PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL. Modul 4. Transformasi Z

PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL Modul 4. Transformasi Z

Content • Overview TZ untuk fungsi eksponensial kausal dan anti kausal, ROC, Zero Pole, TZ fungsi impuls, TZ fungsi sinusoidal • Overview ITZ : Pecahan Parsial dan Integrasi Kontur, manipulasi ITZ berdasarkan propertynya, ROCnya (kausal dan anti kausal), fungsinya. contoh : ITZ fungsi logaritma f(z) dan TZ fungsi x(n)/n.

Latar Belakang “Domains of representation ” Domain-n (discrete time) : Sequence, impulse response, persamaan beda

Domain-  : Freq. response, spectral representation Domain-z : Operator, dan pole-zero Apabila suatu kasus sulit dipecahkan pada suatu domain tertentu, maka transformasi ke domain yang lain akan mudah menyelesaikannya.

Content • • • • •

Transformasi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi-Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

TRANSFORMASI-Z LANGSUNG  Definisi : X ( z) 



n x ( n ) z 

n 

 Contoh 1:

a. x1 (n)  1, 2, 5, 7, 0, 1 X1 ( z )  1  2 z 1  5 z 2  7 z 3  z 5

b. x2 (n)  1, 2, 5, 7, 0, 1

X 2 ( z )  z 2  2 z1  5  7 z 1  z 3

 Contoh 2: Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal di bawah ini:

a. x1 (n)   (n) b. x2 (n)   (n  k ), k  0 c. x3 (n)   (n  k ), k  0

Jawab: a. X1 ( z )  b. X 2 ( z )  c. X 3 ( z ) 



n 0  ( n ) z  1 . z 1 

n 

n k  ( n  k ) z  z 

n 

n k  ( n  k ) z  z 

n

 Contoh 3: Tentukan transformasi Z dari sinyal x(n)  u(n)

Jawab:



X ( z )   u (n) z n  1  z 1  z 2  ... n 0



1 1  z 1

, dimana z 1  1  ROC : z  1

 x ( n)  u ( n)  X ( z ) 

1 1 z

1

, ROC : z  1

 Contoh 4: n x ( n )   u(n) Tentukan transformasi Z dari sinyal

Jawab: 

X ( z )    u n  z n

n 0 

   A

n

n 0



n





z n 0



1 n

1  1  A  A  A  ...  1 A

1 1   z 1

2

3

, dimana  z 1  1  ROC : z  

 x ( n )   u ( n)  X ( z )  n

1 1 z

1

, ROC : z  

TABEL FUNGSI DASAR TZ

SIFAT-SIFAT (PROPERTY) TZ

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z  Linieritas x(n)  a x1(n)  b x2 (n)  X ( z)  a X1( z)  b X 2 ( z)

 Contoh 5:





n n Tentukan transformasi Z dari sinyal xn  3(2)  4(3) u(n)

x1 (n)  2 u n   X1 ( z ) 

1

n



1

, ROC : z  2

1 2z 1 n x2 (n)  3 u n   X 2 ( z )  , ROC : z  3 1 1  3z



xn   3(2) n  4(3) n u (n)  X Z   ROC : z  2  z  3  ROC : z  3

3 1 2z

1



4 1  3z

1



 1  z 1

1  5 z 1  6 z 2

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z  Pergeseran x(n  n0 )  z n0 X Z 

 Contoh 5: Tentukan transformasi Z dari sinyal xn  u(n  3)

Jawab: x1 n   u n   X1 Z  

1 1 z

1

, ROC : Rx  z  1

 xn   u n  3  X Z   z 3 X1 Z  

z 3 1 z

1

, ROC : Rx  z  1

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z  Time Reversal x(n)  X ( z 1 )

 Contoh 6: Tentukan transformasi Z dari sinyal

xn  u(n)

Jawab: x1 n   u n   X1 Z  

 xn   u  n   X z  

1 1 z

1

 

