Analisa Frekuensi Sinyal dan Sistem

Analisa Frekuensi Sinyal dan Sistem

    

Analisis frekuensi sinyal waktu kontinu Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit Sifat-sifat transformasi Fourier Domain frekuensi sistem LTI Sistem LTI sebagai filter

Peristiwa Dispersi

Newton (1672) Fraunhofer (1787) Kirchoff & Bunsen (1800)

Analisis Frekuensi

Cahaya tampak Cahaya bintang dan matahari Bahan kimia

Cahaya

Sinyal

Prisma

Matematical Tools

Warna

Sinyal sinusoidal

Speech

Instrument

Pitch

ECG

Software program

Denyut jantung , , 

EEG Transformasi Fourier

 Analisis frekuensi sinyal waktu

kontinu    

Deret Fourier untuk sinyal waktu kontinu periodik Power spektral density (psd) sinyal periodik Transformasi Fourier untuk sinyal kontinu aperiodik Energy spectral density (esd) sinyal aperiodik

 Deret Fourier untuk sinyal periodik 

x(t) 

c e

k  

1 ck  Tp

j2 kFo t

k

1 Fo  Tp

Tp  perioda

Tp

 x ( t )e

 j2 kFo t

dt

c k  kompleks

0

x ( t )  nyata



c k  c

c k  c k e j k

c  k  c k e  j k

* k



x ( t )  c o  2 c k cos(2kFo t   k ) k 1

cos(2kFo t   k )  cos(2kFo t ) cos  k  sin( 2kFo t ) sin  k 

x(t)  a o 

a

a o  co

a k  2 c k cos  k

x(t) 

k 1



k

cos(2kFo t )  b k sin(2kFo t )

j2 kFo t c e  k

k  

b k  2 c k sin  k

 Power spectral density (psd) dari sinyal periodik Energinya tak terbatas, dayanya terbatas

1 Px  Tp

Tp

 x(t)

2

dt 

Px  c  2 c k 2 o

ck

2

k 1

c

k  

0





2

2 k

Relasi Parseval

 1  a o2   (a 2k  b 2k ) 2 k 1

sebagai fungsi dari frekuensi F

psd

ck

c 2 c 4

2

c1

2

c3

2

-4Fo -3Fo - 3Fo -Fo

2

0

Fo

2

2Fo 3Fo 4Fo

Power spectral density dari sinyal periodik

F

Contoh Soal 1 Tentukan deret Fourier dan power spectral density dari sinyal pulsa persegi panjang di bawah ini.

x(t)

A

 Tp

  2

0

 2

t Tp

Jawab : Tp

1 co  Tp

2



1 T x (t )dt  Tp p 2

 2

A  Adt  Tp



2

Tp

1 ck  Tp

2

 Ae 

 j2 kFo t

Tp

A 1 dt  e Tp  j2kFo

  j2 kFo t 2

2

A e ck  kFo Tp

jkFo 

e j2

jkFo 

A sin(kFo )  Tp kFo 



 2

TP tetap   berubah

 tetap  TP berubah

Power spectral density :

ck

2

 A  2  ,  k0  Tp   2 2  A   sin(kFo )     , k  1,  2,      Tp   kFo  

 Transformasi Fourier untuk sinyal aperiodik x(t) 







X(F)e

j2 Ft

dF

X(F) 







x ( t )e  j2 Ft dt

 Energy spectral density (esd) dari sinyal periodik Energinya terbatas : 

Ex 

 x(t)

 2

dt 



Sxx (F)  X(F)

 X(F)

2

dF

Relasi Parseval



2

esd

Contoh Soal 2 Tentukan transformasi Fourier dan energy spectral density dari sinyal yang didefinisikan sebagai :  A, x(t)   0, 

 t  2  t  2

x(t)

A

  2

0

 2

t

Jawab :

X(F) 

 2

 Ae 

 j2 Ft

 2

sin F dt  A F

 sin F  Sxx (F)  A    F  2

2

x(t) X(F)



