ANALISIS KESTABILAN DAN MEAN DISTRIBUSI MODEL EPIDEMIK SIR PADA WAKTU DISKRIT
Arisma Yuni Hardiningsih 1206 100 050
Dosen Pembimbing : Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si
Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah di kehidupan nyata. Salah satu penerapannya yaitu di bidang biologi yang kemudian disebut dengan matematika biologi. Contohnya yaitu aplikasi untuk mengetahui model penyebaran penyakit menular pada suatu daerah tertentu.
Untuk mengetahui proses penyebaran penyakit menular, dikenal beberapa model penyebaran penyakit baik model yang bersifat deterministik maupun model yang bersifat stokastik. Model-model tersebut antara lain SI, SIS, SIR, dan SEIR.
SIR merupakan model penyebaran penyakit dengan karakteristik bahwa setiap individu rentan terinfeksi suatu penyakit(S), individu yang rentan berinteraksi dengan individu terinfeksi sehingga menjadi terinfeksi(I). Dengan pengobatan medis atau proses alam, individu terinfeksi mungkin akan sembuh, yang dinotasikan dengan R .
Sebuah penelitian telah dilakukan oleh Sari (2009) tentang penyebaran penyakit yakni Model Epidemik SIS. Dalam penelitian tersebut dianalisis tentang hubungan kesetimbangan Model Epidemik SIS baik secara deterministik maupun stokasttik.
Dalam penelitian ini dianalisis stabilitas dan mean distribusi probabilitas yang merupakan metode matematis yang dapat digunakan untuk menganalisis kesetimbangan model epidemik SIR baik model deterministik maupun stokastiknya.
Bagaimana menentukan kestabilan pada model epidemik SIR deterministik 2. Bagaimana menentukan mean distribusi probabilitas pada model epidemik SIR stokastik 3. Bagaimana mengkaji hasil analisis model epidemik SIR secara deterministik dan stokastik 1.
Model epidemik yang dianalisis merupakan model tipe SIR waktu diskrit. 2. Model stokastik waktu diskrit merupakan Model Rantai Markov dengan pendekatan waktu kontinu dan state space berhingga. 3. Model epidemik SIR tidak membahas tentang pemberian vaksinasi atau sejenisnya. 4. Jumlah total populasi suatu wilayah tertentu diasumsikan tetap ( konstan ). 1.
Lanjutan… 5. Kestabilan yang dianalisis pada model deterministik adalah kestabilan lokal 6. Mean distribusi yang dianalisis pada model stokastik adalah mean distribusi individu terinfeksi
Adapun tujuan dari Tugas Akhir ini adalah : 1. Mendapatkan kestabilan untuk model epidemik SIR deterministik 2. Mendapatkan nilai mean distribusi probabilitas untuk model epidemik SIR stokastik. 3. Mengkaji hasil analisis dan menginterpretasikannya
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah dapat memberikan informasi tentang pola penyebaran wabah sehingga dapat dilakukan pencegahan wabah yang lebih meluas.
1.
Studi dari penelitian sebelumnya Penelitian mengenai analisis penyebaran penyakit dengan model epidemik yang bersifat deterministik dan stokastik telah diteliti sebelumnya oleh Sari (2009) pada tugas akhir yang berjudul Analisis Stabilitas Model SIS Epidemik Deterministik dan Mean Distribusi Probabilitas SIS Epidemik Stokastik.
Diagram Kompartemen SIR β
τ S
γ I
β
R
β
β
2. Model Epidemik SIR Deterministik Model epidemik SIR determistik waktu diskrit adalah sebagai berikut : (2.1) (2.2) (2.3)
3. Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar (R0) merupakan parameter penting dalam matematika epidemilogi yang merupakan ambang batas (threshold) terjadinya penyebaran penyakit. Bilangan ini diperoleh dengan menentukan nilai eigen matriks Jacobian pada titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik. Jika R0 < 1 maka jumlah individu yang terinfeksi berkurang, sedangkan jika R0 > 1 maka jumlah individu yang terinfeksi bertambah.
