PENGANTAR ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS

PENGANTAR ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS KONSEP ANALISA STRUKTUR  BENTUK & TYPE STRUKTUR  ELEMEN & NODE PADA STRUKTUR SISTEM KOORDINAT LOKAL & GLOBAL PRINSIP KEKAKUAN DAN FLEKSIBILITAS 





by Erwin Rommel (FT.Sipil UMM)

contitutive law compatibility

equilibriu m

STRUKTUR

EXTERNAL FORCES

• DEF. LENTUR • DEF. GESER • DEF. AKSIAL • DEF. TORSI

INTERNAL FORCES

• MOMEN LENTUR • GAYA GESER • GAYA NORMAL • TORSI

DEFORMASI

DISPLACEMENT

• TRANSLASI • ROTASI

ANALYSIS STRUCTURES CONCEPT

EXAMPLES

KONSEP DASAR ANALISA STRUKTUR

EQUILIBRIUM  CONSTITUTIVE LAW  COMPATIBILITY 

EQUILIBRIUM 



KESETIMBANGAN EKSTERNAL FORCES DENGAN INTERNAL FORCES PADA STRUKTUR KESETIMBANGAN PADA STRUKTUR DIBAGI ATAS ; Kesetimbangan Statis ; (Hk Newton-1)

F  0 Kesetimbangan Dinamis ; (Hk Newton-2)

F  m a

Persamaan Kesetimbangan pada struktur

F

X

F F

0

Y

0

Z

0

M

X

0

Y

0

M M

Z

0

CONSTITUTIVE LAW 



HUBUNGAN ANTARA INTERNAL FORCES DENGAN DEFORMASI PADA BAGIAN STRUKTUR SYARAT MATERIAL STRUKTUR ; ELASTIS & LINEAR (Hk Hooke)

F k 

; k  Kekakuan struktur

 f F

; f  Fleksibili tas struktur



F

k

f

 Kekakuan struktur

F Fleksibilitas struktur

COMPATIBILITY 

PERTIMBANGAN KINEMATIS DARI STRUKTUR YANG TERDEFORMASI ATAU “KONTINUITAS DISPLACEMENT”

A  0  CA   CD D  0

; V A  0

;H A  0

; V C  0

;H C  0

; V D  0

;H D  0

A  0 B  0

; V A  0

;H A  0

; V B  0

;H B  0

DERAJAT KETIDAKTENTUAN (DOF) • DERAJAT KETIDAKTENTUAN KINEMATIS (DKK) ADALAH JUMLAH DISPLACEMENT (TRANSLASI DAN ROTASI) YANG BELUM DIKETAHUI BESARNYA PADA UJUNG-UJUNG BATANG

• DERAJAT KETIDAKTENTUAN STATIS (DKS) ADALAH JUMLAH GAYA REDUDANT (GAYA KELEBIHAN) PADA STRUKTUR AGAR DAPAT DISELESAIKAN DENGAN PERS.KESETIMBANGAN

EXAMPLES

DKK = 0

DKS = 3

DKK = 5

DKS = 1

DKK = 8

DKS = 1

BENTUK & TYPE STRUKTUR STRUKTUR RANGKA BIDANG “PLANE TRUSS”

• KONSTRUKSI JEMBATAN • KONSTRUKSI ATAP • KONSTRUKSI PENGAKU

GAYA AKSIAL (TEKAN/TARIK)

DEFORMASI AKSIAL

BENTUK & TYPE STRUKTUR STRUKTUR RANGKA RUANG “SPACE TRUSS”

• KONSTRUKSI JEMBATAN • KONSTRUKSI TOWER • KONSTRUKSI ATAP / DOME

GAYA AKSIAL (TEKAN/TARIK)

DEFORMASI AKSIAL

BENTUK & TYPE STRUKTUR STRUKTUR GRID “GRID STRUCTURES”

• BALOK SPRANDEL • KONSTRUKSI LANTAI GRID • PONDASI SARANG LABA-LABA • PONDASI RAKIT

• GAYA GESER • MOMEN LENTUR • TORSI

• DEF.GESER • DEF. LENTUR • DEF. PUNTIR

BENTUK & TYPE STRUKTUR STRUKTUR PORTAL BIDANG “PLANE FRAME”

• PORTAL SEDERHANA • BANGUNAN GEDUNG • KONSTRUKSI TUNNEL / BOX • MOMEN LENTUR • GAYA GESER • GAYA AKSIAL

• DEF. LENTUR • DEF. GESER • DEF. AKSIAL

BENTUK & TYPE STRUKTUR STRUKTUR PORTAL RUANG “SPACE FRAME”