1 z

1 1

1

, ROC : Rx  z  1

1  , ROC : 1  z  1 Rx 1 z

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z  Diferensiasi dalam domain z  Contoh 7:

dX ( z ) nx(n)   z dz

n Tentukan transformasi Z dari sinyal x(n)  n a u(n) 1 n x1 (n)  a u (n)  X1 ( z )  , ROC : Rx  z  a 1 1  az

 x ( n)  n a u ( n)  n

 n a n u ( n) 

az

1

1  az 

1 2

dX 1 ( z ) d  1  X ( z)   z  z    1 dz dz  1  az   ( z )

 az 2



az 1

1  az  1  az  1 2

1 2

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z  Konvolusi antara dua sinyal x(n)  x1(n) * x2 (n)  X ( z)  X1( z) X 2 ( z)

 Contoh 8: Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan : x1 (n)  1,  2, 1 X1 ( z )  1  2 z 1  z 2

1, 0  n  5 x2 (n)   0, lainnya X 2 ( z )  1  z 1  z 2  z 3  z 4  z 5

X ( z )  X1( z ) X 2 ( z )  (1  2 z 1  z 2 )(1  z 1  z 2  z 3  z 4  z 5 ) X ( z )  X1( z ) X 2 ( z )  1  z 1  z 6  z 7

 x(n)  x1(n) * x2 (n)  1, 1, 0, 0, 0, 0, 1,1

TRANSFORMASI Z RASIONAL  Pole dan Zero Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) =  Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0

 Fungsi Rasional

M

N(z) b o  b1z 1    b M z  M X(z)    1 N D ( z ) a o  a 1z    a N z

k b z  k k 0 N

k a z  k k 0

 b1   M 1  bM   z   z      bo   bo   a1  N 1  aN  N Z   z       ao   ao  M

N(z) b o z  M a o  0 b o  0  X(z)   D( z ) a o z  N

 b1   M 1  bM   z   z      bo   bo   a1  N 1  aN  N Z   z       ao   ao  M

N(z) b o z  M a o  0 b o  0  X(z)   D( z ) a o z  N

 N(z) dan D(z) polinom N(z) b o N  M (z  z1 )(z  z 2 )  (z  z M ) X( z )   z D(z) a o (z  p1 )(z  p 2 )  (z  p M ) M

X(z)  G z N  M

 (z  z

k

)

 (z  p

k

)

k 1 N

k 1

 Contoh 9: Tentukan pole dan zero dari X ( z ) 

2  1,5 z 1 1  1,5 z 1  0,5 z 2

Jawab: X ( z)  2

z 1

z  0,75

z 2 z 2  1,5 z  0,5 z  0,75 2 z ( z  0,75)  2z  ( z  1)( z  0,5) ( z  1)( z  0,5)

 Zero : z1  0 z2  0,75 Pole : p1  1 p2  0,5

 Contoh 10: Tentukan pole dan zero dari

X ( z) 

1  z 1 1  z 1  0,5 z 2

Jawab: X ( z)  

z ( z  1) z 2  z  0,5 z ( z  1) [ z  (0,5  j 0,5)][ z  (0,5  j 0,5)]

 Zero : z1  0 z2  1 Pole : p1  0,5  j 0,5

p2  0,5  j 0,5  p1  p2*

TRANSFORMASI -Z BALIK  Definisi transformasi balik X ( z) 



 x ( n) z

n

n 

1 n1 x ( n)  X ( z ) z dz  2j

Teorema residu Cauchy :  1 d k 1 f ( z )  1 f ( z) k 1 ( k  1 )! dz dz    k C 2j ( z  zo )  0,

, bila zo di dalam C z  zo

bila zo di luar C

 Ekspansi deret dalam z dan z-1 X ( z) 



n   x n z 

n 

 Contoh 11: Tentukan transformasi-z balik dari

Jawab:

X ( z) 

1 3 1 1 2 1 z  z 2 2

3 1 7 2 15 3 31 4 X ( z)  1  z  z  z  z  2 4 8 16

 3 7 15 31   x(n)  1, , , , ,  2 4 8 16 

 Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z X ( z )  1 X1 ( z )   2 X 2 ( z )     K X K ( z ) x(n)  1x1 (n)   2 x2 (n)     K xK (n)

 Contoh 12: Tentukan transformasi-z balik dari

X ( z) 