1 

 Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit    

Deret Fourier untuk sinyal waktu diskrit periodik Power spektral density (psd) sinyal diskrit periodik Transformasi Fourier untuk sinyal diskrit aperiodik Energy spectral density (esd) sinyal diskrit aperiodik

 Deret Fourier untuk sinyal diskrit periodik x (n  N)  x (n ) x (n ) 

N 1

j2 kn / N c e   k k 0

sk  e

N  perioda dasar

c s k 0

k k

2k k     k   N k 1 1 fk    fk  N 2 2

j k n

1 c( k )  N

N 1

N 1

 j2 kn / N x ( n ) e  n 0

ck  N  ck

Contoh Soal 3 Tentukan spektrum dari sinyal-sinyal di bawah ini.

n a ). x (n )  cos 3

b). 1, 1, 0, 0

Jawab :

n 1 a ). x (n )  cos  cos 2 n 3 6 1 fo   N6 6

N4

c( k ) 

N 1

 j2 kn / N x ( n ) e   n 0

5

 j2 kn / 6 x ( n ) e  n 0

1 1 j2 n / 6 1  j2 n / 6 x (n )  cos 2 n  e  e 6 2 2

x (n ) 

N 1

j2 kn / N c e   k k 0

1 c1  2

c 1

1  2

c5  c 1 6  c 1

1  2

N 1

j2 kn / 6 c e  k k 0

co  c 2  c3  c 4  0

1 c1  2

c 1

1  2

c5  c 1 6  c 1

1  2

co  c 2  c3  c 4  0

b). 1, 1, 0, 0

1 c( k )  N

N4

N 1

 j2 kn / N x ( n ) e  n 0



1 3 1  j2 kn / 4 c( k )   x ( n )e  1  e  jk / 2 4 n 0 4

1 co  2

1 c1  (1  j) 4

c2  0



1 c3  (1  j) 4

1 co  2

1 c1  (1  j) 4

c2  0

1 c3  (1  j) 4

Contoh Soal 4 Tentukan spektrum dari sinyal di bawah ini. 2 2 x (n )  cos n  sin n 3 5

Jawab : 2 2 5 3 x (n )  cos n  sin n  cos 2 n  sin 2 n 3 5 15 15

x (n ) 

e

j2  ( 5 / 15 ) n

e 2

 j2  ( 5 / 15 ) n



e

j2  ( 3 / 15 ) n

e 2j

 j2  ( 3 / 15 ) n

j j2  (3 / 15) n j  j2  (3 / 15) n 1 j2  (5 / 15) n 1  j2  (5 / 15) n x (n )   e  e  e  e 2 2 2 2

j j2  (3 / 15) n j  j2  (3 / 15) n 1 j2  (5 / 15) n 1  j2  (5 / 15) n x (n )   e  e  e  e 2 2 2 2

x (n ) 

N 1

c e k 0

c5

1  2

j2 kn / N

k

c3



14

c e k 0

j  2

j2 kn / 15

k

j c3   2

1 c5  2

ck 1/2

c k 90o

- 90o

 Power Spectral Density (psd) sinyal diskrit periodik 2

N 1

N 1 1 Px   x (n )   c k N k 0 k 0

2

Relasi Parseval psd N 1 k 0

Bila x(n) nyata :

ck  ckN c k  c Nk

N 1

E N   x (n )  N  c k

Energi satu perioda

c  c k * k

c k  c k

 c k  c Nk c k  c N  k

2

2

k 0

c k  c  k

ck  ckN

 c k  c Nk

c k  c Nk

c k  c N  k

c0  c N

c 0  c N  0

c1  c N 1

c1  c N 1

Bila N genap Bila N ganjil

cN/ 2  cN/ 2

c ( N 1) / 2  c ( N 1) / 2

c N / 2  0

c ( N 1) / 2  c ( N 1) / 2

N genap  c k , k  0,1, 2,  N / 2 N ganjil

 c k , k  0,1, 2,  ( N  1) / 2

Contoh Soal 5 Tentukan koefisien deret Fourier dan power spectral density dari sinyal diskrit periodik di bawah ini.

