APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)
Skripsi
Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh Chandra Nugroho Erlangga NIM 12305141035
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2016
PERSETUJUAN
Skripsi yang berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU
DISKRIT
BLACK-DERMAN-TOY
DENGAN
FORWARD-
INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)” yang disusun oleh Chandra Nugroho Erlangga, NIM 12305141035 ini telah disetujui oleh pembimbing untuk diujikan.
Yogyakarta, 20 Juni 2016 Dosen Pembimbing
Rosita Kusumawati, M.Sc NIP. 19800707 200501 2 001
i
PENGESAHAN
Skripsi yang berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU
DISKRIT
BLACK-DERMAN-TOY
DENGAN
FORWARD-
INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)” yang disusun oleh Chandra Nugroho Erlangga, NIM 12305141035 ini telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 27 Juni 2016 dan dinyatakan lulus.
DEWAN PENGUJI Nama Rosita Kusumawati, M.Sc. NIP.19800707 200501 2 001 Nikenasih Binatari, M.Si. NIP.19841019 200812 2 005 Mathilda Susanti, M.Si. NIP.19640314 198901 2 001 Retno Subekti, M.Sc. NIP. 19811116 200501 2 002
Jabatan
Tanda Tangan
Tanggal
Ketua Penguji
............
............
............
............
............
............
............
............
Sekretaris Penguji Penguji I (Utama) Penguji II (Pendamping)
Yogyakarta, Juli 2016 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Dekan,
Dr. Hartono NIP. 19620329 198702 1 002
ii
PERNYATAAN Yang bertanda tangan di bawah ini, saya: Nama
: Chandra Nugroho Erlangga
NIM
: 12305141035
Program Studi : Matematika Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Judul Skripsi : APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARDINDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT), menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri dan sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim. Apabila ternyata terbukti pernyataan saya ini tidak benar, maka sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya, dan saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan yang berlaku. Yogyakarta, 20 Juni 2016 Yang menyatakan
Chandra Nugroho Erlangga NIM. 12305141035
iii
MOTTO
“Jesus answered and said unto him, What I do thou knowest not now; but thou shalt know hereafter” (KJV Bible, John 13: 7) “You cannot say to the sun ‘More sun’, or to the rain ‘Less rain’.” (Chiyo Sakamoto/Sayuri Nitta, Memoirs of a Geisha) “Things you take for granted someone else is praying for.” (Marlan Rico Lee) “If you do not value your own time, please value others’. You do not know how much time they have left.” (CNE)
iv
PERSEMBAHAN
Skripsi ini saya persembahkan untuk:
Indonesia, atas kesempatan berkuliah yang amat berharga.
Mama Ester Rini Lestari, Om Adhi, Papa Titus Erlinta dan Ibu serta Keluarga: Adik-adikku Indra, Michael, Jocelyn dan Harry, dan Eyang Kakung Petrus H. Sukamto.
Sepuluh perempuan paling berharga dalam hidup: Mei, Arvi, Asnay, Devie, Fitri, Triyanti, Seli, Izza, Dela dan Chen Wanzhen.
Heny Setyawan dan Rifki Chandra Utama.
Seluruh keluarga Matematika Subsidi 2012.
Seluruh keluarga Tutor Bahasa Indonesia untuk Penutur Asing, kelas Guangdong University of Foreign Studies.
Seluruh keluarga KKN 1041.
v
APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY DENGAN FORWARD-INDUCTION DALAM PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT) Oleh: Chandra Nugroho Erlangga 12305141035 ABSTRAK Anuitas merupakan salah satu jenis produk keuangan yang menjadi dasar berbagai instrumen keuangan. Variabel utama yang digunakan dalam penghitungan anuitas adalah tingkat suku bunga. Tingkat suku bunga besarnya berubah-ubah dan pergerakannya cepat sehingga pelaporannya dilakukan setiap hari. Pada kenyataannya penghitungan anuitas masih sering menggunakan tingkat suku bunga deterministik dibandingkan tingkat suku bunga stokastik. Anuitas dengan suku bunga stokastik yang dihitung dengan suku bunga sesaat model Black-Derman-Toy menggunakan metode forward-induction akan disusun. Model Black-Derman-Toy merupakan model suku bunga stokastik waktu diskrit yang memanfaatkan tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil dari obligasi tanpa kupon untuk menyusun pohon suku bunga sesaat. Pembangunan model ini menerapkan teori-teori dari bidang teori peluang, proses stokastik, matematika keuangan dan finansial derivatif. Data obligasi tanpa kupon yang digunakan di dalam skripsi ini adalah data United States Treasury Zero Coupon Yield Rate periode 1 Januari 2010 - 31 Desember 2010, yang terdiri dari tingkat imbal hasil untuk waktu jatuh tempo 1-5 tahun pada 252 hari kerja. Pohon suku bunga sesaat yang dihasilkan ternyata tidak memenuhi sifat-sifat dasar pohon suku bunga sesaat yang seharusnya. Kemudian dicari rerata tingkat imbal hasil di semua waktu jatuh tempo. Hal yang sama dilakukan pada volatilitas imbal hasil, sehingga menghasilkan satu tingkat imbal hasil dan satu volatilitas imbal hasil untuk semua waktu jatuh tempo. Pohon suku bunga sesaat yang dihasilkan dari tingkat imbal hasil dan volatilitas imbal hasil baru memenuhi kriteria yang disyaratkan di awal. Lintasan-lintasan dibuat untuk mengaplikasikan model suku bunga stokastik ke penghitungan anuitas. Selisih nilai anuitas dengan suku bunga stokastik dan suku bunga aktual menghasilkan nilai MAPE dan MSE sebesar 1,2147% dan 0,004358 untuk nilai sekarang anuitas dan 1,3655%dan 0.007974 untuk nilai masa depan anuitas. Kata kunci: Black-Derman-Toy, suku bunga stokastik, anuitas, forward-induction
vi
KATA PENGANTAR
Ucapan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yesus Kristus, karena berkat anugerah dan kasih karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “APLIKASI MODEL SUKU BUNGA STOKASTIK WAKTU DISKRIT BLACK-DERMAN-TOY
DENGAN
FORWARD-INDUCTION
DALAM
PENGHITUNGAN ANUITAS (STUDI KASUS: TINGKAT SUKU BUNGA DI AMERIKA SERIKAT)”. Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Yogyakarta. Penulisan skripsi ini dapat diselesaikan dengan bantuan berbagai pihak. Oleh karenanya, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menyelesaikan studi. 2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika yang telah
memberikan
kelancaran
dalam
pelayanan
akademik
untuk
menyelesaikan studi. 3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah memberikan bimbingan, arahan juga kemudahan dalam urusan akademik. 4. Bapak Emut, M.Si selaku Pembimbing Akademik yang telah memberikan arahan dan bimbingan penulis selama menjalani studi.
