PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN BLOCK CIRCULANT HARYONO HERMANA

PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN BLOCK CIRCULANT

HARYONO HERMANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, April 2016

Haryono Hermana NIM G54090060

ABSTRAK HARYONO HERMANA. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan RUHIYAT. Matriks circulant adalah matriks yang dibentuk dari 𝑛 vektor yang setiap entri pada suatu baris (mulai dari baris kedua) diperoleh dari satu baris sebelumnya dengan cara menggesernya satu posisi ke kanan sehingga entri-entri diagonal utamanya sama. Pada Karya ilmiah ini ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant serta beberapa sifatnya. Kata kunci: matriks circulant, matriks circulant simetrik, matriks block circulant, nilai eigen, vektor eigen.

ABSTRACT HARYONO HERMANA. The Eigenvalues and the Eigenvectors of Circulant, Symmetric Circulant, and Block Circulant Matrices. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and RUHIYAT. Circulant matrix is a matrix formed from 𝑛 vectors whose entries on a certain row (starting from the second row) are obtained from the previous row by shifting one position to the right such that all its diagonal elements are the same. In this work we determined the eigenvalues and eigenvector of circulant, symmetric circulant, and block circulant matrices and discussed their properties. Keywords: circulant matrices, symmetric circulant matrices, block circulant matrices, eigenvalues, eigenvectors.

PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN BLOCK CIRCULANT

HARYONO HERMANA

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Bidang yang dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan sejak bulan Februari 2015 ini adalah matematika murni, dengan judul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant. Terima kasih penulis ucapkan kepada Dra Nur Aliatiningtyas, MS dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing, serta Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, kakak, adik, dan seluruh keluarga besar atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala bantuan yang diberikan selama masa perkuliahan. Tak lupa ucapan terima kasih kepada Agung, Andri, Dicky, Ihsan, Qowi, Syaepul, dan teman-teman Matematika angkatan 46 lainnya, adik kelas, serta seluruh pihak yang selalu mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, April 2016

Haryono Hermana

DAFTAR ISI PENDAHULUAN

0

Latar Belakang

1

Tujuan Karya Ilmiah

1

TINJAUAN PUSTAKA

2

Matriks Circulant

2

Matriks Circulant Simetrik

2

Matriks Block Circulant

2

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

3

Konjugat Kompleks

3

PEMBAHASAN Matriks Circulant

4 4

Matriks Circulant Simetrik

15

Matriks Block Circulant

19

SIMPULAN

32

DAFTAR PUSTAKA

33

LAMPIRAN

34

RIWAYAT HIDUP

35

1

PENDAHULUAN Latar Belakang Circulant telah dikenal banyak orang sejak awal abad ke-19 ketika terungkap dalam wujud aslinya sebagai determinan circulant. Kemudian pada abad ini, matriks diciptakan dan circulant telah ditafsirkan kembali sebagai matriks. Circulant kemudian dapat dilihat sebagai jenis khusus dari aljabar dan sub-aljabar dari aljabar matriks (Jones 2008). Matriks circulant adalah suatu matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 yang dibentuk dari 𝑛 vektor dan hanya memiliki satu input pada baris pertama. Setiap entri dari baris sebelumnya bergeser satu posisi ke kanan pada baris berikutnya dan entri sepanjang diagonal matriksnya adalah sama. Matriks circulant ini pada umumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial. Matriks circulant dari (𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑛−1 ) adalah 𝑏0 𝑏𝑛−1 𝑏𝑛−2 𝐵= ⋮ 𝑏2 (𝑏1

𝑏1 𝑏0 𝑏𝑛−1 ⋮ 𝑏3 𝑏2

𝑏2 𝑏1 𝑏0 ⋮ 𝑏4 𝑏3

⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯

𝑏𝑛−2 𝑏𝑛−1 𝑏𝑛−3 𝑏𝑛−2 𝑏𝑛−4 𝑏𝑛−3 . ⋮ ⋮ 𝑏0 𝑏1 𝑏𝑛−1 𝑏0 )

Menarik untuk dibahas bagaimana mencari nilai eigen dan vektor eigen dengan teori yang dijelaskan oleh Tee serta melihat sifat-sifat dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant. Sumber utama karya ilmiah ini ialah tulisan Tee (2005) yang berjudul Eigenvectors of Block Circulant and Alternating Circulant Matrices.

Tujuan Karya Ilmiah Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah 1. menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant, 2. membuktikan sifat-sifat matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant.

2

TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah yang akan digunakan pada bab berikutnya, seperti matriks circulant, matriks circulant simetrik, matriks block circulant yang juga akan dilengkapi dengan contohnya.

Matriks Circulant Matriks 𝐵 = (𝑏𝑖,𝑗 ) berukuran 𝑛 × 𝑛 dikatakan matriks circulant jika dan hanya jika 𝑏𝑖,𝑗 = 𝑏𝑘,𝑙 dengan 𝑗 − 𝑖 ≡ 𝑙 − 𝑘 (mod 𝑛) (Jones 2008). 𝑏0 𝑏𝑛−1 𝑏𝑛−2 𝐵 = circ(𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑛−1 ) ≝ ⋮ 𝑏2 (𝑏1

𝑏1 𝑏0 𝑏𝑛−1 ⋮ 𝑏3 𝑏2

𝑏2 𝑏1 𝑏0 ⋮ 𝑏4 𝑏3

⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯

𝑏𝑛−2 𝑏𝑛−1 𝑏𝑛−3 𝑏𝑛−2 𝑏𝑛−4 𝑏𝑛−3 . (1) ⋮ ⋮ 𝑏0 𝑏1 𝑏𝑛−1 𝑏0 )

Contoh matriks circulant dengan 𝑛 = 4 adalah sebagai berikut: 𝑏0 𝑏 𝐵=( 3 𝑏2 𝑏1

𝑏1 𝑏0 𝑏3 𝑏2

𝑏2 𝑏1 𝑏0 𝑏3

𝑏3 4 𝑏2 ) = (3 2 𝑏1 1 𝑏0

1 4 3 2

2 1 4 3

3 2). 1 4

Matriks Circulant Simetrik Suatu matriks Circulant 𝐵 berukuran 𝑛 × 𝑛 dikatakan simetrik jika dan hanya jika 𝑏𝑗 = 𝑏𝑛−𝑗 untuk 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1. Dikatakan dalam Montaldi (2012) bahwa nilai eigen dari matriks circulant simetrik bernilai real. Contoh matriks circulant simetrik dengan 𝑛 = 4 adalah sebagai berikut: 3 𝐵 = (1 2 1

1 3 1 2

2 1 3 1

1 2). 1 3

Matriks Block Circulant Dalam Davis (1979), suatu matriks block circulant yang berukuran 𝑚𝑛 × (𝑘) 𝑚𝑛 dinotasikan dengan 𝐵𝑚,𝑛 = circ(𝐵0 , 𝐵1 , … , 𝐵𝑚−1 ) dan 𝐵𝑘 = (𝑏𝑖,𝑗 ) ∈ ℝ𝑛×𝑛 untuk 𝑘 = 0, 1, … , 𝑚 − 1. Contoh matriks block circulant dengan 𝑚 = 2 dan 𝑛 = 2 adalah sebagai berikut:

3 1 𝐵2,2 = (0 1 1

0 1 1 1

1 1 1 0

1 1) 0 1

dengan (0)

𝐵0 = (

(0)

𝑏11

𝑏12

(0) 𝑏21

(0) 𝑏22

1 0

0 ) 1

1 1

1 ). 1

)=(

dan (1)

𝐵1 = (

(1)

𝑏11

𝑏12

(1) 𝑏21

(1) 𝑏22

)=(

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan 𝐴 adalah suatu matriks segi berukuran 𝑛 × 𝑛. Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari 𝐴 jika terdapat suatu vektor taknol 𝐱, sehingga 𝐴𝐱 = λ𝐱. Vektor 𝐱 disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen λ. Persamaan 𝐴𝐱 = λ𝐱 dapat dituliskan dalam bentuk (𝐴 − λ𝐼)𝐱 = 𝟎. (2) Persamaan (2) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika 𝐴 − λ𝐼 singular atau secara ekuivalen det(𝐴 − λ𝐼) = 0. (3) Jika determinan pada persamaan (3) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial berderajat 𝑛 dalam peubah λ 𝑝(λ) = det(𝐴 − λ𝐼). Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (3) disebut persamaan karakteristik untuk matriks 𝐴. Akar dari polinomial karakteristik adalah nilai eigen dari 𝐴 (Leon 2001).

Konjugat Kompleks Misalkan 𝑧 = 𝑎 + 𝑏i adalah sembarang bilangan kompleks, maka konjugat kompleks (complex conjugate) dari 𝑧 dinotasikan dengan simbol 𝑧 dan didefinisikan sebagai 𝑧 = 𝑎 − 𝑏i sehingga 𝑧 diperoleh dengan cara mengubah bagian imajiner dari positif menjadi negatif atau sebaliknya. Diketahui jika 𝑧 adalah sembarang bilangan real maka nilai 𝑧 = 𝑧 (Anton 2004).

4

PEMBAHASAN Matriks Circulant Berikut ini akan dibahas cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant 𝐵 pada persamaan (1) dan juga akan dibahas sifat-sifatnya. Diberikan 2𝜋 𝜗≝ . (4) 𝑛 Matriks circulant 𝐵 memiliki 𝑛 nilai eigen dan 𝑛 vektor eigen yang berbentuk 1 𝜌𝑗 𝐰 (𝑗) =

𝜌𝑗2 , λ𝑗 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌𝑗 + 𝑏2 𝜌𝑗2 + 𝑏3 𝜌𝑗3 + ⋯ + 𝑏𝑛−1 𝜌𝑗𝑛−1 ⋮ 𝑛−1 𝜌 ( 𝑗 )

(𝑗 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1) dengan 𝜌𝑗 = ei2𝜋𝑗/𝑛 = ei𝑗𝜗 = cos 𝑗𝜗 + i sin 𝑗𝜗 (Tee 2005).