Jawab : L 1 1 N 1 1 c k   x (n )e  j2 kn / N   Ae j2 kn / N N n 0 N n 0

A L 1  j2 kn / N ck   e N n 0

 j2 kL / N

 AL  N   j2 kL / N A 1  e   N 1  e  j2 kn / N

 jkL / N

jkL / N

 jkL / N

1 e e e e   jk / N jk / N  jk / N  j2 kn / N 1 e e e e  jk ( L 1) / N sin( kL / N ) e sin(k / N)

A L 1  j2 kn / N ck   e N n 0

psd  c k

2

 AL  N , k  0, N, 2 N,   A sin(  kL / N ) j  k ( L  1 ) / N  e , k  lainnya  N sin(k / N)

 AL  2  , k  0, N, 2 N,    N   2 2  A   sin(kL / N)   N   sin(k / N)  , k  lainnya   

 Transformasi Fourier dari sinyal diskrit aperiodik 

X() 

 jn x ( n ) e 

Bentuk Deret Fourier

n  

X(  2k ) 



 j(   2 k ) n x ( n ) e 

n  





 jn  j2 kn x ( n ) e e  

n   

1 j n x (n )  X()e d  2  



 jn x ( n ) e  X() 

n  

Contoh Soal 6 Tentukan sinyal diskrit yang transformasi Fouriernya adalah :

1, X()   0,

  c c    

Jawab : 

1 j n x (n )  X()e d  2   n0



c

c 1 x (0)  d   2   c 

n0



c

1 1 1 j n j n x (n )  e d  e  2   c 2 jn

sin c n c sin c n 1 e j c n  e  j c n x (n )    n 2j n  c n

c  c

X() 



 x ( n )e

n  

 jn

sin c n  jn X N ()   e n n N N

 Energy spectral density (esd) sinyal diskrit aperiodik 

1  2 E x   x (n )  X() d  2   n   2

Relasi Parseval

Sxx ()  X()

X()  X() e

j (  )

X() Spektrum magnituda

x(n) nyata

2

()  X() Spektrum fasa

X * ()  X ( ) X()  X()

X()  X()

Contoh Soal 7 Tentukan energy spectral density dari sinyal diskrit :

x (n )  a u (n ) n

1  a  1

Jawab :

X() 



 jn x ( n ) e  

n  

1 X()   j 1  ae





n  jn a  e  n 0



 j n ( ae )  n 0

Sxx ()  x ()  X()X* () 2

1 1 1 Sxx ()    j j 1  ae 1  ae 1  2a cos   a 2

Contoh Soal 8 Tentukan transformasi Fourier dari sinyal diskrit :

A , x (n )   0,

Jawab :

0  n  L 1 n lainnya

 j L 1  e X()   Ae jn  A  j 1  e n 0  j(  / 2 )( L 1) sin(L / 2)  Ae sin( / 2) L 1

X()  Ae

 j(  / 2 )( L 1)

sin(L / 2) j (  )  X() e sin( / 2)

AL,   0  X()   sin(L / 2) A sin( / 2) , 

 lainnya

 sin(L / 2) ()  X()  A  (L  1)   2 sin( / 2)

A=1 L=5

Spektrum magnituda

Spektrum fasa

 Hubungan transformasi Z dengan transformasi Fourier Transformasi Fourier :

X(z) 



z x ( n ) e  

n  

z  re

j

r z

z 1 r 1



j  n x ( n )( re )  

n  



n  jn [ x ( n ) r ] e 

n  

  z



X(z) 



 jn x ( n ) e  X() 

n  

Transformasi Fourier pada lingkaran satu = Transformasi Z

Contoh Soal 9 Tentukan transformasi Fourier dari : x (n )  (1)u (n ) Jawab :

1 z X(z)   1 1 z z 1 1 z re j X()    j 1 1 z z  1 re  1 (e j / 2 )(e j / 2 )  j / 2 j / 2  j / 2 (e )(e e ) j / 2

e  2 cos( / 2)

