PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL. Modul 4. Transformasi Z

PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL Modul 4. Transformasi Z

Content • Overview TZ untuk fungsi eksponensial kausal dan anti kausal, ROC, Zero Pole, TZ fungsi impuls, TZ fungsi sinusoidal • Overview ITZ : Pecahan Parsial dan Integrasi Kontur, manipulasi ITZ berdasarkan propertynya, ROCnya (kausal dan anti kausal), fungsinya. contoh : ITZ fungsi logaritma f(z) dan TZ fungsi x(n)/n.

Latar Belakang “Domains of representation ” Domain-n (discrete time) : Sequence, impulse response, persamaan beda Domain-  : Freq. response, spectral representation Domain-z : Operator, dan pole-zero Apabila suatu kasus sulit dipecahkan pada suatu domain tertentu, maka transformasi ke domain yang lain akan mudah menyelesaikannya.

Content • • • • •

Transformasi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi-Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

TRANSFORMASI-Z LANGSUNG  Definisi : X ( z) 



n x ( n ) z 

n  

 Contoh 1:

a. x1 (n)  1, 2, 5, 7, 0, 1 X 1 ( z )  1  2 z 1  5 z 2  7 z 3  z 5

b. x2 (n)  1, 2, 5, 7, 0, 1

X 2 ( z )  z 2  2 z1  5  7 z 1  z 3

 Contoh 2: Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal di bawah ini:

a. x1 (n)   (n) b. x2 (n)   (n  k ), k  0 c. x3 (n)   (n  k ), k  0

Jawab: a. X 1 ( z )  b. X 2 ( z )  c. X 3 ( z ) 



n 0  ( n ) z  1 . z 1 

n   

n k  ( n  k ) z  z 

n  

n k  ( n  k ) z  z 

n 

 Contoh 3: Tentukan transformasi Z dari sinyal x(n)  u (n)

Jawab:

X ( z) 



n 1 2 u ( n ) z  1  z  z  ... 

n 0



1 1  z 1

, dimana z 1  1  ROC : z  1

 x ( n)  u ( n) 

X ( z) 

1 1 z

1

, ROC : z  1

 Contoh 4: n x ( n )   u ( n) Tentukan transformasi Z dari sinyal

Jawab: X ( z) 



  u n z n

n 0 

   A n 0



n



  z



1 n

n 0

1  1  A  A  A  ...  1 A

1 1   z 1 n

n



2

3

, dimana  z 1  1  ROC : z  

 x ( n)   u ( n) 

X ( z) 

1 1 z

1

, ROC : z  

TABEL FUNGSI DASAR TZ

SIFAT-SIFAT (PROPERTY) TZ

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z  Linieritas x(n)  a x1 (n)  b x2 (n) 

X ( z)  a X1( z)  b X 2 ( z)

 Contoh 5:





n n Tentukan transformasi Z dari sinyal x n   3( 2)  4(3) u (n)

: 1 n b a x1 (n)   2 u  n   X 1 ( z )  , ROC : z  2 w  1 a J 1 2z 1 n x 2 ( n )   3 u  n   X 2 ( z )  , ROC : z  3 1 1  3z





x n   3(2) n  4(3) n u (n)  X  Z   ROC : z  2  z  3  ROC : z  3

3

1 2z

1



4

1  3z

1



 1  z 1

1  5 z 1  6 z 2

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z  Pergeseran x(n  n0 ) 

z  n0 X  Z 

 Contoh 5: Tentukan transformasi Z dari sinyal x n   u (n  3)

Jawab: x1  n   u  n   X 1  Z  

1 1 z

1

, ROC : Rx  z  1

 x  n   u  n  3  X  Z   z 3 X 1  Z  

z 3 1 z

1

, ROC : Rx  z  1

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z  Time Reversal X ( z 1 )

x (  n) 

 Contoh 6: Tentukan transformasi Z dari sinyal

x n   u (  n)

Jawab: x1  n   u  n   X 1  Z  

 x n   u   n   X  z  

1 1 z

1

 

