PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL Modul 5. Sistem Waktu Diskret dan Aplikasi TZ
Content • Overview Sistem Waktu Diskrit • System Properties (Shift Invariance, Kausalitas, Stabilitas) dikaitkan dengan TZ • Transformasi sistem dari persamaan difference ke respon impuls dan sebaliknya • Realisasi Sistem dg adder minimal dan delay minimal • Mencari Respon Steady State • Struktur : kaskade, paralel
Fungsi Sistem dari Sistem LTI Y ( z) y(n) h(n) * x(n) Y ( z ) H ( z ) X ( z ) H ( z ) X ( z)
Respon impuls
h(n) H ( z )
Fungsi sistem
Persamaan beda dari sistem LTI : N
M
k 1
k 0
N
M
y (n) ak y (n k ) bk x(n k )
Y ( z ) ak Y ( z ) z k 1
k
bk X ( z ) z k 0
k
N
M
k 1
k 0
Y ( z ) ak Y ( z ) z k bk X ( z ) z k N
M
k 1
k 0
Y ( z )[1 ak z k ] X ( z ) bk z k M
Y ( z) X ( z)
bk z
k 0 N
k
1 ak z k 1
H ( z) k
Fungsi sistem rasional
M
Y ( z) X ( z)
k b z k
k 0 N
H ( z)
Pole-Zero system
1 ak z k k 1
1kN
Hal khusus I : ak = 0, M
H ( z ) bk z
k
k 0
1 zM
M
bk z
H ( z)
N
1 ak z k k 1
All-zero system
k 0
1kM
Hal khusus II : bk = 0, bo
M k
bo N
k a z k
k 0
ao 1
All-pole system
Contoh 1: Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI :
1 y(n) y(n 1) 2 x(n) 2 Jawab:
1 1 Y ( z) z Y ( z) 2 X ( z) 2 1 1 Y ( z )(1 z ) 2 X ( z ) 2 2 H ( z) 1 1 1 z 2
n
1 h( n) 2 u ( n) 2
Contoh 2: Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
y(n) 3 y(n 1) y(n 2) 4,5x(n) 9,5x(n 1) Jawab:
Y ( z) 3z 1Y ( z) 2 z 2Y ( z) 4,5 X ( z) 9,5z 1 X ( z)
Y ( z)(1 3z 1 2 z 2 ) X ( z )(4,5 9,5z 1) Y ( z) 4,5 9,5 z 1 H ( z) X ( z ) 1 3z 1 2 z 2
H ( z)
4,5 9,5 z 1
H ( z ) 4,5 z 9,5 2 z z 3z 2
1 3z 1 2 z 2
H ( z) A1 A2 5 0,5 z z 1 z 2 z 1 z 2 H ( z)
5 1 (1) z
1
0,5 1 (2) z 1
h(n) [5(1) 0,5(2) ]u(n) n
n
Contoh 3: Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
y(n) 3 y(n 1) y(n 2) 4,5x(n) 9,5x(n 1) y(1) 0
y(2) 0
dan mendapat input x(n) = (-3)nu(n)
y(n) y zs (n)
Jawab: Y(z) 3z 1Y(z) 2z 2 Y(z) 4,5X(z) 9,5z 1X(z) Y(z)(1 3z 1 2z 2 ) X(z)(4,5 9,5z 1 )
Y ( z)(1 3z 1 2 z 2 ) (4,5 9,5z 1) X ( z) x(n) (3) u (n) X ( z )
1
n
Y ( z )(1 3z Y ( z)
1
2
1 (3) z 1
2 z ) (4,5 9,5 z )
1
1 1 3z 1
(4,5 9,5 z 1 ) (1 3z 1 2 z 2 )(1 3z 1 )
Y ( z) z 2 (4,5 9,5 z 1 ) 3 z z (1 3z 1 2 z 2 )(1 3z 1 )
Y ( z) (4,5 z 2 9,5 z ) (4,5 z 2 9,5 z ) 2 z ( z 3z 2)( z 3) ( z 1)( z 2)( z 3)
1 1 3z 1
Y ( z) (4,5 z 2 9,5 z ) (4,5 z 2 9,5 z ) 2 z ( z 3z 2)( z 3) ( z 1)( z 2)( z 3) A3 (4,5 z 2 9,5 z ) A1 A2 ( z 1)( z 2)( z 3) ( z 1) ( z 2) ( z 3) Y ( z ) A1 ( z 2 5 z 6) A2 ( z 2 4 z 3) A3 ( z 2 3z 2) z ( z 1)( z 2)( z 3)