Jawab: z2

z2 X ( z)  2  z  1,5 z  0,5 ( z  1)( z  0,5) X ( z) z A1 A2  2   z z  1,5 z  0,5 ( z  1) ( z  0,5)

1 1  1,5 z 1  0,5 z 2

X ( z) z A1 A2  2   z z  1,5 z  0,5 ( z  1) ( z  0,5) A1 ( z  0,5)  A2 ( z  1) ( A1  A2 ) z  (0,5 A1  A2 )   ( z  1)( z  0,5) z 2  1,5 z  0,5 X ( z) z ( A1  A2 ) z  (0,5 A1  A2 )  2  z z  1,5 z  0,5 z 2  1,5 z  0,5 A1  A2  1 0,5 A1  A2  0  A2  0,5 A1 A1  0,5 A1  0,5 A1  1 X ( z) 

2 (1  z 1 )



1 (1  0,5 z 1 )

 A1  2  A2  1

 x(n)  [2  (0,5) n ]u(n)

 Pole-pole berbeda semua

Ak AN X ( z) A1    z z  p1 z  pk z  pN ( z  pk ) X ( z ) ( z  pk ) A1 ( z  pk ) AN     Ak    z z  p1 z  pN

( z  pk ) X ( z ) z

z  pk

 Ak

Contoh Soal 8.17 Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n)  6y(n  1)  8y(n  2)  5x(n)  28x(n  1)  8x(n  2)

Jawab: Y(z)  6z 1Y(z)  8z 2 Y(z)  5X(z)  28z 1X(z)  8z 2 X(z)

1 X(z)  1  z 1

(5  28z 1  8z 2 ) 1 Y( z )  1  6z 1  8z  2 1  z 1

A3 Y( z ) (5z 2  28z  8) A1 A2  2    z (z  6z  8)(z  1) z  2 z  4 z  1

A3 Y( z ) (5z 2  28z  8) A1 A2     z (z  2)(z  4)(z  1) z  2 z  4 z  1 (z  2)Y(z) 5z 2  28z  8 20  56  8 84 A1      14 z (z  4)(z  1) z  2 (2)(3) 6

(z  4)Y(z) 5z 2  28z  8 80  112  8 200 A2      20 z (z  2)(z  1) z  4 (2)(5) 10 (z  1)Y(z) 5z 2  28z  8 5  28  8  15 A3      1 z (z  2)(z  4) z 1 (3)(5) 15

Y( z )  14 20 1    z z  2 z  4 z 1

 14 20 1 Y( z )    1 1 1  2z 1  4z 1  z 1

y zs (n)  [14(2) n  20(4) n  1]u(n)

 Ada dua pole yang semua AN X( z ) A1 A1k A 2k     2 z z  p1 (z  p k ) z  pk z  pN

(z  p k ) X( z)  z zp 2

A1k

A 2k

k

d  ( z  p k ) 2 X( z)     dz  z  z  pk

Contoh Soal 8.18 Tentukan transformasi-Z balik dari :

1 X( z )  (1  z 1 )(1  z 1 ) 2 Jawab: 2

A3 X( z ) z A1 A2     2 2 z (z  1)(z  1) z  1 (z  1) (z  1)

(z  1)X(z) z2 A1   z (z  1) 2

z  1

1  4

(z  1) X(z) z 1 A2    z (z  1) z 1 2 2

2

d  (z  1) 2 X(z)  d  z2  A3      dz  z  dz  (z  1)  (2z)(z  1)  (1)(z 2 ) z 2  2z 3    2 2 (z  1) (z  1) z 1 4

1 1 3 n x (n )  [ (1)  n  ]u (n ) 4 2 4

 Pole kompleks

A1 A2 X( z)   1 1  p1z 1  p 2 z 1 p1  p



p2  p *

A1  A



A2  A *

1

1

A A* A  Ap * z  A * A * pz   1 1 1  pz 1 p*z 1  pz1  p * z 1  pp * z  2

b o  b1z 1 (A  A*)  (Ap *  A * p)z 1  1 2 1 2 1  (p  p*)z  pp * z 1  a1z  a 2 z

A  A*  Re( A)  j Im(A)  Re( A)  j Im(A)  2 Re( A) bo  A  A*  2 Re( A) p  p*  Re( p)  j Im(p)  Re( p)  j Im(p)  2 Re( p) a1  (p  p*)  2 Re( p) pp*  [Re( p)  j Im(p)][Re(p)  j Im(p)]  Re (p)  Im (p)  p 2