1 z

1 1

1

, ROC : Rx  z  1

1  , ROC : 1  z  1 Rx 1 z

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z  Diferensiasi dalam domain z  Contoh 7:

dX ( z ) nx(n)   z dz

n x ( n )  n a u ( n) Tentukan transformasi Z dari sinyal : 1 b n a x1 (n)  a u (n)  X 1 ( z )  , ROC : Rx  z  a w  1 Ja 1  az

n

 x ( n)  n a u ( n)   n a n u ( n) 

az

1

1  az 

1 2

dX 1 ( z ) d  1  X ( z)   z  z    1 dz dz  1  az   ( z )

 az 2



az 1

1  az  1  az  1 2

1 2

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z  Konvolusi antara dua sinyal x(n)  x1 (n) * x2 (n) 

X ( z)  X1( z) X 2 ( z)

 Contoh 8: Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :

: b a w Ja X

x1 (n)  1,  2, 1 1 2 ( z )  1  2 z  z 1

 1, 0  n  5 x2 ( n )    0, lainnya X 2 ( z )  1  z 1  z 2  z 3  z 4  z 5

X ( z )  X 1 ( z ) X 2 ( z )  (1  2 z 1  z 2 )(1  z 1  z 2  z 3  z 4  z 5 ) X ( z )  X 1 ( z ) X 2 ( z )  1  z 1  z 6  z 7

 x (n)  x1 (n) * x2 (n)  1,  1, 0, 0, 0, 0,  1,1

TRANSFORMASI Z RASIONAL  Pole dan Zero Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) =  Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0

 Fungsi Rasional

M

N (z) b o  b1z 1    b M z  M X( z)    1 N D ( z ) a o  a 1z    a N z

k b z  k k 0 N

k a z  k k 0

 b1   M 1  bM   z  z        bo   bo   a 1  N 1  aN  N  z      Z    ao   ao  M

N(z) b o z  M a o  0 b o  0  X(z)   D( z ) a o z  N

 b1   M 1  bM   z  z        bo   bo   a 1  N 1  aN  N  z      Z    ao   ao  M

N(z) b o z  M a o  0 b o  0  X(z)   D( z ) a o z  N

 N(z) dan D(z) polinom N(z) b o N  M (z  z1 )( z  z 2 )  (z  z M ) X(z)   z D( z ) a o (z  p1 )( z  p 2 )  (z  p M ) M

X (z)  G z N  M

 (z  z

k

)

k

)

k 1 N

 (z  p k 1

 Contoh 9: Tentukan pole dan zero dari X ( z ) 

2  1,5 z 1 1  1,5 z 1  0,5 z 2

Jawab: X ( z)  2

z 1

z  0,75

z 2 z 2  1,5 z  0,5 z  0,75 2 z ( z  0,75)  2z  ( z  1)( z  0,5) ( z  1)( z  0,5)

 Zero : z1  0 z2  0,75 Pole : p1  1 p2  0,5

 Contoh 10: Tentukan pole dan zero dari

X ( z) 

1  z 1 1  z 1  0,5 z 2

Jawab: X ( z) 

z ( z  1) z 2  z  0,5

z ( z  1)  [ z  (0,5  j 0,5)][ z  (0,5  j 0,5)]  Zero : z1  0 z 2  1 Pole : p1  0,5  j 0,5

p2  0,5  j 0,5  p1  p2*

TRANSFORMASI -Z BALIK  Definisi transformasi balik X ( z) 



n x ( n ) z 

n  

1 n 1 x( n)  X ( z ) z dz  2j

Teorema residu Cauchy : 

 1 f ( z) dz    k 2j C ( z  zo ) 

1 d k 1 f ( z ) (k  1)! dz k 1  0,

, bila zo di dalam C z  zo

bila zo di luar C

 Ekspansi deret dalam z dan z-1 X ( z) 



n   x n z 

n  

 Contoh 11: Tentukan transformasi-z balik dari

Jawab:

X ( z) 

1 3 1 1 2 1 z  z 2 2

3 1 7 2 15 3 31 4 X ( z)  1  z  z  z  z  2 4 8 16 

3 7 15 31   x(n)   1, , , , ,  2 4 8 16 

 Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z X ( z )  1 X 1 ( z )   2 X 2 ( z )     K X K ( z ) x(n)  1x1 (n)   2 x2 (n)     K xK (n)

