KONSEP FREKUENSI SINYAL WAKTU KUNTINYU & WAKTU DISKRIT

KONSEP FREKUENSI SINYAL WAKTU KUNTINYU & WAKTU DISKRIT

Sinyal Sinusoidal Waktu Kontinyu T=1/F A A cos  0

t

Sinyal dasar Eksponensial dng α imajiner

X a  Ae

j  t  

X a  A cos 2Ft      t   Ω = 2πF adalah frekuensi dalam rad/s F = frekuensi dalam putaran per detik (Hz) A= Amplitudo sinusoida θ = fase dalam radian

Sinyal Sinusoida Waktu-Diskrit A

0

n -A

X n   A cosn   

  n  

Dimana ω = 2πf   frekuensi ( radian / cuplikan ) f = putaran per cuplikan

  phasa(radian)

Typical real time DSP System x(n)

x(t) Input filter

ADC with sample & hold

y(n) Digital Prosesor

y(t) DAC

Output filter

Analog to Digital converter xa t  Pencuplikan

xn 

Kuantisasi

xa t 

Sinyal Analog

Sinyal Waktu Diskrit

xq n 

01011….. Pengkodeaan xn 

Sinyal Terkuantisasi

Sinyal Digital

Proses Analog to Digital Conversion LPF

Sample & Hold

Quantizer 2B

X(t) Analog input

F

Encoder Logic Circuit

X(n) Digital output code

Tiga tipe identifikasi : • Sinyal input analog : Sinyal kontinyu dalam fungsi waktu dan amplitudo. • Sinyal di-sample : Amplitudo Sinyal kontinyu didefinisikan sebagai titik diskrit dalam waktu. • Sinyal digital : dimana x(n),untuk n=0,1,2,…….Sinyal dalam sumbu titik diskrit dalam waktu dan masing-masing titik akan dihasilkan nilai 2B.

Proses Konversi Analog ke Digital 1. Pencuplikan ( Sampling) : konversi sinyal analog ke dalam sinyal amplitudo kontinyu waktu diskrit. 2. Kuantisasi : konversi masing-masing amplitudo kontinyu waktu diskrit dari sinyal sampel dikuantisasi dalam level 2B , dimana B adalah jumlah bit yang digunakan dalam Analog to Digital Conversion (ADC). 3. Pengkodean : Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit.

Pencuplikan Sinyal Analog Pencuplikan periodik atau seragam: x(n)=xa(nT), Sinyal analog

-~< n< ~

Xa(t)

Xa(t)

Fs=1/T, t=nT=n/Fs

X(n)=Xa(nT) Sinyal waktu diskrit

Fs=1/T

Pencuplikan X(n)

Xa(t) X(n)=Xa(nT)

0

t

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

Sinyal Sinusoida analog : Xa(t) = A Cos (2Ft +  ) Pencuplikan periodik dengan laju Fs=1/T (cuplikan per sekon ) :

X a nT   X n   ACos2FnT     2nF  X n   ACos    Fs 

Hubungan frekuensi (F) sinyal analog dan frekuensi (f) untuk sinyal diskrit: f =F/Fs ekuivalen :  = T f = Frekuensi relatif atau ternormalisasi


Hubungan Variabel Frekuensi Sinyal waktu kontinu

Sinyal waktu diskrit

 = 2F (Rad/sekon)

 = 2f  =T, f = F/Fs

(Rad/cuplikan)

- ≤  ≤  -1/2 ≤ f ≤ 1/2

<< ~
 = /T , F = f.Fs

- /T ≤  ≤ /T - Fs/2 ≤ F ≤ Fs/2

Pemakaian hubungan-hubungan frekuensi dicontohkan dengan dua sinyal analog berikut : X1(t) = cos 20πt X2(t) = cos 100πt a. Tentukan frekuensi kedua sinyal tersebut. b. Tentukan fungsi sinyal diskrit bila dicuplik dengan laju Fs = 40 Hz Note:

cos (2π ± a) = cos a sin (2π + a) = sin a sin (2π - a) = -sin a

x1 ( t )  cos[2(10) t ]  F1  10 Hz x 2 ( t )  cos[2(50) t ]  F2  50 Hz Fs  40 Hz   10  x1 (n )  cos[2 n ]  cos( n ) 2  40  5  50  x 2 (n )  cos[2 n ]  cos( n ) 2  40      cos(2  )n  cos(2n  n )  cos( n )  x1 (n ) 2 2 2 x2(n) identik dengan x1(n)

