PENGHITUNGAN NILAI RESISTOR PENGGANTI MENGGUNAKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ORTONORMAL DARI MATRIKS LAPLACE
AMIN LUKMANUL HAKIM G54102040
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2007
PENGHITUNGAN NILAI RESISTOR PENGGANTI MENGGUNAKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ORTONORMAL DARI MATRIKS LAPLACE
AMIN LUKMANUL HAKIM G54102040
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2007
ABSTRAK AMIN LUKMANUL HAKIM, Penghitungan Nilai Resistor Pengganti Menggunakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Ortonormal dari Matriks Laplace. Dibimbing oleh AGAH DRAJAT GARNADI dan FARIDA HANUM. Nilai resistor pengganti dapat dihitung dengan menggunakan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace yang diperoleh dari hubungan suatu gambar jaringan resistor dalam bentuk graf. Karena matriks Laplace adalah suatu matriks Hermite yang real dan simetrik, juga merupakan matriks semidefinit positif maka nilai-nilai eigen dari matriks Laplace adalah real taknegatif dan vektor-vektor eigennya adalah real yang saling ortogonal. Dalam tulisan karya ilmiah ini dibahas lima bentuk jaringan resistor (resistors network) yang hingga dalam bentuk graf : 1. Jaringan resistansi dua-simpul. 2. Jaringan satu dimensi dengan kondisi batas bebas. 3. Jaringan satu dimensi dengan kondisi batas periodik. 4. Jaringan dua dimensi dengan kondisi batas bebas. 5. Jaringan dua dimensi dengan kondisi batas silindrik.
ABSTRACT AMIN LUKMANUL HAKIM, Computing of Resistance Between Arbitrary Two Nodes within Resistor Network In Terms of Eigenvalues and Orthonormal Eigenvectors of the Laplacian Matrix. Supervised by AGAH DRAJAT GARNADI and FARIDA HANUM. The resistance between arbitrary two nodes in a resistor network could be computed in terms of eigenvalues and orthonormal eigenvectors of the Laplacian matrix associated with the resistor network. Since the Laplacian matrix is a Hermitean, it is symmetric and real, also positive semidefinite, hence the eigenvalues of the Laplacian matrix are nonnegative real and the eigenvectors are real and orthogonal. In this work, five finite resistor networks are studied : 1. Two-point resistance network. 2. One-dimensional network with free boundary condition. 3. One-dimensional network with periodic boundary condition. 4. Two-dimensional network with free boundary conditions. 5. Two-dimensional network with cylindrical boundary conditions.
PENGHITUNGAN NILAI RESISTOR PENGGANTI MENGGUNAKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN ORTONORMAL DARI MATRIKS LAPLACE
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh : AMIN LUKMANUL HAKIM G54102040
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2007
Judul Nama NIM
: Penghitungan Nilai Resistor Pengganti Menggunakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Ortonormal dari Matriks Laplace : Amin Lukmanul Hakim : G54102040
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Drs. Agah D. Garnadi Grad, Dipl. NIP. 131 842 411
Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP. 131 956 709
Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS. NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus : ..........................
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang selalu memberikan nikmat, karunia dan kekuatan yang sangat besar, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarganya, sahabatnya serta segenap umatnya. Skripsi ini berjudul Penghitungan Nilai Resistor Pengganti Menggunakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Ortonormal dari Matriks Laplace. Ucapan terima kasih kepada Bpk. Drs. Agah Drajat Garnadi, Grad. Dipl. Sci. selaku Pembimbing I yang telah meluangkan tenaga dan waktunya untuk memberikan bimbingan, pengarahan, semangat, dan saran sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Terima kasih juga kepada Ibu Dra. Farida Hanum M. Si. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih juga kepada Bpk. Dr. Ir. I G. Putu Purnaba, DEA selaku Penguji yang telah memberikan saran dan masukannya, serta kepada saudara Ari Septian dan saudari Mita yang telah beresedia menjadi Pembahas pada acara seminar. Ucapan terima kasih kepada kedua orang tua tercinta, Bapak Memed dan Ibu Euis Masruroh di Tasikmalaya, yang telah memberikan kasih sayang, semangat, dorongan, dan doa untuk kelancaran penyelesaian skripsi ini. Penulis mengucapkan terima kasih kepada kedua kakak tercinta, Yani Suryani serta suaminya A Haris, yang telah memberikan semangat dan dorongan serta memberikan bantuan biaya untuk kelancaran penulisan skripsi ini. Terima kasih juga kepada adik tercinta, Muhammad Luthfi, serta kakak-kakak tercinta yang lainnya A Endang, A Ade Abduh, Ceu Yayah, Totoh Tohariah, dan A Dadi di Bengkulu, beserta seluruh keluarganya dan anak-anak tercintanya yang telah memberikan dorongan, semangat, dan doa untuk keberhasilan penulis. Terima kasih juga kepada teman-teman Angkatan 39 masuk tahun 2002 yang telah memberikan kasih sayang dan semangat selama masa-masa kuliah di Jurusan Matematika, Institut Pertanian Bogor. Tidak lupa ucapan terima kasih kepada dosen-dosen Departemen Matematika yang telah memberikan ilmunya, juga kepada staf Departemen Matematika (Bu Susi, Mas Bono, Mas Yono, Mas Deni, Bu Ade, Bu Marisi juga kepada staf pegawai Departemen Matematika), serta kepada seluruh pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Bogor, September 2007
Amin Lukmanul Hakim
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kota Tasikmalaya pada tanggal 27 Januari 1982 sebagai anak ketujuh dari delapan bersaudara dari pasangan Memed dan Euis Masruroh. Pada tahun 2001, penulis lulus dari SMU Negeri 1 Indihiang. Setahun kemudian, tepatnya pada tahun 2002 penulis masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR .................................................................................................................
ix
DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................
x
1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ............................................................................................................ 1.2 Tujuan .........................................................................................................................
1 1
2 LANDASAN TEORI 2.1 Matriks ........................................................................................................................ 2.2 Graf ............................................................................................................................. 2.3 Aljabar Linear ............................................................................................................. 2.4 Jaringan Listrik dan Jaringan Resistor ....................................................................... 2.5 Sifat-Sifat Matriks Laplace L dan L(ε) dari Graf Jaringan Resistor ......................... 2.6 Teorema-Teorema tentang Matriks Laplace L dan L(ε) ...........................................
1 2 3 7 9 10
3 PEMBAHASAN 3. 1 Teorema Resistansi Dua Simpul ............................................................................... 3. 2 Jaringan Resistansi Dua Simpul ................................................................................ 3. 3 Jaringan Satu Dimensi dengan Kondisi Batas Bebas ............................................... 3. 4 Jaringan Satu Dimensi dengan Kondisi Batas Periodik ........................................... 3. 5 Jaringan Dua Dimensi dengan Kondisi Batas Bebas ................................................ 3. 6 Jaringan Dua Dimensi dengan Kondisi Batas Silindrik ........................................... 3. 7 Penghitungan Nilai Resistor Pengganti Menggunakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Ortonormal dari Matriks Laplace dengan Scilab 4.1 ..................................... 3. 8 Penghitungan Nilai Arus Listrik dengan Menggunakan Scilab 4.1 .........................
13 16 17 18 18 20 21 21
4 SIMPULAN ....................................................................................................................
25
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................
25
LAMPIRAN ...............................................................................................................................
27
ix
DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Graf dengan 4 simpul dan 5 sisi ................................................................................................
2
2. Digraf dengan 4 simpul dan 5 arc (sisi berarah) .......................................................................
3
3. Jaringan resistor dengan 4 simpul .............................................................................................
8
4. Jaringan listrik ............................................................................................................................
8
5. Jaringan resistor dengan 4 simpul dan nilai resistor pada setiap sisi sebesar 10 Ω .................
8
6. Jaringan resistansi dua simpul dengan 4 simpul dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm ..................................................................................................
28
7. Jaringan resistor satu dimensi dengan kondisi batas bebas dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm ...................................................................................
29
8. Jaringan resistor satu dimensi dengan kondisi batas periodik dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm ............................................................................
29
9. Jaringan resistor dua dimensi dengan kondisi batas bebas dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm ...................................................................................
30
10. Jaringan resistor dua dimensi dengan kondisi batas silindrik dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm ............................................................................
31
11. Jaringan listrik di hoteldengan asumsi di arc (sisi berarah) I, II, III, IV, V terdapat resistor pengganti masing-masing sebesar RI, RII, RIII, RIV, dan RV serta di arc 6, 7, 8 terdapat sumber tegangan awal masing-masing sebesar 1000 V, 500 V, 500 V ...... ...........................................
32
12a. Jaringan resistor di hotel ruangan I dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 20 ohm ........................................................................................................
33
12b. Jaringan resistor di hotel ruangan I dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 20 ohm ........................................................................................................
33
13. Jaringan resistor di hotel ruangan II dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 25 ohm .......................................................................................................
34
14. Jaringan resistor di hotel ruangan III dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 20 ohm ........................................................................................................
35
15. Jaringan resistor di hotel ruangan IV dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 25 ohm ........................................................................................................
36
16a. Jaringan resistor di hotel ruangan V dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 50 ohm ........................................................................................................
37
16b. Jaringan resistor di hotel ruangan V dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 50 ohm ......................................................................................................
38
x
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1.
Pembuatan graf jaringan resistor dengan Scilab 4.1 ......................................................
28
2.
Matriks Laplace L dari gambar jaringan resistor di ruangan I, II, III, IV, dan V ..........
39
3.
Pembuatan matriks Laplace L dengan Scilab 4.1 ..........................................................
43
4.
Penentuan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace dengan Scilab 4.1 ............................................................................................................
49
5.
Formula (rumus) untuk menghitung nilai resistor pengganti RI, RII, RIII, RIV, dan RV ...
59
6.
Penghitungan nilai resistor pengganti Rαβ menggunakan Scilab 4.1 .............................
62
7.
Penghitungan nilai arus listrik (i) pada jaringan listrik menggunakan Scilab 4.1 ........
65
8.
Penyelesaian masalah pada jaringan listrik menggunakan matriks Laplace L dengan Scilab 4.1 ........................................................................................................................
67
Pembuktian akhir Teorema Resistansi Dua-Simpul ......................................................
69
9.
10. Pembuktian penghitungan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks
TNfree ...................................................................................................................
71
11. Pembuktian penghitungan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen ortonormal dari
TNper ...................................................................................................................
81
12. Pembuktian Teorema 6 tentang sifat-sifat kronecker product matriks .........................
85
13. Pembuktian Teorema 2 tentang nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari kronecker product dan kronecker sum matriks...............................................................
87
matriks
xi
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Selama ini, untuk menghitung nilai arus listrik (I) dari suatu jaringan listrik sering menggunakan perhitungan rumus-rumus fisika. Mungkin jaringan listrik yang diberikan sangat sederhana terdiri dari beberapa resistor dan sumber tegangan listrik. Tetapi jika jaringan listrik yang diberikan terdiri dari banyak jaringan resistor, maka penentuan besarnya nilai arus listrik (I) yang mengalir pada jaringan listrik tersebut, mungkin memerlukan waktu yang cukup lama. Salah satu cara yang digunakan untuk menghitung nilai arus listrik (I) pada suatu jaringan listrik yang sangat kompleks yaitu dengan menggunakan perpaduan antara perhitungan matriks dan penggunaan Scilab 4.1. Resistor Pengganti di antara dua simpul α dan β, yaitu Rαβ dari jaringan resistor dapat
dihitung dengan menggunakan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen yang ortonormal dari matriks Laplace L. Matriks Laplace L dapat diperoleh dari hubungan gambar jaringan resistor. Setelah diperoleh nilai Resistor Pengganti Rαβ, maka dapat dihitung besarnya nilai arus listrik (I) dari jaringan listrik tersebut dengan menggunakan Scilab 4.1. 1.2 Tujuan Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk mengetahui bagaimana hubungan antara nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen yang ortonormal dari suatu matriks Laplace L dalam mencari nilai Resistor Pengganti di antara dua simpul dan nilai arus listrik (I) yang mengalir pada suatu jaringan listrik yang kompleks. Jaringan listrik yang kompleks terdiri dari beberapa jaringan resistor dan beberapa sumber tegangan listrik (V).
II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Berikut ini diberikan beberapa definisi tentang matriks yang menjadi landasan teori untuk bab pembahasan. Definisi 1 (Operasi Baris Dasar Matriks) I. Saling menukarkan baris ke-i dengan baris ke-j, diberi notasi Eij, dengan i ≠ j. II. Mengalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k ≠ 0, diberi notasi Ei(k). III. Menempatkan atau mengisikan baris ke-i dengan k kali baris ke-j ditambah baris ke-i, diberi notasi Eij(k) dengan i ≠ j. [Leon, 1998] Definisi 2 (Bentuk Eselon Baris Tereduksi) Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris jika (i) entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah 1. (ii) jika baris k tidak seluruhnya mengandung nol, maka banyaknya entri nol di bagian muka pada baris k + 1 lebih besar dari banyaknya entri nol di bagian muka pada baris k, (iii) jika terdapat baris-baris yang entrinya semuanya adalah nol, maka baris-baris ini berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol. Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika : (i) matriks memiliki bentuk eselon baris, (ii) entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah satu-satunya entri bukan nol dalam kolom yang bersangkutan. [Leon, 1998]
Definisi 3 (Matriks Hermite) Misalkan M = (mij) adalah suatu matriks m × n dengan mij = aij + ibij untuk setiap i dan j, maka M dapat dituliskan dalam bentuk M = A + iB dengan A = (aij) dan B = (bij) mempunyai entri bilangan real. Dapat didefinisikan matriks sekawan M dengan M = A − iB . Tranpos dari M dilambangkan sebagai MH. Suatu matriks M disebut Hermite jika M = MH. [Leon, 1998] Ilustrasi :
⎛ 3 2 − i ⎞ maka M H = ⎛ 3 2 − i ⎞ M =⎜ ⎟ ⎜ 2+i 4 ⎟ ⎝ 2+i 4 ⎠ ⎝ ⎠
T
T
⎛ 3 2+ i ⎞ = ⎛ 3 2−i ⎞ = M ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2−i 4 ⎠ ⎝ 2+ i 4 ⎠
=⎜
Definisi 4 (Kronecker Products ⊗) Misalkan A = (amn) mempunyai orde m×n dan B = (bst) mempunyai orde s×t, maka ⎛ a11 B a12 B " a1nB ⎞ ⎜ a 21 B a 22 B " a 2 nB ⎟ A⊗B = ⎜ ⎟ # % # ⎜⎜ # ⎟⎟ ⎝ am1 B am 2 B " amnB ⎠ dengan ukuran matriks A ⊗ B adalah ms×nt. Secara khusus, untuk u = (u1, u2, … , un)T, v = (v1, v2, … , vn)T ∈ Cn , dengan Cn adalah himpunan bilangan kompleks maka
u ⊗ v = (u1 v1 , ... , u1v n , ... , u n v1 , ... , u n v n )
T
[Zhang, 1999]
2 Ilustrasi : ⎛ 1 2 ⎞ dan B = ⎛ 1 2 3 ⎞ maka A=⎜ ⎟ ⎜ 4 5 6⎟ ⎝3 4⎠ ⎝ ⎠
⎛1 2⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎟⊗⎜ ⎟ ⎝3 4⎠ ⎝ 4 5 6⎠ ⎛1 2 3 2 ⎜ ⎛ 1B 2 B ⎞ ⎜ 4 5 6 8 =⎜ ⎟= ⎝ 3B 4 B ⎠ ⎜ 3 6 9 4 ⎜ 12 15 18 16 ⎝ A⊗ B = ⎜
4 6⎞ ⎟ 10 12
⎟
8 12 ⎟ 20 24 ⎟⎠
Definisi 5 (Kronecker Sum) Misalkan untuk suatu bilangan bulat r, s, k, matriks A ∈ Rr,r, B ∈ Rs,s dan Ik adalah suatu matriks identitas yang berorde k. Jumlah A ⊗ I s + I r ⊗ B disebut sebagai Kronecker
Sum dari matriks A dan B. 2.2 Graf Berikut ini diberikan beberapa definisi tentang graf yang akan menjadi landasan (dasar) untuk pembahasan materi selanjutnya. Definisi 6 (Graf) Suatu graf adalah pasangan terurut (V, E) dengan V adalah himpunan berhingga dan takkosong dari elemen-elemen graf yang disebut simpul (node, verteks) dan E adalah himpunan pasangan takterurut dari simpulsimpul berbeda di V. Setiap {p, q} ∈E (dengan p, q ∈ V) disebut sisi (edge) dan dikatakan menghubungkan simpul-simpul p dan q. Misalkan diberikan graf G = (V, E). Jika e = {p, q} ∈ E maka p dan q masing-masing dikatakan incident dengan e. Misalkan diberikan graf G = (V, E). Jika e = {p, q} ∈ E maka p dikatakan adjacent dengan q, dan sebaliknya. Derajat simpul(vi) yaitu banyaknya sisi yang incident dengan simpul vi. [Foulds, 2002] Definisi 7 (Digraf) Suatu graf berarah/digraf (directed graph) adalah pasangan terurut (V,A), dengan V adalah himpunan takkosong dan hingga dan A adalah himpunan pasangan terurut elemenelemen berbeda di V. Elemen dari A biasa disebut arc (sisi berarah). Misalkan diberikan digraf D = (V, A). Jika e = {p, q} ∈ A maka p dan q masing-masing dikatakan incident dengan e. Misalkan diberikan digraf D = (V,A). Jika e = {i,j} maka i incident dari e jika sisi berarah e menjauhi simpul i dan j incident ke e jika sisi berarah e mendekati simpul j. [Foulds, 2002]
Definisi 8 (Walk) Suatu walk pada graf G = (V, E) yang menghubungkan simpul v1 dengan vn adalah suatu barisan simpul (verteks) dan sisi (edge) dari G dengan bentuk
dan dapat dituliskan sebagai atau v1, v2, ..., vn. Suatu walk yang menghubungkan v1 dengan vn dikatakan tertutup (closed walk) jika v1 = vn. Jika tidak (v1 ≠ vn) maka walk tersebut dikatakan terbuka. [Foulds, 2002] Definisi 9 (Matriks Derajat/Degree Matrix) Matriks Derajat D untuk suatu graf G = (V,E) dengan V = n adalah suatu matriks
persegi yang didefinisikan sebagai deg (vi ) jika i = j d ij := 0 selainnya dengan deg(vi) adalah derajat simpul(vi) yaitu banyaknya sisi yang incident dengan simpul vi dan V menyatakan banyaknya simpul di G.
{
[Skiena, 1990] Definisi 10 (Matriks Adjacency) Suatu matriks adjacency dari graf G = (V, E) adalah A = (aij)n×n dengan ⎧⎪1, jika vi adjacent dengan v j
aij = ⎨
⎪⎩0, jika selainnya
untuk vi, vj ∈ V dan (vi, vj) ∈ E.
[Foulds, 2002] Definisi 11 (Matriks Laplace) Matriks Laplace untuk suatu graf G didefinisikan sebagai L = D – A dengan D adalah matriks derajat dari graf G dan A adalah matriks adjacency dari G. Dengan perkataan lain, jika diberikan suatu graf G dengan n simpul, maka matriks Laplace L = (lij)n×n didefinisikan sebagai
⎧deg(vi ), jika i = j ⎪ lij := ⎨- 1, jika i ≠ j dan vi adjacent v j ⎪0, selainnya ⎩ [Bendito, et al., 2000] Ilustrasi : Perhatikan gambar graf berikut. G: v1 v2
v4
v3
Gambar 1. Graf dengan 4 simpul dan 5 sisi.
3 Dari gambar graf tersebut dapat diperoleh matriks derajat D dan matriks adjacency A. ⎛2 ⎜ 0 D = ⎜⎜ 0 ⎜⎜ ⎝0
⎛0 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ 3 0 0⎟ ⎜1 dan A = 0 2 0⎟ ⎜0 ⎟ ⎜1 0 0 3 ⎟⎠ ⎝
1 0 1⎞ ⎟ 0 1 1
⎟
1 0 1⎟ 1 1 0 ⎟⎠
Maka matriks Laplace L = D – A ⎛ 2 −1 0 −1⎞ ⎜ −1 3 −1 −1⎟ L=⎜ ⎟. 0 −1 2 −1 ⎜ ⎟ ⎝ −1 −1 −1 3 ⎠ Berikut ini dibahas matriks yang diperoleh dari suatu digraf D = (V,A). Definisi 12 (Matriks Incidence) Matriks incidence pada suatu digraf adalah matriks berukuran n×m yang merepresentasikan hubungan antara simpul dan arc (sisi berarah) pada suatu graf berarah. Jika n adalah banyaknya simpul dan m adalah banyaknya arc (sisi berarah) maka untuk komponen baris i dan kolom j pada matriks incidence adalah ⎧1, jika arc j incident dari simpul i
⎪ ⎨- 1, jika arc j incident ke simpul i ⎪0, jika arc j tidak incident dengan simpul i ⎩
[Watkins & Wilson, 1990] Ilustrasi : D: v1
v2 a
d
e
b
c v4 v3 Gambar 2. Digraf dengan 4 simpul dan 5 arc (sisi berarah).
Dari digraf D pada Gambar 2. di atas dapat diperoleh matriks incidence B :
⎛1 ⎜ −1 B=⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
0
0
−1
1 −1
0 1
0 0
0
−1
1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − 1⎠ 0
1 0
2.3 Aljabar Linear Berikut ini diberikan beberapa definisi tentang materi aljabar linear yang menjadi landasan teori untuk pembahasan selanjutnya.
Definisi 13 (Ruang Vektor) Misalkan V adalah himpunan di mana didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Himpunan V bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi. A1. x + y = y + x untuk setiap x dan y di V. A2. (x + y) + z = x + (y + z) untuk setiap x, y, z di V. A3. Terdapat elemen 0 di V sehingga x + 0 = x untuk setiap x ∈ V. A4. Untuk setiap x ∈ V terdapat elemen –x di V sehingga x + (–x) = 0. A5. α(x + y) = αx + αy untuk setiap skalar α dan setiap x dan y di V. A6. (α + β)x = αx + βx untuk setiap skalar α dan β dan setiap x ∈ V. A7. (αβ)x = α(βx) untuk setiap skalar α dan β dan setiap x ∈ V. A8. 1 . x = x untuk setiap x ∈ V. [Leon, 1998] Definisi 14 (Ruang Vektor Bagian) Jika S adalah himpunan bagian takkosong dari suatu ruang vektor V, dan S memenuhi syarat : (i) αx ∈ S, untuk semua x ∈ S, dan α adalah sembarang skalar, (ii) x + y ∈ S, untuk semua x dan y ∈ S, maka S disebut ruang bagian dari V. [Leon, 1998] Definisi 15 (Ruang Nol dan Nulitas A) Misalkan A adalah matriks m×n. Himpunan semua penyelesaian dari sistem homogen Ax = 0 membentuk ruang bagian dari Rn yang disebut ruang nol (nullspace) dari A dan dinotasikan dengan N(A) = {x ∈ Rn | Ax = 0}. Nulitas(A) adalah banyaknya anggota (ukuran) dari ruang nol (nullspace) dari A. [Leon, 1998] Definisi 16 (Kombinasi Linear) Jika a1, a2, ..., an adalah vektor-vektor dalam Rm dan c1, c2, ..., cn adalah skalar-skalar, maka jumlah berbentuk c1a1 + c2a2 + ... + cnan disebut suatu kombinasi linear (linear combination) dari vektor-vektor a1, a2, ..., an. [Leon, 1998] Definisi 17 (Bebas Linear) Vektor-vektor v1, v2, ..., vn dalam ruang vektor V disebut bebas linear (linearly independent) jika c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0 mengakibatkan semua skalar c1, ..., cn harus sama dengan nol. [Leon, 1998]
4
Definisi 18 (Bergantung Linear) Vektor-vektor v1, v2, ..., vn dalam ruang vektor V disebut bergantung linear (linearly dependent) jika terdapat skalar-skalar c1, c2, ..., cn yang tidak semuanya nol sehingga c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0. [Leon, 1998] Teorema 1 Misalkan A matriks persegi. Jika det(A) = 0 maka A1, A2, ..., An adalah saling bergantung linear. Catatan : A1, A2, ..., An adalah vektor-vektor kolom ke-j dari matriks A. BUKTI : ( ⇒ ) Diketahui det(A) = 0 maka A singular, sehingga Ax = 0 mempunyai penyelesaian taktrivial untuk setiap x ≠ 0. Jadi x11A1 + x21A2 + ... + xn1An = 0. Karena x ≠ 0 maka x11, x21, x31, ..., xn1 adalah skalar tidak semuanya nol. Jadi, A1, A2, ..., An adalah saling bergantung linear. (Terbukti) Definisi 19 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) Misalkan A adalah suatu matriks n×n. Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik (characteristic value) dari A jika terdapat suatu vektor taknol v, sehingga memenuhi Av = λv. Vektor v disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari λ. Misalkan A adalah matriks n×n dan λ adalah suatu skalar. Pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen. (a) λ adalah nilai eigen dari A. (b) (A – λI)v = 0 mempunyai penyelesaian taktrivial. (c) N(A – λI) ≠ {0}. (d) A – λI adalah singular. (e) det(A – λI) = 0. [Leon, 1998] Teorema 2 Misalkan A dan B adalah matriks persegi dengan entri bilangan kompleks yang masingmasing berorde m×m dan n×n dengan nilainilai eigen λi dan µj, i = 1, ... , m, j = 1, ... , n. Maka nilai-nilai eigen dari A ⊗ B adalah
λi µ j , i = 1, ... , m, j = 1, ... ,n, dan nilai-nilai eigen dari A ⊗ I n + I m ⊗ B adalah
λi + µ j , i = 1, ... , m, j = 1, ... , n. [Zhang, 1999]
BUKTI : lihat di Lampiran 13. Teorema 3 Misalkan A ∈ Rr,r dan B ∈ Rs,s dan Aui = λiui, i = 1, ... , r, Bvj = µjvj, j = 1, ... , s, maka untuk i = 1, ... , r, j = 1, ... , s
( A ⊗ B )(ui ⊗ v j ) = λi µ j (ui ⊗ v j ) ( A ⊗ I s + I r ⊗ B )(ui ⊗ v j ) = (λi + µ j )(ui ⊗ v j ) [Lyche, 2006] BUKTI : Dari Teorema 2 diperoleh ( A ⊗ B )(u i ⊗ v j ) = ( Au i ) ⊗ ( Bv j ) = (λ i u i ) ⊗ ( µ j v j )
= (λ i ⊗ µ j )(u i ⊗ v j ) = λ i µ j (u i ⊗ v j ) .■
Dari persamaan di atas dapat diperoleh ( A ⊗ I s )(u i ⊗ v j ) = λi (u i ⊗ v j ) , dan (I r ⊗ B )(u i ⊗ v j ) = µ j (u i ⊗ v j ) hasilnya sekarang digunakan membuktikan persamaan kedua ( A ⊗ I s + I r ⊗ B )(u i ⊗ v j )
untuk
= ( A ⊗ I s )(ui ⊗ v j ) + (I r ⊗ B )(ui ⊗ v j ) = ( Aui ) ⊗ (I s v j ) + ( I r ui ) ⊗ ( Bv j ) = ( λi u i ) ⊗ ( I s v j ) + ( I r u i ) ⊗ ( µ j v j )
= (λi ⊗ I s )(ui ⊗ v j ) + (I r ⊗ µ j )(ui ⊗ v j ) = λi (ui ⊗ v j ) + µ j (ui ⊗ v j ) = (λi + µ j )(ui ⊗ v j ) .■
Jadi nilai-nilai eigen dari suatu Kronecker product (sum) adalah products (sums) dari nilai-nilai eigen yang berbeda milik matriks A dan B. Vektor-vektor eigen dari suatu Kronecker product (sum) adalah hasil kali dari vektor-vektor eigen milik matriks A dan B. (Terbukti) Selanjutnya akan dibahas suatu teorema tentang nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari proses Kronecker product matriks. Teorema 4 Misalkan A ∈ Rn×n mempunyai nilai-nilai eigen λi, i ∈ [1,n], dan misalkan B ∈ Rm×m mempunyai nilai-nilai eigen µj, j ∈ [1,m]. Maka mn nilainilai eigen dari ( A ⊗ B ) adalah λ1µ1, ... , λ1µm, λ2µ1, ... , λ2µm, ... , λnµm. Selanjutnya, jika x1, ... ,xp adalah vektor-vektor eigen kanan yang bebas linear dari A bersesuaian dengan λ1, ... , λp (p ≤ n), dan z1, ..., zq adalah vektor-vektor eigen kanan yang bebas linear dari B bersesuaian dengan µ1, ... , µq (q ≤ m), maka xi ⊗ zj ∈ Rmn adalah vektorvektor eigen kanan yang bebas linear dari ( A ⊗ B ) bersesuaian dengan λiµj, i ∈ [1,p], j ∈ [1,q]. [Laub, 2004]
5 BUKTI : Catatan : vektor-vektor eigen kanan adalah vektor-vektor eigen yang terletak (ditulis) di sebelah kanan suatu matriks atau skalar. Misalkan A mempunyai nilai-nilai eigen λi, 1 ≤ i ≤ n, maka Axi = λixi, 1 ≤ i ≤ n dan misalkan B mempunyai nilai-nilai eigen µj, 1 ≤ j ≤ m, maka Bzj = µjzj, 1 ≤ j ≤ m. Misalkan juga x1, ... , xp adalah vektor-vektor eigen kanan yang bebas linear dari A bersesuaian dengan nilai-nilai eigen λ1, ... , λp (p ≤ n) akan terdapat matriks X dengan xj vektor eigen kolom ke-j untuk j = 1, ... , n sehingga berlaku X-1AX = D1 dan z1, ... , zq adalah vektor-vektor eigen kanan yang bebas linear dari B bersesuaian dengan µ1, ... , µq (q ≤ m) akan terdapat matriks Z dengan zj vektor eigen kolom ke-j untuk j = 1, ... , n sehingga berlaku juga X-1AX = D2. D1 ⊗ D 2 = ( X
−1
= (X
−1
A ⊗ Z B )( X ⊗ Z )
= (X
−1
⊗Z
AX ) ⊗ ( Z
−1
BZ )
−1
−1
)( A ⊗ B )( X ⊗ Z )
−1
= ( X ⊗ Z ) ( A ⊗ B )( X ⊗ Z ).