4. Linearisasi Adalah proses hampiran persamaan diferensial tak linear dengan persamaan diferensial linear.
5. Kestabilan dan Akar Karakteristik Sistem persamaan linear dengan koefisien konstan yang diperoleh dari proses linearisasi kemudian dicari akar-akar karakteristiknya. Bagian real-real akar karakteristik tersebut menentukan kestabilan titik kesetimbangan pada sistem.
6. Proses Stokastik Definisi : Suatu proses stokastik adalah himpunan/koleksi peubah acak (variabel random). dengan T adalah beberapa himpunan indeks disebut parameter space dan S adalah ruang sampel dari peubah acak disebut state space.
1. Untuk setiap t tertentu dinyatakan suatu peubah acak yang didefinisikan pada S. 2. Untuk tiap s tertentu berhubungan dengan fungsi yang didefinisikan pada T yang disebut lintasan sampel.
7. Rantai Markov Waktu Diskrit Proses Stokastik Markov adalah suatu proses stokastik dimana perilaku yang akan datang (besok) dari sistem hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak bergantung pada keadaan yang lalu, atau dapat dikatakan hanya bergantung pada keadaan satu langkah kebelakang.
LANJUTAN…….
Definisi : Suatu proses stokastik dengan waktu diskrit pada state space S dikatakan dikatakan mempunyai sifat Markov atau Rantai Markov Waktu Diskrit ( DTMC ) jika : atau
8. Proses Kelahiran dan Kematian Murni Proses kelahiran dan kematian murni diformulasikan sebagai Rantai Markov waktu diskrit. Probabilitas kelahiran dan kematian pada model Rantai Markov tersebut tidaklah konstan, akan tetapi bergantung pada jumlah populasi. Untuk mendefinisikan proses kelahiran dan kematian, misalkan : adalah probabilitas kelahiran adalah probabilitas kematian adalah jumlah populasi pada saat n adalah jumlah maksimal populasi
Studi Literatur
Penyelesaian model epidemik SIR deterministik dan stokastik
Mengkaji dan menginterpretasi hasil analisis
Penarikan kesimpulan
4.1 Model Epidemik SIR Dterministik dengan Jumlah Populasi Konstan 4.1.1 Model Turunan Terhadap Waktu S, I, dan R Model turunan terhadap waktu dari persamaan (2.1), (2.2), dan (2.3) adalah sebagai berikut : (4.1) (4.2) (4.3)
.
Titik setimbang adalah titik yang invarian terhadap waktu. Mengingat redundan karena R tidak muncul pada kedua persamaan lainnya ,maka titik setimbang diperoleh jika
Adapun dua titik setimbang tersebut adalah : Titik setimbang bebas penyakit (disease-free equilibrium)
dan titik setimbang endemik (endemic-equilibrium)
a) Linearisasi Model
Dari linerisasi diperoleh matriks Jacobian yang merupakan hampiran linearnya
b) Kestabilan Lokal Titik Setimbang bebas Penyakit
Untuk titik
diperoleh matriks Jacobian
Lanjutan… Dengan matriks karakteristik
Diperoleh akar-akar karakteristiknya Atau Sehingga titik stabil asimtotis jika
c) Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemik Untuk titik diperoleh matriks Jacobian
Dengan persamaan karakteristik
G
Diperoleh akar-akar karakteristiknya
Titik stabil asimtotis jika Sehingga diperoleh bilangan reproduksi dasar
,
Fungsi probabilitas bersama untuk Model Epidemik SIR stokastik adalah . Misalkan : a) menyatakan probabilitas sebuah infeksi baru pada waktu ∆t b) menyatakan probabilitas kesembuhan satu individu pada waktu ∆t
Lanjutan…. c) menyatakan probabilitas kematian dari satu individu terinfeksi pada waktu ∆t d)
menyatakan probabilitas kematian dari satu individu yang sembuh pada waktu ∆t Sehingga didapatkan persamaan beda yang memenuhi fungsi probabilitas bersama adalah
Pada model epidemik SIR deterministik, titik setimbang berhubungan dengan ada tidaknya individu terinfeksi di dalam populasi, sehingga selanjutnya pada model epidemik SIR stokastik dicari distribusi probabilitas individu terinfeksi. Karena diasumsikan bahwa pada waktu hanya terjadi satu kejadian maka : Untuk individu terinfeksi yaitu jika diperoleh yang yang hanya berubah ke . Jadi, probabilitas transisi dari Model Epidemik SIR stokastik untuk individu yang terinfeksi adalah :
dan probabilitas sebagai berikut:
memenuhi persamaan beda
dengan i = 1,2,....,N dan
untuk i {0,1,2,...,N}.