 Contoh 12: Tentukan transformasi-z balik dari

X ( z) 

Jawab: z2

z2 X ( z)  2  z  1,5 z  0,5 ( z  1)( z  0,5) X ( z) z A1 A2  2   z z  1,5 z  0,5 ( z  1) ( z  0,5)

1 1  1,5 z 1  0,5 z 2

X ( z) z A1 A2  2   z z  1,5 z  0,5 ( z  1) ( z  0,5) A1 ( z  0,5)  A2 ( z  1) ( A1  A2 ) z  (0,5 A1  A2 )   ( z  1)( z  0,5) z 2  1,5 z  0,5 X ( z) z ( A1  A2 ) z  (0,5 A1  A2 )  2  z z  1,5 z  0,5 z 2  1,5 z  0,5 A1  A2  1 0,5 A1  A2  0 

A2  0,5 A1

A1  0,5 A1  0,5 A1  1

A1  2 

X ( z) 

2 (1  z 1 )



1 (1  0,5 z 1 )



A2  1

 x(n)  [2  (0,5) n ]u (n)

 Pole-pole berbeda semua

Ak AN X ( z) A1    z z  p1 z  pk z  pN ( z  pk ) X ( z ) ( z  pk ) A1 ( z  pk ) AN     Ak    z z  p1 z  pN

( z  pk ) X ( z ) z

z  pk

 Ak

Contoh Soal 8.17 Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n )  6 y(n  1)  8 y(n  2)  5x (n )  28x (n  1)  8x (n  2)

Jawab: Y(z)  6z 1Y(z)  8z 2 Y (z)  5X(z)  28z 1X(z)  8z 2 X(z)

1 X(z)  1  z 1

(5  28z 1  8z 2 ) 1 Y(z)  1  6 z 1  8 z  2 1  z 1

A3 Y (z) (5z 2  28z  8) A1 A2  2    z (z  6z  8)( z  1) z  2 z  4 z  1

A3 Y(z) (5z 2  28z  8) A1 A2     z (z  2)( z  4)( z  1) z  2 z  4 z  1 (z  2)Y(z) 5z 2  28z  8 20  56  8 84 A1      14 z (z  4)( z  1) z  2 (2)( 3) 6

(z  4)Y (z) 5z 2  28z  8 80  112  8 200 A2      20 z (z  2)( z  1) z  4 (2)( 5) 10 (z  1) Y(z) 5z 2  28z  8 5  28  8  15 A3      1 z (z  2)( z  4) z 1 (3)(5) 15

Y(z)  14 20 1    z z  2 z  4 z 1

 14 20 1 Y(z)    1 1 1  2z 1  4z 1  z 1

y zs (n )  [14(2) n  20(4) n  1]u (n )

 Ada dua pole yang semua AN X(z) A1 A1k A 2k     2 z z  p1 (z  p k ) z  pk z  pN

(z  p k ) X(z)  z zp 2

A1k

A 2k

k

d  (z  p k ) 2 X (z)     dz  z 

z  pk

Contoh Soal 8.18 Tentukan transformasi-Z balik dari :

1 X(z)  (1  z 1 )(1  z 1 ) 2 Jawab: 2

A3 X(z) z A1 A2     2 2 z (z  1)( z  1) z  1 (z  1) (z  1)

(z  1)X(z) z2 A1   2 z (z  1)

z  1

1  4

(z  1) 2 X(z) z2 1 A2    z (z  1) z 1 2 d  (z  1) 2 X(z)  d  z2  A3       dz  z dz  (z  1)   (2z)( z  1)  (1)( z 2 ) z 2  2z 3    2 2 (z  1) (z  1) z 1 4

1 1 3 n x (n )  [ (1)  n  ]u (n ) 4 2 4

 Pole kompleks

A1 A2 X(z)   1 1  p1z 1  p 2 z 1 p1  p



p2  p *

A1  A



A2  A *

1

1

A A* A  Ap * z  A *  A * pz   1 1 1  pz 1 p*z 1  pz 1  p * z 1  pp * z  2 b o  b1z 1 (A  A*)  (Ap *  A * p)z 1  1 2 1 2 1  (p  p*)z  pp * z 1  a 1z  a 2 z