Jadi, ( X ⊗ Z ) adalah suatu matriks yang mempunyai nm vektor kolom yang bebas linear dengan x i ⊗ z j vektor eigen kolom ke-j untuk j = 1, ... , nm. Selanjutnya ( A ⊗ B )( xi ⊗ z j ) = ( Axi ) ⊗ ( Bz j ) = ( λi x i ) ⊗ ( µ j z j )
= (λi ⊗ µ j )( xi ⊗ z j ) = λi µ j ( x i ⊗ z j ) .
Jadi, mn nilai-nilai eigen dari ( A ⊗ B ) adalah λ1µ1, ... , λ1µm, λ2µ1, ... , λ2µm, ... , λnµm. Begitu juga ( A ⊗ B )( X ⊗ Z ) = ( AX ) ⊗ ( BZ ) = ( Axi ) ⊗ ( Bz j )
= (λi xi ) ⊗ ( µ j z j ) = (λi ⊗ µ j )( xi ⊗ z j ) = λi µ j ( x i ⊗ z j )
Jadi
x i ⊗ z j ∈ Rmn adalah vektor-vektor
eigen kanan yang bebas linear berbeda dari ( A ⊗ B ) bersesuaian dengan λiµj, i ≤ p ≤ n, j ≤ q ≤ m. (Terbukti) Teorema 5 Suatu matriks A ∈ Mn adalah singular jika dan hanya jika 0 ∈ σ(A).
Catatan : σ(A) adalah himpunan nilai-nilai eigen dari matriks A. [Horn & Johnson, 1985] BUKTI : Matriks A adalah singular jika dan hanya jika Ax = 0 untuk setiap x ≠ 0. Hal ini terjadi jika dan hanya jika Ax = 0x untuk setiap x ≠ 0, Ax = 0x berlaku, jika dan hanya jika λ = 0 adalah suatu nilai eigen. (Terbukti) Definisi 20 (Hasil Kali Dalam) Hasil Kali Dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang memadankan setiap pasang vektor-vektor x dan y di dalam V dengan sebuah bilangan real <x,y> yang memenuhi syarat berikut : (i) <x, x> ≥ 0 dengan persamaan berlaku jika dan hanya jika x = 0. (ii) <x, y> = untuk semua x dan y di dalam V. (iii) <αx + βy, z> = α<x, z> + β untuk semua x, y, z di dalam V dan semua skalar α dan β. Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam. Hasil kali dalam baku untuk Rn adalah hasil kali skalar <x, y> = xTy. [Leon, 1998] Definisi 21 (Norma) Sebuah ruang vektor V dikatakan ruang linear bernorma (normed linear space) jika untuk setiap vektor v ∈ V dikaitkan dengan sebuah bilangan real v yang disebut norma dari v
yang memenuhi : (i) v > 0 dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika v = 0. (ii) αv = α v untuk tiap skalar α. (iii) v + w ≤ v + w untuk semua v, w ∈ V. [Leon, 1998] Definisi 22 (Himpunan Ortogonal dan Ortonormal) Misalkan v1, v2, …, vn adalah vektorvektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam V. Jika = 0 bilamana i ≠ j, maka {v1, v2, …, vn} dikatakan sebagai sebuah himpunan ortogonal dari vektor-vektor. Sebuah himpunan ortonormal dari vektorvektor adalah sebuah himpunan ortogonal dari vektor-vektor satuan. Himpunan {u1, u2, …, un} akan menjadi ortonormal jika dan hanya jika = δij dengan jika i= j ⎧1 δ ij = ⎨ jika i≠ j ⎩0
6 Jika diberikan himpunan ortogonal dari vektorvektor taknol {v1, v2, … , vn}, maka dimungkinkan untuk membentuk sebuah himpunan ortonormal dengan mendefinisikan
⎛ 1 ⎞ ⎜ v ⎟⎟ v i untuk i = 1, 2, …, n dengan ⎝ i ⎠
u=⎜
vi = < vi , vi > .
[Leon, 1998]
⎛1 / 3 1 / 3 1 / 3 ⎞ ⎟ ⎜ −1 U = ⎜1 / 2 −1/ 2 ⎟ = U 0 ⎜1 / 6 − 2 / 6 1 / 6 ⎟ ⎠ ⎝ T
Teorema 6 Untuk matriks-matriks A, B, C, dan D dengan ukuran yang berbeda, berlaku 1. ( A ⊗ B )(C ⊗ D ) = ( AC ) ⊗ ( BD ) , T
Definisi 23 (Matriks Ortogonal) Sebuah matriks Q yang berorde n×n dikatakan sebagai matriks ortogonal jika vektor-vektor kolom dari Q membentuk sebuah himpunan ortonormal di dalam Rn, maka Q dapat dibalik dan QT = Q-1 sehingga QTQ = I. [Leon, 1998]
Ilustrasi :
⎛1 / 3 1 / 2 ⎜ 0 Q = ⎜1 / 3 ⎜1 / 3 − 1 / 2 ⎝
1/ 6
⎞ ⎟
− 2 / 6 ⎟ maka 1/ 6
⎟ ⎠
⎛1 / 3 1 / 3 1 / 3 ⎞ ⎟ ⎜ −1 Q = ⎜1 / 2 −1/ 2 ⎟ = Q 0 ⎜1 / 6 − 2 / 6 1 / 6 ⎟ ⎠ ⎝ T
Dapat ditunjukkan bahwa vektor-vektor kolom dari Q membentuk sebuah himpunan ortonormal yaitu
⎛1 / 3 ⎞ ⎛ 1/ 2 ⎞ ⎛ 1/ 6 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ u1 = ⎜ 1 / 3 ⎟ , u 2 = ⎜ 0 ⎟ , u 3 = ⎜ − 2 / 6 ⎟ ⎜1 / 3 ⎟ ⎜ − 1/ 2 ⎟ ⎜ 1/ 6 ⎟ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ maka = = = 0, = = = 1, dan u1 = u 2 = u 3 = 1 . Definisi 24 (Matriks Uniter) Matriks uniter U n × n adalah suatu matriks kompleks atau real yang memenuhi UHU = UUH = I, jika vektor-vektor kolomnya membentuk suatu himpunan ortonormal dalam Cn, dengan UH = U-1 dan |detU| = 1 untuk suatu matriks uniter U, maka suatu matriks uniter sesungguhnya adalah matriks ortogonal. T
Catatan : matriks UH = U . [Zhang, 1999] Ilustrasi :
⎛1 / 3 1 / 2 1 / 6 ⎞ ⎟ ⎜ U = ⎜1 / 3 0 − 2 / 6 ⎟ maka ⎜1 / 3 − 1 / 2 1 / 6 ⎟ ⎠ ⎝
2. ( A ⊗ B )* = A * ⊗ B * , dengan A* = A dan T
B* = B , −1
−1
−1
3. ( A ⊗ B ) = A ⊗ B jika A dan B adalah matriks taksingular, 4. ( A ⊗ B ) ≠ ( B ⊗ A) , 5. A ⊗ B adalah uniter jika A dan B adalah uniter. [Zhang, 1999] BUKTI : lihat di Lampiran 12.
Definisi 25 (Matriks Definit) Suatu matriks simetrik real A disebut (i) definit positif jika xTAx > 0 untuk semua x taknol dalam Rn. (ii) definit negatif jika xTAx < 0 untuk semua x taknol dalam Rn. (iii) semidefinit positif jika xTAx ≥ 0 untuk semua x taknol dalam Rn. (iv) semidefinit negatif jika xTAx ≤ 0 untuk semua x taknol dalam Rn. [Leon, 1998] Definisi 26 (Matriks Definit Positif) Sifat-Sifat Matriks Definit Positif Simetrik : Sifat I. Jika A adalah matriks definit positif simetrik, maka A taksingular. Sifat II. Jika A adalah suatu matriks definit positif simetrik, maka det(A) > 0. Sifat III. Semua nilai-nilai eigen matriks definit positif simetrik A adalah positif. Sifat IV. Jika A adalah suatu matriks definit positif simetrik, maka submatriks utama A1, A2, ... , An dari A adalah definit positif. Sifat V. Jika A adalah matriks definit positif simetrik, maka A dapat direduksi menjadi matriks segitiga atas hanya dengan menggunakan operasi baris III dan semua elemen-elemen porosnya adalah positif. Sifat VI. Jika A adalah suatu matriks definit positif, maka A dapat difaktorkan ke dalam hasil kali LDLT, dengan L adalah matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen 1 sepanjang diagonal dan D adalah suatu matriks diagonal
7 yang entri-entri diagonalnya positif semua. Sifat VII. (Dekomposisi Cholesky) Jika A adalah matriks definit positif simetrik, maka A dapat difaktorkan ke dalam suatu hasil kali LLT, dengan L adalah matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen diagonal positif. [Leon, 1998]
2.4 Jaringan Listrik dan Jaringan Resistor Berikut ini beberapa definisi tentang jaringan listrik dan jaringan resistor yang akan menjadi landasan teori untuk materi bab pembahasan selanjutnya. Definisi 27 (Kondisi Batas Bebas) Kondisi Batas Bebas adalah suatu walk terbuka yang mengandung setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda yang menghubungkan x1 dengan xn dengan syarat x1 ≠ xn. [Tzeng & Wu, 2000] Definisi 28 (Kondisi Batas Periodik) Kondisi Batas Periodik adalah suatu walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda yang menghubungkan x1 dengan xn dengan syarat x1 = xn. [Tzeng & Wu, 2000] Definisi 29 (Penurunan Tegangan V) Penurunan tegangan atau beda potensial V adalah perbedaan antara jumlah elektron yang berada dalam suatu materi (misalkan dalam suatu kawat listrik atau benda penghambat). Terdapat hubungan V = RI jika V adalah beda potensial antara kedua ujung benda penghambat. R adalah resistor tahanan atau penghambat, adalah suatu komponen elektronik yang dapat menghambat gerak lajunya arus listrik. I adalah besar arus yang melalui benda penghambat. Misalkan diberikan graf jaringan resistor yang terdiri dari n sisi (edge), di setiap sisi ke-i, i = 1, …, n masing-masing terdapat satu resistor dengan nilai resistansi sebesar R ohm. Maka berdasarkan Hukum Ohm dapat diperoleh penurunan tegangan V di setiap sisi ke-i dalam bentuk notasi matriks yaitu V = RI , dengan
⎡ v1 ⎤ ⎡ i1 ⎤ ⎡ R1 0 ⎢v 2 ⎥ ⎢i 2 ⎥ ⎢ 0 R2 V = ⎢ ⎥, I = ⎢ ⎥, R = ⎢ ⎢#⎥ ⎢#⎥ ⎢# # ⎢⎣i n ⎥⎦ ⎣⎢v n ⎦⎥ ⎣⎢ 0 0
" "
0⎤ 0⎥
⎥
% # ⎥ " R n ⎦⎥
V
suatu matriks berorde n×1 dengan komponennya merupakan nilai beda potensial di setiap sisi. R suatu matriks diagonal berorde n×n dengan komponen pada poros diagonal utama merupakan nilai-nilai resistansi resistor di setiap sisi. I suatu matriks berorde n×1 dengan komponennya merupakan nilai arus listrik di setiap sisi. [Noble, 1969]
Definisi 30 (Hukum Kirchhoff / Kirchhoff’s Laws) 1. Pada setiap simpul, maka jumlah dari kuat arus yang masuk sama dengan jumlah dari kuat arus yang keluar. (Kirchhoff Current Law /KCL) 2. Di sekeliling setiap simpul (loop) tertutup, maka jumlah aljabar dari tegangan harus sama dengan jumlah aljabar penurunan tegangan. (Kirchhoff Voltage Law /KVL) [Leon, 1998] Definisi 31 (Resistor Pengganti) Resistor pengganti adalah suatu resistor gabungan dari beberapa resistor yang terletak di antara dua simpul, misalkan α dan β, dengan penurunan tegangan masing-masing Vα dan Vβ maka R αβ
=
V α _V β I
…… (1),
dengan Rαβ adalah nilai resistor pengganti di antara simpul α dan β, dan I adalah nilai arus listrik yang mengalir di antara simpul α dan β. [Wu, 2004]
Definisi 32 (Jaringan Resistor) Jaringan resistor adalah network (jaringan) berbentuk graf yang terdiri dari N simpul yang bernomor dengan i = 1 , 2, … , N. Di setiap sisi di antara simpul i dan j yang saling adjacent terdapat satu resistor. Misalkan rij = rji adalah nilai resistansi dari resistor yang dihubungkan oleh simpul i dan j. Maka, nilai −1 konduktansinya adalah cij = r ij = cji sehingga nilai cij = 0 jika tidak ada resistor penghubung antara simpul i dan j. [Cserti, 2002] Ilustrasi : Perhatikan gambar jaringan resistor berikut ini.
8
r12
1
diperoleh suatu matriks Laplace L dari graf jaringan resistor tersebut yaitu :
2
r23
r14 r24
r34 3 4 Gambar 3. Jaringan resistor dengan 4 simpul. Definisi 33 (Jaringan Listrik) Jaringan listrik adalah suatu digraf D = (V, A) yang mempunyai tiga bagian yang bersesuaian dengan setiap arc (sisi berarah) k : suatu elemen sumber listrik Ek, (i) suatu variabel arus listrik ik(t), (ii) dan (iii) suatu variabel beda potensial (voltase) vk(t). dengan t menunjukkan waktu. Untuk suatu elemen Ek, ada tiga bagian yang dapat dirangkai sebagai suatu rangkaian sederhana, yaitu : 1. Resistor dengan Ohm’s Law-nya. 2. Induktor. 3. Kapasitor. 4. Sumber tegangan (Voltage supply). [Foulds, 2002] Ilustrasi : Perhatikan gambar jaringan listrik berikut. E 1 2
r
r
r
i 4
3 V Gambar 4. Jaringan listrik. Dengan asumsi di setiap arc mengalir arus listrik (i). Maka matriks Laplace dari graf jaringan resistor adalah sebagai berikut.
Definisi 34 (Matriks Laplace L dari Graf Jaringan Resistor) Misalkan diberikan suatu graf jaringan resistor yang terdiri dari N simpul, maka dapat
⎛ c1 − c12 ⎜ − c12 c2 L=⎜ # ⎜ # ⎜ − c1 N − c 2 N ⎝
" − c1 N ⎞ ⎟ " − c2N % "
⎟
# ⎟ cN ⎟⎠
dengan cij akan bernilai ⎧1/rij jika dua simpul yang saling adjacent ⎪ ⎪dihubungkan oleh satu resistor. ⎨ ⎪0 jika dua simpul yang tidak saling adjacent ⎪ tidak dihubungkan oleh satu resistor. ⎩ N
N
j =1
j=1
dan ci = ∑ ' cij , jika notasi ∑ ' menunjukkan bahwa persamaan ruas kanan tidak berlaku untuk i = j tetapi harus i ≠ j. Maka N
ci − ∑ ' cij = 0 untuk setiap baris dan j =1 N
cj − ∑ ' cij = 0 untuk setiap kolom. i =1
dengan rij adalah nilai resistansi dari resistor di antara simpul i dan j yang saling adjacent. [Wu, 2004] Ilustrasi : Perhatikan gambar jaringan resistor berikut.
r
1
r
r
2
r
4 r 3 Gambar 5. Jaringan resistor dengan 4 simpul dan nilai resistor pada setiap sisi sebesar 10 Ω. Jika diketahui nilai r = 10 Ω. Maka nilai konduktansinya adalah 1/r = 1/10 = 0,1. Jadi matriks Laplace L dari gambar jaringan resistor tersebut adalah
⎛ 2 −1 ⎜ −1 3 L = 0.1 * ⎜ ⎜ 0 −1 ⎜ −1 −1 ⎝ ⎛ 0.2 − 0.1 ⎜ − 0.1 0.3 L=⎜ ⎜ 0 − 0.1 ⎜ − 0.1 − 0.1 ⎝
0
− 1⎞
⎟ ⎟ 2 − 1⎟ − 1 3 ⎟⎠ −1 −1
0
− 0.1⎞
⎟ ⎟ 0.2 − 0.1⎟ − 0.1 0.3 ⎟⎠ − 0.1 − 0.1
9
Definisi 35 (Matriks L(ε) dari Graf Jaringan Resistor) Matriks L(ε) adalah bentuk taksingular (determinannya bukan nol) dari L dengan menambahkan suatu matriks εI, L(ε) merupakan modifikasi dari L yang berbentuk L(ε) = L + εI dengan ε > 0 suatu skalar atau 0 > ε > -λi untuk nilai ε yang negatif, 1 ≤ i ≤ n dengan -λi adalah nilai-nilai eigen ke-i dari matriks Laplace L dan I suatu matriks identitas. [Wu, 2004]
matriks Laplace dari suatu jaringan resistor yaitu L = C = BCBBT, untuk B suatu matriks incidence dari suatu graf G = (V,E) yang berarah dan CB suatu matriks diagonal dengan nilai-nilai pada poros utamanya nilai dari konduktansi resistor di setiap sisi. Jika L = BCBBT maka nilai dari komponen untuk baris i dan kolom j dari matriks L adalah Ljj = jumlah dari semua nilai ci pada sisi-sisi yang bertemu pada simpul j. ⎧− ci jika sisi i menghubungkan simpul
Ilustrasi : Misalkan untuk nilai ε = 0.9 > 0, maka dapat diperoleh suatu matriks L(ε) yaitu
⎪ j dan k yang adjacent ⎪ L jk = ⎨ ⎪0 jika tidak ada sisi di antara simpul ⎪⎩simpul yang adjacent
L(0.9) = L + 0.9I
Dengan ci adalah nilai konduktansi dari resistor pada sisi i.
⎛ 0.2 − 0.1 0 − 0.1⎞ ⎜ ⎟ − 0.1 0.3 − 0.1 − 0.1 ⎟ =⎜ ⎜ 0 − 0.1 0.2 − 0.1⎟ ⎜ − 0.1 − 0.1 − 0.1 0.3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ 0 1 0 0 ⎟ + 0.9 * ⎜ ⎜ 0 0 1 0⎟ ⎜0 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1.1 − 0.1 0 − 0.1⎞ ⎜ ⎟ − 0.1 1.2 − 0.1 − 0.1 ⎟ L (ε ) = ⎜ ⎜ 0 − 0.1 1.1 − 0.1⎟ ⎜ − 0.1 − 0.1 − 0.1 1.2 ⎟ ⎝ ⎠ Definisi 36 (Fungsi Green G(ε)) Fungsi green G(ε) adalah invers dari L(ε). Jadi G(ε) = L-1(ε), jika diketahui L(ε) = L + εI, dengan skalar ε > 0 atau 0 > ε > -λi untuk nilai ε yang negatif, 1 ≤ i ≤ n dengan -λi adalah nilai-nilai eigen ke-i dari matriks Laplace L dan I suatu matriks identitas. [Katsura, et al., 1971] 2.5 Sifat-Sifat Matriks Laplace L dan L(ε) dari Graf Jaringan Resistor Sebelum membahas tentang sifat-sifat matriks Laplace L dan L(ε) dari graf jaringan resistor, akan dibicarakan tentang penjelasan lain dari matriks Laplace L yaitu mengenai hubungan antara matriks Laplace dengan matriks incidence yang diperoleh dari suatu graf G = (V,E) yang berarah. Ternyata matriks Laplace dapat diperoleh dari perkalian suatu matriks incidence dengan transposenya. Bentuk umum yang lain dari suatu matriks Laplace L adalah L = BBT dengan B suatu matriks incidence yang diperoleh dari suatu graf G = (V,E) yang berarah. Sedangkan,
Berikut beberapa sifat tentang matriks Laplace L dan L(ε) yang diperolah dari suatu graf jaringan resistor. 1. Matriks Laplace diperoleh dari hubungan gambar jaringan resistornya. [Donev] BUKTI : Bentuk umum dari matriks Laplace jaringan resistor adalah suatu conductance matrix yang berbentuk L = C = BCBBT dengan B adalah suatu matriks incidence node-arc dari suatu graf G yang berarah, dan CB adalah suatu matriks diagonal dengan elemenelemen diagonal utamanya adalah nilai konduktansi (invers dari nilai resistansi resistor) di setiap arc (sisi berarah) dari graf jaringan resistor G yang berarah. Karena matriks B dan CB masing-masing diperoleh dari suatu gambar graf dan jaringan resistor, maka matriks Laplace diperoleh dari hubungan gambar jaringan resistor. 2. Setiap entri bukan nol selain entri-entri pada diagonal utama, dari matriks Laplace adalah nilai dari konduktansi resistornya sehingga lij = 1/rij dengan rij nilai resistansi di antara simpul i dan j yang adjacent. 3. Jumlah komponen setiap kolom dalam satu baris sama dengan nol dan jumlah komponen setiap baris dalam satu kolom sama dengan nol. 4. Matriks L hanya mempunyai satu nilai eigen dengan nilai 0. BUKTI : Andaikan matriks L mempunyai lebih dari satu nilai eigen yang bernilai 0. Maka berlaku Lxi = λixi, untuk i = 1, …, n dan λ1 = … = λn = 0 yang bersesuaian dengan vektorvektor eigen xi. Selanjutnya dapat diperoleh Lxi = 0 yang mempunyai solusi taktrivial. Tetapi, karena ruang vektor nol dari L yang
10 0 dengan λi nilai eigen dan λi > 0 maka L(ε) adalah matriks definit negatif simetrik.
memenuhi Lxi = 0 hanya mempunyai satu anggota yaitu vektor x = α(1, 1, …, 1)T, α suatu skalar. Maka untuk x = α(1, 1, …, 1)T persamaan Lxi = 0 = λixi berlaku jika dan hanya jika λ = 0. Jadi, matriks L hanya mempunyai satu nilai eigen dengan nilai 0. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian. 5. Matriks L adalah matriks semidefinit positif simetrik sedang matriks L(ε) adalah matriks definit positif simetrik. BUKTI : Untuk bukti lengkap lihat di Bab pembahasan 3.1. Akan ditunjukkan bahwa L adalah suatu matriks semidefinit positif. Untuk setiap x ≠ 0 dalam Rn maka xTLx = xT λx = λxTx > 0 untuk λ suatu nilai eigen dari L (penjelasan penghitungannya di Pembahasan 3.1). Karena λ = 0 adalah salah satu nilai eigen dari L yang bersesuaian dengan vektor eigen x = α(1, 1, …,1) ≠ 0 dengan α suatu skalar maka ada nilai xTLx yang bernilai xTLx = 0xTx = 0. Jadi, jika untuk suatu matriks L mempunyai nilai xTLx ≥ 0 maka L semidefinit positif. 6. L adalah matriks singular sedang L(ε) adalah matriks taksingular. BUKTI : Setelah dilakukan operasi baris dasar yang berhingga banyaknya terhadap matriks L maka dapat diperoleh suatu matriks U = EkEk – 1…E1L yang merupakan suatu matriks eselon baris. Karena matriks U memiliki satu baris terakhir yang seluruhnya bernilai 0, maka det(U) = 0. Jadi, dapat disimpulkan bahwa det(L) = det(U) = 0. Berarti L adalah matriks singular. Diketahui bahwa L(ε) = L + εI, maka setelah dilakukan operasi baris dasar yang berhingga banyaknya terhadap matriks L(ε) maka dapat diperoleh suatu matriks segitiga atas V yang semua elemen-elemen porosnya (elemen diagonalnya) adalah positif. Hal ini dapat terjadi karena L(ε) merupakan suatu matriks simetrik definit positif (lihat sifat kelima dari matriks definit positif simetrik di landasan teori). Jadi, det(V) = det(L(ε)) ≠ 0 berarti matriks L(ε) adalah taksingular. 7. Matriks L(ε) mempunyai nilai-nilai eigen bernilai positif. BUKTI : Untuk bukti lengkap lihat di Teorema 9, lihat juga sifat ketiga dari matriks definit positif simetrik di landasan teori. 8. Pada matriks L(ε) nilai skalar ε harus ε > 0 atau 0 > ε > -λi untuk nilai ε yang negatif, 1 ≤ i ≤ n dengan -λi adalah nilai-nilai eigen kei dari matriks Laplace L karena jika ε < -λi <
BUKTI : Untuk bukti lengkap bahwa matriks L(ε) adalah matriks definit positif dan proses penghitungan xTL(ε)x untuk setiap x ≠ 0 di Rn yang lengkap lihat di pembahasan 3.1. Jika L(ε) adalah suatu matriks definit positif maka nilai xTL(ε)x = xT(λi + ε)x = (λi + ε)xTx > 0 untuk setiap x ≠ 0 di Rn dengan ε > 0. Misalkan untuk nilai ε < -λi < 0 ⇔ ε + λi < 0 maka xTL(ε)x = (λi + ε)xTx = (ε + λi)xTx < 0. Jadi, untuk nilai ε < -λi < 0 maka matriks L(ε) adalah matriks definit negatif. 2.6 Teorema-Teorema tentang Matriks Laplace L dan L(ε) Berikut ini teorema-teorema yang berhubungan dengan sifat-sifat matriks Laplace. Teorema 7
⎛ l 11 − l 12 ⎜ − l 21 − l 22 Misalkan L = ⎜ # ⎜ # ⎜ − l n 1 − ln 2 ⎝ matriks
" − l 1n ⎞ ⎟ " − l 2n % "
⎟ suatu
# ⎟ lnn ⎟⎠
Laplace.
Jika
N
∑l
ij
= 0, ∀i ∈ {1, ..., n} maka 0 adalah nilai
j =1
eigen dari L. Catatan : Matriks Laplace L dapat dinyatakan oleh vektor-vektor kolomnya, yaitu ⎛ l1 j ⎞ ⎜ ⎟ Lj = # ⎜⎜ ⎟⎟ . L = [ L1"Lj"Ln] ; dengan ⎝ lnj ⎠ 1≤ j ≤ n Karena jumlah dari setiap komponen pada kolom-kolom matriks Laplace L sama dengan N
nol, maka berlaku ∑ Lj = 0 . j =1
BUKTI 1 : ( ⇒ ) Diketahui N
∑ lij = li1 + li 2 + ... + lin = 0, ∀i ∈ {1, ..., n} j =1
l 11+l 12 +...+l 1n =0 l 21+l 22+...+l 2 n =0 l 31+l 32+...+l 3 n =0 # # # # # # ln1+ln 2+...+lnn =0
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
11
⎡ l1n ⎤ ⎡0⎤ ⎡l11 ⎤ ⎡ l12 ⎤ ⎢l2 n ⎥ ⎢0⎥ ⎢l21 ⎥ ⎢l22 ⎥ ⎢l ⎥ + ⎢ l ⎥ + ... + ⎢l ⎥ = ⎢0⎥ ⎢ 3n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 31 ⎥ ⎢ 32 ⎥ # # ⎢ # ⎥ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣lnn ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ln1 ⎥⎦ ⎢⎣ln 2 ⎥⎦ Misalkan λ adalah salah satu nilai eigen dari L yang bersesuaian dengan vektor eigen
v ≠ 0 . Akan ditunjukkanG
G ( L − λ I )v = 0 G G G Ù Lv − λ I v = 0 G G G G G Ù Lv = 0 + λ I v = λ I v = λ v . G G Maka L v = λ v , sehingga diperoleh
⎡l11v11 + l12 v21 + ... + l1n vn1 ⎤ ⎡ λv11 ⎤ ⎢l v + l v + ... + l v ⎥ ⎢ ⎥ 2 n n1 ⎢ 21 11 22 21 ⎥ ⎢λv21 ⎥ ⎢l31v11 + l32 v21 + ... + l3n vn1 ⎥ = ⎢λv31 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢# # # # # # # # ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ln1v 11 +ln 2 v21 + ... + lnn v n1 ⎥ ⎢⎣λvn1 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎛ v11 ⎞ ⎜ ⎟ dengan v = # . ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ v n1 ⎠
Jadi L1v11 + L2v21 + ... + Lnvn1 = λ v . Dapat diperoleh kesimpulan bahwa det(L) = det(Ln) = 0. Dengan menggunakan operasi baris dasar yang berhingga banyaknya terhadap matriks L maka dapat diperoleh hasil seperti berikut ini. ___________________________________________________________________________________ ⎛ l 11 − l 21 − l 12 + l 22 " − l 1n − l 2 n ⎞ ⎛ l 11 − l 12 " − l 1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ " − l 21 l 22 " − l 2 n E 12 (1) − l 12 − l 22 − l 2n ⎟ " E 1 n (1 ) ⎜ ⎟ L=⎜ # % # ⎟ ~ ⎜ # # % # ~ ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ − ln 1 ⎜ − ln1 − ln 2 " lnn ⎟ " n2 nn l l − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎛ l 11 − l 21 − ... − ln1 − l 12 + l 22 − ... − ln 2 ⎜ − l 21 l 22 ⎜ # # ⎜ ⎜ − ln 1 − ln 2 ⎝
" − l 1n − l 2 n − ... + lnn ⎞ ⎛ 0 0 ⎟ ⎜ " − l 2n − l 21 l 22 ⎟=⎜ % # # ⎟ ⎜ # ⎜ ⎟ " lnn ⎠ ⎝ − ln 1 − ln 2
" 0 ⎞ ⎟ " − l 2n ⎟ = Ln % # ⎟ " lnn ⎟⎠
__________________________________________________________________________________ Karena det(L) = 0 berarti L1, L2, L3, ..., Ln adalah saling bergantung linear. Maka ada BUKTI : suatu skalar v11, v21, v31, ..., vn1 yang tidak ( ⇒ ) Misalkan λi nilai eigen yang dimiliki semuanya nol, sehingga oleh L(ε) dengan i = 1, 2, ..., n (beberapa dari λi boleh sama). Maka berlaku L(ε)xj = λjxj, v11L1 + v21L2 + ... + vn1Ln = 0 ...... (2). untuk setiap j, adalah vektor kolom ke-j dari Serta L(ε)X dengan X adalah matriks dimana vektor v11L1 + v21L2 + ... + vn1Ln = λ v ...... (3), kolom ke-j adalah xj, jika xj adalah vektor eigen yang dimiliki oleh λj, berarti X adalah maka dari persamaan-persamaan (2) dan (3) bebas linear. Andaikan untuk xj dengan j = 1, dapat diperoleh 0 = λ v . 2, ..., m dengan m > n maka diperoleh bahwa X adalah bergantung linear. Kontradiksi dengan Karena v ≠ 0 , maka supaya persamaan fakta bahwa X bebas linear. Jadi haruslah m = 0 = λ v dipenuhi, jika dan hanya jika haruslah n. Maka untuk setiap j, λj adalah nilai eigen λ = 0. Jadi 0 harus menjadi nilai eigen dari L. dari L(ε) dan xj adalah vektor eigen yang (Terbukti) dimiliki oleh λj. Maka berlaku L(ε)xj = λjxj BUKTI 2 : dan Setelah diperoleh kesimpulan bahwa det(L) = L(ε)X = (L(ε)x1, L(ε)x2, ..., L(ε)xn) 0. Dapat diketahui bahwa L adalah matriks = (λ1x1, λ2x2, ..., λnxn) singular. Jika L matriks singular maka ⎞ ⎛ λ1 berdasarkan Teorema 5 0 adalah salah satu ⎟ ⎜ 2 λ nilai eigen dari matriks L. ⎟ = ( x1, x 2,..., xn )⎜ (Terbukti) % ⎟ ⎜ Teorema 8 Jika L(ε) memiliki n nilai eigen maka L(ε) memiliki n vektor eigen.