2

2



a 2  pp*  p

2

Ap *  A * p  [Re( A)  j Im(A)][Re( p)  j Im(p)]  [Re( A)  j Im(A)][Re( p)  j Im(p)]  2 Re( A) Re( p)  2 Im(A) Im(p) Ap*  [Re( A)  j Im(A)][Re(p)  j Im(p)]  [Re( A) Re( p)  Im(A) Im(p)]  j [Re( p) Im(A)  Re( A) Im(p] b1  (Ap *  A * p)  2 Re( Ap*)

Contoh Soal 8.19

1  z 1 X( z)  1  z 1  0,5z  2

Tentukan transformasi-Z balik dari :

Jawab: b o  b1z 1 1  z 1 X( z)   1 2 1  z  0,5z 1  a1z 1  a 2 z  2

bo  2 Re( A)  1



Re( A)  0,5

a1  2 Re( p)  1



Re( p)  0,5

b1  2 Re( Ap*)  1



Re( Ap*)  0,5

a 2  p  0,5 2



Re 2 (p)  Im2 (p)  0,5

Re( p)  0,5

Re( A)  0,5

Re (p)  Im (p)  0,25  Im (p)  0,5 2

2

2

Im2 (p)  0,25  Im(p)  0,5  p  0,5  j 0,5 Ap*  [0,5  j Im(A)](0,5  j0,5)

Re( Ap*)  0,25  0,5 Im(A)  0,5 Im(A)  0,25  A  0,5  j 0,25 A A* X(z)   1 1 1  pz 1 p*z 0,5  j 0,25 0,5  j 0,25   1 1  (0,5  j 0,5)z 1  (0,5  j 0,5)z 1

0,5  j 0,25 0,5  j 0,25 X( z )   1 1 1  (0,5  j 0,5)z 1  (0,5  j 0,5)z 0,5  j 0,5  0,707e j45

0,5  j 0,5  0,707e j45

x (n )  (0,5  j 0,25)(0,707e j45 ) n  (0,5  j 0,25)(0,707e j45 ) n  (0,5)(0,707) n (cos 45n  j sin 45n )  j(0,25)(0,707 )(cos 45n  j sin 45n ) n

 (0,5)(0,707) n (cos 45n  j sin 45n )  j(0,25)(0,707 n )(cos 45n  j sin 45n )  (0,707) n cos 45n  0,5(0,707) n sin 45n

TRANSFORMASI-Z SATU SISI

 Definisi :

X  (z) 



n x ( n ) z  n 0

Contoh Soal 8.20 Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1

b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1

c). x 3 (n )  0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 d). x 4 (n )  2, 5, 7, 0, 1

Jawab:

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1 X1 (z)  1  2z 1  5z  2  7z  3  z  5 b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1 X 2 (z)  5  7z 1  z  3 c). x 3 (n )  0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 X 3 (z)  z 1  2z  2  5z  3  7z  4  z  7

d). x 4 (n )  2, 5, 7, 0, 1 X 4 (z)  5  7z 1  z  3

Contoh Soal 8.21 Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls di bawah ini

a ). x 5 (n )  (n ) b). x 6 (n )  (n  k ), k  0 c). x 7 (n )  (n  k ), k  0

Jawab: 

a ). X 5 (z) 

n  ( n ) z 1 

b). X 6 (z) 

n k  ( n  k ) z  z 

c). X 7 (z) 

n 0 

n 0 

n  ( n  k ) z 0  n 0

 Time Delay

k

x (n  k )  z  k [X  (z)   x ( n )z n ]

n 1 Contoh Soal 8.22 Tentukan transformasi Z satu sisi dari x1(n) = x(n-2) dimana x(n) = anu(n )

Jawab:

1 x ( n )  a u ( n )  X (z)  1  az 1 2   2  n X1 (z)  z X   x (n )z  n 1    z  2 X   x (1)z  x (2)z 2 

n



z2 1 1 2   a z  a 1  az 1



 Time advance

k 1

x ( n  k )  z k [ X  ( z)   x ( n ) z  n ] n 0

Contoh Soal 8.23 Tentukan transformasi Z satu sisi dari x2(n) = x(n+2) dimana x(n) = anu(n )

Jawab: x (n )  a n u (n )

1  X (z)  1  az 1 1   2  n  X 2  z X ( z)   x (n )z  n 0    z 2 X   x (0)  x (1)z 1



z2 2   z  az 1 1  az





Contoh Soal 8.24 Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n)  3y(n  1)  y(n  2)  4,5x(n)  9,5x(n  1) y(1)  8,5

y(2)  7,5

y(n)  y zi (n)

dengan input x(n) = 0

Jawab:

Y  (z)  3z 1[Y  (z)  y(1)z] 2



 2z [Y (z)  y(1)z  y(2)z ]  0 2

Y  (z)  3z 1[Y  (z)  y(1)z]  2z  2 [Y  (z)  y(1)z  y(2)z 2 ]  0 

Y (z)[1  3z

1

2

 2z ]  3y(1)  2 y(1)z

1  3 (  8 , 5 )  2 (  8 , 5 ) z  2(7,5)  Y (z)  1  3z 1  2z  2 1 17z  10,5  1  3z 1  2z  2

Y  (z) 10,5z  17 10,5z  17  2  z z  3z  2 (z  1)(z  2)

1

 2 y(2)

Y  ( z) 10,5z  17 10,5z  17 A1 A2  2    z z  3z  2 (z  1)(z  2) z  1 z  2

(z  1)Y  (z) 10,5z  17 6,5 A1     6,5 z z  2 z  1 1 (z  2)Y  (z) 10,5z  17 4 A2    4 z z  1 z  2 1 6,5z 4z 6,5 4 Y (z)     1 1 z 1 z  2 1 z 1  2z 

y zi (n)  6,5(1) n  4(2) n

Contoh Soal 8.25 Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n )  6 y(n  1)  8y(n  2)  5x (n )  28x (n  1)  8x (n  2) y(1)  4 y(2)  3

Jawab: Y  (z)  6z 1[Y  (z)  y(1)z] 2





 8z [Y (z)  y(1)z  y(2)z ]  5X (z) 2

 28z 1[X  (z)  x (1)z]  8z  2 [X  (z)  x (1)z  x (2)z 2 ] Y  (z)[1  6z 1  8z 2 ]  24  32z 1  24  X  (z)[5  28z 1  8z  2 ]

Y  (z)[1  6z 1  8z 2 ]  24  32z 1  24  X  (z)[5  28z 1  8z  2 ]

Y  (z)[1  6z 1  8z  2 ]  32z 1

5  28z 1  8z 2   1 1 z

1 2 1 2 32 z  32 z  5  28 z  8 z Y  ( z)  (1  6z 1  8z  2 )(1  z 1 ) 1 2 5  4 z  24 z Y  (z)  (1  6z 1  8z  2 )(1  z 1 )

Y  (z) 5z 2  4z  24  2 z (z  6z  8)(z  1)

Y  (z) 5z 2  4z  24 5z 2  4z  24  2  z (z  6z  8)(z  1) (z  2)(z  4)(z  1) A3 5z 2  4z  24 A1 A2    (z  2)(z  4)(z  1) z  1 z  2 z  4 5z 2  4z  24 5  4  24  15 A1     1 (z  2)(z  4) z 1 (3)(5) 15 5z 2  4z  24 20  8  24  12 A2    2 (z  4)(z  1) z  2 (2)(3) 6 5z 2  4z  24 80  16  24 40 A3    4 (z  2)(z  1) z  4 (2)(5) 10

Y 1 2 4    z z 1 z  2 z  4

1 2 4 Y    1 1 1 z 1  2z 1  4z 1 

y(n)  [1  2(2)  4(4) ]u(n) n

2