A  A*  Re(A)  j Im( A)  Re(A)  j Im( A)  2 Re(A) b o  A  A*  2 Re(A) p  p*  Re(p)  j Im( p)  Re(p)  j Im( p)  2 Re(p) a 1  (p  p*)  2 Re(p) pp*  [Re( p)  j Im( p)][Re( p)  j Im( p)]  Re (p)  Im (p)  p 2

2

2



a 2  pp*  p

2

Ap *  A * p  [Re(A)  j Im( A)][Re( p)  j Im( p)]  [Re(A )  j Im( A)][Re( p)  j Im( p)]  2 Re(A) Re(p)  2 Im( A ) Im( p) Ap*  [Re(A)  j Im( A)][Re( p)  j Im( p)]  [Re(A ) Re(p)  Im( A ) Im( p)]  j [Re(p) Im( A )  Re(A ) Im( p] b1  (Ap *  A * p)  2 Re(Ap*)

Contoh Soal 8.19

1  z 1 X(z)  1  z 1  0,5z  2

Tentukan transformasi-Z balik dari :

Jawab:

b o  b1z 1 1  z 1 X(z)   1 2 1  z  0,5z 1  a 1z 1  a 2 z  2

b o  2 Re(A)  1



Re(A)  0,5

a 1  2 Re(p)  1



Re(p)  0,5

b1  2 Re(Ap*)  1



Re(Ap*)  0,5

2

a 2  p  0,5



Re 2 (p)  Im 2 (p)  0,5

Re(p)  0,5

Re(A)  0,5

Re (p)  Im (p)  0,25  Im (p)  0,5 2

2

2

Im 2 (p)  0,25  Im( p)  0,5  p  0,5  j 0,5 Ap*  [0,5  j Im( A )]( 0,5  j0,5)

Re(Ap*)  0,25  0,5 Im( A )  0,5 Im( A)  0,25



A  0,5  j 0,25

A A* X(z)   1 1 1  pz 1 p*z 0,5  j 0,25 0,5  j 0,25   1 1  (0,5  j 0,5)z 1  (0,5  j 0,5)z 1

0,5  j 0,25 0,5  j 0,25 X(z)   1 1 1  (0,5  j 0,5)z 1  (0,5  j 0,5) z

0,5  j 0,5  0,707e j45

0,5  j 0,5  0,707e  j45

x (n )  (0,5  j 0,25)(0,707e j45 ) n  (0,5  j 0,25)(0,707e j45 ) n  (0,5)(0,707) n (cos 45n  j sin 45n )  j(0,25)(0,707 n )(cos 45n  j sin 45n )  (0,5)(0,707) n (cos 45n  j sin 45n )  j(0,25)(0,707 n )(cos 45n  j sin 45n )  (0,707) n cos 45n  0,5(0,707) n sin 45n

TRANSFORMASI-Z SATU SISI

 Definisi :

X  (z) 



n x ( n ) z  n 0

Contoh Soal 8.20 Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1

b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1

c). x 3 (n )   0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 d ). x 4 (n )   2, 5, 7, 0, 1

Jawab:

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1 X1 (z)  1  2z 1  5z  2  7 z  3  z  5

b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1 X 2 (z)  5  7 z 1  z  3 c). x 3 (n )   0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 X 3 (z)  z 1  2z  2  5z  3  7 z  4  z  7

d ). x 4 (n )   2, 5, 7, 0, 1 X 4 (z)  5  7 z 1  z  3

Contoh Soal 8.21 Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls di bawah ini

a ). x 5 (n )  (n ) b). x 6 (n )  (n  k ), k  0 c). x 7 (n )  (n  k ), k  0

Jawab:



a ). X 5 (z) 

n  ( n ) z 1 

b). X 6 (z) 

n k  ( n  k ) z  z 

c). X 7 (z) 

n 0 

n 0 

n  ( n  k ) z 0  n 0

 Time Delay

k

x (n  k )  z  k [X  (z)   x ( n )z n ]

n 1 Contoh Soal 8.22 Tentukan transformasi Z satu sisi dari x1(n) = x(n-2)

dimana x(n) = anu(n )