⎜ ⎝
= XD.
λn ⎟⎠
12 Karena vektor-vektor kolom X adalah bebas linear, maka L(ε) mempunyai n vektor eigen yang bebas linear. (Terbukti) Teorema 9 Jika λ1, ..., λn adalah nilai eigen dari L maka λ1 + ε, ..., λn + ε adalah nilai eigen dari L(ε). BUKTI : ( ⇒ ) Misalkan λ1, ..., λn adalah nilai eigen dari L yang bersesuaian dengan vektor eigen ortonormal x1, ..., xn. Karena λ1, ..., λn adalah n nilai eigen yang berbeda dari L dan L mempunyai n vektor eigen berbeda yang saling bebas linear. Maka terdapat matriks pendiagonal X dengan X = (x1, ..., xn) dan suatu matriks diagonal D. Matriks pendiagonal X adalah matriks taksingular dengan vektorvektor kolom dari X merupakan n vektor eigen berbeda yang saling bebas linear. X dapat mendiagonalisasi L sehingga berlaku X-1LX = D. Karena L(ε) juga mempunyai n vektor eigen ortonormal yang sama dengan milik L, maka X juga dapat mendiagonalisasi L(ε) = L + εI akan berlaku juga X-1L(ε)X = D(ε) ↔ -1 X L(ε)X = X-1(L(ε)x1, L(ε)x2, ..., L(ε)xn). Karena X suatu matriks uniter dan ortogonal maka X-1 = XT dan X-1L(ε)X = XTL(ε)X = (x1, x2, ..., xn)T(L(ε)x1, L(ε)x2, ..., L(ε)xn)
⎛ x1 ⎞ ⎜ T⎟ = ⎜ x2 ⎟(L(ε ) x1, L(ε ) x 2, " L(ε ) xn ) ⎜#⎟ ⎜ T⎟ ⎝ xn ⎠ T ⎛ x1 L(ε )x1 x1T L(ε )x 2 " x1T L(ε )x n ⎞ ⎟ ⎜ T T T = ⎜ x 2 L(ε )x1 x 2 L(ε )x 2 " x 2 L(ε )x n ⎟ ⎟ ⎜ # # % # ⎜ xT L(ε )x xT L(ε )x " xT L(ε )x ⎟ ⎝ n 1 n 2 n n⎠ T T T x ( L + ε I ) x x ( L + ε I ) x x ( L + ε I )x n ⎞ " ⎛ 1 1 1 2 1 ⎜ T ⎟ T T x2 (L + εI)x1 x2 (L + εI)x2 " x2 (L + εI)xn ⎟ ⎜ = # # % # ⎜ ⎟ ⎜ xT (L + εI)x xT (L + εI)x " xT (L + εI)x ⎟ 1 n 2 n n⎠ ⎝ n T
⎛ x1T Lx1 + x1TεIx1 x1T Lx2 + x1TεIx2 " x1T Lxn + x1TεIxn ⎞ ⎜ T ⎟ x2 Lx1 + xT2 εIx1 xT2 Lx2 + xT2 εIx2 " xT2 Lxn + xT2 εIxn ⎟ ⎜ = # # % # ⎜ ⎟ ⎜ xT Lx + xT εIx xT Lx + xT εIx " xT Lx + xT εIx ⎟ n n n n⎠ ⎝ n 1 n 1 n 2 n 2 T T T T T T ⎛ x1 λ1x1 + x1 εx1 x1 λ2x2 + x1 εx2 " x1 λnxn + x1 εxn ⎞ ⎜ T ⎟ x2 λ1x1 + xT2 εx1 xT2 λ2x2 + xT2 εx2 " xT2 λnxn + xT2 εxn ⎟ ⎜ = # # % # ⎜ ⎟ ⎜ xT λ x + xT εx xT λ x + xT εx " xT λ x + xT εx ⎟ n n n n n⎠ ⎝ n 11 n 1 n 2 2 n 2 T T T T T T ⎛ λ1x1 x1 + εx1 x1 λ2x1 x2 + εx1 x2 " λnx1 xn + εx1 xn ⎞ ⎜ T ⎟ λ1x2 x1 + εxT2 x1 λ2xT2 x2 + εxT2 x2 " λnxT2 xn + εxT2 xn ⎟ ⎜ = # # % # ⎜ ⎟ ⎜ λ xT x + εxT x λ xT x + εxT x " λ xT x + εxT x ⎟ n n n n n⎠ ⎝1n1 n1 2n 2 n 2 " λ + ε λ + ε λ + ε . 1 . 1 . 0 . 0 . 0 . 0 ⎛ 1 ⎞ 2 n ⎜ ⎟ " . 0 . 0 . 1 . 1 . 0 . 0 λ + ε λ + ε λ + ε 2 n ⎟ =⎜ 1 # % # ⎜ # ⎟ ⎜ λ .0 + ε .0 λ .0 + ε .0 " λ .1 + ε .1 ⎟ 2 n ⎝ 1 ⎠ " 0 0 0 0 + + + λ ε ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 0 + 0 λ2 + ε " 0 + 0 ⎟ =⎜ # % # ⎟ ⎜ # ⎜ 0+0 0+0 " λ +ε ⎟ n ⎝ ⎠ " + λ ε 0 0 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ " + 0 0 λ ε 2 ⎟ = D(ε ). =⎜ # % # ⎟ ⎜ # ⎜ 0 " λn + ε ⎟⎠ 0 ⎝ Karena nilai-nilai pada diagonal utama merupakan nilai-nilai eigen maka λ1 + ε, ..., λn + ε adalah nilai-nilai eigen dari L(ε) = L + εI. (Terbukti)
III PEMBAHASAN Masalah dalam teori jaringan listrik yang banyak dipelajari oleh para ilmuwan yaitu tentang penghitungan nilai resistansi di antara dua simpul (titik) pada suatu jaringan resistor. Masalah resistansi resistor sering dipelajari atau dibahas sebagai satu bagian dalam masalah penyelesaian persamaan differensial,
terutama untuk masalah jaringan takhingga (infinite networks). Sehingga, sedikit ilmuan yang mau membahas tentang masalah jaringan hingga (finite networks), padahal sangat berhubungan erat dengan kehidupan nyata. Pada bab ini akan dibahas tentang masalah dan penyelesaiannya dalam suatu formula (rumus)
13 umum untuk masalah jaringan hingga (finite networks). Teori tentang jaringan listrik untuk pertama kalinya diformulasikan oleh Kirchhoff dalam bentuk Hukum Kirchhoff (Kirchhoff’s Laws) sebagai satu masalah analisis linear. Sebagai pendahuluan, misalkan diambil masalah tentang matriks Laplace yang sangat berhubungan dengan jaringan resistor (resistors network), karena pada matriks Laplace nilai-nilai di setiap entrinya merupakan nilai-nilai dari konduktansi dari resistor yang dihubungkan oleh simpul-simpul (nodes) yang saling adjacent. Misalkan terdapat suatu jaringan resistor terdiri dari N simpul yang bernomor dengan i = 1, 2, ..., N. Maka dari jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berukuran N × N. Pada jaringan resistor tersebut, dapat diperoleh juga potensial listrik pada setiap simpul ke-i dilambangkan dengan Vi dan kuat arus listrik dalam jaringan resistor yang mengalir pada setiap simpul ke-i dilambangkan dengan Ii. Karena tidak ada sumber arus listrik yang masuk dari lingkungan dunia luar jaringan, maka berlaku N
∑ Ii = 0
i =1
……
(4)
Berdasarkan hukum Kirchhoff berlaku N
∑ ' cij (Vi – Vj) = Ii, i = 1, 2, …, N j =1
dengan
notasi
N
∑' j =1
menunjukkan
…… (5) bahwa
persamaan ruas kiri tidak berlaku untuk kondisi i = j. Secara eksplisit, Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai
JG G LV = I
……
(6)
dengan V dan I adalah masing-masing vektor berukuran N yang mempunyai komponen masing-masing Vi dan Ii (ii). Untuk menghitung nilai resistansi Rαβ di antara dua simpul α dan β, dalam percobaan di bidang Fisika maka simpul α dan β terlebih dahulu dihubungkan dengan sumber listrik berupa suatu baterai dan arus sebesar I akan keluar dari baterai ketika tidak ada simpulsimpul yang dihubungkan dengan sumber luar yang lain. Penghitungan nilai resistansi di antara dua simpul α dan β, Rαβ, berhubungan dengan penyelesaian Persamaan (5) untuk Vα dan Vβ dengan arus listriknya diberikan sebagai bentuk I i = I (δ iα − δ iβ ) …… (7), jika potensial (tegangan) listrik pada dua simpul α dan β, yaitu masing-masing Vα dan Vβ, maka nilai resistansi di antara dua simpul α dan β adalah
V α _V β
R αβ =
,
I untuk pembahasan selanjutnya, nilai resistansi di antara dua simpul dihitung dengan menggunakan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace.
3.1 Teorema Resistansi Dua-Simpul Misalkan suatu jaringan resistor dengan matriks Laplace L mempunyai nilai-nilai eigen taknol λi yang bersesuaian dengan vektorvektor eigen ortonormal ui = (ui1, ui2, …, uiN), i = 2, 3, …, N. Maka nilai resistansi di antara simpul α dan β diberikan oleh N
Rαβ = ∑ i =2
1
λ
uiα − uiβ
2
…… (8).
i
BUKTI : Sebagai pendahuluan akan ditentukan nulitas(L). Karena L adalah suatu matriks singular dan salah satu sifat dari matriks L yaitu jumlah dari komponen-komponen setiap kolom dari L sama dengan nol maka matriks L dapat direduksikan menjadi bentuk eselon baris dengan operasi-operasi baris yang berhingga banyaknya. Jadi misalkan diperoleh U = EkEk – 1 … E1L. Maka pasti U memiliki satu baris yang seluruhnya terdiri dari nol. Dapat diartikan, jika L matriks singular, maka matriks U memiliki satu baris terakhir yang seluruhnya terdiri dari nol dan dengan demikian det(U) = 0. Setelah dilakukan operasi baris dasar terhadap matriks L dapat diperoleh suatu bentuk eselon baris tereduksi berbentuk ⎛ 1 0 0 0 " 0 0 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 0 " 0 0 0 − 1⎟ ⎜ 0 0 1 0 " 0 0 0 − 1⎟ ⎜ 0 0 0 1 " 0 0 0 − 1⎟ ⎜ ⎟ U = # # # # % # # # # .
⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
⎟
0 0 0 " 1 0 0 − 1⎟ 0 0 0 " 0 1 0 − 1⎟
0 0 0 " 0 0 1 − 1⎟ ⎟ 0 0 0 " 0 0 0 0⎠ Matriks U di atas akan memudahkan dalam mencari penyelesaian sistem berbentuk Ux = 0 sebagai transformasi dari sistem berbentuk Lx = 0. Maka sistem Lx = 0 sekarang sudah dapat ditentukan penyelesaiannya, yaitu x = α(1, 1,…, 1)T, sehingga dapat diperoleh ruang vektor nol N(A) terdiri atas semua vektor yang berbentuk α(1, 1,…, 1)T, dengan α suatu skalar maka nulitas(L) = 1. Karena nulitas(L) = 1 maka hanya ada satu anggota dari ruang vektor nol N(A) yaitu berbentuk α(1, 1,…, 1)T. Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa vektor α(1, 1,…, 1)T akan menjadi satu vektor eigen
14 sebagai anggota vektor-vektor eigen dari matriks L, yang bersesuaian dengan satu nilai eigen dari matriks L, sehingga akan berlaku Lx = 0 = λx jika dan hanya jika λ = 0, dengan x = α(1, 1,…, 1)T. Berarti hanya ada satu nilai eigen yang bernilai nol, λ1 = 0 bersesuaian dengan vektor eigen x = α(1, 1,…, 1)T. Proses pembuktian dimulai dengan menyelesaikan persamaan
JG G LV = I
yaitu dengan mencari invers dari matriks Laplace L, atau disebut juga fungsi Green G(ε). Tetapi, karena matriks L hanya mempunyai satu nilai eigen yang bernilai nol, sebagai akibat dari jumlah setiap kolom atau baris dari matriks L sama dengan nol dan setiap vektor kolom atau vektor baris dari matriks L saling bergantung linear. Berimplikasi bahwa matriks L adalah singular berarti determinan matriks L tersebut sama dengan nol. Maka matriks L tidak mempunyai invers, supaya matriks L mempunyai invers caranya matriks L harus dibuat menjadi suatu matriks taksingular sehingga invers dari L sekarang sudah dapat ditentukan. Dengan menambahkan suatu nilai skalar yang kecil, misalkan ε, dalam bentuk εI kepada matriks Laplace L, dengan I adalah matriks identitas berorde N × N, serta syarat dari nilai ε tersebut adalah ε > 0 atau 0 > ε > -λi untuk nilai ε yang negatif, 1 ≤ i ≤ n dengan -λi adalah nilai-nilai eigen ke-i dari matriks Laplace L. Dengan menempatkan nilai ε = 0 pada pendekatan akhirnya. Sehingga dapat diperoleh bentuk matriks Laplace L yang dimodifikasi yaitu L(ε) = L + εI. Bentuk dari nilai-nilai elemen matriks L(ε) adalah sama bentuknya dengan nilai-nilai elemen matriks L kecuali pada nilai-nilai elemen-elemen diagonal li diganti nilainya dengan li + ε. Selanjutnya karena L(ε) suatu matriks simetrik (dapat dibuktikan bahwa pada matriks L akan berlaku LT = L, artinya lji = lij), maka setelah dilakukan penghitungan dengan semua x taknol dalam Rn yaitu xTL(ε)x akan bernilai xTL(ε)x > 0. Akan ditunjukkan L(ε) matriks simetrik definit positif, jika x adalah sembarang vektor taknol dalam Rn, maka x dapat dituliskan dalam bentuk n
x = ∑ α i xi ⇔ i =1
x = α1x1 + α2x2 + … + αnxn (αi suatu skalar) (lihat Leon, 1998) dengan {x1, …, xn} adalah himpunan vektor-vektor eigen ortonormal dari L(ε) (lihat Leon, 1998). Jadi, jika {x1, …, xn} adalah sebuah ruang hasil kali dalam X dan
n
x = ∑ α i xi , i =1
maka αi = <x,xi> = xTxi = <xi,x> untuk i = 1, …, n (lihat Leon, 2001) dan n
∑ (α i ) 2 = x
2
i =1
>0
(lihat Rumus Parseval, Leon, 1998). Karena xi vektor-vektor eigen ortonormal dari L(ε) maka L(ε)xi = λixi αiL(ε)xi = αiλixi xTL(ε)x = xT(α1L(ε)x1 + … + αnL(ε)xn) = (α1x1 + … + αnxn)T(α1λ1x1 + … + αnλnxn) T 2 T = α 1 λ1 x1 x1 + … + α n2 λ n x nxn 2
= α 12λ 1 x1 + … + α 2nλ n xn = α 12λ 1 (1) + … + α 2nλ n (1) 2
2 2
= α 12λ1 + … + α 2nλ n n
= ∑ (α i ) 2 λi i =1
2
= x λi 2
≥ (min λi) x > 0 Ù xTL(ε)x > 0. Dapat diperoleh kesimpulan bahwa matriks L(ε) adalah matriks simetrik definit positif. Jadi untuk ε > 0 atau 0 > ε > -λi untuk nilai ε yang negatif, 1 ≤ i ≤ n dengan -λi adalah nilainilai eigen ke-i dari matriks Laplace L karena L(ε) matriks simetrik definit positif maka matriks L(ε) adalah taksingular (lihat sifat matriks simetrik definit positif) dan semua nilai-nilai eigen dari L(ε) adalah positif (lihat sifat matriks simetrik definit positif). Selanjutnya diperoleh bahwa L(ε) mempunyai nilai-nilai eigen λi + ε (lihat Teorema 9) dan L(ε) matriks real simetrik dapat didiagonalisasikan oleh transformasi uniter atau dalam bentuk matriks uniter (lihat teorema matriks uniter, Leon, 1998) yang sama dengan mendiagonalisasikan matriks L. Invers dari matriks L(ε) sekarang dapat didefinisikan kecuali pada nilai ε = 0. Misalkan invers matriks L(ε) dituliskan sebagai G(ε) = L-1(ε). Persamaan
JG G LV = I
dapat dituliskan kembali sebagai G G L (ε )V (ε ) = I …… (9) dan dengan perkalian kiri oleh G(ε) maka diperoleh G G G (ε )L (ε )V (ε ) = G (ε ) I G G -1 Ù L (ε ) L (ε )V (ε ) = G (ε ) I
15 G G Ù IV (ε ) = G (ε ) I G G Ù V (ε ) = G (ε ) I . Secara eksplisit dapat dituliskan N
Vi (ε ) = ∑ Gij (ε ) I j , i = 1, 2, ..., N …… (10), j =1
dengan Gij(ε) adalah elemen ke-ij dari matriks G(ε). N
Vi (ε ) = ∑ Gij (ε ) I j , i = 1, 2, ..., N , maka j =1 N
V1 (ε ) = ∑ G1 j (ε ) I j j =1
= G 11 (ε ) I1 + G12 (ε ) I 2 + ... + G1N (ε ) I N
{
Invers dari persamaan U-1L(ε)U = D(ε) adalah U-1G(ε)U = D-1(ε), -1 dengan D (ε) mempunyai elemen-elemen 1 −1 δ ij , diagonal utama (λi + ε ) δ ij = (λi + ε ) dan diperoleh dengan proses berikut −1
U L (ε ) U = D(ε ) −1
−1
N
⇔ ( U L (ε ) U )
j =1
⇔ ([ U L (ε )]U )
V2 (ε ) = ∑ G2 j (ε ) I j
−1
= G21 (ε ) I1 + G22 (ε ) I 2 + ... + G2 N (ε ) IN
#
diagonal dengan elemen-elemen diagonalnya λiδij dan (λi + ε)δij, dengan N 1 jika i = j . < ui , u j > = ∑ uiα u jα = δ ij = α 0 jika i ≠ j
#
#
#
#
−1
−1
N
VN (ε ) = ∑ GNj (ε ) I j j =1
= GN 1 (ε ) I1 + GN 2 (ε ) I 2 + ... + GNN (ε ) IN
= D (ε )
−1 −1
= U-1(λ1u1, λ2u2, ..., λnun) = U-1(Lu1, Lu2, ..., Lun) = U-1LU berarti U-1LU = D -1 ÙU L(ε)U = D(ε) ...... (11). Dapat dibuktikan bahwa elemen-elemen dari matriks U adalah Uij = uji, dengan uji adalah elemen-elemen vektor-vektor baris eigen ortonormal matriks L dan L(ε). Sedangkan D dan D(ε) masing-masing matriks
−1
−1
= D (ε )
−1
−1 −1
⇔ U L (ε )( U ) −1 −1
−1
= D (ε )
−1
⇔ U L (ε ) U = D (ε ) −1
−1
⇔ U G (ε ) U = D (ε ) Berikutnya dapat diperoleh −1
dengan Gij(ε) adalah elemen ke-ij dari matriks G(ε). Selanjutnya akan dihitung nilai dari elemen-elemen fungsi Green Gij(ε). Diketahui bahwa L dan L(ε) mempunyai n vektor eigen ortonormal berbeda yang saling bebas linear. Misalkan U adalah matriks uniter dan ortogonal yang mempunyai n vektor kolom (n vektor eigen ortonormal) berbeda yang bebas linear maka matriks U dapat mendiagonalisasi L dan L(ε) (U disebut matriks pendiagonal). Karena U adalah taksingular maka berlaku juga D = ID D = U-1UD
⎞ ⎛ λ1 ⎟ ⎜ λ −1 2 ⎟ ⎜ = U (u1 ,u 2 , ..., u n ) % ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λ n ⎠ ⎝
−1
⇔ U [ U L (ε )]
#
−1
= D (ε )
UU G (ε ) UU
−1
−1
= UD (ε ) U −1
⇔ IG (ε )I = UD (ε ) U −1
−1
−1
−1
⇔ G (ε ) = UD (ε ) U atau secara eksplisit diperoleh N 1 ⎞ −1 Gαβ (ε ) = ∑ Uα i ⎛⎜ ⎟U β i i =1 ⎝ λi +ε ⎠ = ∑ uiα ⎛⎜ N
1
⎞u −1
⎟ ⎝ λi +ε ⎠
i =1
iβ
⎛ 1 ⎞ −1 ⎛ 1 ⎞ −1 u1β + u2α ⎜ ⎟ ⎟ u2 β ⎝ λ1 +ε ⎠ ⎝ λ2 +ε ⎠ ⎛ 1 ⎞ −1 ⎛ 1 ⎞ −1 + u3α ⎜ u3 β + u4α ⎜ ⎟ u4 β ⎟ ⎝ λ3 +ε ⎠ ⎝ λ4 +ε ⎠
= u1α ⎜
⎛ 1 ⎞ −1 ⎟ uN β ⎝ λN +ε ⎠
+ ... + u Nα ⎜
( )
uiα adalah elemen baris ke-iu dari −1vektor eigen u3α u3−β1 1 1 1 2α u2 β ortonormal = kolom ke-α dari + matriks + Laplace N−1 0+ε N (λ +ε ) (λ3 +ε ) L(ε), dan u iβ adalah elemen2 baris ke-i dari −1 −1 u u u u Nα N β 4α ortonormal 4β vektor eigen + + ... + kolom ke-β dari +ε ) G(ε).(λN +ε ) (λ4Green matriks fungsi Vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks N u u −1 1 1 iβ L(ε) dan dalam bentuk = G(ε) +dapat ∑ iα ditulis N + ( ) ε λ 2 vektor-vektor barisi =secara dari atas ke i ε terurut bawah sesuai urutan nilai-nilai eigennya 1 ......Dengan (12) + gαβ (ε ) matriks V. sehingga= Nmembentuk ε menyubstitusikan N u u −1 dengan gαβ (ε ) = ∑ iα iβ ...... (13). i = 2 ( λi +ε )
()
16 uiα adalah elemen baris ke-i dari vektor eigen ortonormal kolom ke-α dari matriks Laplace −1
L(ε), dan u iβ adalah elemen baris ke-i dari vektor eigen ortonormal kolom ke-β dari matriks fungsi Green G(ε). Vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks L(ε) dan G(ε) dapat ditulis dalam bentuk vektor-vektor baris secara terurut dari atas ke bawah sesuai urutan nilai-nilai eigennya sehingga membentuk matriks V. Dengan menyubstitusikan 1 Gαβ (ε ) = + gαβ (ε ) Nε ke dalam N
⇔ Vα (ε ) =
β =1
Maka untuk nilai potensial listrik di setiap sisi ke-i, i = 1, 2, …, n yaitu Vi(ε) akan diperoleh hubungan Vi (ε ) =
N
∑ gij (ε ) I j
…… (14)
j =1
Sekarang mulailah membatasi nilai ε (gunakan manipulasi Matematika) dengan mengambil nilai ε menuju nol, ε → 0 maka berlaku N
Vi = ∑ gij (0) Ij . j =1
Akhirnya dengan menggabungkan persamaanpersamaan
Vi (ε ) = ∑ Gij (ε ) I j , i = 1, 2, ..., N
Rαβ =
j =1
sebelumnya digunakan persamaan
V α −V β , I
N
Ii = I (δ iα − δ i β ) ,
i =1
Vi = ∑ gij (0) Ij
∑ Ii = 0 Ù I1 + I2 + I3 + I4 + … + IN = 0,
N
j =1
maka untuk β = i = 1, …, N dan
dapat diperoleh persamaan Rαβ = gαα(0) + gββ(0) – gαβ(0) – gβα(0) yang selanjutnya akan menjadi
N
∑ Iβ = 0 ,
β =1
diperoleh
N
Rαβ = ∑
N
Vi (ε ) = ∑ Gij (ε ) I j , i = 1, 2, ..., N , maka
i =2
j =1 N
j =1
= G11 (ε ) I1 + G12 (ε ) I 2 + ... + G1 N (ε ) I N N
V2 (ε ) = ∑ G2 j (ε ) I j j =1
= G21 (ε ) I1 + G22 (ε ) I 2 + ... + G2 N (ε ) IN #
#
#
#
N
β =1
= Gα 1 (ε ) I1 + Gα 2 (ε ) I 2 + ... + Gα N (ε ) IN
( 1 = ∑( I Nε ) N
β =1
)
1 + gαβ (ε ) I β Nε
N
β =1
N
β
+ ∑ gαβ (ε ) I β β =1
N ⎛ 1 ⎞ ⎟ β∑=1 I β + ∑ gαβ (ε ) I β β =1 ⎝ Nε ⎠ N
=⎜
N ⎛ 1 ⎞ ⎟ (0) + ∑ gαβ (ε ) I β β =1 ⎝ Nε ⎠
=⎜
= 0+
N
∑ gαβ (ε ) I β
β =1
λ
uiα − uiβ
2
i
N
#
I j = I (δ jα − δ j β ) , Vi = ∑ gij (0) Ij , j =1
N
N
j =1
j =1
Vα = ∑ gα j (0) I j , Vβ = ∑ g β j (0) I j
Vα (ε ) = ∑ Gαβ (ε ) I β
Vα (ε ) = ∑
1
setelah digunakan persamaan N u u −1 gαβ (ε ) = ∑ iα iβ . i = 2 ( λ +ε ) i Proses perhitungannya lihat di Lampiran 9 sebagai berikut : jika diketahui persamaanpersamaan berikut Vα −V β Rαβ = , I i = I (δ iα − δ iβ ) , I
V1 (ε ) = ∑ G1 j (ε ) I j
#
N
∑ gαβ (ε ) I β
3.2 Jaringan Resistansi Dua-Simpul Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu jaringan resistor berbentuk graf sembarang, misalkan berbentuk persegi sembarang dengan diagonalnya atau jaringan resistor berbentuk graf lengkap, dengan resistornya berada di antara dua simpul yang saling adjacent seperti diperlihatkan pada Gambar 6 di Lampiran 1, maka berdasarkan gambar jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks Laplace L. Kemudian dari matriks Laplace L tersebut dapat diperoleh nilai-nilai eigen dan vektorvektor eigen λi dan vi yang memenuhi Lvi = λivi, i = 1, 2, … , N. Misalkan viα, α = 1, 2, … , N adalah anggota dari vi. Karena jumlah dari komponen-
17 komponen kolom atau baris dari matriks Laplace L sama dengan nol, maka satu dari nilai-nilai eigennya adalah nol. Untuk nilai eigen yang pertama yaitu λ1 = 0 akan mempunyai vektor eigen ortonormal u1α = 1/√N, α = 1, 2, … , N. Jika λ1 = 0 bersesuaian dengan vektor eigen v = (1, 1, ..., 1)T maka v dapat dibuat menjadi vektor eigen ortonormal dengan = 12 + ... + 12 = 1 + ... + 1 N
= ∑1 = N i =1
dan ||v|| = Jadi, 1
< v, v > = diperoleh
N . vektor
satuan
u
=
(1, 1, ..., 1) dengan u1α = 1 / N , α = 1, 2, T
N … , N. Karena matriks L adalah matriks real yang simetrik, maka L adalah matriks Hermite (lihat di Leon, 1998). Dapat dibuktikan bahwa LH = LT, maka nilai-nilai eigen suatu matriks Hermite semuanya adalah real. Selanjutnya, vektor-vektor eigen yang dimiliki oleh nilainilai eigen yang berbeda adalah ortogonal (untuk bukti lengkap lihat di Teorema matriks Hermite di Leon, 1998), sehingga vektorvektor eigen vi dapat dijadikan vektor-vektor yang ortonormal. Setelah dihitung nilai-nilai eigen λi, untuk i = 2, 3, ..., N yang bersesuaian dengan vektor-vektor eigen yang ortonormal ui maka dapat ditentukan nilai resistansi di antara dua simpul, misalkan simpul α dan β, Rαβ dengan menggunakan formula Teorema Resistansi Dua-Simpul.