  2(k  1 / 2)

 Klasifikasi sinyal dalam domain frekuensi Sinyal frekuensi rendah :

Sinyal frekuensi tinggi :

Sinyal frekuensi menengah (bandpass signal) :

 Daerah frekuensi pada beberapa sinyal asli Sinyal-sinyal biologi : Tipe sinyal Electroretinogram Electronystagmogram Pneumogram Electrocardiogram (ECG) Electroencephalogram (EEG) Electromyogram Aphygmomanogram Wicara

Daerah frekuensi (Hz) 0 - 20 0 - 20 0 - 40 0 - 100 0 - 100 10 - 200 0 - 200 100 - 4000

Sinyal-sinyal seismik : Tipe sinyal Wind noise Seismic exploration signals Earthquake and nuclear explosion signals Seismic noise

Daerah frekuensi (Hz) 100 - 1000 10 - 100 0.01 - 10 0,1 - 1

Sinyal-sinyal elektromagnetik : Tipe sinyal Radio broadcast Shortwave radio signals Radar, sattellite comunications Infrared Visible light Ultraviolet Gamma rays and x-rays

Daerah frekuensi (Hz) 3x104 – 3x106 3x106 – 3x1010 3x108 – 3x1010 3x1011 – 3x1014 3,7x1014 – 7,7x1014 3x1015 – 3x1016 3x1017 – 3x1018

 Sifat-sifat transformasi Fourier       

Sifat-sifat simetri dari transformasi Fourier Linieritas Pergeseran waktu Pembalikan waktu Teorema konvolusi Pergeseran frekuensi Diferensiasi frekuensi

 Sifat-sifat simetri dari transformasi Fourier X()  F{x (n )} 



 jn x ( n ) e 

n  



1 jn x (n )  F {X()}  X()e  2     1

F

x (n )  X()

e jn  cos n  j sin 

e  jn  cos n  j sin n

x(n) dan X () kompleks

x (n )  x R (n )  jx I (n ) X()  X R ()  jX() X R ()  X I () 



 [x

n  

R

(n ) cos n  x I (n ) sin n ]



 [x (n) cos n  x

n  

I

R

(n ) sin n ]

1 2 x R (n )  [X R () cos n X I () sin n ]d  2 0 1 2 x I (n )  [X R () sin n X I () cos n ]d  2 0

x R (n )  x (n )

x(n) nyata

X R ()  X I () 



 x(n) cos n



n   

  x(n) sin n

n  

cos(n )  cos n

X R ()  X R ()

X* ()  X()



x I (n )  0

X R ()  X R () X I ()  X I ()

sin(n )   sin n

X I ()  X I ()

X() 

X 2R ()  X 2I ()

X()  tg

1

X I () X I ()

X()  X() X()  X()

1 2 x (n )  [X R () cos n X I () sin n ]d  2 0 X R () dan cos n genap X I () dan sin n ganjil 1  x (n )   [X R () cos n X I () sin n ]d  0

x(n) nyata dan fungsi genap

x (n )  x (n ) 

X R ()  x (0)  2 x (n ) cos n n 1

X I ()  0

1  x (n )   X R () cos n d  0 x(n) nyata dan fungsi ganjil

x (n )   x (n ) 

X I ()  2 x (n ) sin n n 1

X R ()  0

1  x (n )    X I () sin n d  0

x(n) imajiner murni

x R (n )  0 X R ()  X I () 

x (n )  jx I (n ) 

 x (n) sin n I

n   

 x (n) cos n

n  

I

1  x I (n )   [X R () sin n  X I () cos n ]d  0

x(n) imajiner murni dan genap

x I (n )  x I (n ) 

X R ()  2 x I (n ) sin n n 1

X I ()  0

1  x I (n )   X R () sin n d  0 x(n) imajiner murni dan ganjil

x I (n )   x I (n ) 

X I ()  X I (0)  2 x I (n ) cos n n 1

1  x I (n )   X I () cos n d  0

X R ()  0

Contoh Soal 10 Tentukan dan buat sketsa XR(), XI(), X() dan  X( dari transformasi Fourier :