Jawab:

1 x (n )  a u (n )  X (z)  1  az 1 2   2  n X1 ( z )  z  X   x (  n ) z  n 1    z  2 X   x (1)z  x (2) z 2 

n



z2 1 1 2   a z  a 1  az 1



 Time advance

k 1

x (n  k )  z k [X  (z)   x (n )z  n ] n 0

Contoh Soal 8.23 Tentukan transformasi Z satu sisi dari x2(n) = x(n+2) dimana x(n) = anu(n )

Jawab: x (n )  a n u (n )

1  X (z)  1  az 1 1   2  n  X 2  z  X (z)   x (n )z  n 0    z 2 X   x (0)  x (1)z 1



z2 2   z  az 1 1  az





Contoh Soal 8.24 Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n )  3y(n  1)  y(n  2)  4,5x (n )  9,5x (n  1) y(1)  8,5

y(2)  7,5 y( n )  y zi (n )

dengan input x(n) = 0

Jawab:

Y  (z)  3z 1[Y  ( z)  y(1) z] 2



 2z [Y (z)  y( 1)z  y(2)z ]  0 2

Y  (z)  3z 1[Y  (z)  y(1)z]  2z  2 [Y  (z)  y(1)z  y( 2)z 2 ]  0 

Y (z)[1  3z

1

2

 2z ]  3y( 1)  2 y(1)z

1  3 (  8 , 5 )  2 (  8 , 5 ) z  2(7,5)  Y (z)  1  3z 1  2z  2 1 17z  10,5  1  3z 1  2z  2

Y  (z) 10,5z  17 10,5z  17  2  z z  3z  2 (z  1)( z  2)

1

 2 y(2)

Y  (z) 10,5z  17 10,5z  17 A1 A2  2    z z  3z  2 (z  1)( z  2) z  1 z  2

(z  1)Y  (z) 10,5z  17 6,5 A1     6,5 z z  2 z  1 1 (z  2)Y  (z) 10,5z  17 4 A2    4 z z  1 z  2 1 6,5z 4z 6,5 4 Y (z)     1 z 1 z  2 1 z 1  2z 1 

y zi (n )  6,5(1) n  4(2) n

Contoh Soal 8.25 Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n )  6 y(n  1)  8 y(n  2)  5x (n )  28x (n  1)  8x (n  2) y(1)  4 y(2)  3

Jawab: Y  (z)  6z 1[Y  (z)  y(1)z] 2





 8z [Y (z)  y(1)z  y(2)z ]  5X (z) 2

 28z 1[X  (z)  x (1)z]  8z  2 [X  (z)  x (1)z  x (2)z 2 ] Y  (z)[1  6z 1  8z 2 ]  24  32z 1  24  X  (z)[5  28z 1  8z  2 ]

Y  (z)[1  6z 1  8z 2 ]  24  32z 1  24  X  (z)[5  28z 1  8z  2 ]

Y  (z)[1  6z 1  8z  2 ]  32z 1

5  28z 1  8z 2   1 1 z

1 2 1 2 32 z  32 z  5  28 z  8 z  Y (z)  (1  6z 1  8z  2 )(1  z 1 ) 1 2 5  4 z  24 z  Y (z)  (1  6z 1  8z  2 )(1  z 1 )

Y  (z) 5z 2  4z  24  2 z (z  6z  8)( z  1)

Y  (z) 5z 2  4z  24 5z 2  4z  24  2  z (z  6z  8)( z  1) (z  2)( z  4)( z  1) A3 5z 2  4z  24 A1 A2    (z  2)( z  4)( z  1) z  1 z  2 z  4 5z 2  4z  24 5  4  24  15 A1     1 (z  2)( z  4) z 1 (3)(5) 15 5z 2  4z  24 20  8  24  12 A2    2 (z  4)( z  1) z  2 (2)( 3) 6 5z 2  4z  24 80  16  24 40 A3    4 (z  2)( z  1) z  4 (2)( 5) 10

Y 1 2 4    z z 1 z  2 z  4 1 2 4 Y    1 1 1 z 1  2z 1  4 z 1 

y(n )  [1  2(2) n  4(4) 2 ]u (n )