Momentum Sudut (Bagian 2)

Momentum Sudut (Bagian 2)

Pengenalan Konsep Rotasi dalam Mekanika Kuantum: 1. 2. 3. 4.

Sistem Koordinat Bola Harmonia Sferis (Spherical Harmonics) Momentum Sudut Orbital Momentum Sudut Intrinsik (Spin)

Persamaan Schrödinger dalam tiga - dimensi Tinjau partikel yang bergerak di permukaan bola dengan radius r. Hamiltonian diberikan oleh: 2

2

  2 ˆ H=  V   2 2m 2m karena energi potensial uniform di permukaan bola dan dapat diambil sama dengan nol. Laplacian:

2

Harus dipecahkan:

2 2 2   2 2 2 x y z 2

   2ψ  Eψ 2m

Persamaan Schrödinger dalam koordinat bola Kita gunakan (r,, ) sebagai ganti (x, y, z) :

1 2     2  , r 2

2 r

dengan:

2 ˆ 2  L  2  2 2 r r r  r 2

2  1 d 1 d  d  2 2 ˆ  sin    L   2 2 sin  d  d   sin  d 2 d 1 d2  2 d  2 =    2  cot  2 d  d  sin  d   

2 2  ψ(r, , )  V(r) (r, , )  E (r, , ) Harus dipecahkan:  2m

Persamaan Schrödinger dalam koordinat bola Separasi variabel: ψ(r,θ,ϕ)= R(r)Y(θ,ϕ), maka:  2   2ψ (r ,  ,  ) 2 ψ (r ,  ,  ) Lˆ2ψ (r ,  ,  )        Vψ (r ,  ,  )  Eψ (r ,  ,  ) 2 2 2 r  r 2m  r r   2   2 R(r)Y ( ,  ) 2 R(r)Y ( , ) Lˆ2 R(r )Y ( ,  )        VR(r )Y ( ,  )  ER(r )Y ( ,  ) 2 2 2 2m  r r r  r 

2   2R 2 R Lˆ2Y    R 2 2   VRY  ERY Y 2  Y 2m  r  r  r r Bagi kedua ruas persamaan dengan RY, menghasilkan:  2  1  2 R 1 2 R 1 Lˆ2Y     V  E  2 2 2 2m  R r R r r Y  r 

Persamaan Schrödinger dalam koordinat bola Kalikan dengan -2mr2/ħ2, maka dapat dipisahkan menjadi:

 1  2 R 1 2 R 2mr 2   1 Lˆ2Y    2 (V  E )   0  2 2  R r r   R r  Y    1 Lˆ2Y   1  2 R 1 2 R 2mr 2    2 (V  E )  l (l  1) dan   l (l  1)  2 2  R r r   R r  Y   yaitu bagian radial dan bagian sudut sepenuhnya terpisah. Selanjutnya, kita asumsikan bagian sudut azimut dan zenit juga dapat dipisahkan, yaitu Y(θ,φ) = Θ(θ)Φ(φ), dan kita ambil: 2  1 1 d  d d  2 2 ˆ  sin   L   2  2 sin  d  d   sin  d

Persamaan Schrödinger dalam koordinat bola Memberikan:  d 2Y d  dY  2 sin  sin  l ( l 1 ) Y sin         2  d  d   d

dan:  d 2 d  d  2    l l sin  sin    (  1 )  sin      2 d  d   d

 1 d 2 1 d  d  2 l l  sin  sin    (  1 ) sin      2 d  d      d

Menghasilkan separasi variabel lebih lanjut, yaitu:  1 d 2 1 d  d   2 l l   sin  sin   (  1 ) sin      2 d  d     d

Persamaan Schrödinger dalam koordinat bola Memberikan: 1 d 2 1 d  d   2 2 2   m dan sin  sin   l ( l  1 ) sin   m   l l    d 2  d  d 

Persamaan azimut telah dipecahkan, sedangkan persamaan theta merupakan persamaan diferensial Legendre terasosiasi:





d  d  2 2 sin   sin    l (l  1) sin   ml   0 d  d 

Persamaan Schrödinger dalam koordinat bola

Bagaimana bentuk solusi ψ(, ) ? Persamaan:

 Lˆ2ψ (, )     Eψ (, ) 2  2ma 

Kita tuliskan dengan:

2 2 ˆ L ψ (, ) = 2ma Eψ (, )

Jadi fungsi eigen untuk ψ(, ) untuk Hˆ juga merupakan fungsi eigen untuk Lˆ2 .