F2 (50 Hz) = alias dari F1(10 Hz)

90 Hz, 130 Hz, …. juga alias 10 Hz

TEOREMA PENCUPLIKAN ( SAMPLING ) Sinyal Analog : Xa(t) dapat diperoleh kembali dari nilai cuplikan dengan fungsi interpolasi :

 n X a t    X a  n    Fs 

  n g  t     Fs 

sin 2Bt dimana :Fmax = B, Laju cuplikan Fs > 2Fmax  (2B), g t   2Bt Jika Xa(n/Fs) = Xa(nT)  X(n), cuplikan minimum Fs = 2B, maka:

 n  sin 2Bt  n / 2 B  X a t    X a    2 B  2Bt  n / 2 B  n   

Laju pencuplikan : FN = 2B = 2Fmax = Laju Nyquist

Syarat Nyquist untuk menjamin bahwa seluruh komponen sinusoida sinyal analog menjadi sinyal diskrit adalah Fs ≥ 2 Fmax(analog) Apabila tidak terpenuhi maka akan terjadi aliasing.

Frekuensi Alias Misal ada 2 sinal analog : x1(t) = A sin 2 (10) t x2(t) = A sin 2 (50) t Kedua sinyal dicuplik dengan laju Fs = 40 Hz, sehingga sinyal digital (waktu-diskrit) masing-masing: x1(n) = A sin 2 (10/40)n = sin (/2) n x2(n) = A sin 2 (50/40)n = sin (5/2) n

Karena : sin (5/2) n = sin (2n + n/2 ) = sin n/2 Maka : Sinyal analog pers (a) dan (b) setelah dicuplik dgn frekuensi Fs = 40 Hz akan menghasilkan digital yg sama, sehingga frekuensi sinyal analog x2(t) merupakan alias dari x1(t), jadi frekuensi alias terjadi jika : Fk = F0 + k Fs Dengan : k = ±1,±2, … Fk = frekuensi sinyal analog ke k F0 = frekuensi sinyal analog ke dasar Fs = frekuensi sampling

Ilustrasi Pengaliasan pencuplikan yang sama pada 2 sinyal dengan frekuensi berbeda.

1 7 Hz F1   Hz F s  1 Hz 8 8 7 1 F1    (  1 )  F 2  kF s k  1 8 8 F2 

Contoh Dari sinyal analog berikut, Xa(t)= 3 cos 100πt a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan. b) Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=200Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan. c) Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=75Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan. d) Berdasarkan hasil sinyal diskrit soal c, Berapa frekuensi dan fungsi dari sinyal sinusoidal berdasar hasil cuplikan Fs=75 Hz.

Penyelesaian: a)

F = 50 Hz dengan Fs minimum = 100 Hz

100  n  3 cos n b) x (n )  3 cos 200 2 100 4 2 2 x ( n )  3 cos n  3 cos n  3 cos( 2   ) n  3 cos( )n c) 75 3 3 3 2 1 1 d) x(n)  3 cos( )n  3 cos(2 )n f  3 3 3 Fo 1 f  Fo  f Fs  (75)  25 Hz 3 Fs

Fk  Fo  kFs  25  k (75) k  1,  2,  Fs 75 0 F    37,5 2 2

F  Fo  25 Hz

Contoh Sinyal Analog : Xa(t) = 3 cos 2000t + 5 sin 6000t + 10 cos 12000t a) Berapa laju Nyquist ? b) Jika laju pencuplikan Fs = 5000 cuplikan/detik. Berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh setelah pencuplikan? c) Berapa sinyal analog yang dapat dibentuk ulang dengan Fs=5000cuplikan/detik