3.3 Jaringan Satu Dimensi dengan Kondisi Batas Bebas Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu jaringan resistor berbentuk graf, dalam bentuk garis lurus yang resistornya dipasang seri (dipasang terurut membentuk barisan) terdiri dari N – 1 resistor dengan simpul-simpul yang bernomor mulai dari 1, 2, 3, … , N dengan kondisi batas bebas. Penomoran simpul ini berdasarkan pada penomoran simpul di gambar graf jaringan resistornya. Perhatikan Gambar 7 di Lampiran 1. Jika terdapat suatu gambar jaringan resistor dalam satu dimensi dengan kondisi batas bebas berbentuk graf berarah terdiri dari N – 1 resistor, misalkan nilai resistansi dari resistor di setiap sisi diasumsikan sama masing-masing sebesar r ohm, selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks diagonal CB dengan nilai komponen poros diagonal utama merupakan nilai-nilai dari konduktansi resistor di setiap
sisi sebesar 1/r = r-1. Karena nilai r-1 diasumsikan sama (dapat diasumsikan bahwa nilai-nilai r-1 merupakan suatu konstanta) sehingga matriks diagonal CB dapat dituliskan dalam bentuk CB = r-1I, dengan I matriks identitas berorde n×n. Selanjutnya, dari gambar graf jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks incidence B dengan B berbentuk ⎛1 0 0 0 " 0 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜−1 1 0 0 " 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 −1 1 0 " 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 −1 1 " 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ B= # # # # % # # # # ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 " −1 1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 " 0 −1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 " 0 0 −1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 0 " 0 0 0 − 1⎠ sehingga akan diperoleh suatu matriks Laplace L = BCBBT = Br-1IBT = r-1BIBT = r-1BBT = r-1 Tfree N (catatan : sebenarnya matriks incidence B mempunyai bentuk yang banyak / tidak hanya satu, sesuai dengan arah panah yang dibuat pada gambar graf). Maka dari gambar jaringan resistor tersebut jika terdapat N – 1 resistor maka dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk free
−1
free
L { N ×1} = r T N free
Dengan T N
⎛1 ⎜ −1 free ⎜ T N =⎜ # ⎜0 ⎜0 ⎝
adalah matriks N×N
⎞ 0 0 0⎟ ⎟ # % # # # ⎟ 0 " −1 2 −1⎟ 0 " 0 −1 1 ⎟⎠
−1 0 " 2 −1 "
0
0
0
# 0 0 Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen free
ortonormal dari T adalah N λ n = 2(1 − cosΦn ) (N )
v nx =
, n = 0,1, ..., N − 1
1
N untuk n = 0, semua x.
=
2
cos(( x + 1/ 2)Φn ) , N untuk n = 1, 2, … , N – 1, semua x. dengan Φ n = nπ/N .
Maka, nilai resistansi di antara simpul x1 dan x2 adalah
18
(N )
N −1
free
R { N ×1}( x1 , x2 ) = n∑=1
(N )
sehingga akan diperoleh suatu matriks Laplace L = BCBBT = Br-1IBT = r-1BIBT = r-1BBT
2
v nx _ v nx 1 2
λn jika nilai resistansi r adalah 1 ohm. Atau dalam bentuk umum adalah free
R { N ×1}( x1 , x2 ) = r
⎡cos( x1 + 1 )Φn−cos( x2 + 1 )Φn ⎤ ⎣ ⎦ 2 2 ∑ n=1
2
N −1
N 1 − cosΦn Pembuktian penghitungan untuk menentukan formula (rumus) nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen
ortonormal
free
dari
TN
dapat
dilihat
di
Lampiran 10.
3.4 Jaringan Satu Dimensi dengan Kondisi Batas Periodik Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu jaringan graf berbentuk lingkaran yang terdiri dari N resistor yang masing-masing dihubungkan oleh dua simpul. Pada jaringan graf tersebut simpul-simpulnya bernomor mulai dari 1 sampai N. Penomoran simpul ini berdasarkan pada penomoran simpul di gambar graf jaringan resistornya. Seperti diperlihatkan pada Gambar 8 di Lampiran 1. Jika terdapat suatu gambar jaringan resistor dalam satu dimensi dengan kondisi batas periodik berbentuk graf berarah terdiri dari N – 1 resistor, misalkan nilai resistansi dari resistor di setiap sisi diasumsikan sama masing-masing sebesar r ohm, selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks diagonal CB dengan nilai komponen poros diagonal utama merupakan nilai-nilai dari konduktansi resistor di setiap sisi sebesar 1/r = r-1. Karena nilai r-1 diasumsikan sama (dapat diasumsikan bahwa nilai-nilai r-1 merupakan suatu konstanta) sehingga matriks diagonal CB dapat dituliskan dalam bentuk CB = r-1I, dengan I matriks identitas berorde n×n. Selanjutnya, dari gambar graf jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks incidence B dengan B berbentuk
⎛1 ⎜ ⎜−1 ⎜0 ⎜0 ⎜ B= # ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
0 1 −1 0
0 " 0 0 " 1 0 " −1 1 " 0
#
#
0
0
0
0
0
− 1⎞
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
# %
#
# 0
# 0 " −1
0
0
0 "
0
1 −1
0 0
0 0
0 " 0 "
0 0
0 0
1 −1 0
⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ # ⎟ 0⎟ 0⎟ 1⎟ ⎟ − 1⎠
= r-1 Tper N (catatan : sebenarnya matriks incidence B mempunyai bentuk yang banyak / tidak hanya satu, sesuai dengan arah panah yang dibuat pada gambar graf). Maka dari gambar tersebut jika terdapat N – 1 resistor maka dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk −1
per
per
L { N ×1} = r T N
dengan
⎛2 ⎜ −1 per ⎜ TN = ⎜ # ⎜0 ⎜ −1 ⎝
−1
0
"
0
0
−1⎞
2
−1 "
0
0
0
⎟ ⎟ # % # # # ⎟ 0 " −1 2 −1⎟ 0 " 0 −1 2 ⎟⎠
# 0 0 Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen per
ortonormal dari T adalah N λ n = 2(1 − cos2Φn ) per
v nx =
1 N
e
i 2 xΦn
,
n, x = 0,1,..., N − 1 Dan nilai resistansi di antara simpul x1 dan x2 adalah 2
per
per
N −1
R { N ×1}( x1 , x2 ) = n∑=1
per
v nx _ v nx 1 2
λn
jika nilai resistansi r adalah 1 ohm. Atau dalam bentuk umum adalah per
R { N ×1}( x1 , x2 ) =
r
N −1
N
n =1
∑
e
i 2 x1Φn
−e
i 2 x2Φn
2
2( 1 − cos2Φn)
dengan Φ n = nπ . N Pembuktian penghitungan untuk menentukan formula (rumus) nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari Tper N dapat dilihat di Lampiran 11.
3.5 Jaringan Dua Dimensi dengan Kondisi Batas Bebas Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu jaringan resistor berbentuk persegi panjang dengan ukuran array (barisan) M×N simpul dengan kondisi batas bebas.
19 Seperti diperlihatkan pada Gambar 9 di Lampiran 1, yang jika digambarkan lebih lanjut pada bidang koordinat akan membentuk suatu graf berbentuk persegi panjang yang terdiri dari beberapa persegi dengan sejumlah simpul yang merupakan titik-titik koordinat {m,n}, dengan 0 ≤ m ≤ M – 1, 0 ≤ n ≤ N – 1. Artinya persegi panjang pada bidang koordinat tersebut berukuran M – 1 × N – 1 yang masingmasing resistor dihubungkan oleh dua simpul (dua titik koordinat). free Cara memperoleh matriks Laplace L { M ×N } , yaitu misalkan koordinat bidang-MN pada gambar graf jaringan resistor diganti dengan koordinat bidang-XY. Kemudian dapat ditentukan suatu matriks Laplace ⎛ I −I O " O O O ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − I 2I − I " O O O ⎟ L1 = ⎜ # # # % # # # ⎟
" − I 2I − I ⎟ ⎟ O O " O −I I ⎠ yang bersesuaian dengan gambar graf bidangX, dengan I suatu matriks identitas berorde N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L1 suatu matriks Laplace berorde MN×MN dan matriks Laplace ⎛L O " O O⎞ ⎜ ⎟ ⎜O L " O O⎟ L2 = ⎜ # # % # # ⎟
⎜O ⎜O ⎝
O
O
⎜O O " L O⎟ ⎜O O " O L ⎟ ⎠ ⎝
yang bersesuaian dengan gambar graf pada bidang-Y, dengan L suatu matriks Laplace free
dalam bentuk TN berorde N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L2 suatu matriks Laplace berorde MN×MN. Selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks free L { M ×N } = L1 + L2
, berdasarkan definisi tentang Kronecker Products dapat diperoleh juga free
L { M ×N }
⎛1 ⎜ ⎜−1 ⎜ # ⎜0 ⎜0 ⎝
−1
0 " −1 " # %
2 #
=
0
0
0 #
0 #
0⎞ ⎟ 0 ⎟ # ⎟
⊗I
0 " − 1 2 − 1⎟ ⎟ 0 " 0 − 1 1 ⎠ M ×M
0 0
+ ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜# ⎜0 ⎜0 ⎝
0 " 0 1 " 0 # % # 0 " 1 0 " 0
0⎞
⎟
0 ⎟ #⎟
0⎟ ⎟ 1 ⎠ M ×M
⊗L.
Jika diasumsikan bahwa nilai dari r-1 = 1 dan nilai dari s-1 = 1. Maka dari gambar jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk free
−1
free
free
free
free
−1
L {M × N } = r T M ⊗ I N + s I M ⊗ T N dengan ⊗ adalah notasi direct matrix products
dan T M = T N
adalah free
free
TM = T N =
⎛1 ⎜ ⎜−1 ⎜ # ⎜0 ⎜−1 ⎝
−1 0 " 2 −1 "
0 0
0 0
0⎞ ⎟ 0
⎟
% # # # ⎟ 0 0 " − 1 2 − 1⎟ ⎟ 0 0 " 0 −1 1 ⎠ Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace L adalah #
#
-1
-1
λ ( m , n ) = 2 r (1 − cosθ m ) + 2 s (1 − cosΦn ) free
(M ) (N )
v ( m , n );( x , y ) = v mx v ny
= ⎛ I ⎜ ⎜− I ⎜ # ⎜O ⎜O ⎝
−I 2I
# O O
⎞ ⎟ O O O ⎟ # % # # # ⎟ O " − I 2I − I ⎟ ⎟ O " O −I I ⎠
" −I " O
O
O
+ ⎛L ⎜ ⎜O ⎜ # ⎜O ⎜O ⎝
"
O
L
"
O
#
%
O O
" "
# L O
O
O⎞
⎟ O ⎟ # ⎟ O⎟ ⎟ L⎠
O
free
v ( m , n );( x , y ) adalah hasil dari proses Kronecker products antara matriks yang terbentuk dari free
vektor-vektor eigen ortonormal matriks T M free
dan T N . Proses penghitungan mencari nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Laplace
free
L {M × N } free
misalkan TM ∈ R free TM ui
adalah sebagai berikut, m ,m
free
dan TN
∈R
= λi ui , i = 1, ... , m,
n ,n
, jika
20
free
TN v j = µ j v j , j = 1, ... , n,
maka untuk i = 1, ... , m, j = 1, ... , n free
free
(TM ⊗ I N + I M ⊗ TN )(ui ⊗ v j ) free free = (TM ⊗ I N )(ui ⊗ v j ) + ( I M ⊗ TN )(u i ⊗ v j )
=
free free (TM ui ) ⊗ ( I N v j ) + ( I M ui ) ⊗ ( TN v j )
= (λi ui ) ⊗ (I N v j ) + (I M ui ) ⊗ ( µ j v j ) = (λi ⊗ I N )(ui ⊗ v j ) + (I M ⊗ µ j )(ui ⊗ v j ) = (λi ⊗ I N + I M ⊗ µ j )(ui ⊗ v j )
= (λi + µ j )(ui ⊗ v j ) ,
dengan catatan bahwa r-1 = s-1 = 1. Dan resistansi di antara dua simpul r1 = (x1, y1) dan r2 = (x2, y2) adalah free
R{M×N}(r1, r2 ) = free
M−1 N−1
∑ ∑ (m,n)≠(0,0)
free
2
v(m,n);( x1, y1 ) _ v(m,n);( x2 , y2 )
λ(m, n) mπ nπ dengan θ m = , Φn = . M N m=0 n=0
3.6 Jaringan Dua Dimensi dengan Kondisi Batas Silindrik Misalkan terdapat suatu jaringan resistor berukuran M×N simpul dengan kondisi batas silindrik, yang jika digambarkan pada bidang koordinat MN akan membentuk suatu jaringan graf berbentuk penampang melintang dari sisi yang mengelilingi bangun ruang silinder dengan kondisi batas periodik pada bidang-M dan kondisi batas bebas pada bidang-N atau berbentuk lingkaran dalam dua dimensi yang terdiri dari beberapa lingkaran dengan ukuran jari-jari yang tidak sama dalam kondisi batas bebas. Tetapi mempunyai pusat lingkaran yang sama, yang masing-masing lingkaran dihubungkan oleh beberapa resistor. Berarti pada bidang koordinat terdapat beberapa lingkaran yang masing-masing resistornya dihubungkan oleh dua simpul. Maka pada jaringan graf tersebut ada simpul yang terhubung dengan tiga resistor dan ada simpul yang terhubung dengan empat resistor. Seperti diperlihatkan pada Gambar 10 di Lampiran 1. cyl Cara memperoleh matriks Laplace L { M ×N } , yaitu misalkan koordinat bidang-MN pada gambar graf jaringan resistor diganti dengan koordinat bidang-XY. Kemudian dapat ditentukan suatu matriks Laplace
⎛ 2I ⎜ ⎜− I L1 = ⎜ # ⎜O ⎜− I ⎝
−I
O
"
O
O
− I⎞
2I
−I "
O
O
O
⎟ ⎟ # % # # # ⎟ O " − I 2I − I ⎟ ⎟ O " O − I 2I ⎠
# O O
yang bersesuaian dengan gambar graf bidangX, dengan I suatu matriks identitas berorde N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L1 suatu matriks Laplace berorde MN×MN dan matriks Laplace ⎛L O " O O⎞ ⎟ ⎜ ⎜O L " O O⎟ L2 = ⎜ # # % # # ⎟ ⎜O O " L O⎟ ⎜O O " O L ⎟ ⎠ ⎝ yang bersesuaian dengan gambar graf pada bidang-Y, dengan L suatu matriks Laplace free
dalam bentuk TN berorde N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L2 suatu matriks Laplace berorde MN×MN. Selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks cyl L { M × N } = L1 + L2
= ⎛ 2I ⎜ ⎜− I ⎜ # ⎜O ⎜− I ⎝
−I
O
"
O
O
− I⎞
2I
−I "
O
O
O
# O O
⎟ ⎟ # % # # # ⎟ O " − I 2I − I ⎟ ⎟ O " O − I 2I ⎠
+ ⎛L ⎜ ⎜O ⎜# ⎜O ⎜O ⎝
O " O O⎞
⎟ ⎟ # % # #⎟ O " L O⎟ ⎟ O " O L⎠ L " O O
, berdasarkan definisi tentang Kronecker Products dapat diperoleh juga free
L{ M ×N }
⎛2 ⎜ ⎜−1 ⎜ # ⎜0 ⎜−1 ⎝
−1 2
# 0 0
=
" 0 0 − 1⎞ ⎟ 0 0 −1 " 0 ⎟ ⊗I # % # # # ⎟ 0 " − 1 2 − 1⎟ ⎟ 0 " 0 − 1 2 ⎠ M ×M 0
+
21
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜# ⎜0 ⎜0 ⎝
0 " 0 0⎞ ⎟ 1 " 0 0
per
⎟
= ( λi u i ) ⊗ ( I N v j ) + ( I M u i ) ⊗ ( µ j v j )
⊗L. # % # #⎟ ⎟ 0 " 1 0 ⎟ 0 " 0 1 ⎠ M ×M
= (λi ⊗ I N )(ui ⊗ v j ) + ( I M ⊗ µ j )(ui ⊗ v j )
= (λi ⊗ I N + I M ⊗ µ j )(ui ⊗ v j )
-1
Jika diasumsikan bahwa nilai dari r = 1 dan nilai dari s-1 = 1. Maka dari gambar jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk cyl
per
−1
free
−1
L {M × N } = r T M ⊗ I N + s I M ⊗ T N
= (λi + µ j )(ui ⊗ v j ) , dengan catatan bahwa r-1 = s-1 = 1. Dan resistansi di antara dua simpul r1 = (x1, y1) dan r2 = (x2, y2) adalah cyl
R{M×N}(r1 , r2 ) = 2
per
dan T M adalah
⎛2 ⎜ −1 per ⎜ TM = ⎜ # ⎜0 ⎜ −1 ⎝
M −1 N −1
−1 0 " 2 −1 " # 0 0
# 0 0
0 0
0 0
∑ ∑ (m,n)≠(0,0)
−1 ⎞ 0⎟
⎟
dengan θ m =
% # # # ⎟ " −1 2 − 1 ⎟ " 0 −1 2 ⎟⎠ 0 0
0 0
0 0
# 0 0 hanya berbeda dalam ukuran orde matriks. Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace L adalah -1
-1
λ (m,n) = 2r (1 − cos2θm ) + 2s (1 − cosΦn ) v ( m,n);( x, y ) =
1
i 2 xθm ( N ) e v ny
M adalah hasil dari proses Kronecker
v ( m, n );( x , y ) products antara matriks yang terbentuk dari per
vektor-vektor eigen ortonormal matriks T M free
dan T N . Proses penghitungan mencari nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Laplace misalkan
cyl
L{ M × N } per TM
∈R
adalah sebagai berikut, m,m
free
dan TN
∈R
n ,n
, jika
per
TM ui = λi ui , i = 1, ... , m, free TN v j
= µ j v j , j = 1, ... , n,
maka untuk i = 1, ... , m, j = 1, ... , n per
λ (m, n) mπ M
,
Φn =
nπ N
3.7 Penghitungan Nilai Resistor Pengganti Menggunakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Ortonormal dari Matriks Laplace dengan Scilab 4.1
⎞ ⎟ ⎟ # % # # # ⎟ 0 " −1 2 −1⎟ 0 " 0 −1 1 ⎟⎠
−1 0 " 2 −1 "
v (m,n);( x1 , y1 ) _ v (m,n);( x2 , y2 )
m=0 n=0
serta
⎛1 ⎜ −1 free ⎜ T N =⎜ # ⎜0 ⎜0 ⎝
free
= (TM ui ) ⊗ (I N v j ) + (I M ui ) ⊗ (TN v j )
free
( TM ⊗ I N + I M ⊗ TN )(ui ⊗ v j ) per free = (TM ⊗ I N )(u i ⊗ v j ) + ( I M ⊗ TN )(ui ⊗ v j )
Untuk menghitung nilai Resistor Pengganti Rαβ, perhatikan proses penghitungan berikut ini. 1. Buatkan suatu matriks incidence B dari graf berarah. 2. Buatkan suatu matriks diagonal CB. 3. Buatkan suatu matriks Laplace L = BCBBT berdasarkan gambar jaringan resistornya dalam berbagai kondisi. 4. Tentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Laplace L. 5. Tentukan vektor-vektor eigen yang ortonormal dari matriks Laplace L. 6. Tentukan besarnya nilai Resistor Pengganti (Rαβ) dengan menggunakan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen yang ortonormal dari matriks Laplace L. 7. Gunakan formula dalam Teorema Resistansi Dua-Simpul. Sedangkan jika menggunakan Scilab 4.1 maka penghitungannya diperlihatkan di Lampiran 7.
3.8 Penghitungan Nilai Arus Listrik (I) dengan Scilab 4.1 Untuk menghitung nilai arus listrik (I) pada suatu jaringan listrik, perhatikan proses penghitungan berikut ini : Catatan : Proses penghitungannya yaitu berdasarkan pada contoh permasalahan yang diberikan berikutnya tentang jaringan listrik di suatu hotel. 1. Buatkan persamaan berdasarkan pada Hukum Kirchhoff Tegangan (KVL) yang
22 dapat dibuat dalam bentuk matriks V = b – Ax sehingga dapat diperoleh transpose dari matriks incidence misalkan A. Diperlihatkan di halaman setelah Contoh Permasalahan. Cara termudah untuk menetapkan KVL adalah dengan menetapkan tegangan xj untuk setiap verteks. Selanjutnya, tegangan pada resistor i yang terletak antara verteks j dan verteks k didefinisikan sebagai vi = xk – xj. 2. Buatkan persamaan berdasarkan pada Hukum Ohm I = (1/R)*V yang dapat dibuat dalam bentuk matriks yaitu I = CB*V, dengan CB matriks diagonal invers dari matriks resistansi R (lihat definisi di landasan teori). Diperlihatkan di halaman setelah contoh permasalahan. 3. Buatkan persamaan berdasarkan pada Hukum Kirchhoff Arus Listrik (KCL) yang selanjutnya dapat dibuat dalam bentuk matriks B*I = f. Dengan B adalah matriks incidence dan f adalah matriks sumber arus. Diperlihatkan di halaman setelah contoh permasalahan. 4. Dari poin nomor 1. diperoleh persamaan matriks V = b – Ax. Dengan b adalah matriks sumber tegangan. Substitusikan persamaan ini ke persamaan I = (R-1)*V ↔ I = (R-1)*(b – Ax) ↔ RI = (RR-1)*(b – Ax) ↔ RI = I*(b – Ax) ↔ RI = b – Ax ↔ RI + Ax = b. Dengan menggabungkan persamaan di poin nomor 3. dapat diperoleh bentuk matriks
⎡ R A⎤ ⎡ I ⎤ ⎡ b ⎤ ⎢⎣ B O ⎥⎦ ⎢⎣ x ⎥⎦ = ⎣⎢ f ⎦⎥ .
Diperlihatkan di halaman setelah contoh permasalahan. Karena kolom-kolom dari matriks gabungan bergantung linear, hal ini mengakibatkan determinannya = 0, sehingga invers matriks gabungan tidak terdefinisi dan persamaanpersamaan sebelumnya akan sulit untuk diselesaikan. Dengan menetapkan beberapa simpul sebagai verteks datum (tegangan pada simpul tersebut = 0), maka dapat dihapus beberapa baris dari matriks B sehingga diperoleh matriks gabungan baru yang kolomkolomnya bebas linear. Persamaan-persamaan yang dimaksud pada poin nomor 1, 2, dan 3 adalah : 1. v1 = x1 – x2 2. i1 = (1/RI)v1 v2 = x2 – x3 i2 = (1/RII)v2 v3 = x2 – x4 i3 = (1/RIII)v3 v4 = x2 – x5 i4 = (1/RIV)v4
v5 = x3 – x1 i5 = (1/RV)v5 v6 = -1000 + x4 – x1 i6 = (1/R6)v6 v7 = -500 + x4 – x3 i7 = (1/R7)v7 v8 = -500 + x5 – x1 i8 = (1/R8)v8 3. –i1 + i5 + i6 + i8 = 0 i1 – i2 – i3 – i 4 = 0 i2 – i5 + i7 = 0 i3 – i6 – i7 = 0 i4 – i8 = 0 Persamaan-persamaan ini dibuat berdasarkan gambar jaringan listrik yang diperlihatkan di Lampiran 1 pada Gambar 11. Selanjutnya akan ditunjukkan hubungan antara persamaan-persamaan berdasarkan Hukum Kirchhoff Tegangan (KVL), Hukum Ohm, Hukum Kirchhoff Arus Listrik (KCL) yaitu V = b – Ax I = (R-1)*V =CB*V f = B*I dan ⎡ R A⎤ ⎡ I ⎤ ⎡ b ⎤ ⎢⎣ B O ⎥⎦ ⎢⎣ x ⎥⎦ = ⎢⎣ f ⎥⎦ dengan matriks Laplace L. Jika diambil untuk nilai Ri = 1 Ω, ∀ i. Maka dari persamaan ⎡ R A⎤ ⎡ I ⎤ ⎡ b ⎤ ⎢⎣ B O ⎥⎦ ⎢⎣ x ⎥⎦ = ⎢⎣ f ⎥⎦ dapat diperoleh RI + Ax = b ⎫
⎬
B * I + Ox = f ⎭ RI = b − Ax ⎫
⎬ ⎭
B*I = f
I = ( R ) * (b − Ax ) ⎫ −1
⎬ ⎭ I = C B * (b − Ax ) ⎫ ⎬ B*I = f ⎭ I = C B b − C B Ax ⎫ ⎬ B*I = f ⎭ B*I = f
Substitusikan persamaan I = CB*b – CBAx ke persamaan B*I = f ⇔ B * (C B b − C B Ax ) = f ⇔ BC B b − BC B Ax = f ⇔ BC B B x = BC B b − f T
⇔ Lx = BC B b − f . Jadi, dapat disimpulkan bahwa matriks Laplace L berbanding lurus dengan matriks incidence B dan dengan menggunakan suatu matriks Laplace L dapat diperoleh suatu penyelesaian dari masalah jaringan listrik.
23 Dengan perumusan proses penghitungannya sebagai berikut dan dapat diselesaikan dengan menggunakan Scilab 4.1. 1. Tentukan suatu matriks incidence B. 2. Tentukan suatu matriks diagonal CB. 3. Tentukan suatu matriks sumber tegangan b. 4. Tentukan suatu matriks sumber arus f. 5. Tentukan suatu matriks i = BCBb – f dengan komponen dari i adalah nilai dari arus listrik di setiap simpul. 6. Tentukan suatu matriks Laplace L = BCBBT. 7. Tentukan suatu matriks εI, dengan I suatu matriks identitas. 8. Tentukan suatu matriks L(ε) = L + εI. 9. Selesaikan persamaan L(ε)x = i dengan komponen dari x adalah nilai voltage di setiap simpul. Proses penghitungan dengan Scilab 4.1 diperlihatkan di Lampiran 8.
bentuk graf jaringan dua dimensi dengan kondisi batas silindrik, maka dari informasi tersebut dapat digambarkan suatu jaringan listrik berbentuk graf. Seperti diperlihatkan pada Gambar 11 di Lampiran 1. Sedang gambar jaringan resistor di setiap ruangan hotel tersebut diperlihatkan pada Gambar 12, Gambar 13, Gambar 14, Gambar 15, dan Gambar 16 di Lampiran 1. Misalkan jumlah resistor pada setiap ruangan adalah N resistor. Pada ruangan I terdapat N = 16 resistor, ruangan II terdapat N = 30 resistor, ruangan III terdapat N = 10 resistor, ruangan IV terdapat N = 22 resistor, ruangan V terdapat N = 25 resistor. Dengan besarnya nilai resistor di ruangan I masingmasing 20 Ω, nilai resistor di ruangan II masing-masing 25 Ω, nilai resistor di ruangan III masing-masing 20 Ω, nilai resistor di ruangan IV masing-masing 25 Ω, nilai resistor di ruangan V masing-masing 50 Ω, maka dapat ditentukan beberapa matriks Laplace L berdasarkan Gambar Jaringan Resistor pada setiap ruangan I, II, III, IV, dan V. Yaitu seperti diperlihatkan di Lampiran 2. Selanjutnya dihitung nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace L tersebut dengan menggunakan Scilab 4.1, lihat di Lampiran 4. Maka dapat ditentukan suatu vektor-vektor eigen yang ortonormal dari matriks-matriks Laplace L dengan menggunakan Scilab 4.1. Kemudian nilai Hambatan (Resistor) Pengganti pada setiap ruangan I, II, III, IV, dan V dapat dihitung dengan menggunakan nilainilai eigen dan vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace. Dengan nilai-nilai Resistor Penggantinya dituliskan sebagai RI, RII, RIII, RIV, dan RV. Penghitungan untuk mencari nilai-nilai Resistor Pengganti adalah menggunakan Scilab 4.1 diperlihatkan di Lampiran 6. Maka diperoleh nilai-nilai Resistor Pengganti pada setiap ruangan di hotel yaitu RI = 8.9524, RII = 750.0000, RIII = 18.0000, RIV = 51.4354, RV = 48.0251. Selanjutnya nilai arus listrik (i) yang mengalir pada jaringan listrik tersebut dapat dihitung dengan menggunakan Scilab 4.1.
Contoh Permasalahan : Terdapat suatu hotel yang terdiri dari 5 ruangan. Yaitu ruangan Ι adalah ruangan depan dari hotel (ruangan represionis), ruangan ΙΙ terdiri dari beberapa ruang kamar, ruangan ΙΙΙ adalah ruangan belakang (dapur), ruangan ΙV merupakan ruang pertemuan rapat sedang ruangan V berupa ruang makan dan ruang santai. Penerangan pada hotel tersebut menggunakan penerangan lampu dalam berbagai ukuran yang berbeda. Misalkan lampu-lampu pada hotel tersebut diasumsikan sebagai hambatan (resistor). Maka dari keadaan penerangan hotel tersebut dapat ditentukan suatu jaringan listrik yang terdiri dari beberapa jaringan resistor dan beberapa sumber tegangan listrik (V). Diketahui bahwa jaringan resistor pada ruangan I dipasang berdasarkan bentuk graf Jaringan Resistansi Dua-Simpul. Jaringan resistor pada ruangan II dipasang berdasarkan bentuk jaringan satu dimensi dengan kondisi batas bebas. Jaringan resistor pada ruangan III dipasang berdasarkan bentuk jaringan satu dimensi dengan kondisi batas periodik. Jaringan resistor pada ruangan IV dipasang berdasarkan bentuk jaringan dua dimensi dengan kondisi batas bebas. Sedang jaringan resistor pada ruangan V dipasang berdasarkan ___________________________________________________________________________________ Berikut perumusan untuk permasalahan di atas dalam bentuk matriks sebelum dibuat dalam program Scilab 4.1. Berdasarkan gambar jaringan listrik yang diperlihatkan di Lampiran 1 pada Gambar 11.