vii
5. Ibu Rosita Kusumawati, M.Sc selaku Pembimbing Tugas Akhir yang telah rela dan sabar meluangkan waktu, ilmu dan tenaga demi membimbing, memberikan arahan dan motivasi bagi penulis untuk menyelesaikan studi. 6. Seluruh dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan
arahan, motivasi, dan ilmu yang
berharga. 7. Seluruh pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan dalam penulisan skripsi ini. Penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari sempurna dan banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik dalam penyempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat tidak hanya bagi penulis tetapi bagi semua yang membacanya
Yogyakarta, 20 Juni 2016 Penulis
Chandra Nugroho Erlangga
viii
DAFTAR ISI PERSETUJUAN ...................................................................................................... i PENGESAHAN ...................................................................................................... ii PERNYATAAN..................................................................................................... iii MOTTO ................................................................................................................. iv PERSEMBAHAN ................................................................................................... v ABSTRAK ............................................................................................................. vi KATA PENGANTAR .......................................................................................... vii DAFTAR ISI .......................................................................................................... ix DAFTAR TABEL .................................................................................................. xi DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................... xii BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1 A. Latar Belakang ............................................................................................. 1 B. Batasan Masalah........................................................................................... 4 C. Rumusan Masalah ........................................................................................ 5 D. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 5 E. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 6 BAB II KAJIAN PUSTAKA .................................................................................. 7 A. Peluang dan Peubah Acak ............................................................................ 7 B. Fungsi Peluang Binomial ........................................................................... 15 C. Proses Stokastik ......................................................................................... 18 D. Martingale .................................................................................................. 19 E. Bunga dan Anuitas ..................................................................................... 20 F.
Obligasi Tanpa Kupon ............................................................................... 27
G. Model Black-Derman-Toy dengan Teknik Forward-Induction ................ 29 H. Pengukuran Galat ....................................................................................... 43 BAB III PEMBAHASAN ..................................................................................... 45 A. Konsep Anuitas dengan Suku Bunga Sesaat .............................................. 45 B. Sumber dan Karakteristik Data .................................................................. 48 C. Model BDT untuk Data US Treasury Zero Coupon Yield Curve .............. 48 D. Penghitungan Anuitas ................................................................................ 51
ix
BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 58 A. Kesimpulan ................................................................................................ 58 B. Saran ........................................................................................................... 59 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 61 LAMPIRAN .......................................................................................................... 63
x
DAFTAR TABEL Tabel 1. Tabel Penyajian Suku Bunga Sesaat. ...................................................... 30 Tabel 2.Tabel penyajian kurva imbal hasil dan kurva volatilitas imbal hasil. ...... 32 Tabel 3. Tabel Kurva Imbal Hasil (Black dkk, 1990) ........................................... 40 Tabel 4. Tabel Pohon Suku Bunga Sesaat. ........................................................... 43 Tabel 5. Tabel data olahan United States Treasury Zero Coupon Yield Curve .... 48 Tabel 6. Tabel suku bunga aktual negara Amerika Serikat tahun 2010-2014 ...... 48 Tabel 7. Pohon suku bunga sesaat dari data aktual. .............................................. 50 Tabel 8. Pohon suku bunga sesaat dari data baru.................................................. 51 Tabel 9. Tabel lintasan suku bunga sesaat. ........................................................... 52 Tabel 10. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga aktual ................................ 53 Tabel 11. Nilai sekarang anuitas dengan suku bunga stokastik ............................ 54 Tabel 12. Selisih nilai sekarang anuitas suku bunga aktual dan stokastik ............ 55 Tabel 13. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga aktual ............................ 56 Tabel 14. Nilai masa depan anuitas dengan suku bunga stokastik ....................... 56 Tabel 15. Selisih nilai masa depan anuitas suku bunga aktual dan stokastik ....... 57
xi
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1.Data United States Treasury Zero Coupon Yield Curve ................... 64 Lampiran 2.Script Program R Model Suku Bunga Sesaat Black-Derman-Toy.... 65 Lampiran 3. Output Program R I .......................................................................... 68 Lampiran 4 Output Program R II .......................................................................... 69
xii