Penyelesaian: a) F1  1 kHz

F2  3 kHz

B  Fmaks  6 kHz

b)

F3  6 kHz FN  2 B  12 kHz

2000 6000 12000 n  5 sin n  10 cos n 5000 5000 5000 1 3 6  3 cos(2 )n  5 sin( 2 )n  10 cos(2 )n 5 5 5

x(n)  3 cos

1 2 1 x(n)  3 cos[2 ( )n]  5 sin[ 2 (1  )n]  10 cos[2 (1  )n] 5 5 5 1 2 1 x(n)  3 cos[2 ( )n]  5 sin[2 ( )n]  10 cos[2 ( )n] 5 5 5 1 2 1 x(n)  3 cos[2 ( )n]  5 sin[ 2 ( )n]  10 cos[2 ( )n] 5 5 5 1 2 x(n)  13 cos[2 ( )n]  5 sin[ 2 ( )n] 5 5

c) ya (t )  13 cos(2000 t )  5 sin( 4000 t )

Kuantisasi Sinyal Amplitudo-Kontinyu KUANTISASI : Proses pengkonversian suatu sinyal amplitudo-kontinu waktu diskrit menjadi sinyal digital dengan menyatakan setiap nilai cuplikan sebagai suatu angka digit, dinyatakan dengan :

X q n   QX n  X(n) merupakan hasil pencuplikan, Q[X(n)] merupakan proses kuantisasi Xq( n) merupakan deret cuplikan terkuantisasi 22

 Pada sinyal digital, sinyal diskrit hasil proses sampling diolah lebih lanjut. Sinyal hasil sampling dibandingkan dengan beberapa nilai threshold tertentu sesuai dengan level-level digital yang dikehendaki.  Apabila suatu nilai sampel yang didapatkan memiliki nilai yang lebih tinggi dari sebuah threshold, maka nilai digitalnya ditetapkan mengikuti nilai integer diatasnya, tetapi apabila nilainya lebih rendah dari threshold ditetapkan nilainya mengikuti nilai integer dibawahnya. Proses ini dikenal sebagai kuantisasi dalan ADC.

KESALAHAN KUANTISASI (Error Kuantisasi eq(n) ) 

Diperoleh dari kesalahan yang ditampilkan oleh sinyal bernilai kontinu dengan himpunan tingkat nilai diskrit berhingga.



Secara matematis, merupakan deret dari selisih nilai terkuantisasi dengan nilai cuplikan yang sebenarnya. eq(n) = Xq (n) – X (n)

KUANTISASI SINYAL SINUSOIDA

Diskritsasi amplitudo

Sampel analog Aslinya Xa(t)

4 3 Amplitudo

Diskritsasi waktu

Tingkat kuantisasi

Sampel Terkuantisasi

2 

Langkah  kuantisasi

0 -

Cuplikan Terkuantisasi Xq(nT)

-2

Interval Pengkuanti sasi

-3 -4 0

T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

8T

9T

t

1,0

X(n)=0,9n

Xa(t)=0,9t

0,8 0,6 0,4 0,2 1

0

2

4

5

6

7

T

8

n Tingk. Kuantisasi

T=1s

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

3

Xa(t)=0,9t

Xq(n)

L=jml tingkatan kuantisasi 

Langkah kuantisasi

X max  X min  L 1 1

2

3

4

5

6

7

8

n

Tabel Ilustrasi Numerik kuantisasi dengan 1 digit n

X(n) Sinyal diskrit

Xq(n) (bulat ke bawah)

Xq(n) eq(n)=Xq(n)-X(n) (bulat ke atas) (bulat ke atas)

0

1

1.0

1.0

0.0

1 2

0.9 0.81

0.9 0.8

0.9 0.8

0.0 -0.01

3

0.729

0.7

0.7

-0.029

4

0.6561

0.6

0.7

0.439

5

0.59049

0.5

0.6

0.00951

6

0.531441

0.5

0.5

-0.031441

7

0.4782969

0.4

0.5

0.021031

8

0.43046721

0.4

0.4

-0.03046721

9

0.387420489

0.3

0.4

0.012579511

Persamaan Sinyal Sinusoida analog :

X a t   A cos  0t

Daya Kesalahan Kuadrat Rata-rata Pq 

1 2 Pq   e q t dt  0 Karena :

eq t    / 2 t , dim ana    t   

, maka :

2

1  2 2 Pq     t dt   0  2  12



menunjukkan waktu Xa(t) berada dalam tingkatan kuantisasi Jika Pengkuantisasian b bit dan interval keseluruhan 2A, maka langkah kuantisasi :  = 2A/2b.