24
⎡ v1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡−1 ⎢v 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎢v 3⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ v4 0 ⎥ ⎢0 − 1. V = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢v 5 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 1 ⎢v 6 ⎥ ⎢−1000⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢v 7 ⎥ ⎢ −500 ⎥ ⎢ 0 ⎣⎢v8 ⎦⎥ ⎣⎢ −500 ⎦⎥ ⎣⎢ 1
1 −1 −1
0
0
1 0
0 1
0⎤
0⎥ ⎡ x1 ⎤ 0⎥ ⎥ ⎢ x 2⎥ −1 0 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ x 3 = b − Ax , dengan A = –BT 0 −1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ x4 0 0 −1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x 5 ⎦⎥ 0 1 −1 0 ⎥ 0 0 0 −1⎦⎥
0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎡ v1 ⎤ ⎡1/ RI 0 ⎢ 0 1/ RII 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢v 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢v3⎥ 0 1/ RIII 0 0 0 0 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 1/ RIV 0 0 0 0 ⎥ ⎢v 4 ⎥ ⎢ 2. I = (CB ) * V = = (R-1)*V ⎢ 0 0 0 0 1/ RV 0 0 0 ⎥ ⎢v 5 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 1/ R 6 0 0 ⎥ ⎢v 6 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 1/ R 7 0 ⎥ ⎢v 7 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 1/ R 8⎦⎥ ⎢⎣ v8 ⎥⎦ ⎣⎢ 0
⎡ −1 ⎢1 ⎢ 3. 0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 0
0 0 0 1 1 0 −1 −1 −1 0 0 0 1 0 0 −1 0 1 0 1 0 0 −1 −1 0 0 1 0 0 0
⎡ i1 ⎤ ⎢i 2 ⎥ 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡0⎤ i3 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ i ⎥ ⎢ 4⎥ = ⎢ ⎥ = −B * I = f 0 ⎥ ⎢i 5 ⎥ ⎢0⎥ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ i6 −1⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢i 7 ⎥ ⎢⎣ i 8 ⎥⎦
4. Berikut matriks gabungan dengan salah satu komponennya matriks B yang baru dan tegangan pada x5 = 0 (x5 sebagai verteks ground / datum). 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 ⎤ ⎡ i1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ − RI 0 ⎢ 0 − RII 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 ⎥ ⎢ i 2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 1 − RIII ⎢ 0 ⎥ ⎢ i3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 ⎥ ⎢ i 4 ⎥ ⎢ 0 ⎥ − RIV ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 ⎥ ⎢ i 5 ⎥ ⎢ 0 ⎥ − RV ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−1000⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 i 6 −100 0 ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 1 −1⎥ ⎢ i 7 ⎥ ⎢ −500 ⎥ −50 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 −50 1 0 0 0 ⎥ ⎢ i 8 ⎥ ⎢ −500 ⎥ ⎢ −1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x2⎥ −1 −1 −1 ⎢ 1 ⎢ 0 ⎥ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ −1 ⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎦⎥ ⎢⎣ x 4 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ −1 −1 ⇔
⎡ − R − A⎤ ⎡ I ⎤ = ⎡ b ⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎢− B O ⎥⎦ ⎣ x ⎦ ⎣⎢ f ⎦⎥
Selanjutnya penyelesaian dengan menggunakan program Scilab 4.1 diperlihatkan di bab Lampiran 7. Tetapi, dalam proses penghitungannya, arah arus pada gambar graf berarah dan tanda untuk persamaan ruas kiri harus dinegatifkan. ini juga menunjukkan bahwa pada Jika tanda negatif ini dipindahkan ke ruas kenyataannya besarnya nilai-nilai arus listrik kanan, maka tanda negatif ini menunjukkan dan tegangan listrik bernilai positif.
25
IV SIMPULAN Nilai resistor pengganti dapat dihitung dengan menggunakan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace yang diperoleh dari hubungan suatu gambar jaringan resistor dalam bentuk graf. Karena matriks Laplace adalah suatu matriks Hermite yang real dan simetrik, juga merupakan matriks semidefinit positif maka nilai-nilai eigen dari matriks Laplace adalah real taknegatif dan vektor-vektor eigennya adalah real yang saling ortogonal.
Dalam tulisan karya ilmiah ini dibahas lima bentuk jaringan resistor (resistors network) yang hingga dalam bentuk graf : 1. Jaringan resistansi dua-simpul. 2. Jaringan satu dimensi dengan kondisi batas bebas. 3. Jaringan satu dimensi dengan kondisi batas periodik. 4. Jaringan dua dimensi dengan kondisi batas bebas. 5. Jaringan dua dimensi dengan kondisi batas silindrik.
DAFTAR PUSTAKA 1985. Nonhomogeneous Arfken, G. Equation—Green’s Function, Green’s Function One—Dimension, and Green’s Function—Two and Three Dimensions. §8.7 and §16.5-16.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed.. Orlando, FL : Academic Press, pp. 480-491 and 897-924. http://www.mathworld.wolfram.com/Gree nsFunction.html. [15 Februari 2007] Bendito, E., Carmona, A. & Encinas, A.M. 2000. Shortest Paths in Distance-Regular Graphs. Europ. J. Combin. 21, 153-166. http://www.mathworld.wolfram.com/Lapl acianMatrix.html. [15 Februari 2007] Cserti, J. 2002. Application of the lattice Green’s function for calculating the resistance of an infinite network of resistors. Am. J.Phys. 68 896-906 cond-mat/9909120). (Preprint http://adsabs.harvard.edu/abs/2000AmJPh. .68..896C [14 Nopember 2006] Cserti, J., G. David & Attila Piróth. 2002. Perturbation of infinite networks of resistors. Am. J. Phys. 70 153-159 cond-mat/0107362). (Preprint http://arxiv.org/PS_cache/condmat/pdf/0107/0107362v1.pdf [14 Nopember 2006]. Deo, N. 1974. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Donev, A. 2005. Solving Random Resistor Networks. http://computation.pa.msu.edu/NO/F90/Pr econditioningReport.pdf. [20 April 2007] Edwards, C.H. & D.E. Penney. 1988. Elementary Linear Algebra. Prentice Hall International Edition, New Jersey.
Farlow, S.J. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their McGraw-Hill Inc. Applications. International Editions. Foulds, L.R. 2002. Graph Theory Applications. Springer-Verlag, New York. Harary, F. 1969. Graph Theory. AddisonWesley Publishing Company, Reading, MA. http://mathworld.wolfram.com/GraphTheo ry.html. [15 Februari 2007] Horn, R.A. & C. R. Johnson. 1985. Matrix Analysis. CAMBRIDGE, New York. Katsura, S., T. Morita, S. Inawashiro, T. Horiguchi, Y. Abe. 1971. Lattice Green’s function : Introduction. J. Math. Phys. 12 892-895. http://www.exstrom.com/lgf/lgfint.pdf dan http://arxiv.org/PS_cache/condmat/pdf/9909/9909120v4.pdf [15 Nopember 2006]. Laub, A.J. 2004. Kronecker Products from Matrix Analysis for Scientists and Engineers. SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics. http://www.siam.org/books/textbooks/OT 91sample.pdf. [21 Juni 2007] Ledder, G. 2005. Differential Equations : A Modelling Approach. McGRAW-HILL INTERNATIONAL EDITION. Leon, S.J.. 1998. Linear Algebra with Applications. Prentice-Hall, Inc., New Jersey. Lyche, T. 2006. Kronecker Products. University of Oslo, Norway. http://www.ifi.uio.no/~infm3350/slides06 0904.pdf. [20 Juni 2007] Mathew, J.H. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering. Prentice-Hall, Inc., New Jersey.
26
Noble, B. 1969. Applied Linear Algebra. Prentice-Hall, Inc., New Jersey. Skiena, S. 1990. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. AddisonWesley, Reading, MA. http://worldmath.wolfram.com/DegreeMat rix.html. [15 Februari 2007] Stewart, J. 1999. Calculus, Fourth Edition. Brooks/Cole Publishing Company. Tzeng, W. –J. & F.Y. Wu. 2000. Spanning Trees on Hypercubic Lattices and Nonorientable Surfaces Appl. Math. Lett. 13 (7) 19–25 (Preprint cond-mat/0001408). http://aps.arxiv.org/PS_cache/condmat/pdf/0001/0001408v1.pdf dan http://arxiv.org/PS_cache/condmat/pdf/0007/0007325v1.pdf [15 Nopember 2006]. van der Pol, B. 1959. The finite-difference analogy of the periodic wave equation and
the potential equation, in Probability and Related Topics in Physical Sciences, Lectures in Applied Mathematics, Vol. 1, Ed. M. Kac. pp 237-257. Interscience Publ. London, London. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0705/ 0705.2480v1.pdf dan http://arxiv.org/PS_cache/condmat/pdf/0611/0611683v1.pdf [17 Nopember 2006] Watkins, J. J & J. R. Wilson. 1990. Graph An Introductory Approach. John Wiley & Sons, New York. Wu, F. Y. 2004. Theory of resistor networks : the two-point resistance. Online at www.stacks.iop.org/J. Phys. A./37/6653. dan http://arxiv.org/PS_cache/mathph/pdf/0402/0402038v2.pdf [15 Nopember 2006]. Zhang, F. 1999. Matrix Theory Basic Results and Techniques. Springer-Verlag, New York.
LAMPIRAN
28
LAMPIRAN 1 Cara pembuatan graf Jaringan Resistor dengan menggunakan Scilab 4.1 -->g=make_graph('simpul',1,4,[1 2 2 3 4],[2 3 4 4 1]); Perintah untuk membuat graf berarah yang terdiri 4 simpul dan 5 arc (sisi berarah) -->g('node_x')=[100 100 300 300]; Input bertipe vektor baris yang menyatakan komponen absis dari simpul-simpulnya -->g('node_y')=[100 300 300 100]; Input bertipe vektor baris yang menyatakan komponen ordinat dari simpul-simpulnya -->plot_graph(g) Perintah untuk menampilkan gambar graf 1 r 4
r
2
r
r
r
3
Gambar 6. Jaringan resistansi dua simpul dengan 4 simpul dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm -->g=make_graph('sabeb',1,6,[1 2 3 4 5],[2 3 4 5 6]); -->g('node_x')=[100 200 300 400 500 600]; -->g('node_y')=[100 100 100 100 100 100]; -->plot_graph(g) Karena Scilab 4.1 tidak dapat membuat gambar graf yang terdiri dari N simpul maka hanya diambil contoh simpul sebanyak 7 simpul.
29
1
2
3
r
r
N-2 r
N-1
N
r
r
Gambar 7. Jaringan resistor satu dimensi dengan kondisi batas bebas dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm Æg=make_graph('saper',1,12,[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12],[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1]); Æg('node_x')=[100 100 200 300 400 500 600 600 500 400 300 200]; Æg('node_y')=[300 400 500 600 600 500 400 300 200 100 100 200]; Æplot_graph(g) 1
N
r
r
2
N-1
r
r
3
N-2
r
r
4 r
r 5 r
r 6
7 r
Gambar 8. Jaringan resistor satu dimensi dengan kondisi batas periodik dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm
30 Æg=make_graph('dubeb',1,24,[1 1 2 2 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 22 23 24],[2 8 3 7 4 6 5 12 5 11 6 10 7 9 10 16 11 15 12 14 13 20 13 19 14 18 15 17 18 24 19 23 20 22 21 21 22 23]); Æg('node_x')=[100 100 100 100 200 200 200 200 300 300 300 300 400 400 400 400 500 500 500 500 600 600 600 600]; Æg('node_y')=[100 200 300 400 400 300 200 100 100 200 300 400 400 300 200 100 100 200 300 400 400 300 200 100]; Æplot_graph(g)
(0, 3)
1
r
r
8
r
9
r 2
r
r
r 7
r
16 r
17
r 10
r
r 24
r 15
r
(5, 3)
r 18
r
23
(0, 2)
(5, 2)
r (0, 1)
r 3
r
r
r 6
r
r 4
r
r 11
r
r 5
r
r 14
r
r 12
r
r 19
r 22
r 13
r
(5, 1)
r 20
r
21
(0, 0) (1, 0)
(2, 0)
(3, 0)
(4, 0)
(5, 0)
Gambar 9. Jaringan resistor dua dimensi dengan kondisi batas bebas dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm -->g=make_graph('duper',1,36,[1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 12 13 13 14 14 15 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 29 29 30 30 31 31 32 33 34 35],[2 5 13 3 6 4 7 8 18 6 9 14 7 10 8 11 12 17 10 15 11 12 16 14 19 15 20 21 22 16 23 17 24 20 33 21 29 25 28 22 32 23 36 26 29 27 30 28 31 32 30 33 31 34 32 35 36 34 35 36]); -->g('node_x')=[100 100 100 100 200 200 200 200 300 300 300 300 400 400 400 400 400 400 500 500 500 500 500 500 600 600 600 600 700 700 700 700 800 800 800 800]; -->g('node_y')=[100 400 500 800 200 400 500 700 300 400 500 600 100 200 300 600 700 800 100 200 300 600 700 800 300 400 500 600 200 400 500 700 100 400 500 800]; -->plot_graph(g)
31
1
r
13
r
19
r r
5 r
r r
20 r
r r
29 r
r
9
r
r 3
r
15
21
25 r
r 10 r r 11 r
6 r r 7
r
r
r 2
33
r r
14
r
r
r r
r
26 r
30 r r
27 r
r 31
r
35
r
r
r
12
16
22
r r
r
r
r
17
r
28 r
r
r 8
4
34 r
23
r
r
18 r
24
32 r r
36
Gambar 10. Jaringan resistor dua dimensi dengan kondisi batas silindrik dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm Æg=make_graph('hotel',1,5,[1 2 2 2 3 4 4 5],[2 3 4 5 1 1 3 1]); Æg('node_x')=[300 100 500 400 200]; Æg('node_y')=[500 100 100 200 200]; Æplot_graph(g)
32
2
3 II
IV
7 III
5
4
I
6
V
8
1
Gambar 11. Jaringan listrik di hotel dengan asumsi di arc (sisi berarah) I, II, III, IV, V terdapat resistor pengganti masing-masing sebesar RI, RII, RIII, RIV, dan RV serta di arc 6, 7, 8 terdapat sumber tegangan awal masing-masing sebesar 1000 V, 500 V, 500 V Æg=make_graph('satu',1,9,[1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 9],[4 5 1 3 5 5 6 5 7 7 8 9 5 9 8 8]); Æg('node_x')=[100 100 100 200 200 200 300 300 300]; Æg('node_y')=[100 200 300 100 200 300 100 200 300]; Æplot_graph(g) Karena penulisan variabel r telah ditulis pada gambar-gambar sebelumnya (mewakili) maka untuk gambar selanjutnya tidak ditulis lagi.
33
1
2
4
5
3
7
8
6
9
Gambar 12a. Jaringan resistor di hotel ruangan I dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 20 ohm Bandingkan hasilnya dengan perintah pembuatan graf berikut ini ! -->g=make_graph('satu',1,9,[1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 7 8 8 9 9 9],[8 9 1 3 9 4 9 5 9 6 6 7 9 5 6 7]); -->g('node_x')=[100 100 100 200 300 300 300 200 200]; -->g('node_y')=[300 200 100 100 100 200 300 300 200]; -->plot_graph(g) 1
2
3
8
9
7
6
4
5
Gambar 12b. Jaringan resistor di hotel ruangan I dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 20 ohm
34
Diperoleh suatu gambar graf yang berbeda dalam penulisan nomor simpul, yang berakibat terdapat suatu matriks Laplace yang berbeda dari matriks Laplace gambar graf sebelumnya. -->g=make_graph('dua',1,7,[1 2 3 4 5 6],[2 3 4 5 6 7]); -->g('node_x')=[100 200 300 400 500 600 700]; -->g('node_y')=[100 100 100 100 100 100 100]; -->plot_graph(g) Karena Scilab 4.1 tidak dapat menampilkan gambar graph dengan n = 31 simpul (gambarnya tidak jelas, terlalu kecil, gambarnya hanya berupa titik garis lurus) maka hanya diambil contoh simpul sebanyak 7 simpul. Dengan perintah pembuatan graf yang sebenarnya adalah -->g=make_graph('dua',1,31,[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30],[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31]); -->g('node_x')=[100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100]; -->g('node_y')=[100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100]; -->plot_graph(g)
2
3 ---------------------------- 29
1
30 31
Gambar 13. Jaringan resistor di hotel ruangan II dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 25 ohm -->g=make_graph('tiga',1,10,[1 1 2 3 4 5 10 9 8 7],[2 10 3 4 5 6 9 8 7 6]); -->g('node_x')=[100 200 300 400 500 600 500 400 300 200]; -->g('node_y')=[300 400 500 500 400 300 200 100 100 200]; -->plot_graph(g)
35
3
4
2
5
1
6
10
7
9
8
Gambar 14. Jaringan resistor di hotel ruangan III dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 20 ohm -->g=make_graph('empat',1,15,[1 2 2 2 3 4 5 5 5 6 7 8 8 8 9 10 11 11 11 12 13 15],[4 1 3 5 6 7 4 6 8 9 10 7 9 11 12 13 10 12 14 15 14 14]); -->g('node_x')=[100 100 100 200 200 200 300 300 300 400 400 400 500 500 500]; -->g('node_y')=[100 200 300 100 200 300 100 200 300 100 200 300 100 200 300]; -->plot_graph(g)
36
(0, 2) 3
(1, 2) 6
(2, 2) 9
(3, 2) 12
(4, 2) 15
(0, 1)
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
2
5
8
11
14
(0, 0)
(1, 0)
(2, 0)
(3, 0)
(4, 0)
4
7
10
13
1
Gambar 15. Jaringan resistor di hotel ruangan IV dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 25 ohm -->g=make_graph('lima',1,15,[1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 8 9 9 10 11 12 12 13 14 14],[2 3 14 4 9 4 5 12 6 8 6 10 7 11 7 13 8 15 11 13 10 13 15 12 15]); -->g('node_x')=[100 100 200 200 300 300 400 400 400 500 500 600 600 700 700]; -->g('node_y')=[100 400 200 400 300 400 500 600 700 300 400 200 400 100 400]; -->plot_graph(g)
37
1
14
3
12
5
2
4
10
6
11
13
15
7
8
9
Gambar 16a. Jaringan resistor di hotel ruangan V dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 50 ohm
Bandingkan hasilnya dengan perintah pembuatan graf berikut ini ! -->g=make_graph('lima',1,15,[1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 7 8 8 9 11 12 13 13 14 14 15],[2 4 13 3 5 14 6 15 5 7 6 8 9 8 10 9 11 12 10 11 10 14 11 15 12]); -->g('node_x')=[100 200 300 100 200 300 400 400 400 700 600 500 700 600 500]; -->g('node_y')=[700 600 500 400 400 400 100 200 300 400 400 400 700 600 500]; -->plot_graph(g)
Maka, akan diperoleh suatu gambar graf yang berbeda dalam penulisan nomor simpul, yang berakibat terdapat suatu matriks Laplace yang berbeda dari matriks Laplace gambar graf sebelumnya.
38
7
8
9 5
6
12
11
4
10
3
2
1
15
14
13
Gambar 16b. Jaringan resistor di hotel ruangan V dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 50 ohm
39
LAMPIRAN 2 Matriks Laplace L dari gambar jaringan resistor di ruangan I, II, III, IV, dan V Berikut matriks Laplace L yang diperoleh berdasarkan gambar jaringan resistor di ruangan I, II, III, IV, dan V : Matriks Laplace L dari gambar Jaringan Resistor di Ruangan I :
⎛3 ⎜ −1 ⎜0 ⎜ ⎜0 L = 0.05 * ⎜ 0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ −1 ⎜ −1 ⎝
−1 0 0 0 0 0 − 1 − 1 ⎞ 3 −1 0 0 0 0 0 − 1 ⎟ ⎟ −1 3 −1 0 0 0 0 −1 ⎟ 0 −1 3 −1 0 0 0 −1⎟ 0 0 −1 3 −1 0 0 −1⎟ 0 0 0 −1 3 −1 0 −1⎟ ⎟ 0 0 0 0 −1 3 −1 −1⎟ 0 0 0 0 0 − 1 3 −1 ⎟ ⎟ −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 8 ⎠ Matriks Laplace L dari gambar Jaringan Resistor di Ruangan II :
⎛1 ⎜−1 ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜ L = 0.04* 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎝
−1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 ⎠
40
Matriks Laplace L dari gambar Jaringan Resistor di Ruangan III :
⎛2 ⎜ −1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 L = 0.05 * ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝ −1
−1 0 0 2 −1 0 −1 2 −1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
−1 2 −1 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 − 1 2 −1 0 0 0 0 − 1 2 −1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
−1 ⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 −1 2 −1 0 ⎟ 0 0 −1 2 −1 ⎟ ⎟ 0 0 0 −1 2 ⎠
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
Matriks Laplace L dari gambar Jaringan Resistor di Ruangan IV :
⎛1 ⎜ ⎜−1 L=0.04*⎜ 0 ⎜0 ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜−1 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜ = 0.04* 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
−1 0 0 0 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 2 −1 0 0 ⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎜0 ⎟ −1 2 −1 0 ⎟⊗⎜0 1 0⎟+0.04*⎜0 ⎜ ⎟ ⎜0 0 −1 2 −1⎟ ⎝0 0 1⎠ ⎟ ⎜0 0 0 −1 1 ⎠ ⎝
0 0 0 0⎞ ⎟ 1 0 0 0 ⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 0 0⎟⊗⎜−1 2 −1⎟ ⎜ ⎟ 0 0 1 0⎟ ⎝ 0 −1 1 ⎠
⎟
0 0 0 1⎠
0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞
−1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞
1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0
−1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0
⎛1 ⎟ ⎜−1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜0 0⎟ ⎜0 0⎟ ⎜0 ⎜0 0⎟ ⎜0 0⎟ ⎟ ⎜ 0 +0.04* 0 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0 0⎟ ⎜0 0⎟ ⎜0 ⎜0 −1⎟ ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜ 1⎠ ⎝0
0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1
⎟ ⎟ 0 ⎟ 0⎟ 0⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟ 0⎟ 0⎟ 0⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ −1 ⎟ 1⎠
41
⎛2 ⎜ ⎜−1 ⎜0 ⎜−1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 L = 0.04*⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎝
−1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ 3 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 0 0
2 0 0 −1 0
0 3 −1 0 −1
0 −1 4 −1 0
−1 0 −1 3 0
0 −1 0 0 3
0 0 −1 0 −1
0 0 0 −1 0
0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
−1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
−1 0 −1 0 0 0
4 −1 0 −1 0 0
−1 3 0 0 −1 0
0 0 3 −1 0 −1
−1 0 −1 4 −1 0
0 −1 0 −1 3 0
0 0 −1 0 0 2
0 0 0 −1 0 −1
0 0 0 0 −1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 3 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 2 ⎠
Matriks Laplace L dari gambar Jaringan Resistor di Ruangan V :
⎛2 ⎜ ⎜−1 L=0.02*⎜ 0 ⎜0 ⎜−1 ⎝
−1 0 0 −1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 2 −1 0 0 ⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎜0 ⎟ −1 2 −1 0 ⎟⊗⎜0 1 0⎟+0.02*⎜0 ⎜0 0 −1 2 −1⎟ ⎜⎝0 0 1⎟⎠
⎟
0 0 −1 2 ⎠
⎛ 2 0 0 −1 ⎜0 2 0 0 ⎜ ⎜0 0 2 0 ⎜−1 0 0 2 ⎜ 0 −1 0 0 ⎜ 0 0 −1 0 ⎜ 0 0 0 −1 ⎜ = 0.02* 0 0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 0 ⎜0 0 0 0 ⎜0 0 0 0 ⎜0 0 0 0 ⎜−1 0 0 0 ⎜ 0 −1 0 0 ⎜ ⎝ 0 0 −1 0
0 0 0 0⎞ ⎟ 1 0 0 0 ⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 0 0⎟⊗⎜−1 2 −1⎟ 0 0 1 0⎟ ⎜⎝ 0 −1 1 ⎟⎠
⎜0 0 0 0 1⎟ ⎝ ⎠
0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 ⎞ ⎟ −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0
−1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞
0 −1 0 0 0 0 0 0
−1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 2 0 0 −1 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 −1 0 0 2 0 0 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1
⎛1 ⎜−1 ⎟ ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎜0 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 0⎟ ⎜0 ⎜0 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ 0 0 0 +0.02* 0 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜0 −1 0 0 ⎟ ⎜0 0 −1 0 ⎟ ⎜0 ⎜0 0 0 −1⎟ ⎟ ⎜0 2 0 0 ⎟ ⎜0 0 2 0 ⎟ ⎜ 0 0 2⎠ ⎝0
2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 ⎠
42
⎛3 ⎜−1 ⎜ ⎜0 ⎜−1 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜ L = 0.02* 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜−1 ⎜0 ⎜ ⎝0
−1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 ⎞ 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 3 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 3 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 3 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 3 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 3 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 3 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 3 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 3 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 3 ⎠
43
LAMPIRAN 3 Pembuatan matriks Laplace L dengan Scilab 4.1 -->g=make_graph('satu',1,9,[1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 7 8 8 9 9 9],[8 9 1 3 9 4 9 5 9 6 6 7 9 5 6 7]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.05*diag(ones(16,1)); -->L=B*C*B' L = 0.15 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 - 0.05 - 0.05 0.15 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 0. - 0.05 0.15 - 0.05 0. 0. 0. 0. - 0.05 0. 0. - 0.05 0.15 - 0.05 0. 0. 0. - 0.05 0. 0. 0. - 0.05 0.15 - 0.05 0. 0. - 0.05 0. 0. 0. 0. - 0.05 0.15 - 0.05 0. - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 0.15 - 0.05 - 0.05 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 0.15 - 0.05 - 0.05 - 0.05 - 0.05 - 0.05 - 0.05 - 0.05 - 0.05 - 0.05 0.4 -->g=make_graph('satu',1,9,[1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 9],[4 5 1 3 5 5 6 5 7 7 8 9 5 9 8 8]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.05*diag(ones(16,1)); -->L=B*C*B' L = 0.15 - 0.05 0. - 0.05 - 0.05 0. 0. 0. 0.
- 0.05 0. - 0.05 - 0.05 0. 0.15 - 0.05 0. - 0.05 0. - 0.05 0.15 0. - 0.05 - 0.05 0. 0. 0.15 - 0.05 0. - 0.05 - 0.05 - 0.05 0.4 - 0.05 0. - 0.05 0. - 0.05 0.15 0. 0. - 0.05 - 0.05 0. 0. 0. 0. - 0.05 0. 0. 0. 0. - 0.05 - 0.05
0. 0. 0. - 0.05 - 0.05 0. 0.15 - 0.05 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 - 0.05 0. - 0.05 - 0.05 0. 0.15 - 0.05 - 0.05 0.15
g=make_graph('dua',1,31,[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30],[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.04*diag(ones(30,1)); -->L=B*C*B' L =
column 1 to 15 0.04 - 0.04
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0. 0.
0.
0.
44
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04
0.08
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04
- 0.04 0.08 - 0.04 0. - 0.04 0.08 - 0.04
column 16 to 30 0.
0.
0.
45
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.08 - 0.04
0. 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.08 - 0.04
- 0.04 0.08 - 0.04 0. - 0.04 0.08 - 0.04 - 0.04 0.08 0.
- 0.04
46
column 31 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.04 0.04 -->g=make_graph('tiga',1,10,[1 1 2 3 4 5 10 9 8 7],[2 10 3 4 5 6 9 8 7 6]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.05*diag(ones(10,1)); -->L=B*C*B' L = 0.1 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 - 0.05 0.1 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 0.1 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 0.1 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 0.1 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 0.1 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 0.1 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 0.1 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 0.1 - 0.05 - 0.05 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.05 0.1 -->g=make_graph('empat',1,15,[1 2 2 2 3 4 5 5 5 6 7 8 8 8 9 10 11 11 11 12 13 15],[4 1 3 5 6 7 4 6 8 9 10 7 9 11 12 13 10 12 14 15 14 14]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.04*diag(ones(22,1));
47
-->L=B*C*B' L = 0.08 - 0.04
0.
- 0.04 0.
- 0.04 0.12 - 0.04 0. 0.
- 0.04 0.08 0.
- 0.04 0. 0.
0.
- 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.12 - 0.04 0.
- 0.04 0.16 - 0.04 0.
0.
0.
- 0.04 0.
- 0.04 0.12 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0. 0. 0. 0. 0. -->C=0.04*diag(ones(25,1));
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.04 0.
0.
- 0.04 0.
0.
0.12 - 0.04 0.
- 0.04 0.16 - 0.04 0.
- 0.04 0.
- 0.04 0.12 0.
- 0.04 0.
0.
- 0.04 0.
0.
- 0.04
0.12 - 0.04 0.
- 0.04 0.
- 0.04 0.16 - 0.04 0.
- 0.04 0.
- 0.04 0.12 0.
- 0.04 0.
0.
- 0.04 0. 0.
0.
- 0.04 0. 0.
- 0.04
0.08 - 0.04 0. - 0.04
- 0.04 0.
0.12 - 0.04 - 0.04 0.08
-->g=make_graph('lima',1,15,[1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 8 9 9 10 11 12 12 13 14 14],[2 3 14 4 9 4 5 12 6 8 6 10 7 11 7 13 8 15 11 13 10 13 15 12 15]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.02*diag(ones(25,1)); -->L=B*C*B' L = 0.06 - 0.02 - 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
- 0.02 0.06
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.08 - 0.02 - 0.02 0.
0.
0.
0.
- 0.02 - 0.02
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.08 0.
- 0.02 0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
- 0.02
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
- 0.02 - 0.02 0.06 - 0.02 0.
0.
0.
- 0.02 0.06 - 0.02 0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.06 - 0.02
0.
- 0.02 0.08 - 0.02 0.
0.
0.
0.
48
0.
- 0.02
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.06 0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02
0.06 - 0.02 - 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
- 0.02 0.06 0.
0.
- 0.02 0.
0.
- 0.02 0. 0.
0.
0. 0.
- 0.02
0.08 - 0.02 - 0.02
- 0.02 - 0.02 0.08 0.
0.
- 0.02 0.
0. - 0.02
0.06 - 0.02
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. - 0.02 0. 0. 0. - 0.02 - 0.02 0.06 -->g=make_graph('lima',1,15,[1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 7 8 8 9 11 12 13 13 14 14 15],[2 4 13 3 5 14 6 15 5 7 6 8 9 8 10 9 11 12 10 11 10 14 11 15 12]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.02*diag(ones(25,1)); -->L=B*C*B' L = 0.06 - 0.02
0.
- 0.02
- 0.02 0.08 - 0.02 0. 0.
- 0.02 0.06 0.
- 0.02 0. 0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02
0.06 - 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02
0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.
0.
- 0.02 0.06
0.
0.
