (2x3 + 1) = 15 keadaan harga – harga m-nya ialah : =1
m = -1, 0, 1,
=2
m = -2, -1, 0, 1, 2,
=3
m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
dan keadaan-keadaan eigennya ialah m 1 2 yaitu : 3 312
,
3 212
,
3112
,
3012
,
3 –1 1 2
3 –2 1 2
,
3 –3 1 2
,
2212
,
2112
,
2 012
2 –1 1 2
,
2 –2 1 2
,
1112
,
1012
,
1 –1 1 2
Semuanya ada 15 keadaan eigen yang berkaitan dengan tiga yaitu 1, 2, dan 3 . 144
Bila kedua elektron dalam sistem itu berupa elektron ( 1 = 2 = 1) yang dimiliki oleh sistem berdasarkan pers.(9.24) adalah salah satu dari harga-harga: = 0, 1, 2
Harga-harga m yang dimiliki untuk masing-masing ialah =0
,m=0
=1
, m = -1, 0, 1
=2
, m = –2, -1, 0, 1, 2
Jumlah keadaan eigen yang berkaitan dengan ketiga tersebut ialah pers.(9.23) 1 2
2
2 1
N min
2 1
1 3 5 9
0
atau N = ( 2 1 + 1 ) ( 2 2 + 1 ) = ( 2.1 + 1 ) (2.1 + 1) = 9 keadaan. Dalam representasi tak gandeng (uncoupled) ke sembilan keadaan tersebut dapat dijabarkan sebagai berikut : m 1 2
1 m1
C m1m2
2 m2
1
2
m1 m2 m
2 2 1 1 2 1 1 1 2 0 1 1 2 -1 1 1
11 1 11 2 1 11 1 1 0 2 2 1 6 1 2
2 -2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 -1 1 1 0 0 1 1
1 1 2 1 2 1 2 1 3
11 1 1 1 2 10 1 1 1 1 1
1
1 0 1 11 2
2 2 3
10 1 10 2
1
1 2
1
2
1 6
1
1 1
1 1 10 2
1 2
11 1 1 0 2 11 1 1
1 2
10 1 1
1 2
11 1
1 2
1
1 2 1 2 1 2 1 3
1 0 1 11 2 1
1 1
11 2
1
1 1
10 2
10 1
10 2
145
Perbandingan antara representasi gandeng dan representasi tak gandeng diungkapkan oleh dua set persamaan keadaan berikut : Lˆ2 Lˆ
2
Lˆ12
m 1 2
1 m/ 1 1 1 2 2
Lˆ22
m 1 2
1
Representasi tak gandeng Lˆ1z Lˆ
2z
Lˆ12 Lˆ2
m1 / 1 2 m1 m 2
2
m2 / 1 1 1 2 2
2
1 2 m1 m 2
1
E. Momentum Angular Total untuk Sistem Lebih dari Dua Elektron Anda sudah mempelajari penjumlahan momentum angular untuk sistem yang terdiri dari dua elektron. Bagaimana penjumlahan momentum angular untuk sistem yang lebih dari dua elektron ?. Sekarang kita tinjau suatu sistem yang terdiri dari n elektron yang masingmasing harga momentum angularnya 1 , 2, … , n. Dalam representasi gandeng jumlah total keadaan eigen dari sistem tersebut adalah ( 2 1 + 1 ) ( 2 2 + 1 ) ( 2 3 + 1 ) … ( 2 n + 1 )
(9.26)
Harga–harga yang mungkin dari dapat ditentukan dengan dua cara. Cara pertama sama seperti aturan dua elektron seperti yang sudah anda pelajari, masing-masing harga nya adalah 1 dan 2 , dari kasus ini momentum angular gabungan ialah L2
L1
L2
2
dan mempunyai nilai eigen 2 1 dengan momentum angular total yang harga –harganya dari : =
1+ 2 ,…, 1- 2
146
Tinjau sistem yang terdiri dari 3 elektron yang masing-masing momentum angularnya 1, 2
dan 3. Momentum angular total dari sistem tersebut
diungkapkan oleh L2 L1 L2 misalkan L1 L1 L2
L3
2
maka persamaan dapat dituliskan sebagai berikut : L2
L1
L3
2
2 dengan demikian salah satu harga yang berkaitan dengan L1 adalah
Jadi harga–harga yang berkaitan dengan momentum angular total Lˆ2 ialah: =
1 + 3 ,…,
1 - 3
(9.27)
Contoh : Tinjau kasus sistem yang terdiri dari 3 elektron p ( 1 = 2 = 3 = 1 ). Untuk dua elektron pertama kita mempunyai harga – harga 1 adalah 1 =
1+ 2 ,…, 1- 2
= 0, 1, 2 harga –harga nya adalah =
1 + 3 ,…,
1 - 3
Untuk 1 = 0 maka = 1 1 = 1 maka = 0, 1, 2 1 = 2 maka = 1, 2, 3
Dengan demikian untuk sistem yang mempunyai atau terdiri dari 3 elektron P, harga–harga nya adalah salah satu dari harga – harga = 0, 1, 2, 3 Jumlah total keadaan eigen yang bisa dibentuk berkaitan dengan harga – harga diatas adalah N = ( 2 1 + 1 ) ( 2 2 + 1 ) ( 2 3 + 1 ) = 3 x 3 x 3 = 27
( eigen bersama).
Bagaimana aturan tersebut bisa diterapkan pada sistem yang terdiri dari n elektron?. Misalkan masing – masing berharga 1, 2, …, n. Mula –mula kita jumlahkan momentum angular dari dua elektron pertama 1 =
1+ 2 ,…, 1- 2
selanjutnya kita jumlahkan momentum angular dengan elektron ke tiga 147
11
1 1 + 3 ,…, - 3
=
kemudian 11 dijumlahkan dengan momentum angular elektron ke empat
111
=
11
+ 4 , … , 11 - 4
demikian seterusnya.
F. Aturan Penjumlahan Cara penentuan harga di atas berkesan agak rumit. Ada cara lain yang lebih sederhana yaitu dengan menggunakan aturan penjumlahan. Tinjau suatu sistem yang terdiri dari n elektron dan masing – masing momentum angularnya 1, 2, 3, …, n.
Harga – harga tersebut selalu dapat kita urutkan sedemikian hingga 1
2
…
3
n
n 1
i maka:
Misalkan i 1
a. jika n -
0 maka min = n -
b. jika n -
0 maka min = 0 n
c. dalam keseluruhan kasus m ax
i i 1
d. harga–harga yang mungkin dari memberikan harga total L : Lˆ2
L1
L2
...
Ln
2
1
dengan = max , max - 1 , …, min Contoh : Tinjau suatu sistem terdiri dari 2 elektron P dan satu elektron f ( 1 = 2 = 1 , 3 = 3 ) n 1
3 1
i
i
i 1
1
2
1 1 2
i 1
n
3
3 2 1
jadi m in 1 n
m ax
3
i i 1
i
1
2
3
i 1
1 1 3 5
148
Jadi untuk sistem yang terdiri dari dua elektron P dan satu elektron f harga –harga nya adalah = 1, 2, 3, 4, 5. Keadaan eigen yang bisa dibentuk dengan harga tersebut sebanyak: N = ( 2 + 1 )( 2 + 1 )( 2 + 1 ) = ( 2.1 + 1 )( 2.1 + 1 )( 2.3 + 1 ) =3x3x7 = 63 keadaan eigen bersama Catatan Kaitan notasi momentum angular orbital elektron dengan masing – masing harga elektron ialah Huruf
s
p
d
f
g
h
Harga
0
1
2
3
4
5
149