Persamaan Schrödinger dalam koordinat bola 2 2 ˆ L ψ (, ) = 2ma Eψ (, )

Persamaan diferensial: 2 2   d d 1 d 2 2    2  cot   2 ψ (  ,  )  2 ma Eψ (, ) 2 d sin  d   d

Sebenarnya merupakan persamaan untuk θ dan φ yang pada dasarnya dapat dilakukan separasi variabel, dan ruas kiri dapat disertakan dalam komponen radial r.

Persamaan Schrödinger dalam koordinat bola Bagian φ telah dipecahkan, dan bagian θ merupakan persamaan diferensial Legendre, yang memiliki solusi analitik. Solusi untuk bagian θ dan φ dinamakan sebagai harmonia sferis (Yl,m), dituliskan:

2l+1 (l  | m!|)! |m| ψ( , )=Yl,m( , )= Pl (cos  )  exp[im ] 4π (l  | m!|)! L2Yl,m   2l (l  1)Yl,m LzYl,m  mYl,m dengan Pl|m| adalah polinom Legendre

2l+1 (l  |m!|)! |m| ψ(φ,θ)=Yl,m((φ(φ,θ Pl ( cos θ)  exp[imφ] 4π (l  |m!|)!

l dapat bernilai : l = 0,1,2,3,4... dan nilai eigen yang mungkin untuk L2 adalah  2l (l  1) Lˆ2 ( ,  )   2l (l  1) ( , ) lm

lm

Untuk suatu nilai l , nilai m dapat mengambil 2l + 1 nilai : - l, -l+1,...,-1,0 ,1,...,l-1,l dan nilai eigen yang mungkin untuk Lz adalah m  Lˆ z lm ( ,  )  m lm ( , )

Persamaan Schrödinger dalam koordinat bola Bagaimana dengan E? 2 2 ˆ L ψ (, ) = 2ma Eψ (, ); ψ (, ) = Ylm (, )

Jadi : 2 2 2 ˆ L Ylm (, )   l (l  1)Ylm (, )  2ma EYlm (, )

If  (, ) = Ylm (, )

atau

 2l (l  1) = 2 ma 2 E Sehingga:

 2l (l  1)  2l (l  1) E= = ; 2 2ma 2I

I = ma 2

Catatan: Dalam mekanika kuantum, sebuah operator  yang merepresentasikan suatu konstanta gerak akan komut dengan hamiltonian, yaitu: [Ĥ,Â] = 0 yang berarti bahwa kita dapat menemukan fungsi-fungsi eigen yang berlaku untuk kedua operator  dan Ĥ.

Persamaan Schrödinger dalam koordinat bola 2 ˆ ˆ H, L dan Lˆ z untuk partikel

yang bergerak pada permukaan bola memiliki fungsi eigen bersama Ylm

Lˆ2Ylm (  , ) =  2 l(l  1 )Ylm (  , )

Lˆ z Ylm (  , ) = mYlm (  , )  l(l  1 ) HYlm ( ,  )  Ylm ( ,  ) 2I 2

Persamaan Schrödinger dalam koordinat bola Hˆ , Lˆ2 dan Lˆz untuk partikel yang bergerak pada sebuah bola memiliki fungsi eigen bersama (common) Ylm

