KOMPUTASI SINYAL DIGITAL SINYAL DAN SISTEM

KOMPUTASI SINYAL DIGITAL SINYAL DAN SISTEM

Sinyal dan Sistem • • • •

Sinyal dan Sistem Klasifikasi Sinyal Konsep Frekuensi Analog to Digital Conversion  Sampling

SINYAL, SISTEM DAN KOMPUTASI SINYAL  Sinyal  Besaran-besaran yang tergantung pada waktu dan ruang  Besaran fisis/non fisis (variabel tak bebas)  Waktu dan ruang (variabel bebas)

s1 ( t )  5 t

2

s 2 ( t )  20 t

2

s 3 ( x, y)  3 x  2 xy  10 y

Sinyal-sinyal dengan hubungan matematis yang jelas

2

 Suara pembicaraan (speech signals)

Sinyal –sinyal dengan hubungan matematis yang tidak jelas

 Suatu segmen dari suara pembicaraan dapat direpresentasikan sebagai :  Sejumlah sinyal sinusoidal dengan amplituda, frekuensi dan fasa yang berbeda N

s( t )   A i ( t ) sin [2 Fi ( t ) t  i ( t )] i 1

 Informasi yang terkandung di dalam suatu sinyal ditentukan dengan mengukur :  Amplituda(A)  Frekuensi(F)  Fasa()

 Sinyal electrocardiogram (ECG)  Sinyal elektronik yang berasal dari aktivitas jantung  Informasi mengenai kondisi dari jantung pasien

 Sinyal electroencephalogram (EEG)  Sinyal elektronik yang berasal dar aktivitas otak  Sinyal-sinyal , ,  dan 

 Sinyal-sinyal dengan satu variabel bebas (waktu)  Suara pembicaraan, ECG dan EEG

 Sinyal dengan dua variabel bebas (ruang)  Gambar (image signal)

 Sistem 



Alat fisik yang melakukan suatu operasi pada suatu sinyal  Filter  Mereduksi (mengurangi) derau (noise) Alat non fisik  Software (perangkat lunak)  Melakukan sejumlah operasi-operasi matematik  Algoritma

 Komputasi

sinyal (Signal processing)

 Operasi-operasi yang dilakukan pada suatu sinyal

ELEMEN-ELEMEN DASAR DARI DSP  Sistem Komputasi sinyal analog Sinyal input analog

Komputasi sinyal analog

Sinyal output analog

 Sistem Komputasi sinyal digital Sinyal input analog

A/D Converter

Sinyal input digital

Pemroses sinyal digital

D/A Converter

Sinyal output digital

Sinyal output analog

KLASIFIKASI SINYAL  Single-channel

signal

 Hanya terdiri dari satu sinyal (variabel tak bebas)  Nilainya bisa real atau kompleks

s1 ( t )  A sin(3t ) s 2 ( t )  Ae

j3t

 A cos(3t )  jA sin(3t )

 Multi-channel

signal

 Lebih dari satu sinyal (variabel tak bebas)  Gelombang gempa (3 channels)  ECG (3 channels/12 channels)

Gelombang gempa :  Primary wave (Longitudinal)  Secondary wave (Transversal)  Surface wave (Permukaan)

Vektor

S1 ( t )  S( t )  S2 ( t ) S3 ( t ) 

 Sinyal satu dimensi  Hanya fungsi dari satu variabel bebas  Multi-dimensional signal  Fungsi lebih dari satu variabel bebas

S  I(x, y) Sinyal dua dimensi

 Sinyal tiga dimensi  Gambar televisi hitam-putih S  I(x, y, t )

 Multichannel multidimensional signal  Gambar televisi berwarna I r ( x, y, t )    I( x, y, t )  I g ( x, y, t ) I ( x, y, t )  b 

 Sinyal waktu kontinu  Speech signal  Sinyal waktu diskrit  Hanya ada pada waktu-waktu tertentu saja 0,8n n  0 x (n )   lainnya 0

0,8 0,64

 Sinyal berharga kontinu (Continuous-valued signal)  Dapat berharga berapa saja

Sinyal berharga kontinu dan waktu diskrit

 Sinyal berharga diskrit (Discrete-valued signal)  Berharga pada beberapa kemungkinan saja  Sinyal digital  Waktu diskrit  Harga diskrit

 Sinyal deterministik  Harganya dapat diprediksi  Sinyal acak (random signal)  Harganya tidak dapat diprediksi

KONSEP FREKUENSI  Sinyal sinusoidal waktu kontinu xa (t )  A cos(t   )

  t  

t = waktu A = amplituda  = frekuensi sudut[radian/detik]  = fasa [radian]