• BANGUNAN GEDUNG

• • • •

MOMEN LENTUR GAYA GESER GAYA AKSIAL TORSI

• • • •

DEF. LENTUR DEF. GESER DEF. AKSIAL DEF.PUNTIR





STRUKTUR TERDIRI DARI ; 1) ELEMEN ; MEMBER/BATANG 2) NODE ; JOINT/NODAL/TITIK BUHUL TRANSFER GAYA LUAR PADA BAGIANBAGIAN STRUKTUR MELALUI ELEMEN & NODE/JOINT

Node / Joint 



NODE/JOINT ; bagian dari struktur yang menghubungkan elemen-elemen struktur Node/joint terbagi atas ; 1) Node/Joint Terkekang (disebut juga “Constraint-node”) Perletakan roll, sendi, jepit 2) Node/Joint Bebas Perletakan kenyal, Titik buhul, Titik kumpul

JOINT / NODE / NODAL

ROLL

JEPIT/ FIX-END

SENDI / PIN / HINGE

FREE-NODE / JOINT/ NODAL

NODAL-DISPLACEMEN (u,

v, w)

Elemen 



Elemen ; bagian dari struktur yang dihubungkan oleh dua atau lebih node/joint Elemen terdiri atas ; 1) elemen garis (elemen truss/frame/grid) 2) elemen bidang (elemen pelat/dinding) 3) elemen ruang (elemen hexagonal, cube)

NODAL-FORCES NODAL-FORCES (MOMEN+GESER+AKSIAL+TORSI)

NODAL-FORCES (MOMEN+GESER+AKSIAL)

NODAL-FORCES (MOMEN + GESER)

NODAL-FORCES

NODAL-FORCES

NODAL-FORCES





HUBUNGAN NODAL-DISPLACEMEN DENGAN NODAL-FORCE BAGAIMANA ……………….………… ??? HUKUM HOOKE (BAHAN MASIH ELASTIS LINEAR) F=k x

ATAU

F   K x  F1   K11 F   K  2   21  F3    K 31        Fn   K n1

K12 K 22 K 32

K13 K 23 K 33

K n2

K n3

K 1n   X 1  K 2 n   X 2    K 3n   X 3      K nn   X n 

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces DEFORMASI AKSIAL

X 

x E



N A  E

d  x    x .dx 

N EA

N .dx EA

L

  L   d  x   

N L .dx  N EA EA O

EA = axial rigidity

Dimana : A = luas tampang ; E = modulus elastis bahan L = panjang elemen

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces DEFORMASI LENTUR

x   d  

M .y Iz

 x .dx y

M  .dx EI Z

x  

x E

 L

M .y EI Z

M .dx EI Z O

   d  

EIz=flexural rigidity

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces DEFORMASI GESER

V .Q Shear Stress ;   I z .b Shearing Strain ;

 

 G

Displacemen relatif ; d  f .

V .dx G. A L

f .V f .L   S   d  . dx  .V  GA O GA GA  shearing rigidity f

f = shape factor

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces DEFORMASI PUNTIR

  max

T.r J

T.R  J

   maks

 G



T .r G.J

 maks

T .R   G G.J

J = momen inersia polar konstanta torsi

d 

 maks R

dx  L

   d   . O

T dx G.J

T L dx  .T G.J GJ

G.J = torsional rigidity

KONSTANTA TORSI PENAMPANG

Menghitung hubungan eksternal force (action) dengan displacemen pada balok prismatis dapat memakai metode a.l ;  Metode “persamaan differensial balok”  “Moment Area Method”  “Unit Load Method”

Elemen jepit-bebas

Elemen jepit-roll

Elemen sendi-roll

Elemen sendi-roll

PRINSIP KEKAKUAN & FLEKSIBILITAS • KEKAKUAN atau “STIFFNESS” adalah aksi yang diperlukan untuk menghasilkan “unit displacemen” gaya satuan  a.l ; ton/m' ; kN/mm ; kg/cm panjang • FLEKSIBILITAS atau “FLEXIBILITY” adalah displacemen yang dihasilkan oleh “unit gaya” panjang satuan  gaya

a.l ; m/ton ; mm/kN ; cm/kg

Contoh sederhana ; F



D F = gaya / action D = displacemen





1





f

f = fleksibilitas

k



1

k = kekakuan

1 k f

D=f F

atau

1 f  k



F=kD

EXAMPLE A1

D2

D1

STRUKTUR BALOK MENERIMA BEBAN TERPUSAT A1 DAN MOMEN LENTUR A2 PADA UJUNG KANTILEVER SEPERTI TERGAMBAR HITUNG MATRIKS KEKAKUAN [K] DAN MATRIKS FLEKSIBILITAS [F] DARI STRUKTUR TERSEBUT ????