1 X()   j 1  ae

1  a  1

Jawab : j

1 1  ae X()  1  a e  j 1  a e j 1  a e j 1  a cos   ja sin    j  j 2 1  a (e  e )  a 1  2a cos   a 2

1  a cos  X R ()  1  2a cos   a 2 X() 

a sin  X I ()   2 1  2a cos   a

X 2R ()  X 2I ()



1  a cos ()  2a cos   a sin () 2 1  2a cos()  a



1  a 2  2a cos  1  2a cos()  a 2

2

2

a sin  X()   tg 1  a cos  1

2

2

 Linieritas F{x1 (n )}  X1 ()

F{x 2 (n )}  X 2 ()

x ( n )  a 1x1 ( n )  a 2 x 2 ( n ) F{x (n )}  X()  a1X1 ()  a 2 X 2 () Contoh Soal 11 Tentukan transformasi Fourier dari :

x (n )  a

n

1  a  1

Jawab :

x (n )  x1 (n )  x 2 (n ) a n , x1 (n )   0,

n0 n0

a  n , x 2 (n )   0,

n0 n0

X1 () 



 jn x ( n ) e   1

n  



n  jn a  e  n 0



 j n ( ae )  n 0

1  1  ae  j X 2 () 



 jn x ( n ) e   2

n  

1

 n  jn a  e 

n  

1

j  n ( ae  )

n  

j ae   (ae j ) k  j 1  ae k 1 

1 ae j X()  X1 ()  X 2 ()    j 1  ae 1  ae j 1  ae j  ae j  a 2 1  a2   j  j 2 1  (ae  ae )  a 1  2a cos   a 2

 Pergeseran waktu F{x1 (n )}  X1 () x ( n )  x1 ( n  k )



F{x (n )}  e

 jk

X1 ()

 Pembalikan waktu F{x1 (n )}  X1 () x ( n )  x1 (  n )



F{x (n )}  X1 ()

 Teorema konvolusi F{x1 (n )}  X1 ()

F{x 2 (n )}  X 2 ()

x ( n )  x1 ( n ) * x1 ( n )



F{x (n )}  X1 ()X 2 ()

Contoh Soal 12 Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n), dengan : x1(n) = x2(n) ={1, 1, 1} Jawab :

X1 () 



 jn x ( n ) e   1

n  

1 e

 j

e

 j

1

 jn e 

n  1

 1  2 cos 

X1 ()  X 2 ()  1  2 cos  X()  X1 ()X 2 ()  (1  2 cos )

2

 1  4 cos   4 cos 2   1  cos 2   1  4 cos   4  2    3  4 cos   2 cos 2  3  2(e j  e  j )  (e j2  e  j2 )

X() 



 jn  j2   j j j2  x ( n ) e  e  2 e  3  2 e  e 

n  

x (n )  {1 2 3 2 1}

 Pergeseran frekuensi F{x1 (n )}  X1 () x ( n )  e j o n x 1 ( n )



F{x (n )}  X1 (  o )

 Teorema modulasi F{x1 (n )}  X1 ()

x (n )  x1 (n ) cos o n

1 j o n 1 j o n 1 j o n j o n x ( n )  (e  e ) x1 ( n )  e x1 ( n )  e x1 ( n ) 2 2 2 1 1 F{x (n )}  X()  X1 (  o )  X1 (  o ) 2 2

 Diferensiasi frekuensi F{x1 (n )}  X1 ()

X1 () 

x (n )  nx1 (n )



 jn x ( n ) e  1

n  

dX1 () d   jn  x 1 ( n )e   d d n   



d  jn x1 ( n ) e  d n  

  j  nx1 (n )e  jn   jF{nx1 (n )} n  

dX1 () F{x (n )}  j d

 Domain frekuensi sistem LTI      

Fungsi respon frekuensi Respon steady-state dan respon transien Respon terhadap sinyal input periodik Respon terhadap sinyal input aperiodik Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi respon frekuensi Komputasi dari fungsi respon frekuensi