Pq

A2 /3  2 2b

• Daya rata-rata sinyal Xa(t) :

1 Px  T

Tp

  A cos  t  0

0

2

A2 dt  2

Galat Kuantisasi Eq(t) penentu Daya Kesalahan Pq eq(t) /2



/2 - -/2

-

0



0



t

t

Signal Quantitation to Noise Ratio ( SQNR ) : nilai kualitas keluaran ADC yang ditentukan oleh Rasio daya sinyal terhadap daya kebisingan (noise).

Px 3 2b SQNR   .2 Pq 2 SQNRdB   10 log10 SQNR  1,76  6.02b

 Rumus

SQNR(dB) menunjukkan bahwa nilai ini bertambah kira-kira 6dB untuk setiap bit yang ditambahkan kepada panjang kata.  Contoh pada proses CD recorder menggunakan Fs = 44,1 Khz dan resolusi sampling 16 bit, yang menyatakan SQNR lebih dari 96 dB.  Semakin tinggi nilai SQNR --- semakin baik proses konversi dari ADC tersebut.

Pengkodean 





Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit. Sinyal digital yang dihasilkan ADC berupa bilangan basis 2 (0 dan 1). Idealnya output sinyal tersebut harus dapat merepresentasikan kuantitas sinyal analog yang diterjemahkannya. Representasi ini akan semakin baik ketika ADC semakin sensitif terhadap perubahan nilai sinyal analog yang masuk.

31





Jika nilai 0-15 volt dapat diubah menjadi digital dengan skala 1 volt, artinya rentang nilai digital yang diperoleh berupa 16 tahap (dari 0 bertahap naik 1 volt hingga nilai 15 atau setara dengan 0000 atau 1111). Tahapan sejumlah ini dapat diperoleh dengan membuat rangkaian ADC 4bit (karena jumlah bit (n) merepresentasikan 2n nilai skala, sehingga 24 =16 skala). Misal kita ingin menaikan jumlah bit menjadi 8, maka nilai 0-15 volt dapat di representasikan oleh 28 (256) skala atau setara dengan skala 62.5mV, Hasilnya rangkaian semakin sensitif terhadap perubahan sinyal analog yang terbaca. Jadi, dapat disimpulkan semakin besar jumlah bit ,maka semakin sensitif atau semakin tinggi resolusi rangkaian ADC.

RESOLUSI 



 

Adalah jumlah bit output pada ADC. Sebuah rentang sinyal analog dapat dinyatakan dalam kode bilangan digital. Sebuah sinyal analog dalam rentang 16 skala (4 bit) adalah lebih baik resolusinya dibanding membaginya dalam rentang 8 skala (3 bit). Besar resolusi sebanding 2n . Semakin besar jumlah bit , resolusi akan semakin bagus.

Contoh pada ADC 0804 

Untuk operasi normal, menggunakan Vcc = +5 Volt sebagai tegangan referensi. Dalam hal ini jangkauan masukan analog mulai dari 0 Volt sampai 5 Volt (skala penuh), karena IC ini adalah SAC 8-bit, resolusinya akan sama dengan :

 tegangan skala penuh  Resolusi    n 2 1   5 Volt   19 , 6 mVolt 255 Artinya : setiap kenaikan 1 bit, kenaikan tegangan yang dikonversi sebesar 19,6 mVolt 34

TUGAS Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 3 cos (50 t) + 10 sin(300 t) - cos (100 t) a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan b) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 100 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan c) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 200 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan