Bab 5 Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit Oleh: Tri Budi Santoso
Laboratorium Sinyal, EEPIS-ITS
Materi: Representasi matematik pada sinyal waktu diskrit, domain waktu dan frekuensi pada suatu sinyal waktu diskrit, transformasi pada sinyal waktu diskrit
Tujuan: • Siswa mampu menyelesaikan konsep dasar transformasi Fourier Waktu Diskrit • Siswa mampu membawa persoalan dari konsep sinyal waktu kontinyu menjadi sinyal waktu diskrit.
Sub Bab: 5.1. Transformasi Fourier Waktu Kontinyu 5.2. Discrete-Time Fourier Series (DTFT) 5.3. Discrete-Fourier Transform (DFT) 5.4. Komputasi DFT 5.5. Komputasi Inverse DFT 5.6. Interpretasi Hasil DFT 5.7. Hubungan DFT- Transformasi Fourier
5.1. Continues Time Fourier Transform •
Sinyal periodik waktu kontinyu f(t) dengan periode T dinyatakan sebagai bentuk weighted sum pada complex exponential: ∞ jkΩ 0 Î untuk semua nilai t (1) k k = −∞
f (t ) =
∑F e
dimana: Fk = koefisien-koefisien ekspansi
t
1 Fk = T
Ω0 = frekuensi fundamental Î Ω0 =π/T
T
∫ 0
f (t )e − jkΩ0 tdt
Lanjutan…. • •
Persamaan (1) dikenal sebagai deret Fourier eksponensial komplek Dalam terminologi deret geometri seringkali dinyatakan sebagai ∞
f (t ) = a0 + ∑ (ak cos kΩ 0t + bk sin kΩ 0t ) k =1
1 a0 = T
T
∫ f (t )dt = F
0
(3)
0
T
2 ak = ∫ f (t ) cos kΩ 0 dt = Fk + F− k T 0
(4)
T
2 bk = ∫ f (t ) sin kΩ 0 dt = (F− k − Fk ) j T 0
(5)
(2)
5.2. Discrete-Time Fourier Series (DTFT) • Untuk sinyal periodik waktu diskrit x(n) dengan periode N. Kita kenal frekuensi digital 0 ~ 2π. Ekspansinya dinyatakan dalam:
1 x ( n) = N
N −1
∑ X ( k )e
jkω 0 n
(6)
k =0
N −1
X (k ) = ∑ x(n)e − jkω 0 n
(7)
k =0
Persamaan (6) dan (7) dikenal sebagai pasangan Discrete Fourier Series (DFS) Dalam hal ini ω0 = frekuensi fundamental = 2π/sampling rate = 2π/N
Lanjutan….
• Untuk N genap: x ( n)
= A(0) +
( N / 2 ) −1
∑ k =1
⎛ 2π ⎞ A(k ) cos⎜ k n⎟ + ⎝ N ⎠
( N / 2 ) −1
⎛N⎞ + A⎜ ⎟ cos πn ⎝2⎠
∑ k =1
⎛ 2π ⎞ B (k ) sin ⎜ k n⎟ ⎝ N ⎠
……….(8a)
• Untuk N ganjil: x ( n)
= A(0) +
( N −1) / 2
∑ k =1
⎛ 2π A(k ) cos⎜ k ⎝ N
⎞ n⎟ + ⎠
( N −1) / 2
∑ k =1
⎛ 2π B(k ) sin ⎜ k ⎝ N
……….(8b)
⎞ n⎟ ⎠
Lanjutan
Untuk N Genap: 1 N −1 A(0) = ∑ x(n) N n =0
(9)
2 A(k ) = N
⎛ 2π x ( n ) cos ⎜k ∑ ⎝ N n =0
⎞ n⎟ ⎠
untuk k = 1,2,..., ( N / 2 ) − 1
2 B(k ) = N
⎛ 2π x ( n ) sin ⎜k ∑ ⎝ N n =0
⎞ n⎟ ⎠
untuk k = 1,2,..., ( N / 2 ) − 1
N −1
⎛N⎞ 1 A⎜ ⎟ = ⎝2⎠ N
N −1
N −1
∑ x(n) cos πn n =0
untuk k = 1,2,..., ( N / 2 ) − 1
5.3. Discrete-Fourier Transform (DFT) •
Bisa digunakan untuk sinyal periodik dan non periodik N −1
X (k ) = ∑ x(n)e − jkω 0 n
0 ≤ k ≤ N −1
(10)
n =0
• •
Dimana ω0=2π/N Bentuk Inversnya:
1 x ( n) = N •
N −1
jkω 0 n X ( k ) e ∑
0 ≤ n ≤ N −1
n =0
Dalam terminologi (WN=e-j2π/N) dinyatakan: N −1
X (k ) = ∑ x(n)WN
0 ≤ k ≤ N −1
kn
n =0
1 x ( n) = N
N −1
∑ X (k )WN n =0
− kn
0 ≤ n ≤ N −1
(11)
Sifat-Sifat DFT •
Secara umum sama dengan sifat Transformasi Fourier waktu kontinyu.
•
Tetapi durasi untuk n dibatasi 0 s/d N-1. Maka setelah n = N-1, akan berputar kembali pada nilai n = 0.
•
Dari beberapa sifat tsb, kita bahas 4 saja, yaitu: - Sifat Linearitas - Sifat Circular Translation - Sifat Perkalian dengan Eksponensial - Sifat Circular Convolution
a. Sifat Linearitas DFT[a1x1(n)] = a1X1(k) , DFT[a2x2(n)] = a2X2(k) Maka: DFT[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1DFT[x1(n)] + a2DFT[x2(n)] = a1X1(k) + a2X2(k)
……..(12)
b. Sifat Circular Translation • •
Pada kasus translasi linearÆx(n-n0) merupakan bentuk pergeseran ke kanan. Tetapi pada kasus sinyal non-periodik (n = 0 s/d N-1), maka pergeseran terbatas sampai dengan N-1. Setelah itu kembali ke n=0Î Modulo N, maka bentuknya menjadi
7
DFT[(n-N)mod N]=WNkmX(k)
………(13)
1
N=8
6
x(n) = [x(0), x(1),……, x(N-2), x(N-1)] x((n-1)mod N) = [x(N-1), x(0),……, x(N-3), x(N-2)] …… x((n-n0)mod N) = [x(N-n0), x(N-n0+1),……., x(N- n0 -1)] …… x((n-N)mod N) = [x(0), x(1),……, x(N-2), x(N-1)]
0
5
4
2 3
c. Sifat Perkalian dengan Eksponensial Jika
DFT[x(n)] = X(k)
Maka DFT[WN-lnx(n)] =X((k-l) mod N) ………..(14)
d. Sifat Circular Convolution • Konvolusi Linear: ∞
∞
∑ x (n − k )x (k ) atau ∑ x (k )x (n − k ) F [x (n) ∗ x (n)] = X (e )X (e )
x1 (n) ∗ x2 (n) =
k = −∞
1
2
jω
1
2
1
k = −∞
1
2
jω
2
x1 (n) ∗ x2 (n) = F −1 {F [x1 (n)]⋅ F [x2 (n)]}
• Konvolusi Circular: N −1 x1 (n) ⊗ x2 (n) ∆ ∑ x1 ((n − k ) mod N )x2 (k ) k =0
N −1
= ∑ x1 (k ) x2 ((n − k ) mod N ) k =0
……….(15)
Dimana x1(n-k)mod N) merupakan versi ter-refleksi dan ter-translasi (geser) pada x1(n)
Contoh 1: • Sebuah operasi konvolusi circular dibentuk dari dua komponen x1(n)=(1,2,2,0) dan x2(n)=(0,1,2,3). Dapatkan hasil konvolusi
x(n) = x1 (n) ⊗ x2 (n) x1(n)
x2(n)
Gambar 5.1. Contoh kasus konvolusi circular
Penyelesaian: Step 1: x1(k) = (1, 2, 2, 0) x2((0-k)mod 4)= (0, 3, 2, 1) ------------- + y(0) = 0 6 4 0 = 10
Step 2: x1(k) = (1, 2, 2, 0) x2((1-k)mod 4)= (1, 0, 3, 2) ------------- + y(0) = 1 0 6 0 =7
Step 3: x1(k) = (1, 2, 2, 0) x2((2-k)mod 4)= (2, 1, 0, 3) ------------- + y(0) = 1 2 0 0 =4
Step 4: x1(k) = (1, 2, 2, 0) x2((3-k)mod 4)= (3, 2, 1, 0) ------------- + y(0) = 3 4 2 0 =9
Step 5: x1(k) = (1, 2, 2, 0) x2((0-k)mod 4)= (0, 3, 2, 1) ------------- + y(5) = 0 6 4 0 = 10
Terjadi perulangan hasil.
Hasilnya:
y (n) = x1 (n) ⊗ 4 x2 (n) = (10,7,4,9) y(n)
n Gambar 5.2. Hasil konvolusi circular
x1 (n) ⊗ N x2 (n) = IDFTN {DFTN [x1 (n)]⋅ DFTN [x2 (n)]} ……….(16)
5.4. Computation of DFT N −1
X (k ) = ∑ x(n )WNkn ; k = 0,1,....., N − 1
……(17)
n =0
{ [ ]+ j Im[W ]}
N −1
= ∑ {Re[x(n )] + j Im[x(n )]} Re W n =0
[ ]
kn N
kn N
[ ]
N −1 ⎧ N −1 kn kn ⎫ = ⎨∑ Re[x(n )]Re WN − ∑ Im[x(n )]Im WN ⎬ n =0 ⎩ n =0 ⎭
[ ]
[ ]
N −1 ⎧ N −1 kn kn ⎫ + j ⎨∑ Re[x(n )]Im WN + ∑ Im[x(n )]Re WN ⎬ n =0 ⎩ n =0 ⎭
jumlahan
perkalian
5.5. Computation of Inverse DFT ⎛ 1 ⎞ N −1 x(n) = ⎜ ⎟∑ X (k )WN− kn ⎝ N ⎠ k =0
; n = 0,1,...., N − 1 ……….(18)
5.6. Interpretation of DFT Result x(n)Î versi diskrit (tersampel) pad asinyal analog xa(t)
Frekuensi indek (tanpa satuan)
Frekuensi digital (radiant)
Frekuensi indek (tanpa satuan)
k
ωk = k2π/N
Ωk= k2π/NT ……..(19)
Contoh 2 •
Dapatkan transformasi Fourier dari sinyal cosinus yang memiliki periode eksak di dalam window yang terdapat pada sampel. Tetapkan x(n) seperti pada Gambar dibawah yang direpresentasikan sebagai x(t) = 3cos(2πt), pada t=nT. Untuk suatu n = 0~ 99, dan T=0,01.
x(t)
t
Gambar 5.3. Contoh sinyal sinus waktu kontinyu
Penyelesaian •
Didapatkan sekuen diskrit sebagai x(n) = 3cos(2πnT) = 3cos(0.02πn) untuk n =0,1,….,199. Perlu dicatat bahwa x(n) merupakan sinyal cosinus sepanjang dua periode.
x(n)
n
Gambar 5.4. Contoh sinyal sinus waktu diskrit
• Bagian real XR(k) dan imajiner XI(k) dapat dihitung dari persamaan (11). N −1
X ( k ) = ∑ x ( n)e
− jkω 0 n
0 ≤ k ≤ N −1
n =0
N −1
X (k ) = ∑ (3 cos(0,02πn ))(cos(kω 0 n ) − j sin (kω 0 n )) n =0
Hasilnya seperti pada gambar berikut…
Bagian Real XR(k)
k 2
m
Indek Freq Digital (rad/det)
100
ωk
Freq Digital (rad)
Ωk
Freq Analog (rad/det)
0,02π
2πm/200
π
2π
mπ
100π
Gambar 5.5. Bagian real hasil transformasi sinyal sinus
Bagian Imaginer
Semua bernilai 0, atau mendekati 0
Gambar 5.6. Bagian imajiner hasil transformasi sinyal sinus
Keterangan Perhatikan pada bagian Real, ada dua nilai muncul yaitu pada indek frekuensi (2) dan (N-2 =198). Masing-masing dengan nilai 300. Ini merepresentasikan (AN/2), dimana: - A=3Î amplitudo - N = 300 Î jumlah sampel yang digunakan Karena struktur sampling, frekuensi indek 2 berkaitan secara tepat dengan penuh pada gelombang cosinus.
Contoh 3 •
Gambarkan magnitudo pada DFT 64 titik pada x(n) = (1/32) sin (0,2πn). Dengan nilai n=0,1,…,63
Gambar 5.7. Sinyal sinus diskrit pada contoh 3
Penyelesaian X(k) = XR(k) + XI(k) Magnitudonya:
X (k ) =
X R (k ) X R (k ) + X I (k ) X I (k )
Seperti terlihat pada gambar sebelumnya, dengan persamaan tersebut terjadi 6,4 gelombang sinus. Jika gelombang sinus tepat pada 1 periode penuh, |X(k)| akan memiliki nilai (AN/2), sehingga:
AN ⎛ 1 ⎞⎛ 64 ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = 1 2 ⎝ 32 ⎠⎝ 2 ⎠ Tetapi ternyata hasilnya sedikit berbeda, yaitu nilai maksimum terjadi pada n=6, dan bernilai < 1.
k=6 Gambar 5.7. Hasil transformasi fourier sinyal sinus diskrit contoh 3
5.7. Hubungan DFT-Fourier Transform • Transformasi Fourier
( ) ∑ x(n )e ∞
X e jω =
n = −∞
− jωn
N −1
= ∑ x(n )e − jωn n =0
• Discrete Fourier Transform N −1
X (k ) = ∑ x(n )e − j (2πk / N ) n =0
k = 0,1,..., N − 1
Sinyal Tersampel dan Transformasi Fouriernya
Gambar 5.8. Sinyal persegi tersampel (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)
Zero Padding |8 titik DFT| dengan tambahan 4 zero pada x(n)
Hasil DFT
Gambar 5.9. Sinyal persegi dengan 4 zero padding (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)
|16 titik DFT| dengan tambahan 12 zero pada x(n)
Hasil DFT
Gambar 5.10. Sinyal persegi dengan 12 zero padding (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)
|64 titik DFT| dengan tambahan 60 zero pada x(n)
Hasil DFT
Gambar 5.11. Sinyal persegi dengan 60 zero padding (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)
Contoh Lain DFT pada Sinyal Sinus x(n) = (1/64)*(sin(2*pi*n/64) + (1/3)*sin(2*pi*15*n/64))
Gambar 5.12. Sinyal sinus beragam frekuensi (atas) dan hasil transformasi Fouriernya (bawah)
Soal Latihan 1.
Dapatkan bentuk transformasi Fourier (DFT)10-point untuk sinyal waktu diskrit berikut ini:
⎧1 a) x[n] = ⎨ ⎩0
b) x[n] = 1
;n = 0 ; n = 1,2,......,9
; n = 1,2,......,9
⎧1 c) x[n] = ⎨ ⎩0
;n = 4 ;n ≠ 4
d ) x[n] = e j 2πn 5
; n = 0,1,2,......,9
2. Dapatkan bentuk invers Transformasi Fourier (IDFT) 10-point untuk sinyal berikut ini:
⎧1 a ) X a [k ] = ⎨ ⎩0
b) X b [k ] = 1
⎧1 c) X c [k ] = ⎨ ⎩0
;k = 0 ; k = 1,2,......9
; k = 0,1,2,......,9
; k = 3,7 ; k = 0,1,2,4,5,6,8,9
d ) X d [k ] = cos(2πk / 5)
; k = 0,1,2,......,9
3. Sebuah sinyal waktu diskrit dinyatakan dalam bentuk komplek berikut ini
x1 [n] = e j (2πk / N )n
; n = 0,1,2,.....N − 1
Dapatkan bentuk transformasi Fourier waktu diskrit (DFT) dari x[n] sebanyak N-titik
4. Sebuah sinyal waktu diskrit tersusun dari fungsi sinusioda: x2[n]=cos(2πkn/N) Dapatkan bentuknya dalam domain frekuensi N-titik 5. Buatlah sebuah program visualisasi dengan Matlab untuk domain waktu dan domain frekuensi untuk sinyal berikut ini: a) b)
x[n] = 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0 x[n] = 0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0
6. Buat visualisasi sinyal domain waktu & frekuensi sinyal ini: a). 1,1,1,1,0,0,0,……0,0
b). 1,1,1,1,0,0,0,………………….0,0
16 titik
32 titik
c). 1,1,1,1,0,0,0,………………0,0
d). 1,1,1,1,0,0,0,………………….0,0
64 titik
128 titik
7. Buat visualisasi domain waktu dan domain frekuensi untuk sinyal: a)
x[n] = sinc(2πn/10)
b)
⎧0 ⎪ x[n] = ⎨1 ⎪0 ⎩
; n = -30,-29,…..-1,0,1,……..,29,30
; n = −30,−29,....,−2,−1 ;n = 0 ; n = 1,2,..............,29,30