(5)

(6)

Contoh 1: Diberikan matriks circulant berukuran 2 × 2 dengan 𝑏 𝐵=( 0 𝑏1

𝑏1 ), 𝑏0

maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 2𝜋 = 𝜋, 2 𝜌0 = cos 0 + i sin 0 = 1, dan 𝜌1 = cos 𝜋 + i sin 𝜋 = −1. 𝜗=

Dengan persamaan (5) diperoleh nilai eigen dan vektor eigen pada matriks 𝐵 sebagai berikut: λ0 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌0 = 𝑏0 + 𝑏1 (1) = 𝑏0 + 𝑏1, λ1 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌1 = 𝑏0 + 𝑏1 (−1) = 𝑏0 − 𝑏1, 1 1 𝐰 (0) = ( ) = ( ), dan 𝜌0 1 1 1 𝐰 (1) = ( ) = ( ). 𝜌1 −1 Jadi nilai eigen pada matriks circulant berukuran 2 × 2 dapat diperoleh dengan penjumlahan 𝑏0 + 𝑏1 dan pengurangan 𝑏0 − 𝑏1 . Kemudian nilai eigen yang diperoleh dapat bernilai real atau imajiner bergantung pada nilai 𝑏0 dan 𝑏1 .

5 Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks 𝐵 secara analitik seperti di bawah ini. |𝐵 − λ𝐼| = 0 𝑏 −λ | 0 𝑏1

𝑏1 |=0 𝑏0 − λ

(𝑏0 − λ)2 − 𝑏12 = 0 λ2 − 2𝑏0 λ + 𝑏02 − 𝑏12 = 0. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ − 𝑏0 − 𝑏1 )(λ − 𝑏0 + 𝑏1 ) = 0 λ0 = 𝑏0 + 𝑏1 , λ1 = 𝑏0 − 𝑏1 . Jika λ0 = 𝑏0 + 𝑏1 disubstitusikan ke persamaan (𝐵 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh 𝑣1 𝑏 − 𝑏0 − 𝑏1 𝑏1 0 ( 0 ) (𝑣 ) = ( ) 𝑏1 𝑏0 − 𝑏0 − 𝑏1 0 2 𝑣1 −𝑏 𝑏1 0 ( 1 ) (𝑣 ) = ( ) 𝑏1 −𝑏1 0 2 −𝑏1 𝑣1 + 𝑏1 𝑣2 = 0 −𝑏1 𝑣1 = −𝑏1 𝑣2 𝑣1 = 𝑣2 Misalkan 𝑣1 = 𝑘 dengan 𝑘 ∈ ℝ sembarang, maka 𝑣2 = 𝑘, sehingga diperoleh 𝑘 1 vektor eigen yang bersesuaian dengan λ0 = 𝑏0 + 𝑏1 adalah 𝐯 = ( ) = 𝑘 ( ). 1 𝑘 Jika λ1 = 𝑏0 − 𝑏1 disubstitusikan ke persamaan (𝐵 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh 𝑣1 𝑏 − 𝑏0 + 𝑏1 𝑏1 0 ( 0 ) (𝑣 ) = ( ) 𝑏1 𝑏0 − 𝑏0 + 𝑏1 0 2 𝑏 𝑏1 𝑣1 0 ( 1 )( ) = ( ) 𝑏1 𝑏1 𝑣2 0 𝑏1 𝑣1 + 𝑏1 𝑣2 = 0 𝑏1 𝑣2 = −𝑏1 𝑣1 𝑣2 = −𝑣1 Misalkan 𝑣1 = 𝑘 dengan 𝑘 ∈ ℝ sembarang, maka 𝑣2 = −𝑘, sehingga diperoleh 𝑘 1 vektor eigen yang bersesuaian dengan λ1 = 𝑏0 − 𝑏1 adalah 𝐯 = ( ) = 𝑘 ( ). −1 −𝑘 Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang sama dengan teori nilai eigen dan vektor eigen yang dikemukakan oleh Tee, sehingga nilai eigen dan vektor eigen yang dicari dengan teori tersebut berlaku untuk matriks circulant berukuran 2 × 2.

6 Contoh 2: Diberikan matriks circulant berukuran 3 × 3 dengan 𝑏0 𝐵 = (𝑏2 𝑏1

𝑏1 𝑏0 𝑏2

𝑏2 𝑏1 ), 𝑏0

maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 2𝜋 2π = , 𝑛 3 𝜌0 = cos 0 + i sin 0 = 1, 𝜗=

2π 2π 1 1 + i sin = − + i√3, dan 3 3 2 2 4π 4π 1 1 𝜌2 = cos + i sin = − − i√3. 3 3 2 2 𝜌1 = cos

Dengan persamaan (5) diperoleh nilai eigen dan vektor eigen pada matriks 𝐵 sebagai berikut: λ0 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌0 + 𝑏2 𝜌02 = 𝑏0 + 𝑏1 (1) + 𝑏2 (1)2 = 𝑏0 + 𝑏1 + 𝑏2, λ1 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌1 + 𝑏2 𝜌12 2 1 1 1 1 = 𝑏0 + 𝑏1 (− + i√3) + 𝑏2 (− + i√3) 2 2 2 2 1 1 1 1 3 = 𝑏0 − 𝑏1 + √3𝑏1 i + 𝑏2 ( − i√3 − ) 2 2 4 2 4 1 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 + √3𝑏1 i − 𝑏2 − √3𝑏2 i, 2 2 2 2 λ2 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌2 + 𝑏2 𝜌22 2 1 1 1 1 = 𝑏0 + 𝑏1 (− − i√3) + 𝑏2 (− − i√3) 2 2 2 2 1 1 1 1 3 = 𝑏0 − 𝑏1 − √3𝑏1 i + 𝑏2 ( + i√3 − ) 2 2 4 2 4 1 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 − √3𝑏1 i − 𝑏2 + √3𝑏2 i, 2 2 2 2 1 1 𝐰 (0) = ( 𝜌0 ) = (1), 𝜌02 1

𝐰 (1)

1 1 1 1 1 1 1 1 − + i√3 − − i√3 (2) 𝜌 𝜌 = ( 1) = , dan 𝐰 = ( 2 ) = . 2 2 2 2 2 2 𝜌1 𝜌2 1 1 1 1 − − i√3 − + i√3 ( 2 2 ) ( 2 2 )

7 Jadi salah satu nilai eigen pada matriks circulant berukuran 3 × 3 dapat diperoleh dengan penjumlahan entri-entrinya, yaitu 𝑏0 + 𝑏1 + 𝑏2 . Kemudian nilai eigen yang diperoleh dapat bernilai real atau imajiner bergantung pada nilai 𝑏0 , 𝑏1 , dan 𝑏2 . Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks 𝐵 secara analitik seperti di bawah ini. |𝐵 − λ𝐼| = 0 𝑏0 − λ | 𝑏2 𝑏1

𝑏1 𝑏0 − λ 𝑏2

𝑏2 𝑏1 | = 0 𝑏0 − λ

(𝑏0 − λ)3 + 𝑏13 + 𝑏23 − 3(𝑏0 − λ)𝑏1 𝑏2 = 0 λ3 − 3𝑏0 λ2 + 3𝑏02 λ − 𝑏03 − 𝑏13 − 𝑏23 + 3𝑏0 𝑏1 𝑏2 − 3𝑏1 𝑏2 λ = 0. Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh λ0 = 𝑏0 + 𝑏1 + 𝑏2 , λ1 =

1 (2𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 − √3 (√−𝑏12 + 2𝑏1 𝑏2 − 𝑏22 )) 2

1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 − √3 (√(−1)(𝑏12 − 2𝑏1 𝑏2 + 𝑏22 )) 2 2 2 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 − √3 (√(−1)(𝑏1 − 𝑏2 )2 ) 2 2 2 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 − √3(𝑏1 − 𝑏2 )i 2 2 2 1 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 − √3𝑏1 i + √3𝑏2 i 2 2 2 2 1 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 − √3𝑏1 i − 𝑏2 + √3𝑏2 i, dan 2 2 2 2 1 λ2 = (2𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 + √3 (√−𝑏12 + 2𝑏1 𝑏2 − 𝑏22 )) 2 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 + √3 (√(−1)(𝑏12 − 2𝑏1 𝑏2 + 𝑏22 )) 2 2 2 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 + √3 (√(−1)(𝑏1 − 𝑏2 )2 ) 2 2 2 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 + √3(𝑏1 − 𝑏2 )i 2 2 2 1 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 + √3𝑏1 i − √3𝑏2 i 2 2 2 2 1 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏1 + √3𝑏1 i − 𝑏2 − √3𝑏2 i. 2 2 2 2

8 Jika 𝜆0 = 𝑏0 + 𝑏1 + 𝑏2 disubstitusikan ke persamaan (𝐵 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh 𝑣1 𝑏1 𝑏2 0 𝑏0 − 𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 𝑏1 ) (𝑣2 ) = (0) 𝑏2 𝑏0 − 𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 𝑣3 0 𝑣1 𝑏1 𝑏2 0 −𝑏1 − 𝑏2 𝑏1 ) (𝑣2 ) = (0) 𝑏2 −𝑏1 − 𝑏2 𝑣3 0

𝑏0 − 𝑏0 − 𝑏1 − 𝑏2 𝑏2 ( 𝑏1 −𝑏1 − 𝑏2 ( 𝑏2 𝑏1

(−𝑏1 − 𝑏2 )𝑣1 + 𝑏1 𝑣2 + 𝑏2 𝑣3 = 0

× 𝑏1

𝑏2 𝑣1 + (−𝑏1 − 𝑏2 )𝑣2 + 𝑏1 𝑣3 = 0

× 𝑏2

(7)

maka diperoleh (−𝑏1 − 𝑏2 )𝑏1 𝑣1 + 𝑏12 𝑣2 + 𝑏1 𝑏2 𝑣3 = 0 𝑏22 𝑣1 + (−𝑏1 − 𝑏2 )𝑏2 𝑣2 + 𝑏1 𝑏2 𝑣3 = 0. Dengan metode eliminasi SPL diperoleh hasil (−𝑏12 − 𝑏1 𝑏2 − 𝑏22 )𝑣1 + (𝑏12 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑏22 )𝑣2 = 0 (𝑏12 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑏22 )𝑣2 = (𝑏12 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑏22 )𝑣1 𝑣2 = 𝑣1 Misalkan 𝑣1 = 𝑘 maka 𝑣2 = 𝑘, substitusikan 𝑣1 = 𝑘 dan 𝑣2 = 𝑘 ke persamaan (7) maka diperoleh (−𝑏1 − 𝑏2 )𝑘 + 𝑏1 𝑘 + 𝑏2 𝑣3 = 0 −𝑏1 𝑘 − 𝑏2 𝑘 + 𝑏1 𝑘 + 𝑏2 𝑣3 = 0 𝑏2 𝑣3 = 𝑏2 𝑘 𝑣3 = 𝑘 sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆0 = 𝑏0 + 𝑏1 + 𝑏2 adalah 1 𝑘 𝐯 = (𝑘) = 𝑘 (1). 1 𝑘 1

1

1

1

Jika λ1 = 𝑏0 − 2 𝑏1 − 2 √3𝑏1 i − 2 𝑏2 + 2 √3𝑏2 i disubstitusikan ke persamaan (𝐵 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh 𝑏0 − λ1 ( 𝑏2 𝑏1

𝑣1 𝑏1 𝑏2 0 𝑏0 − λ1 𝑏1 ) (𝑣2 ) = (0) 𝑏0 − λ1 𝑣3 𝑏2 0 𝑏2 𝑣1 0 𝑏1 ) (𝑣2 ) = (0) 𝐿1 𝑣3 0

𝐿1 𝑏1 (𝑏2 𝐿1 𝑏1 𝑏2 dengan 𝐿1 = 𝑏0 − λ1

1 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏0 + 𝑏1 + √3𝑏1 i + 𝑏2 − √3𝑏2 i 2 2 2 2 1 1 1 1 = 𝑏1 + √3𝑏1 i + 𝑏2 − √3𝑏2 i. 2 2 2 2

9 Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ1 adalah 𝑇

1 √3(𝑏1 − 𝑏2 ) 1 √3√−(𝑏1 − 𝑏2 )2 𝐯 = (1, (−1 + ) , (−1 + )) 2 𝑏1 − 𝑏2 √−(𝑏1 − 𝑏2 )2 2 𝑇

1 1 √3(𝑏1 − 𝑏2 ) 1 1 √3(𝑏1 − 𝑏2 )i = (1, − + ,− + ) 2 2 (𝑏1 − 𝑏2 )i 2 2 𝑏1 − 𝑏2 𝑇

1 1 √3 1 1 = (1, − + , − + i√3) 2 2 i 2 2 𝑇 1 1 1 1 = (1, − − i√3, − + i√3) . 2 2 2 2 1

1

1

1

Jika λ2 = 𝑏0 − 2 𝑏1 + 2 √3𝑏1 i − 2 𝑏2 − 2 √3𝑏2 i disubstitusikan ke persamaan (𝐵 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh 𝑏0 − λ2 ( 𝑏2 𝑏1

𝑣1 𝑏1 𝑏2 0 𝑏0 − λ2 𝑏1 ) (𝑣2 ) = (0) 𝑏0 − λ2 𝑣3 𝑏2 0 𝑏2 𝑣1 0 𝑏1 ) (𝑣2 ) = (0) 𝐿2 𝑣3 0

𝐿2 𝑏1 (𝑏2 𝐿2 𝑏1 𝑏2 dengan 𝐿2 = 𝑏0 − λ2

1 1 1 1 = 𝑏0 − 𝑏0 + 𝑏1 − √3𝑏1 i + 𝑏2 + √3𝑏2 i 2 2 2 2 1 1 1 1 = 𝑏1 − √3𝑏1 i + 𝑏2 + √3𝑏2 i. 2 2 2 2 Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ2 adalah 𝑇

1 √3√−(𝑏1 − 𝑏2 )2 1 √3(𝑏1 − 𝑏2 ) 𝐯 = (1, (−1 + ) , (−1 + )) 2 𝑏1 − 𝑏2 2 √−(𝑏1 − 𝑏2 )2 𝑇

1 1 √3(𝑏1 − 𝑏2 )i 1 1 √3(𝑏1 − 𝑏2 ) = (1, − + ,− + ) 2 2 𝑏1 − 𝑏2 2 2 (𝑏1 − 𝑏2 )i 𝑇

1 1 1 1 √3 = (1, − + i√3, − + ) 2 2 2 2 i 𝑇 1 1 1 1 = (1, − + i√3, − − i√3) . 2 2 2 2 Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang sama dengan teori nilai eigen dan vektor eigen yang dikemukakan oleh Tee, sehingga teori tersebut berlaku untuk matriks circulant berukuran 3 × 3.

10 Dalam Davis (1979) dikatakan bahwa matriks circulant yang bernilai real memiliki nilai eigen λ𝑗 = λ𝑛−𝑗 , ( 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1).

(8)

Kemudian untuk nilai eigen λ0 dan λℎ dengan 𝑛 = 2ℎ genap selalu bernilai real. Berikut ini akan disajikan sifat-sifat dari matriks circulant beserta contohnya yang terdapat pada teorema-teorema berikut ini. Teorema 1: Diberikan matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛. 𝐴 matriks circulant jika dan hanya jika 𝐴𝜋 = 𝜋𝐴

(9)

dengan 𝜋 adalah matriks circulant berukuran 𝑛 × 𝑛 dalam bentuk sebagai berikut 0 0 0 𝜋= ⋮ 0 (1

1 0 0 ⋮ 0 0

0 1 0 ⋮ 0 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯

0 0 0 ⋮ 0 0

0 0 0 . ⋮ 1 0)

Bukti:  Diketahui 𝐴 adalah circulant berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan … 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎1 ⋮ ⋮ 𝐴= ⋮ , ⋮ ⋱ 𝑎2 𝑎3 𝑎4 … 𝑎1 … 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎1 ) 𝑛 2 3 ( maka … 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎1 𝑎2 0 1 0 ⋯ 0 … 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎1 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 𝐴𝜋 = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎2 𝑎3 𝑎4 … 𝑎1 0 0 0 ⋯ 1 … 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑛 3 1 ) (1 0 0 ⋯ 0 ) ( 2 𝑎𝑛 𝑎1 ⋯ 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 ⋯ 𝑎𝑛−3 𝑎𝑛−2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ⋱ 𝑎𝑛 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎 𝑎𝑛 ) 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑛−1 1 2 ( dan … 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎1 𝑎2 0 1 0 ⋯ 0 … 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎1 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 𝜋𝐴 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 𝑎2 𝑎3 𝑎4 … 𝑎1 0 0 0 ⋯ 1 … 𝑎𝑛 𝑎1 ) (1 0 0 ⋯ 0 ) ( 𝑎 2 𝑎 3

11 𝑎𝑛 𝑎1 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 ⋮ ⋮ = 𝑎2 𝑎 3 ( 𝑎1 𝑎2 sehingga 𝐴𝜋 = 𝜋𝐴.

⋯ 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−1 ⋯ 𝑎𝑛−3 𝑎𝑛−2 ⋮ ⋮ ⋱ 𝑎𝑛 𝑎1 ⋯ ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 )

Misalkan 𝐴 adalah matriks berordo 𝑛 dengan 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2, sebagai berikut: 𝑎(1)(1) 𝑎(1)(2) … 𝑎(1)(𝑛−1) 𝑎(1)(𝑛) 𝑎(2)(1) 𝑎(2)(2) … 𝑎(2)(𝑛−1) 𝑎(2)(𝑛) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝐴= ⋱ , 𝑎(𝑛−1)(1) 𝑎(𝑛−1)(2) … 𝑎(𝑛−1)(𝑛−1) 𝑎(𝑛−1)(𝑛) 𝑎(𝑛)(2) … 𝑎(𝑛)(𝑛−1) 𝑎(𝑛)(𝑛) ) ( 𝑎(𝑛)(1) maka 𝐴𝜋 𝑎(1)(1) 𝑎(2)(1) ⋮

=

𝑎(𝑛−1)(1) ( 𝑎(𝑛)(1) 𝑎(1)(𝑛) 𝑎(2)(𝑛) ⋮

=

𝑎(𝑛−1)(𝑛) ( 𝑎(𝑛)(𝑛)

𝑎(1)(2) 𝑎(2)(2) ⋮ 𝑎(𝑛−1)(2) 𝑎(𝑛)(2)

… … ⋱ … …

𝑎(1)(𝑛−1) 𝑎(2)(𝑛−1) ⋮ 𝑎(𝑛−1)(𝑛−1) 𝑎(𝑛)(𝑛−1)

𝑎(1)(1) 𝑎(2)(1) ⋮ 𝑎(𝑛−1)(1) 𝑎(𝑛)(1)

… … ⋱ … …

𝑎(1)(𝑛−2) 𝑎(2)(𝑛−2) ⋮ 𝑎(𝑛−1)(𝑛−2) 𝑎(𝑛)(𝑛−2)

0 𝑎(1)(𝑛) 0 𝑎(2)(𝑛) 0 ⋮ ⋮ 𝑎(𝑛−1)(𝑛) 𝑎(𝑛)(𝑛) ) (0 1 𝑎(1)(𝑛−1) 𝑎(2)(𝑛−1) ⋮ 𝑎(𝑛−1)(𝑛−1) 𝑎(𝑛)(𝑛−1) )

1 0 0 ⋮ 0 0

0 1 0 ⋮ 0 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯

0 0 0 ⋮ 0 0

0 0 0 ⋮ 1 0)

dan 𝜋𝐴 0 1 0 0 0 0 = ⋮ ⋮ 0 0 (1 0 𝑎(2)(1) 𝑎(3)(1) ⋮ = 𝑎(𝑛)(1) ( 𝑎(1)(1)

0 ⋯ 0 0 𝑎(1)(1) 𝑎(1)(2) 1 ⋯ 0 0 𝑎(2)(1) 𝑎(2)(2) 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑎(𝑛−1)(1) 𝑎(𝑛−1)(2) 0 ⋯ 0 1 𝑎 𝑎(𝑛)(2) 0 ⋯ 0 0) ( (𝑛)(1) 𝑎(2)(2) … 𝑎(2)(𝑛−1) 𝑎(2)(𝑛) 𝑎(3)(2) … 𝑎(3)(𝑛−1) 𝑎(3)(𝑛) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ . 𝑎(𝑛)(2) … 𝑎(𝑛)(𝑛−1) 𝑎(𝑛)(𝑛) 𝑎(1)(2) … 𝑎(1)(𝑛−1) 𝑎(1)(𝑛) )

Jika 𝐴𝜋 = 𝜋𝐴, maka diperoleh 𝑎(1)(1) = 𝑎(2)(2) = 𝑎(3)(3) = ⋯ = 𝑎(𝑛)(𝑛) , 𝑎(1)(2) = 𝑎(2)(3) = 𝑎(3)(4) = ⋯ = 𝑎(𝑛)(1) , ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎(1)(𝑛−1) = 𝑎(2)(𝑛) = 𝑎(3)(1) = ⋯ = 𝑎(𝑛)(𝑛−2) , dan 𝑎(1)(𝑛) = 𝑎(2)(1) = 𝑎(3)(2) = ⋯ = 𝑎(𝑛)(𝑛−1) .

… … ⋱ … …

𝑎(1)(𝑛−1) 𝑎(2)(𝑛−1) ⋮ 𝑎(𝑛−1)(𝑛−1) 𝑎(𝑛)(𝑛−1)

𝑎(1)(𝑛) 𝑎(2)(𝑛) ⋮ 𝑎(𝑛−1)(𝑛) 𝑎(𝑛)(𝑛) )

(10)

12 Misalkan 𝑎(1)(𝑗) = {

𝑏0 , jika 𝑗 = 1, 𝑏𝑗−1 , selainnya

dengan 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛. Berdasarkan persamaan (10) diperoleh 𝑏0 𝑏𝑛−1 𝑏𝑛−2 𝐴= ⋮ 𝑏2 (𝑏1

𝑏1 𝑏0 𝑏𝑛−1 ⋮ 𝑏3 𝑏2

𝑏2 𝑏1 𝑏0 ⋮ 𝑏4 𝑏3

⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯

𝑏𝑛−2 𝑏𝑛−1 𝑏𝑛−3 𝑏𝑛−2 𝑏𝑛−4 𝑏𝑛−3 ⋮ ⋮ 𝑏0 𝑏1 𝑏𝑛−1 𝑏0 )

yang merupakan matriks circulant. Teorema 2: Jika 𝐴 dan 𝐵 circulant, maka 𝐴𝐵 juga circulant. Bukti: Diketahui 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks-matriks circulant berukuran 𝑛 × 𝑛 sebagai berikut: 𝑎1 𝑎𝑛 𝐴= ⋮ 𝑎3 ( 𝑎2

𝑎2 𝑎1 ⋮ 𝑎4 𝑎3

… 𝑎𝑛−1 … 𝑎𝑛−2 ⋮ ⋱ … 𝑎1 … 𝑎𝑛

𝑏1 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛 ⋮ dan 𝐵 = ⋮ 𝑎2 𝑏3 𝑎1 ) ( 𝑏2

𝑏2 𝑏1 ⋮ 𝑏4 𝑏3

… … ⋱ … …

… … ⋱ … …

𝑏𝑛−1 𝑏𝑛−2 ⋮ 𝑏1 𝑏𝑛

𝑏𝑛−1 𝑏𝑛−2 ⋮ 𝑏1 𝑏𝑛

𝑏𝑛 𝑏𝑛−1 ⋮ , 𝑏2 𝑏1 )

maka 𝑎1 𝑎𝑛 𝐴𝐵 = ⋮ 𝑎3 ( 𝑎2

𝑎2 𝑎1 ⋮ 𝑎4 𝑎3

… 𝑎𝑛−1 … 𝑎𝑛−2 ⋮ ⋱ … 𝑎1 … 𝑎𝑛

𝑎1 𝑏1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏2 𝑎𝑛 𝑏1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑏2 =( ⋮ 𝑎2 𝑏1 + ⋯ + 𝑎1 𝑏2

𝑏1 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛 ⋮ ⋮ 𝑎2 𝑏3 𝑎1 ) ( 𝑏2

𝑏2 𝑏1 ⋮ 𝑏4 𝑏3

𝑎1 𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏3 𝑎𝑛 𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑏3 ⋮ 𝑎2 𝑏2 + ⋯ + 𝑎1 𝑏3

⋯ 𝑎1 𝑏𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏1 ⋯ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑏1 ). ⋱ ⋮ ⋯ 𝑎2 𝑏𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑏1

Misalkan 𝑎1 𝑏1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏2 = 𝑐1, 𝑎1 𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏3 = 𝑐2 , ⋮ ⋮ 𝑎1 𝑏𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏1 = 𝑐𝑛 , maka diperoleh hasil sebagai berikut: 𝑐1 𝑐2 𝑐𝑛 𝑐1 𝐴𝐵 = ( ⋮ ⋮ 𝑐2 𝑐3 yang merupakan matriks circulant.

𝑏𝑛 𝑏𝑛−1 ⋮ 𝑏2 𝑏1 )

⋯ 𝑐𝑛 ⋯ 𝑐𝑛−1 ⋱ ⋮ ) ⋯ 𝑐1

13 Contoh Aplikasi Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks circulant beserta sifat-sifatnya yang disajikan pada Teorema 1 dan 2. Diberikan matriks circulant berukuran 4 × 4 dengan 4 1 2 𝐵 = (3 4 1 2 3 4 1 2 3 maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 𝜗=

3 2), 1 4

2𝜋 2𝜋 𝜋 = = , 𝑛 4 2

𝜌0 = cos 0 + i sin 0 = 1, 𝜋 𝜋 𝜌1 = cos + i sin = i, 2 2 2𝜋 2𝜋 𝜌2 = cos + i sin = −1, dan 2 2 3𝜋 3𝜋 𝜌3 = cos + i sin = −i. 2 2 Nilai eigen dari matriks 𝐵 yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) adalah λ𝑗 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌𝑗 + 𝑏2 𝜌𝑗2 + 𝑏3 𝜌𝑗3 , sehingga diperoleh λ0 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌0 + 𝑏2 𝜌02 + 𝑏3 𝜌03 = 4 + 1(1) + 2(1) + 3(1) = 10, λ1 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌1 + 𝑏2 𝜌12 + 𝑏3 𝜌13 = 4 + 1(i) + 2(−1) + 3(−i) = 2 − 2i, λ2 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌2 + 𝑏2 𝜌22 + 𝑏3 𝜌23 = 4 + 1(−1) + 2(1) + 3(−1) = 2, dan λ3 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌3 + 𝑏2 𝜌32 + 𝑏3 𝜌33 = 4 + 1(−i) + 2(−1) + 3(i) = 2 + 2i. Selanjutnya akan diperiksa bahwa λ𝑗 = λ𝑛−𝑗 untuk 𝑗 = 1, 2, dan 3 dengan 𝑛 = 4 seperti berikut ini: λ1 = 2 − 2i, λ4−1 = λ3 = 2 − 2i, sehingga λ1 = λ3 .

14 λ2 = 2, λ4−2 = λ2 = 2, sehingga λ2 = λ2. λ3 = 2 + 2i, λ4−3 = λ1 = 2 + 2i, sehingga λ3 = λ1. Vektor eigen dari matriks 𝐵 yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) adalah 𝐰 (0)

1 1 𝜌0 = = (1), 𝜌02 1 3 1 (𝜌0 )

𝐰 (2)

1 1 𝜌2 = = (−1 ), 𝜌22 1 3 −1 (𝜌2 )

𝐰 (1)

1 1 𝜌1 = = ( i ), 𝜌12 −1 3 −i (𝜌1 )

𝐰 (3)

1 1 𝜌3 = = ( −i ). 𝜌32 −1 3 i (𝜌3 )

Dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa 𝐵𝐰 (𝑗) = λ𝑗 𝐰 (𝑗) seperti berikut ini: 4 1 2 3 1 𝐵𝐰 (0) = (3 4 1 2) (1) 2 3 4 1 1 1 2 3 4 1 10 = (10), 10 10 sehingga 𝐵𝐰 (0) = λ0 𝐰 (0) . 𝐵𝐰

(1)

4 = (3 2 1

1 2 3 1 4 1 2) ( i ) 3 4 1 −1 2 3 4 −i 2 − 2i = ( 2 + 2i ), −2 + 2i −2 − 2i

λ0 𝐰 (0)

λ1 𝐰

(1)

1 = 10 (1) 1 1 10 = (10), 10 10 1 = 2 − 2i ( i ) −1 −i 2 − 2i = ( 2 + 2i ), −2 + 2i −2 − 2i

sehingga 𝐵𝐰 (1) = λ1 𝐰 (1) . 𝐵𝐰 (2)

4 = (3 2 1

1 4 3 2

2 1 4 3

3 1 2) (−1 ) 1 1 4 −1

λ2 𝐰 (2)

1 −1 = 2( ) 1 −1

15 2 = (−2 ), 2 −2

2 = (−2 ), 2 −2

sehingga 𝐵𝐰 (2) = λ2 𝐰 (2) . 𝐵𝐰 (3)

4 = (3 2 1

1 2 3 1 4 1 2) ( −i ) 3 4 1 −1 2 3 4 i 2 + 2i = ( 2 − 2i ) , −2 − 2i −2 + 2i

λ3 𝐰 (3)

1 = 2 + 2i ( −i ) −1 i 2 + 2i = ( 2 − 2i ), −2 − 2i −2 + 2i

sehingga 𝐵𝐰 (3) = λ3 𝐰 (3) . Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa nilai eigen untuk λ0 = 10 dan λ2 = 2 di mana 𝑛 = 4 = 2ℎ → ℎ = 2 adalah bilangan real, sedangkan λ1 = λ̅4−1 = λ̅3 = 2 − 2i. Selanjutnya akan ditunjukkan sifat matriks circulant pada Teorema 1, berlaku 𝐵𝜋 = 𝜋𝐵 sebagai berikut: 4 1 2 3 0 1 0 0 3 4 1 2 𝐵𝜋 = (3 4 1 2) (0 0 1 0) = (2 3 4 1), 2 3 4 1 0 0 0 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 0 0 4 1 2 3 0 1 0 0 4 1 2 3 3 4 1 2 𝜋𝐵 = (0 0 1 0) (3 4 1 2) = (2 3 4 1), 0 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 2 3 4 4 1 2 3 maka diperoleh hasil 𝐵𝜋 = 𝜋𝐵. Untuk Teorema 2 jika diberikan 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks-matriks circulant dengan 1 𝐴 = (2 5 3

3 1 2 5

5 3 1 2

2 3 4 5) dan 𝐵 = (2 3 1 2 3 4 1 1

1 4 3 2

2 1), 4 3

maka diperoleh 1 3 5 2 3 4 1 2 22 𝐴𝐵 = (2 1 3 5) (2 3 4 1) = (31 1 2 3 4 32 5 2 1 3 4 1 2 3 25 3 5 2 1 sehingga 𝐴𝐵 juga merupakan matriks circulant.

25 22 31 32

32 25 22 31

31 32) 25 22

Matriks Circulant Simetrik Matriks Circulant 𝐵 dikatakan simetrik jika dan hanya jika 𝑏𝑗 = 𝑏𝑛−𝑗 untuk 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1. Jika 𝐵 adalah matriks real simetrik maka nilai eigennya juga real, sehingga sifat (8) menjadi

16 λ𝑗 = λ𝑛−𝑗 , ( 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1). Berikut ini akan disajikan sifat dari matriks circulant simetrik pada teorema berikut ini. Selanjutnya diberikan contoh mencari nilai eigen dan vektor eigen beserta aplikasi sifatnya. Teorema 3: Jika matriks 𝐵 adalah circulant simetrik sehingga 𝑏𝑗 = 𝑏𝑛−𝑗 maka untuk setiap 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1, berlaku 𝜌𝑛−𝑗 = 𝜌𝑗

(11)

λ𝑛−𝑗 = λ𝑗 .

(12)

dan Bukti: Akan dibuktikan persamaan (11). Berdasarkan persamaan (6) yaitu 𝜌𝑗 = e𝑖𝑗𝜗 = cos 𝑗𝜗 + i sin 𝑗𝜗, maka diperoleh 𝜌𝑛−𝑗 = e𝑖𝜗(𝑛−𝑗) = cos(𝑛 − 𝑗)𝜗 + i sin(𝑛 − 𝑗)𝜗 = cos(𝑛𝜗 − 𝑗𝜗) + i sin(𝑛𝜗 − 𝑗𝜗) 2𝜋 2𝜋 = cos(𝑛 − 𝑗𝜗) + i sin(𝑛 − 𝑗𝜗) 𝑛 𝑛 = cos(2𝜋 − 𝑗𝜗) + i sin(2𝜋 − 𝑗𝜗) = cos(2𝜋). cos(𝑗𝜗) + sin(2π) . sin(𝑗𝜗) +i (sin(2𝜋). cos(𝑗𝜗) − cos(2π) . sin(𝑗𝜗)) = cos(𝑗𝜗) − i sin(𝑗𝜗) = 𝜌𝑗 Berikut ini akan dicari nilai eigen dari matriks 𝐵. Untuk 𝑗 = 0,1, 2, … , 𝑛 − 1 dari persamaan (5) diketahui nilai eigen λ𝑗 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌𝑗 + 𝑏2 𝜌𝑗2 + 𝑏3 𝜌𝑗3 + ⋯ + 𝑏𝑛−2 𝜌𝑗𝑛−2 + 𝑏𝑛−1 𝜌𝑗𝑛−1 .

(13)

Berdasarkan persamaan (11) maka persamaan (13) dapat dituliskan menjadi 2 λ𝑗 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌𝑗 + 𝑏2 𝜌𝑗2 + 𝑏3 𝜌𝑗3 + ⋯ + 𝑏𝑛−2 (𝜌𝑗 ) + 𝑏𝑛−1 𝜌𝑗 2

= 𝑏0 + 𝑏1 [𝜌𝑗 + 𝜌𝑗 ] + 𝑏2 [𝜌𝑗2 + (𝜌𝑗 ) ] + ⋯ +𝑏ℎ−1 [𝜌𝑗ℎ−1 + (𝜌𝑗 )

ℎ−1

]+{

0, 𝑏ℎ 𝜌𝑗ℎ ,

jika 𝑛 = 2ℎ − 1, jika 𝑛 = 2ℎ.

Selanjutnya persamaan (12) diperoleh sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (6) maka persamaan (14) menjadi ℎ−1

λ𝑗 = 𝑏0 + 2 ∑ 𝑏𝑓 cos 𝑗𝑓𝜗 + { 𝑓=1

0, jika 𝑛 =2ℎ − 1, 𝑗 𝑏ℎ (−1) , jika 𝑛 = 2ℎ.

(14)

17 Dengan mengganti 𝑗 dengan 𝑛 − 𝑗, maka diperoleh ℎ−1

λ𝑛−𝑗 = 𝑏0 + 2 ∑ 𝑏𝑓 cos(𝑛 − 𝑗)𝑓𝜗 + { 𝑓=1 ℎ−1

= 𝑏0 + 2 ∑ 𝑏𝑓 cos 𝑗𝑓𝜗 + { 𝑓=1

0, jika 𝑛 =2ℎ − 1, 2ℎ−𝑗 𝑏ℎ (−1) , jika 𝑛 = 2ℎ.

0, jika 𝑛 =2ℎ − 1, 𝑗 𝑏ℎ (−1) , jika 𝑛 = 2ℎ.

= λ𝑗 . Contoh Aplikasi Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks circulant simetrik beserta sifat yang disajikan pada Teorema 3. Diberikan matriks circulant simetrik berukuran 4 × 4 seperti di bawah ini: 3 1 2 1 𝐵 = (1 3 1 2), 2 1 3 1 1 2 1 3 maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 2𝜋 2𝜋 𝜋 𝜗= = = , 𝑛 4 2 𝜌0 = cos 0 − i sin 0 = 1, ̅̅̅ 𝜌0 = cos 0 + i sin 0 = 1 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜌1 = cos + i sin = i 𝜌1 = cos − i sin = −i, ̅̅̅ 2 2 2 2 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 𝜌2 = cos + i sin = −1 𝜌2 = cos ̅̅̅ − i sin = −1, dan 2 2 2 2 3𝜋 3𝜋 3𝜋 3𝜋 𝜌3 = cos + i sin = −i 𝜌3 = cos ̅̅̅ − i sin = i. 2 2 2 2 Karena 𝑛 = 2ℎ = 4 → ℎ = 2, maka nilai eigen dari matriks 𝐵 berdasarkan persamaan (14) adalah λ𝑗 = 𝑏0 + 𝑏1 [𝜌𝑗 + 𝜌𝑗 ] + 𝑏2 𝜌𝑗2 , sehingga diperoleh λ0 = 𝑏0 + 𝑏1 [𝜌0 + ̅̅̅] 𝜌0 + 𝑏2 𝜌02 = 3 + 1[1 − 1] + 2(1) = 3+0+2 = 5, λ1 = 𝑏0 + 𝑏1 [𝜌1 + ̅̅̅] 𝜌1 + 𝑏2 𝜌12 = 3 + 1[i − i] + 2(−1) = 3+0−2 = 1, λ2 = 𝑏0 + 𝑏1 [𝜌2 + ̅̅̅] 𝜌2 + 𝑏2 𝜌22 = 3 + 1[−1 − 1] + 2(1) = 3−2+2 = 3, dan

18 λ3 = 𝑏0 + 𝑏1 [𝜌3 + ̅̅̅] 𝜌3 + 𝑏2 𝜌32 = 3 + 1[−i + i] + 2(−1) = 3+0−2 = 1. Vektor eigennya diperoleh 𝐰 (0)

1 1 𝜌0 = = (1), 𝜌02 1 3 1 (𝜌0 )

𝐰 (2)

1 1 𝜌2 −1 = =( ), 𝜌22 1 −1 (𝜌23 )

𝐰 (1)

1 1 𝜌1 = = ( i ), 𝜌12 −1 3 −i (𝜌1 )

𝐰 (3)

1 1 𝜌3 −i = =( ). 𝜌32 −1 i (𝜌33 )

Selanjutnya dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa 𝐵𝐰 (𝑗) = λ𝑗 𝐰 (𝑗) berikut ini: 3 1 𝐵𝐰 (0) = (1 3 2 1 1 2 7 = (7), 7 7

2 1 3 1

1 1 2) (1) 1 1 3 1

1 λ0 𝐰 (0) = 7 (1) 1 1 7 = (7), 7 7

sehingga 𝐵𝐰 (0) = λ0 𝐰 (0) . 3 𝐵𝐰 (1) = (1 2 1 1 =( i −1 −i

1 3 1 2

2 1 3 1

1 1 2) ( i ) 1 −1 3 −i

λ1 𝐰 (1)

),

1 = 1( i ) −1 −i 1 = ( i ), −1 −i

sehingga 𝐵𝐰 (1) = λ1 𝐰 (1) . 𝐵𝐰 (2)

3 = (1 2 1

1 3 1 2

2 1 3 1

1 1 2) (−1 ) 1 1 3 −1

3 = (−3 ), 3 −3 sehingga 𝐵𝐰 (2) = λ2 𝐰 (2) .

λ2 𝐰 (2)

1 = 3 (−1 ) 1 −1 3 = (−3 ), 3 −3

19 3 𝐵𝐰 (3) = (1 2 1 1 = ( −i −1 i

1 3 1 2

2 1 3 1

1 1 2) ( −i ) 1 −1 3 i

λ3 𝐰 (3)

),

1 = 1 ( −i ) −1 i 1 = (−i ), −1 i

sehingga 𝐵𝐰 (3) = λ3 𝐰 (3) . Dari hasil yang diperoleh berdasarkan definisi nilai eigen dan vektor eigen berlaku 𝐵𝐰 (𝑗) = λ𝑗 𝐰 (𝑗) . Pada Teorema 3 berlaku untuk 𝑛 = 4, 𝜌4−1 = 𝜌3 = ̅̅̅ 𝜌1 = −i, 𝜌4−2 = 𝜌2 = ̅̅̅ 𝜌2 = −1, 𝜌4−3 = 𝜌1 = ̅̅̅ 𝜌3 = i dan nilai eigen λ1 = λ4−1 = λ3 = 1. Matriks Block Circulant Diberikan 𝐵0 , 𝐵1 , … , 𝐵𝑚−1 matriks-matriks persegi berorder 𝑛 ≥ 2. Matriks-matriks persegi tersebut merupakan entri-entri dari matriks block circulant 𝐵𝑚,𝑛 berukuran 𝑚𝑛 × 𝑚𝑛 yang dinotasikan sebagai berikut: 𝐵𝑚,𝑛

𝐵0 𝐵1 𝐵 𝐵0 = circ(𝐵0 , 𝐵1 , … , 𝐵𝑚−1 ) = ( 𝑚−1 ⋮ ⋮ 𝐵1 𝐵𝑚−1

⋯ 𝐵𝑚−1 ⋯ 𝐵1 ). ⋱ ⋮ ⋯ 𝐵0

(15)

Didefinisikan ℭ𝐵𝑚,𝑛 adalah himpunan matriks-matriks block circulant dengan matriks 𝐵𝑚,𝑛 memiliki vektor eigen yang berbentuk

𝐰 (𝑗)

𝐯 (𝑗) 𝜌𝐯 (𝑗) = , (𝑗 = 0,1, 2, … , 𝑚𝑛) 𝜌2 𝐯 (𝑗) ⋮ (𝜌𝑚−1 𝐯 (𝑗) )

(16)

dengan 𝐯 (𝑗) pada (16) adalah k-vektor bukan nol dan 𝜌 pada (6). Vektor 𝐰 adalah vektor eigen dari 𝐵𝑚,𝑛 dengan nilai eigen λ, jika dan hanya jika 𝐵𝐰 = 𝐰λ (Tee 2005). Diberikan persamaan vektor eigen sebagai berikut: 𝐻𝐯 = λ𝐯 dengan 𝐻 adalah matriks persegi berorder 𝑛 dengan bentuk 𝐻 = 𝐵0 + 𝐵1 𝜌 + 𝐵2 𝜌2 + ⋯ + 𝐵𝑚−1 𝜌𝑚−1 .

(17)

Setiap vektor eigen 𝐯 dari 𝐻 yang bersesuaian dengan 𝜌 dapat memberikan vektor eigen 𝐰 dari matriks block circulant 𝐵 pada persamaan (15) dengan nilai eigen λ sehingga nilai eigen dari matriks 𝐻 adalah nilai eigen pada matriks block circulant 𝐵.

20 Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat dari matriks block circulant beserta contohnya yang disajikan pada teorema berikut ini. Teorema 4: Diketahui matriks 𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 ∈ ℭ𝐵𝑚,𝑛 beroder 𝑚𝑛 × 𝑚𝑛 yang dinotasikan dalam bentuk sebagai berikut: O𝑛 𝐼𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 O𝑛 O𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ . O𝑛 O𝑛 ⋯ O𝑛 𝐼𝑛 ( 𝐼𝑛 O𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 ) 𝐴 ∈ ℭ𝐵𝑚,𝑛 jika dan hanya jika 𝐴 komutatif dengan 𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 sehingga memenuhi 𝐴(𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 ) = (𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 )𝐴

(18)

Bukti:  Akan dibuktikan bahwa 𝐴(𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 ) = (𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 )𝐴 jika diketahui 𝐴 ∈ ℭ𝐵𝑚,𝑛 . ⋯ A𝑚−1 A𝑚 O𝑛 𝐼𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 ⋯ A𝑚−2 A𝑚−1 O𝑛 O𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ O O ⋯ O 𝐼 A1 A2 ⋯ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 A𝑚 A1 ) ( 𝐼𝑛 O𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 ) ⋯ A𝑚 A1 ⋯ A𝑚−2 A𝑚−1 A𝑚−1 A𝑚 ⋯ A𝑚−3 A𝑚−2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = , ⋱ A2 A3 A1 ⋯ A𝑚 A A A A ⋯ ( 1 2 𝑚−1 𝑚 ) A1 A2 ⋯ A𝑚−1 A𝑚 O𝑛 𝐼𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 A A ⋯ A𝑚−2 A𝑚−1 O𝑛 O𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 𝑚 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 )𝐴 = ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ O𝑛 O𝑛 ⋯ O𝑛 𝐼𝑛 A3 A4 A A ⋯ 1 2 A𝑚 A1 ) ⋯ ( 𝐼𝑛 O𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 ) ( A2 A3 A𝑚 A1 ⋯ A𝑚−2 A𝑚−1 A𝑚−1 A𝑚 ⋯ A𝑚−3 A𝑚−2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = . ⋱ A2 A3 A1 ⋯ A𝑚 ⋯ A𝑚−1 A𝑚 ) ( A1 A2 Terbukti bahwa 𝐴(𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 ) = (𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 )𝐴. A1 A2 A𝑚 A1 ⋮ ⋮ 𝐴(𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 ) = A3 A4 ( A2 A3

Akan dibuktikan 𝐴 ∈ ℭ𝐵𝑚,𝑛 jika diketahui 𝐴 memenuhi persamaan 𝐴(π𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 ) = (π𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 )𝐴. Misalkan matriks 𝐴 berukuran 𝑚𝑛 × 𝑚𝑛 sebagai berikut:

21 A(1)(1) A(2)(1) ⋮

𝐴=

A(𝑚−1)(1) ( A(𝑚)(1)

A(1)(2) A(2)(2) ⋮ A(𝑚−1)(2) A(𝑚)(2)

⋯ A(1)(𝑚) ⋯ A(2)(𝑚) ⋮ , ⋱ ⋯ A(𝑚−1)(𝑚) ⋯ A(𝑚)(𝑚) )

dengan A(𝑖)(𝑗) matriks segi berordo 𝑛, untuk setiap 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑚, maka diperoleh 𝐴(π𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 )

=

A(1)(1) A(2)(1) ⋮ A(𝑚−1)(1) ( A(𝑚)(1)

=

A(1)(𝑚) A(2)(𝑚) ⋮

A(𝑚−1)(𝑚) ( A(𝑚)(𝑚) dan (π𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 )𝐴 O𝑛 O𝑛 = ⋮ O𝑛 ( 𝐼𝑛

𝐼𝑛 O𝑛 ⋮ O𝑛 O𝑛

A(2)(1) A(3)(1) ⋮ = A(𝑚)(1) ( A(1)(1)

A(1)(2) A(2)(2) ⋮ A(𝑚−1)(2) A(𝑚)(2)

⋯ A(1)(𝑚) O𝑛 ⋯ A(2)(𝑚) O𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ O𝑛 ⋯ A(𝑚−1)(𝑚) ⋯ A(𝑚)(𝑚) ) ( 𝐼𝑛

A(1)(1) A(2)(1) ⋮ A(𝑚−1)(1) A(𝑚)(1)

⋯ A(1)(𝑚−1) ⋯ A(2)(𝑚−1) ⋮ , ⋱ A ⋯ (𝑚−1)(𝑚−1) ⋯ A(𝑚)(𝑚−1) )

⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯

O𝑛 O𝑛 ⋮ O𝑛 O𝑛

A(2)(2) A(3)(2) ⋮ A(𝑚)(2) A(1)(2)

A(1)(1) O𝑛 A(2)(1) O𝑛 ⋮ ⋮ 𝐼𝑛 A(𝑚−1)(1) O𝑛 ) ( A(𝑚)(1)

𝐼𝑛 O𝑛 ⋮ O𝑛 O𝑛

A(1)(2) A(2)(2) ⋮ A(𝑚−1)(2) A(𝑚)(2)

⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯

O𝑛 O𝑛 ⋮ O𝑛 O𝑛

O𝑛 O𝑛 ⋮ 𝐼𝑛 O𝑛 )

⋯ A(1)(𝑚) ⋯ A(2)(𝑚) ⋮ ⋱ ⋯ A(𝑚−1)(𝑚) ⋯ A(𝑚)(𝑚) )

⋯ A(2)(𝑚) ⋯ A(3)(𝑚) ⋮ . ⋱ A ⋯ (𝑚)(𝑚) ⋯ A(1)(𝑚) )

Jika 𝐴 memenuhi persamaan (18) maka diperoleh A(1)(1) = A(2)(2) = ⋯ = A(𝑚−1)(𝑚−1) = A(𝑚)(𝑚) , A(1)(2) = A(2)(3) = ⋯ = A(𝑚−1)(𝑚) = A(𝑚)(1) , ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ A(1)(𝑚−1) = A(2)(𝑚) = ⋯ = A(𝑚−1)(𝑚−3) = A(𝑚)(𝑚−2) , A(1)(𝑚) = A(2)(1) = ⋯ = A(𝑚−1)(𝑚−2) = A(𝑚)(𝑚−1) . Misalkan A(1)(𝑗) = A𝑗 , (𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚). Berdasarkan perasamaan (19) sehingga diperoleh

(19)

22 A1 A2 A𝑚 A1 ⋮ ⋮ 𝐴= A3 A4 ( A2 A3

⋯ A𝑚−1 A𝑚 ⋯ A𝑚−2 A𝑚−1 ⋮ ⋮ , ⋱ A1 A2 ⋯ A A1 ) ⋯ 𝑚

maka terbukti 𝐴 ∈ ℭ𝐵𝑚,𝑛 yaitu 𝐴 adalah matriks block circulant. 𝐴 𝐵 Akibat: Jika suatu matriks block circulant berbentuk ( ), maka nilai eigen 𝐵 𝐴 𝐴 𝐵 dari ( ) adalah nilai eigen dari matriks 𝐴 + 𝐵 dan 𝐴 − 𝐵. 𝐵 𝐴 Bukti: Misalkan diberikan matriks block circulant berukuran 2𝑛 × 2𝑛 𝐴 𝐵 ), 𝐵 𝐴 dengan 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks segi berorder 𝑛. Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 𝐶=(

2𝜋 2𝜋 = = 𝜋, 𝑚 2 𝜌0 = cos 0 + i sin 0 = 1, dan 𝜗=

𝜌1 = cos 𝜋 + i sin 𝜋 = −1. Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks 𝐻 pada persamaaan (17). Untuk 𝜌 = 𝜌0 = 1 diperoleh 𝐻 = 𝐴 + 𝐵𝜌0 = 𝐴 + 𝐵(1) = 𝐴 + 𝐵. Karena nilai eigen 𝐻 sama dengan nilai eigen 𝐶, maka nilai eigen 𝐴 + 𝐵 sama dengan nilai eigen 𝐶. Untuk 𝜌 = 𝜌1 = −1 diperoleh 𝐻 = 𝐴 + 𝐵𝜌1 = 𝐴 + 𝐵(−1) = 𝐴 − 𝐵. Karena nilai eigen 𝐻 sama dengan nilai eigen 𝐶, maka nilai eigen 𝐴 − 𝐵 sama dengan nilai eigen 𝐶. Berdasarkan hasil yang diperoleh terbukti bahwa nilai eigen dari 𝐶 adalah nilai eigen dari 𝐴 + 𝐵 dan 𝐴 − 𝐵. Contoh Aplikasi Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks block circulant beserta sifat pada Teorema 4 dan sifat pada pembahasan sebelumnya mengenai matriks block circulant berukuran 2𝑛 × 2𝑛.