Lˆ z dan Lˆ2 memiliki common eigenfunctions karena [Lˆz , Lˆ2 ]  0 Tetapi

Hˆ =

1 ˆ2 L 2 2ma

Dan dapat ditunjukkan bahwa : [Hˆ , Lˆz ] = [Hˆ , Lˆ2 ]  0

sehingga Hˆ , Lˆz dan Lˆ2 memiliki common eigenfunctions

Untuk suatu keadaan yang diuraikan oleh Ylm (, ), pengukuran Lz , L2 akan memberikan hasil : (L2 )obs   2l(l  1); (Lz )obs  m (E)obs

 2l(l  1) (L2 )obs setiap saat  = 2I 2I

Sifat - sifat Solusi Persamaan Schrödinger

l 0 m0

2l+1 (l  |m!|)! |m| Pl (cos  )  exp[im ] ψ(φ,θ) = Yl,m( , )= 4π (l  |m!|)! L2Yl,m   2l(l  1 )Yl,m ; LzYl,m  ml Yl,m Untuk l=0 hanya ada m = 0; 1 Yo,o  4 ( L2 ) obs  0; (Lz )obs  0

Nilai Yoo adalah uniform pada bola

Sifat - sifat Solusi Persamaan Schrödinger

l 1

m  1,0,1

2l+1 (l  |m!|)! |m| Pl (cos  )  exp[im ] ψ(φ,θ) = Yl,m( , )= 4π (l  |m!|)! L Yl,m   l(l  1 )Yl,m ; LzYl,m  ml Yl,m 2

l

2

m

Ylm 3 Y1,0  cos  4

1

0

1

1

Y1,1  

-1

3 Y1,-1  sin  exp[i ] 8

1

3 sin  exp[i ] 8

(Lz )obs (L2 )obs

0

2 2

1

2 2

- 1

2 2

ψ(φ,θ) = Yl,m( , )=

2l+1 (l  |m!|)! |m| Pl (cos  )  exp[im ] 4π (l  |m!|)!

L2Yl,m   2l(l  1 )Yl,m ; LzYl,m  ml Yl,m l

0

0

1

0

1

Y lm ( ,  )

m

1

1 4 3 cos 4



3 sin exp[i ] 4

ψ(φ,θ) = Yl,m( , )=

2l+1 (l  |m!|)! |m| Pl (cos  )  exp[im ] 4π (l  |m!|)!

L2Yl,m   2l(l  1 )Yl,m ; LzYl,m  ml Yl,m

l

Y lm ( , )

m

2

0

2

1

2

2

5 (3cos 2  1) 16 



15 cossin [i ] 8 15 sin 2 exp[2i ] 32

ψ(φ,θ) = Yl,m( , )=

2l+1 (l  |m!|)! |m| Pl (cos  )  exp[im ] 4π (l  |m!|)!

L2Yl,m   2l(l  1 )Yl,m ; LzYl,m  ml Yl,m l

m

3

0

3

1

3

2

3

3

Y lm ( ,  ) 7 (5cos 3  3 cos  ) 16 



21 (5cos 2  1) sin  [i ] 64 105 sin 2 cos  exp[2i ] 32

35 sin 3 exp[2i ]  64

Sifat - sifat Solusi Persamaan Schrödinger Untuk l=1 didapat m=- 1,0 ,1;

L

( L2 ) obs  2  2 dan (L z )obs  m 

Terdapat tiga keadaan dengan L2   2 2  Panjang |L| dari L untuk ketiga kasus tersebut

z L

z

=

L L

L

z

  =0

L L |L| =  2

z

= -

 

adalah |L|= 2  Tetapi L mengalami orientasi yang berlainan untuk ketiga kasus tersebut, yaitu Lz  ,0 ,

Untuk setiap keadaan, pengukuran L2 dan Lz selalu memberikan nilai yang sama contoh : untuk l=1,m=1 memberikan (L2 )obs  2 2 ; ( Lz ) obs  

Sifat - sifat Solusi Persamaan Schrödinger Untuk l=1 didapat m=- 1,0 ,1;