  2F  x a (t )  A cos(2 F t  ) F = frekuensi [siklus/detik, hertz (Hz)]

xa (t )  A cos( 2t   )

x a (t )  A cos(t  )



Untuk setiap frekuensi F

x a ( t  Tp )  x a ( t )



xa(t) periodik

1 Tp   perioda dasar F

 Sinyal-sinyal sinusoidal waktu kontinu dengan frekuensi berbeda dapat dibedakan  Frekuensi diperbesar Untuk suatu waktu tertentu jumlah perioda bertambah (menaikan laju osilasi)

 Sinyal sinusoidal waktu diskrit x(n)  A cos(n  )

  n  

n = bilangan bulat (integer) A = amplituda  = frekuensi [radian/sampel]  = fasa [radian]

  2 f

 x(n)  A cos(2 f n  )

f = frekuensi [siklus/sampel]

x(n)  A cos(2 f o n  )  1 o   fo  6 12   3  x (n) periodik hanya bila frekuensi f merupakan bilangan rasional

x ( n  N)  x ( n ) cos[2f o (n  N)  ]  cos[2f o n  2f o N  ]  cos(2f o n  ) k 2f o N  2k  f o  N

Harga terkecil dari N disebut perioda dasar

 Sinyal-sinyal sinusoidal waktu diskrit dengan frekuensi-frekuensi yang berbeda sebanyak 2 k adalah identik (tidak dapat dibedakan)

cos[(o  2)n  ]  cos[o n  2n  ]  cos(o n  ) x k (n )  A cos(k n  ) k  0,1, 2 k  o  2 k

1 1      f  2 2  Frekuensi diperbesar  harga maksimum f = 1/2

x(n)  cos(o n)

ANALOG TO DIGITAL CONVERSION  Sampling (pencuplikan)  Quantization (kuantisasi)  Coding (pengkodean)

Xa(t)

Sampler

X(n)

Digital signal

Xq(n) Quantizer

Coder

Analog signal Discrete-time signal Quantized signal

01011

 Sampling (pencuplikan)  Sinyal waktu kontinu  sinyal waktu diskrit  T = sampling interval  Fs = sampling rate (sampel/detik)

x a ( t )  A cos(2Ft  ) x a (nT)  A cos(2FnT  )  2nF   A cos     Fs 

F x (n )  A cos(2 f n  )  f  Fs Fs 1 1 f max   Fmax   2 2 2T

Fs F 2

 ?

x1 ( t )  cos[2(10) t ]  F1  10 Hz x 2 ( t )  cos[2(50) t ]  F2  50 Hz Fs  40 Hz

  10  x1 (n )  cos[2 n ]  cos( n ) 2  40  5  50  x 2 (n )  cos[2 n ]  cos( n ) 2  40      cos(2  )n  cos(2n  n )  cos( n )  x1 (n ) 2 2 2 x2(n) identik dengan x1(n) 90 Hz, 130 Hz, …. juga alias 10 Hz

F2 (50 Hz) = alias dari F1(10 Hz)

x a ( t )  A cos(2Fo t  ) x (n )  A cos(2f o n  )

x a ( t )  A cos(2Fk t  ) Fk  Fo  kFs

k  1,  2,

x (n )  x a (nT)  A cos(2Fk nT  )  Fo  kFs  x (n )  A cos 2 n    Fs   x (n )  A cos(2f o n  2k  ) x (n )  A cos(2f o n  ) Alias dari Fo

Hubungan antara f dan F Fs/2 folding frequency

Contoh Soal 1.1 Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 3 cos 100t a)

Tentukan Fs minimum

b)

Bila Fs = 200 Hz, tentukan x(n)

c)

Bila Fs = 75 Hz, tentukan x(n)

d)

Berapa 0 < F < Fs/2 yang menghasilkan x(n) sama dengan c)

Jawab: a) F = 50 Hz  Fs minimum = 100 Hz b)

100  x (n )  3 cos n  3 cos n 200 2

c)

d)

100 4 x (n )  3 cos n  3 cos n 75 3 2 2  3 cos(2  )n  3 cos( )n 3 3

2 1 x(n)  3 cos( )n  3 cos(2 )n 3 3

Fo f  Fs

1 f  3

1 Fo  f Fs  (75)  25 Hz 3

Fk  Fo  kFs  25  k (75) k  1,  2,

Fs 75 0 F    37,5 2 2

F  Fo  25 Hz

DIGITAL TO ANALOG CONVERSION

 Kuantisasi sinyal amplituda kontinu xq (n)  Q[ x(n)]  eq (n)  xq (n)  x(n) Q = proses kuantisasi (rounding, truncation) xq(n) = sinyal hasil kuantisasi eq(n) = error kuantisasi