- 0.02 0.08 - 0.02 0.
- 0.02 0.
- 0.02 0.
0.
0.
0.06 - 0.02 0.
- 0.02 0.08 - 0.02 0.
- 0.02 0.
- 0.02 0.06 0.
- 0.02 0.
0.
- 0.02 0.
0.
0.06 - 0.02 0.
- 0.02 0.08 - 0.02 0.
- 0.02 0.
- 0.02 0.06 0.
- 0.02 0.
0.
- 0.02 0. 0.
- 0.02
0.
0.
- 0.02
0.06 - 0.02 0. - 0.02
- 0.02 0.
0.08 - 0.02 - 0.02 0.06
49
LAMPIRAN 4 Penentuan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace dengan Scilab 4.1 -->g=make_graph('satu',1,9,[1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 7 8 8 9 9 9],[8 9 1 3 9 4 9 5 9 6 6 7 9 5 6 7]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.05*diag(ones(16,1)); -->L=B*C*B'; -->[V D]=mtlb_eig(L) D = - 2.776D-17 0. 0. 0.0792893 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. V = - 0.3333333 - 0.3333333 - 0.3333333 - 0.3333333 - 0.3333333 - 0.3333333 - 0.3333333 - 0.3333333 - 0.3333333
- 0.1419593 - 0.4393845 - 0.4794242 - 0.2386237 0.1419593 0.4393845 0.4794242 0.2386237 - 8.961D-18
- 0.4794242 - 0.2386237 0.1419593 0.4393845 0.4794242 0.2386237 - 0.1419593 - 0.4393845 1.650D-17
0. 0. 0.0792893 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0.0511296 0.4973789 - 0.0511296 - 0.4973789 0.0511296 0.4973789 - 0.0511296 - 0.4973789 3.232D-17
0. 0. 0. 0.15 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0.15 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.2207107 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.2207107 0. 0.
- 0.4973789 0.3643482 0.3424185 0.0511296 - 0.0155066 - 0.4997595 0.4973789 - 0.3424185 0.3643482 - 0.0511296 0.4997595 - 0.0155066 - 0.4973789 - 0.3643482 - 0.3424185 0.0511296 0.0155066 0.4997595 0.4973789 0.3424185 - 0.3643482 - 0.0511296 - 0.4997595 0.0155066 3.322D-18 4.618D-17 - 1.433D-18
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.25 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.45
0.3535534 - 0.3535534 0.3535534 - 0.3535534 0.3535534 - 0.3535534 0.3535534 - 0.3535534 3.669D-17
- 0.1178511 - 0.1178511 - 0.1178511 - 0.1178511 - 0.1178511 - 0.1178511 - 0.1178511 - 0.1178511 0.9428090
-->g=make_graph('dua',1,31,[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30],[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.04*diag(ones(30,1)); -->L=B*C*B'; -->[V D]=mtlb_eig(L) D =
column 1 to 9 - 7.847D-18 0. 0. 0.0004105 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0.0016376 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0.0036689 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0.0064834 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.0100523 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0143389 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0192994
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
50
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0447685 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0522156 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0599478 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0678858 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0759481 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0.0248826 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
column 10 to 18 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0310315 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0376829 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
column 19 to 27
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0840519 0. 0. 0.0921142 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
51
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1000522 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1077844 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1152315 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1223171 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
column 28 to 31 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1289685 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1351174 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1407006 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1456611 0. 0. 0.1499477 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
52
0. 0.1535166 0. 0. 0.
0. 0. 0.1563311 0. 0. V =
0. 0. 0. 0.1583624 0.
0. 0. 0. 0. 0.1595895
column 1 to 9 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053 - 0.1796053
0.2536742 0.2510712 0.2458918 0.2381893 0.2280426 0.2155559 0.2008572 0.1840976 0.1654488 0.1451023 0.1232668 0.1001665 0.0760383 0.0511299 0.0256968 2.571D-15 - 0.0256968 - 0.0511299 - 0.0760383 - 0.1001665 - 0.1232668 - 0.1451023 - 0.1654488 - 0.1840976 - 0.2008572 - 0.2155559 - 0.2280426 - 0.2381893 - 0.2458918 - 0.2510712 - 0.2536742
- 0.2526971 - 0.2423516 - 0.2220843 - 0.1927248 - 0.1554751 - 0.1118602 - 0.0636658 - 0.0128649 0.0384627 0.0882156 0.1343570 0.1749978 0.2084741 0.2334155 0.2488009 0.2540003 0.2488009 0.2334155 0.2084741 0.1749978 0.1343570 0.0882156 0.0384627 - 0.0128649 - 0.0636658 - 0.1118602 - 0.1554751 - 0.1927248 - 0.2220843 - 0.2423516 - 0.2526971
- 0.2510712 0.2488009 - 0.2458918 - 0.2423516 0.2381893 0.2334155 - 0.2280426 0.2084741 - 0.1840976 - 0.1554751 0.1232668 0.0882156 - 0.1840976 0.1343570 - 0.0760383 - 0.0128649 - 0.0511299 - 0.1118602 - 0.1232668 0.0384627 0.0511299 0.1343570 - 0.2008572 - 0.2423516 - 0.0511299 - 0.0636658 0.1654488 0.2334155 - 0.2536742 - 0.2220843 0.0256968 - 0.1554751 0.2381893 0.2488009 - 0.1840976 - 0.0636658 0.1001665 - 0.2220843 0.2510712 0.1749978 - 0.0256968 0.1343570 0.1654488 - 0.2526971 0.2008572 0.0384627 0.1451023 0.2488009 0.2155559 - 0.2423516 0.1001665 - 0.1118602 0.2458918 0.2084741 0.2458918 - 0.1927248 - 0.0256968 - 0.2220843 0.2280426 0.0384627 0.2536742 - 0.1118602 - 0.1451023 - 0.2526971 0.1001665 - 0.1554751 0.2381893 - 0.0128649 - 0.2280426 - 0.1927248 - 0.0760383 - 0.2526971 0.2008572 0.0882156 - 0.2536742 - 0.0636658 - 0.2155559 - 0.1927248 0.1451023 0.1749978 - 0.2155559 0.0882156 - 0.2510712 - 0.0128649 0.0760383 0.2334155 - 0.1232668 0.2084741 - 0.1654488 0.1749978 2.327D-15 0.2540003 - 1.329D-15 0.2540003 - 6.718D-16 0.2540003 - 0.0760383 0.2334155 0.1232668 0.2084741 0.1654488 0.1749978 - 0.1451023 0.1749978 0.2155559 0.0882156 0.2510712 - 0.0128649 - 0.2008572 0.0882156 0.2536742 - 0.0636658 0.2155559 - 0.1927248 - 0.2381893 - 0.0128649 0.2280426 - 0.1927248 0.0760383 - 0.2526971 - 0.2536742 - 0.1118602 0.1451023 - 0.2526971 - 0.1001665 - 0.1554751 - 0.2458918 - 0.1927248 0.0256968 - 0.2220843 - 0.2280426 0.0384627 - 0.2155559 - 0.2423516 - 0.1001665 - 0.1118602 - 0.2458918 0.2084741 - 0.1654488 - 0.2526971 - 0.2008572 0.0384627 - 0.1451023 0.2488009 - 0.1001665 - 0.2220843 - 0.2510712 0.1749978 0.0256968 0.1343570 - 0.0256968 - 0.1554751 - 0.2381893 0.2488009 0.1840976 - 0.0636658 0.0511299 - 0.0636658 - 0.1654488 0.2334155 0.2536742 - 0.2220843 0.1232668 0.0384627 - 0.0511299 0.1343570 0.2008572 - 0.2423516 0.1840976 0.1343570 0.0760383 - 0.0128649 0.0511299 - 0.1118602 0.2280426 0.2084741 0.1840976 - 0.1554751 - 0.1232668 0.0882156 0.2510712 0.2488009 0.2458918 - 0.2423516 - 0.2381893 0.2334155
0.2155559 - 0.0256968 - 0.2381893 - 0.1840976 0.0760383 0.2510712 0.1451023 - 0.1232668 - 0.2536742 - 0.1001665 0.1654488 0.2458918 0.0511299 - 0.2008572 - 0.2280426 9.104D-16
0.2084741 - 0.0636658 - 0.2526971 - 0.1118602 0.1749978 0.2334155 - 0.0128649 - 0.2423516 - 0.1554751 0.1343570 0.2488009 0.0384627 - 0.2220843 - 0.1927248 0.0882156 0.2540003
column 10 to 18 0.2280426 0.0511299 - 0.1654488 - 0.2536742 - 0.1451023 0.0760383 0.2381893 0.2155559 0.0256968 - 0.1840976 - 0.2510712 - 0.1232668 0.1001665 0.2458918 0.2008572 2.660D-18
0.2220843 0.0128649 - 0.2084741 - 0.2334155 - 0.0384627 0.1927248 0.2423516 0.0636658 - 0.1749978 - 0.2488009 - 0.0882156 0.1554751 0.2526971 0.1118602 - 0.1343570 - 0.2540003
0.2008572 - 0.1001665 - 0.2510712 - 0.0256968 0.2381893 0.1451023 - 0.1654488 - 0.2280426 0.0511299 0.2536742 0.0760383 - 0.2155559 - 0.1840976 0.1232668 0.2458918 - 1.309D-16
0.1927248 - 0.1343570 - 0.2334155 0.0636658 0.2526971 0.0128649 - 0.2488009 - 0.0882156 0.2220843 0.1554751 - 0.1749978 - 0.2084741 0.1118602 0.2423516 - 0.0384627 - 0.2540003
0.1840976 0.1749978 0.1654488 - 0.1654488 - 0.1927248 - 0.2155559 - 0.2008572 - 0.1554751 - 0.1001665 0.1451023 0.2084741 0.2458918 0.2155559 0.1343570 0.0256968 - 0.1232668 - 0.2220843 - 0.2536742 - 0.2280426 - 0.1118602 0.0511299 0.1001665 0.2334155 0.2381893 0.2381893 0.0882156 - 0.1232668 - 0.0760383 - 0.2423516 - 0.2008572 - 0.2458918 - 0.0636658 0.1840976 0.0511299 0.2488009 0.1451023 0.2510712 0.0384627 - 0.2280426 - 0.0256968 - 0.2526971 - 0.0760383 - 0.2536742 - 0.0128649 0.2510712 5.655D-16 0.2540003 3.026D-17
53
- 0.2008572 - 0.2458918 - 0.1001665 0.1232668 0.2510712 0.1840976 - 0.0256968 - 0.2155559 - 0.2381893 - 0.0760383 0.1451023 0.2536742 0.1654488 - 0.0511299 - 0.2280426
- 0.1343570 0.1118602 0.2526971 0.1554751 - 0.0882156 - 0.2488009 - 0.1749978 0.0636658 0.2423516 0.1927248 - 0.0384627 - 0.2334155 - 0.2084741 0.0128649 0.2220843
0.2280426 0.2008572 - 0.0511299 - 0.2458918 - 0.1654488 0.1001665 0.2536742 0.1232668 - 0.1451023 - 0.2510712 - 0.0760383 0.1840976 0.2381893 0.0256968 - 0.2155559
0.0882156 - 0.1927248 - 0.2220843 0.0384627 0.2488009 0.1343570 - 0.1554751 - 0.2423516 - 0.0128649 0.2334155 0.1749978 - 0.1118602 - 0.2526971 - 0.0636658 0.2084741
- 0.2458918 - 0.0384627 0.2536742 - 0.0128649 - 0.2510712 - 0.1232668 0.2423516 0.0256968 - 0.2526971 0.0760383 0.1840976 0.1118602 - 0.2510712 0.0384627 0.2280426 0.2155559 - 0.2084741 - 0.0511299 0.2488009 - 0.1451023 - 0.0760383 - 0.1749978 0.2458918 - 0.0636658 - 0.1840976 - 0.2536742 0.1554751 0.0760383 - 0.2423516 0.2008572 - 0.0511299 0.2220843 - 0.2381893 0.0882156 0.1232668 0.2280426 - 0.0882156 - 0.1001665 0.2334155 - 0.2381893 0.1654488 - 0.2488009 0.2280426 - 0.1118602 - 0.0511299 - 0.1451023 0.0128649 0.1232668 - 0.2220843 0.2536742 - 0.2381893 0.2526971 - 0.2155559 0.1343570 - 0.0256968 0.0256968 0.0636658 - 0.1451023 0.2084741 - 0.2458918 0.2510712 - 0.2334155 0.2008572 - 0.1554751 0.1001665 0.1001665 - 0.1343570 0.1654488 - 0.1927248 0.2155559 - 0.2008572 0.1927248 - 0.1840976 0.1749978 - 0.1654488
column 19 to 27 0.1554751 - 0.2334155 - 0.0384627 0.2526971 - 0.0882156 - 0.2084741 0.1927248 0.1118602 - 0.2488009 0.0128649 0.2423516 - 0.1343570 - 0.1749978 0.2220843 0.0636658 - 0.2540003 0.0636658 0.2220843 - 0.1749978 - 0.1343570 0.2423516 0.0128649 - 0.2488009 0.1118602 0.1927248 - 0.2084741 - 0.0882156 0.2526971 - 0.0384627 - 0.2334155 0.1554751
0.1451023 0.1343570 0.1232668 - 0.2458918 - 0.2526971 - 0.2536742 0.0256968 0.0882156 0.1451023 0.2280426 0.1749978 0.1001665 - 0.1840976 - 0.2423516 - 0.2510712 - 0.1001665 0.0384627 0.1654488 0.2536742 0.2084741 0.0760383 - 0.0760383 - 0.2220843 - 0.2458918 - 0.2008572 - 0.0128649 0.1840976 0.2155559 0.2334155 0.0511299 0.0511299 - 0.1927248 - 0.2381893 - 0.2510712 - 0.0636658 0.2008572 0.1232668 0.2488009 0.0256968 0.1654488 - 0.1554751 - 0.2280426 - 0.2381893 - 0.1118602 0.2155559 - 2.246D-16 0.2540003 - 1.623D-15 0.2381893 - 0.1118602 - 0.2155559 - 0.1654488 - 0.1554751 0.2280426 - 0.1232668 0.2488009 - 0.0256968 0.2510712 - 0.0636658 - 0.2008572 - 0.0511299 - 0.1927248 0.2381893 - 0.2155559 0.2334155 - 0.0511299 0.2008572 - 0.0128649 - 0.1840976 0.0760383 - 0.2220843 0.2458918 - 0.2536742 0.2084741 - 0.0760383 0.1001665 0.0384627 - 0.1654488 0.1840976 - 0.2423516 0.2510712 - 0.2280426 0.1749978 - 0.1001665 - 0.0256968 0.0882156 - 0.1451023 0.2458918 - 0.2526971 0.2536742 - 0.1451023 0.1343570 - 0.1232668
column 28 to 31 0.0511299 - 0.1451023 0.2155559 - 0.2510712 0.2458918 - 0.2008572 0.1232668 - 0.0256968
0.0384627 - 0.1118602 0.1749978 - 0.2220843 0.2488009 - 0.2526971 0.2334155 - 0.1927248
- 0.0256968 0.0760383 - 0.1232668 0.1654488 - 0.2008572 0.2280426 - 0.2458918 0.2536742
0.0128649 - 0.0384627 0.0636658 - 0.0882156 0.1118602 - 0.1343570 0.1554751 - 0.1749978
0.1118602 0.1001665 - 0.2488009 - 0.2381893 0.1927248 0.2280426 0.0128649 - 0.0760383 - 0.2084741 - 0.1232668 0.2423516 0.2458918 - 0.0882156 - 0.2155559 - 0.1343570 0.0511299 0.2526971 0.1451023 - 0.1749978 - 0.2510712 - 0.0384627 0.2008572 0.2220843 - 0.0256968 - 0.2334155 - 0.1654488 0.0636658 0.2536742 0.1554751 - 0.1840976 - 0.2540003 9.459D-16 0.1554751 0.1840976 0.0636658 - 0.2536742 - 0.2334155 0.1654488 0.2220843 0.0256968 - 0.0384627 - 0.2008572 - 0.1749978 0.2510712 0.2526971 - 0.1451023 - 0.1343570 - 0.0511299 - 0.0882156 0.2155559 0.2423516 - 0.2458918 - 0.2084741 0.1232668 0.0128649 0.0760383 0.1927248 - 0.2280426 - 0.2488009 0.2381893 0.1118602 - 0.1001665
0.0882156 - 0.2220843 0.2488009 - 0.1554751 - 0.0128649 0.1749978 - 0.2526971 0.2084741 - 0.0636658 - 0.1118602 0.2334155 - 0.2423516 0.1343570 0.0384627 - 0.1927248 0.2540003 - 0.1927248 0.0384627 0.1343570 - 0.2423516 0.2334155 - 0.1118602 - 0.0636658 0.2084741 - 0.2526971 0.1749978 - 0.0128649 - 0.1554751 0.2488009 - 0.2220843 0.0882156
0.0760383 0.0636658 - 0.2008572 - 0.1749978 0.2536742 0.2423516 - 0.2155559 - 0.2488009 0.1001665 0.1927248 0.0511299 - 0.0882156 - 0.1840976 - 0.0384627 0.2510712 0.1554751 - 0.2280426 - 0.2334155 0.1232668 0.2526971 0.0256968 - 0.2084741 - 0.1654488 0.1118602 0.2458918 0.0128649 - 0.2381893 - 0.1343570 0.1451023 0.2220843 1.947D-15 - 0.2540003 - 0.1451023 0.2220843 0.2381893 - 0.1343570 - 0.2458918 0.0128649 0.1654488 0.1118602 - 0.0256968 - 0.2084741 - 0.1232668 0.2526971 0.2280426 - 0.2334155 - 0.2510712 0.1554751 0.1840976 - 0.0384627 - 0.0511299 - 0.0882156 - 0.1001665 0.1927248 0.2155559 - 0.2488009 - 0.2536742 0.2423516 0.2008572 - 0.1749978 - 0.0760383 0.0636658
54
- 0.0760383 0.1654488 - 0.2280426 0.2536742 - 0.2381893 0.1840976 - 0.1001665 2.374D-15 0.1001665 - 0.1840976 0.2381893 - 0.2536742 0.2280426 - 0.1654488 0.0760383 0.0256968 - 0.1232668 0.2008572 - 0.2458918 0.2510712 - 0.2155559 0.1451023 - 0.0511299
0.1343570 - 0.0636658 - 0.0128649 0.0882156 - 0.1554751 0.2084741 - 0.2423516 0.2540003 - 0.2423516 0.2084741 - 0.1554751 0.0882156 - 0.0128649 - 0.0636658 0.1343570 - 0.1927248 0.2334155 - 0.2526971 0.2488009 - 0.2220843 0.1749978 - 0.1118602 0.0384627
- 0.2510712 0.2381893 - 0.2155559 0.1840976 - 0.1451023 0.1001665 - 0.0511299 1.203D-14 0.0511299 - 0.1001665 0.1451023 - 0.1840976 0.2155559 - 0.2381893 0.2510712 - 0.2536742 0.2458918 - 0.2280426 0.2008572 - 0.1654488 0.1232668 - 0.0760383 0.0256968
0.1927248 - 0.2084741 0.2220843 - 0.2334155 0.2423516 - 0.2488009 0.2526971 - 0.2540003 0.2526971 - 0.2488009 0.2423516 - 0.2334155 0.2220843 - 0.2084741 0.1927248 - 0.1749978 0.1554751 - 0.1343570 0.1118602 - 0.0882156 0.0636658 - 0.0384627 0.0128649
-->g=make_graph('tiga',1,10,[1 1 2 3 4 5 10 9 8 7],[2 10 3 4 5 6 9 8 7 6]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.05*diag(ones(10,1)); -->L=B*C*B'; -->[V D]=mtlb_eig(L) D =
column 1 to 9 4.377D-18 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0.0190983 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
column 10 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.2
0. 0. 0.0190983 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0.0690983 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0.0690983 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.1309017 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1309017 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1809017 0. 0. 0.1809017 0. 0.
55
V =
column 1 to 9 0.3162278 0.3162278 0.3162278 0.3162278 0.3162278 0.3162278 0.3162278 0.3162278 0.3162278 0.3162278
- 0.2628656 - 0.4253254 - 0.4253254 - 0.2628656 0. 0.2628656 0.4253254 0.4253254 0.2628656 0.
0.3618034 0.1381966 - 0.1381966 - 0.3618034 - 0.4472136 - 0.3618034 - 0.1381966 0.1381966 0.3618034 0.4472136
- 0.1381966 0.3618034 0.3618034 - 0.1381966 - 0.4472136 - 0.1381966 0.3618034 0.3618034 - 0.1381966 - 0.4472136
- 0.4253254 - 0.2628656 0.2628656 0.4253254 0. - 0.4253254 - 0.2628656 0.2628656 0.4253254 0.
- 0.4253254 0.2628656 0.2628656 - 0.4253254 0. 0.4253254 - 0.2628656 - 0.2628656 0.4253254 0.
- 0.1381966 - 0.3618034 - 0.3618034 0.1381966 0.3618034 0.1381966 0.1381966 - 0.3618034 - 0.4472136 0.4472136 0.1381966 - 0.3618034 0.3618034 0.1381966 - 0.3618034 0.1381966 - 0.1381966 - 0.3618034 0.4472136 0.4472136
- 0.2628656 0.4253254 - 0.4253254 0.2628656 0. - 0.2628656 0.4253254 - 0.4253254 0.2628656 0.
column 10 - 0.3162278 0.3162278 - 0.3162278 0.3162278 - 0.3162278 0.3162278 - 0.3162278 0.3162278 - 0.3162278 0.3162278 -->g=make_graph('empat',1,15,[1 2 2 2 3 4 5 5 5 6 7 8 8 8 9 10 11 11 11 12 13 15],[4 1 3 5 6 7 4 6 8 9 10 7 9 11 12 13 10 12 14 15 14 14]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.04*diag(ones(22,1)); -->L=B*C*B'; -->[V D]=mtlb_eig(L) D =
column 1 to 10 9.142D-18 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.0152786 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.04 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.0552786 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.0552786 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.0952786 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.1047214
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.12 0.
0.
