Pengantar Analisa Algoritma
Pendahuluan Suatu permasalahan memungkinkan untuk
diselesaikan dengan lebih dari satu algoritma (pendekatan) Bagaimana kita ‘memilih’ satu diantara beberapa algoritma tersebut. Bagaimana kita mengukur ‘efisiensi’ dari algoritma tersebut ?
Mengukur Efisiensi : Perbandingan Empiris: Run Program
Analisis Algoritma (Asimptotis)
Kesulitan Perbandingan Empiris : Diperlukan usaha pemrograman dan pengujian
yang lebih banyak ‘Penulisan’ program yang berbeda memungkinkan menghasilkan kualitas program yang berbeda Pemilihan kasus-kasus uji empiris mungkin tidak selalu sesuai untuk semua algoritma yang diuji.
Sumberdaya kritis suatu program running-time (waktu eksekusi program), sehingga
kita harus menganalisa waktu yang diperlukan untuk me-run program (algoritma). ruang (memory, space- memori utama dan memori tambahan) yang diperlukan untuk me-run program. Ruang yang diperlukan ini sangat berkaitan dengan struktur data yang digunakan.
Faktor yang mempengaruhi running-time ‘Lingkungan’ dimana program itu dijalankan, yang
antara lain meliputi kecepatan CPU, bus dan perangkat keras pendukung yang lain. Persaingan dengan user lain pada jaringan juga bisa memperlambat waktu eksekusi. Bahasa pemrograman dan kualitas ‘kode’ yang dihasilkan oleh kompiler juga dapat memberikan pengaruh yang signifikan. Kemampuan pemrogram yang menerjemahkan algoritma ke kode program juga berpengaruh.
Analisis Algoritma Analisis algoritma asimptotis (asymptotic algorithm
analysis) mengukur efisiensi suatu algoritma berdasar-kan ‘ukuran’ input (yang biasanya besar), karena running-time suatu algoritma sebagian besar tergantung pada ukuran input.
Teknik ini lebih bersifat estimasi
Analisa Algoritma (lanjutan) Pertimbangan utama ketika mengestimasi
performansi suatu algoritma adalah jumlah ‘operasi dasar’ (basic operation) yang diperlukan untuk oleh algoritma untuk memproses suatu input dengan ukuran (size) Running time dinyatakan dalam T(n) untuk fungsi T pada input dengan ukuran n
Contoh: Diberikan suatu algoritma untuk menemukan nilai terbesar
dalam suatu array yg berisi n integer positip static int largest(int[ ] A, int n) { int currlarge = 0; for (int i=0; i
currlarge) currlarge=A[i]; return currlarge; }
// Dapatkan nilai terbesar // inisialisasi nilai terbesar saat ini // untuk setiap elemen array // nilai terbesar saat ini berubah // return nilai terbesar
Misalkan c jumlah waktu yang diperlukan untuk menguji suatu nilai dalam
fungsi ini, termasuk didalamnya waktu yang diperlukan untuk increment nilai i dll, maka T(n) = cn
Contoh 2 Misal cuplikan kode program sebagai berikut sum = 0; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) sum++ ;
Maka, T(n) = c2 n2
Best, Worst dan Average Cases Untuk beberapa algoritma, input yang berbeda
dapat memerlukan jumlah waktu yang berbeda. Sebagai ilustrasi, misalkan kita ingin mencari suatu elemen array (posisi) yang memuat nilai K dan algoritma akan berhenti jika nilai K ditemukan. Dengan pencarian secara sekuensial Best case: 1 Worst case: n Average case: n/2
Best, Worst dan Average Cases Best case
Umumnya kita tidak digunakan karena jarang terjadi dan terlalu optimistik untuk karakteristik umum dari running-time suatu algoritma. Worst case
Bisa diketahui secara pasti bahwa paling buruk algoritma akan memerlukan proses sebanyak kasus terburuk ini. Analisa ini juga sangat penting digunakan untuk aplikasi realtime (waktu-nyata) Average case
Menyatakan ‘perilaku umum’ suatu algoritma bila diberikan input dengan ukuran n
Komputer Lebih Cepat vs Algoritma Lebih Cepat Apa yang terjadi jika kita membeli komputer baru
yang mempunyai kecepatan 10 kali lebih cepat (misal dapat memproses 100.000 input dalam satu satuan waktu) dibandingkan komputer lama (misal dapat memproses 10.000 input)? Pada kasus tertentu, penambahan kecepatan komputer kurang berpengaruh pada jumlah input yang diproses. Mengapa?
Komputer Lebih Cepat vs Algoritma Lebih Cepat
n: ukuran input yang dapat diproses dalam satu detik pada komputer 1 n’: ukuran input yang dapat diproses dalam satu detik pada komputer 2 T(n)
n
n'
Perubahan
n'/n
10n
1.000
10.000
n' = 10n
10
n' = 10n
10
10n
20n
500
5.000
5n log n
250
1.842
2n2
70
223
2n
13
16
10n < n' < 10n
n' =
n' = n + 3
7,37 3,16
--
Growth Rate Graph
Analisis Asimptotis: Batas Atas (Big-Oh) Definisi :
T(n) adalah anggota dari himpunan Ο(f(n)) jika ada dua konstanta positip c dan n0 sedemikian hingga | T(n) | ≤ c | f(n) | untuk semua n > n0 Definisi ini memberikan arti bahwa untuk semua
himpunan data yang cukup besar (yaitu n > n0) algoritma akan selalu mengeksekusi lebih kecil dari c | f(n) | step pada best, average dan worst case.
