TUGAS AKHIR KAJIAN SKEMA BEDA HINGGA TAK-STANDAR DARI TIPE PREDICTOR-CORRECTOR UNTUK MODEL EPIDEMIK SIR STUDY OF A NONSTANDARD SCHEME OF PREDICTORCORRECTOR TYPE FOR EPIDEMIC MODELS SIR Oleh:Anisa Febriana (1208100056) Dosen Pembimbing: Drs. Lukman Hanafi, M.Sc Drs. M. Setijo Winarko, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2012
LATAR BELAKANG Stabilitas dari model epidemik SIR hilang ketika ukuran langkah waktu meningkat
Penyelesaian diskrit yang konsisten secara dinamik dengan penyelesaian kontinu dari model epidemik SIR
Skema numerik yang dapat digunakan ketika ukuran langkah waktu meningkat
Skema Beda Hingga Tak-Standar dari
Predictor-corrector
Memenuhi sifat stabilitas model epidemik
RUMUSAN MASALAH 1.
2.
3.
Bagaimana mendapatkan persamaan beda hingga tak-standar dari model epidemik SIR yang dapat memenuhi stabilitas lokal dari model epidemik SIR. Bagaimana menginterpretasikan hasil diskritisasi dari model epidemik SIR dengan metode skema beda hingga tak-standar menggunakan MATLAB Bagaimana mengintrepetasikan perbandingan antara skema beda hingga tak-standar dengan skema Runge-Kutta menggunakan MATLAB.
BATASAN MASALAH 1. 2.
Pada Tugas Akhir ini dianalisis model epidemik SIR telah memiliki kekebalan Total populasi kostan
TUJUAN 1.
2.
3.
Mendapatkan persamaan beda hingga tak-standar dari model epidemik SIR yang dapat memenuhi stabilitas lokal dari model epidemik SIR. Menginterpretasikan hasil diskritisasi dari model epidemik SIR dengan metode skema beda hingga tak-standar menggunakan MATLAB. Mengintrepetasikan perbandingan antara skema beda hingga takstandar dengan skema Runge-Kutta menggunakan MATLAB
MANFAAT Memperkenalkan skema beda hingga tidak standar dari tipe predictor-corrector untuk model epidemik SIR dan dapat dijadikan referensi bagi peneliti maupun pihak yang bergerak dibidang biologi untuk tetap memenuhi sifat stabilitas dari model epidemik SIR untuk ukuran langkah waktu lebih besar.
TINJAUAN PUSTAKA • Model
Epidemik SIR
Model epidemik klasik adalah model SIR dengan dinamika penting (kelahiran dan kematian) yang diberikan oleh [2]:
dengan S,I,R adalah variable penyebaran penyakit yang masing-masing menyatakan: S: Populasi individu susceptible yaitu individu yang rentan terhadap penyakit. I :Populasi individu infected yang terjangkit dan dapat menularkan penyakit R :Populasi individu recovered yaitu individu yang sembuh :Koefisien transmisi yang merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit : Laju kematian alami dan diasumsikan sama dengan laju kelahiran : Laju individu infected menjadi recovered. N: Total populasi
TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…)
•TITIK KESETIMBANGAN Pandang persamaan diferensial
Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (2.2) jika memenuhi dan . Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan adalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaaan (2.2) untuk semua .
TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…) • Stabil Asimtotik Lokal Teorema Ttitik setimbang matriks dengan
stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik
Mempunyai tanda negatif pada bagian real-nya dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian realnya.
TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…) • Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung di dalam populasi susceptible. Jika model memiliki dua titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titk kestetimbangan endemik, maka tidak terjadi endemik jika dan terjadi endemik jika
TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…) • Skema Beda Hingga Tak-Standar Metodologi SBHTS didasarkan pada dua prinsip yaitu:
TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…) • Predictor- Corrector Integrasi numerik dengan metode predictor-corrector didasarkan pada interpolasi polynomial di titik dan dinyatakan sebagai berikut: (2.8) Dengan :variabel bebas : variabel tidak bebas Secara umum itersai akan menghasilkan persamaan berikut: (2.9)
TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…) • Metode Runge-Kutta Metode Runge-Kutta dapat digunakan untuk menunukkan keefektifitasan dari skema beda hingga tak-standar dari tipe predictor-corrector. Integrasi numerik dengan metode Runge-Kutta dinyatakan sebagai berikut: (2.10) dengan:
TINJAUAN PUSTAKA (lanjutan…) • Sistem Dinamik Diskrit
METODE PENELITIAN 1. 2. 3. 4. 5.
Studi Literatur Kajian Model Epidemik SIR Pembentukan Skema Beda Hingga Tak-Standar Analisa dan Pembahasan Kesimpulan dan saran
PEMBAHASAN •Deskripsi Model dan Asumsi 1. Populasi Susceptible yakni, besarnya laju populasi yang rentan dipengaruhi oleh jumlah populasi yang lahir dan akan menurun dengan adanya laju kematian alami dan populasi yang terinfeksi (4.1) 2. Populasi Infected yakni besarnya laju populasi yang terinfeksi dipengaruhi oleh laju populasi yang terinfeksi dan akan menurun dengan adanya populasi yang sembuh serta laju kematian alami (4.2) 3. Populasi Recovered yakni, besarnya laju populasi yang sembuh dipengaruhi oleh laju kesembuhan dari populasi yang terinfeksi dan akan menurun dengan adanya laju kematian alami (4.3)
PEMBAHASAN
Untuk memudahkan persamaan (4.1)-(4.3) diatas ditulis dengan menggunakan ukuran skala proporsi Sehingga diperoleh (4.4) (4.5) (4.6)
PEMBAHASAN • Skema Beda Hingga Tak-Standar dari model SIR
PEMBAHASAN Lanjutan…
( (4.7) (4.8) (4.9)
PEMBAHASAN • Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Titik kesetimbangan bebas penyakit (disease free equilibrium) adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi didapatkan pada saat
yakni suatu keadaan dimana tidak terjadi infeksi/penularan pada
populasi. Dengan mengambil
,
diperoleh
atau
Subtitusikan
ke persamaan
dan
pada persamaan (4.4)-(4.6) maka
dan
didapatkan
titik ini disebut titik kesetimbangan bebas penyakit.