0,9t xa (t )   0

t0

0,9 x ( n)   0

n0

n

t0 n0

FS  1 Hz  T  1 s

n 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x(n)

xq(n) (Truncation) 1 1,0 0.9 0,9 0.81 0,8 0,729 0,7 0,6561 0,6 0,59049 0,5 0,5311441 0,5 0,4782969 0,4 0,43046721 0,4 0,387420489 0,3

xq(n) (Rounding) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,7 0,6 0,5 0,5 0,4 0,4

eq(n) (Rounding) 0,0 0,0 - 0,01 - 0,029 0,0439 0,00951 - 0,031441 0,0217071 - 0,03046721 0,012579511

L = level kuantisasi



L = 11

 = Quantization step



 = 0,1

xmaks  xmin 1  0    0,1 L 1 11  1

    eq (n)  2 2

 Kuantisasi sinyal sinusoidal x(n)  A cos(0t )

FS  2B  eq (t )  xa (t )  xq (t ) xa(t) dianggap linier diantara level-level kuantisasi  = waktu selama xa(t) berada di dalam level kuantisasi

Error power (rms)

1 Pq  2



1



 e (t )dt    e (t )dt 2 q



2 q

0



 1  2 2 eq (t )  t  Pq     t dt  2  0  2  2 b = jumlah bit



2

L = 2b + 1

Xmaks-xmin = 2A 2

2A A   b  Pq  2b 2 3(2 ) 1 Px  Tp

Tp

2 A 2 0  A cos ot  dt  2

Signal-to-quantization ratio

Px 3 2b SQNR   (2 ) Pq 2

SQNR(dB)  10 log SQNR  1,76  6,02 b  Word length (jumlah bit) ditambah satu  Level kuantisasi menjadi dua kali lipat  SQNR bertambah 6 dB

Contoh :  Compact disk player  Sampling frequency 44,1 kHz

 16-bit sample resolution  SQNR =96 dB

 Coding of Quantized Samples  Level kuantisasi L 

L bilangan biner yang berbeda

 Word lengh b



 2b  L



b  2 log L

 L = 11



b = 4 bits

2b bilangan biner berbeda

Contoh Soal 1.4 : Diketahui sinyal waktu diskrit :



x(n)  6,35 cos( )n 10

Tentukan jumlah bit yang diperlukan oleh A/D converter agar resolusinya : a)  = 0,1 b) 

= 0,02

Jawab: a) x(n) maksimum pada saat : cos(



10

x(n) minimum pada saat : cos(



10

)n  1  n  0

)n  1  n  10

xmaks  xmin  L 1

xmaks  xmin  L 1 

[6,35(1)  6,35(1)]   0,1  L   1  128 0,1

2b  128  b  7 bit b)

[6,35(1)  6,35(1)]   0,02  L   1  636 0,02

2b  636  b  10 bit

Contoh Soal 1.5 :

Diketahui sinyal seismik analog dengan dynamic range sebesar 1 Volt. Bila sinyal analog ini dicuplik dengan frekuensi sebesar 20 sample/s menggunakan 8-bit A/D converter, Tentukan : a) Bit rate (bps)

b) Resolusi c) Frekuensi sinyal maksimum yang ada pada digital seismic signal Jawab: a)

8 bit 20 sample bps   160 bit / s sample s

Dynamic range = xmaks - xmin

b)

c)

dynamic range 1000 mV    7,875 mV 8 L 1 2 1 Fmaks

FS 20    10 Hz 2 2

Contoh Soal 1.5 :

Suatu jaringan komunikasi digital akan digunakan untuk mentransmisikan sinyal analog :

xa (t )  3 cos(600t )  2 cos(1800t ) Jaringan ini beroperasi pada 10000 bit/s dan setiap sampel dikuantisasi menjadi 1024 level tegangan yang berbeda.

a) Tentukan frekuensi pencuplikan dan frekuensi folding b) Tentukan frekuensi Nyquist dari sinyal analog xa(t) c) Tentukan frekuensi-frekuensi pada sinyal waktu diskrit x(n) d) Hitung resolusinya

Jawab: a)

1024  2

b

 b  10 bit

bps 10000 FS    1000 Hz b 10 FS FD   500 Hz 2 b)

xa (t )  3 cos(2 300t )  2 cos(2 900t ) F1  300 Hz

F2  900 Hz

FN  2 Fmaks  2 F2  2(900)  1800 Hz