23 Diberikan 𝐵𝑚,𝑛 matriks block circulant dengan 𝑚 = 2 dan 𝑛 = 2 sebagai berikut: 1 2 3 4 3 4 1 2 𝐵2,2 = (4 1 2 3) dengan 𝐵0 = ( ) dan 𝐵1 = ( ). 3 4 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 2𝜋 2𝜋 = = 𝜋, 𝑚 2 𝜌0 = cos 0 + i sin 0 = 1, dan 𝜗=

𝜌1 = cos 𝜋 + i sin 𝜋 = −1. Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks 𝐵2,2 dengan mencari matriks 𝐻 terlebih dahulu pada persamaan (17). Untuk 𝜌 = 𝜌0 = 1 diperoleh 𝐻 = 𝐵0 + 𝐵1 𝜌0 3 4 1 2 )+( ) (1) 2 3 4 1 4 6 =( ) 6 4 |𝐻 − λ𝐼| = 0 =(

4−λ 6 | |=0 6 4−λ (4 − λ)2 − 36 = 0 λ2 − 8λ + 16 − 36 = 0 λ2 − 8λ − 20 = 0. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ − 10)(λ + 2) = 0 maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ0 = 10 dan λ1 = −2. Jika λ0 = 10 disubstitusikan ke persamaan (𝐻 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh 𝑣1 4 − 10 6 0 ( ) (𝑣 ) = ( ) 6 4 − 10 0 2 𝑣 −6 6 1 0 ( )( ) = ( ) 6 −6 𝑣2 0 −6𝑣1 + 6𝑣2 = 0 6𝑣2 = 6𝑣1 𝑣2 = 𝑣1 Misalkan 𝑣1 = 𝑘, maka 𝑣2 = 𝑘 sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian 𝑘 1 dengan λ0 = 10 adalah 𝐯0 = ( ) = 𝑘 ( ). 1 𝑘

24 Jika λ1 = −2 disubstitusikan ke persamaan (𝐻 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh 𝑣1 4+2 6 0 ( ) (𝑣 ) = ( ) 6 4+2 0 2 𝑣 6 6 1 0 ( )( ) = ( ) 6 6 𝑣2 0 6𝑣1 + 6𝑣2 = 0 6𝑣2 = −6𝑣1 𝑣2 = −𝑣1 Misalkan 𝑣1 = 𝑘, maka 𝑣2 = −𝑘, sehingga diperoleh vektor eigen yang 𝑘 1 bersesuaian dengan λ1 = −2 adalah 𝐯1 = ( ) = 𝑘 ( ). −1 −𝑘 Untuk 𝜌 = 𝜌1 = −1 diperoleh 𝐻 = 𝐵0 + 𝐵1 𝜌1 3 4 1 2 )+( ) (−1) 2 3 4 1 −3 −4 1 2 =( )+( ) −2 −3 4 1 −2 −2 =( ) 2 −2 |𝐻 − λ𝐼| = 0 =(

−2 − λ −2 | |=0 2 −2 − λ (−2 − λ)2 + 4 = 0 λ2 + 4λ + 4 + 4 = 0 λ2 + 4λ + 8 = 0. Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ2,3 =

−4 ± √16 − 4(8) 2

−4 ± √−16 2 −4 ± 4i = 2 = −2 ± 2i =

maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ2 = −2 + 2i dan λ3 = −2 − 2i. Jika λ2 = −2 + 2i disubstitusikan ke persamaan (𝐻 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh 𝑣1 −2 + 2 − 2i −2 0 ( ) (𝑣 ) = ( ) 2 −2 + 2 − 2i 0 2 0 −2i −2 𝑣1 ( ) (𝑣 ) = ( ) 0 2 −2i 2

25 −2i𝑣1 − 2𝑣2 = 0 −2𝑣2 = 2i𝑣1 𝑣2 = −i𝑣1 Misalkan 𝑣1 = 𝑘, maka 𝑣2 = −𝑘i, sehingga diperoleh vektor eigen yang 𝑘 1 bersesuaian dengan λ2 = −2 + 2i adalah 𝐯2 = ( ) = 𝑘 ( ). −i −𝑘i Jika λ3 = −2 − 2i disubstitusikan ke persamaan (𝐻 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh 𝑣1 −2 + 2 + 2i −2 0 ( ) (𝑣 ) = ( ) 2 −2 + 2 + 2i 0 2 0 2i −2 𝑣1 ( ) (𝑣 ) = ( ) 0 2 2i 2 2i𝑣1 − 2𝑣2 = 0 −2𝑣2 = −2i𝑣1 𝑣2 = i𝑣1 Misalkan 𝑣1 = 𝑘, maka 𝑣2 = 𝑘i, sehingga diperoleh vektor eigen yang 𝑘 1 bersesuaian dengan λ3 = −2 − 2i adalah 𝐯3 = ( ) = 𝑘 ( ). i 𝑘i Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen λ0 = 10, λ1 = −2, λ2 = −2 + 2i dan λ3 = −2 − 2i merupakan nilai eigen dari matriks segi 𝐻 yang juga merupakan nilai eigen dari matriks block circulant 𝐵2,2 . Selanjutnya diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut berdasarkan persamaan (16) adalah sebagai berikut: 1 (0) 𝐯 𝐰 (0) = ( (0) ) = (1), 1 𝜌𝐯 1 1 (1) 𝐯 𝐰 (1) = ( (1) ) = (−1 ), 1 𝜌𝐯 −1 1 (2) 𝐯 𝐰 (2) = ( (2) ) = ( −i ), dan −1 𝜌𝐯 i 1 (3) 𝐯 𝐰 (3) = ( (3) ) = ( i ). −1 𝜌𝐯 −i Berikut nilai eigen yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) dari matriks 𝐵2,2 λ𝑗 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌𝑗 + 𝑏2 𝜌𝑗2 + 𝑏3 𝜌𝑗3 , sehingga diperoleh λ0 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌0 + 𝑏2 𝜌02 + 𝑏3 𝜌03 = 1+2+3+4 = 10,

26 λ1 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌1 + 𝑏2 𝜌12 + 𝑏3 𝜌13 = 1 + 2(i) + 3(−1) + 4(−i) = −2 − 2i, λ2 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌2 + 𝑏2 𝜌22 + 𝑏3 𝜌23 = 1 + 2(−1) + 3(1) + 4(−1) = −2, dan λ3 = 𝑏0 + 𝑏1 𝜌3 + 𝑏2 𝜌32 + 𝑏3 𝜌33 = 1 + 2(−i) + 3(−1) + 4(i) = −2 + 2i. Dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa 𝐵𝐰 (𝑗) = λ𝑗 𝐰 (𝑗) berikut ini: 1 2 3 4 1 𝐵𝐰 (0) = (4 1 2 3) (1) 3 4 1 2 1 2 3 4 1 1 10 = (10), 10 10 sehingga 𝐵𝐰 (0) = λ0 𝐰 (0) . 𝐵𝐰 (1)

1 2 = (4 1 3 4 2 3 −2 = ( 2 ), −2 2

3 2 1 4

4 1 3) (−1 ) 2 1 1 −1

1 λ0 𝐰 (0) = 10 (1) 1 1 10 = (10), 10 10

λ1 𝐰 (1)

1 = −2 (−1 ) 1 −1 −2 = ( 2 ), −2 2

sehingga 𝐵𝐰 (1) = λ1 𝐰 (1) . 1 2 3 4 1 4 1 2 3 −i 𝐵𝐰 = ( )( ) 3 4 1 2 −1 2 3 4 1 i −2 + 2i = ( 2 + 2i ), 2 − 2i −2 − 2i sehingga 𝐵𝐰 (2) = λ2 𝐰 (2) . (2)

𝐵𝐰 (3)

1 = (4 3 2

2 1 4 3

3 2 1 4

4 1 3) ( i ) 2 −1 1 −i

λ2 𝐰

(2)

λ3 𝐰 (3)

1 −i = −2 + 2i ( ) −1 i −2 + 2i = ( 2 + 2i ), 2 − 2i −2 − 2i 1 = −2 − 2i ( i ) −1 −i

27 −2 − 2i = ( 2 − 2i ), 2 + 2i −2 + 2i

−2 − 2i = ( 2 − 2i ), 2 + 2i −2 + 2i

sehingga 𝐵𝐰 (3) = λ3 𝐰 (3) . Dari hasil yang diperoleh 𝐵𝐰 (𝑗) = λ𝑗 𝐰 (𝑗) maka 𝐰 (𝑗) adalah vektor eigen dari 𝐵2,2 dengan nilai eigen λ𝑗 . Selanjutnya akan ditunjukkan sifat matriks block circulant pada Teorema 4, berlaku 𝐴(𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 ) = (𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 )𝐴 sebagai berikut: Diketahui 2 1 0 −3 −2 −1 0 3) 𝐴=( −3 2 1 0 0 3 −2 −1 dengan 1 0 ), −2 −1 −3 2 𝐴2 = ( ), 0 −1 𝐴1 = (

dan 0 (𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 ) = (0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1), 0 0

maka diperoleh 2 0 0 1 0 1 0 −3 0 3 ) (0 0 0 1) 𝐴(𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 ) = (−2 −1 −3 2 1 0 1 0 0 0 0 3 −2 −1 0 1 0 0 −3 2 1 0 3 −2 −1), =( 0 1 0 −3 2 −2 −1 0 3 dan 0 0 1 0 2 1 0 −3 0 0 0 1 −2 −1 0 3) (𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 )𝐴 = ( )( 1 0 0 0 −3 2 1 0 0 1 0 0 0 3 −2 −1 −3 2 1 0 0 3 −2 −1 =( ), 1 0 −3 2 −2 −1 0 3 maka diperoleh hasil 𝐴(𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 ) = (𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 )𝐴.