Contoh-contoh Contoh 2.4:
Jika T(n) = 3n2 maka T(n) ada dalam O(n2). Demikian juga, T(n) ada dalam O(n3), O(n4) dan seterusnya, sehingga yang kita pilih adalah batas atas terkecil (least upper bound). Contoh 2.5:
Mencari nilai K yang disimpan dalam suatu array. T(n) = csn/2 Untuk semua nilai n > 1, |csn/2| ≤ cs |n| Sehingga, dengan definisi, T(n) adalah anggota O(n) untuk n0 = 1 dan c = cs
Contoh-contoh: Contoh 2.6 :
Diketahui T(n) = c1n2 + c2n pada average case. Dapatkan O(f(n)) |c1 n2 + c2n| ≤ |c1n2 + c2n2 | ≤ (c1 + c2) | n2 | untuk semua n > 1, sehingga, | T(n) | ≤ c |n2| untuk c = c1 + c2 dan n0 = 1 Jadi, dengan definisi, T(n) adalah anggota dari O(n2). Contoh 2.7 :
T(n) = c adalah anggota dari O(1).
Batas Bawah : Big-Omega Definisi :
T(n) adalah anggota dari himpunan Ω(g(n)) jika ada dua konstanta positip c dan n0 sedemikian hingga
| T(n) | ≥ c | g(n) | untuk semua n > n0 Definisi ini memberikan arti bahwa untuk semua himpunan data yang cukup besar (yaitu n > n0) algoritma akan selalu mengeksekusi lebih besar dari c|g(n)| step pada best, average dan worst case.
Contoh Diketahui T(n) = c1n2 + c2n pada average case.
Dapatkan Ω(g(n)) |c1n2 + c2n| ≥ c1|n2| untuk semua n > 1 Sehingga, |T(n)| ≥ c|n2| untuk c=c1 dan n0=1 Jadi, berdasarkan definisi, T(n) adalah anggota dari Ω(n2). Demikian juga, T(n) juga merupakan anggota dari Ω(n) dan Ω(1). Pada kasus ini yang kita pilih adalah batas bawah terbesar (greatest lower bound).
Big-Theta Definisi : Suatu algoritma dikatakan anggota Θ(h(n)) jika algoritma itu adalah anggota O(h(n)) dan anggota Ω(h(n)) Contoh 2.9 :
Karena T(n) = c1n2 + c2n adalah angota O(n2) dan anggota Ω(n2), maka T(n) adalah anggota Θ(n2).
Contoh:
Aturan Simplifikasi Ketika kita menentukan persamaan running time
suatu algoritma, kita akan menentukan bentuk yang paling sederhana, sehingga diperlukan aturanaturan penyederhanaan untuk ketiga big-Oh, bigOmega dan big-Theta
Beberapa Aturan Penyederhanaan: 1)
Jika f(n) adalah anggota O(g(n)) dan g(n) adalah anggota O(h(n)), maka f(n) adalah anggota O(h(n)).
2)
Jika f(n) adalah anggota O(kg(n)) untuk konstanta k > 0, maka f(n) adalah anggota O(g(n)).
3)
Jika f1(n) adalah anggota O(g1(n)) dan f2(n) adalah anggota O(g2(n)), maka (f1+ f2)(n) adalah anggota O(max(g1(n), g2(n))).
4) Jika f1(n) adalah anggota O(g1(n)) dan f2(n) adalah anggota O(g2(n)), maka f1(n) f2(n) adalah anggota O(g1(n) g2(n)). Aturan ini juga berlaku untuk big-omega dan big-theta.
Time Complexity Examples (1) Contoh 3.9: a = b; This assignment takes constant time, so it is (1).
Contoh 3.10: sum = 0; for (i=1; i<=n; i++) sum += n;
25
Time Complexity Examples (2) Contoh 3.11:
sum = 0; for (j=1; j<=n; j++) for (i=1; i<=j; i++) sum++; for (k=0; k
26
Time Complexity Examples (3) Contoh 3.12: sum1 = 0; for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=n; j++) sum1++; sum2 = 0; for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=i; j++) sum2++;
27
Time Complexity Examples (4) Contoh 3.13: sum1 = 0; for (k=1; k<=n; k*=2) for (j=1; j<=n; j++) sum1++; sum2 = 0; for (k=1; k<=n; k*=2) for (j=1; j<=k; j++) sum2++;
28
Statement Control yang lain? Perhitungan running time dapat dinyatakan secara garis besar sebagai berikut : Untuk loop while, perhitungannya sama dengan loop for Statemen if lebih besar daripada then/else, mungkin
melibatkan probabilitas karena adanya penyeleksian kondisi Rekursifitas: diselesaikan dengan relasi berulang Subrotine call: Kompleksitas dari subroutine yang dipanggil
Slide berikutnya……