56
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.1352786 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.1447214
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
column 11 to 15 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1447214 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1752786 0. 0. 0. V =
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1847214 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.2247214 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.2647214
column 1 to 9 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989 0.2581989
0.3472767 0.3472767 0.3472767 0.2146288 0.2146288 0.2146288 7.417D-16 3.303D-16 1.374D-16 - 0.2146288 - 0.2146288 - 0.2146288 - 0.3472767 - 0.3472767 - 0.3472767
- 0.3162278 1.845D-16 0.3162278 - 0.3162278 1.739D-16 0.3162278 - 0.3162278 1.919D-16 0.3162278 - 0.3162278 1.488D-16 0.3162278 - 0.3162278 2.465D-18 0.3162278
- 0.2002258 0.4775763 0.1586021 0.2492252 0.5174300 0.0208740 - 0.2823484 0.0459332 - 0.0605806 - 0.0951955 0.1611872 - 0.2363243 - 0.1960429 - 0.3080592 - 0.1960429 - 0.3080592 - 0.1960429 - 0.3080592 0.1611872 - 0.2363243 - 0.0605806 - 0.0951955 - 0.2823484 0.0459332 0.5174300 0.0208740 0.1586021 0.2492252 - 0.2002258 0.4775763
0.3618034 - 4.792D-17 - 0.3618034 - 0.1381966 5.706D-16 0.1381966 - 0.4472136 1.507D-16 0.4472136 - 0.1381966 - 2.997D-17 0.1381966 0.3618034 2.751D-16 - 0.3618034
column 10 to 15 - 0.2759585 - 0.0702485 0.1354616 0.5167588
- 0.0753485 0.0883026 0.2519537 0.0336138
0.2088873 - 0.1381966 0.1517655 - 0.0797878 - 0.4177746 - 2.197D-15 - 0.303531 0.1595757 0.2088873 0.1381966 0.1517655 - 0.0797878 - 0.0797878 0.3618034 - 0.2455617 0.2088873
0.2146288 - 0.1825742 0.2455617 0.2146288 0.3651484 - 0.4911235 0.2146288 - 0.1825742 0.2455617 - 0.3472767 - 0.1825742 0.1517655 - 0.3472767 0.3651484 - 0.303531 - 0.3472767 - 0.1825742 0.1517655 3.632D-16 - 0.1825742 5.922D-16 6.414D-16 0.3651484 - 1.388D-15 6.062D-16 - 0.1825742 - 3.185D-16 0.3472767 - 0.1825742 - 0.1517655 0.3472767 0.3651484 0.303531 0.3472767 - 0.1825742 - 0.1517655 - 0.2146288 - 0.1825742 - 0.2455617 - 0.2146288 0.3651484 0.4911235 - 0.2146288 - 0.1825742 - 0.2455617
57
0.1839129 - 0.1489329 - 0.2273289 - 0.2273289 - 0.2273289 - 0.1489329 0.1839129 0.5167588 0.1354616 - 0.0702485 - 0.2759585
- 0.2311792 - 0.4959723 0.2857533 0.2857533 0.2857533 - 0.4959723 - 0.2311792 0.0336138 0.2519537 0.0883026 - 0.0753485
0.1595757 3.494D-17 0.4911235 - 0.0797878 - 0.3618034 - 0.2455617 - 0.2581989 - 0.4472136 - 9.871D-16 0.5163978 3.154D-15 1.232D-16 - 0.2581989 0.4472136 4.898D-16 - 0.0797878 0.3618034 0.2455617 0.1595757 1.938D-15 - 0.4911235 - 0.0797878 - 0.3618034 0.2455617 0.2088873 - 0.1381966 - 0.1517655 - 0.4177746 - 2.609D-15 0.303531 0.2088873 0.1381966 - 0.1517655
- 0.4177746 0.2088873 - 0.2581989 0.5163978 - 0.2581989 0.2088873 - 0.4177746 0.2088873 - 0.0797878 0.1595757 - 0.0797878
-->g=make_graph('lima',1,15,[1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 7 8 8 9 11 12 13 13 14 14 15],[2 4 13 3 5 14 6 15 5 7 6 8 9 8 10 9 11 12 10 11 10 14 11 15 12]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.02*diag(ones(25,1)); -->L=B*C*B'; -->[V D]=mtlb_eig(L) D =
column 1 to 10 1.141D-17 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.02
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.0276393 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.0276393 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.0476393 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.0476393 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.06 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.0723607 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.0723607 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.0876393
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
58 column 11 to 15 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0876393 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0923607 0. 0. 0. V =
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0923607 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1323607 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.1323607
column 1 to 9 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989 - 0.2581989
- 0.3162278 3.525D-16 0.3162278 - 0.3162278 3.061D-16 0.3162278 - 0.3162278 - 1.944D-16 0.3162278 - 0.3162278 - 2.148D-16 0.3162278 - 0.3162278 1.739D-16 0.3162278
- 0.0253382 - 0.0253382 - 0.0253382 0.3386097 0.3386097 0.3386097 0.2346105 0.2346105 0.2346105 - 0.1936124 - 0.1936124 - 0.1936124 - 0.3542696 - 0.3542696 - 0.3542696
0.3642682 0.1377725 - 0.4254630 0.3642682 - 4.568D-16 - 2.121D-16 0.3642682 - 0.1377725 0.4254630 0.1366631 - 0.3620653 - 0.2625047 0.1366631 - 1.613D-16 - 1.820D-17 0.1366631 0.3620653 0.2625047 - 0.2798057 - 0.3615411 0.2632261 - 0.2798057 - 7.879D-17 - 6.541D-16 - 0.2798057 0.3615411 - 0.2632261 - 0.3095926 0.1386206 0.4251874 - 0.3095926 - 3.733D-16 - 2.239D-16 - 0.3095926 - 0.1386206 - 0.4251874 0.0884670 0.4472134 - 0.0004459 0.0884670 - 3.611D-16 - 4.075D-16 0.0884670 - 0.4472134 0.0004459
0.3617281 1.021D-15 - 0.3617281 - 0.1380748 - 3.193D-16 0.1380748 - 0.1383184 - 1.112D-15 0.1383184 0.3618787 - 9.591D-16 - 0.3618787 - 0.4472136 1.255D-15 0.4472136
- 0.2629692 2.011D-15 0.2629692 0.4253650 1.059D-15 - 0.4253650 - 0.4252858 - 2.022D-15 0.4252858 0.2627619 - 2.235D-15 - 0.2627619 0.0001281 1.172D-16 - 0.0001281
0.1825742 0.2281037 - 0.2851351 - 0.3651484 0.2281037 - 0.2851351 0.1825742 0.2281037 - 0.2851351 0.1825742 - 0.3521380 0.0966032 - 0.3651484 - 0.3521380 0.0966032 0.1825742 - 0.3521380 0.0966032 0.1825742 0.3416675 0.1288279 - 0.3651484 0.3416675 0.1288279 0.1825742 0.3416675 0.1288279 0.1825742 - 0.2006917 - 0.3050511 - 0.3651484 - 0.2006917 - 0.3050511 0.1825742 - 0.2006917 - 0.3050511 0.1825742 - 0.0169415 0.3647551 - 0.3651484 - 0.0169415 0.3647551 0.1825742 - 0.0169415 0.3647551
column 10 to 15 0.1297982 - 0.2595964 0.1297982 0.2523875 - 0.5047750 0.2523875 0.0261858 - 0.0523716 0.0261858 - 0.2362038 0.4724075 - 0.2362038 - 0.1721678 0.3443355 - 0.1721678
0.2232019 - 0.4464038 0.2232019 - 0.0544723 0.1089445 - 0.0544723 - 0.2568676 0.5137352 - 0.2568676 - 0.1042807 0.2085613 - 0.1042807 0.1924186 - 0.3848372 0.1924186
- 0.1517655 0.303531 - 0.1517655 0.2455617 - 0.4911235 0.2455617 - 0.2455617 0.4911235 - 0.2455617 0.1517655 - 0.303531 0.1517655 - 2.534D-16 - 2.307D-16 9.141D-18
0.2088873 - 0.4177746 0.2088873 - 0.0797878 0.1595757 - 0.0797878 - 0.0797878 0.1595757 - 0.0797878 0.2088873 - 0.4177746 0.2088873 - 0.2581989 0.5163978 - 0.2581989
59
LAMPIRAN 5 Berikut formula (rumus) untuk menghitung nilai Resistor Pengganti RI, RII, RIII, RIV, dan RV menggunakan formula dari Teorema Resistansi Dua-Simpul. Proses penghitungannya dengan mensubstitusikan nilai-nilai eigen dan komponen baris ke-i kolom-α dari vektor-vektor eigen ortonormal matriks Laplace. Jika vektorvektor eigen ortonormal tersebut membentuk satu matriks V yang ortonormal. Maka V terbentuk dari beberapa vektor eigen ortonormal ui yang merupakan suatu vektor baris yang ditulis secara terurut dari atas ke bawah sesuai dengan letak nilai eigennya. 9 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 R19 = ∑ u i1 − u i 9 = u 21 − u 29 + u 31 − u 39 + u 41 − u 49 + u 51 − u 59 + u 61 − u 69
λi
i=2
λ
1
+
λ
u 71 − u 79
1
λ
1
λ
u 61 − u 6 ,31 +
R1,10 =
λ
10
i=2
+ +
u 26 ,1 − u 26 ,31 +
i
λi
λ
u i 1 − u i ,10
2
2
u 61 − u 6 ,10
u i 1 − u i ,15
2
λ
λ
u 91 − u 9 ,31 +
9
1
2
1
2
u19 ,1 − u19 ,31 +
1
2
u 23 ,1 − u 23 ,31 +
λ
2
u 28 ,1 − u 28 ,31 +
28
u15 ,1 − u15 ,31
2
u 20 ,1 − u 20 ,31
2
15
λ
23
λ
27
λ λ
19
1
u 27 ,1 − u 27 ,31 +
1
2
1
2
u18 ,1 − u18 ,31 +
1
2
λ
u14 ,1 − u14 ,31 +
λ
18
λ
u10 ,1 − u10 ,31
14
λ
u 22 ,1 − u 22 ,31 +
5
1 10
2
1
2
λ
2
u13 ,1 − u13 ,31 +
λ
2
2
u 61 − u 6 ,15 +
λ
2
λ
u 71 − u 7 ,10
1
λ
2
1
2
u 71 − u 7 ,15 +
7
1 12
+
7
u 21 − u 2 ,15 +
λ
+
2
2
1
u11,1 − u11,15 +
2
2
1
λ
u 21 − u 2 ,10
1
+
=
6
11
1
=
6
1
1
4
2
u 51 − u 5 ,31
u 24 ,1 − u 24 ,31 +
λ
24
1
λ
20
1
2
2
u 29 ,1 − u 29 ,31 +
29
u 25 ,1 − u 25 ,31
2
u 30 ,1 − u 30 ,31
2
25
1
λ
30
31
λ
λ
6
2
u 31,1 − u 31,31
1
1
1
22
λ
26
i=2
15
8
u 17 ,1 − u17 ,31 +
1
2
1
+
λ
21
∑λ
R1,15 = ∑
u 21,1 − u 21,31 +
1
+
u 81 − u 8 ,31 +
1
2
13
1
λ
5
u 41 − u 4 ,31 +
1
2
2
λ
2
1
λ
λ
17
1
λ
3
u12 ,1 − u12 ,31 +
1
2
1
2
u 31 − u 3 ,31 +
1
u 71 − u 7 ,31 +
λ
16
+
λ
2
1
u16 ,1 − u16 ,31 +
λ
λ
1
12
1
+
u 91 − u 99
λ
4
2
9
7
2
11
+
λ
2
u11,1 − u11,31 +
λ
1
+ 2
λ
6
λ
3
u 21 − u 2 ,31 +
1
2
1
+
u 81 − u 89
2
8
2
1
+
λ
u i1 − u i 31 =
λi
i=2
λ
2
1
+
7
31
R1,31 = ∑
2
2
λ 2
1
λ
1
λ
2
u 81 − u 8 ,10
λ
+
8
2
u 31 − u 3 ,15 +
3
2
u 81 − u 8 ,15 + 1
λ
1
+
3
8
u12 ,1 − u12 ,15 +
2
u 31 − u 3 ,10
13
1
λ 1
λ
1
λ
2
u 91 − u 9 ,10
+
9
1
2
u 41 − u 4 ,15 +
4
2
u 91 − u 9 ,15 +
u13 ,1 − u13 ,15 +
+
4
9
2
2
u 41 − u 4 ,10
λ
1
λ
u 51 − u 5 ,10
5
1
λ
2
u 10 ,1 − u 10 ,10
2
10
u 51 − u 5 ,15
2
5
1
u10 ,1 − u10 ,15
λ
2
10
1
λ
14
2
u14 ,1 − u14 ,15 +
1
λ
15
u1,15 − u15 ,15
2
60
15
1
R1,15 = ∑
u i 1 − u i ,15
λi
i=2
1
+
λ
=
1
λ
u 61 − u 6 ,15 +
6
2
λ
λ
11
λ
u 71 − u 7 ,15 + 1
3
λ
λ
u 81 − u 8 ,15 +
8
1
u12 ,1 − u12 ,15 +
12
2
u 41 − u 4 ,15 +
4
1
2
2
λ
1
2
u 31 − u 3 ,15 +
1
2
7
2
u11,1 − u11,15 +
1
2
u 21 − u 2 ,15 +
1
2
1
+
2
λ
2
u 91 − u 9 ,15 +
9
λ
u 51 − u 5 ,15
2
5
1
u10 ,1 − u10 ,15
λ
2
10
1
2
u13 ,1 − u13 ,15 +
λ
1
λ
13
1
2
u14 ,1 − u14 ,15 +
14
λ
u1,15 − u 15 ,15
15
ILUSTRASI : Akan dihitung nilai resistor pengganti di antara simpul 1 dan simpul 10, R1,10 sebagai berikut. Karena dalam Scilab 4.1 daftar nilai-nilai vektor eigen ortonormal dituliskan dalam bentuk vektor kolom secara terurut dari kiri ke kanan sesuai dengan nilai eigennya, maka formula untuk R1,10 diubah cara penulisannya. 10 2 2 2 2 1 1 1 1 1 R1,10 = ∑ u i1 − u i ,10 = u 21 − u 2 ,10 + u 31 − u 3 ,10 + u 41 − u 4 ,10 + u 51 − u 5 ,10 i=2
λi
+
λ
1
λ
u 61 − u 6 ,10
2
+
6
λ
2
1
λ
u 71 − u 7 ,10
2
+
7
λ
3
1
λ
u 81 − u 8 ,10
2
+
8
λ
4
1
λ
u 91 − u 9 ,10
2
+
9
2
5
1
λ
u 10 ,1 − u 10 ,10
10
dapat diubah menjadi berikut ini 10 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 R1,10 = ∑ u1i − u10,i = u12 − u10, 2 + u13 − u10,3 + u14 − u10, 4 + u15 − u10,5 i =2
+
λi
1
λ6
λ2
2
u16 − u10,6 +
1
λ7
λ3
2
u17 − u10, 7 +
1
λ8
λ4
2
u18 − u10,8 +
1
λ9
λ5
2
u19 − u10,9 +
1
λ 10
u1,10 − u10,10
2
1 1 2 2 − 0.2628656 − 0. + 0.3618034 − 0.4472136 0.0190983 0.0190983 1 1 2 2 + − 0.1381966 − (−0.4472136) + − 0.4253254 − 0. 0.0690983 0.0690983 1 1 2 2 + − 0.4253254 − 0. + − 0.1381966 − 0.4472136 0.1309017 0.1309017 1 1 2 2 + − 0.3618034 − 0.4472136 + − 0.2628656 − 0. 0.1809017 0.1809017 1 2 + − 0.3162278 − 0.31622788 0.2 1 1 1 2 2 2 = − 0.2628656 + − 0.0854102 + 0.3090170 0.0190983 0.0190983 0.0690983 1 1 1 2 2 2 + − 0.4253254 + − 0.4253254 + − 0.5854102 0.0690983 0.1309017 0.1309017 1 1 1 2 2 2 + − 0.8090170 + − 0.2628656 + − 0.6324555 0.1809017 0.1809017 0.2
R1,10 =
R1,10
0.0690983 0.0072949 0.0954915 0.1809017 0.1809017 0.3427051 + + + + + 0.0190983 0.0190983 0.0690983 0.0690983 0.1309017 0.1309017 0.6545085 0.0690983 0.4 + + + 0.1809017 0.1809017 0.2 R1,10 = 3.618034 + 0.3819660 + 1.381966 + 2.618034 + 1.381966 + 2.618034 + 3.618034 + 0.3819660 + 2 R1,10 =
2
2
61
R1,10 = 18 ohm Pada proses penghitungannya, nilai – nilai yang diperoleh dibulatkan sampai beberapa desimal sehingga diperoleh suatu nilai resistor pengganti yang lebih akurat dan teliti, dengan nilai resistor pengganti R1,10 = 18 ohm.
62
LAMPIRAN 6 Penghitungan nilai resistor pengganti Rαβ menggunakan Scilab 4.1 -->g=make_graph('satu',1,9,[1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 7 8 8 9 9 9],[8 9 1 3 9 4 9 5 9 6 6 7 9 5 6 7]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.05*diag(ones(16,1)); -->L=B*C*B'; -->[V D]=mtlb_eig(L); -->V1=V(1,2:9); -->V2=V(9,2:9); -->V3=V1-V2; -->W=diag(V3); -->X=W*W; -->[V D]=mtlb_eig(L); -->E=D(2:9,2:9); -->F=inv(E); -->R=X*F; -->RI=sum(diag(R)) RI = 8.952381 -->g=make_graph('dua',1,31,[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30],[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.04*diag(ones(30,1)); -->L=B*C*B'; -->[V,D] = mtlb_eig(L); -->V1=V(1,2:31); -->V2=V(31,2:31); -->V3=V1-V2; -->W=diag(V3); -->X=W*W; -->[V,D] = mtlb_eig(L); -->E=D(2:31,2:31);
63
-->F=inv(E); -->R=X*F; -->RII=mtlb_sum(diag(R)) RII = 750. -->g=make_graph('tiga',1,10,[1 1 2 3 4 5 10 9 8 7],[2 10 3 4 5 6 9 8 7 6]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.05*diag(ones(10,1)); -->L=B*C*B'; -->[V,D] = mtlb_eig(L); -->V1=V(1,2:10); -->V2=V(10,2:10); -->V3=V1-V2; -->W=diag(V3); -->X=W*W; -->[V D]=mtlb_eig(L); -->E=D(2:10,2:10); -->F=inv(E); -->R=X*F; -->RIII=mtlb_sum(diag(R)) RIII = 18. -->g=make_graph('empat',1,15,[1 2 2 2 3 4 5 5 5 6 7 8 8 8 9 10 11 11 11 12 13 15],[4 1 3 5 6 7 4 6 8 9 10 7 9 11 12 13 10 12 14 15 14 14]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.04*diag(ones(22,1)); -->L=B*C*B'; -->[V D]=mtlb_eig(L); -->V1=V(1,2:15); -->V2=V(15,2:15); -->V3=V1-V2; -->W=diag(V3); -->X=W*W;
64
-->[V D]=mtlb_eig(L); -->E=D(2:15,2:15); -->F=inv(E); -->R=X*F; -->RIV=mtlb_sum(diag(R)) RIV = 51.435407 -->g=make_graph('lima',1,15,[1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 7 8 8 9 11 12 13 13 14 14 15],[2 4 13 3 5 14 6 15 5 7 6 8 9 8 10 9 11 12 10 11 10 14 11 15 12]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->C=0.02*diag(ones(25,1)); -->L=B*C*B'; -->[V D]=mtlb_eig(L); -->V1=V(1,2:15); -->V2=V(15,2:15); -->V3=V1-V2; -->W=diag(V3); -->X=W*W; -->[V D]=mtlb_eig(L); -->E=D(2:15,2:15); -->F=inv(E); -->R=X*F; -->RV=mtlb_sum(diag(R)) RV = 48.025078
65
LAMPIRAN 7 Penghitungan nilai arus listrik (i) yang mengalir pada jaringan listrik menggunakan Scilab 4.1 -->g=make_graph('hotel',1,5,[1 2 2 2 3 4 4 5],[2 3 4 5 1 1 3 1]); -->A=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->A=-(A'); -->A=full(A) A = - 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1.
1. - 1. - 1. - 1. 0. 0. 0. 0.
0. 1. 0. 0. - 1. 0. 1. 0.
0. 0. 1. 0. 0. - 1. - 1. 0.
0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. - 1.
-->b=[0;0;0;0;0;-1000;-500;-500]; -->f=[0;0;0;0]; -->r=[8.9524 750.0000 18.0000 51.4354 48.0251 100.0000 50.0000 50.0000]; -->R=diag(r); -->T=-R; -->A1=A(1:8,1:4); -->A2=A1'; -->O=zeros(4,4); -->M=[T A1;A2 O]; -->P=inv(M); -->U=[b;f]; -->y=P*U y = 12.958325 - 0.2849996 9.4577435 3.7855807 2.0352188 7.1375251 2.3202184 3.7855807 - 310.72096 - 194.71286 - 408.46255 - 24.473475
66
Sebagai output y(1) sampai y(8) merupakan nilai dari i1, …, i8. Dan y(9) sampai y(12) merupakan nilai dari x1, …, x4. Substitusikan nilai dari x1, …, x4 ke persamaan V = b – Ax. Maka dapat diperoleh nilai dari v1, …, v8. -->g=make_graph('hotel',1,5,[1 2 2 2 3 4 4 5],[2 3 4 5 1 1 3 1]); -->g('node_demand')=[20 0 10 -20 -10]; -->g('edge_weight')=[8.9524 750.0000 18.0000 51.4354 48.0251 100.0000 50.0000 50.0000]; -->[x,pi]=pipe_network(g) pi = 310.72096 194.71286 408.46255 24.473475 0. x = - 12.958325 0.2849996 - 9.4577435 - 3.7855807 - 2.0352188 2.8624749 7.6797816 6.2144193 Penggunaan fungsi pipe_network ini, jika sumber tegangan awal diasumsikan = 0. Sebagai ouput, pi menyatakan besarnya tegangan akhir dan x menyatakan besarnya arus listrik.
67
LAMPIRAN 8 Penyelesaian penghitungan masalah pada jaringan listrik menggunakan matriks Laplace L dengan Scilab 4.1 -->g=make_graph('hotel',1,5,[1 2 2 2 3 4 4 5],[2 3 4 5 1 1 3 1]); -->B=graph_2_mat(g,'node-arc'); -->B=full(B) B = 1. - 1. 0. 0. 0.
0. 1. - 1. 0. 0.
0. 1. 0. - 1. 0.
0. 1. 0. 0. - 1.
- 1. 0. 1. 0. 0.
- 1. 0. 0. 1. 0.
0. 0. - 1. 1. 0.
- 1. 0. 0. 0. 1.
-->r=[8.9524 750.0000 18.0000 51.4354 48.0251 100.0000 50.0000 50.0000]; -->R=diag(r); -->C=inv(R); -->b=[0;0;0;0;0;-1000;-500;-500]; -->f=[0;0;0;0;0]; -->B*C*b ans = 20. 0. 10. - 20. - 10. -->i=B*C*b-f i = 20. 0. 10. - 20. - 10. -->L=B*C*B' L = 0.1625243 - 0.1117019 - 0.0208224 - 0.01 - 0.02
- 0.1117019 0.1880326 - 0.0013333 - 0.0555556 - 0.0194419
-->I=0.9*diag(ones(5,1)); -->L1=L+I; -->M=inv(L1);
- 0.0208224 - 0.0013333 0.0421558 - 0.02 0.
- 0.01 - 0.0555556 - 0.02 0.0855556 0.
- 0.02 - 0.0194419 0. 0. 0.0394419
68
-->x=M*i x = 18.729385 0.7396719 10.607646 - 19.846127 - 10.230576
69
LAMPIRAN 9 Pembuktian Akhir Teorema Resistansi Dua-Simpul
Vα −V β Rαβ = I N
N
∑ gα j (0)I j −∑ gβ j (0)I j =
j =1
j =1
I N
∑ ( gα j (0)−gβ j (0))I j j =1
=
I N
∑ ( gα j (0)−gβ j (0))I (δ jα −δ jβ ) j =1
=
I N
= ∑ ( gα j (0)−gβ j (0))(δ jα −δ jβ ) j =1 N
N
N
N
j =1
j =1
j =1
j =1
= ∑ gα j (0)δ jα − ∑ gβ j (0)δ jα − ∑ gα j (0)δ jβ + ∑ gβ j (0)δ jβ = ( gα1 (0)δ1α + gα 2 (0)δ2α + ... + gαN (0)δ Nα ) − ( gβ 1 (0)δ1α + gβ 2 (0)δ 2α + ... + gβ N (0)δ Nα ) − ( gα1 (0)δ1β + gα 2 (0)δ 2β + ... + gα N (0)δ Nβ ) + ( gβ 1 (0)δ1β + gβ 2 (0)δ 2β + ... + gβ N (0)δ Nβ ) = gα1 (0)δ1α + gβ 1 (0)δ1β + gα 2 (0)δ2α + gβ 2 (0)δ 2 β + ... + gαα (0)δαα + gββ (0)δββ + ... + gα N (0)δ Nα + gβ N (0)δ Nβ − gβ 1 (0)δ1α − gα 1 (0)δ1β − gβ 2 (0)δ 2α − gα 2 (0)δ2 β − ... − gβα (0)δαα − gαβ (0)δ ββ − ... − gβ N (0)δ Nα − gα N (0)δ Nβ
{ {
1 jika α =β 0 jika α ≠β Karena maka 1 jika β =α δβα = = 0 jika β ≠α
δαβ = =
Rαβ = gα1 (0).0 + gβ 1 (0).0 + gα 2 (0).0 + gβ 2 (0).0 + ... + gαα (0).1 + gββ (0).1 + ... + gα N (0).0 + gβ N (0).0 − gβ 1 (0).0 − gα 1 (0).0 − gβ 2 (0).0 − gα 2 (0).0 − ... − gβα (0).1 − gαβ (0).1 − ... − gβ N (0).0 − gα N (0).0 = 0 + 0 + 0 + 0 + ... + gαα (0) + gββ (0) + ... + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 − 0 − ... − gβα (0) − gαβ (0) − ... − 0 − 0 = gαα (0) + gββ (0) − gβα (0) − gαβ (0) = gαα (0) + gββ (0) − gαβ (0) − gβα (0) =
=
N
∑
i =2
(
uiα ui−α1
λi
−1 2α
u2α u
λ2
N
uiβ ui−β1
i =2
λi
+∑
+
−1 3α 3α
u u
λ3
+...+
N
−∑
uiα ui−β1
i =2 −1 Nα
uNα u
λN
λi
)(
N
uiβ ui−α1
i =2
λi
−∑
)(
λ2
λ3
λN
λ2
λ3
Karena uiα = uiα dan uiβ = uiβ adalah masing - masing nilai dari elemen - elemen -1
)(
u u−1 u u−1 u u−1 u u−1 u u−1 u u−1 u u−1 u u−1 u u−1 + 2 β 2 β + 3β 3β +...+ Nβ Nβ − 2α 2β + 3α 3β +...+ Nα Nβ − 2 β 2α + 3β 3α +... Nβ Nα
-1
baris ke - i dari vektor - vektor eigen ortonormal kolom ke - α dan ke - β dari matriks fungsi Green G(ε ) maka selanjutnya akan diperoleh
λN
λ2
λ3
λN
)
70
Rαβ =
(
= = = =
)(
)(λ
)(λ
u u u u u u u u u u u u u u u u u u u2α u2α u3α u3α u u + +...+ Nα Nα + 2β 2β + 3β 3β +...+ Nβ Nβ − 2α 2β + 3α 3β +...+ Nα Nβ − 2β 2α + 3β 3α +...+ Nβ Nα
λ2
u22α
−
λ2
(
λ3
u2α u2β
λ2
λN
−
u2α u2β
λ2
u −2u2α u2β +u 2 2α
2 2β
λ2
(u2α −u2β )2
λ2 u2α −u2β
2
λ2 N
=∑
uiα −uiβ
=∑
+
)( +
u3α −u3β
λ3
λ2
u32α
+
λ3
−
1
i=2 λi
u3α u3β
λ3 2 3β
λ3 + ... +
2
+ ... +
λN
uNα −uNβ
λN
2
= Rαβ Terbukti Teorema Resistansi Dua Simpul.
2
−
λN
u3α u3β
λ3
) ( + ... +
(uNα −uNβ )2
2
uiα − uiβ
λ3
u −2u3α u3β +u 2 3α
(u3α −u3β )2
λ3
u22β
λi
i=2 N
+
+
λ2
+
u32β
λ3
uN2α
+ ... +
λN
u −2uNα uNβ +u 2 Nα
2 Nβ
λN
λ3
2
)
−
uNα uNβ
λN
λN
−
uNα uNβ
λN
+
uN2 β
λN
2
λ3
λN
)
71
LAMPIRAN 10 Pembuktian Penghitungan Nilai-Nilai Ortonormal dari matriks TNfree .
Eigen
dan
Vektor-Vektor
Eigen
Terlebih dahulu akan dibahas tentang materi Persamaan Diferensial Linier OrdeDua. Persamaan Diferensial Linier Orde-Dua Persamaan diferensial linier orde-dua mempunyai bentuk d2y dy P ( x) 2 + Q( x) + R( x) y = G ( x) dx dx Dengan P, Q, R, dan G adalah fungsi kontinu. Jika G(x) = 0, untuk semua x, dalam persamaan di atas maka persamaan di atas disebut persamaan linear homogen. Jadi bentuk persamaan diferensial linier homogen orde-dua adalah d2y dy P ( x) 2 + Q( x) + R( x) y = 0 dx dx Jika G(x) ≠ 0 untuk beberapa x, persamaan diferensial tersebut adalah takhomogen.
Teorema Jika y1(x) dan y2(x) keduanya adalah solusi persamaan linier homogen d2y dy P ( x) 2 + Q( x) + R( x) y = 0 dx dx dan c1 dan c2 adalah konstanta sebarang, maka fungsi y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) adalah juga solusi dari persamaan tersebut. BUKTI : Karena y1 dan y2 adalah solusi dari persamaan d2y dy P ( x) 2 + Q( x) + R( x) y = 0 dx dx maka dapat diperoleh P( x) y1 ' '+Q( x) y1 '+ R( x) y1 = 0 dan P ( x ) y2 ' '+Q ( x) y2 '+ R ( x) y2 = 0 Karena itu, dengan menggunakan aturan dasar diferensiasi, dapat diperoleh P( x) y ' '+Q( x) y '+ R( x) y = P ( x)(c1 y1 + c 2 y 2 )' '+Q( x)(c1 y1 + c 2 y 2 )'+ R( x)(c1 y1 + c 2 y 2 ) = P ( x)(c1 y1 ' '+ c2 y2 ' ' ) + Q ( x)(c1 y1 '+c2 y2 ' ) + R ( x)(c1 y1 + c2 y2 ) = c1 [ P ( x) y1 ' '+Q ( x) y1 '+ R ( x) y1 ] + c 2 [ P( x) y 2 ' '+Q ( x) y 2 '+ R ( x) y 2 ] = c1(0) + c2(0) = 0 Jadi, y = c1y1 + c2y2 adalah solusi persamaan diferensial homogen d2y dy P ( x) 2 + Q( x) + R( x) y = 0 dx dx ■
72
Teorema Jika y1 dan y2 adalah solusi yang bebas linear dari persamaan d2y dy P ( x) 2 + Q( x) + R( x) y = 0 , dx dx maka solusi umumnya diberikan oleh y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) dengan c1 dan c2 adalah konstanta sebarang. BUKTI : lihat buku An Introduction to Differential Equations and Their Applications karya Stanley J. Farlow terbit tahun 1994.
Umumnya, tidak mudah menemukan solusi khusus untuk persamaan linier orde-dua. Tetapi selalu dimungkinkan untuk melakukan itu jika fungsi koefisien P, Q, dan R adalah fungsi konstan, yakni jika persamaan differensial mempunyai bentuk ay' ' +by' + cy = 0 dengan a, b, dan c konstanta dan a ≠ 0. Diketahui bahwa fungsi eksponensial y = erx (dengan r konstanta) mempunyai sifat bahwa turunannya adalah suatu konstanta dikali dirinya sendiri : y' = re rx . Selanjutnya, y' ' = r 2 e rx . Jika bentuk y = erx, y' = re rx , dan y' ' = r 2 e rx disubstitusikan ke dalam persamaan ay' ' +by' +cy = 0 , rx dapat dilihat bahwa y = e adalah solusi jika ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 atau (ar 2 + br + c)e rx = 0 . Tetapi erx tidak pernah nol. Jadi, y = erx adalah solusi dari persamaan ay' ' +by' +cy = 0 jika r adalah akar dari persamaan ar 2 + br + c = 0 Persamaan ini disebut persamaan pembantu (atau persamaan karakteristik) dari persamaan diferensial ay' ' +by' +cy = 0 Kadang-kadang akar-akar r1 dan r2 dari persamaan pembantu dapat dicari melalui faktorisasi. Dalam kasus lain akar-akar ini dicari dengan menggunakan rumus abc : − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac , r2 = . 2a 2a Selanjutnya dapat dibedakan tiga kasus sesuai dengan tanda diskriminan b2 – 4ac. KASUS I ■ b 2 − 4ac > 0 Jika akar-akar r1 dan r2 dari persamaan pembantu ar2 + br + c = 0 adalah real dan berbeda, maka solusi umum dari ay' ' +by' +cy = 0 adalah r1 =
y = c1e r1 x + c2 e r2 x KASUS II ■ b 2 − 4ac = 0 Jika persamaan pembantu ar2 + br + c = 0 hanya mempunyai satu akar real r, maka solusi umum dari ay' ' +by' + cy = 0 adalah y = c1e rx + c 2 xe rx
73
KASUS III ■ b 2 − 4ac < 0 Jika akar-akar persamaan pembantu ar2 + br + c = 0 adalah bilangan kompleks r1 = α + iβ, r2 = α – iβ, maka solusi umum dari ay' ' +by' +cy = 0 adalah y = eα x (c1 cos β x + c2 sin β x) ■ Masalah Nilai-Awal dan Masalah Nilai-Batas Masalah Nilai-Awal untuk persamaan orde-dua d2y dy P ( x) 2 + Q( x) + R( x) y = G ( x) dx dx Atau d2y dy P ( x) 2 + Q( x) + R( x) y = 0 dx dx terdiri dari pencarian solusi y dari persamaan diferensial yang juga memenuhi syarat awal berbentuk y’(x0) = y1 y(x0) = y0 Masalah Nilai-Batas untuk persamaan d2y dy P ( x) 2 + Q( x) + R( x) y = G ( x) dx dx terdiri dari pencarian solusi y dari persamaan diferensial yang juga memenuhi syarat batas berbentuk y(x1) = y1 y(x0) = y0 Berlawanan dengan situasi untuk masalah nilai-awal, masalah nilai-batas tidak selalu mempunyai solusi. [Stewart]
Selanjutnya akan dijelaskan Vibration Modes of a Finite String dari buku Differential Equations : A Modelling Approach karya Glenn Ledder. Bentuk masalah dari Vibration Modes of a Finite String (bentuk getaran dari suatu tali yang hingga) adalah Masalah Model (Model Problem) Menemukan semua fungsi f, dan fungsi penghubung (the corresponding function) g yang memenuhi masalah u tt = c 2 u xx , untuk 0 < x < L, t > 0, dengan masalah nilai-batas u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, dan masalah nilai-awal u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = 0, yang mempunyai solusi berbentuk u = f(x)g(t). Persamaan Diferensial Biasa dari f dan g Jika u = f(x)g(t), maka u xx = f ' ' ( x) g (t ) , utt = f ( x) g' ' (t ) dapat diperoleh suatu persamaan gelombang f ( x) g' ' (t ) = c 2 f ' ' ( x) g (t ) yang dapat ditulis kembali dalam bentuk f ' ' ( x) 1 g' ' (t ) = f ( x) c 2 g (t )
74
Catatan : u xx = f ' ' ( x) g (t ) jika fungsi g (t ) dianggap sebagai suatu konstanta. utt = f ( x) g' ' (t ) jika fungsi f(x) dianggap sebagai suatu konstanta. Selanjutnya, untuk suatu masalah dapat diasumsikan f ' ' ( x) 1 g' ' (t ) = =k, f ( x) c 2 g (t ) Jadi, dapat diperoleh dua persamaan diferensial linear biasa dari fungsi f dan g, f ' ' ( x) = kf ( x) , g' ' (t ) = kc 2 g (t ) Substitusikan u = f(x)g(t) ke dalam masalah nilai-batas f(0)g(t) = 0, f(L)g(t) = 0 Misalkan g(t) adalah suatu fungsi amplitudo dari gelombang, tetapi tidak ada suatu gelombang jika amplitudonya 0. Maka, untuk masalah nilai-batas dari fungsi f dapat diperoleh f(0) = 0, f(L) = 0 Sama untuk masalah nilai-awal maka f(x)g(0) = f(x), f(x)g’(0) = 0; dapat diperoleh juga g(0) = 1, g' (0) = 0 . Akhirnya dapat diperoleh suatu masalah nilai-batas untuk f, f ' ' −kf = 0 , f(0) = 0, f(L) = 0 dan suatu masalah nilai-awal untuk g, g' ' − kc 2 g = 0 , g(0) = 1, g' (0) = 0 . The Waveforms (bentuk gelombang) Misalkan diasumsikan bahwa k = –λ2 kemudian substitusikan ke dalam masalah nilai-batas dari fungsi f f ' ' +λ2 f = 0 , f(0) = 0, f(L) = 0 Persamaan dalam masalah nilai-batas ini adalah masalah nilai eigen (the eigenvalue problem) masalah nilai-batas tetap (fixed-end boundary conditions) dari persamaan diferensial f ' ' +λ2 f = 0 . Secara terminologi masalah ini sama dengan masalah nilai eigen pada aljabar linear. Solusi umum dari persamaan diferensial f ' ' +λ2 f = 0 adalah f = A cos λx + B sin λx . Untuk masalah nilai-batas f(0) = 0 diperoleh A = 0; maka f = B sin λx . Untuk masalah nilai-batas f(L) = 0 diperoleh persamaan B sin λL = 0 . Nilai B tidak mungkin nol, maka solusi taknol yang mungkin adalah sin λL = 0 ⇔ sin λL = sin nπ ⇔ λ L = nπ untuk setiap n. Akhirnya, dapat diperoleh nilai-nilai eigen nπ λn = , n = 1, 2, …. N Yang bersesuaian dengan satu parameter keluarga persamaan gelombang
75
f n ( x) = Bn sin
nπx . L
[Ledder] Semua yang telah dijelaskan di atas akan menjadi dasar untuk penentuan nilai-nilai komponen dari vektor-vektor eigen ortonormal milik matriks TNfree . Akan dibuktikan bahwa λn = 2(1 − cos Φn ) , n = 0, 1, … , N – 1 dengan Φn = nπ adalah suatu nilai eigen dari N 0 0 0⎞ ⎛ 1 −1 0 ⎜ ⎟ 0 0 0⎟ ⎜ −1 2 −1 ⎟ TNfree = ⎜ ⎜ ⎟ − 1 2 − 1⎟ ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 0 − 1 1 ⎟⎠ ⎝ Misalkan untuk setiap x ≠ 0 dalam Rn dapat diasumsikan bahwa x ≠ 0 adalah suatu vektor eigen dari matriks TNfree yang bersesuaian dengan suatu nilai eigen λn. Akan berlaku xT TNfree x = xT λnx Misalkan xT = (xn1, xn2, … , xnj) maka 0 0 0⎞ x ⎛ 1 −1 0 ⎜ ⎟⎛ n1 ⎞ 0 0 0 ⎟⎜ xn 2 ⎟ ⎜ −1 2 −1 ⎜ ⎟ T ⎟⎜ (xn1, xn2, … , xnj) ⎜ ⎟ = λn x x ⎜ ⎟⎜ − 1 2 − 1⎟⎜ xn , j −1 ⎟⎟ ⎜0 0 0 x ⎜0 0 0 0 − 1 1 ⎟⎠⎝ nj ⎠ ⎝ Karena matriks TNfree adalah suatu matriks hermite yang real dan simetriks maka vektor-vektor eigen dari TNfree saling ortogonal dan selanjutnya dapat dibuat suatu vektor yang saling ortonormal sehingga xT x = x = 1 ( xn21 + 2 xn22 + ... + 2 xn2, j −1 + xnj2 ) − 2( xn1 xn 2 + xn 2 xn 3 + ... + xn , j xn , j −1 ) = λn xT x
⇔ 2( xn21 + xn22 + ... + xn2, j −1 + 0 2 ) − 2( xn1 xn 2 + xn 2 xn 3 + ... + xn , j −1 xn , j ) = λn (1) ⎛ xn 2 ⎞ ⎜ ⎟ xn 3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = λn ⇔ 2 x' – 2 ( xn1 , xn 2 , ... , xnj )⎜ ⎜x ⎟ ⎜⎜ n , j ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⇔ 2(1) – 2(x • a) = λn Terdapat fakta tentang komponen-komponen vektor eigen dari matriks TNfree bahwa x n21 = x nj2 dan dapat diasumsikan bahwa x' dan a adalah vektor-vektor eigen yang lain
dari matriks TNfree maka
λ n = 2 − 2 x a cos Φn
76
⇔ λn = 2 − 2(1)(1) cos Φn ⇔ λn = 2 − 2 cos Φn ⇔ λn = 2(1 − cos Φn ) Diketahui bahwa − 1 ≤ cos Φn ≤ 1 maka
cos( NΦn ) ≤ cos(nπ) ⇔ NΦn ≤ nπ ⇔ Φn ≤ nπ Maka dapat disimpulkan bahwa Φn = nπ
. N , untuk n = 0, 1, … , N – 1.