L

z L

z

=

L L

L

z

 

|L| =  2

z

Bagaimana dengan Lx atau Ly ? Maka 2

2

(Lx  Ly )obs  (L2 )obs -(L2z )obs=2 2   2   2

=0

L L

( L2 ) obs  2  2 dan (L z )obs  m 

= -

 

Akan tetapi pengukuran Lx atau Ly dapat menghasilkan -,0,

Sifat - sifat Solusi Persamaan Schrödinger Untuk l=1 didapat m=- 1,0 ,1;

( L2 ) obs  2  2 dan (L z )obs  m 

Untuk setiap keadaan, pengukuran L2 dan Lz selalu memberikan nilai yang sama contoh : untuk l=1,m=1

L

memberikan (L2 )obs  2 2 ; ( Lz ) obs  

z

L

z

=

L L

L

z

 

Bagaimana dengan nilai ekspektasi
=0

pengukuran dan berapa nilai yang mungkin untuk

L L |L| =  2

z

= -

yang merepresentasikan nilai rata - rata dari banyak Lx dan Ly bagi setiap pengukuran?

 

Untuk l  2

m  2,1,0,1,2

2l+1 (l  |m!|)! |m| ψ(φ,θ) = Yl,m( , )= Pl (cos  )  exp[im ] 4π (l  |m!|)! L2Yl,m   2l(l  1 )Yl,m ; LzYl,m  ml Yl,m

l

m

Ylm

2

0

2

 1 Y2 ,1  

15 sin θ cos θ exp[iφ] 8π

2

 2 Y2 , 2 

15 sin 2 θ exp[2i ] 32π

Y2 ,0 

(L2 )obs

(Lz )obs

15 ( 3 cos θ  1 ) 8π

0

1 

2 

6 2

6 2

6 2

ψ(φ,θ) = Yl,m( , )=

2l+1 (l  |m!|)! |m| Pl (cos  )  exp[im ] 4π (l  |m!|)!

L2Yl,m   2l(l  1 )Yl,m ; LzYl,m  ml Yl,m

Untuk l=2 didapat m=-2 ,-1,0 ,1,2  L2  6 2 L z Terdapat 5 keadaan dengan L2   2 6  L =2   z Panjang |L| dari L di tiga kasus adalah |L|= 6 L L =  Tetapi L berorientasi berbeda - beda z  L = 0 Lz  2,  ,0,,2 L z L  L = -  Untuk setiap keadaan z 2 L = - 2 pengukuran L dan Lz  z selalu memberikan nilai yang sama |L| =  6 misal : l=2 ,m=1 memberikan
Sifat - sifat Solusi Persamaan Schrödinger

(a) Representasi momentum sudut dengan komponen dalam sumbu-z. Tetapi, karena sudut azimut mengelilingi sumbu-z tak menentu, gambaran (b) lebih tepat, dengan setiap vektor terletak pada sudut azimut sebarang pada kerucut.

Lˆ2Ylm (  , ) =  2 l (l  1)  2l (l  1) HYlm ( ,  )  Ylm ( , ) 2 ma energi yang sama

Lˆ z Ylm (  , ) = m orientasi yang berlainan

Spin Elektron Stern dan Gerlach menemukan pada tahun 1921 bahwa berkas elektron (atom - atom Ag) membelah dalam medan magnet tak homogen menjadi dua berkas

Goudschmit dan Uhlenbeck memberikan interpretasi fenomena tersebut sebagai keberadaan momentum sudut intrinsik (spin) dari elektron

Spin Elektron

1 1 ls m  ms   2 2 spin elektron (s = 1/2) hanya dapat memiliki dua orientasi terhadap sumbu tertentu.

 S

Elektron  (atas) adalah elektron dengan ms = +1/2; Elektron  (bawah) adalah elektron dengan ms = - 1/2. Panjang momentum sudut spin adalah :

 3 1 1 | S | =  s(s + 1) =  ( + 1)  2 2 2

 S