A1 A2 A3 4,5 5 A1 4 A2 3 A3 9,5 6 A1 3 A2 2 A3 0
1 1 1 D 5 4 3 2 6 3 2
A1
4,5 1 1
1 4,5 1
9,5 4 3
5 9,5 3
0 3 2 D
5 2,5 2
A2
6 0
2,5 1 A3 4,5 A3 6 Y ( z ) 2,5 1 6 z ( z 1) ( z 2) ( z 3) 2,5 1 6 Y ( z) 1 1 (1 z ) (1 2 z ) (1 3z 1 )
y zs (n) [2,5(1) n (2) 2 6(3) n ]u(n)
D
2
2 1 2
Contoh 4: Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
y(n) 6 y(n 1) 8 y(n 2) 5x(n) 28x(n 1) 8x(n 2)
Jawab: Y ( z) 6 z 1Y ( z) 8z 2Y ( z) 5 X ( z) 28z 1 X ( z) 8z 2 X ( z)
X ( z)
1 1 z
1
Y ( z)
(5 28 z 1 8 z 2 )
1
1 6 z 1 8 z 2 1 z 1
A3 Y ( z) (5 z 2 28 z 8) A1 A2 2 z ( z 6 z 8)( z 1) z 2 z 4 z 1
A3 Y ( z) (5 z 2 28 z 8) A1 A2 z ( z 2)( z 4)( z 1) z 2 z 4 z 1 ( z 2)Y ( z ) 5 z 2 28 z 8 A1 z ( z 4)( z 1)
z 2
( z 4)Y ( z ) 5 z 2 28 z 8 A2 z ( z 2)( z 1) ( z 1)Y ( z ) 5 z 2 28 z 8 A3 z ( z 2)( z 4)
Y ( z ) 14 20 1 z z 2 z 4 z 1
20 56 8 84 14 (2)(3) 6
z 4
z 1
80 112 8 200 20 (2)(5) 10 5 28 8 15 1 (3)(5) 15
Y ( z)
14 1 2z
y zs (n) [14(2) n 20(4) n 1] u(n)
1
20 1 4z
1
1 1 z 1
Contoh 5: Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
y(n) 3 y(n 1) y(n 2) 4,5x(n) 9,5x(n 1) y(1) 8,5
y(2) 7,5
dengan input x(n) = 0
y(n) y zi (n)
Jawab:
Y ( z ) 3z 1[Y ( z ) y (1) z ] 2
2 z [Y ( z ) y (1) z y (2) z ] 0 2
Y ( z ) 10,5 z 17 10,5 z 17 A1 A2 2 z z 3z 2 ( z 1)( z 2) z 1 z 2
( z 1)Y ( z ) 10,5 z 17 A1 z z2
6,5 6,5 1 z 1
( z 2)Y ( z ) 10,5 z 17 A2 z z 1
z 2
4 4 1
6,5 z 4z 6,5 4 Y ( z) 1 1 z 1 z 2 1 z 1 2z
y zi (n) 6,5(1) n 4(2) n
Contoh 6: Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :
y(n) 6 y(n 1) 8 y(n 2) 5 x(n) 28 x(n 1) 8 x(n 2) y(1) 4
y (2) 3
Jawab: Y ( z ) 6 z 1[Y ( z ) y (1) z ] 8 z 2 [Y ( z ) y (1) z y (2) z 2 ] 5 X ( z ) 28 z 1[ X ( z ) x(1) z ] 8 z 2 [ X ( z ) x(1) z x(2) z 2 ] Y ( z )[1 6 z 1 8 z 2 ] 24 32 z 1 24 X ( z )[5 28 z 1 8 z 2 ]
Y ( z )[1 6 z 1 8 z 2 ] 24 32 z 1 24 X ( z )[5 28 z 1 8 z 2 ]
Y ( z )[1 6 z 1 8 z 2 ] 32 z 1
Y ( z) Y ( z)
5 28 z 1 8 z 2 1 z 1
32 z 1 32 z 2 5 28 z 1 8 z 2 (1 6 z
1
2
1
8 z )(1 z )
5 4 z 1 24 z 2 (1 6 z
1
2
1
8 z )(1 z )
Y ( z) 5 z 2 4 z 24 2 z ( z 6 z 8)( z 1)
Y ( z) 5z 2 4z 24 5z 2 4z 24 2 z (z 6z 8)(z 1) (z 2)(z 4)(z 1) A3 5z 2 4z 24 A1 A2 (z 2)(z 4)(z 1) z 1 z 2 z 4 5z 2 4z 24 5 4 24 15 A1 1 (z 2)(z 4) z 1 (3)(5) 15 5z 2 4z 24 20 8 24 12 A2 2 (z 4)(z 1) z 2 (2)(3) 6 5z 2 4z 24 80 16 24 40 A3 4 (z 2)(z 1) z 4 (2)(5) 10
Y 1 2 4 z z 1 z 2 z 4
1 2 4 Y 1 1 1 z 1 2z 1 4z 1
y(n) [1 2(2) 4(4) ]u(n) n
2
Deskripsi Input-Output Ekspresi matematik : Hubungan antara input dan output x(n) = input (masukan, eksitasi) y(n) = output (keluaran, respon) = Transformasi (operator)