4.2.1 Mean Distribusi Probabilitas Individu Terinfeksi Mean distribusi probabilitas individu terinfeksi berhubungan dengan kesetimbangan pada Model Epidemik SIR stokastik. Mean distribusi probabilitas untuk individu yang terinfeksi dinotasikan dengan dimana .
.
4.2.2 Analisis Kesetimbangan Mean Distribusi Probabilitas Individu Terinfeksi Keadaan setimbang (steady state) mean distribusi probabilitas individu terinfeksi diperoleh jika
diperoleh
atau .
a) Ketika nilai dapat disimpulkan bahwa di dalam populasi tidak terdapat individu terinfeksi atau dengan kata lain terjadi kesetimbangan bebas penyakit yang diperoleh ketika
b) Ketika nilai dapat disimpulkan bahwa nilai yang berarti bahwa terdapat individu yang terinfeksi di dalam populasi atau dengan kata lain terjadi kesetimbangan endemik yang terjadi jika Contoh kasus pada model deterministik: Setimbang bebas penyakit
Contoh Kasus pada Model Stokastik: Setimbang bebas penyakit
Setimbang endemik
Kesimpulan : a) Pada model epidemik SIR deterministik diperoleh nilai titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik . Adapun nilai bilangan reproduksi dasar, R0 , yang mempengaruhi kestabilan kedua titik setimbang tersebut adalah . b) Pada model epidemik SIR stokastik diperoleh solusi untuk keadaan setimbang mean distribusi probabilitas individu terinfeksi yakni atau .
c) Dari analisis bab sebelumnya diperoleh kesimpulan bahwa hubungan antara model epidemik SIR deterministik dan stokastik terletak pada hubungan antara bilangan reproduksi dasar (R0) pada model epidemik SIR deterministik dengan solusi keadaan setimbang (steady state) mean distribusi probabilitas individu terinfeksi pada model epidemik SIR stokastik. Saran Pada Tugas Akhir ini diteliti Model Epidemik SIR dengan jumlah populasi konstan, baik model deterministik maupun model stokastik. Diharapkan pada penelitian berikutnya diteliti model epidemik SIR atau yang lain dengan jumlah populasi yang tidak konstan serta dapat pula menambahkan adanya vaksinasi pada populasi.
Allen, L.J.S. 2003. An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology.New Jersey : Pearson Education, Inc. Allen, L.J.S. , Burgin Amy M. 2000. Comparison of Deterministic and stochastic SIS and SIR models in discrete time. Mathematical Bioscience 163(200) 1-33. Finizio, N dan Ladas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California: Wadsworth Publishing Company. Hines, W.W dan Montgomery, D.C. 1990. Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Jakarta : UI Press. Sari, D.M. 2009. Analisis Stabilitas Model SIS Epidemik Deterministik dan Mean Distribusi Probabilitas SIS Epidemik Stokastik. Surabaya : Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS. Supriatna, A.K. 2004. Tingkat Vaksinasi minimum untuk Pencegahan Epidemik Berdasarkan Model Matematika SIR. Matematika Integratif. Vol 2: 41-49.
TERIMA KASIH