 Fungsi respon frekuensi y( n ) 



Eigen function

 h (k ) x (n  k )

k  

Input kompleks y( n ) 



 h(k)Ae

 j ( n  k )

k   

H() 

 j k h ( k ) e 

k  

Eigen value

x (n )  Ae jn 

 A  [h (k )Ae

 jk

]e

jn

k  



y(n )  AH()e jn

Contoh Soal 13 Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah : n

1 h (n )    u (n ) 2

x (n )  Ae jn / 2

Tentukan outputnya bila mendapat input : Jawab : 

n



n

 1   j n  1  j  Fh (n )  H()     e   e   n   2  n   2 1 1 1 H()   H()   1  j 1  j / 2 1 1 e 1 e 1 j 2 2 2

1

2  j26, 6o H()   e 1 5 1 j Amplituda 2 j n y(n )  AH()e

Fasa

2  j26, 6o jn / 2 2A ( n / 2  26, 6o ) A e e  e 5 5 Frekuensi

x (n )  Ae

jn

2 y(n )  Ae jn 3



1 1 2 H()    1  j 1 3 1 e 1 2 2

H ( )  H R ( )  jH I ( ) 





h ( k ) e  j k 

k  

H R ( ) 



 h(k ) cosk



 h(k )(cosk  j sin k )

k  

 H R ( )  H R ( )

k  

H I ( )  



 h(k ) sink

 H I ( )   H I ( )

k  

H ( )  H R2 ( )  H I2 ( ) H ( )  ( )  tg

1

H I ( ) H I ( )

x1 (n)  Ae jn



x2 (n)  Ae  jn 

y1 (n)  A H ( ) e j ( ) e jn y 2 (n)  A H ( ) e j (  ) e  jn  A H ( ) e  j ( ) e  jn

1 1 x(n)  [ x1 (n)  x2 (n)]  [ Ae jn  Ae  jn ]  A cos n 2 2 1 y (n)  [ y1 (n)  y 2 (n)]  A H ( ) cos[n  ( )] 2

1 1 x(n)  [ x1 (n)  x2 (n)]  [ Ae jn  Ae  jn ]  A sin n j2 j2 1 y (n)  [ y1 (n)  y 2 (n)]  A H ( ) sin[n  ( )] j2

Contoh Soal 14 Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah : n

1 h (n )    u (n ) 2

Tentukan outputnya bila mendapat input :  x(n)  10  5 sin n  20 cos n 2

Jawab : 1 H ( )  1  j 1 e 2

1 H ( )  1  j 1 e 2 1 H (0)  2 1 1 2 2  26,6o H ( / 2)  e 5 2 H ( )  3 x(n)  20 

10 5

sin

 40 n  cos n 2 3

Contoh Soal 15 Suatu sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda : y (n)  ay (n  1)  bx(n)

0  a 1

a ). Tentukan H ( ) b). Untuk H ( ) maks  1 dan a  0,9

Tentukan y(n) bila inputnya : x(n)  5  12 sin

  n  20 cos(n  ) 2 4

Jawab : y (n)  ay (n  1)  bx(n) 

H ( ) 



 h ( n )e

 j n

n  

h(n)  ba n u (n)

b  1  ae  j 1  ae  j  (1  a cos  )  ja sin  1  ae  j  1  a 2  2a cos  1  ae

H ( ) 

b

1  a 2  2a cos  1 a sin  ( )  b  tg 1  a cos 

 j

a sin   tg 1  a cos  1

b  H (0)  1  b 1 a 1 a

H ( ) maks

H ( ) 

1 a

a sin  ( )  tg 1  a cos  1

1  a 2  2a cos 

H (0)  1 ( )  0 H ( / 2) 

0,1 1  0,9 2

 0,074 ( )  tg 1 0,9  42 o

1  a 0,1 H ( )    0,053 ( )  0 1  a 1,9

x(n)  5  12 sin

  n  20 cos(n  ) 2 4

 y (n)  5 H (0)  12 H ( / 2) sin[ n  ( / 2)] 2   20 H ( ) cos[n   ( )] 4   y (n)  5  0,888 sin[ n  42 o ]  1,06 cos[n  ] 2 4