Sistem dipandang sebagai black box
y (n) T [ x(n)] T
x ( n)
y ( n)
Contoh 7: Tentukan respon dari sistem-sistem berikut terhadap input :
n, 3 n 3 x ( n) 0, n lainnya
a)
y ( n) x ( n)
b)
y (n) x(n 1)
c)
1 y (n) x(n 1) x(n) x(n 1) 3
Jawab :
x(n) 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 0, a)
y(n) x(n)
b)
y(n) x(n 1)
Sistem identitas
y(0) x(0 1) x(1)
y(n) 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 0,
x(n) 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 0, c)
1 y(n) x(n 1) x(n) x(n 1) 3 1 y(0) x(1) x(0) x(1) 3
5 2 5 y (n) 0,1, , 2, 1, , 1, 2, ,1, 0, 3 3 3
y ( n)
n
x( k )
y ( n)
k
y(n) y(n 1) x(n)
n 1
x ( k ) x ( n )
k
Akumulator
y(n) tidak hanya tergantung pada input x(n) tapi juga pada respon sistem sebelumnya y(n-1) initial condition (kondisi awal) y(n-1) = 0 sistem relaks
Contoh 8: Tentukan respon dari akumulator dengan input x(n) = n u(n) bila : a) y(- 1) = 0 (sistem relaks) b) y(- 1) = 1 Jawab :
y ( n)
n
1
n
k
k
k 0
x( k ) x( k ) x( k ) n
y(n) y (1) x(k ) k 0
n
y(n) y (1) x(k ) k 0
a)
b)
n(n 1) x(k ) k 2 k 0 k 0 n
n(n 1) y(1) 0 y(n) 2
y (1) 1
n
n0
n(n 1) y ( n) 1 2 2 n n2 n0 2
Representasi Diagram Blok Penjumlah (adder) Pengali dengan konstanta (constant muliplier) Pengali sinyal (signal multiplier) Elemen tunda (unit delay element)
Adder : x1(n)
x2(n)
+
y(n) = x1(n) + x2(n)
Constant multiplier : x(n)
a
y(n) = a x(n)
Signal multiplier : x1(n)
x2(n)
x
y(n) = x1(n)x2(n)
Unit delay element : x(n)
z -1
y(n) = x(n –1)
x(n)
z
y(n) = x(n +1)
Contoh 9: Buat diagram blok dari sistem waktu diskrit dimana :
1 1 1 y(n) y(n 1) x(n) x(n 1) 4 2 2 Jawab : black box 0,5 z -1
x(n)
+
+
y(n) z-1
0,5 0,25
1 1 1 y(n) y(n 1) x(n) x(n 1) 4 2 2 1 1 y(n) y(n 1) [ x(n) x(n 1)] 4 2 black box z -1
x(n)
+
0,5
+
y(n) z-1
0,25
Klasifikasi Sistem
Sistem statik dan dinamik Time-invariant & time-variant system Sistem linier dan sistem nonlinier Sistem kausal dan sistem nonkausal Sistem stabil dan sistim tak stabil
Sistem Statik (memoryless) : Output pada setiap saat hanya tergantung input pada saat yang sama Tidak tergantung input pada saat yang lalu atau saat yang akan datang
y ( n) a x ( n) y ( n) n x ( n) b x ( n) 3
y(n) T [ x(n), n]
Sistem Dinamik : Outputnya selain tergantung pada input saat yang sama juga tergantung input pada saat yang lalu atau saat yang akan datang
y (n) x(n) 3 x(n 1)
Memori terbatas
n
y ( n) x ( n k ) k 0
Memori terbatas
y ( n) x ( n k ) k 0
Memori tak terbatas
Sistem Time-Invariant (shift-invariant) : Hubungan antara input dan output tidak tergantung pada waktu