1

-6EI S21= 2 L

E,I,L

E,I,L

F11= F21=

L 3EI

2

L 2EI

F21=

L2   2 EI   A1    L   A2  EI 

L

3

4EI

L 2EI

-6EI S12= 2 L

L EI

L3 L2 D1  A1  A2 3EI 2 EI L2 L D2  A1  A2 2 EI EI

12EI

S22=

1

F12=

D  F  A

S11=

1

E,I,L

 L3  D1   3EI    2  D2   L  2 EI

1

A1 

12 EI 6 EI D  D2 1 3 2 L L

A2  

6 EI 4 EI D  D2 1 L L2

 12 EI  A1   L3     6 EI  A2    L2

A  S  D

6 EI  L2   D1  4 EI   D2   L 



L

SEHINGGA DAPAT DIBUKTIKAN BAHWA ;  L3 F S    3EI  2  L  2 EI

L2   2 EI  L  EI 

 12 EI  L3  6 EI  2  L

6 EI  L2  4 EI   L 



F S   (4  3) (2 L  2 L) 6 L  6 L

(3  4) 

1 0

F S     0 1 

F   S 

1

ATAU ;

S   F 

1

EXAMPLE Prinsip superposisi kekakuan ;

F1 

3EI 3EI 3EI D1  2 D2  2 D3 L L L

F2 

3EI 3EI 3EI D  D  D3 1 2 2 3 3 L L L

F3 

3EI 3EI 3EI D  D  D3 1 2 2 3 3 L L L

1  F1    3EI  1  F2    L L F   1 L  3

1 1 1

L

L2 L2

  D1    1  D 2  2 L  1 D  L2   3  1

L

F   K  D Bagaimana jika memakai Prinsip superposisi fleksibilitas ????........home work

EQUIVALENT JOINT LOADS 



Pada metode matriks, pengaruh beban luar yang bekerja pada batang (atau “member loads”) dapat diekivalensikan dengan beban pada node/joint yang mempunyai pengaruh sama seperti beban aslinya. Konsep tersebut dikenal sebagai “equivalent joint loads”

FORMULASI ANALISA STRUKTUR DENGAN METODE MATRIKS 





Metode yang dikenal s/d sekarang ; 1) Metode Kekakuan (Metode Displacemen) 2) Metode Fleksibilitas (Metode Gaya) Metode Kekakuan ; displacemen sebagai unknown value (variabel yang tidak diketahui) dan dicari terlebih dahulu. Metode Fleksibilitas ; gaya sebagai un-known value dan dicari terlebih dahulu.

Metode Kekakuan Langsung 



Metode yang cocok dan banyak digunakan dalam analisis struktur berbasis program komputer (SAP2000/STAAD-PRO/ANSYS) Asumsi-asumsi dasar ; 1) Bahan struktur berperilaku “linear-elastic” 2) Displacemen struktur relatif kecil dibanding dimensi /geometrik struktur 3) Interaksi pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan 4) Elemen/batang struktur bersifat “prismatis & homogen”

PROSEDUR ANALISIS 1. Semua kekakuan elemen dievaluasi sesuai dengan hubungan antara “gaya” dan “ deformation” (dalam koordinat LOKAL). 2. Matriks kekakuan elemen ditransformasikan ke koordinat GLOBAL. 3. Matriks kekakuan elemen-elemen struktur (dalam koordinat global) digabungkan menjadi matriks kekakuan seluruh struktur (dengan mempertimbangkan kompatibilitas).

PROSEDUR ANALISIS 4. Berdasarkan pembebanan yang ada, disusun vektor/matriks gaya. 5. Kondisi batas pada perletakan diperhitungkan, dan dilakukan “static condensation” untuk memperoleh matriks kekakuan struktur ter-reduksi. 6. Matriks kekakuan struktur yang ter-reduksi tersebut memberikan persamaan kesetimbangan struktur, yang solusinya akan menghasilkan “displacement” setiap node/joint. Kemudian gaya-gaya (reaksi perletakan) dapat diperoleh kemudian. 7. Kemudian gaya-gaya dalam dapat dihitung untuk setiap elemen.

Aplikasi Metode Kekakuan Langsung   

 

STRUKTUR STRUKTUR STRUKTUR STRUKTUR STRUKTUR

RANGKA BIDANG RANGKA RUANG PORTAL BIDANG PORTAL RUANG GRID

EXAMPLE Prinsip superposisi kekakuan ;

F1 

3EI 3EI 3EI D1  2 D2  2 D3 L L L

F2 

3EI 3EI 3EI D  D  D3 1 2 2 3 3 L L L

F3 

3EI 3EI 3EI D  D  D3 1 2 2 3 3 L L L

1  F1    3EI  1  F2    L L F   1 L  3

1 1 1

L

L2 L2

  D1    1  D 2  2 L  1 D  L2   3  1

L

F   K  D Bagaimana jika memakai Prinsip superposisi fleksibilitas ????........home work