PEMBAHASAN Lanjutan… Lalu untuk mendapatkan titik kesetimbangan endemik diperoleh dari didapatkan dan dipapatkan
dan
kemudian subtitusikan ke sehingga didapatkan titik kesetimbangan endemik
PEMBAHASAN • Analisis Kestabilan Persamaan (4.7) dan (4.8) digunakan untuk menganalisa kestabilan dan dituliskan kembali menjadi
(4.10) Maka matriks jacobian untuk persamaan (4.10) adalah (4.11)
PEMBAHASAN • Lanjutan… Sehingga didapatkan matriks untuk titik kesetimbangan untuk menghitung pada
Titik kesetimbangan maka diperoleh matriks Jacobian:
yang dapat digunakan
disustitusikan ke persamaan (4.11)
(4.12)
PEMBAHASAN
•
Lanjutan…
Selanjutnya akan dilakukan pengujian stabilitas dari nilai eigen yang diperoleh di pesamaan (4.12) yaitu Karena persamaan (4 .10) adalah sistem dinamik diskrit maka dikatakan stabil jika Dari kedua nilai eigen tersebut jelas bahwa penyakit untuk Stabil jika
, maka titik bebas
PEMBAHASAN • Lanjutan …. Sehingga didapatkan bilangan reproduksi dasar Dengan demikian
stabil untuk
• Analisis Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemik Disubstitusikan ke persamaan (4.11) maka diperoleh matriks Jacobian
PEMBAHASAN • Lanjutan… Untuk mengetahui dua nilai eigen dari
maka digunakan Lemma berikut:
PEMBAHASAN • Lanjutan… Untuk mengetahui dua nilai eigen dari
maka digunakan Lemma berikut:
PEMBAHASAN
• Lanjutan…
(4.13)
PEMBAHASAN • Lanjutan… (4.14)
(4.15)
PEMBAHASAN • Lanjutan… Dari persamaan (4.13)-(4.15) terlihat bahwa kondisi dari Lemma 4.1 trepenuhi. Maka nilai eigen dari kurang dari satu, terlepas dari ukuran h,dan skema (4.7)-(4.9) konvergen ke titik kesetimbangan endemik ketika
• Skema Beda Hingga Tak-Standar Dari Predictorcorrector (P-C) Diskritisasi model epidemik SIR yang telah didapatkan pada persamaan (4.7)-(4.9) digunakan sebagai skema predictor yaitu:
(4.16)
PEMBAHASAN • Lanjutan… Untuk mempercepat konvergensi dari skema beda hinga tak-standar dari predictor-corrector ditambahkan persamaan didapatkan persamaan:
Untuk I dan R didapatkan:
dengan
. Maka
PEMBAHASAN
• Simulasi
• h kecil sistem stabil
• h kecil sistem stabil
PEMBAHASAN • Lanjutan…
• h besar sistem tidak stabil •Jumlah populasi infected negatif (tidak mungkin)
• h besar sistem stabil •Jumlah populasi infected menjadi stabil menjelang bulan ke 6
KESIMPULAN
SARAN Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai kemungkinan yang besar dan model yang dibahas hanyalah model tipe SIR saja. Selain itu juga hanya dibandingkan dengan Runge-kutta. Diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat dibandingkan dengan metode yang lain.
DAFTAR PUSTAKA [1] Eka Sarrayu, A.(2010)”Penyelesaian Numerik Dan Analisis Perilaku Model Epdemik Tipe SIR Dengan Vaksinasi Untuk Penceegahan Penularan Penyakit”. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [2] Ronald E. Mickens.(2010).“A Nonstandard Numerical Scheme Of PredictorCorrector Type For Epidemic Models”.Computer and Mathematics with Applications Vol 59. Hal 3740-3749. [3] Dobromir T. Dimitrov, Hristo V. Kojouharov.(2006).” Positive And Elementary Stable Nonstandard Numerical Methods With Applications To Predator-Prey Models”.Journal of Computational and Applied Mathematics Vol 1-2. Hal 98-108. [4] R.E. Mickens. (2007).”Numerical Integration Of Population Models Satisfying Conservation Laws: NSFDMethods”.Journal of Biological Dynamics Vol4.Hal .427436. [5] Barbarossa Maria. (2011).” Stability of discrete dynamical systems”.
DAFTAR PUSTAKA [6] F. Brauer, C. Castillo-Chavez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, Springer-Verlag, 2001. [7] R.E. Mickens. (2005).” Dynamic Consistency: A Fundamental Principle For Constructing Nonstandard Finite Difference Schemes For Differential Equations”.Journal of Difference Equations and Applications Vol 7.Hal.645-653. [8] R.E. Mickens.(2000).”Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes”.World Scientific.Hal 1-7 [9] W. Piyawong, E.H. Twizell, A.B. Gumel. (2003).”An Unconditionally Convergent Finite-Difference Scheme For The SIR Model. Applied Mathematics and Computation Vol 146. Hal.611-625.