 Respon steady-state dan respon transien y(n )  ay(n  1)  x (n )

x (n )

y(n )  a n 1 y(1) 



n

k a  x (n  k ) k 0

x (n )  Ae

jn

n0 n

y(n )  a n 1 y(1)  A  a k e j( n  k ) k 0

x (n )  Ae jn y( n )  a

n 1

n0 n

y(1)  A  (ae n 0

 j k

) e

jn

x (n )  Ae jn y( n )  a

n 1

n0 n

y(1)  A  (ae

 j k

) e

jn

n 0

x (n )  Ae jn

n0

n 1  j( n 1) 1  a e n 1 jn y(n )  a y(1)  A e  j 1  ae n 1  j( n 1) a e A n 1 jn jn y(n )  a y(1)  A e  e 1  ae  j 1  ae  j

n 1  j( n 1) a e A n 1 jn jn y(n )  a y(1)  A e  e 1  ae  j 1  ae  j

Stabil



a 1

A jn jn y ss (n )  lim y(n )  e  AH (  ) e  j 1  ae n  Respon steady state n 1  j( n 1) a e n 1 jn y tr (n )  a y(1)  A e 1  ae  j

Respon transien

 Respon steady state terhadap sinyal input periodik 

Deret Fourier

x (n ) 

N 1

j2 kn / N c e  k k 0

x k  ck e

j2 kn / N



 2k  H   H()   2 k N  N 

 2k  j2 kn / N y k ( n )  c k H e  N 

 2k  j2 kn / N y( n )   y k ( n )   c k H e  N  k 0 k 0 N 1

y( n ) 

N 1

N 1

d e k 0

k

j2 kn / N

 2k  d k  c k H   N 

 Respon steady state terhadap sinyal input aperiodik Teori konvolusi



Y()  H X() Y()  H X() 2

2

Y()  HX()

Y()  H()  X() 2



Syy ()  H Sxx ()

1  2 Energi : E y  H Sxx () d  2    

2

Contoh Soal 16 Suatu sistem LTI mempunyai respon impuls : n

1 h (n )    u (n ) 2

Tentukan spektrum dan esd-nya bila mendapat input : n

1 x (n )    u (n ) 4

Jawab : 

n

1  1   jn H ()     e  1  j n 0  2  1 e 2

1 X ()  1  j 1 e 4

1 1 Y()  HX()  1  j 1  j 1 e 1 e 2 4 Syy ()  H X() 2

Sy () 

2

1 (1  e

 j

1

1

1  2 j 1  j 1  2 j  e ) (1  e  e ) 4 4 16

1 Sy ()  5   17 1    cos     cos   4   16 2 

 Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi respon frekuensi

z  e j



H()  Hz  z  e j 

H  H()H* ()  H()H() 2

H  H(z)H(z 1 ) 2

z  e j



 j n h ( n ) e 

n  

Contoh Soal 17 Suatu sistem LTI dinyatakan dengan : y(n )  0,1y(n  1)  0,2 y(n  2)  x (n )  x (n  1)

Tentukan H()

2

Jawab : 1  z 1 H(z)  1  0,5z 1  0,2z  2 1 1  z 1 z 1 H(z)H(z )  1  0,5z 1  0,2z  2 1  0,5z  0,2z 2

1 1  z 1 z 1 H(z)H(z )  1  0,5z 1  0,2z  2 1  0,5z  0,2z 2

1 2  z  z H ( z ) H ( z 1 )  1.05  0,08(z  z 1 )  0,2(z 2  z  2 )

z  e j

2  e j  e  j  H ()  1.05  0,08(e j  e  j )  0,2(e j2   e  j2  ) 2

2  2 cos  H ()  1.05  0,16 cos   0,4 cos 2 2

2(1  cos ) cos 2  2 cos   1  H ()  1.45  0,16 cos   0,8 cos 2  2

2