N Untuk menguatkan penghitungan formula nilai eigen selanjutnya akan dibuktikan bahwa λn = 2(1 − cos Φn ) , n = 0, 1, … , N – 1 dengan Φn = nπ adalah suatu nilai eigen dari TNfree dengan Prinsip Induksi N Matematika. 1. (Basis Induksi) untuk n = 0 maka λ0 = 2(1 − cos Φ0 )
= 2(1 − cos 0.π
N
)
= 2(1 − cos 0) λ0 = 2(1 − 1)
= 2(0) λ0 = 0 adalah benar karena 0 adalah salah satu nilai eigen dari TNfree . 2. (Hipotesis Induksi) misalkan untuk n = k dianggap benar bahwa λk = 2(1 − cos Φk ) , k = 0, 1, … , N – 1 3. Berdasarkan Hipotesis Induksi akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1 adalah benar bahwa (k + 1)π λk +1 = 2(1 − cos Φk +1 ) = 2(1 − cos ) N π π kπ π kπ kπ = 2(1 − cos( + )) = 2(1 − [cos( ) cos( ) − sin( ) sin( )]) N N N N N N π π kπ kπ = 2 − 2 cos( ) cos( ) + 2 sin( ) sin( ) N N N N kπ π kπ π kπ π kπ π = 2 − [cos( + ) + cos( − )] + [cos( − ) − cos( + )] N N N N N N N N kπ + π kπ − π kπ − π kπ + π = 2 − cos( ) − cos( ) + cos( ) − cos( ) N N N N kπ + π kπ + π = 2 − cos( ) − cos( ) N N (k + 1)π ) = 2 − 2 cos( N Terbukti Jadi, benar bahwa λn = 2(1 − cos Φn ) , n = 0, 1, … , N – 1 Catatan :
77
Sifat trigonometri dua sudut x dan y 2 cos x cos y = cos( x + y ) + cos( x − y ) 2 sin x sin y = cos( x − y ) − cos( x + y ) Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
v nx( N ) = (N) v nx =
dengan Φn = nπ
N
1
N
,
2 cos(( x + 1 / 2)Φn ) , N
n = 0, semua x n = 1, 2, … , N – 1, semua x
adalah komponen dari vektor-vektor eigen ortonormal dari
matriks
TNfree
⎛ 1 −1 0 ⎜ ⎜ −1 2 −1 =⎜ ⎜ ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 ⎝
0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ − 1 2 − 1⎟ 0 − 1 1 ⎟⎠ 0 0
0 0
(N ) adalah komponen dari vektor eigen ortonormal dalam bentuk vektor Catatan : vnx
baris ke-n kolom ke-x dari matriks Laplace TNfree berorde N×N dengan n = i = 0, 1, … , N – 1 dan x = j = 0, 1, … , N – 1. Dapat diasumsikan bahwa matriks Laplace TNfree adalah suatu matriks dari aplikasi Hukum Newton tentang Gerak Harmonik Sederhana dalam bentuk suatu n-sistem persamaan differensial linear orde dua yaitu dalam bentuk d2 (− m ) 2 V' ' = TNfree V k dx ⇔ (− m )V' ' = TNfree V k v v ⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ v2 ⎟ ⎜ v1 ⎟ dengan V = ⎜ ⎟ atau V = ⎜ ⎟. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜v ⎟ ⎜v ⎟ ⎝ N⎠ ⎝ N −1 ⎠ Jika vn = (vn0, vn1, … , vn,N-1) dengan n = 0, 1, … , N – 1 maka n-sistem persamaan differensial linear orde dua di atas dapat juga ditulis dalam bentuk (− m / k ) v '' = TNfree v atau (− m / k ) v '' = λn v Dapat ditinjau untuk kasus yang paling sederhana. Jika n = 1, maka sistem tersebut adalah v ''+ λ (k / m)v = 0 Jelas, fungsi solusi yang bentuknya v(t) = Acos( λ ωx) + Bsin( λ ωx)
78
dengan A dan B suatu konstanta sembarang, ω =
k
memenuhi persamaan m tersebut. Generalisasi alami dari penyelesaian ini untuk kasus n > 1 ( merupakan solusi dari n−Sistem Persamaan Differensial) adalah nπx nπx v(n,x) = Acos( ) + Bsin( ) N N atau nπx nπx v(x,t) = Acos( ) + Bsin( ) N N Sekarang diasumsikan bahwa solusi dari persamaan diferensial orde-dua (− m / k ) v '' = λn v ⇔ v' ' + ( k )λn v = 0 m adalah sama bentuknya dengan solusi dari masalah nilai eigen f ' ' +λ2 f = 0 , yang ekuivalen dengan bentuk persamaan diferensial v' ' + λn v = 0 ,
dengan ω =
k
m
= 1 yang ekuivalen juga dengan bentuk
v' ' +λ2 v = 0 , yang mempunyai solusi berbentuk v = A cos λx + B sin λx 1 1 untuk masalah nilai-batas v(0) = ± ≈ 0 karena jika N → ∞ maka →0 N N 1 diperoleh A = ± ≈ 0 ; maka N 1 v=± cos λx + B sin λx . N 1 ≈ 0 diperoleh persamaan Untuk masalah nilai-batas v(N) = ± N 1 1 v( N ) = ± cos λN + B sin λN = ± ≈0 N N 1 1 ⇔ B sin λN = ± ∓ cos λN N N 1 (±1 + cos λN ) 1 ⇔B=± ≈± ≈0 sin λN N N 1 → 0 dan dari persamaan terakhir dapat Hal ini terjadi karena jika N → ∞ maka N diperoleh 1 (±1 + cos λN ) ± ≈0 sin λN N (±1 + cos λN ) ⇔ ≈0 sin λN ⇔ (±1 + cos λN ) = 0 .
79
Diambil persamaan (±1 + cos λN ) = 0 karena jika N → ∞ maka N → ∞ yang berakibat 1 (±1 + cos λN ) ± ≈ 0, sin λN N selanjutnya haruslah (±1 + cos λN ) = 0 maka cos λN = ±1 ⇔ cos λN = cos nπ ⇔ λ L = nπ nπ λ= N Jadi, akhirnya dapat diperoleh persamaan nπx nπx v(n,x) = Acos( ) + Bsin( ), N N yang merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial v' ' + λn v = 0 Jika diketahui terdapat juga suatu masalah nilai-awal (untuk menguatkan bukti penentuan fungsi v(n,x)) yaitu 1 , untuk semua x v(0,x) = N nπ , untuk semua x v' (0, x) = N N maka akan diperoleh 0.πx 0.πx 1 ) + Bsin( )= v(0,x) = Acos( N N N 1 ⇔ Acos(0) + Bsin(0) = N 1 ⇔A+0= N 1 ⇔A= N dan 0.πx 0.πx nπ nπ nπ )) + B( ) cos( )= v' (0, x) = A( )(− sin( N N N N N N nπ nπ nπ ⇔ v' (0, x) = − A( ) sin(0) + B ( ) cos(0) = N N N N nπ nπ ⇔ B( ) = N N N 1 ⇔B= N Jadi, dapat diperoleh juga nπx nπx 1 1 cos( sin( v(n,x) = )+ ) N N N N Selanjutnya dapat diperoleh juga
80
2
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ R= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⎝ N⎠ ⎝ N⎠
2 N
dan 1 sin θ =
2
N
=
1
2 N 1 ⇔ sin θ = 2 2 1 ⇔ sin Nθ = 2 2 nπ , untuk n = 1, 2, … , N – 1 ⇔ sin Nθ ≤ sin 4 nπ nπ ⇔ Nθ ≤ ⇔θ ≤ 4 N4 1 ⎛ nπ ⎞ 1 ⎛ nπ ⎞ ⇔θ ≤ ⎜ ⎟ ⎟ ⇔ 2θ ≤ ⎜ 4⎝ N ⎠ 2⎝ N ⎠ 1 ⇔ 2θ ≤ (Φn ) 2 v(n,x) dapat juga ditulis dalam bentuk 2 nπx cos( + 2θ ) v ( n, x ) = N N 2 nπx 1 ⎛ nπ ⎞ cos( + ⎜ ⎟) 2⎝ N ⎠ N N 2 1 nπ v ( n, x ) = cos(( x + ) ) N 2 N
v ( n, x ) =
2 1 cos(( x + )Φn ) , N 2 yang juga merupakan suatu bentuk persamaan gelombang yang mempunyai kecepatan 1 sudut 2θ = ω = 2πf ≤ (Φn ) karena jumlah gelombang yang lewat pada suatu titik 2 n setiap detik adalah sebesar . 4N Jadi, berdasarkan aplikasi Hukum Newton tentang Gerak Harmonik Sederhana dan masalah nilai eigen (the eigenvalue problem) masalah nilai-batas tetap (fixed-end boundary conditions) dari persamaan diferensial f ' ' +λ2 f = 0 dapat diasumsikan bahwa 2 1 v(n, x) = cos(( x + )Φn ) N 2 dengan Φn = nπ adalah komponen dari vektor-vektor eigen ortonormal dari N matriks v(n, x) =
TNfree
⎛ 1 −1 0 ⎜ ⎜ −1 2 −1 . =⎜ ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎝0 0 0
0⎞ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟ − 1 2 − 1⎟ 0 − 1 1 ⎟⎠ 0 0
0 0
81
LAMPIRAN 11 Pembuktian Penghitungan Nilai-Nilai Eigen dan Vektor-Vektor Eigen Ortonormal dari matriks TNper . Akan dibuktikan bahwa λn = 2(1 − cos 2Φn ) , n = 0, 1, … , N – 1 dengan Φn = nπ adalah suatu nilai eigen dari N 0 0 − 1⎞ ⎛ 2 −1 0 ⎜ ⎟ 0 0 0⎟ ⎜ −1 2 −1 ⎟ TNper = ⎜ ⎜ ⎟ − 1 2 − 1⎟ ⎜0 0 0 ⎜ −1 0 0 0 − 1 2 ⎟⎠ ⎝ Misalkan untuk setiap x ≠ 0 dalam Rn dapat diasumsikan bahwa x ≠ 0 adalah suatu vektor eigen dari matriks TNper yang bersesuaian dengan suatu nilai eigen λn. Akan berlaku xT TNper x = xT λnx Misalkan xT = (xn1, xn2, … , xnj) maka 0 0 − 1⎞ x ⎛ 2 −1 0 ⎜ ⎟⎛ n1 ⎞ 0 0 0 ⎟⎜ xn 2 ⎟ ⎜ −1 2 −1 ⎜ ⎟ T ⎟⎜ (xn1, xn2, … , xnj) ⎜ ⎟ = λn x x ⎟⎜ ⎜ − 1 2 − 1⎟⎜ xn , j −1 ⎟⎟ ⎜0 0 0 x ⎜ −1 0 0 0 − 1 2 ⎟⎠⎝ nj ⎠ ⎝ Karena matriks TNper adalah suatu matriks hermite yang real dan simetriks maka vektor-vektor eigen dari TNper saling ortogonal dan selanjutnya dapat dibuat suatu vektor yang saling ortonormal sehingga xT x = x = 1 (2 xn21 + 2 xn22 + ... + 2 xn2, j −1 + 2 xnj2 ) − 2( xn1 xn 2 + xn 2 xn 3 + ... + xn , j xn ,1 ) = λn xT x
2( xn21 + xn22 + ... + xn2, j −1 + xnj2 ) − 2( xn1 xn 2 + xn 2 xn 3 + ... + xn , j xn ,1 ) = λn xT x
⇔2 x
2
⎛ xn 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ xn 3 ⎟ ⎟ = λn – 2 ( xn1 , xn 2 , ... , xnj )⎜ ⎜x ⎟ ⎜ n, j ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n1 ⎠
2(1) − 2(x • y ) = λ n Dapat diasumsikan bahwa vektor y adalah suatu vektor eigen yang lain dari matriks TNper maka
x • y = x y cos 2Φn Diketahui bahwa -1 ≤ cos 2Φn ≤ 1 ⇔ -1 ≤ cos θ ≤ 1, karena matriks TNper diperoleh dari suatu gambar graf dengan kondisi batas periodik maka cos θ ≤ cos (2π)
82
⇔ cos N θ ≤ cos n(2π) ⇔ N θ ≤ n(2π) ⇔ θ ≤ n(2π)/N ⇔ θ ≤ 2 (nπ ) N ⇔ θ ≤ 2Φn dengan Φn = nπ
, n = 0, 1, … , N – 1. N Sudah diperoleh bahwa 2(1) − 2(x • y ) = λ n maka
λn = 2 − 2( x y cos 2Φn ) ⇔ λ n = 2 − 2((1)(1) cos 2Φn ) ⇔ λ n = 2 − 2 cos 2Φn ⇔ λn = 2(1 − cos 2Φn ) dengan Φn = nπ
, untuk n = 0, 1, … , N – 1. N Untuk menguatkan penghitungan formula nilai eigen selanjutnya akan dibuktikan bahwa λn = 2(1 − cos 2Φn ) , n = 0, 1, … , N – 1 adalah suatu nilai eigen dari TNper dengan Prinsip Induksi dengan Φn = nπ N Matematika. 1. (Basis Induksi) untuk n = 0 maka λ0 = 2(1 − cos 2Φ0 ) = 2(1 − cos 2(0.π
N
))
= 2(1 − cos 0) λ0 = 2(1 − 1) = 2(0) λ0 = 0 adalah benar karena 0 adalah salah satu nilai eigen dari TNper . 2. (Hipotesis Induksi) misalkan untuk n = k dianggap benar bahwa λk = 2(1 − cos 2Φk ) , k = 0, 1, … , N – 1 3. Berdasarkan Hipotesis Induksi akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1 adalah benar bahwa (k + 1)π λk +1 = 2(1 − cos 2Φk +1 ) = 2(1 − cos 2 ) N 2kπ 2π 2kπ 2π 2kπ 2π = 2(1 − cos( + )) = 2(1 − [cos( ) cos( ) − sin( ) sin( )]) N N N N N N 2kπ 2π 2kπ 2π = 2 − 2 cos( ) cos( ) + 2 sin( ) sin( ) N N N N 2kπ 2π 2kπ 2π 2kπ 2π 2kπ 2π = 2 − [cos( + ) + cos( − )] + [cos( − ) − cos( + )] N N N N N N N N 2kπ + 2π 2kπ − 2π 2kπ − 2π 2kπ + 2π = 2 − cos( ) − cos( ) + cos( ) − cos( ) N N N N
83
2kπ + 2π 2kπ + 2π ) − cos( ) N N (k + 1)π = 2 − 2 cos(2 ). N Terbukti Jadi, benar bahwa λn = 2(1 − cos 2Φn ) , n = 0, 1, … , N – 1 = 2 − cos(
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa 1 i 2 xΦn , n, x = 0, 1, … , N – 1 vnxper = e N dengan Φn = nπ adalah komponen dari vektor-vektor eigen ortonormal dari N matriks 0 0 − 1⎞ ⎛ 2 −1 0 ⎜ ⎟ 0 0 0⎟ ⎜ −1 2 −1 ⎟ TNper = ⎜ ⎜ ⎟ − 1 2 − 1⎟ ⎜0 0 0 ⎜ −1 0 0 0 − 1 2 ⎟⎠ ⎝ dengan Prinsip Induksi Matematika. 1. (Basis Induksi) untuk n = 0 maka 1 i 2 xΦ0 1 i 2 x ( 0.π N ) 1 0 1 = = v0perx = e e e = N N N N adalah benar karena nilai komponen baris ke-0 untuk setiap kolom ke-x = 0, 1, ... , 1 . N – 1 dari vektor eigen ortonormal dari matriks TNper adalah bernilai N 2. (Hipotesis Induksi) misalkan untuk n = k dianggap benar bahwa 1 i 2 xΦk 1 i 2 x ( kπ N ) v kxper = e = e N N 3. Berdasarkan Hipotesis Induksi akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1 adalah benar bahwa 1 i 2 xΦ( k +1) 1 i 2 x(( k +1)π N ) v(per = e = e k +1) x N N 1 i 2 x(( kπ +π ) N ) 1 (i 2 xkπ N + i 2 xπ N ) v(per e = e k +1) x = N N 1 ( i 2 xkπ N ) (i 2 xπ N ) .e v(per e k +1) x = N 1 = + i sin 2 xkπ [cos 2 xkπ ].[cos(2 xπ / N ) + i sin(2 xπ / N )] N N N
(
)
(
)
84
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
1 [cos 2 xkπ cos(2 xπ / N ) + i cos 2 xkπ sin(2 xπ / N ) + i sin 2 xkπ cos(2 xπ / N ) N N N N + i 2 sin 2 xkπ sin(2 xπ / N )] N 1 = [cos 2 xkπ cos(2 xπ / N ) + i (cos 2 xkπ sin(2 xπ / N ) + sin 2 xkπ cos(2 xπ / N )) N N N N − sin 2 xkπ sin(2 xπ / N )] N 1 = [cos 2 xkπ cos(2 xπ / N ) − sin 2 xkπ sin(2 xπ / N ) + i (cos 2 xkπ sin(2 xπ / N ) N N N N + sin 2 xkπ cos(2 xπ / N ))] N 1 = [cos(2 xkπ + 2 xπ ) + i sin(2 xkπ + 2 xπ )] N N N N N 1 [cos(2 x(k + 1)π ) + i sin( 2 x(k + 1)π )] = N N N 1 i 2 x ( k +1)π / N = e N Terbukti Jadi, benar bahwa 1 i 2 xΦn , n, x = 0, 1, … , N – 1 vnxper = e N dengan Φn = nπ adalah komponen dari vektor-vektor eigen ortonormal dari N matriks TNper . =
(
)
(
(
)
(
(
)
)
(
)
85
LAMPIRAN 12 Pembuktian Teorema 6 Tentang Sifat-Sifat Kronecker Product Matriks 1. ( A ⊗ B )(C ⊗ D )
⎛ a11B a12B " a1n B ⎞⎛ c11D c12D " c1j D⎞ ⎟ ⎟⎜ ⎜ a21B a22B " a2n B ⎜c21D c22D " c2 j D⎟ ⎟ ⎜ = # % # ⎟ # % # ⎟⎜ # ⎜ # ⎜a B a B " a B⎟⎜ c D c D " c D ⎟ i2 ij ⎠ mn ⎠⎝ i1 ⎝ m1 m2 ⎛ a 11 c 11 BD + a 12 c 21 BD a 11 c 12 BD + a 12 c 22 BD ⎜ " + ... + a 1 n c i 2 BD ⎜ + ... + a 1 n c i 1 BD ⎜ a 21 c 11 BD + a 22 c 21 BD a 21 c 12 BD + a 22 c 22 BD " = ⎜ + ... + a c BD + ... + a 2 n c i 2 BD 2 n i1 ⎜ ⎜ # # % ⎜ a m 1 c 11 BD + a m 2 c 21 BD a m 1 c 12 BD + a m 2 c 22 BD " ⎜ + ... + a mn c i 2 BD ⎝ + ... + a mn c i 1 BD ( a 11 c 12 + a 12 c 22 ⎛ ( a 11 c 11 + a 12 c 21 ⎜ " + ... + a 1 n c i 2 ) BD ⎜ + ... + a 1 n c i 1 ) BD ⎜ ( a 21 c 11 + a 22 c 21 ( a 21 c 12 + a 22 c 22 " = ⎜ + ... + a c ) BD + ... + a 2 n c i 2 ) BD 2n i1 ⎜ ⎜ # # % ⎜ ( a m 1 c 11 + a m 2 c 21 ( a m 1 c 12 + a m 2 c 22 " ⎜ ⎝ + ... + a mn c i 1 ) BD + ... + a mn c i 2 ) BD ⎛ (a11c11 + a12 c21 + ... + a1n ci1 ) (a11c12 + a12 c22 + ... + a1n ci 2 ) ⎜ (a21c11 + a22 c21 + ... + a2 n ci1 ) ( a21c12 + a22 c22 + ... + a2 n ci 2 ) =⎜ # # ⎜ ⎜ (a c + a c + ... + a c ) (a c + a c + ... + a c ) mn i 1 m1 12 m 2 22 mn i 2 ⎝ m1 11 m 2 21
⎞ ⎟ + ... + a 1 n c ij BD ⎟ a 21 c 1 j BD + a 22 c 2 j BD ⎟ ⎟ + ... + a 2 n c ij BD ⎟ # ⎟ a m 1 c 1 j BD + a m 2 c 2 j BD ⎟ ⎟ + ... + a mn c ij BD ⎠ ( a 11 c 1 j + a 12 c 2 j ⎞ ⎟ + ... + a 1 n c ij ) BD ⎟ ( a 21 c 1 j + a 22 c 2 j ⎟ ⎟ + ... + a 2 n c ij ) BD ⎟ # ⎟ ( a m1c1 j + a m 2 c 2 j ⎟ ⎟ + ... + a mn c ij ) BD ⎠ a 11 c 1 j BD + a 12 c 2 j BD
" (a11c1 j + a12 c2 j + ... + a1n cij ) ⎞ ⎟ " ( a21c1 j + a22 c2 j + ... + a2 n cij )
= ( AC ) ⊗ ( BD ) ■
* 2. ( A ⊗ B ) ms × nt ( A ⊗ B ) ms × nt = Ι ms × nt * ⇔ ( A ⊗ B ) ms × nt ( A ⊗ B ) ms × nt = Ι m× n ⊗ I s ×t * ⇔ ( A ⊗ B) ms×nt ( A ⊗ B) ms×nt = ( A * A) ⊗ ( B * B) * * * ⇔ ( A ⊗ B ) ( A ⊗ B ) = ( A ⊗ B )( A ⊗ B ) dengan melakukan pencoretan kanan terhadap matriks akan diperoleh ( A ⊗ B )* = A * ⊗ B * .■ −1
3. ( A ⊗ B ) ms×nt ( A ⊗ B ) ms×nt = Ι ms×nt −1
⇔ ( A ⊗ B ) ms×nt ( A ⊗ B ) ms×nt = Ι m×n ⊗ Ι s×t −1
−1
⇔ ( A ⊗ B) ms×nt ( A ⊗ B) ms×nt = ( A −1 A) ⊗ ( B B) −1
−1
⇔ ( A ⊗ B)ms×nt ( A ⊗ B)ms×nt = ( A −1 ⊗ B ) ⊗ ( A ⊗ B) dengan melakukan pencoretan kanan terhadap matriks akan diperoleh −1
( A ⊗ B) = A 4. Diketahui
−1
⊗B
−1
.■
⎟ ⊗ (BD )
% # ⎟ " ( am1c1 j + am 2 c2 j + ... + amn cij ) ⎟⎠
86
⎛ a11 B ⎜ a B ( A ⊗ B ) = ⎜ 21 ⎜ # ⎜a B ⎝ m1 ⎛ b11 A ⎜ b A ( B ⊗ A) = ⎜ 21 ⎜ # ⎜b A ⎝ s1
a12 B " a1n B ⎞ ⎟ a 22 B " a 2 n B
⎟ dan
% # ⎟ a m 2 B " a mn B ⎟⎠ #
b12 A " b1t A ⎞
⎟
b22 A " b2 t A ⎟ # % # ⎟
⎟
bs 2 A " bst A ⎠
Karena A ≠ B maka dapat dilihat bahwa ( A ⊗ B ) ≠ ( B ⊗ A) .■ T
5. Diketahui A ⊗ B adalah matriks uniter sehingga akan terdapat ( A ⊗ B )* = ( A ⊗ B ) . Maka akan
* * berlaku ( A ⊗ B )* = A ⊗ B . Jadi A dan B adalah matriks uniter juga, karena A*A = I dan B*B = I T
T
dengan A* = A dan B* = B .■ Terbukti
87
LAMPIRAN 13 Pembuktian Teorema 2 Tentang Nilai-Nilai Eigen dan Vektor-Vektor Eigen dari Kronecker Product dan Kronecker Sum Matriks Sebelumnya akan dijelaskan tentang matriks yang similar, matriks yang similar secara uniter, dan matriks diagonal. (Matriks yang similar) Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n×n. B dikatakan serupa (similar) dengan A jika terdapat taksingular S sehingga B = S-1AS. (Matriks yang similar secara uniter) Misalkan A dan D adalah matriks-matriks n×n. D dikatakan similar secara uniter dengan A jika terdapat matriks uniter taksingular U sehingga D = U-1AU dengan D suatu matriks diagonal. (Matriks diagonal) Matriks diagonal D adalah suatu matriks persegi n×n yang didefinisikan sebagai
⎧d , jika i = j dij := ⎨ ⎩0, jika i ≠ j dengan d suatu bilangan real atau bilangan kompleks. [Leon, 2001] Misalkan U dan V adalah matriks uniter yang ortogonal dari A dan B akan berlaku U*AU = T1 dan V*BV = T2, T
*
T
dengan U = U dan V = V juga T1 dan T2 adalah masing-masing matriks segitiga atas dengan nilainilai diagonal utamanya λi dan µj, i = 1, ... , m, j = 1, ... , n. Maka *
*
*
T1 ⊗ T2 = (U AU ) ⊗ (V BV ) *
*
*
*
= (U ⊗ V )( AU ⊗ BV ) = (U ⊗ V )( A ⊗ B )(U ⊗ V ) Catatan bahwa U ⊗ V adalah matriks uniter dengan vektor kolom ke-j dari matriks U ⊗ V adalah vektor eigen dari matriks A ⊗ B . Jadi A ⊗ B adalah similar secara uniter ke (unitarily similar
to) T1 ⊗ T2 . Nilai-nilai eigen dari matriks T1 ⊗ T2 adalah λiµj. Untuk selanjutnya, misalkan W = U ⊗ V maka * ⎞ ⎛ λ1I n ⎟ ⎜ * W ( A ⊗ I n ) = T1 ⊗ I n = % ⎟ ⎜⎜ λm I n ⎟⎠ ⎝ 0 dan 0⎞ ⎛ T1 ⎟ ⎜ W * (I m ⊗ B )W = I m ⊗ T2 = % ⎟ ⎜⎜ T2 ⎟⎠ ⎝0
Jadi *
W ( A ⊗ I n + I m ⊗ B )W = T1 ⊗ I n + I m ⊗ T2 adalah suatu matriks segitiga atas (matriks diagonal)
dengan nilai-nilai eigen λi + µj. (Terbukti)