y(n) T [ x(n)] Umumnya :
y(n k ) T [ x(n k )]
y(n, k ) T [ x(n k )]
y(n, k ) y(n k )
Time-invariant
y(n, k ) y(n k )
Time-variant
Contoh 10:
Tentukan apakah sistem-sistem di bawah ini time-invariant atau time-variant a)
y(n) = x(n) - x(n-1)
x(n)
+
Differentiator
z -1
Jawab :
y (n) T [ x(n)] x(n) x(n 1) y (n, k ) T [ x(n k )] x(n k ) x(n k 1) y (n k ) x(n k ) x(n k 1)
y(n, k ) y(n k )
Time-invariant
b) x(n)
y(n) = n x(n) Time multiplier
x n
Jawab :
y (n) T [ x(n)] nx(n) y (n, k ) T [ x(n k )] nx(n k ) y (n k ) (n k ) x(n k ) nx(n k ) kx(n k )
y(n, k ) y(n k )
Time-variant
c)
x(n) T
y(n) = x(-n)
Folder
Jawab :
y (n) T [ x(n)] x(n) y (n, k ) T [ x(n k )] x(n k ) y (n k ) x[(n k )] x(n k )
y(n, k ) y(n k )
Time-variant
d)
x(n)
x
y(n) = x(n)cos(on)
Modulator
cos(on)
Jawab :
y (n) T [ x(n)] x(n) cos( o n) y (n, k ) T [ x(n k )] x(n k ) cos( o n) y (n k ) x(n k ) cos[ o (n k )]
y(n, k ) y(n k )
Time-variant
Sistem Linier : Prinsip superposisi berlaku x1(n)
a1
+ x2(n)
T
a2
y1 (n) T [a1 x1 (n) a2 x2 (n)]
y1(n)
x1(n)
a1 T
y2(n)
+ x2(n)
a2 T
y2 (n) a1T [ x1 (n)] a2T [ x2 (n)] y1 (n) y2 (n)
Linier
Contoh 11: Tentukan apakah sistem-sistem di bawah ini linier atau nonlinier
a)
y (n) nx(n)
b)
y ( n) x ( n )
c)
y ( n) x ( n)
d)
y (n) Ax (n) B
2
2
Sistem Kausal : Outputnya hanya tergantung pada input sekarang dan input yang lalu • x(n), x(n-1), x(n-2), ….. Outputnya tidak tergantung pada input yang lalu • x(n+1), x(n+2), …..
y(n) F[ x(n), x(n 1), x(n 2),]
Contoh 12: Tentukan kausalitas dari sistem-sistem di bawah ini :
a) b)
y (n) x(n) x(n 1) y ( n)
n
x(k )
k
c)
y ( n) a x ( n k )
d)
y ( n ) x ( n ) 3 x ( n 4)
e)
y ( n) x ( n )
f)
y ( n) x ( 2n)
g)
y ( n) x ( n)
2
a, b dan c kausal
d, e dan f nonkausal g kausal
Sistem Stabil : Setiap input yang terbatas (bounded input) akan menghasilkan output yang terbatas (bounded output) BIBO
x(n) M x
y(n) M y
Contoh 13: Tentukan kestabilan dari sistem di bawah ini
y(n) y 2 (n 1) x(n)
y(1) 0
bila mendapat input x(n) = C (n), 1 < C < Jawab :
y ( 0) C y (1) C
2
y ( 2) C 4 y ( n) C
2n
Tidak stabil
Hubungan Antar Sistem Sistem-sistem kecil dapat digabungkan menjadi sistem yang lebih besar Hubungan seri dan paralel x(n)
y1(n)
T1
T2
y1 (n) T1[ x(n)]
y (n) T2 [ y1 (n)] T2 T1[ x(n)]
Tc T2T1 y(n) Tc [ x(n)]
y(n)
Umumnya :
T2T1 T1T2 Sistem linier dan time-invariant :
T2T1 T1T2
Hubungan paralel :
y1(n) T1
x1(n)
+ T2
y2(n)
y(n) y1 (n) y2 (n) T1[ x(n)] T2 [ x(n)] Tp (T1 T2 )
y(n) (T1 T2 )[ x(n)] Tp [ x(n)]
y(n)