28 Jika diberikan matriks block circulant berukuran 6 × 6 sebagai berikut:

𝐵2,3

1 −2 3 −4 5 −6 −6 1 −2 3 −4 5 5 −6 1 −2 3 −4 = 1 −2 3 −4 5 −6 1 −2 3 −4 5 −6 (−2 5 −6 1) 3 −4

dengan 1 −2 3 𝐵0 = (−6 1 −2) 5 −6 1 dan −4 5 −6 𝐵1 = ( 3 −4 5 ). −2 3 −4 Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks 𝐵2,3 sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 2𝜋 2𝜋 = = 𝜋, 𝑚 2 𝜌0 = cos 0 + i sin 0 = 1, dan 𝜗=

𝜌1 = cos 𝜋 + i sin 𝜋 = −1. Untuk 𝜌 = 𝜌0 = 1 diperoleh 𝐻 = 𝐵0 + 𝐵1 𝜌0 1 −2 = (−6 1 5 −6 1 −2 = (−6 1 5 −6 −3 3 = (−3 −3 3 −3 |𝐻 − λ𝐼| = 0

3 −4 5 −6 ) + ( −2 3 −4 5 ) (1) 1 −2 3 −4 3 −4 5 −6 ) + ( −2 3 −4 5) 1 −2 3 −4 −3 3) −3

−3 − λ 3 −3 | −3 −3 − λ 3 |=0 3 −3 −3 − λ (−3 − λ)3 + 27 − 27 − (−3 − λ)(−9) − (−3 − λ)(−9) − (−3 − λ)(−9) = 0. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh ((−3 − λ)2 + 9 + 9 + 9)(−3 − λ) = 0 (λ2 + 6λ + 9 + 27)(−3 − λ) = 0 (λ2 + 6λ + 36)(−3 − λ) = 0.

29 Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ0,1

−6 ± √62 − 4(36) = 2 −6 ± √36 − 144 = 2 −6 ± √−108 = 2 −6 ± 6i√3 = 2 = −3 ± 3i√3

maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ0 = −3 + 3i√3, λ1 = −3 − 3i√3, dan λ2 = −3. Untuk 𝜌 = 𝜌1 = −1 diperoleh 𝐻 = 𝐵0 + 𝐵1 𝜌1 1 −2 3 −4 5 −6 = (−6 1 −2) + ( 3 −4 5 ) (−1) 5 −6 1 −2 3 −4 1 −2 3 −4 5 −6 = (−6 ) + ( 1 −2 3 −4 5) 5 −6 1 −2 3 −4 5 −7 9 = (−9 5 −7) 7 −9 5 |𝐻 − λ𝐼| = 0 5 − λ −7 9 | −9 5 − λ −7 | = 0 7 −9 5 − λ (5 − λ)3 + 343 + 729 − 3(5 − λ)(63) = 0 −λ3 + 15λ2 − 75λ + 125 + 1072 − 945 + 189λ = 0 −λ3 + 15λ2 + 114λ + 252 = 0 λ3 − 15λ2 − 114λ − 252 = 0. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ − 21)(λ2 + 6λ + 12) = 0. Dengan menggunakan rumus abc diperoleh −6 ± √62 − 4(12) 2 −6 ± √36 − 48 = 2 −6 ± √−12 = 2

λ4,5 =

30 −6 ± 2i√3 2 = −3 ± i√3 =

maka nilai eigen yang diperoleh λ3 = 21, λ4 = −3 + i√3 dan λ5 = −3 − i√3, sehingga nilai eigen dari matriks 𝐵2,3 yang diperoleh adalah λ0 = −3 + 3i√3, λ1 = −3 − 3i√3, λ2 = −3, λ3 = 21, λ4 = −3 + i√3 dan λ5 = −3 − i√3. Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks segi 𝐵0 + 𝐵1 secara analitik seperti berikut ini: 1 −2 3 −4 5 −6 𝐵0 + 𝐵1 = (−6 1 −2) + ( 3 −4 5) 5 −6 1 −2 3 −4 −3 3 −3 = (−3 −3 3) 3 −3 −3 |(𝐵0 + 𝐵1 ) − λ𝐼| = 0 −3 − λ 3 −3 | −3 −3 − λ 3 |=0 3 −3 −3 − λ 3 (−3 − λ) + 27 − 27 − 3(−3 − λ)(−9) = 0. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh ((−3 − λ)2 − 3(−9))(−3 − λ) = 0 (λ2 + 6λ + 9 + 27)(−3 − λ) = 0 (λ2 + 6λ + 36)(−3 − λ) = 0. Dengan menggunakan rumus abc diperoleh −6 ± √62 − 4(36) 2 −6 ± √36 − 144 = 2 −6 ± √−108 = 2 −6 ± 6i√3 = 2 = −3 ± 3i√3

λ0,1 =

maka nilai eigen dari matriks 𝐵0 + 𝐵1 yang diperoleh adalah λ0 = −3 + 3i√3, λ1 = −3 − 3i√3, dan λ2 = −3. Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks segi 𝐵0 − 𝐵1 secara analitik seperti berikut ini: 1 −2 3 −4 5 −6 𝐵0 − 𝐵1 = (−6 ) − ( 1 −2 3 −4 5) 5 −6 1 −2 3 −4

31 5 −7 9 = (−9 5 −7) 7 −9 5 |(𝐵0 − 𝐵1 ) − λ𝐼| = 0 5 − λ −7 9 | −9 5 − λ −7 | = 0 7 −9 5 − λ (5 − λ)3 + 343 + 729 − 3(5 − λ)(63) = 0 −λ3 + 15λ2 − 75λ + 125 + 1072 − 945 + 189λ = 0 −λ3 + 15λ2 + 114λ + 252 = 0 λ3 − 15λ2 − 114λ − 252 = 0. Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ − 21)(λ2 + 6λ + 12) = 0. Dengan menggunakan rumus abc diperoleh −6 ± √62 − 4(12) 2 −6 ± √36 − 48 = 2 −6 ± √−12 = 2 −6 ± 2i√3 = 2 = −3 ± i√3

λ4,5 =

maka nilai eigen dari matriks 𝐵0 − 𝐵1 yang diperoleh adalah λ3 = 21, λ4 = −3 + i√3, dan λ5 = −3 − i√3. Berdasarkan hasil yang diperoleh nilai eigen dari matriks 𝐵2,3 memiliki hasil yang sama dengan nilai eigen dari matriks segi 𝐵0 + 𝐵1 dan 𝐵0 − 𝐵1 .

32

SIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya mengenai matriks circulant, circulant simetrik, serta block circulant secara umum nilai eigen matriks-matriks tersebut bergantung pada entri-entrinya dan nilai 𝜌 yang ditentukan berdasarkan ordo matriksnya. Khusus matriks circulant simetrik nilai eigennya selain bergantung pada entri-entrinya dan nilai 𝜌 juga bergantung pada 𝜌 (konjugat 𝜌). Vektor eigen matriks circulant dan circulant simetrik hanya bergantung pada nilai 𝜌, sedangkan vektor eigen dari matriks block circulant selain bergantung pada nilai 𝜌 juga bergantung pada vektor 𝐯 (𝑗) yaitu vektor eigen dari matriks 𝐻. Matriks circulant komutatif dengan matriks 𝜋 dan berlaku nilai eigen λ𝑗 = λ𝑛−𝑗 . Hasil perkalian dua matriks circulant juga merupakan matriks circulant. Untuk matriks circulant simetrik memiliki sifat nilai eigen λ real dan λ𝑛−𝑗 = λ𝑗 . Untuk matriks block circulant komutatif dengan matriks (𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 ) dan nilai eigen 𝐴 𝐵 dari matriks block circulant ( ) adalah nilai eigen dari matriks 𝐴 + 𝐵 dan 𝐵 𝐴 𝐴 − 𝐵.

33

DAFTAR PUSTAKA Anton H. 2004. Aljabar Linier Elementer. Ed ke-8. Harmein I, Gressando J, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Elementary Linear Algebra. Davis PR. 1979. Circulant Matrices. New York (US): John Wiley. Jones AW. 2008. Circulants. Pennsylvania (US): Carlisle. Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Montaldi J. 2012. Notes on circulant matrices. [terhubung http://www.manchester.ac.uk/mims/eprints. [6 Januari 2016].

berkala].

Tee GJ. 2005. Eigenvectors of block circulant and alternating circulant matrices. Res. Lett. Inf. Math. Sci. 8:123-142.

34 Lampiran 1 Program Mathematica untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks circulant 3 × 3 secara umum.

35

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 13 Oktober 1990. Penulis merupakan putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Edi dan Ibu Rukoyah. Tahun 2003 penulis lulus dari SD Negeri Semplak 2 Bogor, tahun 2006 penulis lulus dari SMP Negeri 4 Bogor dan tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB). Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Penulis pernah mengikuti PKM-Penelitian yang didanai oleh Dikti pada tahun 2011/2012 dengan judul “Efektivitas Sanitasi Gulma Ageratum conyzoides dan Pemanfaatannya sebagai Pestisida Nabati dalam Mengurangi Penyakit pada Tanaman Cabai” sebagai anggota.