]AIqAN PAN
UMUR B
@*nAHATLMU
PENGOIAHAN SINYAL DIGITAL lr$t8fi]t Pffi n0snfimffi mmm[ Dadang Gunawan
Filbert Hilman Juwono
PENCOLAHAN
SI
NYAL DICITAT
dengan Pemrograman MATTAB
Oleh
:
i I I I !
DadangGunawan Filbert Hilman Juwono
t I I
Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2012
Hak Cipta @ 2A12 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.
GRAHA ILMU Ruko Jambusari No. 7A Yogyakarta 55283 Telp : 027 4-88983 6; O27 4-889398 Fax. : 0274-889O57
E-mail
:
[email protected]
Gunawan, Dadang; ,Juwono,
Filbert Hilman
PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL; Dengan Pemrograman !4ATLAB/Dadang Gunawan; Filbert Hifman Juwono - Edisi Pertama - Yogyakarta; Graha Ilmu, 2012 x + 266, 1 Jj-l. z 26 cm.
1. Teknik
I. Judul
ruTAPE]YGANTAR
engolahan Sinyal Digital telah banyak digunakan dalam berbagai aplikasi. Sebagai contoh, aplikasi-aplikasi tersebut meliputi teknik pengenalan suara, kompresi sinyal (data, gambar), dan juga televisi dan telepon digital. Pengolahan Sinyal Digital juga sangat membantu dalam penanganan bencana alam, seperti dapat diciptakannya teknologi pemantau gempa dan tsunami. Selain
iftl juga aplikasi biomedik, seperti sinyal electrocardiography (ECG) dan electroencephalogram (EEG), sangat terbantu dengan adanya teknologi digital.
Buku ini memberikan dasar-dasar teknik yang digunakan dalam Pengolahan Sinyal Digital. Buku mengenai sinyal, yaitu jenis-jenis sinyal. Walaupun dibahas mengenai sinyal kontinu, penekanan masih tetap pada sinyal diskrit. Bab 2 membahas mengenai sistem dan operasinya. Pengolahan Sinyal Digital memang merupakan suatu bagian khusus dari subjek Sinyal dan Sistem sehingga penekanan intinya tidak lepas dari topik tersebut. Bab 3 membahas mengenai Sistem LTI waktu diskrit. Sistem LTI sering diasumsikan karena paling mudah untuk diaplikasikan. Bab 4 membahas mengenai transformasi dari domain waktu ke domain frekuensi yang dinyatakan sebagai representasi Fourier dengan penekanan pada Discrete Fourier Transform (DFT) dan Discrete'Time Fourier Transform (DTFT). Bab 5 membahas mengenai hansformasi z, suatu transformasi yang berguna untuk menganalisis sistem diskrit. Bab 6 membahas mengenai filter Finite Impulse Response (FiR) sedangkan bab 7 membahas mengenai filter Infinite Impulse Response (IIR). Tiap-tiap bab juga dilengkapi dengan program MATLAB yang mendukung penjelasan-penjelasan yang ada. Diharapkan Anda dapat mengembangkan program MATLAB tersebut jika telah memahami betul teoriteori yang disajikan.
ini terbagi menjadi 7 bab. Bab I memberikan gambaran
vi
Dosar Pengolahan Sinyal Digitol
Akhirnya. kami berharap buku ini'dapat merijadi dasar untuk aplikasi dari Pengolahan Sinyal Digital dan kami juga berharap dapat memberi manfaat bagi pengembangan ilmu.
Jakarta, September 201 I
Penulis
DAFTARlS'T
KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB
BAB
BAB
1
2
3
SIR{YAI,
v
vii 1
1.1 Pendahuluan 1.2 Macam-macam Sinyal 1.3 Operasi lJasar Sinyal 1.4 Sinyal-sinyal Dasar 1.5 IV1engapa Pengolahan Sinyal Digital? 1.6 Kerangka Isi Buku
28
Soal-soal
34
SISTEM
37
2.1
37
Pendahuluan
I 2
I 15
26
2.2 Klasifikasi Sistem
38
Soal-soal
45
SISTEM LTI WAKTU-DISKRIT DALAM DOMAIN WAKTU
49
3.1 Komponen Dasar Sistem 3.2 Persamaan Perbedaan 3.3 Konversi Sinyal Analog Menjadi Digital 3.4 Konvolusi 3.5 Korelasi 3.6 Interkoneksi Sistem LTI
49
5l 58 68 76 82
wtI
BAB
BAB
BAB
Dasar Pengolahan Sinyol Digital
4
5
6
3.7 Rangkuman Operasi Sinyal dan Notasinya 3.8 Konvolusi Sinyal Kontinu
84
Soal-soal
90
REPRESENTASI FOURIER: DISCRBTE FOURIER TRANSFORM
93
4.1 Pendahuluan 4.2 Fourier Series (FS) 4.3 Fourier Transtbrm (FT) 4.4 Discrete-Time Fourier Transform @fFf) 4.5 Discrete Fourier Transform @Ff) 4.6 Properti Representasi Fourier 4.7 Fast Fourier Transform FFf) 4.8 lrwers Fast Fourier Transform (IFFT)
93
84
94 98 100 103
113 113
t23
Soal-Soal
129
TRANSFORMASI Z
133
5.1 Pendahuluan 5.2 Properti Transformasi Z 5.3 Fungsi Sistem LTI 5.4 Invers Transformasi Z 5.5 TransformasiZ Satu Sisi 5.6 Respons Sistem Pole-Zero dengan Kondisi Awal 5.7 Kausalitas dan Stabilitas 5.8 Penghilangan Pole-Zero 5.9 Stabilitas Sistem dengan Lebih Dari Satu Pole
133
138
146 148
159
Tidak Nol
161
t64 165
166
Soal-soal
172
FILTER DIGITAL: FIR
l7s
6.1 Pendahuluan 6.2 Respons Fasa 6.3 Tipe Filter FIR 6.4 Perancangan Filter 6.5 Spesifikasi Filter 6.6 Penghitungan Koefisien Filter 6.7 Metode Windowing 6.8 Metode Optimal 6.9 Metode Sampling Frekuensi
t75 t76
6. I 0
Transformasi Frekuensi
Soa[-soal
178
179 181
183 183
t94 t97 20r 208
Daftar lsi
BAB
7
ix
FILTER DIGITAL: IIR
211
7.1 Pendahuluan 7.2 Metode Penempatan Pole-Zero 7.3 Metode Impulse Invariant 7.4 Metode Matched Z-transforrn (lv[Zf) 7.5 Metode Bilinear Z-transforn (BZT) 7.6 Filter Analog 7.7 BZT dengan Filter Analog
2tt
Soal-soal
212
2t6 220 222 229 237
260
DAFTAR PUSTAKA
263
TENTANG PENTILIS
265
-oo0oo-
BAB
1
Sinyal
1,1
PENDAHULUAN inyal banyak dijumpai dalam keseharian kita seperti suara, musik, gambar, video. Selain itu, fenomena alam seperti temperatur, kelembapan, arah angin juga termasuk sinyal. Jika kita memeriksakan diri ke dokter biasanya akan diukur tekanan darah dan jika kita masuk ke ruang
ICU kemungkinan kita melihat denyut jantung seseorang yang ditampilkan dalam layar peralatan medis. Tekanan darah dan denyutjantung dapatjuga digolongkan sebagai sinyal. Sinyal didefinisikan sebagai kuantitas fisik yang membawa pesan atau informasi. Satu hal yang membedakan antara sinyal dan gelombang adalah masalah informasi; sinyal membawa infonnasi sedangkan gelombang tidak. Sinyal biasanya direpresentasikan secara matematik dalam bentuk fungsi satu atau lebih variabel. Sinyal yang hanya mempunyai satu variabel disebut sinyal satu dimensi (l-D), sebagai contoh adalah sinyal suara yang amplitudonya hanya tergantung pada satu variabel yaitu waktu. Untuk sinyal l-D, variabel bebasnya biasanya adalah waktu. Sinyal dengan dua atau lebih variabel disebut sinyal multi dimensi (M-D). Sebagai contoh, sinyal gambar (image) merupakan fungsi dua variabel ruang (koordinat x dan y). Contoh lain adalah intensitas medan listrik dapat dinyatakan dalam variabel waktu dan ruang.
Sinyal yang paling mudah diukur dan sederhana adalah sinyal listrik sehingga sinyal listrik biasanya dijadikan kuantitas fisik referensi. Sinyal-sinyal lain seperti temperatur, kelembapan, kecepatan angin, dan intensitas cahaya biasa diubah terlebih dahulu menjadi sinyal listrik dengan menggunakan transducer.
Dosar Pengolahan Sinyol
Digital
Istilah pengolahan sinyal berhubungan dengan metode-metode analisis, modifikasi, atau ekstraksi informasi dari suatu sinyal. Secara umum, pengolahan sinyal merupakan representasi matematik dan algoritma untuk melakukan proses-proses analisis, modifikasi, atau ekstraksi informasi seperti yang disebutkan di atas. Sinyal diolah di dalarn suatu sistem yang akan dibahas pada bab berikutrya. Sedangkan istilah digital berarti bahwa pengolahan sinyal tersebut dilakukan menggunakan komputer atau perangkat digital.
1.2
MACAM-MAEAM SINYAL
Di sini akan dibatasi sin"ral satu dimensi yang bernilai tunggal, yaitu untuk satu waktu hanya terdapat satu nilai saja, baik nilai riil maupun kompleks. Berbagai klasifikasi sinyal adalah sebagai berikut:
l.
Sinyal waktu-kontinu, waktu-diskrit, analog, dan digital Sinyal waktu-kontinu adalah sinyal yang variabel bebasnya kontinu, terdef:nisi pada setiap waktu. Sedangkan sinyal wakru-diskrit adalah sinyal yang variabel bebasrya diskrit, yaitu terdefinisi pada waktu-waktu tertentu dan karena itu merupakan suatu deretan angka (sequence of numbers). Sinyal analog adalah sinyal waktu-kontinu dengan amplitudo yang kontinu. Contohnya adalah sinyal suara. Sinyal digital adalah sinyal rvaktu-diskrit dengan amplitudo bernilai-diskrit yang digambarkan dalam dalam jumlah digit yang terbatas. Contohnya adalah sinyal inusik yarg terdigitasi yang tersimpan dalam CD-ROM.
Selain itu, terdapat juga sinyal data-tercacah dan sinyal boxcar. Sinyal data-tercacah (sampled-data
signal), yaitu sinyal waktu-diskrit yang dengan amplitude bernilai kontinu. Sinyal boxcar terkuantisasi (quantized boxcar signafi yaitu sinyal waktu-kontinu dengan amplitudo bernilai-diskrit. Sinyal-sinyal tersebut digambarkan dalam Gambar l.l.
Bab 1: Sinyal
Sinyal digital
Si
nyBl dtsta-tercacdh
Si
nyal boxcrr terkuanti s asi
Gambar 1,1 Sinyal waknt-kontinu, sinyal digital, sinyal data-tercocah, dan sinyal boxcar terkuantisosi Sinyal waktu-kontinu variabel bebas kontinunya dilambangkan dengan l, sementara sinyal waktubebas variabel bebas diskritnya dilambangkan dengan n. Sebagai contoh, x(t) menggambarkan suatu sinyal waktu-kontinu dan x[n] menggambarkan suatu sinyal waktu-diskrit. Setiap anggota, x[n], dari suatu sinyal waktu-diskrit disebut sampel. Secara matematik, sampel unfuk sinyal waktu-kontinu x(l) pada saat
xln)= x(nT) dengan n = 0, * dengan
I,
t:
nT, adalah
l,!2,...
(1.1)
adalah periode sampling.
Contoh 1.1
Kita akan menentukan tiga sampel positif pertama untuk sinyat sampling 0,5 detik. Berdasarkan persamaan (1.1) maka
xlnl = x (rnT,) = * (0,5 on)
x(r)=sin(al)
dengan periode
Dosar Pengolohan Sinyal Digital
4
untuk n
:
untuk n = untuk n
A, xlnf=.r(0)
= sin(0) = 0
l, x[ru] =.r(0,5r) = sin(0,52r) =
:2,
1
xln)= x(ri) = sin(n) = 0
t ,,
Srnyai genap dan sinyal ganjil Sinyal waktu-kontinu x(l) disebut sinyal genap jika
x(-t) dan disebut sinyal ganjil
x(t) untuk
=
semua
jika
x(-t)
=
-x(t)
(1.2)
'
untuk semua
(1.3)
'
Secara geometrik, sinyal genap akan simetris terhadap sumbu y dan sinyal ganjil akan antisimetrik terhadap titik O(0,0). Contoh yang paling sederhana untuk sinyal genap adalah sinyal kosinus dan
untuk sinyal ganjil adalah sinyal sinus' Setiap sinyal waktu-kontinu x(r) mempunyai komponen sinyal genap dan ganjil sehingga
x(r)= x"(t)+ x"(t) dengan
x"(t)
menyubstitusi
adalah komponen sinyal genap
l= -t
dan .r,
(r)
(1.4) adalah komponen sinyal ganjil. Dengan
padapersamaan (1.4) akan menjadi
,(-f) =x"(-t)+x,(-r)
dan dengan
menggunakan persamaan (1.2) dan (1.3) akan menjadi
'(-l)
=
x"(t)- *,(t)
(1.s)
Jika dilakukan eliminasi antarapersamaan (1.4) dan (1.5) akan menghasilkan
*,(t)
=*l.tt+ x(-r)]
,,(r)= persamaan (1.2)
(1.6)
(1.7)
ll-tl-,(-r)]
- (1.7) juga berlaku untuk sinyal diskrit. Jika x(f) merupakan sinyal kompleks,
yaitu x(t) = o(t)+
jb(t)
maka sinyal tersebut dikatakan simetri konjugat
,(-t)= r. (t)
jika (1.8)
Bob 1: Sfnyal
dengan
"r"(r)
didapat
+ "(*r) ;b(-t)
adalah konjugat Oari =
x(l).
Dongan menyubstitusi nilai-nilai pada persamaan (l.g)
a(t)- ib(r) . oengan
kata lain, sinyal simetri konjugat didapatkan jika
bagian riilnya merupakan sinyal genap dan bagian imajinernya merupakan sinyal ganjil.
Contoh 1.2 Bagian genap dau ganjil dari sinyal
xlnl=lcos(arrz)+Bsin(aron)
dapat ditentukan sebagai
berikut.
*l-"1 *
= A eos (atarr) - a sin ( aror)
"frl =| [, =
*,ln)= =
t
r:
|1, ^
+x
rrs
[-r]] = ] [,] "o. { aon)+B sin ( aror ) + A cos(aon ) - r sin ( aron )]
(ar,r)] = A
cos(aon)
, ,o, aon)+B sin (aroz) - r cos (aron ) + B sin (oon)] f,l-lr1- [-r]] = ] [,r {
j;zrrin (r',)l=
B sin(a,n)
Contoh 1.3
Bagian genap dan ganjil oari berikut. Tanda panah ke atas
f
x[r]=
g {: 4 ? 0 6 3 5} dapat ditentukan sebagai
menunjukkan nilai untuk indeks n = 0.
,[-,]={s s 3 6 o ? -4
3}
i i -2 ? -z Z 1, Z il ,.[nt=)l.w-,[-,]l={j Z-i i-z g 2;iZil *"1,f=)l.u.,t-,tl={i
Z
Dosar Pengolahan Sinyal Digital
3.
Sinyal periodik dan sinyal aperiodik
Sinyal
x(r)
periodik jikamemenuhi
x(r)= x(t dengan
I
+r)
(l'e)
adalah suatu konstanta positif yang menyatakan periode sinyal tersebut.
Nilai Z terkecii
I
disebut sebagai
yang memenuhi persamaan (1,9) disebut sebagai periode dasar. Kebalikan dari frekuensi.
t^l-'T
(1.10)
Frekuensi pada persamaan (1.10) dinyatakan dalam satuan Hz {hertz,) atau siklus per detik. Cara lain menyatakan frekuensi adalah dengan satuan radian per detik yang disebut sebagai frekuensi sudut
(angular). .l-
a=2nf="" "T
(l.ll)
Contoh sinyal periodik dengan periode 0,2 detik ditunjukkan pada Gambar 1.2.
Erktu ,
Gambar 1,2 Contoh sinyal periodik dengan periode 0,2 detik Sinyal yang tidak memenuhi persamaan (1.9) disebut sinyal aperiodik. Mirip dengan sinyal waktukontinu, untuk sinyal waktu-diskrit periodik memenuhi
x[n)= x[n
+
N]
(1.12)
dengan N adalah konstanta bilangan bulat positif. Nilai Nterkecil yang memenuhi persamaan (1.12) disebut periode dasar untuk sinyal waktu-diskrit
x[n].
Frekuensi sudut dasamya diberikan oleh
a=Z N Contoh sinyal periodik diskrit dengan periode
N:
8 ditunjukkan pada Gambar 1.3.
(1.13)
Bob 1: Sinyal
7
xlrl
Gambar 1.3 Contah sinyal waktu-diskrit periodik dengan periode Jika
x,[n] adalahperiodikdenganperiode N, dan
xfnl= r, [r]n ortnj
dan
hfnl= x,lnfxr[z] jrs,
N* dengan gcd(N,, N,
)
*rlr)
I
detik
adalahperiodikdenganperiode
N,
maka
periodik dengan periode dasar
N,Nt (1.14)
gcd (.1r, , ,rr, )
adalah pembagi bersama terbesar (greatest common divisor) dari
l[, dan 1/,
.
Contoh 1.4 Jika x[n]
=cos(ntrlI2)+sin(nnll8)
maka periodenya dapat dicari sebagai berikut. Sinyal
merupakan penjumlahan dari 2 sinyal, sinyal pertama mempunyai periode mempunyai periode Nz
=36.
Karena itu periode
x[z]
adarah
,
=
x[n]
Nt =24 dan sinyal kedua
,affi
=4ff =r, r
4.
Sinyal deterministik dan sinyal acak Sinyal deterministik didefinisikan sebagai sinyal yang dapat ditentukan melalui suatu proses tertentu seperti ekspresi matematis atau aturan tertentu atau tabel look-up. Sedangkan sinyal acak adalah sinyal yang dibangkitkan dengan cara acak dan tidak dapat diprediksi untuk waktu yang akan datang.
Gambar 1.2 merupakan contoh sinyal deterministik. Sinyal derau (noise) dan EEG (electroencephalogram) yang ditunjukkan pada Gambar 1.4 adalah contoh sinyal acak.
Dasar Pengolahan Sinyol Digitol
Gambar 1.4 Sinyal EEG sebagai sinyal acak
5.
Sinyal energi dan sinYal daYa Daya sesaat yang diserap (daya disipasi) pada sebuah hambatan didefinisikan sebagai
v'(t\ plt)=t
(1.15)
atau
p(/)=
nil
(t)
(r.16)
Dalam banyak sistem nilai R biasanya dinormalisa si unity (1 ohm), sehingga, secara umum daya berbanding lurus dengan kuadrat tegangan atau arus. Oleh sebab itu, untuk sinyal x(t), tanpa oleh memandang apakah sinyal tersebut merupakan tegangan atau arus, daya sesaatnya diberikan
p(t)= *'(t)
(1.17)
Energi total dari sinyal waktu-kontinu merupakan integral dari daya sesaat, yaitu
o
= !x'(t)dt
(1. l 8)
Daya rata-rata didefinisikan sebagai energi total dibagi total waktu sehingga dapat ditulis secara matematik sebagai
,
Tl2
= [ x'(t)at - -rl2 " l,1g* Jika sinyal
x(t)
(r.re)
periodik dengan periode dasar 7 maka dayarata-tata menjadi
p
a T11 ' t-
=+ ! x'(t)at '
Untuk sinyal waktu-diskrit, persamaan (1.18)
(1.20)
-rlz
-
(1.20) diubah menjadi persamaan (1.21)
E=i *'ln)
-
(1.23).
(1.21)
Bab 1: Sinyal
P=
lim+ i *'ln| t )|tl nu^.
(t.22)
N--+*
P=*;o t't
(1.23)
Sinyal energi adalah sinyal yang mempunyai energi terbatas, atau dengan kata lain memenuhi 0 < .A < o, Jika melihat persamaan (1.19) maka sinyal energi mempunyai daya nol. Sebaliknya, jika sinyal mempunyai daya terbatas, atau 0 < P < oo maka disebut sinyal daya. Sinyal daya mempunyai energi yang tak terbatas.
Contoh 1.5 Daya ruta-rata untuk sinyal pada Gambar 1.2 dapat dicari dengan menggunakan persamaan (1.20) sehingga didapatkan 0,2
P= | lut = 0,2 o!'13'
=r
0
I
1.3
OPERASI DASAR SINYAL
Ada dua macam operasi dasar yang biasanya dilakukan terhadap sinyal, yaitu operasi terhadap variabel terikatnya (variabel tak bebas) dan operasi terhadap variabel bebasnya. Operasi pada variabel terikatnya meliputi:
l.
Penskalaanamplitudo
Jika x(f
)
adalah sinyal waktu-kontinu maka suatu penskalaan amplitudo diberikan oleh:
v(t\= "x(t)
(r.24)
dengan.c adalah skala. Begitu juga untuk sinyal waktu-diskrit
Yl'tl=
cxln)
O'25)
Contoh aplikasi dari operasi ini adalah amplifier.
2.
Penjumlahan Penjumlahan dari dua buah sinyal, baik sinyal waktu-kontinu maupun sinyal waktu-diskrit adalah
y(t)
=
x,(t)+ xr(t)
(1.26)
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
10
)t[n]= x,[n]+ xrlnl
(1.27)
Contolr divais yang menggunakan prinsip penjurnlahan adalah ttudio mixer.
3.
Perkalian Operasi perkalian ini salah satunya digunakan pa
diberikan oieh:
4.
v(t\= aQ)x,(t)
(l.28)
tlnl= x,[n]x,lnl
(t.2e\
Diferensiasi
Jika
x(l)
adalali sinyal vvaktu-kontinu maka diferensial terhadap waktu diberikqn oleh
y(t)=fi.{,) Operasi diferensiasi
ini terdapat pada induktor, yailu beda
(1.30) tegangan antara ujung-ujung induktor
merupakan turunan pertama arus yang lewat pada induktor tersebut terhadap waktu dikalikan dengan
induktansi.
5.
Integrasi
Jika
x(r)
adalah sinyal waktu-kontinu maka integral terhadap waktu diberikan oleh
y(t)= l*Q)ar
(1.31)
Salah satu contoh operasi integrasi terdapat pada kapasitor, yaitu beda tegangan antara ujung-ujung kapasitor sebanding dengan integral arus yang lewat pada kapasitor tersebut terhadap waktu.
Operasi pada variabel bebas meliputi:
l.
Pergeseran
Sinyal
x(t-to)
kanan, sebaliknya
merupakan
jika
lo <
x(r)
0
vane digeser sejauh lo. Jika lo >
maka digeser ke
maka sinyal
x(l)
I
1.5 yang
(ditunjukkan dengan dash
kiri dengan lo = -1,5 (ditunjukkan dengan titik ..). Sinyal yang mengalami
kiri biasanya terdapat pada radar dan sonar.
aigeserke
kiri. Hal tersebut ditunjukkan pada Gambar
menunjukkan sinyal kotak yang digeser ke kanan dengan lo = digeser ke
0
*)
dan
pergeseran ke
Bab 1: Sinyol
t1
Gambar 1.5 Pergeseran sinyal ke kanan dan ke kiri Contoh 1.6 Jika sinyal
x(r)
aiUerit
t+1, -1
2
L 0, I
Maka sinyat
x(t -2)
dan
x(t +3)
yang lain
dapat dicari sebagai berikut.
Yang pertama adalah dengan menggeser sinyal ke kanan sebanyak 2 satuan, dapat diperoleh dengan mengganti t = t sehingga didapatkan
-2
I t-1, l
-z)=
]
_,1r.
I o,
,^:,,:: yang lain
Yang ke dua adalah dengan menggeser sinyal ke kiri sebanyak 3 satuan. Dengan cara yang sama didapat
It++, -4
l;, j,:i:;
I o, Dapatkah Anda menggambar ketiga sinyal tersebut?
yang lain
Dasar Pengolahan Sinyal Digitol
12
2.
Pencerminan
Sinyal
,(-f)
didapatkan dari sinyal x(f
)
aengan melakukan pencerminan terhadap I =
ditunjukkan pada Gambar 1.6. Aplikasi dari operasi
ini
x(f)
adalah jit
,(-t)
video yang keluar dari suatu video recorder maka sinyal
0 seperti
merepresentasikan sinyal
merepresentasikan pemutaran balik
(rewind) video tersebut (dengan asumsi kecepatan putar dan rewind adalah sama).
x(r)
Y(r) =
,1,_
-Tr
rz
O
0
-Tz
(a)
x(-t)
Ir
(b)
Gambar 1.6 Operasi pencerminan Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jika adalah sinyal genap; sebaliknya,
x(-t)=r(r)
untuk semua
jika x(-f)=-x(/) untuk semua t
t
maka sinyal tersebut
maka sinyal tersebut adalah
sinyal ganjil.
Contoh 1.7 Jika sinyal diskrit
n=l fl, n=-l ,[r]=]-r, [0, r=0dan lrlrt Kita akan membuktikan yl"l= xln)+ *l-rl.
"
Sinyal
*l-nl dapat diberikan sebagai
[-t,
l,
n:r n =-l
[0,
n=0danlrlrr
*l-"1=l Sehingga
jika dijumlahkan dengan x[n] hasilnya adalah
0 untuk semua,?.
I
Bob 1: Sinyal
3.
13
Penskalaan waktu
Jika sinyal
x(l)
ingin dibentuk menjadi
x(Zt)
*rl ,(;r)
maka pada sinyal tersebut dilakukan
penskalaan waktu seperti ditunjukkan pada Gambar 1.7. Secara umum penskalaan waktu dapat
ditulis sebagai
Y(t) = x(at)
(1.32)
Y[n]=*1k"1, k>o
(1.33)
,
v(0
(i,)
I
_!') 0 !') (b)
(c)
Gambar 1.7 Penskalaan waktu pada sinyal waktu-kontinu
Untuk sinyal waktu-kontinu terlihat jika a > 1 maka sinyal tersebut akan terkompresi, sedangkan jika 0 < a l maka sebagian nilai akan hilang. Hal tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.8. Untuk n=
k=2,
sinyal-sinyal untuk
*1,t3,!5,... akan hilang. ylnl = x[2nl
o
o (b)
(a)
Gambar 1.8 Penskalaan waktu pada sinyal waktu-diskrit
Jika operasi pergeseran dan penskalaan waktu dikombinasikan, yaitu untuk mendapatkan sinyal
y(t)=x(at-b)
maka langkah pertama yang dilakukan adalah pergeseran
langkah kedua baru penskalaan waktu
y(t)
= v(at) = x(at
-
b)
.
v(t)=x(t-b)
aan
Dasar Pengolohan Sinyal Digital
14
Contoh 1.8 Diketahui sinyal
x(r)
seperti pada Gambar 1'9(a). Sinyal
y(t)=x(Zt+3)
dapat dicari dengan
langkah-langkah sebagai berikut. Langkah pertama adalah melakukan pergeseran 3 satuan ke kiri, menjadi seperti pada Gambar 1.9(b). Langkah kedua adalah dengan melakukan penskalaan waktu 2 kali, yaitu sinyal akan terkompresi 2 kali, seperti pada Gambar 1'9(c).
I
*1 0 I (a)
-44-A-l
(b)
-'3-4-l
A
O
(c)
Gambar 1.9 Langkah-langkah pembentukan
y(t)
= x(Zt
+l)
Contoh 1.9 Suatu sinyal diskrit diberikan oleh (lihat Gambar 1.10(a))
I
t,
n =1,2
j-1, I
x[n ]=
I maka untuk menentukan
o,
yl"7: xlZn+3]
n
= -7,-2
r =0 dan lnlrz
hngkah-langkahnya adalah sebagai berikut. Pertama kali
dilakukan pergeseran tiga ke kiri sehingga didapatkan (Gambar 1.10(b))
It, vlnf=xln+:l={-t, LJLJI
I
o, n:
n=-1,-2 n=*4,-5 -3,fl 2 -l,n < -5
Langkah ke dua adalah penskalaan dua kali, yang akan mengkompresi sinyal menjadi seperti pada Gambar 1.10(c).
lt'
n=-l n=-2
yrn)= vlznl=
hl,
yang lain I
tub 1: Sinyol
15
vltrI=][a+3]
Y[n] = v[2nl
Gambar
1.4
l.l0
Pembentukan sinyal
yl"]= xl2n$1,
contoh 1.8
SINYAL-SINYAL DASAR Beberapa sinyal dasar yang sering dijumpai dalam topik sinyal dan sistem diantaranya adalah
sinyal eksponensial, sinusoidal , unit step, impuls, dan ramp.
l.
Sinyal eksponensial Secara umun sinyal ini mempunyai bentuk
x(t)= 3r* dengan
B
dan
a
adalah konstanta. Parameter
eksponensial tersebut akan naik; sebaliknya menurun. Hal ini
B
(1.34)
disebut amplitudo. Jika a >
jika a<0maka sinyal
0
maka sinyal
eksponensial tersebut akan
ditunjukkan pada Gambar 1.1l.
x(r)
o.t 0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 raktu,
saktu ,
Gambar
1.ll
Sinyal el*ponensial @) a <0 @)
a>0
0"7
0.t
o.9
Dasar Pengolohan Sinyol Digital
15
Untuk sinyal eksponensial waktu-diskrit
xfnf= 6v"
(1.3s)
r=ea.Untuk 01 sinyalakannaik.Hal tersbut ditunjukkan pada Gambar 1.12. Jika r < 0 sinyal akan mempunyai nilai postif dan negatif dengan
berselang-seling, nilai positif ketika n genap, dan negatif ketika n ganjil. 4.5
4 3.5 3
4
x[nl
rlnl
3
1
2.5 2
t.5 I
I
0.5
0 :10
-4
-E
-20
Gambar
2.
:t0 -8 -6 -4 -2
2
waktu n
0
r0
rvaktu n
l.l2
Sinyal eksponensial dislvit (o) 0 <
r <1 (b) r > I
Sinyal sinusoidal Secara umum, sinyal sinus dan kosinus disebut sebagai sinyal sinusoidal. Sinyal kosinus pada
dasarnya adalah sinyal sinus yang digeser nf
2
radian ke
kiri.
Sehingga, sinyal kosinus dapat
dinyatakan dalam sinus dan begitu juga sebaliknya. Dalam buku ini sinyal sinusoidal referensi yang digunakan adalah kosinus yang secara umum dinyatakan sebagai
,(r)= dengan
A
adalah amplitudo,
a
Acos(att+fi)
(1.36)
adalah frekuensi sudut dalam radiar/detik, dan $ adalah sudut fasa
dalam radian.
Sinyal sinusoidal adalah sinyal periodik dengan periode
)r (1.37) Dalam bentuk diskrit sinyal sinusoidal diberikan oleh
x[n]= Acos(an+Q) dengan frekuensi sudutdis\rit dalan: radian/siklus diberikan oleh
'
':.
(1.38)
Bob 1: Sinyal
t7
O_
2nm
nx,N
N
:
bilangan bulat
(1.3e)
Tidak semua sinyal sinusoidal diskrit periodik. Untuk periodik frekuensi sudutnya harus merupakan kelipatan 2n seperti ditunjukkan oleh persamaan (1.39). Contoh sinyal sinusoidal kontinu dan diskrit ditunjukkan pada Gambar 1.13 dan 1.14. 5
r(r)
O
-5
o.2
0.3
0.4
0.5 r')iral*u,
Gambar
l.l3
0.6
0.7
,
Sinyal sinusoidal kontinu
I 0.8 0.6
0.4 0.2
xlnl
o
-0.2
-o.4 -0.6 -0.8 0 :t0
-8 -6 -4 Gambar
-2 n'afitu n
l.l4
Sinyal sinusoidal diskrit
Bentuk sinyal sinusoidal seperti pada persamaan (1.36) disebut sebagai bentuk polar. Sinyal sinusoidal juga dapat dinyatakan dalam bentuk rectangular, yaitu terdiri dari komponen sinus dan kosinus, seperti ditunjukkan persamaan
(I
.40).
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
18
Acos(at *
0): I
(/)
cos
cos (ror)
-
,a sin
(/) sin(at) (1.40)
=ccos(cot)+Dsin(or)
D=-Asin(l). O."gun mengambil bentuk kuadrat dari parameter C o."gu, menjumlahkan kuadrat c dan D dan D didapat C2 = A2 ror'(/) dan D2 = A2 sin2 (/).
dengan
C=Acos(q)
aan
didapat nilai untuk parameter A, yaitu C2 + D2 =
A'(cos' S+sin'
Q)
(1.4r)
A2 =C2 +D2 e A=JC\D' Sudut fasa diperoleh dengan menggunakan
/=cos-'(;)=',"
(1.42)
[+)
maka hasilnya juga Jika dua sinyal sinusoidal yang mempunyai frekuensi yang sama dijumlahkan x, (') = 'qrcos (arf + Qr) dan merupakan sinusoidal dengan frekuensi yang sama pula. Jika diberikan
*r(t) =
Arcos(att + Qr) maka
x(t) =r, (r)+ *r(t) = Acos(att dengan
(1.43)
+ Q)
A=@ I'
sin
-, Q=tan@
(r.44)
(il*
Arsin(Qr) (1.4s)
Sinyal sinusoidal kompleks dapat dinyatakan sebagai
x(t)=
dengan
1"i(o't+0)
ei,, adalahsinusoidal
- Aeiteiat -oo(l (oo = Acos(att * d)* jAsin(at
kompleks dengan amplitudo
I
(1.46)
+ Q)
dan fase
0
dan
Aeit
adalah amplitudo
kompleks. akan didapatkan sinyal yang Jika sinyal sinusoidal dikalikan dengan sinyal eksponensial menurun damped sinusoidal signal) disebut sebagai sinyal sinusoidal teredam eksponensial (exponentially
Bab 1: Sinyal
19
yang ditunjukkan pada Gambar 1.15. Sinyal sinusoidal teredarn Gksponensial diberikan oleh persamaan (1.47).
x(l)= Ae-"'sin(at+Q) a>o
(t.47)
60 50
40 30
r(r)
20
l0 0
-10 -20
-30 -,*0 0
0.1 o.2 I),3 0.4 0.5 0.5 0.7 0.8 0.9
I
wrttu I
Gambar
3.
l.l5
Sinyal cinusoidal teredam el<sponensial
Sinyal unit step Sinyal unit step kontinu dan diskrit didefinisikan oleh
l't. u(tl=1' "t'/-|0
"bt={:,
t >O
t
(1'48)
:1i
,4s)
Sinyal unit step kontinu dan diskrit ditunjukkan pada Gambar 1.16. Sinyal unit step kontinu tidak terdefinisi pada saat I = 0, karena pada waktu tersebut terjadi lonjakan tibatiba dari 0 ke 1.
Dasar Pengolohan Sinyol Digitat
20
(b)
(a)
Gambar l.16 Sinyal unit step (a) kontiru (b) diskrit Contoh 1.10
Sinyal rectangular dapat dibentuk dari penjumlahan dua sinyal unit step. Secara umum, sinyal rectangular dengan amplitudo ,4 didefinisikan sebagai
A rect(tf 2a) = AlrQ
+
a)-u(t - a)f
(1.s0)
Untuk sinyal rectangular seperti pada Gambar 1.17 terbentuk dari persamaan-persamaan
(r) = Au(t +0'5) ', *r(t)= -Au(t -0,5) sehingga menjadi
x(r)
= r,
(r)* *r(t)
= Au(t
+0,5)- Au(t -0,s)
= A rect(t)
I
x( ,) I
-0.5 Gambar
A
0
l.l7
Sinyal rectangular
Bab 1: Sinyal
21
Contoh 1.11 Fungsi signum didefinisikan sebagai
[],
l>o sgnr=] o, t=o [-r ,
(l.sl)
Fungsi tersebut dapat dilihat pada Gambar I . I 8 dan dapat juga dinyatakan dalam unit step sebagai
sSpl =
-l+zu(t)
(t.s2) I
Gambar
4.
l.l8
Sinyal signum
Fungsi unit imptils Sinyal unit impuls sering disebut sebagai fungsi Dirac delta, atau fungsi delta. Sinyal jenis ini banyak digunakan untuk pemodelan berbagai fenomena fisik, diantaranya adalah tegangan/arus yang terjadi dalam waktu yang sangat singkat. Fungsi Dirac delta didefinisikan sebagai t2
[*1t1a1t1at =
r(o)
t,
(r.s3)
ll
dengan syarat
l.
a(o)=
x(l)
tontinu pada x = 0. Beberapa properti untuk fungsi Dirac delta tersebut adalah:
r
2. d(r)=9, t*O
22
Dasor Pengolohan Sinyal Digital
3.
Id(t)at=t
4. d(r) adalah tungsi genap karena d(r)= 6(-t) Bentuk diskrit dengan mudah dapat ditulis
u4={t:
*0 [0, n:=:
{r
s4)
Fungsi Dirac delta kontinu dan diskrit ditunjukkan pada Gambar 1.19.
0
0
(b)
(a)
Gambar
l.l9
Fungsi Dirac delta (a) kontinu (b) diskrit
Fungsi impuls merupakan turunan pertama dari fungsi unit step, dan sebaliknya juga unit step merupakan integral dari fungsi impuls.
d(t)=*,al
(l.ss)
u(t)='jo(r)at
(1.s6)
Properti penyaringan (sfting property).Properti penyaringan diberikan oleh
"-
Jx(r)a(r -to)dt
=\*(ro), o, {
tt < to < tz yang rain
(1.57)
Bab
23
1: SinYal, Terlihat dari persamaan (1.57) jika sinyal selang waktu antara
/, dan l,
x(f) a*aikan dengan d(r-rr)dan
diintegral selama
pada t maka sinyal akan 'tersaring' sehingga hanya terdefinisi
=to'
selainnyaadalahnol,dengancatatantoadadalamrentangt|
x(t)a(t-t)
x(r)
kontinu pada /o maka
= x(ro)a(r
persamaan (1.58) menggambarkan bahwa jika mengalikan sinyal
dihasilkan srnyal x(to
)
(1.58)
-ro) x(f ) aengun 6 (t
- t') maka akan
pada saat sinyal unit impulse terdefinisi' Vaitu hanya terdefinisi
penskalaan pada unit impulse dapat ditulis sebagai Properti penskalaan (scalirzg property).Ptoperti
(1.5e)
d(at+r1:frr(,.*)
unit doublet' didefinisikan sebagai Turunan fungsi impulse. Turunan fungsi unit impulsedisebut
'[*(t)d'(t
l2
-to)dt = -r'(lo),
(1.60)
tt
,l
dengan kondisi
x(f ) m"mpunyai turunan pada x = lo . Beberapa properti
dari unit doublet adalah:
1. x(t)A'(t-lo) = x(to)5'(t-rr)-''(rr)a'(r-r,)
2.
t
Iu'(r-t)dr=a(r-r,)
u'r*+b) = !u(,*l) 3. "\"._/ r. lrl \ ,/ Turunan kedua
unit
impulse diberikan sebagai impulsedisebut triplet.Turunan ke-a dari unit t2
(t -to)at= (-t)' r(') (ro), ir(r)a(') ll
1'20' Representasi unit doublet ditunjukkan pada Gambar
tt < to
(1.61)
24
Dosar Pengolahan Sinyat Digitat
d'(r)
Gambar 1.20 Representasi unit doublet Contoh 1.12 l4
Nilai dari
!(t+*)d(t-3)dt
dan
-z
lp+t')d(t-z)at
dapat dicari dengan langkah-langkah
_2
I
berikut' untuk
I(t+t')a(t-3)dt,
berdasarkan persamaan (1.56)
nilai /o tidak berada dalam
-2
rentang
nilai
t,1to 1r,
to
sehingga
menghasilk*
'!(t i(, +r)d(t -l)dt= 0. untuk +r)d(, -z)dt , -2 _2
berada daram rentang
tt < to <
tz
sehingga
menghasilkan
I
lQ
+
f)u (, -3) dt = (t + t)1,=, = 3 + 32 = tZ
-2
5.
Fungsi ramp Fungsi ramp didefrnisikan oleh
,to={,; ,,.oo
(t.62)
Fungsi ramp dapat juga didapatkan dengan mengintegrarkan fungsi unit step.
'r
t
Iu(r)ar = !0, =,(r) Fungsi ramp dittnjukkan pada Gambar 1.21.
(
1.63)
Bab 1: Sinyal
25
waktu I
Gambar
6.
l,2l
Fungsi ramp
Fungsi sampling
Fungsi yang paling sering muncul pada spektrum frekuensi adalah fungsi sampling Sa(x)
, yang
didefinisikan sebagai
sa(x)=*
(1.64)
Fungsi Sa(x) merupakan fungsi sinus yang teredam karena nilai pembilangnya terbatas, yaitu
lsinxlSl,
namun penyebutnya akan terus naik. Fungsi
Sa(x) ditunjukkan
pada Gambar 1.22.
Terlihat fungsi tersebut adalah fungsi genap dan memiliki puncak pada saat x = pada x =*nfi .
-2n
-tt
tT
2n
Gambar 1.22 Fungsi Sa(x)
0
dan akar-akar
26
Dasor Pengolahan Sinyal Digital
Fungsi yang berkaitan dengan fungsi sampling adalah fungsi
sinc(x)
=ry=
Fungsi
sinc(x) ditunjukkan pada
Sa(x)
yang dikompresi dengan faktor kompresi
sinc(x), yaitu
saQrx)
Gambar 1.23 yang menunjukkan fungsi
(1.65)
sinc(x)
adalah tungsi
zr.
Gambar 1.23 Fungsi sinc(x)
1.5
MENGAPA PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL?
Teknik pengolahan sinyal digital pada dasarnya sudah dimulai sejak abad ke-17 ketika ditemukannya metode-metode numerik untuk menyelesaikan masalah-masalah fisik seperti variabel dan fungsi kontinu. Terlebih lagi, sejak berkembangnya komputer digital pada tahun 1950an. Sejak tahun 1960an pengolahan sinyal digital sudah mulai dipertimbangkan dan dikembangkan. Pengolahan sinyal digital dari sinyal analog pada dasarnya meliputi tiga tahapan, yaitu:
konversi sinyal analog menjadi digital, mengolah sinyal secara digital, dan kemudian mengembalikan lagi sinyal digital menjadi analog. Proses digitalisasi, atau sering disebut proses
Bab 1: Sinyol
27
pulse code modulation (PCM) terdiri dari proses sampling, kuantisasi, dan koding. proses sampling biasanya diperoleh dengan proses sample-and-hold,hasil dari proses sampling disebut sinyal data-tercacah, atan sering juga disebut sinyal pulse amplitude modulation (pAM). proses
kuantisasi dan koding biasanya disebut sebagai analoglo-digital converter (ADC). Pengembalian dari sinyal digital menjadi sinyal analog adalah proses sebaliknya yaitu dengan digital-to-analog converter (DAC) dan filter lowpass. Proses tersebut ditunjukkan pada Gambar L24.
dnyd
dllta Gambar 1.24 Pengolahan sinyal digital dari sinyal analog
Beberapa keunggulan sistem digital dibandingkan dengan analog diantaranya adalah 'sebagai berikut:
l.
Sistem digital tidak harus bekerja dengan nilai yang benar-benar tepat sehingga sinyal digital kurang
sensitif terhadap toleransi. Dengan demikian sistem digital lebih tahan terhadap perubahan temperafur dan parameter-parameter eksternal lainnya.
2. 3"
4. ' 5.
Dengan berkembangnya sirkuit very large scale integrared (VLSI) maka dimungkinkan untuk membuat sistem pengolahan sinyal digital yang cukup kompleks hanya pada satu chip. Dalam pernrosesan digital dimungkinkan terjadi pembagian-waktu (timesharing) dalam satu prosesor. Konsep timesharing adalah menggabungkan dua sinyal digital menjadi satu dengan timedivision multiplexing. Sinyal multiplexing tersebut kemudian dikirimkan ke prosesor. Dengan adanya timesharing maka akan menurunkan biaya pengolahan per sinyal. Sinyal digital dapat disimpan dalam media penyimpan (magnetic tape, disk, optical disk) dalam jangka waktu yang lama tanpa ada kerusakan/hilang informasi. Sinyal yang sudah disimpan tersebut dapat diolah secara off-line. Berbeda halnya dengan sinyal analog yang jika disimpan tidak tahan lama dan jika terjadi kerusakan tidak dapat diperbaiki. Dapat mengolah sinyal yang mempunyai frekuensi sangat rendah, seperti sinyal gempa (seismic) yang jika diolah dengan menggunakan sistem analog akan memerlukan induktor dan kapasitor dengan ukuran yang besar.
Sinyal digital juga tidak terlepas dari kelemahan, diantaranya adalah meningkatnya kompleksitas sistem jika mengolah sinyal analog sebab perlu adanya tambahan perangkat seperti analog-to-digital canverter (ADC) dan digital-to-analog converter (DAC) seperti ditunjukkan pada Gambar L.24. yang kedua adalah adanya keterbatasan frekuensi yang dapat diolah. Hal ini berhubungan dengan syarat dari
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
28
frekuensi sampling yang akan dibahas kemudian. Yang terakhir adalah sistem digital dibangun dengan menggunakan divais aktif (seperti transistor) yang akan meningkatkan konsumsi daya listrik.
1.6
KERANGKA lSI BUKU
Bab 1 dan bab 2 buku ini membahas mengenai dasar-dasar sinyal dan sistem, baik kontinu maupun diskrit. Bab 3 membahas mengenai sinyal LTI diskrit dalam domain waktu yang meliputi penjelasan proses sampling, diagram blok, representasi sistem dengan menggunakan persamaan perbedaan, dan
kunci utama DSP yaitu konvolusi dan korelasi. Sebagai tambahan juga dibahas sedikit mengenai konvolusi untuk sinyal kontinu (sebagai pengayaan)'
Bab 4 akan membahas mengenai representasi Fourier yang digunakan untuk mengubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi. Pada dasarnya ada 4 macam representasi Fourier yaitu Fourier Series (FS), Fourier Transform (FT), Discrete-Time Fottier Series (DTFS), dan Discrete-Time Founer Transform (DTFT). Semuanya akan dibahas, namun akan menitikberatkan pada DTFS dan DTFT.
Bab 5 akan membahas mengenai transformasi Z yang akan banyak digunakan dalam filtering. Bab 6 akan membahas mengenai filter digital yaittfinite impulse responsse (FIR) dan Bab 7 membahas mengenai filter digital infinite impulse responsse (IIR). Pojok MATLAB
Untuk menyatakan fungsi unit step diskrit pada MATLAB, kita dapat menggunakan perintah ones (1,N) dengan Nadalah panjang unit step yang terdefinisi oleh % Program 1.1
? Menggambar fungsi unit step diskrit % Menentukan paniang signal 5
N = input ('masukkan panjang sinyal : ') x : 0: (N-1); y: ones(1,N); % Mel-akukan plot sinYa1 stem (x, Y) axis ( [-1 N -0 .2 1.2]l xfabel- ( 'sampel' ) y1abe1
(
'amplitudo'
)
N > 0. Berikut contoh
programnya:
Bab 1: Sinyal
29
Jika,dibei input N=
10
maka didapatkan hasil seperti pada Gambar 1.25.
Perintah
axis ( [xmin xmax ymin ymax]
)
digunakan untuk menyetel batas minimum dan maksimum sumbu x dan sumbu y.
smp€t
Gambar 1.25 Fungsi unit step kontinu
Fungsi unit impuls dengan panjang Ndengan
unit_impuls = [1 zeros
(N-1)
N>0
]
Berikut contoh programnya. % Program 1.2
E Menggambar fungsi unit impuls % Menentukan panjang signal z
N = input('masukkan panjang sinyal : '; x = 0: (N-1);
delta = [1 zeros (1,N_1) ];
dapat dinyatakan menggunakan perintah
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
30
I Melakukan plot sinyal s
tem ( x,
delta
)
axj-s([-1 N -0.2 1.2]) x1abe1 ('sampel' ) ylabeJ- ( 'amplitudo'
)
Dengan menggunakan panjang sinyal yang sama dengan contoh sebelumnya, kita akan mendapatkan hasil seperti pada Gambar 1.26.
f-i
t i I I I
to f
0.6
.=
E. E
t
0.4
sampel
Gambar 1.26 Fungsi step diskrit Beberapa fungsi untuk membangkitkan sinyal juga dapat dilakukan dengan MATLAB, yaitu
exp (x) , sin
(x)
,
cos (x)
, square (x) , sawtooth (x)
Sebagai contoh kita akan membangkitkan fungsi eksponensial kompleks seperti pada program berikut: % Program 1.3 % %
Membangkitkan fungsi eksponensial konpleks Menentukan konstanta-konstanta
6
C:input ('masukkan konstanta C : ') k=input('masukkan konstanta k =') N:input('masukkan panjang sinyal :
I
)
y[n] : C * exp(jkn)
Bab 1: Sinyal
--1
31
. \1 .
y=
C*exp (j *k*n)
;
z
? Melakukan plot sinyal a
stem(n, real (y) ,
hold
'b')
on
stem (n, imag (V) , 'rd: ') xIabeI ( 'waktur ) y1abel ( 'ampli-tudo' ) Iegend('bagian real','bagian
Jika kita memasukkan
C:
2,
k:0.5,
real(x) dan imag(x) menentukan bagian
imajiner'
t/:
dan
riil
)
20 maka didapatkan hasil seperti Gambar 1.27. Fungsi
dan imajiner dari suatu sinyal kompleks x berturut-turut.
Z
'
i
1.51.1
bagian real
,, I
1/
illi o
''ili
!
)|
=
E. E
6
ld) -0.5
-r
5
I' r
I
I
-1.5
1, r 2' 0246810121416t8
i]
,.1.1 \j,
,.
r --'i
I-
..L
L
, |
+,
h
waktu
Gambar 1.27 Bagian real dan imajiner suatu sinyal kompleks Selanjutnya kita akan mencoba membuat sketsa dari fungsi sinc(-r), seperti pada Gambar 1.23. MATLAB menyediakan perintah dengan narnayang sama, yaitu
sinc (x)
32
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
Berikut adalah contoh programnya: % Program 1.4 %
Melakukan plot fungsi sinc (x) dari x = -2pi sampai dengan x = 2pi
z
* = -l*pi:0.2:2*pi y = sinc (x) ; % Melakukan plot sinyal plot(x,y,'b') hold on stem (x, y, 'rd: ' ) xlabef ( rwaktu' ) ylabel ( 'amplitudo' ) Iegend 'kcntinur , 'diskrit') Hasilnya dapat dilihat pada Gambar 1.28.
1:--
--.T
1
kontinu
diskrit 0.8 i
o
0.6
i
0.4
F
f
E. E
"
o.zf l
\.
0
/i'
r
-o.2
I -8 I
-0.4
-6
-4
i'
--
-2
0 waktu
Gambar 1"28 Fungsi sinc(x) Kita akan melakukan pergeseran sinyal. Jika diberikan sinyal menentukan gambar grafik dari
x, = x,ln-
,,
=
[+
23 ]
5] . frogramnya adalah sebagai be rikut.
kemuAian kita akan
Bob 1: Sinyal 33 % program 1.5 %
Menentukan pergeseran
z
sinyal x2 = xltn _ 5l
x1 = f1 2 tl. : 0:2;
N1 %
Menghitung siny.al
x2: N2
IA 0 0 0 : 0:7;
O
x1]; %xlin _ 5l
z
st.em (N1, hofd on
xi
)
,.
stem(N2,x2,,r1\
Hasilnya ditLrnjukkan pada Garnba
r
1.2g.
3r
i
z.s I, i
2l
Gambar 1.29 Pergeseran sinyal xz =
xtl" -51
34
Dosar Pengolahon Sinyol Digitat
Soal-Soal L
'
Tunjukkan apakah sinyal-sinyal berikut periooik atau tidak. Jika periotlik tentrrkan periodenya.
a. x(r)= ,in?I, r rrin!9rL t
2.
.2n
b.
x(t) = 3r' u' -t 2e-'i''
c. d. e.
x[n)=zcos(J1r) xln)=5sin(0, ttrn)t-4sin(0, 9rn)*cos(0, gan)
v(l+r(-r)
x(r)=
,cengan
,,(r)= cos(r)u(r)
Tentukan bagian genap dan ganji! dan sinyai berikut:
a .lrl={-z 12 5 o a,i u r} b. hlnf=n' i.
Sinyal sinusoidal dinyatakan sebagai
4.
Tentukan energi total dari:
a.
Sinyal raisecl-cosineyatlgdtnyatakan sebagar
11. x(\t\/ =]
;1.", (ar)+tl,
ll.
b.
x(l) = Acos(att+ /),
0,
Sinyal trapezoidal
ls-,.
4
I C,
yang lain
l' -4
*re
lo
rf
yang iain
at
Tentukan daya rata-ratasinyal tersebut.
Bab 1: Sinyal
35
s.
Gambarlah
6.
Gambarlah xlZnldan
x(Zt), x(:r
+
2), x(-2t - 1), dan xf 3r) + x(lt +2)
"r[3r-1]
dari sinyal berikut
untuk sinyal
11, x=*l
12 I
r
-' xlnl L I= I
=*2
13, x=t3 [0, yang lain I
7.
Sinyal sinusoidal kompleks
x(r)
mempunyai
riil
dan imajiner
sebagai berikut:
ne{x(r)} = ro (r) = Acos(at Im{x(r)} = *,(t)= lsin Amplitudo
x(l)
+ 0')
(att + 6)
Oltentukan sebagai
tidak tergantung pada sudut fasa 8.
Sinyal sinusoidal terkecil supaya
9.
x[z]
x[n]
x'?*+xi. nrktit
/.
mempunyai periode dasar
N
:
10 sampel. Tentukan frekuensi sudut
C)
Reriodik.
Tentukan daya dan energi dari sinyal-sinyal di bawah ini. Dan tentukan juga apakah termasuk sinyal daya alau sinyal energi.
a. x(r)= ttlu(t - a)-u(t + a)f b. ,(t)=r(t)-r(r-t) c. x(r)=e-"'u(t), q)0
36
Dosar Pengolahon Sinyal Digital
10. Tentukan nilai dari integral berikut
a b. c.
@
J(,*r)a(t-t)ar -:.,\ , \ l[ L,+sinr lal ,- Lla, j\z /\ 4) !e'5(r +2)dr -oo0oo-
B^82
Sistem
2.1
s
PENDAHULUAN istem dapat didefinisikan sebagai suatu proses yang mengubah sinyal masukan menjadi sinyal keluaran yang baru, yang berbeda dengan sinyal masukan semula. Sistem merupakan suatu proses
sehingga sistem dapat direpresentasikan menjadi berbagai macam proses seperti filtering, modulasi, dan lain sebagainya. Secara fisik sistem dapat berupa suatu transmitter, kanal, receiver, dan sebagainya.
Sistem dapat dibagi menjadi sistem waktu-kontinu dan sistem waktu-diskrit. Sistem waktukontinu mengubah sinyal masukan waktu-kontinu menjadi sinyal keluaran waktu kontinu; begitu
juga untuk sistem waktu-diskrit yaitu sistem yang mengubah sinyal masukan waktu-diskrit menjadi sinyal keluaran waktu-diskrit. Sistem waktu-kontinu dan sistem waktu-diskrit ditunjukkan pada Gambar 2.1 danGambar 2.2.
Gambar 2.1 Sistem waktu-kontinu
Gambar 2.2 Sistem waktu-diskrit
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
Secara matematis, hubungan alttara siir,val keluaran dan sinyal masukan pada suatu sistem,
baik sistem waktu-kontinu maupurr sistenr wakttr-diskrit adalah
y(t) =a {x(r)} ylnl= H
e.D
{,1,1\
dengan
H
Qz)
adalahproses dari sistem tersebut.
2.2 KLASIFIKASI SISTEM Sistem, baik sistem u,aktu-kontinu riiaripun sistL-m .,rraktu-diskrit, dapat diklasifikasikan berdasarkan properti sistem tersebut sebagai berikutl:
1.
Linearitas Suatu sistem dikatakan linear
a.
jika memenulii prinsip srq:erposisi dan homogenitas.
Superposisi. Jika suatu sistem diberikan inasukan x, (f
yr(t)
au"jika diberikan masukan x,
sama diberikan masukat
(r)
xt(t)+xr(t)
)
maka akan menghasilkan keluaran
amn menghasilkan keluaran
yr(t).
akan menghasilkan keluaran
Jika sistem yang
yr\)+yr(t)
maka
sistem ini disebut memenuhi prinsip superposisi.
b.
Homogenitas. Jika suatu sistem diberikan masukan
l(t)
.lit
menghasilkan keluaran
dyU)
x(l)
ax(t),
maka akan menghasiikan keluaran
dengan u adalah suatu konstanta, akan
maka sistem ini disebut memenuhi prinsip homogenitas.
Dari kedua hal tersebut, jika digabungkan maka dapat disirnpulkan suatu sistem disebut linear jika memenuhi
ax,(t)+
f xz(,)- dy,(t)+ fry,(t)
(2.3)
konstanta. Sistem yang tidak memenuhi persamaan (2.3) disebut sistem nonlinear. Persamaan (2.3) berlaku juga untuk sistem diskrit. dengan
'
o dan B adalah
Walaupun dibahas rumus untuk sistem waktu-kontinu, namun berlaku juga untuk sistem waktu-diskrit
Bab 2: Sistem
39
Contoh 2.1
y(t)=x(t)x(t-l)
Sistem
adalah sistem nonlinear. Ketika sistem itu diberikan masukan
akan menghasilkan keluaran
masukan
B*r(t)
akan menghasilkan keluarany, (t)=
Jika diberikan masukan (our (r
l) + B.x2 0
-
yr(t)=axr(t)axr(r-t) -a'*r(t)xr(t-t)
ax,(t)+pxr(t)
- l)) * lt
+
axr(t)
dan ketika diberikan
/xr(t)frxr(r-r) = Frxr(t)xr(t-t).
akan menghasilkan keluaran y(t)=(or-r-r0)+Bxr(r))
lz I
Contoh 2.2
Sistem
ylrl=!t-1"]+xfn-tl+x[n-Z])
axr(t)
akan menghasilkan keluaran
y,ln]
= =
!@.,ln]
+a
x,l, - tl+ a x,fn - zl)
t,o (*,ln) + x,[,
i
Ketika diberikan masukan xzLn
-
adalah sistem linear. Ketika diberikan masukan
- t]+ x,{n - 2))
B*r(t)
akan menghasilkan keluaran yzlnf=JOfr,
2l) . Jika diberikan masukan axr(t)+
|xr(r) aun menghasilkan
fu)+x.rln-t)+
keluaran
t lnl = I@ *,[n] + p x,ln) + a x,t, - tl + 0 x, l, - t) + a x,ln - 2l * p x,fn - zl) =
ir(r,
lnl+ x,[n -r]+ x,ln-zl)* IOQ,lnl+ x,[r-r]
+
x,fn-21) = lr * lz I
2.
Sistem time-varying dan sistem time-invariant
jika diberikan masukan x(r) akan menghasilkan keluaran l(r)ateUut timeinvariant (atau secara umum, jika variabel bebasnya bukan waktu, disebut shift-invariant) jika Suatu sistem yang
memenuhi
x(t-to)-+
y(t-4)
e.4)
Dasar Pengolahan Sinyol Digitol
Dengan kata lain, sistem disebut time-invariant jika sinyal masukannya digeser sebesar keluarannya juga akan bergeser sebesar lo t
im
e,
-v ary i n g.
lo
. Sistem yang tidak memenuhi persamaan (2.4)
maka
disebut
Imp lementasi pergeseran adalah d e I ay (p enlndaan).
Prosedur untuk menentukan apakah sistem time-invariant atau time-varying adalah sebagai berikut:
yr(t)
,r(l)
a.
Misalkan
b.
Definisikan masukan ke dua sebagai xz =
aaabh keluaran untuk
xt(, -ro)
dan tentuka"
.rr(t)
Carilah yr(t *ro
) Oan bandingkan dengan yr(t) d. Jika !2(t) = lr(, - ro) maka sistem tersebut time-invariant, jikatidak
c.
Logika prosedur invariant, jika
disebu t time-vorying
di
atas ditunjukkan pada Gambar 2.3 yang menjelaskan bahwa sistem timedilakukan delay (pergeseran) /o pada masukan terlebih dahulu kemudian baru
dimasukkan ke sistem H akan menghasilkan keluaran yang sama dengan keluaran sistem H di-detay sebesar lo.
xr(r) Dele] <>
x2(l) = x1(l -
16)
-+
H
Iz(r)
+
.rr(t) ----i-
{a)
H
tr(r) Deiay ;,:-.i h(r - ro)
-"+
---p
(bi
Gambar 2.3 Sistem time-invariant (a) Delay dilakukan sebelum masuk ke sistem (b) Delay dilakukan setelah masuk sistem
Contoh 2.3 Sistem
y(t)=cosx(f)
adalah sistem time-invariant sedangkan sistem
y(t)=x(l)cosr
adalah
sistem time-varying. Pembuktian dapat dilakukan dengan menerapkan keempat prosedur di atas.
Y(t)=cosx(r)
a. b.
Untuk masukan x, (f
)
Untuk masukan xz =
xr(,
maka keluarannya
yr(t) = cos x, (f )
- rr) maka keluarannya y2 = cos x2(f ) = .ot r, (, - ro)
tr
Bab 2: Sistem
41
c.
Dari langkah a. didapatka n y, (t
d.
Membandingkan hasil langkah
Y(t) =x(r)cos
- ro ) = cos x, (r - ro ) b. dan c. maka yr(t - h) = y,
sistem time-invariant
r
(l)
yr(t) = x, (r)cos r
a.
Untuk masukan x,
b.
Untuk masukan x2 =
c.
Dari langkah a. didapatkat y, (,
d.
Membandingkan hasil langkah b. dan c. maka
maka keluarannya
xr(,
- ro) maka keluarannya lz = xz(f )cos f = xr(t - r r) = *, (t -
ro
)
cos (r
),r(t - h)
-
lo
ro
)cos t
)
* y,
maka sistem time-varying
r 3.
Sistem dengan dan tanpa memori
Sistem disebut tanpa memori, atau sesaat (instantaneor;s) jika nilai keluaran saat ini hanya bergantung pada nilai masukan saat ini. Sebaliknya, sistem dengan memori jika keluarannya berganfung pada nilai masukan masa lalu atau masa depan.
Contoh sistem tanpa memori adalah sistem resistor yang menggambarkan hubungan antaramasukan (arus) dan keluaran (tegangan) sebagai berikut:
Y(t)= n*(,)
(2.5)
Contoh sistem dengan memori adalah sistem kapasitor yang menggambarkan hubungan antara masukan (arus) dan keluaran (tegangan) sebagai berikut:
y(t)= dengan
C
1 t.
s J*k)a,
adalah kapasitansi. Dari persamaan
(2.6)
(2.6)jelas bahwa nilai keluaran tergantung dari nilai
masukan masa lalu.
Contoh 2.4
Sistem
y(t)=x(t-a)
mendapatkan
dengan
a>0
adalah sistem dengan memori sebab
jika kita
ingin
nilai pada saat t =0 akan memberikan hasil y(0) =x(-a),yan1 bergantung dari
nilai masukan sebelumnya.
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
Sistem kausal dan non-kausal
Sistem dikatakan kausal, atau disebut juga nonanticipatory, jika keluaran dari sistem
itu
hanya
x(t),x(t -l),x(t -2),... ) tetapi tidak x(t+I),x(t+2),...). Sistem kausal juga dikenal sebagai
tergantung dari nilai masukan saat ini dan masa lalu (yaitu tergantung masukan masa depan (yaitu
sistem yang dapat direalisasikan secara fisik. Hal ini masuk akal sebab nilai masukan masa depan tidak akan pernah diketahui. Sistem yang tidak memenuhi syarat kausal disebut sistem nonkausal atau anticipatory.
Contoh 2.5 Sistem
ylrl= xln)- xln-ll, flnl= i ,[f ] , t={
hanya tergantung dari nilai masukan saat
ylrl= *ln')
dan
ini dan masa lalu
=
a*lnf
adalah sistem kausal karena
saja. Sistem
ylnl=xfnl+3xln+4f
,
adalah sistem nonkausal sebab untuk semua nilai n keluarannya tergantung dari nilai
masa depan. Untuk sistem
yl"l= xlZn) adalah sistem nonkausal sebab untuk nilai n> 0 akan
tergantung dari masukan masa depan. Untuk sistem sebab untuk
ylnf
yl")= *l-"1
merupakan sistem nonkausal
nilai n < 0 tergantung dari masukan masa depan.
I 5.
Sistem invers
Sistem disebut mempunyai invers (invertible)
jika
dengan menginvestigasi keluarannya kita dapat menentukan masukannya. Sistem invers dapat dilihat pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4 Konsep sistem invers
Jika dua masukan yang berbeda menghasilkan keluarana yang sama maka sistem tersebut tidak mempunyai invers. Persamaan yang menggambarkan sistem invers adalah sebagai berikut
z(t)= n'" {t(t)\
=
H'" {"{r(,)}}
=
r(r)
(2.7)
Bab 2: Sistem
Contoh 2.6 Sistem
y(t)
=
Zx(t)
invers karena x (r
)
mempunyai invers
z(t\ \,/ = ! y(r\. 2tv
Sistem
y(t) =cosx(l)
tidak mempunyai
aan x (r ) + 2tt mempunyai nilai keluaran yang sama (sistem periodik dengan
periode 2tr ).
r 6.
Sistem stabil
jika memenuhi bounded-input bounded-output (BIBO), yaitu jika sistem diberikan masukan yang terbatas (nilainya) maka keluarannya juga akan terbatas. BIBO Sistem yang stabil adalah
didefinisikan sebagai Keluaran
/(l)
memenuhi
ll(r)l< M, 1* ketika masukan
x(r)
untuk semua
t
Q.s)
untuk semua
t
(2.s)
memenuhi
lr(r)l=
M,1@
Contoh 2.7
ylr)= f ln -tl+ x[n] dengan asumsi / [-t] = 0 . Ambil sinyal terbatas sebagai rtasukan, misalnya xln)=C6fnl dengan C adalah konstanta. Nilai keluaran untuk n=0 adalah /[0]= y'l-ll+Cd[O]=C, untuk n =l adalah /[1]=/'[0]+Cd[t] =C2, dan seterusnya. Diberikan sistem
Sehingga didapatkan
/[0] = C , ylrl- C' , yl2l=
Co , ...,
tlnf
= gz'
Jelas bahwa keluaran akan semakin besar (tidak terbatas) untuk
sistem ini tidak stabil.
nilai masukan I < lCl a
*
sehingga
44
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
Pojok MATLAB
Kita akan mencoba menentukan suatu sistem linear atau nonlinear. Jika ada suatu sistem yang didefinisikan sebagai
!ln)=xln+t)+Zxln)-3x[n-1]
yang akan ditentukan apakah sistem
tersebut linear atau nonlinear. Langkah pertama adalah menentukan
menghitung
nilai y, [r].
ambil 5, pada
x[r]
nilai x[n] yang akan diuji dan
I-angkah ke dua kita akan memberi faktor pengali, sebagai contoh kita
dan menghitung
nilai yrlnl. Jika memenuhi yrln)=5y,[rz] maka sistem
adalah linear.
? Program 2.1 t Menentukan sistem linear atau nonLinear z
x : randint %
(L ,200
,
[
Menghitung sinyal
0, 100 ] ) ;
x1 = [x 0 0]; % x1 [n] : x[n+1] x2 : [0 x 0]; ? x2 [n] : xlnl x3 : [0 0 x]; % x3[n] = x[n-1] z
y1=x1+2*x2-3*x3; y2 = 5*xL * 2* 1$*x2) q*.,1 . .,? yr
-
J
3* (5*x3);
yL,
% Menentukan jumlah bilangan yang salah jumlah_sal.ah = symerr (y2, y3)
Hasil dari program tersebut adalah
jumlah_salah :
0
yang membuktikan bahwa sistem tersebut adalah linear. Akan tetapi jika sistem tersebut diubah menjadi
yl"1= x2ln+ll+2xlnl4xln-1]
% Proqram % z
2.2
Menentukan sistem
maka programnya adalah sebagai berikut
Iinear atau nonlinear
x = randint(7,200, [0,100]),' % Menghitung sinyal x1 : [x 0 0]; % x1 [n] : x[n+1] x2:L0x0l;Ex2[n]=xlnl x3 = [0 0 x] i eo x3 [n] = x[n-1] z
y1: x1.*x1 + 2*x2 - 3*x3; y2 = (5*x1; . * (5*x1) + 2* (5*x2) - 3* 1g*x3) ; y3 = 5*y1; I Menentukan jumlah bilangan yang salah j umlah_sa1ah
=
symer
r (y2, y3)
Bab 2: Sistem
45
dan menghasilkan
jumlah_salah = 196 yang membuktikan bahwa sistem tidak linear. Program selanjutnya adalah program untuk mensimulasikan sistem time-invariant, yaitu sistem yang ketika masukannya digeser sejauh D makakeluarannya juga begeser sejauh D. % Program 2.3
? Simul-asi sistem time-invariant
c1f ;
n = 0:40; D: 10;a = 3.0;b = -2; x : a*cos (2*pi*Q.1*n) + b*cos (2*pi*Q.4*n) ; xd: [zeros(1,D) x]; B masukan digeser ke kanan sebesar pembllang : t2.2403 2.49A8 2,2403); penyebut: t1 -0.4 0.751,. ic = [0 0];t kondj.si awal t Menghitung y[n] y = filter (num, den, x, ic) ; il Menghi tung yd I n ] yd : filter (num, den, xd, ic) ? Menghitung selisih sinyal dIn] d=y-yd(1+Dr41+D); ? Menggambar hasil-
10
,.
subplot (3,1,1) stem (n, y) ;
ylabel ( rAmplitudot) title('ylnl ');grid,. subplot (3,7,2)
;
stem (n, yd (1 :41) ) ;
ylabeI ('Amplitudo t ),. title(['Hasi] setelah masukan digeser: xIn', subplot ( 3, 1, 3 ) stem (n, d)
num2str(D),'],l
,.
xlabeI(rSampe1, n') ; ylabe1(rAmplitudo'
title ('Sinyal selisiht
I
;grid;
);
Program tersebut menghasilkan plot seperti pada Gambar 2.5.
5
L
)
;grid;
46
Dasar Pengolahon Sinyal Digital
€d E
5'20 -40 L
10
0
15
20
25
l-lasil setelah masukan
digeser xln
30 101
go o
E
'20 .40
1520 Sinyal selisih
Smpel, n
Gambar 2.5 Hasil simulasi sistem time-invariant
SOAL.SOAL
l.
Tenfukan apakah sistem di bawah ini linear atau nonlinear, kausal atau nonkausal, time-variant atau time-varying, dengan memori atau tanpa memori.
a. y(t) = tx(t) b. Y(t)= ax(t)+b c. Y(t)= *'(t)+bx(t)+c d. v(t) = x(t - a) e. cos(x(r)) f.
Y(t) =x(r)cosr
o D'
yl"l=
h.
tln)= xf-n+2]
i.
yl"l=
j.
tlnl= xlznl
xfnl+
*l-"1
xlnl+ nxln+tl
Bab 2: Sistem
2.
47
Diberikan sistem
a. b.
tfn)= H {rl"l\
=
*1"'f
Tenfukan apakah sistem tersebut time-invariant
Untuk membantu menjawab pertanyaan a. anggap diberikan sinyal
o
[0,
l).
Sketsa sinyat
lain
x[r]
ylnl= n {-[r]] 3). Sketsa sinyal yrlrl= yln-21
2).
Tentukan dan sketsa sinyal
4).
Tentukan dan sketsa sinyal
*r[r]= *ln-21
5).
Tentukan dan sketsa sinyal
yr[n]= U {xr[nl\
6) Bandingkan sinyal y'lnl aun ll'''7. c. 3.
Ulangi pertanyaan b untuk sistem
Diberikan masukan sistem
orukesimpulan Anda?
l[n]= xfnl- xln-tl
,[r]= {-f + 0
Z}
Oun keluaran
/[r]= h
1
0
Z) . ruu sistem
diketahui linear dan time-invariant (LTI)
a. b. 4.
Sketsalah keluaran sistem ketika masukannya adalah
*rln7=
*ln-2]
Oan
*rl"l= xl2n+l\
Apakah sistem tersebut kausal?
Untuk hubungan masukan - sistem
-
keluaran di bawah ini:
r*m a. b.
Apakah sistem kausal? Time-invariant? Dengan atau tanpa memori? Mengapa? Sketsalah keluaran jika masukannya adalah seperti gambar berikut.
48
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
-oo0oo-
BAB
3
Sistem
LTI Wuktu-Diskrit dalam Domuin Wuktu
3.1
KOMPONEN DASAR SISTEM istem waktu-diskrit dapat direpresentasikan dengan menggunakan diagram blok. Beberapa komponen dasar sistem akan dijelaskan pada bagian ini.
Penjumlah (adder). Penjumlah digunakan untuk menjumlahkan dua atau lebih sinyal. Penjumlah dapat dilihat pada Gambar 3.1. =
xr[r]+rr[x]
Gambar 3.1Penjumlah Pengali konstanta (constant multiptier). Operasi ini ditunjukkan pada Gambar 3.2 yang mengalikan masukan xfnf aengan suatu faktor skala. Model untuk pengali konstanta ada dua macam, yaitu ada yang tnenggunakan kotak dan yang menggunakan panah. Dalam buku ini kita menggunakan keduanya dengan maksud yang sama.
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
50
K
'[*]
y=.(r[;l
Gamhar 3.2 Pengali konstanta Pengali sinyal (signal multiplier). Operasi ini mengalikan dua buah sinyal, yaitu
x,[rJ
aan
*rln7.
Ditunjukkan pada Gambar 3.3.
y= xr[a]xr [nJ
Gambar 3.3 Pengali sinYal Unit delay. Operasi ini melakukan penundaan sinyal yang melewatinya sebanyak satu sampel. Operasi ini ditunjukkan pada Gambar 3,4. Jika sinyal masukannya adalah
xln]
maka sinyal keluarannya adalah
*f, -t] . fiAat seperti pada operasi-operasi sebelumnya, operasi ini membutuhkan memori, sebab nilai *ln-l] aisimpan terlebih dahulu pada saat n-l dankemudian dipanggil pada saat n untuk membentuk lln)=xln-ll.
Penggunaan simbol
z-t
sebagai
unit delay akan lebih jelas pada saat
pembahasan
transformasi z.
Gambar 3.4 Unit delay (Jnit advance. Operasi ini berlawanan dengan unit delay, yaitu memajukan sinyal sebanyak satu sampel,
x[r+1]
yang ditunjukkan pada Gambar 3.5.
tlnit advance dilambangkan dengan operatot z.
tub
i:
Sistem LTI Waktu-Diskrit dolam Domain Waktu
,["]
51
t-t
y= rh+lJ
Gamber 3.5 Unit advance Contoh 3.1 + 0, 5r [z] + 0, 5x [n - t] Oitunluttan pada Gambar 3.6. Persamaan tersebut dinamakan persamaan perbedaan yang akan dibahas pada subbab Representasi diagram blok untuk sistem
lfnl= 0,25yln -ll
selanjutnya.
Bl*k
hox
vl"l
Gambar 3.6 Contoh 3.1
3.2
PERSAMAAN PERBEDAAN Cara lain untuk merepresentasikan sistem waktu-diskrit adalah dengan menggunakan persamaan
perbedaan (difference equation). Persamaan perbedaan dapat ditulis sebagai ilM
- kl=lt*xfn Zoryl" t=0 &=0
tcl,
n>o
(3.1)
atau
t ln!= dengan
ar
dan
*(>"t n,
-
k)
-
i, r, l, - ol)
6* adalah konstanta. Jika konstanta ak tidak nol maka
recursive,sedangkan jika semua konstanta
a.
(3.2)
persamaan perbedaan itu disebut
bernilai nol maka disebut nonrecursive.
fusar Pengolohal Sinyal Digital Dengan mendefinisikan suatu operator
oo
y["7=
yfn-k]
(3.3)
maka persamaan (3.1) dapat ditulis sebagai
iv
tt
larDk ylnl=luroo
xlnl
(3.4)
Dalam bentuk yang lain, persamaan (3.1) sering ditulis sebagai
NM
I
aryln+k]=ltrxln+trf, n20
Supaya persamaan (3.5) kausal maka
M
(3.s)
.
Contoh 3.2 Diberikanpersamaanperbedaan
dan diketahui
yl,7=
il"1-|tln-tf+*rl"-21=(;1,
y(1)=
y(-t) = I
dan
1 rt"-
- r I, ]
rl
rl.
n20
0 . Persamaan perbedaan di atas dapat ditulis
(;)
Sehingga dapat dicari nilai untuk
y[o]=
]il-\-]rt-zt.(;)' =lr-*
yr,t=
]ilot-|,r-rr.(;)
=ii-|
vtzt=lfir-ltpr.[i) =i T-i
o
r.
*,=1
+=#
i.i=#
Bab
3: Sistem LTI Waktu-Diskrit dalam Domoin
Woktu
53 I '1.,
,
Cara yang digunakan pada Contoh 3.2 adalah cara numerik, sedangkan cara yang lebih elegan adalah dengan menggunakan cara analitik, yaitu dengan menentukan solusi homogen ddn solusi partikular dari persamaan perbedaan' Cara lain untuk mendapatkan solusi persamaan perbedaan adalah dengan menggunakan transformasi Zyang akan dibahas pada bab 5.
Pada dasarnya solusi persamaan perbedaan terdiri dari solLsi homogen, partikular,
yo["),
yulnl
dan solusi
yairu
rfn)= y^1")+
yolnl
(3.6)
Solusi homogen adalah respons sistem terhadap kondisi awal, dengan masukan partikular adalah respons sistem terhadap masukan
*lrl
xlnl=g.
Solusi
dengan menganggap kondisi awal nol.
3.2.1 Solusi Homogen Solusi homogen dari persamaan (3.1) adalah
Zooyl"-&]=o
e.7)
k=0
Solusi persamaan tersebut adalah fungsi eksponensial yaitu
yolnl=
Ad'
(3.8)
Substitusi persamaan (3.8) ke persamaan (3.7) menghasilkan
laoAa'-k t=0
=0
(3.9)
Persamaan karakteristik yang menggambarkan persamaan (3.9) adalah L
N
=0 lara-k t=0
(3.10)
Dari persamaan karakteristik tersebut menghasilkan Nakar, yaitu
d1,d2,...,dN. Jika akar-akar
semuanya berbeda maka solusi homogennya adalah kombinasi linear dari
yr[n]= A,ai +4ai+...+
tersebut
ai ,yaibt
A*afr
(3.u)
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
Jika ada akar yang berulang, sebagai contoh akar
a,
berulang sebanyak
.(
kali dan akar-akar sisanya
N - Pt berbeda semua maka solusi homogennya menjadi
sebanyak
yol"l=,4rdi +,4rnai +...+ ArnP'tal
+
Ar,ruf,,u+...+ A*di
(3.12)
Contoh 3.3 Diberikan persamaan perbedaan
/[-1]
=
ilr1*fit1r-t1*f,rlr-zl-*rt
A, yl-2)= 6, dan /[-3] - -2 , Persamaan
*1o' t2824\''/ -La-' | ot -Do, *3 o- =o t2824 t-$o='
=o
-31=0
dengan
nilai
awal
karakteristik, berdasarkan persafiiaan (3.10) adalah
(ro')
I
:
,
Yang dapat difaktorkan menjadi
("-;)("-+)("-i)=o Sehingga akar-akarnya adalah
o,
=).,
dz
=],
Oun
o,
=1.
Karena akar-akamya berbeda semua maka
solusi homogennya adalah
v
nt l= u(i)" . o (+)' .
* [i)'
untuk menentukan konstanta Ar,,4r,l, digunakan nilai yang telah diketahui
/r-1r=r[;) =
2,4,t
'.o(+) .u(i)
'=u
+3.4, + 4A, = 6
vt-2t=u(i)'
.o(:)' .+(!)'
= 4,4t +9 /,,
=u
+16$ = 6
:*
i *
{l
I
Bob 3: Srstem LTt Woktu-Diskrit dalam Domaln Waktu
55
vr4t=u(:)'.u[+) ' .u(i)-'
=_,
=84+27 Ar+64A, = _2 Dengan menggunakan eliminasi/substitusi didapat
sehingga penyeresaiannya adarah y
^
4 =7 , 4 =.-19, Oun 4
(;), _ + (*J, .
lnl=,
=
:
;G),
Contoh 3.4
Diberikan persamaan perbedaan
vt"l-ivt'-\+)ttr-rr-*t[n*3]=g
sama dengan contoh seberumnya maka persamaan karakteristiknya adalah
t-1o-, *!o-,
4
*J
dengan nirai awar
-1
rca-'=O (*"') o'-1o'*]o-1=g
2
4216
dengan akar-akar
o, =
persamaan (3.12).
t,tnt= u(:)' .
*,
d2 =
),
oun
o,
=
i
. Terdapat
2
akar yang
bemilai sama sehingga digunakan
u,(:)' . u(i)'
Seperti Iangkah pada contoh 3.3 maka didapatkan
sehingga penyelesaiannya adalah y
=
^[r] i(;),
4=-!g ' 4,dun 2, 4=1
A,=? ' .
i.(;)"-*(i)' I
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
56
3.2.2 Solusi Partikular Solusi partikular adalah solusi untuk persamaan perbedaan jika konstanta-konstanta
xln -
kf
tiaa*.
bernilai nol. Pada dasarnya solusi partikular adalah penyelesaian untuk persamaan perbedaan jenis
L"oyln-k)=lurxl"-t t=0 t=0 Solusi partikular untuk persamaan (3.13) adalah
untuk
x[n]
yrl"l
l
(3.13)
yang memenuhi persamaan perbedaan
yang diberikan. Tabel 3.1 menunjukkan beberapa solusi partikular untuk masukan,
xln)
yang sering dijumpai.
Tabel 3.1 Tabel solusi partilrular untuk beberapa jenis masukan Solusi Partikular
*1"1
',C:i,
Cn
Crn+C,
Can
C coslna4f
C, cosfnc,to) + C, sinfna,rf
Ca'coslna4)
Cra' coslnatol+ Cra" sin [naro ]
'l
acl LOtnt LI
Contoh 3.5
Untuk persamaan perbedaan
ilrl')iln -lf+*rL" -21= 2sinn!, solusi totalnya dapat
ditentukan dengan mencari solusi homogen dan solusi partikularnya.
fub 3: Sistem LTI Waktu-Diskrit dolom DomainWaktu
Solusi homogen Solusi homogen didapatkan dengan mengubatr persanaan menjadi Persamaan karakteristiknya adalah
o,,
ilrt-|ilr-rl*|r[n-21=g.
,-1o-'**o-'=0atau o'-1o**=O
sehingga menghasilkan
o,.h karena itu, solusi---------c--homogennya adalah /hL..t yrlrl= --,\+/ =!4 dan a.= . 1. u (i)' . n(r)" 2
'
Solusi partikular
x[n]
Berdasarkan Tabel 3.1, karena
partikurarnya adalah
yoln!-
Uerbentuk
Csin[naof,dengan
r,*"1ff'l.C rt[f],
ke persamaan perbedaan sehingga perlu juga dicari
t,ln - tl = r,
r
*,Iry1 . Wrb).
oln-zl = C .o.
"'r [ry] r,
I
"^1ry)
Dengan menggunakan prinsip kigonometri didapatkan
.*
[qr]
t)".l ,6 [(, -
L 2I
*'l*y]
=
*'
[-i
=.ir[_]
t2
=
.".
"
.
o*
Tf='^l+) !L1= _"o.[z1
2)
L2)
. *,1+) [-, T)= -
*[q'] =,*[-" .T)= -.*[f]
C=2 dan ao=!
makasolusi
Kita akan menyubstitusi solusi partikular ini
58
Dasar Pengolahan Sinyat Digitot
sehingga
t oln - tl -
c,,i"l+)-
r,
*,1+)
t oln- 2l = -c,*' [T] - c, sin l+l Substitusi nilai-nilai tersebut ke persamaan perbedaan menjadi
,,*"1T7*c,"i,lT]-|[r,^l+1-r,*"lT)).*[-r*,[f
]-,,,"1+))=2"i,ff
(f,,,.1,,)*,[T]. (-i r **,,),', [T] = zsinff Dengan metode identitas didapatkan
g' *1c 4'
Tc.
=o
*1c^ -1c. 4 'g ' =2 Dengan eliminasi/substitusi didapatkan C, diperoreh
y,l,)= -#.",[
T).+rU''"
=-#
dan
Cr=fr.
Dari
langkah-langkah tersebut
[T]
sehingga solusi total adalah
ttn!=
u(i)' .^(;)'
*fr,i"ff-#*,ry I
3.3
KONVERSI SINYAL ANALOG MENJADI DIGITAL
Karena kebanyakan sinyal natural adalah analog, sedangkan pengolahannya diingir*an digital perlu maka ada proses konversi sinyal analog menjadi digital. Konversi ini dilakukan oleh sebuah analogto-digital converter (ADC). Konversi ini meliputi beberapa tahapan yaitu:
Bob
3: Sistem LTI Woktu-Diskrit dalam Domain Woktu
59
l.
Sinyal analog di-sampling, dengan demikian mengubah sinyal analog menjadi sinyal waktu-diskrit dengan amplitudo yang kontinu, seperti ditunjul,rkan pada Gambar 3.7.
2.
Amplitudo tiap sampel dikuantisasi menjadi 28 level dengan.B adalah jumlah bit yang digunakan untuk merepresentasikan sebuah sampel. Level-level amplitudo yang diskrit tersebut dikodekan menjadi bilangan biner dengan panjang B bit.
3.
rlnl
Gambar 3.7 Sampling sinyal analog
33.f
Sampling Proses sampling mengubah sinyal analog,
x(r) menjadi nilai-nilai waktu-distrit, x[n] Vane
dinyatakan sebagai
xfnf= *U)|,=,r= dengan
{
x(nT,), n =...,-2,-1,0,1,2,...
(3.14)
adalah periode sampling.Istilah lain yang sering digunakan dalam sampling adalah frekuensi
sampling, yang tidak lain adalah kebalikan dari periode sampling,yaittt
n'=TI
(3.1s)
Secara praktis, proses sampling dilakukan dengan mengalikan sinyal analog dengan deretan sinyal
impuls, seperti ditunjukkan oleh Gambar 3.8.
60
Dasar Pengolahon Sinyal Digital
Gambar 3.8 Prinsip sampling Deretan sinyal impuls dapat dinyatakan sebagai
p(t)
=
\r 6(t -nT,)
(3.16)
L
Dengan demikian, sinyal analog yang telah di-sampling dapat dinyatakan sebagai
*uQ)= x(t) p(t)=
i
xlnlS(t
-nr,)=
Jika frekuensi tertinggi dari sinyal analog adalah
|
f^*
x(nr,)a(t -nr,)
(3.1 7)
maka sinyal harus di-sampling dengarr
frekuensi sampling paling sedikit dua kali frekuensi tertinggi sinyal analog tersebut, atau
F,22f.o*
(3. l 8)
f,
=2.f^o^ disebut sebagai Nyquist rafe. Sebagai contoh, jika frekuensi tertinggi sinyal analog adalah 4 kllz maka frekuensi sampling harus
Prinsip tersebut disebut sebagai kriteria Nyquist. Frekuensi setidaknya 8 kHz.
Jika dinyatakan dalam bentuk periode sampling, dapat dinyatakan sebagai:
,a '' - 2f-o^ 7
(3.1e)
Pernyataan tersebut disebut sebagai teorema sampling uniform.
Jika teorema sampling tidak dipenuhi maka akan terjadi aliasing. Atiasing ditunjukkan oleh Gambar 3.9. Terlihat bahwa dua sinyal tersebut (sinyal yang bergaris penuh dan putus-putus) menghasilkan sampel yang sama sehingga jika sinyal aslinya adalah sinyal yang bergaris penuh, dan dilakukan proses sampling dengan tidak memenuhi teorema sampling maka jika dikembalikan lagi menjadi sinyal analog, mungkin akan menjadi sinyal yang bergaris putus-putus. Dengan demikian, jika terjadi aliasing maka sinyal tersebut tidak dapat dikembalikan lagi menjadi sinyal analog aslinya. Alasan terjadinya aliasing dapat ditunjukkan dengan menganalisis spektrum frekuensi sinyal. Alasan ini akan dijelaskan lebih lanjut setelah kita membahas transformasi Fourier.
Mb 3: Sistem LTI Waktu-Diskrit dalam Domain Waktu
61
Gambar 3.9 Aliasing Dalam praktis, biasanya digunakan filter antialiasing untuk menghilangkan efek dari aliasing. Dengan memperhitungkan efek dari filter ini maka kriteria Nyquist berubah sedikit menjadi kriteria Nyquist versi
engineer,yaitu
.f,22,2.f^,*
(3.20)
Teorema sampling pada persamaan (3.18) atau (3.19) berlaku untuk sinyal lowpass. Sedangkan dalam telekomunikasi biasanya sinyal hanya menempati pita tertentu saja, yang disebut sebagai sinyal bandpass seperti pada Gambar 3.10.
frekuensi
Gambar 3.10 Sinyal bandpass Dalam sinyal bandpass, bandwidth,.B sangat kecil jika dibandingkan dengan frekuensi atds, frekuensi bawah,
f,
f,
dan
pita tersebut sehingga teorema sampling untuk sinyal bondpass berubah menjadi
2-f, < ,
.2f, n -''- n-l
(3.2t)
Dosar Pengolahon Sinyal Digital
62
dengan
n=tf
(3.22)
Nilai n adalah bilangan bulat, jika tidak maka dibulatkan ke atas. Contoh 3.6
Kita ingin melakukan digitasi musik dengan bandwidth 20 kGlz. Dengan menggunakan kriteria Nyquist versi engineer maka frekuensi sampling harus lebih besar dari 2,2 x 20 kJlz : 44 kElz. Pada kenyataannya, frekuensi sampling untvk cornpact disc digital audio player adalah 4,1 tGlz dan untuk s tu di o - q ual ity au di o 48 lr*lz.
Dalam praktisnya, proses sampling sinyal analog dilakukan oleh rangkaian sample-and-hold (S/H),, Sinyal yang telah disampel kemudian dikuantisasi dan diubah menjadi bentuk digital. Biasanya S/[I digabungkan ke dalam ADC. S/[I melakukan penjejakan sinyal analog selama proses sampel dan
.
kemudian akan menahan(hold) nilai tersebut sampai ADC mendapatkan nilai digital dari sampel tersebut. Jika tidak ada S/H maka sinyal masukannya tidak boleh berubah selama setengah langkah kuantisasi (quantization step size), yang mana tidak mungkin dalam kenyataannya. Proses SAI dapat dilihat pada Gambar 3.1l.
Gambar
3.3.2 Kuantisasi dan Enkoding (Pzlse
3.ll
Code
Proses S/H
ModulationtPCM)
28 level. Sebagai contoh jika B : 4 maka levellevel yang terjadi adalah sebanyak 2a =16, yaitu 0001,0010,0011,..., llll. Proses kuantisasi pada Kuantisasi memetakan nilai-nilai analog menjadi
dasarnya memang akan menghasilkan kesalahan (error). Kesalahan yang terjadi adalah sekitar setengah
il
i
;
Bab
3: Sistem LTlWaktu-Diskrit dalam Domain
Waktu
63
dari least significant brl (LSB). LSB sama dengan ukuran langkah kuantisasi (quantization step size), yaitu jarak antarlevel, yang didefi nisikan sebagai q
Vk =rtr=;
l/r"
(3.23)
dengan Y1, adalahskala penuh ADC dengan sinyal masukan bipolar, yaiu Yo,u-V^n.Proses levelisasi pada kuantisasi dapat dilihat pada Gambar 3.12.
Ve-tll ve-3{,tt
s{r? S.ra qfrl
Nilii-Eild
& leuel
terkurntirasi
v,ry,
-*n -w2
*u3 i; -Ir -Vo + qlil L
rr
---
Gambar 3.12 Level-level pada proses laruntisasi Contoh 3.7
ADC 12 bit dengan rentang tegangan masukan + 10 V mempunyai ukuran langkah 20f 2t2 = 4,9 mV dengan errorkuantisasi lf 2x4,9 =2,45 my.
kuantisasi
I Contoh 3.8 Sebuah sinyal analog
x(r)
mempunyai nilai pada rentang
untuk ADC 3 bit dapat dihitung, yaiAt q =8123 =
4
Ukuran langkah kuantisasi
l. Dengan demikian terdapat 8 level kuantisasi
dengan
Dosar Pengolohan Sinyal Digital
64
jarak antar level adalah l. Level-level tersebut adalah -3,5, -2,5, -1,5, -0,5, 0,5, 1,5, 2,5,3,5. Selanjutnya, kita memberikan kode 0 pada level -3,5, kode 1 pada level -2,5, dan seterusnya sampai kode 7 pada level 3,5. Proses kuantisasinya dapat dilihat pada Gambar 3.13.
I
KodG
Lircl kualtisasi *{r) tvf
7
3.5
6
2.5
5
1.5
tt
0.5
3
*0.s
2
-L5
t
-2.5
0
-3.5 l1 tr
Nilai
cargling
Nilai terkuantisesi
Itodc Stu-rrlPtCt{
:i
1.3
3.6
,5
3.5
1
5
7
101
111
2.3 ?.5 6rt 1r0
,
0.7 0.5
r00
I
*3.4
-0.? -0"5
-2.4 -2"$
3
"t
o
oll
001
000
*3.S
Gambar 3.13 Proses kuantisasi Errorkuantisasi, e untuk setiap sampel dianggap sebagai bilangan acak yang berdistribusi seragam dengan mean:0. Dalam hal ini, daya noise kuantisasi (variansi) (uniform) dalam interval
tqlz
diberikan oleh q12
02
= ! e'r(e)ae -ql2 .qlz =1 [ q
z
(3.24)
-ip"'d"=Qt2
Prinsip kuantisasi yang dijelaskan di atas adalah prinsip kuantisasi seragam (unifurm), yaitu ukuran langkah kuantisasinya selalu sama. Namun, untuk sinyal-sinyal yang lemah, seperti sinyal pembicaraan (speech signal), kuantisasi seragam tidak banyak bermanfaat. Sebagai gantinya dapat dipergunakan
tub 3: Sistem LTI Waktu-Diskrit dalam Domain Waktu
65
kuantisasi tidak seragam (nonuniforz). KuantisaSi tidak seragam akan memberikan hasil yang baik untuk sinyal lemah dan hasil yang buruk untuk sinyal yang kuat. Perbandingan antara kuantisasi seragam dan kuantisasi tidak seragam untuk sinyal lemah dan kuat ditunjukkan pada Gambar 3.14.
Lcrsl-Ierd kuutiseli r5
15
t4 kurt
r3
12
il
t2
r0
tl
-il-tlsa
SinFllanh
{
It\
*
H{**",r
t0
,r___r=
so5
6 5
n
\
4
3
3 2
2
t
I !1
Ao
0
Euutisrsi sr.ragru
Eulltirecit{kseragrm
Gambar 3.14 Kuantisasi seragam dan kuantisasi tidak seragam Karena noise lanrfiisasi berbanding lurus dengan q makauntuk kuantisasi seragam, di mana lebih akurat digunakan untuk sinyal kuat daripada sinyal lemah, noisektantisasi untuk sinyal lemah akan lebih besar. Oleh karena itu, signal-to-quantization noise ra#o (SQNR) untuk sinyal lemah lebih puruk dibandingkan sinyal kuat. SQNR dapat ditunjukkan dengan persamaan D
.SONR =
l0losA
(3.2s)
t,
dengan
{
adalah daya sinyal dan
mempunyai rnean
:0
maka
1
adalah daya noise. Dengan mengasumsikan sinyal *1")
1=o1 =Zlx'zfn)l
dan begitu juga untuk noise, yaitu berdistribusi
seragam dengan mean = 0, seperti pada persamaan(3.24) sehingga berlaku
1= ol = gl"'\
.
Dasar Pengolahan Sinyal Digitol
65
Dengan menyubstitusi persamaan (3.23) ke persamaan (3.24) didapatkan
o,
Vft
=rih,
,: =#u
atau
sehingga persamaan (3.25) menjadi
SQNR=
totog4 -oj =21logL -o,
=2orogo,'2''fr Yli = 20log o
"
+
20
B log2 + 20log Jn
SONR = 6,028 + I 0, 8 - 20 log
- 2}logVn
Y"
--r:
(3.26)
ox
Contoh 3.9 Sinyal sinus dengan amplitudo
4
=,1' lz
I
besarnya SQNR dapat dihitung sebagai berikut.
Nilai Zo =2A
e ox = lf J-z sehingga menjadi sqNR = 6,028+10,8 -z\bgffi=
dart
6,028+1,86
dB. Setiap penambahan satu bit B maka akan terjadi penambahan SQNR sekitar 6 dB.
I
3.3.3 Kuantisasi Tidak Seragam (Nonuniform Quantization) Ada dua cara melakukan kuantisasi tidak seragam. Carayangpertama adalah dengan menggunakan nonunifurm quantizer, seperti pada Gambar 3.15a. Cara yang ke dua adalah dengan melakukan kompresi logaritmik (Gambar 3.15b) yang kemudian dilanjutkan dengan uniform quantizer (Gambar 3.15c). Dari Gambar 3.15b terlihat bahwa sinyal dengan nilai (magnitudo) yang kecil akan menghasilkan keluaran yang besar (kerena grafik karakteristiknya lebih curam). Karena itu, perubahan sinyal pada magnitudo yang kecil akan menyebabkan uniform quantizer menghasilkan langkah yang lebih banyak dibandingkan perubahan yang sama pada magnitudo besar. Pada sisi penerima (receiver), dilakukan proses invers, yang disebut sebagai ekspansi (expansion). Pasangan proses tersebut, compression sebagai companding.
- expansion,
sering disebut
Bab
67
3: Sistem LTI Waktu-Diskrit dalam Domoin Woktu
Ontput
Ou&ut Kroprcsi
TuScbryresi lnput
lnput
tbl
{c}
Gambar 3.15 (a) Nonuniform quantizer (b) kompresi logaritmik (c) uniform quantizer Kompresi logaritmik yang sering digunakan ada 2 jenis, yaitu St-law dan A-law. Kompresi p-law diberikan oleh
rn[r+
! = /n* --rr
p(Vll:-*\1 (l + p)
-----':sgn,
dengan p adalah konstanta positif, x dan y adalah masukan dan keluaran, dan
(3.27)
.rn*
dan yn
* adalah nilai
positif maksimum masukaq dan keluaran berturut-turut. Sedangkan kompresi AJaw diberikan oleh
,=T
e(l*ll**) /*--ffs$n.I t+tnA
l'l . o. r.o A 1
Ir,-. dengan
A adalah konstanta positif, dan parameter yang lain sama dengan persamaan (3.27).
(3.28)
68
Dasor Pengolahon Sinyal Digital
Kompresi p-/aw sering dipakai di Amerika dan Jepang dengan nilai p
:
255, sedangkan AJaw
seringdigunakandiEropadengannilaiA:8'7,6.Jikap:0atauA=l.makatidakterjadikompresi (amplifikasi linear), yang artinya sama dengan kuantisasi seragam. Grafik karakteristik kompresi p-law dan A-law ditunjukkan pada Gambar 3.16(a) dan (b) berturut-turut. 1.0
x
1.0
0.8
x o
€
E
E
3 o.o -3
a
0-4
t
o
0.8
S 3
o,s
a
0.4
o
a.2
0,2 0.4 0,6 0.8
0.2
1.0
lnput,lx l/rrnr*
(al
4.2 0,4 0.6
0.8
1.0
lnput,l*l/r.", (b)
Gambar 3.16 (a) Karakterstik p-law (b) Karakteristik A-law
3.4
KONVOLUST
Dalam subbab ini kita akan membahas mengenai hubungan antara masukan dan keluaran dalam sistem waktu-diskrit linear, time-invariant (LTI). Sistem LTI merupakan sistem yang memenuhi properti linear sekaligus time-invariant seperti yang dijelaskan pada subbab 2.2. Sistem LTI adalah sistem yang paling sering dijumpai dalam aplikasi karena sistem LTI mudah dianalisis dan mudah didesain. Pada kebanyakan sistem praktis, meskipun tidak benar-benar linear dan time-invariant, biasanya dianggap sebagai sistem LTI dengan eruor yang diperbolehkan. Dalam pembahasan selanjutnya dalam buku ini, sistem LTI akan digunakan.
LTI
dikarakterisasi oleh respons impulsnya, yaitu keluaran yang dihasilkan jika masukannya adalah unit impuls. Hal ini berarti jika kita sudah mengetahui respons impulsnya maka kita dapat mengetahui keluaran sistem untuk berbagai macam jenis masukan.
Sistem
Misalkan
hlnf
adalah respons impuls dari suatu sistem
LTI, yaitu keluaran untuk masukan unit
impuls, 01n1. Karena sistem ini mengikuti properti time-invariant maka berlaku hubungan
seperti
ditunjukkan pada Tabel 3.2. Karena sistem ini mengikuti juga properti linear maka jika masukannya
Bab
3: Sistem LTI Woktu-Diskrit dalom Domoin Waktu
JV
adalah
rt/
Ir,[rJ,
keluarannya adalah
i=M
r,
ZY,l"l
dengan
69
M
dan y, adalah respons/keluaran untuk
i=M
yang berkaitan.
Tabel 3,2 Respons impuls sistem LTI
Sebagai contoh, misalkan 3,t6ln + 2l+ 0,26 lnl+ \ a5 fn-
masukan
*
sistem
ln- 6] * L ld [n - e] x[n]=3,lhln+2)+0,2hlnl+l,4hln-3]+0,91u[r-6)+t,thln-91. x
[n ] =
suatu sistem
3]
0,e d
maka
LTI
adalah
keluarannya adalah
s"ca.a umum, jika masukan
LTI dapat dinyatakan sebagai
xlnl=
I
r[r]r[r-k)
(3.2e)
k=< maka keluarannya adalah
tln) = n
{.l,ll
=
i
t={
*p,)nl, - r,l
Persamaan (3.30) disebut sebagai penjumlahan konvolusi
dan
xln)
dan
(3.30)
h[n) yang dapat dinyatakan
secara notasi sebagai
tlnl= xlnlanlnl
(3.31)
Dari penjelasan di atas jelas bahwa persamaan (3.30) dan (3.31) menghubungkan antara masukan dan keluaran dari suatu sistem LTI dengan nl"} adalah respons impuls dari sistem. Dengan menggunakan masukan
dl"l
pada persamaan (3.31), sesuai dengan definisi akan menghasilkan
Dosor Pengolohon Sinyal Digital
yl")=6fnl&hfnl=nl"l. Di sini dapat dilihat bahwa sebenarnya hfn) seperti diperlihatkan pada Gambar 3.17. Respons impuls,
&[n]
adalah mewakili sistem
sebenarnya merupakan suatu kotak hitam
(black Do.x) seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 3.6, di mana di dalamnya terdapat berbagai macam operasi seperti penjumlahan, perkalian, dan juga delay.
ylnl=xlnla hlnl
Gambar 3.17 Sistem LTI Jika kita telah mengetahui respons impuls suatu sistem LTI, kita dapat mencari keluaran sistem LTI tersebut untuk berbagai jenis masukan dengan menggunakan persamaan (3.28). Secara praktis, jika kita
tidak mengetahui respons impuls dari suatu sistem LTI maka kita dapat berikan masukan berupa unit impuls (contoh: berupa tegangan sesaat) dan hasil keluaran sistem itu adalah respons impuls. Secara umum, cara grafik untuk mendapatkan konvolusi
1. 2. 3.
Substitusi n = Cari nilai
Geser
fr
hl-kl,
hl-kl
sehingga didapatkan
x[e]
aan
x[n]
aan
hfn!
adalahsebagai berikut:
hlkl
yaitu dengan mencerminkan nilai-nilai terhadap /r = 0
sejauh
n ke kanan jika n positif
atau ke
kiri jika n
negatif sehingga didapatkan
nln-tcl
4.
Kalikan
5.
Jumlahkannilai-nilai padavn[ft],yaitu
x[fr] oergun hln - tc)untuk mendapatkan u,lk)= xlclnln
...*ro[t]+v,lZl+v,[:]*"'
- tc) untukmendapatkan
Sifat-sifat dari operasi konvolusi adalah sebagai berikut:
l. 2. 3.
Komutatii yaitu
x1
lnl9 xrln]= *r[z]ex, [n]
['])e', [']=', [']O(', [n]ex, [n])
Asosiatif, yaitu (.r, [n
]ox,
Distributif, yaitu
]e (x' lnl+ xr[r])
.r1
[n
= x, [n]8 x,
[r] * r' [n ]e
x, [n ]
y[n]
Bab 3: Sistem LTI Waktu-Diskrit dalam Domain Waktu
71
Contoh 3.10 Jika diketahu
i xlnl=
{-r, 0 I -1 :} aun hl"1={+ z o -t} , nilai tln]
dapatdicari dengan
menggunakan prinsip konvolusi, yaitu sebagai berikut.
r=k
xlkl={-? 0 I -l :} aun hlkl={+ 2 0 -t}. rr.",ru nilai x[t]=0 untuk k<0 maka yl"7:0 untuk r(0 dur, 0
sehingga
menjadi
rentang tersebut. Sekarang kita akan menghitung nilai
yln].
Berdasarkan persamaan (3.30) maka
4
r,[o]=
I,[/.]
hl-ky
k=0
= xloln[o] =
+ x I t] a
(-2x t)+ (0x
[
0) +
- t] * xlzln[-z]
(tx
o) +
(-t*
* xltlnl-tl+
o)+ (:
x
x [+]
hl-41
0) = -2
4
/
l1l =
\xfrln[t - r] k=0
= xlolnft] + x [t]a lol+ xfzln[-r] * xlt)n[-z]+ x[+] hL4l = (-2x2)+ (o x t)+ (t x o)+ (-i * o)+ (: x 0) = -4 4
yl2l=Ir[r]
nlz-rc)
t=0
=
,[0] nfzl+x[t]zz[t] + xlz)nlol+ xlz)n[-t]* xl+lnl-zl
=
(-zx 0)+ (o x z)+ (t x t)+ (-t x o)+ (: x 0) = 1 4
/
: [3] \x[r<]nlz - rr) f=0 [:] + x [t] nlzl+ xlzln[r] + x [:] I [o] + xl4)hl-11 = (-2x -1)+ (o x o)+ (t, z)+ (-t x t) + (: x 0) = 3
= x [0]zz
Dasar Pengolahan Sinyal Digitol
72
4
yl4)=L.lr,1nl+-tl t=0
xlzlnlzl+ x [:]a [t] + x [+]a [o]
= x [o]r [+] + r [t] ttlz)+
(-2x 0)+ (ox -t)
=
+
(tx
o)
+(-t,
z) + (: x 1) = 1
4
/ [s] = lxft)nfs -
tcl
k=0
=,[0] nfsl+ x!lhll)+ xlzlnftl+ xp)nlz)+ xllnll = (-2x 0) + (ox o) + (t x -t) + (-t x o) + (: x2) = 5 4
- rl lxlrlnla t=0
y [6] =
,[0] nle)+ xp)n[s]+ x[z] nl+l+x[:]a[l] + xl+)nlz) = (-2x 0) + (ox o) + (tx o) + (-tx -t)+ (l x 0) = 1 =
4
ylTl=I,[r]nlt -tcl t=0 =
,[0] nltl+ xllnfo]+ x[z] nls)+ xplnl+l+ x[+]a[:]
=
(-zx 0)+
(o x o)+
sehingga,yl.l={-?
(t, o)+ (-t * o)+ (: x -1) = -3
t
-4 I315
-r} I
Pada contoh 3.10, panjane
lln)
adalah 8. Jika panjang
x[r]
*lr)
adalah 5, panjang
adalah
hlnf
N,, panjang hfn)
adalah
adalah
{,
4,
dan menghasilkan panjang
dan panjang
llnf
adalaU
N
maka secara umum berlaku
N = N,
* Nr-l
(3.32)
Contoh 3.11
Kita akan menghitung hl"l={+ 0 , ,}
konvolusi berdasarkan grafik. Diberikan
,[r]= {+ 1}
Proses konvolusi ditunjukkan pada Gambar 3.18. Hasil keluarannya adalah
dan
Bab
3: Sistem LTlWoktu-Diskrit dalam Domain Waktu
/[o]= /[1]=
|
v,[r]=t
i
,, [r]= r
yl2l=
k=4
v,
yl4l:
[r] = t
)
[=<
vo
[r]=
t
@
ft={
sehingga,
|
/r=<
73
y[r]=
/[3] = I,rltl=z k=q
{+ I 1
2
1)
II'n,
I
o1
0123
II 1
II tt
X
II
. I I. l
o1 01
II
01
II'n, ,b
lft]
'oo
-3-2-10
r,rr-r:=
,'[r]
._. htz-kl
,'r[k]
-z-101
x
?I ? I J. I -1 012
II .
I1.
o1
inp-nr
0123
II
II
01
=
= ..11.':[k1
lr'ro-r.r
7234 Gambar 3.18 Proses konvolusi
Jika dua sinyal periodik
{r[r]]
aan
{n{n)}
dikonvolusi maka harus dievaluasi dalam satu
periode. Proses evaluasi tersebut dilakukan dengan window. Jika periode (panjang) sinyal pertama adalah
N,
dan periode (panjang) sinyal ke dua adalah
{ , di mana N, * N,
maka harus dilakukan
penyesuaian supaya panjang satu periode sinyal tersebut sama. Penyesuaian tersebut dilakukan dengan menambahkan nol (zero padding) pada masing-masing sinyal.
Nol sejumlah N, - 1 ditambahkan
pada
Dosar Pengolohan Sinyal
sinyal pertama dan nol sejurnlah Nr sekarang adalah sama, yaitu
-l
Digital
t
ditarnbahkan pada sinyal kedua sehingga panjang kedua sinyal
N = Nr + N, -
1'
Contoh 3.12
Dua buah sinyal periodik akan dilakukan konvolusi. Sinyal tersebut adalah
(Zl,\nlr!\). ditambah
(f,2,:,{r[,r]])
Kur"nu sinyal tersebut tidak sama panjang maka harus ditambahkan nol. Sinyai
nol
sebanyak
I
dan sinyal
{hlrl\
ditambah
nol
sebanyak
2
{r[r]]
sehingga menjadi
dan hlnf = {...,2,1,0.0,. . .} . Proses konvolusi siklik dengan periode bcrikut. ditunjukkan pada Gambar 3.19. Hasil dari konvolusi ini dapat dicati sebagai
xlnl= {. ..,1,2,3,0,.
,l[0]
.
clan
.}
4 i,i
ainasilkan dengan menjumlahkan hasil kali antara Gambar 3.19(a) dan 3.19(c)
/[o] = (1x 2)+(zx
o) +
(:x o)+ (ox1)
=z
Oitrasilkan dengan menjumlahkan hasil kali antara Gambar 3.19(a) dan 3.19(d)
l[l]
/[1]
l[2]
=
(txt) +{2xz) +(:
+(ox o) = s
Oitrasilkan dengan menjumlahkan hasil kali antara Garnbar 3.19(a) dan 3.19(e)
ylzl:(r l[3]
x o)
x o) +
(zxt) + (: x2) +(o x o) = a
Oifrasilkan dengan menjumlahkan hasil kali antara Gambar 3.19(a) dan 3.19(l;
yl21=(rxo)
+(zx0)+(3x1)+(0r2)=: l
Selanjutnya yl47,yls\,./[6],... akan berulang kembali sehingga ,-14)=/[0]
/[6]
=
ylz),
dan seterusnya.
'
l[5] = l[f]
,
i
::
Bab 3: Sistem LTlWaktu-Diskrit dalam Domain Waktu
75
(a)
xlkl -4 -3 -2
4567
-1
(b)
(c)
(d)
h[1-k]
(e)
h[2-k]
(f)
-4 -3 -2 -110 7 2 3 14 5
,]
6
l
Gambar 3.L9 Proses konvolusi siklik
Dasar Pengolahon Sinyal Digital
76
Konvolusi siklik untuk
{, [r]]
aan
{l
[n
dengan panjang Ndapat dinyatakan sebagai
]]
Y"l"l= hl"la, x[r]
(3.33)
dan dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
/. [0] /. [1] yr12)
/. [N-1] Karena itu, contoh
[y. [o].1 I
3
ft[o]
hltl
-tl
hlN
hlTl
/,[o]
hul
nlN
*zl
a[,ar-t]
r,[o]
hlll
,[0]
hl2)
,
hpl
*l2l
r[r,r-r] nlr -zl /,[N-3] .'. ,iol
[1]
(3.34)
x[n -r].
.12 dapat dihitung juga dengan menggunakan persamaan (3.34), yaitu
[r[o] hpl hl2) r,[']l[r[0]l
v.[r] l_l
,t,t ,[o] hP) hlzlll,[']
l rlrl
I
h1l hlol frt3l ll .l2ll Ir.trlJ Lrtr] hl2l hltl /,tollLx[3]l
I y,lzll-
lzoorll-tllz1
l' z o oll ,l l,l
=lo
| 2 oll rl=lsl
[oo,r]LoiL,l
Konvolusi siklik pada dasarnya panjang kedua sinyal haruslah sama dan menghasilkan sinyal baru yang panjangnya juga sama. Karena itu, jika panjang kedua sinyal tidak sama (misal N, dan N, ) maka perlu disamakan dengan penambahan nol, namun penambahan nol yang dimaksud tidak harus sebanyak
N = Nr + N, -
3.5
I (lihat Soal Bab 4 no.2).
KORELASI
Korelasi merupakan bagian dari konvolusi. Ketika kita mengalikan dan menjumlahkan untuk menentukan nilai keluaran pada konvolusi, sebenarnya kita melakukan proses korelasi. Proses korelasi pada prinsipnya adalah menentukan derajat kesamaan dua buah sinyal. Dalam beberapa aplikasi, korelasi
Bab 3:Sistem LTlWaktu-Diskrit dolam Domoin Waktu
berfungsi untuk mengekstrak informasi. Korelasi silang (cross-correlatioru) dua buah sinyal,
xrln]
aan
x, [n] OiUerikan oleh
"
=*X
x'lnlx'fni
(3.3s)
Contoh 3.13 Sampel dua buah data diberikan pada tabel berikut:
n
I
2
.,
4
5
6
X1
4
2
-1
J
-2
-6
X2
-4
J
7
4
')
7
-6
6
9
4
5
.,
I
Korelasi dari data tersebut dapat dihitung sebeagai berikut
,,, =
ilfux -5
-4)
+ (z x r) +
(-t x :) + (: x 7) + (-z x +)* (-6 x -2) + (-s x -a) + (+ x -z)
+ (s x
r)]
3
Perhatikan Gambar 3.20. Jika kedua sinyal tersebut dikorelasi rnaka nilai korelasinya akan nol. Padahal, sebenarnya kedua sinyal tersebut identik, hanya bergeser saja. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, diperlukan pergeseran atau disebut lag. Jika sinyal dapat digeser ke
xrlnl
sebagai referensi maka
kiri.
Gambar 3.20 Sinyal identik dengan pergeset'an
sinyal
*rlr7
78
Dosar Pengolahan Sinyal Digitat
Berdasarkan Gambar 3.21, persamaan (3.35) dapat disesuaikan menjadi
,,,(i)=
*I,
ln)x,ln+
=,,,(-i)=
*;r
i)
(3.36)
lnlx,[n-
i]
denganT adalah juml ah laglpergeseran.
1=t+j
I Gambar 3.21 Sinyal *r1"7 yang digeser ke kiri sebanyakj Contoh 3.14
Kita akan menghirung kembali korelasi data pada contoh 3.13 dengan lag
:
3. Data tersebut sekarang
menjadi
.6
n
I
2
3
4
J
X1
4
2
-l
J
-2
-6
X2
7
4
a
-8
a
I
7,
I
9,
-5
4
5
Dengan demikian,
\, (3)= i
[(
o
"
t) + (zx +) + ( - I x -2) +(l x -s) + (-z x -z) *( -6' 1)]
=2,667 I
tub 3: Sistem LTI Waktu-Diskrit dolam Domain Woktu
79
Dengan melihat contoh 3.13 dan 3.14 dapat dilihat bahwa ketika
*rl")
digeser ke
kiri
maka
sinyal-sinyal tersebut tidak lagi berpasangan (yaitu tiga data terakhir). Keadaan demikian disebut sebagai efek akhir (end ffict). Selain itu, dengan bertambahnya maka hasil korelasinya akan menunrn secara
j
linear, yang menimbulkan perdebatan tentang nilai korelasinya. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 3.22. Salah satu cara menyesuaikan hasil korelasi tersebut adalah dengan memberikan faktor koreksi.
Dari Gambar 3.22 terllhat bahwa ketika lag = 0 maY'a rt
,rr(j) = 0 karena tidak satupun sinyal yang berpasangan. adalah
,rr(j),*",
(j)=rrr(0)d*
ketika log
- 1r' **u
Nilai korelasi sebenarnya antara 0 < lag < N
sedangkan yang dihitung dengan persam&m (3.34) adalah
,"(i\.
Dengan
menggunakan prinsip geometri maka didapatkan
qr(i),^"-r,r(i) li,(o) -
t/
(3.37)
(o) $ l,
(3.38)
sehingga,
\, (i),*" dengan
$n,(o)
= ru
(i)+
adalah faktor koreksi untuk kondisi efek akhir.
lag
Gambar 3.22 Efek akhir yang berpengaruh terhadap korelasi Parameter yang menggambarkan derajat kesamaan dua buah sinyal adalah koefisien korelasi, yang
didefinisikan sebagai
Dasar Pengolohan Sinyol Digital
80
ttz
p"(j)=
Nilai koefisien korelasi selalu berada
ketika
ketika pt Q) -
-1
ln 124 t,l]" n=O
dalarn- rentang antara
-l dan 1. Ketika prr(i)=l
artinya
artinya l00Yo berkorelasi namun dengan fasa yang berbeda, dan
prr(j)= 0 artinya tidak berkorelasi Kasus spesial adalah ketika
(3.3e)
iv-l
*[;'
100% korelasi,
(r)
sama sekali yang artinya sinyal-sinyal tersebut saling bebas.
,, [n] = *r1"7
yang disebut sebagai auto korelasi, yaitu korelasi sinyal
dengan dirinya sendiri. Auto korelasi diberikan oleh
,,,(i)=
*f,,
lnlx,ln+
il
(3.40)
Fungsi auto korelasi terhadap /ag diberikan pada Gambar 3.23. Terlihat pada gambar bahwa nilai auto korelasi terbesar terjadi ketikaT: 0. Hal ini juga menghasilkan beberapa properti auto korelasi, yaitu
l.
,i, (0) =
s, dengan.s adalah energi sinval yang dinormalisasi *Eri [r] =
z. ,i, (0)>,i,(r) ,i'(i )
Gambar 3.21 Fungsi auto korelasi terhadap lag sinyal acak
Bob
3:Sistem LTlWaktu-Diskrit dolam Domain
Woktu
81
Jika sinyal-sinyal yang ingin dikorelasikan periodik maka korelasinya adalah korelasi siklik. Jika sinyal pertama mempunyai periode berulang setiap z lag, dengan fi
N, d-
= Nr+ Nr-
sinyal ke dua mempunyai periode 1.
N, maka 4, (,1) atun
Perhatikan contoh 3.15,
Contoh 3.15 Diberikan dua sinyal yang periodik, yaitu s =
{43,1,6} dan D = {5,2,3} . Untuk mendapatkan
siklik, sinyal pertama harus ditambahkan nol sebanyak N, nol sebanyak Nr
-
korelasi
-l =2 dan sinyal ke dua harus ditambahkan
I = 3 . Proses selanjutnya ditunjukkan pada Gambar 3.24. Tampak bahwa nilai korelasi
tersebut berulang setiap n = 4 +3
-l
= 6 lag.
lvilai
Ir t'* p
4
3_
Lag
rot0)
I
6
0
oi
-)
[o-
0
0
0
i.29
0
0
5
I
1,7
)
2
2
.,
tr
-)
0
0
_il
)
2
2
T2
0
0
0
5
2
J
3
30
0
0
2
3
0
4
t7
0
5
J
0
0
5
35
)
2
) ) J-
0
0
0
6
t,.'29'i
.)
.|
:t
.)
dst
dst
\
clst--
Gambar 3.24 Korelasi siklik Korelasi banyak digunakan pada beberapa aplikasi seperti radar, sonar, komunikasi digital, geologi, dan lainnya. Dalam radar dan sonar,
xlnl
adalah sinyal yang ditransmisikan dan
ylnl adalah sinyal
yang diterima. Sinyal yang diterima itu telah mengalami penundaan dan juga noise. Sinyal yang diterima dapat ditulis sebagai
yL"7=
axln- Dl+w[n)
(3.4r)
Dasar Pengolahan Sinyal Digitat
82
dengan o adalah faktor atenuasi dan D adalah waktu
$nda (delay) dan wlnl adalah noise. Permasalahan
pada radar dan sonar adalah membandingkan antara
sinyal
llnl
aan
x[n]
untuk menentukan apakah
terdapat target atau tidak.
3.6 INTERKONEKSI
SISTEM LTI
Hubungan se;. (cascade). Dua sistem LTI mempunyai hubungan seri ketika keluaran sistem pertama merupakan masukan untuk sistem ke dua, seperti ditunjukkan pada Gambar 3.25. Respons impuls total untuk sistem seri, jika respons impuls sistem pertama adalah htlnl aan respons impuls sistem ke dua adalah
hl"l,adalah
hl"\= 4lnla 4lnl
(3.42)
Gambar 3.25 Hubungan sistem seri Sistem hubgngan seri ini juga dapat merepresentasikan invers dari sistem. Jika diberikan suatu persamaan
hl"l@h,lnl= 6lnl
(3.43)
maka sistem ke dua adalah invers dari sistem pertama, begitu juga sebaliknya'
Ilubungan paralel. Hubungan paralel ditunjukkan pada Gambat 3.26.
Respons impuls
total dari dua
buah sistem paralel diberikan oleh
hfnl= t"1"1* t"l"l
(3.44)
Bab
3:Sistem LTI Woktu-Diskrit dalam Domain Waktu
'
a[ry]'!,
83
[&.4J4,*-
Gambar 3.26 Sistem paralel Contoh 3.16 Kita ingin mencari respons impuls total sistem seperli ditunjukkan pada Gambar 3.41.
Gambar 3.27 Sistem kombinasi seri - paralel Yang pertama adalah mencari sistem respons impulse pengganti unnk
yaitu h'ln)=
\L"l+ holnl.
penggantinya menjadi
Kemudian
hrlnf
aan
h'ln)
=
4l"l* h"lrf= h,l"f+ h,ln]a(n,lnl+ hl")+ h,lnla 4["]+ h,fnl@h^fnl
nrln))
yang paralel
adatah sistem seri sehingga respons impuls
h"lr)= hrl"l@ h'ln)= hrl")A(nrlnl+ nrlnl). Akhimya
untuk sistem di atas adalah
hfnl=
l4ln] au holnf
respons impuls total
Dasar Pengolahan Sinyal Digitol
3.7 RANGKUMAN
OPERASI SINYAL DAN NOTASINYA
Tabel 3.3 berikut merangkum semua operasi sinyal pada domain waktu dan juga notasinya. Sebagian dari operasi tersebut telah dijelaskan pada Bab 2.
Tabel 3.3 Rangkuman operasi sinyal dan notasinya
Definisi
Operasi
Notasi
*l,\yl,)}
Perkalian
t t l ) {yl.)\ U{,t
Penjumlahan
{,[,] ]* {yl,l\ U{,1"1:,1"1= *l,l+ yf"l\
xlnl+
Perkalian skalar
,{*bl}a-t*[,]]
afulit:
Translasi
{*1"- "sl\
Refleksi (pelipatan)
{,[-,] \ t_{,lnl,,l"l= xl.nl\
Konvolusi
maju
3.8 KONVOLUSI
=rfu-o]\
,kl)
k1
,fnl=
oi
(forward
(r[,l
r(ykl
))A{"t
=,
xln-nol
xlnla ylnl
I
x[r]:': '
kl
k1
\)t:{,1"1,z1"1
,
/s=+ :..: .
I ,lk1 {,trl}r k--ko k--ko v
ylnl
r[tr]'
,l,l
I
Perbedaan mundur, (backward dffirence)
Perbedaan
ro] }
,[r1
__L,tkl4{
dffirence)
rbl= *ln-
t t l)o tld\U{,t"J=oi
Penambahan (tak berhingga)
Penambahan (berhingga)
n_.{rl"1,
):,1")=
I,[r]
k=ko
yVl- y [, - t] ]
l',bl= yl,*tl-y
[,] ]
v1,lnl;,
tyl"l
SINYAL KONTINU
Untuk sinyal kontinu, persamaan integral konvolusi ditunjukkan dengan persamaan:
y(t)=-!x(c)n(t-r)dr
(3.4s)
Bab 3:Sistem LTlWoktu-Diskrit dalam Domain Woktu
85
Konvolusi sinyal kontinu yang terbatas memerlukan suatu sinyal perantara (intermediate signal) yang didefinisikan sebagai
*,(') = x(r)h(t -t)
(3'46)
Sehingga, persamaan (3.43) dapat ditulis sebagai
v(t)
=\*,Q)a,
Q.47)
Secara umum, prosedur untuk mencari konvolusi dua sinyal kontinu yang terbatas adalah:
l.
Sketsalah grafik
x(r)
Oun
tama adalah cerminkan sejauh
2. 3. 4.
h(t
h(r)
-r)
sebagai fungsi dari
terhadap
r=0
t. Untuk mendapatkan h(t
untuk mendapatkan
n(-r)
-c),
pertama-
dan kemudian geser
l.
Geserlah sinyal dengan nilai r yang besar dan negatif (pergeseran ke kiri).
Tulislah representasi matematis untuk
Geserlah
h(t-r)
4 (r).
ke kanan sampai representasi matematis
*,(r)
berubah.
Nilai r di
mana
perubahan terjadi menunjukkan bahwa itulah akhir dari interval yang sekarang dan permulaan interval yang baru.
5. 6.
Sekarang / berada dalam interval yang baru. Ulangi langkah 3 dan 4.
Untuk setiap interval, integralk un w,
(r) dafi r - --co samp ai T = co untuk menghasilk a" y (t)
.
Contoh 3.17
Kita akan mencari konvolusi antara
x(t)=u(t)
aan
h(r)= Ae' .Karena
sinyal-sinyal ini bukan sinyal
terbatas maka proses penghitungan konvolusi seperti berikut.
y(t)= lu()*('-)ar a(r)
memiliki nilai nol untuk I < 0, maka @@
y(t)= A[eu-'tdr
=
Ale'e-'dr
00
=_Ae,l"-,1;f= e", I
Dasar Pengolahon Sinyal Digital
86
Contoh 3.18
Kita akan menghitung konvolusi dua buah sinyal terbatas yaitu rect(tl2a)@reu(tl2a).
Proses
perhitungan konvolusi ditunj ukkan pada G ambar 3.42.
I
t='b
-c
Gambar 3.28 Proses perhitungan konvolusi Contoh 3.lB
Perlu diingat bahwa representasi grafik suatu integral tertentu adalah luas di bawah grafik tersebut sehingga untuk menghitung nilai integrasi konvolusi untuk setiap interval (bagian yang diarsir) adalah dengan mencari luasnya (yaitu luas persegi panjang). Sebagai contoh, untuk
interval -a 1t < 0, daerah yang diarsir mempunyai batas datt t, panjang persegi panjang adalah (t +2a)x
1
=/
- -a
sampai t, = / + a sehingga
itu adalah t+a-(-o)=t+2a dan lebarnya adalah 1, dan
luasnya
+2a . Secara keseluruhan didapatkan hasil konvolusi sebagai berikut:
Bab
3: Sistem LTlWaktu-Diskrit dalam Domain Waktu
t
87
<-2a
, v('l)=1,*; , -2a2a
dan grafiknya ditunjukkan pada Gambar 3.29.
y(r)
Gambar 3.29 Hasil konvolusi Contoh 3.18
Pojok MATLAB
Program berikut mengilustrasikan proses sampling dengan periode sampling T. Pada contoh ini
mengikuti Nyquist rate,yaitt frekuensi ditentukan % Program
f
f
=20dan diambil T
Di sini kita akan menggunakan sinyal kontinu sinus dengan
=180.
3.1
Ilustrasi proses sampling cIf ,' t : 0:0.0005:1; %
€ :
)4.
x_konti-nu = sin (2*pi*f*t) subplot (2, L,l') plot (t, x_kontinu) , grid
;
(rwaktu, mllldetikr) ;y1abe1 ('Amplitudor ); title ('Sinyal kontinu x_{a} (t) r) ,' axis ( [0 1 -1 .2 1.21) subplot (2,L,2);
x1abe1
Donr Pengolohan Sinyol Digital
88
t = t/80; n = 0:T:1; x_diskrit = sin(2*pi*f*n),
k = 0: length (n) -1; stem(k,x_diskrit) ; grid xlabe1 ('sampel nr ) ;ylabel ( remplitudor ti-tIe ('Sinyal diskrit x [n] ') ; axis([0 (length(n)-1) -1.2 l.2ll
);
Hasil program tersebut tampak pada Gambar 3.30. Sinyal konthu
r"(t)
0.5
o z'
eo 5
E
{.5 -1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
I
waktu, milidetik Sinyal diskdr r[n]
[_T T 0.5
€3 -c\
E
I' T
iilrll
+q"[*f+
lltiij I lrl I
I
0102030lo50607080 sampd n
Gambar 3.30 llustrasi proses sampling Selanjutnya kita akan menentukan hasil dari konvolusi diskrit. Konvolusi dapat menggunakan fungsi
y = conv(x,h)
j {
$
Bab
3: Sistem LTI Waktu-Diskrit dalam Domain Waktu
Konvolusi dapat dihitung dengan program berikut.
? Program 3.2 ? Menentukan konvolusi x = input(rTentukan sinyal masukan = ') h = input('Tentukan respons impuls fil-ter = ') y = conv (x, h) ; Ny = length (y) ; n = 0:Ny-1; disp ('Keluaran : ') ; disp (y) stem (n, y)
xlabel ( I sampel n' ) ylabeI ( 'amplitudo'
)
Kita akan mengerjakan ulang contoh 3.1I dengan menggunakan program 3.2.
x = [1 1] h = t1 0 1 1l Hasilnya danplot nya (Gambar M3.2) adalah
Kel-uaran
1772t
=
1.6
1.4
1.2
o
E f
o
E (!
0.8 I
o.6l I
0.4
r l l !
ori or
-__,
00.5
_
l
1
Gambar 3.31Hasil konvolusi contoh 3.1l
89
90
Dosor Pengolohon Sinyal Digital
Mirip dengan konvolusi, jika kita ingin menentukan fungsi impuls sistem dengan yang diketahui adalah masukan dan keluarannya kita dapat menggunakan perintah
Ih,r] : deconv(y,x) dengan h adalah hasil pembagian (dekonvolusi) dan
r
adalah sisa pembagian. Kita akan mengerjakan
ulang contoh di atas dengan program berikut.
B Program 3.2 E Menentukan dekonvolusi
x = input ( 'Tentukan sinyal masukan = t ) y = input('Tentukan keluaran sistem = r) [h, r] = deconv (y, x) ; llh = length (h) ; n = 0:Nh-1,' disp ('Respons impuls filter, h In] = I ) ; disp (h) stem(nrh) x.label ( 'sampel n'
)
ylabel ( 'amplitudo'
)
Kita memasukkan data sebagai berikut:
x : [1 1] y = i1 7 t 2 tl Maka dihasilkan Respons impuls
filter, hlnl 1011
=
SOAL.SOAL
l.
Tentukan hasil konvolusi dari sinyal-sinyal berikut
a.
x[r] = {t
oI
1}
, hfnl=
{t I
1}
b. xln] = 61" - zl- z6ln- +] * 36ln - 61, hlnl = 26ln+
3] + d
[n] + zsln
- z)+ d [n -
3]
c. x[n]= 0,sn(u[n)-uf,- 6]), hlnj= r'h(T)(u(n +t) -u(n - +)) d. x[n)= aln -t]+ 6[n -21* a[n -r]+ 6[nl, hl4= 0,55fn -z)*d[n - r]+ 0, sd[n ] 2. Deret Fibonacci adalah merupakan deret kausal yang didefinisikan sebagai fl"l= fl"-tl+fln-21, n>2, dengan /[0]=0 dan /[l]=1. runjukkan bahwa /[r] adalah respons impuls dari sistem LTI kausal yang diberikan oleh persamaan perbedaan yln)= y[n-t]+ y[n-2]+ xln-tl.
Bab
3:Sistem LTI Waktu-Diskrit dalam Domoin Waktu
3.
Tentukan respons impuls total dari gambar di bawah ini.
91
ffiffi
i;dil *;;*;i
4.
Diketahui sistem seperti gambar di bawah dan dan
14=6ln-t]+:a[ri] , hrlrl=6ln-2ln25ln),
hrln)= 66[n- 6]* l5[n- +]461n- t]+ d[ru]
. Tentukan respons impuls totalnya.
i"ffi ffi
m
5.
Suatu hasil sampling tegangan ditunjukkan pada tabel di bawah. Tentukan nilai autokorelasinya dengan nilai lag = 0. Dan tentukanlah apakah sinyal tersebut acak atau periodik. Jika periodik tentukanlah periodenya.
-0,92 -3,71 3,1I -0,24 4,65 0,94 -2,99 -3,94 -4,03 -2,51 3,85 2,59 0,39 4,59 3,4 -3,46 6.
a. b. c: d.
Lakukan perkalian antara bilangan 123 dan 12. Lakukan konvolusi antara x[n = ]
{t 2
Laknkan perkalian polinomial antara
3}
Oan
l+ 2x +3x2
Berilah pendapat Andiruntuk hasil-hasil di atas.
hfn)= dan
{r
l+2x
z\ .
O,l7
Dasor Pengolahan Sinyal Digital
92
7
.
Tentukan korelasi dan koefisien korelasi antara dua set data, yaitu
{1,5 2,0 1,5 2,0 2,5\
dan
{o 0,33 0,67 Lo}. 8.
Uutuk sinyal analog x(r) = 3cos2000nl + 5sin 6000rt + 10cos12000rt
,
tentukan frekuensi
sampling yang memenuhi Nyquist rate.
9.
Suatu sinyal analog terdiri dari berbagai macam frekuensi sampai dengan 10 kHz.
a" b. c.
Jika disampling dengan frekuensi sampling 8 kHz, apayalgtedadi pada frekuensi 5 kHz?
a.
rect(tl a)@ rect(tl2a)
b.
zexp(at)z(r)8exp( -t)u(t)
Berapa nilai frekuensi sampling supaya sinyal tersebut dapat dikembalikan lagi dari sampelnya?
Ulangi pertanyaan (b) jika disampling dengan frekuensi 9kHz. 10. Tentukan hasil konvolusi dari sinyal analog
-oo0oo-
BAB
4
Representusi Fourier: Discrete Foarier Trunsform 4.1
PENDAHULUAN
Setelah mempelajari sinyal dalam domain waktu pada Bab 3 maka dalam bab ini akan dijelaskan mengenai sinyal dalam domain frekuensi. Dalam domain waktu, sinyal direpresentasikan dalam bentuk tegangan atau arus dalam fungsi waktu, sedangkan dalam domain frekuensi sinyal direpresentasikan dalam bentuk magnitudo dan fasa dalam fungsi frekuensi.
Dua domain tersebut memberikan informasi yang sama, dalam domain frekuensi dapat terlihat frekuensi berapa saja yang terkandung dalam suatu sinyal. Pada bab ini akan dipelajari bagaimana mengubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi, dan juga sebaliknya. Sinyal dalam domain waktu dapat diklasifikasikan menjadi 4 jenis, yaitu sinyal kontinu periodik, sinyal kontinu nonperiodik, sinyal diskrit periodik, dan sinyal diskrit nonperiodik. Masing-masing dari jenis sinyal tersebut mempunyai metode yang berbeda-beda jika ingin ditransformasikan dalam domain frekuensi. Metode-metode tersebut ditunjukkan pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Representasi Fourier Sinyal
Periodik
Nonperiodik
Kontinu
Fourier ^Series (FS) (Deret Fourier)
Fourier Transform (FT)
Diskrit
D is crete -Time F ourier Seri e s
(Deret Fourier Waktu-Diskrit)
(Transformasi Fourier) (DTFS)
Discrete-Time Fourier Transform (DTFT) (Transformasi Fourier Waktu-Diskrit)
Dosor Pengolohan Sinyal Digitol
94
Karena dalam buku ini membahas mengenai DSP, transformasi penting yang lebih banyak dibahas adalah DTFS dan DTFT, sedangkan FS dan FT hanya dibahas sekilas. DTFS lebih sering dikenal sebagai Fourier Transform (DfT) dan istilah ini yang akan kita gunakan dalarn buku ini. DFT dan
Discrete algoritma cepatnya, Fast Fourier Transform (FFT) menjadi sangat penting karena dapat memberikan infromasi yang cukup dalam domain frekuensi, komponen-komponennya adalah sinusoidal dan tidak pada terdistorsi pada sistem linear, dan FFT dapat dihitung dengan cepat. Selain itu, sejak dipublikasikan juga diaplikasikan. tahun 1822 oleh Fourier telah cukup banyak dikenal, dikembangkan, dan Transformasi diskrit lainnya adalah Z-transform (transformasi Z) yang akan dibahas pada bab lain pada buku ini. Z+ransform lebih digunakan untuk menganalisis sistem diskrit terutama untuk merancang filter digital dan rnelihat kestabilan sistem digital.
di dalam ilmu teknik elektro adalah Transformasi Laplace yang banyak digunakan untuk rnenganalisis sistem listrik. Alasan mengapa transformasi Fourier tidak digunakan dalam rnenganalisis sistem listrik adalah karena tidak dapat menyelesaikan sistem dengan Satu transformasi yang cukup penting
kondisi awal tidak nol dan masukannya berupa unit step. Transformasi Laplace tidak dibahas dalam buku ini walaupun akan digunakan pada perancangan filter karena transfomasi Laplace merupakan matematika teknik dasar yang sudah harus dipahami pada saat mempelajari DSP.
Namun demikian, tetap ada hubungan antara ketiga transformasi tersebut, transformasi Laplace, Fourier, dan Z. Transformasi Laplace adalah transformasi yang umum yang basisnya dapat dinyatakan Z adalah sebagai ,s = 6i. + /66r, transformasi Fourier basisnya dinyatakan sebagai s = i@, dan tranformasi z=
e'r,
dengan
T adalah waktu antar sampel. Dengan
transformasi Fourier dengan transformasiZ,yaitu z =
4.2
menyubstitusi parameter s, didapat hubungan
ei*
FOURIER SERIES (FS) FS digunakan untuk mentransformasi sinyal kontinu yang periodik. Misalkan sinyal memiliki
periodedasarTdanfrekuensidasaria,o=2rlTmakaFssinyalinidiberikansebagai
xlk)=
*'!-vl,
-ikaht
dt
(4.1)
Sebaliknya, invers FS (IFS) diberikan oleh
x(r)=
|xltl"io^'
(4.2\
t=<
'i
;
i $i
{,
$ }l ir
fi
Bab
4: Representosi Faurier: Discrete Fourier Transform
95
Suatu notasi dasar yang menyatakan hubungan FS dan IFS adalah
x(r)i-ffi-: xlk)
(4.3)
Contoh 4.1 Kita akan menentukan FS dari sinyal kotak periodik yang ditunjukkan pada Gambar 4.1.
r(r)
-To l0 To
-T-To -T+To
T-To
T+
Gambar 4.1 Sinyal kotak periodik dengan Periode T Seperti yang kita ketahui sinyal kotak periodik tersebut mempunyai periode dasarnya adalah ao =
2nlT
, Tl2
I
sehingga frekuensi
dan FS dapat dihitung sebagai berikut
,
Tl2
xlkl=+ [ *Q)r-io^'il =+ [ e-iku'dt ' -rl2 ' -rlz _1 -t e-ik^'l'o-. k*0 - Tjka4 r-'o' -_l
2 ( uirnro -
e-ltabG \ I
Tkoto\ 2i
LJll
)' '|
Karena berdasarkan hukum Euler, sin 0 =
xlkl=2sinkcooTo) LI Tkroo
,
k
r-') ;(rt -
*o
Sekarang kita akan mencari nilai FS untuk
yaitu
!^l x lol LJ =
TJ-,0
* =2To T
maka persamaan di atas menjadi
t:0,
dengan menyubstitusi nilai
&:0
ke persamaan (4.1),
Dasar Pengolohon Sinyol Digito!
Namun demikian, sebenarnya kita tidak perlu memisahkan perhitungan untuk dijadikan satu sebagai berikut: ,..-- 2sin
urfu-
(ka4To)
t*rO Tkao
/r
*
0 dan
zro
T
Jadi solusi untuk persoalan di atas. menjadi sederhana, yaitu
x ILk1I =zsin(k'oor') Tkan Karena
a\ = 2tlT,
maka
Xlkl_Zsin(nZtrrrlr) Lr k2tr
Karena sinc(x)
XIk1=r Lr
=ry,
maka
2sin(k2rroIr)=Trin ( kTn\
To kztrQolf)
To \ f /
Plot grafikX[f] untuk nilai Tof T
=14
dan Tof T =
t/l6
aitunlutt
t
= 0, karena bisa
Bob
4: Representasi Fourier: Diserete Faurier Transform
97
0.6
0.4
^tul
0., 0
-0.?
02
-50 -40 -30 -20 -10
20
30
&
50
810 20
30
40
50
l0
* (a)
0.r 5
0.t
'tol
o.o, 0
*50 +0
-0.0s
0
-30 -20 -10
(f)
Gambar a.2 @) Tof T
=tl4 1u1 folr -*Yl6 I
Contoh 4.2
Kita akan menentukan IFS dari Xlkl=1t12)lol ,tkrl\o dengan @o
= 2nI T = 2nI 2 =
x(r)=
7T
frekuensinya adalah
. Dengan menggunakan persama an (4.2) didapatkan
tt=0U4r rikzt2oriknt *iyz)+ k=-l
=t/r)r k=0
T:Zl.Nilai
eik,lzoeikrt
*t t=l
"ir'tzoriro,
0lz)' "-ittl2o"-tttr
Deret di atas merupakan deret geometri. Suku kedua akan dievaluasi dimulai dari / dan karena pada dasarnya suku kedua tersebut dimulai dari
hasil dari / =
0
sebagai berikut:
- 0 sampai / -
:c
I = 1 maka kita harus mengurangkan dengar
Dasor Pengolohan SinYal Digital
x
(r) =
ii
;@fr;N
+
-(y \
4;-,t,,
*i
Dengan menyederhanakan nlenj adi
x(r)=
s-+cos(zt+rlzo) I (4"2) disebut sebagi benruk ekspcnensial. Bentuk FS iainnya adalah
Bentuk FS pada persamaan (4.1i dan n bentuk trigonometrik yan g ditu niukka
x(r)=
gai'oc rikr:t
seba
r[o]+irir].ot .t
(k",t)+ l[A]sin lkos)
(4.4)
=l
Dengan koefisien FS adalah B
B
]
[o] = 1oi,
[r] = *1ii", t,l Alkl=i
i,
t')
(,)r,
(4.5)
cos(kaot) dt
(4.6)
(rc atot)at
(4.7)
"'
HubunganantarakoefisienFstrigonometrikdarrFseksponensialadalah
Blkl=x[r]+ xl-k) Alkl=
4.3
FOURIER TRANSFORITI
i(xlr'|-x[-k])
(4.8) (4.e)
(fr)
dalam domain frekuensi dengan FT' FT didefinisikan Sinyal kontinu nonperiodik dapat dinyatakan sebagai
x
(ir)= !x(t)e'i''dt
(4.10)
Bab
4: Representasi Fourier: Discrete Fourier Transform
dan invers FT
(iFT) didefinisikan sebagai
x(r)
=
*i
* f,r)ei^ dro
(4"r
r)
Contoh 4.3
Kita akan mencari FT untuk sinyal x(f)= e-''u(t) yang ditunjukkan pada Gambar 4.3(a). Berdasarkan rurnus (4. I 0) didapatkan *-!T
I "' -o
"' u
(t)
e-
i'' dt
=
i
t€-"'
u- "' 6y
= !r,-('* 1')' "lt
,
='_* ,*r_tr.r),11* a+Jo _1 '
a+ jat
Dari hasil akhirnya terlihat merupakan bilangan kornpleks sehingga mempunyai magnitudo (Gambar 4.3(b) dan fasa (Gambar 4.3(c)), yaitu
lx
(i,)l
arg{X
I )
,\:
(o' + o;1;
(jo)}
= - ur.,u n(otl a)
Dasar Pengolahan Sinyol Digitot
100
(c)
Gambar 4,3 FT dari sinyal
x(t) = e-"u(t)
4.4 D|SCRETE-T1IaE FOURIER TRANSFORM (Drtr) DTFT digunakan untuk transformasi sinyal waktu-diskrit nonperiodik. DTFT unruk sinyat x[n] didefinisikan oleh
x(r'')=|xfn)e'i" Secara umum,
X ("'')adalah mempunyai ,il"i X
yang dapat ditulis sebagai
("'') = X,"("'')* iX,^("'')
denganrX,"(ei') adalahbagianriildan ditulis dala'm bentuk polar, yaitu
k;;.ks
(4.r2)
X,.(r'')
adalahbagianimajiner dari
(4.13)
X(ei'). X(ei')
Aapat
Bob
4: Representasi Fourier: Discrete Fourier Transform
x dengan
l*
l, k'\l=
(r'')l
101
(r'')=lx(ri'lldua
xi,(r'')+ x!^(ei')
dan
(4.14)
0(t) = ug{x (ei-)} = *oun@.
x*1",,)
disebut fungsi magnitudo (spektrum magnitudo) dan
O(ot) disebut
parameter
sebagai fungsi fasa
(spektrum fasa). Jika dilihat dari persamaan (4.14) ketika disubstitusi
e(r)
dengan
0(a)= 0(a)+2nk , dengan
k
adalah bilangan bulat maka akan menghasilkan hasil yang sama. Oleh karena itu, hasil dari DTFT adalah kontinu, periodik dan tidak unik. Kecuali diberitahu lain, kita mendefinisikan rentang untuk fasa
adalah
-r
< O(at) <
a. Bukti bahwa DTFT periodik
X(ei('.2'4)= I x[n);
i(a+z*)n
=\
xln]e-
ian
adalah sebagai berikut:
r- i2rkn
i*lrl"-r" =x("t') Ada kalanya DTFT mengalami diskontinu
di 2n
pada respons fasanya. Biasanya suatu
tipe fasa altematif akan dibentuk untuk menghilangkan diskontinu di 2a. Proses menghilangkan diskontinu disebut "unwraping the phase" dan fase barunya dinyatakan dengan
0"(r),
dengan
indeks "c" menyatakan fungsi kontinu ar. Contoh 4.4
Diberikan deret
xln)=(0.5)'ulnl. Kita akan mencari DTFT dari sinyal nonperiodik tersebut.
Berdasarkan definisi DTFT maka
X(r,')=
@6
I
(o.s)'
ulnfe-i" =l(o.s)' e-i*
I =iLt\(0.5"-i')'= t 1-0.5e- j' n=0
I - t,,'Jg
Plot grafik untuk magnitudo dan fasanya adalah seperti ditunjukkan pada Gambar 4.4a dan 4.4b.
Dasar Pengolahon Sinyol Digital
102
I
"f ,.6
i
[ 1
I
14i
;
x 1.2
1
*iti ,i \.
\it,,
I
,/
L_- _-a-t--t"
-10
0
-8
omega
la)
"'r;---
"ll'\
t\
I
/\,,\
il
i\
o.2t
l
oL
1
4.2
,\ i", i\
I
i\
i
{.4
-0.6
.g.gr--rro-864'2o2 omega
(b)
Gambar 4"4 Plot magnitudo dan fasa untuk
x (ej')
= tl
t- 0'5e-"'
Contoh 4'4
Bob
4:
Representasi Fourier: Discrete Fourier Transform
103
Invers DTFT dapat didefinisikan sebagai
xfnl=
*'J*
f,*)ei*dco
(4"15)
Persamaan (4,12) dan (a,15) merupakan pasangan DTFT.
4.5 D1SCRETE FOURTER TRANSFORil (DFT) Untuk sinyal diskrit terbatas, yaitu x[n
] dengan rentang 0 S n < 1/ * 1 , dapat dinyatakan dengan
lebih sederhana, yaitu dengan menggunakan DFT. Sebenarnya DFT diturunkan dari DTFT, yaitu hanya N
nilai saja, yang disebut sampel frekuensi, dari X (ei' k = 0,1,...,N -
l.
)
Vure diobservasi, yaitu pada titik a =
@k ,
DFT didefinisikan sebagai
x lk|: x ("i' )1,*,kt N =f
xfnfe-"bt
*
(4.16)
n=O
dengan
k = 0,1,...,iy'-1
-
Namun, jika memperhatikan Tabel 4.1, tertulis bahwa DFT (DTFS) merupakan representasi Fourier untuk sinyal diskrit periodik. Masalah diskrit memang tepat, namun untuk periodik, apakah penjelasan di atas mencirikan adanya periodisitas? Jelas tidak karena sinyal diskrit ditentukan terbatas. Jadi, mana yang salah? Jawabannya tidak ada yang salah.
DFT merupakan suatu transformasi yang memerlukan suatu asumsi bahwa ketika kita menghitung DFT N-titik maka periodenya adalah i/. Sebagai contoh jika ada sinyal x[n]= {13,5,1} dan akan dilakukan DFT 4-titik maka diasumsikan sinyal tersebut mempunyai periode 4 sehingga dapat dinyatakan {...,1,3,5,'1,1,3,5,7,...1. Jika ingin dilakukan DFT 8-titik maka diasumsikan periodenya adalah 8 sehingga dapat dinyatakan .,,1,3,5,'7 ,0,0,0,0,1,3,5,7,0,0,0,0,. ..} . {. Penambahan sinyal nol (zero padding) dilakukan ketika periode tidak sama dengan jumlah sampel sinyal.
Dalam perjanjian jika tidak disebutkan N-titik maka dianggap
i/
sama dengan jumlah sampel sinyal
tersebut.
Kaitan antara DTFT dan DFT seperti yang telah dijelaskan di atas digambarkan pada Gambar 4.5.
Jika ada suatu sinyal diskrit nonperiodik, sejatinya sinyal tersebut dapat dilakukan DTFT. Untuk mendapatkan DFT maka DTFT dilakukan sampling. Atau, dengan langsung menggunakan prinsip DFT,
1A
Dasar Pengolohon Sinyal Digitol
yaitu sinyal diskrit nonperiodik tersebut diasumsikan periodik dengan periode N, kemudian dilakukan DFT. Kedua cara tersebut menghasilkan hasil yang sama.
Nperiodik ekctenri
DFT
l.-,
I"" irlr
{rfit
tl^
Saupling pada
..-€
O. *O,
Gambar 4.5 Kaitan antara DTFT dan DFT Invers DFT (IDFT) yang merupakan pasangan DFT dirumuskan sebagai
r
rfr'-l
xfnf=+I
x
(k)ei2,,ktN
(4.17)
JY k=o
Contoh 4.5
Kita akan
menentukan
DFT dari {t,0,0,1}. sinyal tersebut mempunyai periode y'/ = 4
berdasarkan persamaan (4. l6) dapat ditulis
33 X (k) = l xfnle-
i 2 mk t 4
n=0 3
=
l
xfn)e-
i znk t2
n=0
2 -x[o] +x[t] + xlzl+x[r]
-jzn.o
x(0) =lxfnle n=0
=l+0+0+l=2
sehingga
Bab
4: Representosi Fourier: Discrete Fourier Tronsform
x(r)=
1
1tt,,!
lxlnleT
j!
-
= x[0]+
105
- jStt
xfrleT + xlzfe-i' + xltleT
z=0
= 1 + 0 . r4- * a. e-jo +t.
=7+
j
= 1+
_j:tn.z
3
X (2)
"*
=\xln)e--T-
i'
=x [o] + xlt)e-
cos(+)-rr.(*)
+
xf2fe- iz. + xf3)e- i3'
n=0
= 1+ 0 . e-i' + S. s-iz't +1. e.-i3o =
1
_n _U j!!!
3
x(3) =lxlnle 2
-
-1
i3n
-x[o]+x[r]eT + xf2le-it'
- je,r
+
xltleT
n=0
=l+0
."+ +0.e-j3, *r."* =1+.or(T)-rr-(T)
- L- J
Dari hasil tersebut dapat dilihat bahwa hasil DFT merupakan bilangan kompleks sehingga dapat diplot amplitudo dan fasanya (dalam radian) seperti pada Gambar 4.6. Untuk bilangan kompleks z = a + jb ,
amplitudo dapat dicari dengan menggunakan persamaan Vl= lz = tan-t bla .
rffu|'
dan sudut fasanya
I Jika didefinisikan
W* =
s-i2olN
1a .
i
maka persamaan(4.16) dan(4.17) dapat ditulis sebagai
t{-l
X[k1=lx[n)w!,
k=0,1,...,N-l
4.i
n=0
xfnl=*I"fot wi*, n=0,r,...,il-l
e
-ri,'
Dasar Pengolohon Sinyal Digitol
106
31=----I
2.51
2,..r lrl
ii
.t
i a,
rYYi
1:I ,iil
irrl 0.5i
il, 1l litl
,l
;
.:
lli :
I :
i I
I I
Gambar 4.6 Plot amplitudo danfasa DFT, Contoh 4.5 Persamaan (4.19) dapat dinyatakan dalam matriks (yang disebut Vandermonde Matrix) dengan bentuk
X=DNx dengan
(4.2t)
X adalah vektor DFT yang terdiri dari Nsampel, yaitu (4.22',)
Bab
4:
Representasi Fourier: Discrete Fourier Tronsform
dan x adalah
Nvektor masukan, yaitu x
serta
D,
107
adalah matriks
=[x[o]
,[tJ
x[,lrr-r]]'
(4.23)
lf x N yang diberikan oleh
ll
...
I
1
t w;, wi I Wi
Dr=
L. ,,N
W; ,rN
wN-l W2{N-t)
(4.24)
,)
rti
Begitu juga halnya dengan IDFT dapat dinyatakan juga dalam bentuk matriks sebagai berikut
[ ,[o]
l'[t]
(4.2s)
1,,,-,, dengan,
D:l ,, =
Dapat dilihat bahwa
Dr'
I
l
I
I
W;,
W;,
If;@-r)
W;,
W;
w-2(N-t)
w-'@r)
1r-'u*-'
W-@l)x(N-t)
,^y'
(4.26)
=*r;.
Contoh 4.6 Diberikan
x[z]=
{o I 2
3}
oan kita akan menghitung DFT dengan menggunakan metode matriks
seperti pada persamaan(4.21). Matriks
D,
nya adalah
Danr Pengolalnn Sirryol Digitol
wf wf w:1 [r I r tl I rr: w| w| w; _lt -j -r il '-=Wr wi wi w:l-,l -1 r-11 lwP wi ,v: w; ) [i j -r - j ) t-{ lwi
I
Karena iru hasilnya adaiah
1i lr X=l -j -1 l1 j L1 Ir
--1
I
-1
illl l';i,,)
t
pergeseran Siklik. Jika ada suatu sinyal dengan panjang N yang terdefinisi dari 0 1n1N -1 maka nilai untuk n < 0 dan n> N adalah nol. Jika sinyal tersebut digeser sebanyak no sampel maka sinyal <. cara tersebut sudah tidak lagi terdefinisi lagi pada 0 < n N -1. Oleh sebab itu perlu didefinisikan suatu menggunakan supaya biarpun digeser namun sinyal masih ada pada rentang 0 1n 3N - 1 , yaitu dengan
pergeseran siklik, yang diberikan oleh
*"fnf =
*l\'-',),]
(4.27\
atau
*
dengan \m)
r
adalah
z
O I tt.l {a}
"tn)= {.:}:,:l',r, " ; : :
:,:'
(4.28)
modulo N. Contoh pergeseran siklik ditunjukkan pada Gambar 4.7.
S
0l
l t{
5
(bl Gambar 4.7 Pergeseran siklik
It {cl
Bab
4: Representasi Fourier: Diserete Faurier Transform
109
Gambar a.7@) menunjukiian sinyal asli sebelum digeser. Ketika dilakukan pergeseran sebesar I sampel ke kanan (Gambar 4"7(b)) maka secara siklik sampel ke-S menempati ternpat sampel ke-0, sampel ke-O r.lenempati tempat sampel ke- l , iian seterusnya. Seeara formula dapat
tersebut dapat diperiksa, untuk rnenentukan
,[(r-1)u]="[(-t)r]=r[5],
dirulis ,
[(n
*
l)u
] . rormuta
nilai pada sampel ke-$
adalah
karena -1 modulo 6 adalah 5. Dengan demikian hasil tersebut cocok
dengan definisi dari pergeseran siklik. Selain iru, Gambar 4.7(b) juga dapat dipandang sebagai pergeseran
5 sampel ke kiri, yaitu x[(;e
t5)r].
Gambar 4.7(b) adalah pergeseran
*l@ -4). ]
=
*l(n + z),f
Pergeseran
ini juga rnenghasilkan liasil yang sama.
4 sampei ke kanan atau pergeseran 2 ke kiri,
Sedangkan
atau dapat ditulis
.
Properti DFT. Beberapa properti umunt DFT ditunjukkan pada 'l'abel 4.2, sedangkan properti simetri untuk DFI kompleks dan riil ditunjukkan pada Tabel 4.3 dan4.4 berrurut-turut. Tabel 4.2 Properti umum DFT
Properti
DFTN.titiK
Deret Sinyal, N-sampel
sfn), h[n)
Glk),Hlkl
Linearitas
aslnl+ phlnl
acftl+ pulrl
Pergeseran-Waktu Siklik
slfu-,,),]
wf,c[*]
Pergeseran-Frekuensi Siklik
w;0"
ol(o*
Dualitas
cl"l
Konvolusi Siklik N-titik (lihat Contoh 3.12)
N-l
Modulasi
sln)
lsl*lnl(n-*)-7
k,
),
]
(-r), ] GIk]Hlkl ru[s
m=0
glnlnfn)
*l^"t-lHl&-*).7
Danr Pengolahon Sinyol Digital
110
Tabel 4.3 Properti simetri DFT kompleks DFT N.titiK
Sinyal, N-sampel
*lr1
xlkl
*'lnl
x.[(-r),]
,.[(*n),]
X [fr]
ne{x[n]]
x r",lkf=
|{"[tul"]* x.[t-rl"]]
7Im{x[z]]
x *.1k7 =
l1*la),
*r",ln)
ne{x[r]]
**,1n1
1tn{xlrcl\
Keterangan:
*r",lrl **,lnf
adalah bagian konjugat-simetri periodik dati
xlnf
adalah bagian konjugat-antisimetri periodik dati
X r,,lk7 adalah bagian konjugat-simetri periodik aari
xln)
Xlkl
X o""Lkf adalah bagian konjugat-antisimetri periodik da::,
Xlk)
] - x"
[(-*)" ]]
Bab
4: Representasi Fourier: Discrete Fourier Tronsform
111
Tabel 4.4 Properti simetri DFT
riil
Sinyal, N-sariipel
*lnl
xlkl=
'*ln) **l"l
ne{x[r]]
ne
{x [rJ] + i
Im
{x [k]]
i rm{xlkl}
xlkl= x. [(-r), ] I
x [r] = n" x [(-r), ] lmx[/c]= -r,"x[(-&)"] ne
I
I
I Hubrngun Simetri
lxtrll= lr[(-o)"]l LYlkl= zxlFr),f Keterangan:
**lfrl **lnl
adalah bagian genap periodik dari
x[n]
adalah bagian ganjil periodik dari
x[n]
Konvolusi Linear dengan DFT. Seperti yang telah kita ketahui, dan juga telah dinyatakan pada properti umum DFT, bahwa konvolusi linear dalam domain waktu sama dengan perkalian dalam domain frekuensi. Oleh sebab perkalian lebih mudah dibandingkan konvolusi maka proses mendapatkan konvolusi linear dengan menggunakan metode DFT (baca: dalam domain frekuensi) akan dijelaskan sebagai berikut.
Jika ada dua buah sinyal, yaitu
x[n]
yang mempunyai panjang
N
sampet dan
hlnl
vane
mempunyai panjang Msampel maka perlu ditambahkan nol (zero padding) supaya panjang kedua sinyal
L=M+N-1. Sinyal r[n] aitumbahkan nol sebanyak (U-t) dan sinyal &[n] ditambahkan nol sebanyak (t/-l). femudian masing-masing x[r] Oan ft[z] aiUmkan DFT l-titik menjadi Xlkl aan Hfkl. Dan selanjutnya hitung nilai Ylkl= Xftelilftcl. Langkah terakhir adalah tersebut menjadi
melakukan IDFT
I-titik
untuk mendapatkan
y[n\.
112
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
eontoh 4"7 Kita akan menghitung kembali konvolusi pada Contoh 3.10 menggr:nakan DFT. Karena panjang x[rJ adalah 5 dan panjane
hl"tr
adalah
4 maka panjang
ditarnbahkan noi sebanyak 3 dan sinyal
h[il]
f{nl
adatah
5+4
- 1 :8.
Sinyal "r[zJ nertg
nerlu ditambahkan nol sebanyak 4 sehingga menjadi
xlnj=\-zo1-1 3ooo)
nlnj={tzo-ioooo} Kemudian cari nilai
xlkT= =
orr(xlnJ) -4.2929- j0.z9z9 - j
{l
-s:lit+
jr.707t
3
*s.7071- jr.707t
j
-4a929+ j0.z9z9\
Hlkl= DFr(h[n]t)
={2
3.1213-
j0:071 l*i3 -t.L2r3- j0l07r 0 -r.r2l3 - j0.7a7t
t+
j3
31213+ j0.707r\
Ylkl= xlklH[k1
={2
-13.6066+j2.r213
-3-jl
7.6066+j2.1213
0
7.6A66-j2.12r3
-3+jt
-13.6066-i2.l2t3l
Kemudian kita dapat mencari nilai akhir konvolusi dengan melakukan IDTF paday[/r]:
t[n]={-z -4 I 3 I s I
*3}
yang sama dengan hasil menggunakan metode konvolusi langsung.
I Contoh 4.8
Untuk konvolusi siklik juga dapat menggunakan DFT dengan cara yang sama. Kita akan menghitung kembali konvolusi siklik pada Contoh 3.12. Langkah pertama adalah penambahan nol seperti yang telah dikerjakan pada contoh tersebut. Selanjutnya dilakukan proses DFT:
xlkl= DFr {xl"l} Hlkl= DFr {hl,l}
[6 -z- iz z -z+ i2) = [3 2- i I z+ i]
=
Bab
4: Representasi Fourier: Discrete Fourier Transform
r[t]=x[t]r[t]={ta -6-iz z y[r]= IDFr {r[t]]= [z s 8 3]
113
-6+72}
I
4.6
PROPERTI REPRESENTASI FOURIER
Ada satu hal yang perlu diperhatikan berkaitan dengan keempat representasi Fourier yang telah dijelaskan sebelumnya. Hal yang perlu diperhatikan tersebut adalah adanya karakteristik tertentu yang dihasilkan oleh representasi Fourier, yang disebut sebagai properti periodisitas, seperti ditunjukkan pada Tabel4.5. Tabel 4.5 Properti periodisitas
Properti Domain Waktu
Properti Domain Frekuensi
Kontinu
Nonperiodik
Diskrit
Periodik
Periodik
Diskrit
Nonperiodik
Kontinu
Properti periodisitas menggambarkan bahwa sinyal-sinyal yang kontinu di domain waktu akan nonperiodik di domain frekuensi dan sebaliknya sinyal-sinyal diskrit dalam domain waktu akan periodik di domain frekuensi. Selain itu, jika sinyal-sinyal dalam domain waktu adalah periodik maka dalam domain frekuensi akan diskrit, begitu juga sebaliknya, jika dalam domain waktu nonperiodik maka dalam domain frekuensi akan kontinu.
4.7
FASTFOURTER TRANSFORM
frT)
Jika melihat Contoh 4.5, kita dapat menghitung berapa kali kita melakukan penjumlahan dan perkalian. Kita melakukan perkalian sebanyak 16 kali dan penjumlahan sebanyak t2 kali. Perlu diperhatikan bahwa Contoh 4.5 hanya menghitung 4 titik. Untuk 8 titik, kita melakukan perkalian sebanyak 64 kali dan penjumlahan 56 kali; untuk 16 titik, jumlah perkalian adalah 256 kali dan penjumlahan 240 kali; dan untuk 256 titik jumlah perkalian adalah 65.536 kali dan penjumlahan 65.280 kali. Bayangkan! Untuk mengatasi masalah di atas, Cooley dan Tukey mengajukan suatu algoritma yang lebih cepat dan efisien untuk menghitung DFT, yang disebut sebagai Fast Fourier Transform GFT). Metode FFT dapat dilakukan dalam domain waktu dan frekuensi, yang disebut sebagai desimasi-dalamwaktu (decimation-in-time) dan desimasi-dalam-frekuensi (decimalion-in-frequency\.
Daxr Pengolalnn
114
Sinyal Digital
Desimasi*daEam-waktu
Dalam rnembahas ini kita asumsikan bahwa jumlah titik adalah sedemikian sehingga N = 2u , dengan v=2,3,4,... Pada prinsipnya algorihna ini adalah memecah N-titik menjadi dua (N/2)-titik, kemudian memecah tiap (N/2)-titik men"iadi dua
(Nl4)titik, begitu
seterusnya sampai hanya terdapat
1
titik. Bagaimana ahlran pemecahannya? Berikut akan dijelaskan. Misalkan sinyal x[ia] terdiri dari ]/-titik. Kita akan memecah (desimasi) sinyal ini menjadi dua bagian yang masing-masing terdiri dari (N/2)-titik, yaitu satu adalah kumpulan dari nilai-nilai berindeks genap dan satu kumpulan lagi adalah kumpulan dari nilai-nilai berindeks gpnjil. Demikian seterusnya. Contoh untuk desimasi 16 titik diperlihatkan pada Gambar 4.8. Jika Anda mempunyai fftitik maka Anda
2logl/ tingkat sampai mendapat 1 titik. Untuk N= 16, berarti memerlukan akan menghasilkan 21o916=4 tingkat,untuk N:Sl}memerlukanTtingkat,unhrk N:4096 memerlukan 12tingkat,dan seterusnya.
I
sinyal
16
titik
2 siuyal
I titik *
sinyal
4
ritik
I
siuyel
2
tirik
16 sin;-al
I ritik
0 l ? 3 { 5 6 7 I 9 t0 il l? 13 14 15 02{68I0t?14
l\ r3J79ll1315
/\
0'l 812
/\
261014 /\
/\
/\
15
t\
/\
EEE@E3E /\ l\ /\ l\ i\
3 7 rl
EE /\
E /\
EtrTEEtrtrEEtrtrtr trtr trE Gambar 4,8 Desimasi untuk l6 titik
Jika Anda lelah melakukan desimasi seperti pada Gambar 4.8, tidak ada salahnya melakukan proses yang lebih mudah. Cara lain untuk mendapatkan desimasi sampai I titik adalah dengan melakukan pembalikan bit(bit reversal), seperti pada Gambar 4.9. Untuk 16 titik, berarti 1 desimal direpresentasikan dengan 4 bit. Desimal, pertama-tama, diurutkan mulai dari desimal 0 sampai dengan desimal 15. Kemudian, dilakukan representasi bit untuk tiaptiap desimal tersebut. Setelah itu, bit-bit tersebut dibalik (yaitu ditulis kembali namun dengan urutan dari kanan ke kiri). Langkah terakhir adalah
Bab
4: Representos i
F ou ri er
: Discrete Fouri er
T
ransf orm
115
merepresentasikan kembali bit-bit tersebut ke dalam desimal. Hasil akhir pada Gamb ar 4.9 sama dengan hasil akhir pada Cambar 4.8.
Urutan normal
Bcsimal
Biaer
0
I
0000 000r
, 3
00t0 00t I
4
0100
5 6
0l l0
7
I
Desiural Biaer
0 E { t2 2 l0 6 14 I I 5 13 3 il ? 15
0l0l
oilt
r000
9
r00r
l0
lt
r0l0 l0l I
l2 l3
l r00
l4 t5
Tirutau setelah pembalikau
I
t0l
ril0
ilil
0000 1000
0100
Il00 00t0
t0l0 0100
lll0
S0l l00l 0l0t I
l0l
00lr
t0lt
oilt tlH
Gambar 4.9 Pembalikan bit untuk l6 titik Sekarang kita akan membahas FFT secara rumus dan mendapatkan konsep perhitungan FFT yang sering disebut dengan metode kupu-kupu (Butterfly method)
Diberikan Indeks
,
{x[o],x[t],x[r],...,x[r-r]]
senap, {x[o],x[z],x[+),...,.r[lr-z]]
Indeksganjil, {x[t],x[:],xIs],...,xIlr*r]] Kita telah mengetahui DFT untuk
x[n]
seperti pada persamaan (4.19) dan kita akan menuliskan
kembali persamaan tersebut karena sekarang kita telah memecah menjadi dua bagian, yaitu bagian genap dan ganjil, sebagai berikut:
x lkl =
N-2
\n=l
, pp
xfn]wf
N-r
+
|
xfnlw]r
(4.2e)
n=2 r sejil
Bilangan genap dapat diwakili oleh n=2r dan bilangan ganjil dapat diwakili oleh p€rsamaan (4.29) dapat ditulis kembali sebagai
r =2r+1
sehingga
Dasar Pengoiahan Sinyd{ Digital
116
,,rt1 V;t "r[i]= f
, r[zr]wi,'n
nr-+
I
L
r[r'+1!ri'i:*r)'i
(4.30)
=rrr,
(4.31)
I'cirhatriktl r: h;ri:rva
ty;'k =(*;1 )'* =
=
["*
yy\r+r)k
J"*
["* )"
=w-|"wi
(4.32)
Dengan merggun*kan persamaan (4.31) d*n (4.:2) ke p*rsamaan (4.30) menghasilkan
xlft] =
v/?-r
f ..f=9.
x[zr]w],+4
Drr
- -**
ff,[,t]
maka Jf
l*]
A*n
,{r[t]
adalah
dapat ditulis, untuk
dengan
[k]
dan J(,
[&]
k' = k + N 12, X
"
* = {} sampal (,V/2 * l) Jr,
[r]
, scbagai
+w]x,lxl
Uianggap periodik dengan perir:de
[*]
(4.33)
DFT (Ni2)-tltit< dari yang berindeks genap dan gaqiil berturut-turut
,Y[#]= Karena, ,1',
I.tq .r[?r+t]wfy, " DFr (,ry/2)-ritik drd png berindek ganjil
(,v/2)-titik dari yang beriudeks genap
Jika
Nlz
l//2
(4.34) maka unftrk
&'= ifl2
sampai
N.
l,
diberikan sebagai:
x[fr 'l = x, Ir'- lt'i2] +fir]' x r[k'*
N 12)
(4.3s)
Untuk persanlaan (4.35), perlu diperhatikan bahwa
=W;r-aizi
*-W:
(4.36)
'yY{ Selcsailah kita mcnurunkan runrus un{uk rncmecah:ncnjadi
(472)-titik
bobot (weig&l) nntuk rncnrtapatkan hasil N-titili" Frrlses tersebut, untuk N =
dan faktor
}frj
menjadi
I dapat digambarkan seperti
Cambar 4.10.
Gambar 4.10 dapat dirnengerti dengan melihat struktur dasar seperti dirunjukkan pada Gambar 4.11" Setiap variahel yalg melervati tan
fub 4: Repr*entasi Fourier: Discrete Fourier
pada Gambar 4.10
Tronsform
berlakuX(0)=X, (O)+Wf Xr(0),
117
r(4)=X,(0)- WXr(O), o*
seterusnya.
Hasil tersebut sama seperti pada persamaan (4.34) dan (a.35).
;10)
Ar/2-ffi
J(l}
DtrT
J(2) x(3)
,r:(o) tri
.r(Q
rVn{i&
J(5}
DTT
i(6) x(?)
Gambar 4.lO Delamposisi (N/z)-titikuntukN =
I
'{ Gambar
Untuk N
4.ll StruHur
dasar metode butterfu
= 8, langkah selanjutnya adalah memecah
lagi titik tersebut menjadi (Ni4)-titik
ditunjukkan pada Gambar 4.12. Secara umunL konsep FFT diberikan pada Gambar 4.13.
seperti
118
Dasar Pengolohan Sinyal Digital
.rlil)
;{,l -rti
_r I.
.&rr.$-titlk
,tis)
$Fr
11t )
)
&Il.i-titik BFT
"rt?)
tr/4-titik
,114)
,tt3)
"r1ll
i
"r,,t, ------|1._p-H_,, -! "rij 1-*- .--*-* *::--r
*-, ; .tt
., I
1...
,115)
.u6)
Ali{-titik
Drr
,._.-,'_*.- -
"KT)
Gambar 4.12 Tahap ke dua B-titik DFT
o o
--a
x{0}
-----
x1)
-{
(D
o Tahap
(v-
x(N-
t)
-. 2)
Tahap
Tahap:log .\'= v
(v-1)
Gambar 4.13 Konsep FFT Contoh 4.9
Kita akan menghitung FFT untuk sinyal
{l -l -1 -1 1 1 I -1}. Pertama-tama kita dapat
nrenghitung faktor Vt( sebagai berikut: Wro
=r
W;
=-Wf
=-l
Bab
4: Representasi Fourier: Discrete Fourier Transform
tY!
- s-i'ot' =Jilz-; Jllz
wi =-w-i =-Jilz"r
Wl-r-it't'=-J
W{=*w{=i
wi =*Jllz-iJ-zlz
w';
119
iJilz
=*w; =Jilz+ jJzlz
Dengan menyubstitusi faktor tersebut pada Gambar 4. r4 maka rlidapatkan:
,={o -J1*i(z.Jr) z*-iz Jr*i{Jr-z} 4 J;-i(,l-z) 2+j2 -,ti-i(z.Jz)l I x{s}
J{l}
.r{i
}
r(6)
J{3}
x(1)
J(-1)
r(5)
,r{5}
r(3)
J(6r
.t'{? }
Gambar 4.14 Konsep FFT 8-titik
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
t2a
titii{ [}fT. li;l-rr:i
{il &erry:lir*ta p*rkalian knlnpXciis
N2
,tr
i:i
i.:-e
!'{ htiftin l'i;"T',lilta"ut}ing l}l;T
llrrh**dingan
FF'tr'
r'
ij i{m','+:rttyn
*i**5'*iiny*
p*niul"r*laharr
re;'kaliat
penjumlahar:
ii+mpili;s
itolxl;r!elis
ka**plerlr:;
i,./l..I.i. llt
tYtt).2 k:,4l,i
iir:::j,"+:lllr.
rr
,/
.ii
,2
leg
/f
*11i8ra
tramyaknya
Perbamdlmgan
altters banyaknyt
p*rkallan
perrjumlahan
1]F? d*n $'F?
DF?"slam B-FT
,7
l6
T}
64
5{
2s6
24{)
1.424
992
80
r60
12,8
6,2
4It96
4,*12
19:
384
21,3
10,5
t6,384
tdi.2-1i.
44ti
?:{}tj
36,6
18,1
2.8;t&
tr1*
1A
lt,
*5 53$ t.$48 576
1.047.s52
2.3*4 q l)n
2.04d
4"t943A4
4.te'2.256
t
4.&96
15.777.216 i6.7?3.i2{} 67.1A8.864 6'7"10A.672
262.144
8.192
3,75
64
,1.fiii8
56,8
fi"244
204,8
J.lb4
22.5',J8
3-12,4
24.5"i6
4r. i 5:1
{:lil},1
5',3.7.48
raq.496
1260,3
102,3
$esinrasi-dalam*trek uen si
Algoritnra lain rmtuk mr:nghitu*ir Di''.1'*rlal*i-i d*ngan rftcitnec&h nilai transformasinya. Algoritma clesimasi-dalam-frekuensi climrrlai clengan nternecah
Nll i
A'LtJ,.
L
X[ft.]
,r,''-.1
,irlrr"';'+
r-ii D*ngan m{ngffsumsikan i' ,.- t't'-
li l2 1;,'
yll,-l 'i
.1
sebagai berikut:
[
tfyl,nf
(4.37)
u=Nl2
rnitiia rrtenghtrsiiltan ..-.:
tn .i;,l,ir' ;, ; )
lr=,il
l.!,; 1.-.:
5 ,1, rA,/?l lt,tti,rrttl ; =0
(4.38)
Bab
4: Representasi Fourier: Discrete Fourier Transform
121
Karena
yy@rz)r
-
"(-t*)ir
= s-i,tk=
(-l)*
(4.3e)
Persamaan (4.38) dapat ditulis sebagai
xlk)=
Nlz-t ,
(.t,t*(-r)o x[n+ ;vlzl)w{
I
Desimasi akan membagi antara bagian genap dan ganjil, untuk yang genap, yaitu & yait;u
k = 2r +1, untuk r = 0,1,..., N 12-
l, seperti ditunjukkan
(4.40)
=2r
danyang ganjil,
persamaan berikut
x [2r]=rf^' $l.l n (- r)" xln + x I \)w]* n=0
_K" : z Flnl+ x[n + Nlz])w;|,
(4.4t)
n=0
xlzr.ri=
xlnl+(-l)".' xln+ xI\)w;o,at ^i*'(
Nlz-l
=
I
(4.42)
(,[r]*
*1" + N
z=0
Kita akan mendefinisikan dua fungsi, x, [r] aan
*rln),
lzl)w; w;1,
sebagai berikut
*,ln)= xln)+ x[n+ Nlz]
(4.43)
*,lnl= *ln)- rln+ Nlzl
(4.44)
Gambar 4.15 menunjukkan desimasi pertama N-titik DFT menjadi (N/2)-titik DFT. Dengan cara yang sama (ND)'titik kemudian dipecah lagi menjadi dua (N/4)+itik, dan seterusnya. Contoh untuk 8
N:
ditunjukkan pada Gambar 4.16. Sedikit berbeda dengan desimasi-dalam-waktu maka beberapa hal yang perlu diperhatikan pada desimasi-dalam-frekuensi adalah:
l. 2. 3.
Sinyal masukan dalam urutan normal Sinyal keluaran berupa urutan bit terbalik (bit reversed order) struktur buttedly dasarnya adalah sebagai berikut (Ganrbar 4.17)
X*"Lpl= X,lpl+
x^lql
Dw
122
X,,.,{.q1=
Pen3oldat Sinyol Dtgttol
ix, [e] * ;q {q\}w;
$.4eJ ,t'(o) --+
,\r/U-ti$:{
tr&'T .r5{
}}
11t l
--^>
.U3l :YlX-titi&.
*...->
DtrT
'r'(3) lr''i
Gannbar 4"15 De,rincsi-clalam-fretu*nsi N-titik DFT menjad (N/2)-titik DFT r(o)
"r(0)
wfi
"(l)
x({)
t(?)
x(2)
"(3)
x(6)
r({)
x(t)
a(5)
x(6)
r(6)
x(3)
x(n
x(71
-t
-t
Garsrbar 4.16 Straktur desimasi-dalam-frekuensi untuk N=
I
tlr,
Bob
4: Reprer;entasi Fourier: Discrete Fourfer Transform
123
=-*
x-lpl
X"lql--*-:;'a--**I* j Gambar 4 "17 Stru kn tr
das
ar
but
;erfiy
x".[p7
^-rtq7 des imas
i-dalam-frekuensi
4.8 INVERS FAST FtrArffiffitr rtr.4&f$F.#tr#f TIrr.T) Invers DFT diberikan pada persarnaan (4.20). Jika ditrandingkan dengan DFT pada persamaan (4.19), perbedaannya adalah hanya pada pangkat eksponensialnya dan faktor pengali. Oleh karena itu diagram butterfiy IFFT sarna dengan FFT narnun hanya mengganri x[n] aengan Xlkl,mengalikan data masukan dengan lf
N , danmengganti pangkat
Wrn menjadi negatif.
IFFT dapat juga dihitung dengan mcnggunakan algoritma FFT langsung dengan menggunakan konjugat kompleks. Persamaan (4.20) dapat ditulis menjadi
(
u-r \. (Vru)Z*'ltlw;* | \r=o)
*.1n7=l
g.47)
Konjugat kompleks dari suatu perkalian atau penjumlahan dapat ditulis sebagai perkalian atau penjumlahan dari konjugat kompleks, sehingga ALr
x. lnf = (y
N)Zx. [r')wf k=0
(4.48)
=(rlr'rlorr(x.[r]) Untuk mendapatkan
xfnl, kita harus melakukan operasi
konjugat kompleks pada kedua sisi pada
persamaan (4.48).
xfnf=(rrr(x.lkl)).
l*
(4.4e\
Donr Pengolatnn Sinyol Digitol
124
Pojok MATLAB
Fungsi freqz dapat digunakan untuk menentukan DTFT pada frekuensi ar
rzl ..-,\ _ n\rw)-
P(iar)
D6)
pa* pre-i'
*
-
rtt, daribentuk
+...+ p*r-i'u
Untuk menentukan DTFT dapat digunakan salah satu dari perintah berikut
H = freqz (num, den, w) H = freqz(num,den,frFT) IH,w] = freqz(num,denrw) IH, f] = freqz (num, den, f, FT) Il{, w] = f reqz (num, den, k, 'who}e t ) IH,f] = freqz (num,den,k, rwhole',FT) freqz (num, den) Fungsi freqz mengembalikan nilai respons frekuensi dalam variabel H. Parameter w adalah vektor yang menunjukkan frekuensi yang dievaluasi. Parameter f adalah frekuensi yang dievaluasi dalam reiltang
0
sarnpai FT/2, dengan FT adalah frekuensi sampling. Jumlah titik frekuensi dapat ditentukan oleh parameter k, yang tersebar merata pada rentang 0 dan r. Tambahan 'whole' menunjukkan bahwa rentang fiekuensi menjadi 0 sampai 2x atau 0 sampai FT.
Kita akan mencoba membuat grafik amplitudo dan fasa pada contoh 4.4.
E Program 4.1 E Menentukan
grafik
DTET
pembilang = input('Pembilang X(jw) = t1penyebut = input ('Penyebut X ( jw) = t; ,' w = -10:0.1:10; H = freqz (pembilang,penyebutrw); subplot (2,L,!)
plot (w, abs (H) ) xlabel ( 'omega' ) yIabel('lX(jw) l') subplot (2,7,2) (w, angle (H) )
plot
xl-abe1 ( 'omeqa'
y1abel('fasa')
)
Kita memasukkan sebagai berikut Pembilang : 1 penyebut : t1 -0.51
Bob
4: Representasi Fourier: Discrete Fourier Transform
125
Untuk menghitung DFT dapat menggunakan fungsi fft yang mempunyai varian sebagai berikut:
X = fft(x) X = fft(x,I) ketika parameter L tidak ada maka diasumsikan panjang X akan sama dengan panjang x, namun ketika parameter L muncul, dengan L lebih besar dari panjang x maka diasumsikan periode x adalah L, dengan demikian ada penambahan nol (zero padding) sebanyak L dikurang panjang x.
Berikut adalah contoh programnya.
Z Proqram 4.2
% Menentukan DFT tanpa zero padding x : j-nput(tMasukkan sinyal x ='); x : fft (x); n : 0:lengf-h(X)-1; disp('Hasil DFT ='); disp(X) subplot (2,L,!)
stem (n, abs (X) ) xi-abe1 ( 'indeks'
yIabeI('lXl')
)
subplot (2,1,2) stem (n, angle (X) ) xlabel ('indeks' ) ylabel ( 'fasa, ) Sebagai contoh kita akan memasukkan
x = [1 2 2
1)
dan didapat hasil
Hasil
DFT = 5.
0000
-1 .0000
-
1.
yatgplot amplitudo dan fasanya ditunjukkan
0000i
0
pada Gambar 4.18.
-1.0000 + 1.0000i
Danr Pengolatnn Sinyal Digital
126
er
,i i
1l
-t.I I
,a
3i-
?
rf
i
l
oI 0
-_
___.1 0,5
----i---
i
1
'r.5
2
2.5
indek8
3i ----I
z\-,
6
1
l
'|
l
I
Gh
o
1
I
.ri
l
l
l
i
l
-21
,1,
_3
q___ 0
_
t
1.5 indaks
Gambar 4"18 Amplitudo danfasa DFT Program 4.3 berikut menunjukkan penggunaan parameter L. %
Program 4.3
t Menentukan DFT dengan zero padding x = input('Masukkan sinyal x :'); L = input ('Periode sinyal : '; ; X = fft(x,L); n : 0: length (X) -1 disP('Hasil DFT: '); disP(X; subplot (2,L,L\ stem (n, abs (X)
)
xl-abel ( 'indeks'
yIabel('lxl') subplot (2,L,2\
)
stem (n, angle (X) ) xl-abel ('indeks' ) y1abe1
(
'fasa'
Jika kita memasukkan
x = [1 3 sl N=8
)
__l3
fub 4: Representosi Fourier: Discrete Fourier Tronsform
127
maka didapatkan hasil
Hasil
DFT =
Columns 9.0000 3.0000
1
Columns
-4 " 0000
+
through 6 3.1213 - 7.1213i -4.0000 - 3.0000i -1.1213 + 2.8-t87L -1.1213 - 2.878'7i 7 through 8 3.0000i 3.1213 + 7.1213i
yang plot grafiknya ditunjukkan pada Gambar 4.19.
0123/a567
Gambar 4.19 GraJik DFT dengan zero padding Berdasarkan Gambar 4.5 ada kaitan antara DTFT dan DFT. Program berikut menggambarkan bahwa DTFT dapat dihasilkan dengan DFT.
E Program 4.4 ? Menentukan DTFT dari k = 0:15;
(2*pi*k*3/16);
x=
cos
X_e
= fft
X = fft(x)
n=
0:
DET
(x,51-2)
length (X_e) -1
stem (k,/16, abs (X)
)
hol-d on plot (n/512, abs (X €) , , r, ) xlabef 'frekuensi normalisasi y1abe1 I amplitudo' ) Iegend i DFT | , 'DTFT' )
r
)
Dosar Pengolahan Sirryat Digital
128
Hasilnya dapat ditunjukkar pada Camtrar 4.20.
lt€{@B, &m1diB6r
G*meber 4.2ts frFT dsn fiTF'T Sekarang akan menghitung keluaran dari suatu sistem dengan menggunakan konvoiusi dan dengan
DFT"Jikakitamempur:yaix=(1 23ldanh=[1 $?0lj.Prograrnberihrtmengilustrasikanhaltersebut. ...
-y
1.;,eSf
tn
1
.t
? Menentr.rkan hIn] dengan konvo.l-usj% dan dengan DFT
v = t]
? 11'
h = tr 7 212 2i; y1 = conv (x,ttt ; r, = Iength (y1) ; X: ffr.k,L); H = fft(h,L) , '12. = 7.*'d; y2 : ifft.(Y2l; disp ('Hasii dengan konvolusi : ' ) ; aisp (yl disp ( 'Hasil dengan DFT : ' ) ; disP (Y2
)
)
Hasilnya adalah
Hasil dengan kon-volusi 3 1 Hasil dengan
DFT
1
=
3
=
?
8.
10
9
10
6
1
B
10
9
10
6
Dengan demikian kedua cara tersebut menghasilkan hasil yang sama'
Bab
4: Representosi Fsurier: Diserete Fourier Transform
129
SOAL.SOAL
l.
{0, 1, l, 0} dan periksa validitasnya
Tentukan DFT dari
dengan melakukan
IDFT dari hasil
perhitungan Anda.
2.
Diberikan dua buah sinyal dengan panjang terbatas berikut ini
s[,]=
{l 2 4 -r}
a.
Tentukan
b.
Perpanjangl
r,[n]=
{-,: 4 o 2
-r ,l
yrlnT= sln)anlnl ah
Sln]
menjadi 6 titik dengan menambahkan nol menjadi
S,lnl
dan hitung
yrlnl= s,lnfo. ir[n]
c. 3.
dengan menggunakan DFT
Dalam sistem LTI, diberikan
a. b. c. 4.
yrlrl
Tentukan
x[n] = {t 0}
Aan
hfn)=
{t 0
Tentukan
l[nl
dengan menggunakan metode konvolusi
Tentukan
.rr[r]
dengan metode DFT
1}
Bandingkan kedua jawaban tersebut dan beri pendapat Anda
Diberikan data
{0,0, l, l, l, 1,0,0}. Hitunglah DFT dan kemudian plot amplitudo dan fasanya
dengan menggunakan:
a. b. c. 5. 6.
DSP konvensional
Matriks Vandennonde FFTdesimasi-dalam-waktu
Buktikanlah persamaan (4.36)
Jika xlnldiberikan sebagai {2,
l, l,0,3,2,0,3, 4,6}. Dengan DFT lO-titik tentukan nilai-nilai
berikut tanpa menghitung DFT:
&.
b.
x [o] x[5]
c Ixlrl 9
,t=0
7.
Jika diberikan
Xlk)
adalah sebagai berikut:
sebagai
DFT l2-titik dari
xlnl
tZ-titik. Tujuh sampel pertama dari
X[k]
Dasar Pengotahan SinYal Digital
130
x[o]=to x[+l= 2+ i5
xl27=3-i2
-s-i4 x[s]= 6- i2
x[1]=
x[3]=r+i3
xloi=rz
Tentukan nilai berikut tanpa menghitung IDFT:
a.
,[oj
b. ,[6] ll
c' I'[rl] n=0
8.
g-titik dari sinyal real 9+itik adalah sebagai berikut: Sampel-sampel genap dari DFT
3,1 x[6]= 9,3+ j6,3
Xl27=2,5+
X[o]=
x[8]
= s,5
j4,6
x[4]=
-1'7 + i5'2
- j8'o
Tentukanlah sampel-sampel ganjilnya'
g.
g-titik suatu sinyal real 9+itik sebagai trerikut: Diherikan lima sampel dari DFT
x[o]= z:
X[1]= z, 2426*
x[4]= *6'3794+ i4'1212
i
x[6] = -6,5 + j2,5g8l xl77= 4'1527 + j0'2545 Tentukan keemPat samPel sisanYa'
g-titik dari sinyal g-titik semuanya adalah real. Lima sampel pertama dari 10. sampel-sampel dari DFT
.r[n]
adalah:
x[o]=1,125
'[1]=
-a'6402-
j0'079s
xlzl=0'25+ j0'l2s
x[:]= -0,1098 + jr,6705 x[+]= 0'875 Tentukan trga sampel sisanya dari 1
1.
x[n]'
product' Jelaskan mengenai time-bandwidth
12. Tentukanlah FT dari:
a' b'
x(r) = cos(r)
dat'
x(at)
dengan a =
x(r) = e-''u(t) da. x(at)
densan a
*2
=2
t i:
$
Bab
4: Representasi Fanrier: Discrete Fourier
Tronsform
131
13. Tentukanlah
FS dari sinyal-sinyal periodik berikut yang didefinisikan dalam satu periode saja:
,(,) ='{
d
(r l-A- o
le,
2
-L
1
(
Lq*2. o.t.L2
x(t)=] \,, I l-A+2, L2
T
-=,
-oo0oo-
BAB
5
Trunsforntusi
5.1
T
Z
PENDAHULUAN
ransformasi
Z melakukan transformasi dari sinyal waktu-diskrit dalam domain waktu ke
lain, yang disebut domain-2. TransformasiZ dansuatu sinyal
x[n]
domain
adalah
z(,l"lUi ,lnl,-' = x\l
(5.1)
Parameter z di atas adalah variabel kompleks dan kumpulan nilai z yang ketika dijumlah akan konvergen disebut sebagai daerah konvergensi (region of convergerace (ROC)). Jika diasumsikan z = re-
j'
maka persamaan (5.1) menjadi:
x(r)1,=,"*=
I
n=4
Karena itu,
jika r
,[r]( ,"t')-' = i(r-'*lnf)e-i"
(s.2)
n-4
: I maka transformasi Z akan dievaluasi
dinyatakan sebagai transformasi Fourier (DTFT) dari
dalam lingkaran berjari-jari
I
dan dapat
x[r].
Fungsi basis yang digunakan di transformasi Z adalah dalam bentuk s'-"(otj')n =rnej" =r'(cos(atn)+7sin(az))=(r+ jb)'. Jika didefinisikan suatu variabel c, yang memenuhi lzl dengan pusat
di O
=la + jbl= dan
luar lingkaran tersebut.
,
atau a2 + b2 =
c2 makapersamaan tersebut mewakili
jari-jari c. Dengan demikian, kondisi
lrl, "
sebuah lingkaran
untuk ROC menanda,kan daerah di
Dasar Pengolahan Sinyol Digitol
134
Contoh 5.1 Kita akan menentukan transformasiZ danROC untuk (sinyal eksponensial kausal)
fa"- n2O Io' n
xlnl=1 LJ
Sesuai definisi, transformasi Z sinyal tersebut adalah
x (r) = Z (a'u[r]) =
f*o'rlrlr-' =L(*')'
Dengan menggunakan j,umlah deret geometri maka diperoleh
1 X(z\\ l-az't. =-:z-o "
yang menggambarkan
jika az-'<1 atau VlrVl. ROC ini digambarkan pada Gambar 5.1. Bidang ROC disebut sebagai bidang-z (z-plane). Nilai yang menyebabkan X (z) bernilai
nol disebut
zero, sedangkan nilai yang menyebabkan
Hasil tersebut konvergen
sebagai
dilambangkan dengan "o2', sedangkan pole dilambangkan dengan
padaz:O danpolepadaz:
X(z)-+a
"x".
disebut
pole.
Zero
Fada persoalan ini zero terjadi
a.
r
zcro pada O
polcpadaz=o Rez
Gambar 5.1 ROC untuk contoh 5.1 Contoh 5.2
Kita akan menentukan transformasi Berdasarkan definisi transformasi
Z dai. xln)=-b'ul-n-ll
(sinyal eksponensial antikausal).
Z didapat: ii. tx, 'H; i,i&
Bab
5: Transformasi Z
x (r) =
|-u'ul-n
135
-tfz-'
Dengan mendefinisikan
=
n=-m
-
t
@l
r)'
dan dengan mengingat
do =1, dengan
a
bilangdn sembarang maka
didapatkan
x(,)=-t@u)'=1 -telr)Dengan menggunakan jumlah deret geometri didapat
I z X(z\=l= \" l-zlb z-b Dengan nOC lzl < lal . nOC dan zero serta pole digambarkan dalam bidang-z pada Gambar 5.2.
acro pada O
Gambar 5.2 ROC untuk contoh 5.2 Contoh 5.3 Kita akan menentukan transformasiZ dari sinyal-sinyal diskrit terbatas berikut:
*rlnf = {r,2,5,7,0,1}
*rlnl=
lr,r,L
7, o,1)
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
136
Berdasarkan definisi maka:
Xr(r) =l+22-r + 5z-2 +7 z-3 't z-s denganROC seluruh bidang zkecuali z: 0 Xr(r) = z' + 2z + 5 +7 z-1 -t z-3 denganROC seluruh bidang z kecuali z : O dar- z = a I Beberapa transformasi
Z
dari fungsi-fungsi yang biasa dijumpai dirangkum pada Tabel 5.1 beserta
ROC-nya.
Tabel 5.1 Beberapa Transformasi Z ROC
Transformasi Z
Fungsi
Semua z
alr) -m
6ln-rnl
Z
ul")
zlQ-t)
nulnl
zf
n'ulnl
z(z
n'ulnf
,(r' + +z +\f (r -r)'
l,l, r
a"uln)
zlQ -a)
Vl,Vl
-a'ul-n-lf
zlQ - a)
VI.VI
na"ulnf
orf(, - o)'
l,l,l"l
-nanLtl-n-t1
orf(, - a)'
Vl.Vl
n'a"ufnj
az(z + a)f (z - a)'
14,l,l
nta'ulnf
ar(r'+4az*"')f (r-o)^
Vl,Vl
sina4n ulnl
, sin a4 f (r' - 2r cosao + 1) l,l, r , (, -cos alo I k' - 2z cosar, + l) l,l,r
cosroon
ulnf
Semua z kecuali
(z
lrl=
0,*,
O
l,l, r l,l, r
-t)'
+t)lQ -t)'
l,l,t
)
Karakteristik ROC juga dapat ditentukan dari jenis sinyal yang diamati, tergantung dari apakah sinyal tersebut terbatas atau tidak, kausal atau antikausal, dan dua sisi atau satu sisi. Rangkuman dari karakteristik tersebut diberikan pada Tabel 5.2. Sinyal yang mempunyai durasi pada sisi kanan, yaitu
Bob
5: Transfarmasi Z
137
xfnl=O untuk n1fro <0 berada pada sisi
kiri
disebut sebagai sinyal sisi-kanan {right-sided signat). Sinyal yang hanla
x[rz]=0 untuk ft)no>0 disebut sebagai sinyal sisi-kiri (left-sided yang berada di sisi kanan dan kiri disebut sinyal sisi-ganda (double-sided
saja, yaitu
signal). Sedangkan sinyal
signat). Persamaan (5.1) adalah persamaan untuk transformasi transformasi Z sisi-tunggal (one-sided atau unilateral) diberikan oleh
Z
sisi-ganda (bilatera[). Untuk
x (r) =lxfnfz-'
(5.3)
n=0
Tabel 5.2 Karakteristik ROC
ROC
Sinyal Sinyal terbatas (finite-duration signal)
Seluruh bidang z kecuali
z:
0
ffi Antikausal
Seluruh bidang kecuali
z: @
ffi Dua-sisi
Seluruh bidang z kecuali
z= 0 datz: t-
Dosar Pengolahan Sinyal Digital
138
Tabel 5.2 Lanjutan
ROC
Sinyal Sinyal tak-terbatas (infinite-duration signals)
Antikausal
l,l-,,
Dua-sisi
r,
5.2
r,
PROPERTI TRANSFORMASI Z
Berikut adalah beberapa properti dari transformasi Z. Ada kalanya kita mendapatkan transformasi Z dari suatu fungsi diskrit tanpa harus memasukkan ke persamaan (5.1). Pembuktian properti ini dapat Anda lakukan dengan menggunakan persamaan definisi hanformasi Z.
Bab
5: Transformasi Z t39
Linearitas
Jika z(f,bl)=
p,(r)
dengan
&-
Roc 4_.1r1.4. dan z(f,t j)= F,(r)
z (r,f,[n]+ arfr[n]) = a,F,(z)+ arFr(r) dengan
Roc perpotongan/irisan (in t e rs
e c t i on)
antara masing-masing
dengan Roc
(5.4)
Roc.
Translasi 1i11a
z (x[n]) = x Q)
dengan
Roc &_
.lrl.R
z (x[n denganROC
-
*
maka
rJ) = z-\ x (z)
&_.lrl.&..
(5.5)
Perkalian dengan Eksponensial Jika z
(x[n])
=
x Q)
dengan
Roc n
.lrl.{*
maka
z(a'x[n])=.(:) dengan
noc
faf
4_
(5.6)
.lrl.lola...
Perkalian dengan Fungsi Ramp
tika z (x[n]) x =
k)
dengan
Roc R
,-.l{( &,, maka
z(*[,1)=-,1') dengan
noc &_
.lrl.
(s.7)
&*.
140
Danr pengolahon Sinyat Digitat
Konvolusi @omain Waktu)
xlnls yln)=
Jika diberik an
.f *l*jrlr-rj
t=€ se*a
Z(t[n])=r(z)
dengan
z efr,r,
dan
z(xln])= x(z)
dengan
maka
z(xlnlayl"l)=x(,)y(,) dengan ROC z e
E,
RoC z e fr,
rs.sl
nfrr.
Konvolusi (Domain z)
Iika Z(x[n|)= x (r) &_
.lrl.
dengan
Roc
<
lrl. n._ dan z(y[r)) =y (r)
dengan Roc
Rr., maka
z\l,l Dengan
&_
Roc
&-^R/
-
.lrl < &.&.
tertutup di perpotongan antaru X
y["]=fi{rrx(v)r(zrv)vlav
' Notasi {
(r)
dan
c,
y (zlv)
(5.e)
adalahintegral kontur kompleks dan c2 adalah konrur .
Teorema Nilai Awal Jlka
xlnl
adalah deret kausal dengan transformas i
z X (z),
x[o] = l:*x Teorema Nilai
lrka z
maka
(,)
(s.ro)
Akhir
(xln|) = x
(r)
darpore-pore
x (z)
berada dalam ringkaran berjari-jari l , maka
l,g,[,]=lg[(,
-r)x(z)]
(s rr)
fub 5: Transformosi Z
141
Contoh 5.4
Kita akan mencari transformasiZ danROC untuk penjumlahan antara sinyal pada contoh 5.1 dan contoh 5.2, yaitu llnl=a'ufn)-b"uf-n-ll. Berdasarkan properti linearitas maka hasilnya adalah Y
(z) =
lal.l"l ma
*.
u""ran Roc {lrl
, lrl}^
{lrl
. 16l} seperti digambarkan pada Gambar 5.3. Jika
maka tidak ada perpotongan antara kedua ROC sehingga transformasi tersebut tidak konvergen.
>
lDl
*;
lal
maka terdapat perpotongan antara kedua ROC sehingga transformasi tersebut konvergen.
I Pole danKarakteristik Sinyal Salah satu bentuk transformasi
Z
yang sering dijumpai adalah benruk X (z)sebagai fungsi
rasional, dalam suku z-r atau dalam bentuk polinomial z . Telah disinggung sebelumnya bahwa pada transformasi Z tasional terdapat apa yang disebut sebagai zero dan pole. Mengalang sebelurnnya, zero
adalah nilai-nilai
X (r)=
z
yang membuat
X(r)=0,
sedangkan
pole adalah nilai-nilai yang
membuat
oo. Secara matematis dapat ditulis sebagai M
Zbo'-o -
k=0
(s.12)
Zor'-o ,t=0 Jika ao
* 0 dan bo * 0 maka persamaan
(5.12)dapat difaktorkan menjadi
wt -\_N(r) _boz-' zM +(4luo)r*-t n\')16'A
*...+b,fbo (5.
l3)
Dmr
142
Peryotahan Siryol Digital
14.14 (a)
lmz
PlrH o) Gambar 5.3 ROC untuk contoh 5.4 Kemudian dari persamaan (5.13) dapat dicari nilai-nilai zero, sebagai berikut
zk dan pole, po
dengan
k=1,2,3,...
fub 5: Transformasi
Z
143
vt -\_!(r) _bo --r** (r-rr)(r-rr)"'(r-r*) n\o)-16-4'W M
_ GrN-M
fIQ-'*)
(5.14)
k=l A/
lI(' - Pr) *=l
dengan
G=bolao.
Seperti yang telah kita ketahui juga, bahwa zero dar. pole di-plot pada bidang kompleks yang disebut sebagai bidang-2. Hubungan antara pole dan bidang-z akan dibahas pada bagian ini. Kita hanya membatasi permasalahan pada sinyal riil dan kausal. Secara umum, jika kita mendefinisikan suatu
diransformasi
I
z maka kita dapat melihat karakteristik sinyal yang setelah pole-nya berada pada lzl.I, lrl> 1, dan lrl=t. Misalkan sinyal yang dijadikan sebagai
lingkaran bedari-jari
contoh adalah
pada bidang
xfnl= a'ulnl<'L, X (r)
=
#
dengan
noc
lzl >
lal vane
mempunyai pole a.
Gambar 5.4 menggambarkan posisi pole pada bidang z.
$_ir,,*-$4*_
$
_imurr$4*\,_
Gambar 5.4 Pengaruh posisi pole tunggal pada bidang z
Danr Pengolahon Sinyal Digitol
144
Untuk
kasus
pole ganda seperti pada
xlnl=na'uln!1+*l?-o)'
,sinyal
memiliki
karakteristik yang berbeda dengan yang pole tunggal seperti ditunjukkan pada Gambar 5.5. Perhatikan per.bedaannya dengan sistem dengan pole finggal di mana untuk pole yang berada tepat pada lingkaran manghasilkan sinyal yang tak terbatas (unbounded).
6l\
1]"r7
atzZ
$ $
Gambar 5.5 Pengaruh posisi pole ganda pada bidang z Gambar 5.6 menunjukkan karakteristik sinyal untuk pole yang kompleks-konjugat. Sinyal untuk jenis ini berosilasi yang karakteristiknya bersesuaian dengan letak pole-nya. Perhatikan bahwa untuk sinyal akan r>1 sinyal akanmembesar, untuk r=1 sinyal akankonstan(sinusoidal), danuntuk
rcl
menurun.
Bob
5: Transformasi Z
145
{.illtlG
0
rV'
Gambar 5.6 Pengaruh posisi pole komplelrs-koniugat pada bidang z Yang terakhir adalah masalah pole kompleks-konjugat ganda yang terletak pada lingkaran seperti ditunjukkan pada Gambar 5.7.Hal tersebut menunjukkan bahwa kita harus berhati-hati jika terdapat lebih dari satupole pada lingkaran.
Dasar Pengolahan Sinyol Digital
146
Gambar 5,7 Penganth pole kompleks-konjugat ganda yang terletak pada lingkaran
5.3
FUNGSI SISTEM LTI Kita telah mengetahui jika suatu masukan xln)
hlnf
maka keluarannya,
ylnl,
Oada sistem yang mempunyai respons impuls
dapat dihitung dengan melakukan konvolusi antara
xlnl
Aan
hfn\.
Dalam domain z dapat dituliskan sebagai Y
(z)= rt (z)x (z)
(s.15)
Z dair keluaran yL"7, X(r) adalah transformasi z dari masukan xlnf , aan U (r) adalah ffansformasiZ dairespons impuls hlnl.oi sini jelas bahwa ru (r) aan hlnl
dengan
Y(z)
adalah transformasi
sama-sama mewakili karakteristik sistem, namun dalam domain yang berbeda.
H(z) disebut
fungsi
sistem (sys tem func t ion).
Jika kita mengetahui
x[n]
Aan
mata kita dapat mencari
f[n]
hlnf aengan menggunakan
tranformasi Z sebagai berikut:
X (z)
l. 2.
Transformasi Z
- kan x[n ]
Transformasi Z
- kan lln)
3.
Berdasarkan persamaan (5.15) maka H
4.
Hitung
hlnl
menja ai
menlaai Y (z)
,'
(z) \ = 9a
Xlr)
aenganmenggunakan invers transformasiZyang akan dibahas pada subbab berikutnya
Bob
5: Transformasi Z
Transformasi
Z
147
juga dapat berfungsi mencari
n (r) dari suatu persamaan
perbedaan. Suatu
persamaan perbedaan dapat ditulis sebagai
yl"l= -Z"ryl" - k)*looxln t=l
rc)
(5.16)
(r) r-o
(5.17)
k=O
Dengan menerapkan transformasizpada kedua sisi maka didapatkan Y
(z) =
-larr
M
(z) z-*
+\box
,l
k=0
Dengan melakukan modifikasi didapatkan
rt,l(, *Lor,-o)
=
"t,l(I
urrr)
(s. l 8)
Sehingga, M
n(,)=#=#_
(s.le)
k=l
Secara umum persamaan (5.19) disebut sebagai pole-zero system, namun ada kondisi khusus untuk
persamaan (5.19) yang dapat dibagi menjadi dua kasus. Yang pertama
jika ar = 0 untuk semua nilai
t
maka persamaan (5.19) akan menjadi
ru
(r)=\brz'k k=0
I $ -,r.r_* ^ -V . /Lu*"
(5.20)
k=o
Dengan demikian, persamaan (5.20) terdapat Mbuah zero,yangnilainya ditentukan oleh parameter
b1, dan Mbuah pole pada z:0. Dengan demikian sistem tersebut mempunyai pole trivial (pada z
:
0)
dan M buah zero nontrivial sehingga disebut sebagai all-zero system. Dari sisi pandang lain, sistem tersebut mempunyai respons impuls yang terbatas (/inite-duration impulse responsselFlR) sehingga disebut sebagai sistem FIR atau moving average (MA) system.
Wr
148
Kasus ke dua adalah ketika
bt
=0
tmtuk I S & <
M
A(r')=
rnalra.Pers$na8s (5.19)
Pengdollcn Slnyal Digttd
E€qidi
frb'
l+larz-* t=l l/
lnzr
(5.2t) ao
=l
Zor'r-r td) Dalam kasus
ini n
(r)
terdiri dari N buah pole, yang nilainya ditentukan oleh parameter au dan N buah
zero pada z : 0. Untuk zero trivial biasanya tidak disebut sehingga sistem tersebut dikatakan hanya memiliki pole nontrivial,yangmenyebabkan sistem tersebut disebut sebagai all-pole system. Dilihat dari sisi lain, sistem yang mempunyai pole akan mempunyai respons impuls tak terbatas (iika dilakukan pembagian pembilang dan penyebut) sehingga sistem tersebut disebut sebagai infinite impulse responsse oiR). Contoh 5.5 Fungsi sistem untuk persamaan perbedaan
berikut. Pertama-tama transformasi
Z
Kelompokk an Y (z) di ruas kiri dan X
pembagian antara y (r)
#=ru(,)=
dan
kan kedua nras menjadi r
(r) X
flnl=f,rlr-ll+2xlnjdapat
di ruas kanan menjadi
(r) untuk
Y(z\=!r-tf (r)+ZX(z). ,, 2
t-l "(2)
f Q)(
mendapatkan
ditentuntukan sebagai
r''\= ZX 1r1. Lakukan
n (r)
sebagai
berikut:
t-L r-' 2
I
5.4
INVERS TRANSFORMASI Z
Untuk mencari
x[n] iita diberikan X
(r)
dapat dicari dengan menggunakan tiga metode, yaitu ekspansi
(pembagian) langsung, ekspansi pecahan parsial, dan integral invers kompleks.
Bob
5: Transformasi Z
149
Ekspansi (Pembagian) Langsung
Metodeinimembenut dapat
X(z)
z
dalamsuku
atau
z-t.Jikadiberikan
X(z)
denganROC-nyamakakita
membentt* X (z) datam deret pangkat sebagai berikut:
x (r)
=
F
",r-'
(s.22)
yang konvergen dengan ROC yang diberikan.
Contoh 5.6
Kita akan menentukan invers transformasi Z untuk X (z\)=
1-r,ra' *o*
ketika (a) RoC:
nOC: lzl < 0,5 . Untuk menjawab pertanyaan (a), tentunya kita mengamati bahwa ROCnya berada di luar lingkaran dan berdasarkan Tabel 5.2 maka sinyal tersebut haruslah kausal. Sinl'ai
lrlrt
dan (b)
kausal berada pada sisi kanan (pangkat z negatlf), sehingga
x(z\ *!r-r+Er-, \ / l-1,52-'+0,52-'=l+1=-' 2 4 8 Dengan demikian maka
,[r]={l
xfn)
*1!ru *... 16
dapat ditentukan sebagai (lihat contoh 5.3)
312 714 1sls
3tlr6
}
Untuk menjawab pertanyaan (b) maka berdasarkan Tabel 5.2, sinyal harusnya antikausal, yang bea-: sinyal tersebut berada di sebelah kiri (pangkat z positif). Cara mendapatkannya adalah dengan memb., r penyebut (dan pembil and
X (z) sebelum melakukan pembagian seperti berikut:
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
150
?z? +623 +l4aa+30e5
+62e6+"'
lr-t-3r-t+l 11 I
-32 + ?"r? 1z-Zz2 1z -92? +623 7e? 7
-62:
z2 -2!23 + l4ea
l5sr -14e4 15.e3
-
45s4 +3025 31.24
sehingga menghasilkan
oa,
X (z)=
x[n]={... 62 30 14
-30e5
1
o,5za -1,52-t +7
62o
=2zz +623 +l4za +3025 +6226 +...
?}
Perlu diperhatikan bahwa untuk mencari invers transformasi Z dengan pembagian langsung untuk sinyal antikausal maka kedua polinomial pada pembilang maupun penyebut harus dibalik, atau ditulis dengan urutan dimulai dari pangkat yang paling negatif.
I Ekspansi Pecahan Parsial Dengan metode ini kita memanfaatkan tabel transformasi
Z (Tabel5.l). Kita akan membentuk
X(z)
menjadi
x (r) = drxt(z)+ arxr(r)* "'+ arx o(z) sehingga invers transformasi Z
6'23)
- nya menjadi xlnl= a,x,lnf+ d,xz[r] *'
Pendekatan tersebut dapat digunakan
untuk
X(r)
''+
arx*lnf
6.24)
rasional seperti pada persamaan (5.12) dengan
mengasumsikan ao = 1 sehingga persamaan (5.12) menjadi
Bab 5: Transformasi Z
151
x (,) -: Jika
ao*l
{kl
:lJrt
,:n!|r,, ' :1.. r ai 'l +'.' + Q.\,2 -V
= | t
ts(r)
(s.2s)
maka kita dapat memhagi penihilang dat i]cnysb,ri dr.:rig3i1 Gri sehingga eiielapatkan
persamaan (5.25). Persamaan (5.25) disebut fungsi rasioral prop€r karena a,i
jika M
*CI dan M
>N
r:raka irersarTiaarl (5"25) disebut {ungsi rasicnai inrytritper. }ika menemui fungsi rasional improper, kita harus mernbagi datrulu antara pcmbilang dan pe,nyebut sehingga didapatkan suatu deret pangkat dan fungsi tasitnal prt,,g:t,r'. sedangkan
Jika persarnaan (5.25) diarrggap f,"ingsi rasilnal F!'t:{;t:r ra1i.a kita dapat mengalikari pernbilang dan penyebut dengan zo, yurgnrenghasilkan
(s"26) Persamaan (5.26) dapat dibeniuk nrenjarii
I(:l z Sekarang tugas
n' + b,r:) -'-L!lt:**-:-' =!u:' t
:'"'
1-
ilt--'
kita adalali membuat ru:,s kanan dari
+
t tt.,
(5.27)
pr:rsoi,riaan (5.?'7) inenjadi ponjurrilairan dari
pecahan-pecahan rasional. Unfirk rnelakukan iral ierseb,;i, kita 1:crlit lnengetahui akar-akar dari penyebut (atau disebut pole) yang dapat dibagi rlerijadi dua kasus: pole-pole yaiig semuanya berbeda dan beberapa
pole ada yang sama. Berikut akan dijelaskan satu persatu.
1.
Pole-pole yang semuanya berb*:da Diasumsikan pole-pole dari persamaan (5.27) adalah
pt"ptt..",[]n
,r.'ang kesemuanya adalah
berbeda. Persamaan (5.21) dapat ditulis sebagai
X
(=) A, A, : Z-P, z-P:
,4
z-P,
(s.28)
Nilai-nilaikonstanta Ay,A2,."..A,, haruskitacarr. IlLracaraurrtukurencari nilai-nilaikonstantatersebut adalah dengan menyamakan koet'rsjeri rnls Liri riarr rii;is [ianan
ata;-r
denguli rncriggunakan persalliaan:
(s.2e)
--lF-
152
Dasar Pengolahon Sinyal Digital
Contoh 5.7
Kita akan
tr/ =
mengekspan ansr ,^ ( z\ si X
menjadi seperti pada persamaan
(5,28). Fungsi tersebut dikali dengan z3 menjadi
zt
wt-\,r\z)-@
X(')=, ,., z ,) ..:.Ekspansifungsitersebutadalah , (, -0,s)(z -0,75)(z -l) ' """'* z' A, A. A, W=;isn;_f**;.Untukmencarinilai-nilaikonstantanya,
Dankemudiandibentukmenjadi
pertama kita mencoba menggunakan metode menyamakan koefisien ruas berikut:
z'
@-r4.s-14,75'r-, -=
At -
kiri
dan ruas kanan, sebagai
A, *-A,
_ A,(z -a,7s)(z -t)+ A,(z -},s)(z -t)+ A,(z -o,s)(z -0,7s)
(z*o,s)(z*0,7s)(z-l) _ (,1, + A, + 4) Dengan menyamakan koefisien ruas
kiri
z2 +
(-1,7
5
4 - t, 5 A, - t,zs Ar) z + (a,7 5 A, + o, 5 A, + 0,37 s Ar) (z -l,s)(z -0,7s)(z -t)
dan kanan diperoleh
Ar+ Ar+ A, =1 -1,7 5 At
-
1,5 A2
-
l'25 4 = g
0,7 5 At + 0,5 A2 + 0,37
5
A, = 0
Dengan menggunakan eliminasi/substitusi didapatkan Ar = 2
, 4. = -9,
dan At
Metode kedua adalah dengan menggunakan persamaan (5.29) sebagai berikut:
=8 .
Bab 5: Transformasi Z 153
4=b4ffi|,=, Dengan demikian, kedua metode menghasilkan trasil yang sama.
2.
E
Beberapapole adayang sama
Jika terdapat beberapa pole yang sama, yaitu terdapat faktor
(, - pu)' maka ekspansi
persamaan (5'28) menjadi kurang tepat dan perlu disesuaikan sebagai berikut. Dias,msika n
persamaan (5'27) adalah
faktor
P,Pz,P3'...,p1u, dengan ltole
(r- pr)',yuit, pt,r= pt.z= pt,t =...=
x(')
z
=
A,
p,
pada
pole-pole dari aclalah pole kembar yang .lihasilkan oleh
pt.r = p3,tnaka
A,J---*-A..,^,_+...+
q 4r,, z-ps+...+,*.
*_A,:*z-Pz'(z-rJ-G;f z-Pr
(s.30)
cara mendapatkan koefis ien Ar juga dapat menggunakan metode menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan' Atau' untuk mencari Ar yangtidak kernbar dapat menggunakan persamaa n (5.29)tian untuk lu
yang kembar dapat menggunakan rulnus
A*n=--L_l r'q
+(.*p^f!,)l , '
U-q)tldr''
(5 31)
),=,,,
Contoh 5.8
Kita akan melakukan ekspansi unrult fungsi _f(:) diubah dahutu menjadi
x (:)=
'
=,::1,___ (z+t)(r _t)'".
2--__ A^ - -*! =, -L . *4 t n, (r+l)(z-l)'- tir'G-i)' ;'i'
Seperti biasa, fiingsi terscb,r
n: l)t stni lcrJapat 31xtlc'vaitu
I pole yang berbed a dan 2 pole yang kembar. Koe fisien-koefisien tersebut clapat dicari sebagai
Dasar Pengolohan Sinyal Digital
154
A,=lriffi;fl.=,=,
u, =
*l^,-fu]|,,
=
*lili],, d#[, =
=
-, E
Contoh 5.9 Persamaan (5.29) dapat juga digunakan untuk mencari koefisien ketika pole-pole-nya bilangan kompleks,
seperti ditunjukkan oleh yang berikut
X(r) _
z
z+l Ah - A3 ' =1_z(z-t)(r'+22+2) z z-r' (r*1-,,) (z+t+ i)
Ar=!1 , prrl Ar=
p.**z1J
z+7 Q
+F i)(z+
= o,o 1+
7) l,=,
z+1
z(z
-r)
(z+t+
|
i) l,=_,*,
= o,o5
+jo,ls
Ao=4=0,05-i0,15 I Setelah kita melakukan ekspansi maka langkah terakhir adalah melakukan invers transformasi Z dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Bob
5: Transformasi Z
l.
Kalikan kedua ruas persamaan (5.28) (atau persamaan (5.30)) dengan
x (r) -
2.
155
z
sehingga menjadi
A,z-A A*z-Pu ' + 4J-+...+ ' z-Pz
Lakukan invers transformasi Z berdasarkan pada Tabel 5.1
Contoh 5.10 Dengan menganggap sinyal kausal, kita akan melakukan invers transformasi Z untuk contoh 5.7, 5.8, dan 5.9.
Untuk contoh 5.7, fungsinya menjadi
x(l)- 2 _ e * z z-0,5 z-0,75 z-l 8
2' 9z x(z\\ / z-0,5- z-0,75,8, z-l sehingga inversnya adalah
x[n) ={Z
(O,
S)' - 9 (0, 7 5)' +*} r
Untuk contoh 5.8, fungsinya menjadi
x(r)363 z
z+l (z-l)' z-l 6' x(z\-3'* -- \-./ z+l (r_\, -32 z_l sehingga inversnya adalah
xlnl={, (-r)'
+
6n
-l}ulnl
Untuk contoh 5.9, fungsinya menjadi
x(r) _ -0,5 , 0,4 ,0,05+ jo,l5 . o,05-jo,15 ;z z z-l z+l-j T.-_-- z+l+j
x(,)=-0,5*Y*g#y.ry#
[r]
156
Dasar pengolohan
Slnyat Dtgttal
Atau dapat dirulis
x(r)=
-0,5
.ry*{0,05+
io,ts)r.(0,05 - jl,ts\z z-l z_Jl"iii-**r;1ffi
sehingga
x[n]= -0, sd[n]+ 0,4 + (0,0s + j0,15)(Jleirs.), = -0'5d[n] +0,4+0,0s(2'tzenr:s")+
= -0,s6 [n] Contoh
+ o, +
+
(rl 35.) _
ffcos
_ j0,t,)(Oe;r:r),
0,0s(2,/2e-ar:s")+ j0,1s(2,/2e,,,ri")-
jr,rs(z,/ze-i,rx"1
ff ,in (nt3s.)
5.ll
Kita akan mencari invers transformas
Roc:
+ (0, OS
fzf >
l,
(b)
Roc:
fzf <
0,5,
dan (c)
Fungsi tersebut dapat dirulis sebagai Dengan dernikian, p ole'polepada Ekspansi tungsi tersebut adalah
iZ
dari X
,I#"X',|,]i:{:? menjawab Yi*k bidang
,, -rElfifi-"
X (r) = _
,
X
(4
_
z fi,rngsi tersebut adalah z=
X (r) =
(r-0,{@
,,sdan z = r.
*-;C
5.r --" dan r'' s.2rnaka sinyar tersebut /
x[n] = _ {z 10,s1,},bl:.
.i:,r;i:i:,t:ii^sinvar
kasus (c), ROC tersebut a
t'*'rr.r),"
;l 5z-' +0,52-2 untuk tiga kasus, yaitu (a)
Roc: 0,5.14.,1'
untuk menjawab kasus (a)' sesuai dengan Tabel sehingga inversnya adatab
(r)= :
tersebut adatahsinyar antikausar sehingga
, =o,s m"re-jrll;i1,#tfi[ffi,ri'*
antikausar. Dengan demikian, inversnva adatah
x[n]=
adarah sinyar kausar
berarti sinvar berad apadakedua sisi
_2u[-n:;:i;:; )fii.
r,"'entasikan sinvar
Bob
5: Tronsformasi Z
157
Integral Invers Kompleks Sampai bagian
ini kita sudah sudah
Dengan mengalikan
X(r)
sangat hafal bahwa rumus transformasi
dengan
zoazf(Zriz) arn
z adalah Xlr)= x (z)=
I xlnjz Axlnlz-". -n
mengintegralkan kontur C yang tertutup yang
terletak dalam ROC maka didapatkan
fi{,rt,tto, =*{r ,?__xlnfz '*k-tdz =
*
(s.32)
,i_*-ln){z-n*k-tdz
Setiap integral kontur dapat dievaluasi dengan menggunakan teorema integral Cauchy yang menyatakan bahwa
jika
C melingkupi pusat (origin) dalam arah berlawanan arah jarum jam, maka
I 4.,r;4r=[], k=ou,uu t d.rror=[', n=-l 2xj " Znj " {.0, k*0 |.0, n*-l
(5.33)
Berdasarkan persamaan (5.33) maka ruas sebelah kanan persamaan (5.32) akan menjadi tidak nol ketika pangkat z adalah -1, yaitu
-n+k -1= -l o n= fr. Karena
itu, persamaan (5.32) dapat ditulis menjadi (5.34)
fi{,*r,r**=,[,]
yang disebut sebagai integral invers kompleks untuk mencari invers transformasi Z. Mengevaluasi persamaan tersebut lebih mudah menggunakan formula Cauchy.
Formula Cauchy. Jika C adalah jalur tertutup sederhana dan
I r fQ),,_-[ftri, c 2"11 1z - zo7" 10,
f '(z) ada pada dan di clalam C, maka
untukzsdidalamC
Untuk pole-pole kelipatan k yang terlingkupi oleh kontur C,
f (z) dengantanpapoledi dalam C,maka
(s.35)
untuk zo diluar C
f (r)
dengan turunan tingkat fr
+
1, dan
158
Dosor Pengolohan Sinyal Digital
*Llrffir,=l##n""1"=,,' |.0,
untukz6didaramc
(s.36)
untuk z6 di luar C
Ruas kanan persamaan (5.35) dan (5.36) sering disebut residu pole pada
zr.
Jika terdapat lebih dari satu
pole di dalam kontur, integral tersebut dapat dievaluasi dengan menjumlahkan hasil-hasil dari setiappo/e. Contoh 5.12
Kita akan mencoba menghitung invers dari X(z)=
Vlrlldengan
arj,
menggunakan integral
invers kompleks. Hasilnya sudah kita ketahui dengan mudah.
Berdasarkan persamaan (5.34)
maka xlnl=lE t'l-az r!)a, Znj
diperoleh dengan menggunakan persamaan (5.35) dengan "f kasus, yaitu
L
Untuk n> 0 . Fungsi f
(r)
2.
(zo)=
a',
(r)=zn.Kita
nuya mempunyai zero dan karena itu tidak
sattmya pole yang berada di dalam C adalah z
*l"l= f
- = !{Zttj ''rJ' z-a-ar.
:
Hasilnya dapat
akan membagi dalam dua
ada pole
di dalam C. Satu-
a. Karena itu,
n> 0
"f (r)=zn akanmempunyai polesebanyaknbuahpadaz=0yangberartiberada di dalam C, karena itu akan ada dua macampole. Untuk n = -1, maka Jika
n<0
maka
' {. ' - I I .tlz lr=, =o
-r(-l)= 2xj'- z(z-a) z-alr=o Untuk
n: -2, maka
x(-21 =
* t, i;
=
*(*)1,
Begitu seterusnya, jika dilanjutkan maka
;1,=. =,,.
=o
xln)= 0 untuk
n
x[r] = a'uln).
Bab 5: Transformosi Z
159
5.5 TRANSFORMASIZ SATLJ SI$! Transformasi Z satu-sisi atau disebut juga unilateral darisinyal x[n
Y.
]
aiAennisikan sebagai
(r)=t*ln)r-'
(s.37)
a=0
Untuk membedakan dengan transformasi Z dua-sisi maka untuk transfonnasi Z satu-sisi digunakan notasi
x[,2]+--+ z{-L.l}
=
x-
(r)
(5.38)
Jika dilihat dari persamaan (5.37) maka pr:rbeCaan transformasi Z safir-sisi dan dua-sisi adalah scbagai berikut. Transformasi Z satu-sisi tidak mengakomodir sinyal-sinyal dengan n
X* (z)
x[r] akan sama rlengan transformasi z dua-sisi dari sinyal xlnluln].
selalu berada di iuar lirrgkaran"
Contoh 5.13 Berikut beberapa contoh transfonnasi Z satu-sisi:
,,[r]=h 2 s 7 0 *,1"1={t
z17
r]<-:--+ x'l k)=t+Zz-t+52-2
+72-3 +z-s
0l}<-'-rxiQ)=5+72-,+23 E
Hampir semua properti transfonnasi
Z
dua-sisi berlaku untuk tranforrnasi
Z
satu-sisi, kecuali
translasi/pergeseran.
Translasi positif Jika didefinisikan
xlnl<-.--+ X. (z)
maka
xln-tcl<-_-yr-o Jika
x[r]
n]r'\, k>0 {*.(r)*ir[lr=l)
(5 3e)
kausal maka
*Ln-k)+l-+z-o
x'(r)
(s.40)
160
Dosar Pengolahon Sinyol Digital
Translasi negatif Jika didefinisikan
xln)<-{--> X. (r),
maka
xln+k)+-!)zk{r.,,,-Ert,,,-'},
r>o
(s.4r)
Teori nilai akhir Jika didefinisikan
x[n]<-:i X. (z) maka
lgrlr] =t]Xk -t)x. (z) jika ROC dan (z
e.4z)
-l) X. (z) mehngkupi lingkaran berjari-jari satu.
Contoh 5.14
Jika diberikan x[n]
=a'
maka transformasi
Z satu-sisi dari
x,
lrl=*ln-2]
Oapat
dicari
sebagai
berikut. Telah kita ketahui bahwa
z. {xln-
Karena
X. (r\\ '/ *l-
l-
az-
. Ber.lasarkan persamaan
/e
= 2, maka
,-' {x. (z)+ "r[-t] z + xl-z)r'\ = z'' x* (z)+ x[-t] z-' + xl-zl
2]} =
,[-1]
Xi G) =;: t-
=
o-t
dan
*l-21= a-2 sehingga menghasilkan
-) oz -,
+ a-t z-t + a-2
Z satu-sisi untuk *rln7= xfn+2) (5.4 l) dengan k = 2.
Transformasi persamaan
(5.39) dengan
z. {xfn* 2]} = z'x. (z)- xlo)z' - xlt)z
dapat dicari sebagai berikut. Kita menggunakan
Bob
5: Tronsformasi Z
Karena
x[o]=t
z. {xfn+21}=
5.6
161
aan x[1]
=a,maka
*--z'-qz
RESPONS SISTEM POL$ZERO DENGAT{ KONDISI AWAI. TIDAK NOL Jika sinyal
x[n]
Oitetapkan pada sistem yang mempunyai pole-zero pada
tersebut dapat dianggap kausal. Sinyal-sinyal masukan pada n <
y(-t),y(-2),...,y(-N).
0
n
:
0 maka sinyal
disebut sebagai kondisi awal, yaitu
Karena sinyal kausal, kita hanya memperhatikan sinyal untuk
n>0
sehingga menggunakan transformasi Z satu-sisi:
Y.
Karena
x[n]
(,)
tausul maka
=
-f oo,-- [r. ,,, *\t(-.)
X. (r) = X (r)
n1.Xur,-o x.
(,)
(s.43)
sehingga persamaan (5.43) clapat dinyatakan sebagai
n{Nk
Y.
(r)
Zbor-o
=
x (r)-
-&**-
Zoor-oLrl-n)2" t='
l+\anz-r
l+\aoz-t -#
k=l
(s.44)
=tr(z)x(4rW dengan
lr, (r)=
NK
-U
/t=l
oor-oZtl-n)z'
(s.45)
n=l
Dari persamaan (5.44) hasil akhir dari sistem dengan nilai awal tidak nol terdiri dari dua suku. Suku yang pertama menunjukkan respons keadaan-nol (zero-state responsse) yang ditunjukkan oleh
y,,(r)
= u (z)x
(z)
(s.46)
Dcsar itetrgoiahan Sinyal Dtgltal
162
Suku ke dua yang menunjukkan keluaran dari nilai l:ond:.si awal ta!: ncl. i,aitu
,\== lil \i) q;f
Y* I;, (
(5 47)
\z )
sehingga respons total juga merupakan penjurnlahan dari dua suku, yaitu
yl"7= y,,Lrf+ Jika pole-pole
A(z)
adalah py, p2,,.., pN maka respon
y,,lnf=
tr&=l
y,,ln|
(5.48)
t y,,ln7 akan menjadi
ulnl
bo)'
(5.4e)
sehingga respons totalnya menjadi
ylnT=inr@r)'ulnl*farboY t=l
olnl
(5.s0)
&=l
dengan
lr
= Ar + Dt
(5.51)
Persamaan-persamaan tersebut menunjukkan bahwa efek dari
konstanta
{dr\
nilai arval yang tidak nol berpengaruh pada
.
Contoh 5.15
ini kita akan mencari respons untuk sistem dengan persamaan perbedaan lln)=0,25y1n*zl+xlnl dengan masukan xlnl=|ln-2] dengan dua kondisi awal, yaitu (a)
Pada contoh
/[-1]
=
yl*z)= 0 dan (b) /[-1] = yf-zl=r.
Kita akan menggunakan transformasi Z satu-sisi. Lakukan tranformasi Z satu-sisi pada kedua ruas dan berdasarkan terorema transl,asi positif maka didapatkan Y
(z) =a,252-2
{, (r)+ yf-r)z + yl-zlz'\ + x
Masukan yang diinginkan adalah
(z)
x[n]= 6ln -2)*+ X (r)
(g =
,-'
Bab
5: Transformasi Z
163
untukmenjawabpertanyaan(a),kitasubstitusikannilai
(t)
x(r)
dan
y[-1] =yl-21=0
x (r)
dan
y[*1] = yl-z|= 1 ke persamaan
kepersamaan
sehingga didapatkan
Y(z)=0,252aY(z)+ z
r
Dengan mengatur. suku-suku persamaan tersebut menjadi
\ ''
--l I
sehingga
*0,252-2
!ln)={{0, s)' - (-o, s)'}
a
[n ]
untuk menjawab pertanyaan (b), kita menyubstirusi nilai (*) menjadi Y
(z) =0,252-2
{, (r)+ z + z'} + z-'
dengan mengatur suku-suku persamaan tersebut menjadi
+ 0'25
Y ( z\
\ "=l'252-t l-0,252-2
sehingga
flnl
={
t, r zs o, 1
s
)' - t,tzs (-0,fl' } ulnl I
Contoh 5.16
Kita akan menghitung ulang contoh 5.15(b) dengan menggunakan mendapatkan respons keadaan-nol,
vaitu
y,,
(r)
=
i#r7
persamaan (5.44).
e !,.[r]
=
{(0,
Kita
s)' - (-0,5)'
sudah
lrlr]
Sekarang kita akan menghitung respons kondisi-awalnya dengan menggunakan persamaa (5.47),dengan n
definisi No(r) dan A(z) seperti pada
persam aan (5.44)dan (5.45).
Telah diketahui koefisien-koefisien persamaan perbedaaan, yaitu or 0 dan az = = persamaan (5. I 6), sehingga
-0,25
(lihat
B-
Dasar Pengotohan Sinyal Digitol
164
_.
,\
'zi\" t -
(r) ek)
lr.
+0,25 0,3752
o,t25z
l_0,252-2 z*0,5
z+0,5
0,252-t
sehingga didapatkan
y,,ln)=
{0,
: zs ( o, 5 )'
-
0, 1 25
(
-0, 5 )'
\.l')
Dari persamaan (5.48) diPeroleh
ylnl= y,,ln)+ y,,lr7=
{t,
: zs ( o, 5)'
*
1,
I 2s ( 0, s
)' \
rlrj I
5.7
KAUSALITAS DAN STABILITAS
Suatu sistem LTI kausal mempunyai respons impuls yang diberikan oleh
hln]=g,
n
(5.s2)
Dilihat dari sudut pandang ROC, suatu sistem kausal mempunyai ROC di luar lingkaran sehingga dapat didefinisikan "suatu sistem LTI adalah kausal jika dan hanya jika ROC dari fungsi sistem tersebut berada di luar lingkaran dengan jari-j ati r < m , termasuk titik z = @" Sedangkan stabilitas, seperti yang telah dibahas sebelumnya, dapat dilihat dengan konsep BIBO,
,",r i1ft[r]|.*.
Dalam sudut pandang bidang
z
maka sistem yang stabil mengisyaratkan
H(z)
harus terdapat lingkaran berjari-jari satu dalam ROC-nya. Karena itu, dapat disimpulkan: "suatu sistem LTI adalah BIBO (stabil) jika dan hanya jika ROC dari fungsi sistem melingkupi lingkaran berjari-jari satu".
Untuk penggabungan antara sistem yang kausal dan stabil berlaku: "suatu sistem LTI kausal adalah
BIBO (stabil) jika dan hanya jika semuapo le H
(z)
berada dalam lingkaran berjari-jari satu"
Contoh 5.17
Suatu sistem
LTI
diberikan oleh
H
(z)=
3-42-l l-3,52"1 +1,52-2
r2
, I --' I-32-' 2
menentukan ROC sistem tersebut dan menentukan kausal, dan (c) sistem antikausal.
ft[n]
untuk kondisi: (a) sistem stabil, (b) sistem
Bab 5: Transformasl Z
Sistem tersebut mempunyai
pole
pada
, =!
dan
z= 3. Untuk
menjawab pertanyaan (a) supaya
2
sistem stabil maka syaratnya adalah ROC harus melingkupi lingkaran berjari-jari satu sehingga ROC:
dengan demikian
l.lrl:-r,
hln)=(i)',W-
z
(3)'
u
z
(:)'
adalah nonkausal yang diberikan
nya
adalahlzl>
3,
sehingga sistem tida.k stabil,
{(;l
+ z(3)"
dan
uln).
Menjawab kasus terakhir, supaya sistem antikausal rnaka ROC nya adalah
hln)=
sebagai
(*n - t),
Supaya sistem kausal maka ROC
hlnl=(i)',n+
nl4
},fr-
rl.
lzlcO,S
sehingga
oaram kasus ini sistem tidak stabl. T
5.8
PENGHILANGAN POLEZERO Ketika transformasi
Z
menghasilkan
pole dan zero pada titik yang sama maka pole
akan
dihilangkan olehzero, dan juga suku yang menghasilkanpole danzero tersebut akan tereliminasi.
Contoh 5.18 Untuk pusamaan perbedaan transrormas
iz
nvaadarah
n (r)
=
tln)=2,5yln-tl- s,ln*2lr r[r]-5x[n-l]+6x[n-2]
i##
=
iiff*= {ffi.
maka
Memraktorkan
. Dapat dilihat fungsi tersebut memiliki posisi
pole
menjadi
n
dan zero yang sama, yaitu pada
(,)=ffi 4-:#
z = 2. Sehingga, dapat dihilangkan. Sekarang, fungsinya
dan
hln)=
dln)-r,r(+)' ufu-tl I
Dasar Pengolahan SinYal DiSitol
166
Tips:
Akan diielaskan sedikit bagaimana cara mendapatkan invers fungsi menyelesaikan contoh 5.18. Pertama kalikan
A (r) = ru
r^
n(')=*
sePerti untuk
kedtta ruas kanan dengan z'z-t
,
meniadi
Dengan demiklan, berdasarkan persamaon (5.5) hasilnya
.
adalah
' hln!=r,t[*)' uln-t]. STABILITAS SISTEM DENGAN LEBIH DARI SATI' POLE
5.9
adalah scmuapo/e nya Telah dibahas sebelumnya adalah untuk sistem BIBO stabil maka syaratnya jika ffansformasi nya dalam lingkaran berjari-jari satu. Sinyal masukan akan terbatas
Z
berada
mengandun g pole-pole
{qo\, t, = 1,2,..., L
yangmemenuhi lq
rlst
untuk semua fr'
Contoh 5.19
Sistem dengan persamaan perbedaan
xln!= ulnl<+ X (r) = Y
(z) = z''Y (z)
+
ll.
yln)=yl"-t]+x[n]
dengan masukan
unit step, yaitu
Persamaan perbedaan dapat ditulis
x (z)
r(z)(t-r^):x(r) = \'t ='(:\ t- z-l x (r) --l
H " ( z\
Dengan demikian,
Y(z)=
a(,)x(r) 1
=---------'--;
(r-,')"
yang memiliki pole ganda Pada z
Invers transformasi
= l.
Z, yaiu !ln)=(n+t)ulnl,
YanB berupa fungsi
ramp' Dengan demikian jika
tersebut tidak masukan terbatas maka keluarannya tidak terbatas, oleh karena itu sistem
stabil'
I
Bab 5: Transformosi Z
Pojok iVIATLAB
Untuk menentukan posisi zero dan pole dari suatu fungsi z yang berbentuk
ln( p,lpo)r-'*(prlpoz)z-2 +'., nt_\* pr* p,z'' * prz-2 +..._,v\z/-" t*WjJJq,rJq{i; dengan fr adalah gain, yaitu po I do dapat menggunakan fungsi
lz,p,k) = Lfzzp (pemb-ilang, Sedangkan untuk menggambar
pole
penyebuL) dan zero pada bidang
z
berikut zplane (zero, pole) zplane (pembi 1ang, penyebut
)
Berikut adalah contoh program untuk mencari zero dan pole
t Program 5.1
E Menentukan pole dan zero pembilang = input('Masukkan pembilang = '),' penyebut = input ('Masukkan penyebut = ') ; lz,p, kl = Lfzzp (pembilang,penyebut); disp('Zero pada posisi = '),'disp(z) disp('Pole pada posisi ='),'dj-sp(p) disp ('Konstanta gaj-n adalah = ') ;disp (k) ?Menggambar zero dan pole pada bidang z zplane (z,p)
xfabef('real') ylabel ( 'ima j i.ner'
)
*.t-!'*,T, maka :'!'1.*!!( +l8z-12 3za +3zt
rika diberik an G(z)='z^-
-1522
pembilang : t2 76 44 56 321 penyebut = t3 3 -15 18 -121 didapatkan hasil
Zero pada posisi = -4.0000 -2.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i
dapat menggunakan salah satu dari fungsi
Dasar Pengolahon Sinyal Digitol
168
Pole pada posisi
:
-3.236]1.236L 0.5000 + 0.8660i 0. s000 - 0.8660i Konstanta gain adalah = 0 .666'7
Gambar plot zero dan pole ditunjukkan pada Gambar 5'8'
0.5
o ,E
'd-'
0
.E
o.uL
,f I
-r aL I
'L__ Gambar 5.8 Zero dan pole
Untuk mengembalikan jika diketahui zero dan pole nya menjadi fungsi alih menggunakan fungsi [pembilang, penyebut] : zp2Lf lz,P,kl Berikut adalah contoh programnya.
I Program 5.2 I Menentukan fungsi alih zero : input('Mastrkkan zero sebagai vektor baris = '); poTe = input('Masukkan pole sebagai vektor baris = ');
dapat
Bob
5: Transformosi Z
169
gain = input ('Masukkan gain = t; ' [pembj.lang,penyebutl = zp2if (zero,pole, gain) disp (rPembi-Iang = ') ;disp (pembilang) dj,sp ('Penyebut = ') ;disp (penyebut)
;
Jika kita memasukkan
zero : 10.5) pole : [0.2 0.8+j
*0
.2 0.A-i*9.21
Maka didapatkan hasil
Pembilang : PenYebut
=
0
0
1.0000 -1.8000
1.0000
-0.5000
1"0000
-0.1360
Perlu diingat bahwa jika kita memasukkan bilangan kompleks maka harus merupakan kompleks konjugat untuk memperoleh pembilang dan penyebut yang benar.
Untuk menentukan sistem stabil atau tidak stabil, kita dapat memodifikasi program 5.1 menjadi seperti program 5.3 berikut. Ingat sistem tidak stabil jika ada posisi pole berada di luar lingkaran berjarijari 1.
t Program 5.3
kestabilan sistem counter : 0; pembilang = input('Masukkan pembilang :') i penyebut = inpuL('Masukkan penyebut = '); lz,p, k) -- LfZzp (pembilang, penyebut) ; for i=1-: length (p) if abs (p (i) )>1 counter:counter+1; % Menentukan
end end
disp('Zero pada posisi = ');disp(z) disp(tPole pada posisi :') ;disp(p) disp('Konstanta gain adalah = ');disp(k) if counter ) 0 disp ('Sistem ti-dak stabil') else
dj.sp
('Sistem stabil'
)
end
Selanjutnya, kita akan menentukan invers transformasi langsung. Kita dapat menggunakan fungsi impz (pembil-ang, penyebut, panjang
sinyal)
Z
dengan menggunakan pembagian
170
Dasor Pengolahan Sinyal Digttal
Berikut contoh programnya.
B Program 5.4
I t
Menentukan invers transformasi z dengan metode pembagian langsung
pembilang = inPut('Masukkan pembilang * t1; penyebut = input(rMasukkan penyebut = r),. panjang * input(rMasukkan panjang sinyal = lx, tl = impz (pembilang,penyebut.,panjang),.
')i
disp('Invers =') ;disp(x) SMelakukan plot sinyal stem(t,x) xlabel ( 'index' ) y1abe1 ( 'amplitudo'
)
Kita akan mencoba mengerjakan ulang contoh 5.6, untuk kasus sinyal kausal, maka Pembilang = 1 penyebut = [1 -1.5 0.5] Panjang = 5 Didapatkan hasil
fnvers : 1.0000 1
.5000
1.7500 1.8750 1.9375 Yang sesuai dengan jawaban pada contoh tersebut. Gambarp/or sinyal tersebut tampak pada Gambar 5.9.
Bab
5: Tronsformasi Z
171
'r.5
2
2.5
3
3.5
4
index
Gambar 5.9 Sinyal invers transJormasi z Untuk kasus nonkausal maka kita harus membalik penyebutnya sehingga menjadi: PembiLang
=
1
penyebut = t0.5 -1.5 1l panjang = 5
dan didapatkan hasil
fnvers
=
2 6
),4 30 62
yang sesuai dengan koefisien perhitungan, namun perlu diperhatikan urutan dari sinyal tersebut. Program MATLAB hanya menghitung koefisiennya, tidak menghitung penempatan/posisi sinyal-sinyal inversnya.
Invers transformasi
Z
dihitung dengan metode ekspansi pecahan parsial sehingga untuk
mendapatkan keofi sien-koefisien ekspansi dapat menggunakan fungsi
[r,p,k] = residuez(pembilang,penyebut)
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
172
dengan r adalah residu,
p adalah pole, dan k adalah konstanta, yang diberikan oleh persamaan berikut
n(z)
a l- prr-' l- prr-' ---l--+... d(z)= -!-
+ k, + k.z-t
+...
Berikut programnya.
* Program 5.5 B Menentukan
koefisien eksPansi
pembilang = input('Masukkan Pembilang = t;; penyebut = input('Masukkan penyebut = r); Ir, p, k] = residuez (pembilang, penyebut) ,' disp ('Residu = ') ;disP (r) disp ('Pole : ') ;disP (P1 disp (tKonstanta = r) ;disP (k) Kita akan mencoba dengan tungsi pembiJ-ang
P(r)
=
C#jW,
= 11 21
penyebut = t1 0.4 -0.L2) sehingga didapat
Residu = -1.7500 2 .-t
500
Pofe : -0.6000 0.2000 Konstanta = Dengan demikian dapat ditulis
P(z)=
l+22-l l+0.42-t -0.122-2
-1.75' !-
l+0.62-t
2.75
l-0.22-l
SOAL.SOAL
1.
Tentukan transformasiZ danROC nya dari:
*,1n1=
(o,l)' ulnl
*rl"l= (-o,s)' ulnf c.
*rlrf=(o,z)' uln-5)
karena itu kita masukkan
Bob
5: Transformasi Z
=(-0,2)'ul-n-ll
d.
xo
e.
y,lrl=r, [r]+
f. e. h.
2.
173
*r1"7
yrlnl= \lnl+ *olnl *,1n1=(a' + a-')ulnl
*,lnl= (*)' @fu!-uln- Iol)
Tentukan transformas i
Z dai:
a. ,[r]={l o o o o
b 3.
' I o,
f ,
-o}
n25
x[n]={(;l
n<4
Tentukan invers transformasi Z berikut, gunakan metode yang Anda Lnggap mudah
a. x(r)=z'+32+5*--l . dengannoc: lzl>4 z' +52 +4 l+0.'52-t dengan noc, l'l'5 b. x(r)= -- \-'l r-0,752-t +o,l25z-2
3.(z +-0,5)(z + 1)
c.
x (\z\= ''
d.
X (z)=
e.
x(r)=
jfi7
x (z)=
l+22-l - ' -,' = densan x[n] | -22-t + z-2
o
b.
h.
X (z)=
x (z)=
z
(z -0,5)'z
l-
Roc,
dengan
dengan
dengan
x[n] uusal
dengan
antikausal
x[n]
dengan
z-t +0,52+
!+42-t +42-2
'l',l't
4
(, -0,2)(z +0,6)
L+22-t + z-2
o'5
x[n]
kausal
Uusal
nOc: lzl> 0,6
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
174
4.
Diberikan persamaan perbedaan
ab.
yLnl= xlnl+2xln-ll+ xln-21*3yln-tl-Zyfn-Z)
Tentukan fungsi sistemnya Tentukan respons impulsnya
5. Diberikan persamaan perbedaan llnl= 0,7 yln -tf-O,tZyln a. b. c. 6.
-Z)+ xln
-ll+ xln -2]
Tentukan fungsi sistemnya Tentuka respons impulsnya Tentukan keluarannya jika diberikan masukan unit step
Gunakan transformasi Z satu-sisi untuk menentukan nilai
a. tlnl+O,Syln-1]-0,2syln-21=0
densan
ylnl
/[-1] = yl-z)=t
b. tlnl=0,5yfn-11+,r[r] dengan x[n]=(i)'r[n] oan .r,[-t]= c. ylr)=0,25y1n-21*x[n] oe,ga, xfnl= ulnl,/[-1] = 0, dan tl-Z)=t yl"-2] dengan xln)= uLnT' d. tln)=zxln]- *lr-11+ xln -21+l J 6/rl,L -\-! r 3", 1
Y[-1] =2,dan
tl-zl=-z
7. Diberikansistem H(r\= -' \- / r- \rr?'-'*"1,, '-t ,, denganRoc: 0,s
Sketsakanbidang z denganpole-zero. Apakah sistem tersebut stabil? Jelaskan Tentukan respons impuls sistem tersebut
Tentukan respons untuk sistem masukan
g.
y[n]=0,7yln-t]-O,tZyl"-Zl+xln-ll+x[n-2]
xfnf= nuln). Apakah sistem tersebut stabil?
Respons suatu sistem LTI dengan masukan unit step adalah
a. b. c.
Tentukan fungsi sistem Tentukan respons impuls sistem
Apakah sistem kausal? Apakah sistem stabil?
ylnT=(i)''
uln+ 2)
terhadap
BAB
6
tilter Digitul: FIR
6.1
PENDAHULUAN eperti telah dijelaskan pada bab awal bahwa salah satu proses pengolahan sinyal adalah filtering. Filtering sangat umum digunakan dalam telekomunikasi. Sebuah filter dapat didefinisikan sebagai sebuah sistem atau jaringan yang mengubah bentuk gelombang, karakteristik amplitudo-frekuensi
atau fasa-frekuensi suatu sinyal dengan cara-cara tertentu.
Filter analog dapat dibangun dengan menggunakan komponen resistor, kapasitor, dan juga induktor, sedangkan filter digital merupakan suatu program (algoritma) yang dibuat sedemikian sehingga karakteristiknya menyerupai filter analog yang bersesuaian. Filter digital lebih banyak digunakan dibandingkan dengan filter analog karena beberapa alasan berikut:
1.
Filter digital dapat mempunyai karakteristik yang tidak mungkin didapatkan dengan filter analog, seperti respons fasa linear.
2.
Kinerjanya tidak dipengaruhi oleh faktor lingkungan, seperti suhu (ingat bahwa resistansi suatu resistor berubah terhadap suhu).
3.
Respons frekuensi
filter digital dapat dengan mudah disesuaikan (hanya mengganti program atau
membuat program untuk filter adaptif).
4. 5.
Beberapa sinyal masukan dapat diproses hanya dengan menggunakan satu filter digital. Dengan berkembangnya teknologi VLSI, filter digital dapat dibuat dengan ukuran yang kecil, daya dan biaya yang rendah.
6.
Digital filter dapat digunakan pada frekuensi yang sangat rendah, seperti pada aplikasi biomedik.
Dosar Pengolahon Sinyal Digital
176
Namun demikian, beberapa kelemahan dari filter digital adalah sebagai berikut:
1.
Kecepatan dari
filter digital (waktu proses) tergantung dari prosesor yang digunakan dan juga
kompleksitas algoritma yang digunakan.
2. 3.
Karena masukan filter digital biasanya adalah sinyal analog maka diperlukan ADC yang akan menimbulkan noise,yang akan mempengaruhi kinerja filter digital. Perancangan filter membutuhkan waktu yang cukup lama, karena memerlukan beberapa pengetahuan khusus lain, seperti pemrograman dan perangkat keras yang digunakan.
Filter digital dapatdibedakan menjadi dua jenis, yaitufinite impulse respotnsse (FIR) dan infinite impulse responsse (IIR). Seperti yang telah dibahas sedikit pada bab 5, istilah FIR dan IIR berkaitan dengan panjang respons impuls. Pada bab ini kita akan membahas mengenai filter FIR dan pada bab selanjutnya kita akan membahas mengenai filter IIR. Filter FIR dapat direpresentasikan dengan dua persamaan berikut: N-l
tfn)=lnyc1x1n -
rc1
(6.r)
k=0
n dengan k = 0,1,...,
N -1,
hlkl
(,)=fnpltr
t6'2)
r=o
adalah koefisien-koefisien respons impuls filter,
sistem filter (fungsi alih filter) yang didapatkan dengan melalrukan transformasi
H
(z)
adalah fungsi
z
pada
hlkl, aan X
adalah panjang filter. Dari persamaan (6.2) jelas bahwa panjang filter adalah terbatas (finite). Dilihat dari persamaan tersebut, filter FIR selalu stabil. Selain itu, filter FIR juga memiliki respons fasa yang linear, yang akan dijelaskan pada subbab berikut.
6.2 RESPONS FASA Ketika suatu sinyal melewati filter maka amplitudo dan/atau fasanya akan terpengaruh. Suatu ukuran yang menunjukkan karakteristik fasa suatu sinyal yang telah melewati filter adalah phase delay atau group delay. Jika suatu sinyal terdiri dari bermacam-macam frekuensi, phase delqt adalah besarnya waktu ttnda (time delay) dari masing-masing frekuensi yang melewati filter. Sedangkan group delay adalah waktu tunda rata-rata sinyal tersebut.
Secara matematik, phase delay dapat dituliskan sebagai negatif dari sudut fasa dibagi dengan
frekuensi, atau
Bab
6: Filter Digitol:
FIR
177
To=
e(r)
(6.3)
Sedangkan group delay adalahnegatif dari turunan pertama dari sudut fasa terhadap frekuensi, atau
Tr=
de(ot)
(6.4)
dot
Suatu filter dikatakan mempunyai respons fasa linear adalah ketika sinyal yang melewati filter tersebut mengalami distorsi fasa yang sebanding dengan frekuensi. Supaya filter memenuhi karakteristik tersebut maka filter harus mempunyai respons fasa, seperti salah satu dari dua berikut:
0(at)=-q61 O(ot)= dengan
a
dar,
B
adalah konstanta. Jika
filter tersebut memiliki
p hase
dan Tr = -d?(at)ldot = -d
(6.s)
I -aot
(6.6)
filter memiliki karakteristik seperti pada persamaan (6.5) maka
delay dan group detay yangkonstan, karena T, =
-0(a)1,
(-aa)f do= a . Untuk memenuhi persamaan (6.5)
= aaf a =
a
maka filter harus
mempunyai respons impuls dengan simehi positif, yaitu
(ar ganjil) h[n]= hlN -n-rf, ln =0'r'" ''(lr -il2 fz = o, t,...,(N12)-t (N genap)
(6.7)
a =(w -r)f z
(6.8)
Sedangkan filter yang mempunyai karakteristik seperti persamaan (6.6) maka filter tersebut hanya
=-d0(at)lar=-d(f *aat)f ar= a . Phase delay dapat dihitung, yaitu sebagai berikut: To=-0(at)lr=-(g-"r)f a=-pla+q, yang menunjukmempunyai group delayyangkonstan, karena
T,
kan phase delay tidaklah konstan tetapi masih merupakan fungsi frekuensi. Untuk memenuhi persamaan
(6.6) maka filter harus mempunyai respons impuls dengan simetri negatit yaitu
hlnl=-a[ara = (N
n
-t]
-r\lz
F=xlz
(6.e) (6.10) (6.11)
Dasor Pengolahan Sinyal
178
Digitol
6.3 TIPE FILTER FIR Seperti yang telah diuraikan di atas, bahwa respons impuls filter FIR harus merupakan simetri postif atau negatif, seperti ditunjukkan pada persamaan (6.7) dan (6.9). Dengan demikian ada 4 tipe filter FIR yang dilihat dari jenis simetrinya dan jumlah N, genap atau ganjil, seperti tampakpada Tabel6.1. Tabel 6.1Empat tipefilter FIR
Jumlah
Simetri
Respons Frekuensi, H
(co)
Tipe
koefisien Simetri positif
hl"7= hlN
(N-t)/2
Ganjil
e-ia{N-t)tz
-r-nj Genap
e-
Simetri negatif
hfn)=-nfrtr
N12 t2
La n=0
I (
Ganjil e
-t-n)
i,4N r)
)n=0 a[n]cos(an)
- il,4N -1112-,14'
n
] cos I ar
(n
- 1 z)f t
N-t\12
i
3
afnlsin(atn)
n=l
Genap e-
iL.lN -t)I z-, t z
-Nt2
)l
n=l
alnlsin I ar ( r _ r/Z )]
4
hl(w -r)lz) alnf=znl(N -t)12-n)
"[o]:
bl")=zhlNlz-n\ Gambar-gambar dari respons impuls filter tersebut dapat dilihat pada Gambar 6.1. Keempat tipe filter tersebut berbeda-beda karakteristiknya. Sebagai contoh, respons frekuensi filter tipe 2 selalu bernilai nol ketika frekuensinya adalah setengah dari frekuensi sampling (ditulis .f =0,5 tanpa satuan Hz) sehingga tidak cocok untuk
filter highpass. Dalam perancangan filter, frekuensi selalu dinormalisasi
terhadap frekuensi sampling.
filter tipe 3 dan 4 mengalami pergeseran fasa sebesar 90" (ingat sin dan cos berbeda fasa sebesar 90"). Respons frekuensi filter tersebut adalah nol ketika .f =0 sehingga tidak cocok digunakan sebagai filter lowpass. Selain itu juga, respons frekuensi filter tipe 3, selalu nol pada .f =0,5 Sedangkan
sehingga tidak cocok juga sebagai
I
adalah tipe yang paling baik. Sehingga selanjufirya dalam perancangan diusahakan panjang filter adalah ganjil dan bersimetri positif.
filter highpass. Tipe
tub 6: Filter Digital:
FIR
179
Pusatsimetri ganiiI simeri positif
IU
It=13
:T:::TT
-/,
tl =72
lrl = 10
Gambar 6.1Empat tipefilter FIR
6.4
PERANCANGAN FILTER Langkah-langkah perancangan filter secara umum ditunjukkan pada Gambar 6.2. Langkah pertama
dilakukan dengan menentukan spesifikasi filter yang akan dirancang, seperti jenis filter, respons amplitudo dan/atau fasa, toleransi, dan frekuensi sampling. Seperti yang telah kita ketahui bahwa jenis filter berdasarkan frekuensi yang dapat dilewatinya ada 4 macam: lowpass, bandpass, highpass, dan
fr, bandpass adalah filter yang melewatkan frekuensi antara frekuensi f, dan fu, dengan -f, < .fr, bandstop. Filter /owpass adalah filter yang melewatkan frekuensi di bawah frekuensi threshold
highpass adalah filter yang melewatkan frekuensi
di
atas frekuensi threshold
-fa,
filter filter
dan filter bandstop
Digital Dasar Pengolahan SinYot 180
dan frekuensi di bawah f' adalah filter yang melewatkan pada Gambar 6'3' danbandstopideal ditunjukkan
di
atas
fr.
Filtet lowPass,
OrrOOou,
Gambar6.2LangkahJangkahperancanganfilter
bandstop ideal bandpass' highpass' dan Gambar 6.3 Filter lowpass'
bandPass'
tub 6: Filter Digital:
FIR
181
Langkah ke dua adalah menghitung koefisien fiter,
h [n]
supaya dapat memenuhi spesifikasi
seperti yang diinginkan. Langkah ke tiga adalah realisasi filter ke dalam bentuk/struktur yang sesuai,yaf,E biasanya dalam bentuk diagram blok. Langkah ke empat adalah melakukan analisis wordlength (iumlah
bit) yang merepresentasikan koefisien filter yang telah dihitung pada langkah ke dua. Filter digital dapat terjadi degradasi kinerja yang disebabkan oleh beberapa hal seperti noise ADC, kuantisasi koefisien, pembulatan (pada proses kuantisasi), dan overJlow, yaitu ketika hasil penjumlahan melebihi jumlah bitl
w o rdl en gth
yang di gunakan.
Jika dirasa terjadi kesalahan pada langkah ke empat, yaitu respons filter terhadap masukan tidak sesuai dengan yang diharapkan maka dapat dilakukan spesifikasi ulang, penghitungan koefisien kembali, atau melakukan realisasi kembali. Jika filter yang dirancang dirasa sudah memenuhi spesifikasi seperti yang diinginkan maka langkah terakhir adalah melakukan implementasi pada hardware seperti TMS32OC25.
6.5
SPESIFIKASI FILTER Beberapa parameter yang menunjukkan spesifikasi filter yang akan dirancang adalah seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 6.4. Gambar 6.4 menunjukkan filter lowpass yang sebenamya (tidak ideal). Di sini digunakan filter lowpass karena fiter lowpass merupakan dasar untuk merancang filter bandpass dan
filter highpass. Parameter-parameter filter tersebut diturunkan dari parameter-parameter filter lowpass.
F(."")l l+6, t L- 6,
l, prs$and
f,
kensiton
sbpbanrl
band
Gambar 6.4 Respons magnitudo- frekuens i filter lowpas s
Dasor Pengolahan Sinyal Digital
182
Gambar 6.4 terdapat tiga bagian utama yang menunjukkan passband, transition band, dan juga stopband. Passband adalah daerah yang melewatkan frekuensi. Pada daerah ini kemungkinan akan terjadi ripple yang mempengaruhi respons magnitudo frekuensi yang dilewatkan. Daerah ke dua adalah daerah transisi dan passband menuju stopband. Sedangkan daerah yang ke tiga adalah daerah stopband, di mana frekuensi tidak akan dilewatkan. Namun, sama halnya dengan daerah passband, daerah stopband }uga
kemungkinan akan mempwyai ripple (deviasi). Filter yang baik memptnyai ripple passband dan stopband yang kecil. Dengan demikian, beberapa parameter yang menunjukkan spesifikasi filter dapat dirangkum sebagai berikut
6e 6s fo .f, As Ae F,
: = : : : :
deviasipassband deviasi stopband
frekuensi bataspassband frekuensi batas stopband
stopband:
atenuasi
-201o916 65
ripple passband:20logr0 (1+6p) (dB) frekuensi sampling
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, dalam merancang normalisasi, yaitu
f
f
F,
filter selalu digunakan frekuensi
.
Contoh 6.1 Suatu filter FIR mempunyai spesifikasi sebagai berikut:
-
0,33 (normalisasi)
Passband
0,18
Lebar transisi
0,04 (normalisasi)
Deviasi stopband Deviasi passband
0,001 0,05
filter dengan karakteristik tersebut tampak pada Gambar 6.5. Jika frekuensi sampling diberikan adalah l0 kHz maka frekuensi sebenarnya dapat dihitung dengan mengalikan frekuensi normalisasi Sketsa
dengan frekuensi sampling, sebagai berikut:
-
3,3 kHz
Passband
1,8
Stopband
0
stopband Ripple passband
-20log,o
Atenuasi
-
1,4 kHz dan 3,7
- 5 kklz
(0,001):60 dB 20log,o (1+0,05) :0,42 dB
r
Bob
6: Filter Digitol:
FIR
183
w{ol
lnormClsaC)
Gambar 6.5 Sketsafilter bandpass untuk contoh 6.1
6.6
PENGHITUNGAN KOEFISIEN FILTER Penghitungan koefisien
filter FIR,
nl")
dapat dilakukan dengan berbagai macam metode,
diantaranya adalah metode windowing, metode optimal, dan metode sampling frekuensi. Ketiga metode tersebut akan dibahas detail pada subbab berikut.
6.7
METODE WNDOWNG Pada dasarnya metode
ini
sangatlah sederhana. Prinsip dari metode
berikut. Dapat dilihat kembali di bab 4, pada Tabel 4.2 menyatakan bahwa
ini dapat dijelaskan sebagai jika dalam domain frekuensi
fungsinya terbatas (nonperiodik) maka fungsi tersebut dalam domain waktu adalah tak terbatas (periodik), begitu juga sebaliknya. Karena filter sifatnya adalah terbatas dalam domain frekuensi (hanya melewatkan
frekuensi tertentu) fungsi sistem tersebut dalam domain waktu adalah tak terbatas, padahal kita menginginkan suatu filter yang panjangnya,
hlnl
terbatas (atau finite). Karena itu kita "membatasi"
panjang filter dalam domain waktu dengan metode windowing. Efek dari pembatasan jumlah koefisien pada domain waktu itu adalah filter yang panjangnya tidak terbatas dalam domain frekuensi.
Suatu fenomena yang disebut fenomena Gibbs berkaitan dengan ripple dan panjang filter. Fenomena Gibbs menunjukkan bahwa semakin panjang jumlah koefisien filter maka ripple akan semakin berkurang.
Digital Dasor Pengolahan SinYal 184
impuls ideal digunakan, dan respons Tiga jenis filter yang
pada Tabel 6'2' nya' h'l"lditunjukkan
ideal filter Tabel 6.2 Respons impuls
*-rro-ttnPuls ideal, h rlnl holn\,n+0
,,7"u\i:'1 ,,
-LJ
sin(nar,)
c
;@-rsin(nq) LJ2 n@tfi@z
:@-rr.sin(n't') LJt 7",
f,
f,
adalah
f)
t-z(fr- f')
fr@z
n@t
dar'
2(f,-
fr"l""*t
b"til;
band atau stopband yar.g
Hamming,
6'6' Sedangkanwindowyangseringdigunakanada5jenis'yaiturectangular' ditunjuktan pada Gambar
Blackman, dan Kaiser.
i.rir-j.rri.
windowtersebut
Domh lrehroEi
&mh
w akiu
40
1---I I
.
o^
o.a
-cil:
20
ll) [ \A
9 !roll
0.6
t11'
El 6
Sn
04
l
,10 .
0.2
o'
.,0 io
30
40
50
o
60
SnrP€l
(a) (d) (b) Hanning, (c) Hamming, : 64 (a) rectangular, N jenis window,.de'ngan Gambar 6.6 Berbagai Blackrnan' (e) Kaiser' B'4'54
Bob
6: Filter Digital:
FIR
185
hmh
waHu
Domlr
lr.lcrci
1l 0.8'
E
a !.
0.6
0.4
{!b
l
E
I
o.2: .
or
(b) DqEh
r.&u
&mlrtrlogrl
i
ri :
u,u )
-
u.6.
=, ;
i
0.,l
102!30405060
0.2
0.4
0.6
F€lqrartldt*-l
(c)
'i
X*
08l\,
t\/t\.0
0.6.r\0
so4l\F I 02 o^-'
\
E*
/\'l
/\/
DqEhrrdcni
.r
'1oo:
\ -,*o
ro 20 30 40 il > Saipol
4.2
(d)
Gambar 6.6 Lanjutan
0.1 0.6 ffiEIlrurrtal
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
186
Ddmlr
Donbh waktu
rr€|0ffii
ao,
\
,i
a\
^
0.8,
I
gtTry*,ili*
E. a 0.4
o,
r
0.2
0
:
_
o1 --0.+---os
*L
.-
10203040s0
o.e
f€hmimtrEbsl
SarP€l
(e)
Gambar 6.6 Lanjutan Fungsi window yang paling sederhana adalah rectangular,yatgdidefinisikan
dengan persamaan
wlnf=1, lrl=0,1,...,N -
0,
(6.12)
yang lain
Namun demikian, di dalam domain frekuensi, main lobe terlihat lebih sempit dibandingkan keempat fungsi window lainnya. Lebar main lobe window ini adalah +rf (ZU
+l),
dengan
U =(N -t)lZ.
Suatu parameter yang disebut tingkat side lobe relatif (relative side lobe level) menanjukkan selisih (dalam dB) antara amplitudo side lobe terbesar dan main lobe. Window ini mempunyai tingkat side lobe
relatif sekitar l3
-
14 dB.
Window yang ke dua adalah Hanning, yang didefinisikan dengan persamaan
*t(+)
,4n)=0,5+0,5 Window ini mempunyai lebar main lobe sebesar
ZxIQU +1)
(6.13)
dengan tingkat side
loberelatif sekitar 31
dB.
Window yang ke tiga adalah yang paling sering digunakan, yaitu Hamming yang diberikan oleh persamaan
wlnf =0, =
54 + o,
0,
+a
""(!]n ./l {-
cos(
Yang lain
(' -
t^),1
2
(N -
-Nl2
r)
I2
(n
gan3it)
(r'r genap)
(6.r4)
Bob
6: Fllter Dlgital:
FIR
Dalam domain waktu, window
ini terlihat turun
dengan baik pada kodua sisinya dan mempunyai lebar
Uf (ZU +t) . Tingkat side lobe relatifrrya adalah
main lobe sama seperti window Hanning, yaitu scbcsar
4l-42 dB. Jika
sekitar
dibaudimgkan dengan window rectangulor, window
ini
akan mempunyai lebar tansisi yang lebih bcsar kareraa tudin lobenya lebih lebar (sekitar dua kalinya) dan atenuasi stopband yang lebih besar karena tingkat side lobe yang lebih kecil. Sehingga, perlu diperhatikan bahwa lebar hansisi suatu filter ditentukan oleh lebarnya main lobe dan ripple pada passband dan stopband dipengaruhi oleh side lobe. Window yang ke empat adaloh Blackman, yang mcmpunyai pcrsamaan
wlnl= o, 42 +0, s co,
(#)
ini mempunyai tingkat side lobe relatif rzrf (zu +r).
lYindow
+ o, 08 cos
sekitar 57
Window yang ke lima adalah Kaiser. Window
ini
-
(#)
(6.1s)
58 dB dengan lebar main
merupakan jenis window
lobe
dapat diatur (adjustable window) karena nilai ripplmya dapat kita tentukan dengan menggunakan parameter p . yaurt9
Fungsi window ini adalah
.{,['-(#l]"] wlnl=
-0, dengan
f, (r)
I,(B)
'
(6.16)
-(n -r)lz<, < (N -t)12
yang lain
adalah fungsi Bessel jenis pertama yang dimodifikasi orde-nol (zero-order modilied Bessel
function of thefirst kind)yangdiberikan oleh
/o(,)=,.*[#I Nilai,Lbiasanyaadalah
L<25.Iika B =0
(6.17)
makawindowinimenjadi rectangulardanketika
window ini akan mirip (tidak identik) dengan Hamming. Nilai p
f
=5,44
ditentukan oleh atenuasi stopband
sebagai berikut:
F
=o
iika
As
2l
dB
(6.18)
Dasar Pengolahan Sinyol Digital
g =0,5842(.t*zt)oA +0,07886( A-21) jika 2l dB< A< 50
0=o,tto2(A-8,7) dengan
A={:0log,o(d)
aan
jika
A>50
dB
(6.Ie)
dB
(6.20)
,=min(dp,4).ruAuumunnya unttkwindowini d, =d
.
Jumlah koefisien, Ndiberikan oleh
lt-l,gs +r. A>21 N
*)t43et7 I
o'9222
Lar
(6.21)
*t. A <2r
Ke lima window tersebut dirangkum pada Tabel6.3.
Tabel 6.3 Respons impuls window Tipe
Lebar transisi (Hz), normalisasi
Ripple
Tingkat slde
Maksimum
Fungsi window
passband
lobe rela/;if (dB)
atenuasi stopband
wfn),lnl<(N 't)lz
(dB)
N
0,7416
l3
2t
Hanning
3,tf N
0,0546
3l
44
Hamming
3Jf N
0,0194
4l
53
s,sf N
0,0017
Rectangular
Blackman
o,sf
I
( zon\
0,5+0,5cost;] 0,54 + 0, +6 cos
57
( zon\
[-,J
( zrr\
75
0,42+0,5cosl
\N -ll ( qon\
+0,08 cos Kaiser
2,%lN (P = 4,54)
0,0274
50
#2fN(B=6,76)
0,00275
70
s,7 tf N (B
0,000275
90
-
S,
e6)
Setelah menentukan jenis
filter
|
I
\N-ll
+(ol-fznlQr-,)l')"
)
I,(B)
dan window yang akan digunakan maka langkah terakhir adalah
mementukan koefisien filter FIR dengan
hlnl=h'fnlwln)
$'22)
Bab
6: Filter Digital:
FIR
189
Contoh 6.2 Spesifikasi filter FIR lowpass diberikan sebagai berikut: Frekuensi batas
passband
transisi Atenuasi stopband Frekuensi sampling Lebar
1,5 kHz
0,5 kHz
>50 dB 8 kHz
Dari Tabel 6.2 terlihat bahwa untuk filter lowpass berlaku
hoLnl-
2f,-sin(naf no"
holn)=2f"
untuk n #o unruk
z=0
Dari Tabel 6.3 terlihat bahwa window Hamming, Blackman, dan Kaiser cocok digunakan pada spesifftasi ini karena atenuasi stopband-nya melebihi 50 dB. Di sini kita akan mencoba menggunakan window Hamming. Pertama-tama kita melakukan normalisasi untuk frekuensi-frekuensi tersebut, yaitu Frekuensi Lebar
bataspassband f" =1,518 = 0,1875
transisi
Panjang filter dapat dicari, yaitu
Lf
=0,518 =0,0625
N = 3,31 Lf = 52,8 o 53
Berdasarkan persamaan (6.14) maka window tersebut (dan juga respons impuls
-26
filter) terdefinisi
pada
Karena adanya lebar transisi pada filter yang sesungguhnya, frekuensi batas passband
berubah menjadi
"f)= -f"+ Lf 12= 0,1875 +0,0625f 2=0,21875
hlnf
adalah simetris sehingga kita hanya menghitung nilai untuk
hlnf
adatah:
n=0
:
hrlal=z-f: =2x0,21875=0,4375 w[o] = 0,54 +0, 46cos(o) = t
&[0]= a" [o]w[o] =0,4375
0
pertama dari
190
Dosor Pengolahan Slnyol Digital
n
=t
:
hDUl= t
rr:*,\:9 tc il@" =zxl,2tltst 2ttx0,021875
=
0,3t2te
^9r:?1,\ll.s)
w[t] = o, 54 + o, 46 cos (2n I $) = 0,9967 7
n=2
:
'l'l
=
n,f\wftl=
0'3 I I I 8
h,lzl=2r;W =2x0,2t"t'*r9#:;,:r'ir:;:) zr I $)=
wlz) =0,
54 + 0, 46 cos (2 x
hl21 =
lzlwl2l = 0, 060 12
hD
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahw a
hl-11=
l,
= 0,06013
0, 987 I 3
[l] , hlll=
h121, dan seterusnya.
Untuk membuat filter kausal maka koefisien filter tersebut harus terdefinisi pada 0 3 n < 52 sehingga perlu menambahkan 26 untuk tiap indeks.
I Contoh 6.3 Suatn filter FlP.bandpass mempunyai spesifikasi sebagai berikut:
Passband Lebar transisi Ripple passband Atenuasi stopband Frekuensi sampling
150-250 Hz 50 Hz
0,1 dB 60 dB
I kllz
Dengan melihat Tabel 6.3 maka kita dapat menyimpulkan bahwa jenis window yang cocok adalah Blackman atau Kaiser. Di sini kita akan mencoba menggunakan Kaiser. Frekuensi-frekuensi normalisasi adalah sebagai berikut:
passband Lebar transisi Untuk menentukan nilai
Ir=g,15 -.f"r=g,25
A/:
0,05
p maka kita harus menentukan
Ripple passband =0,1 dB
dahulu
nilai
l,
sebagai berikut:
= 20log,o (t + a, ) sehingga dp = 0,01 l5
Atenuasi stopband =60 dB
:
-20log,o (d,
)
sehing Ea
6, =0, 001
tub 6: Filter Digital:
Diperoleh
f
,
t9t
FIR
= min(dp,4 ) = 0,001 =
= o,1102(60
-
8,
60 dB
sehingga berdasarkan persamaan (6.20)
7) = 5, 65
Berdasarkan persamaan (6.21) diperoleh panjang filter
x = !,-l:?1* r =, 9o-;/+?, +r = 73,4e x 7s t4,36\f 14,36(0,05) Ingat, karenaadanya lebar transisi maka frekuensi-frekuensi batas berubah menjadi
f), = .f^ - Lf lz= 0,15 -0,05 12 = 0,125 .f), = .f", + Lf I 2 = 0,25 + 0,05 I 2 = 0,27 5 Berikut nilai dari koefisien filter (kita dapat menghitungnya dengan menggunakan program) 0
I
-7.0698e-005
-0.00034907
2 -0.00069945
n
6
7
8
nl"l
0.0015162
0.001929
0.0014122
n
nlrl
4 -0.00041764
0.00051225
,9,..
l0
It
0.00038627
-0.0001t758
0.00o72948
3
-0.00082238
5
n
t2
l3
l4
l5
l6
t7
nlrl
0.002602
0.0037886
0.0021807
-0.002961l
-0.0097589
.0.014253
n
t8
t9
20
22
23
-0.012839
-0.005131
0.0@9886
0.011482
0.010499
0.0039438
n
24
25
26
2?
28
29
nl"l
-0.00085863
0.0038489
0.019443
0.037265
0.@1899
0.020748
n
30
3l
32
33
34
35
nl"l
-0.025576
-0.079329
-0.11238
-0.t0t22
-0.041928
0.04/.379
n
36
37
nl"l
0.12016
0.150r9
nlrl
,2t
i'.f
Untuk koefisien lainnya berlaku simetri positif. Gambar plot frekuensi ditunjukkan pada Gambx 6.7.
!
Dosor Pengolahan Sinyol Digitat
192
'aI
I
*l @
!
'a
o
*fi l/ *f
^i
-[,]','' I r .,*L
]
\
.,,"1__
0,1
0.15 0.2
0.25 0.3
0.35 0.4
"^[\l 0.'15
0
5
Fr6kwnsi lEmalisai
Gambar 6.7 Respons frekuensi untuk contoh 6.3 Contoh 6.4
Untuk perancangan filter lowpass seperti pada Gambar 6.4 diberikan ao --2ttf , =0,31t , ot"=2xf,=0,51r (normalisasi), dan A,=40 dB. Dengan demikian, frekuensi batas dapat dihitung sebagai
a)"=(@o+r,)fZ=0,4tr atau f"=0,2. Karena A,=40 dB=20log,r(4)
4 = 0,01. Dengan menggunakan
window Kaiser, nllai
B
dapat dicari dengan menggunakan peniamaan
(6.19), yaitu
f
= 0,5842(+o
- zt)oj
+ 0,07886( 40
-21) = 3,4
Lebar transisi dapat dihitung sebagai berikut
6S
-r
_@,-@, _0,5r-0,3x _0.,
21
2tt
panjang filter dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (6.21), yaitu
N- 40-7'95 al=)J,Jx25 14,36x0,1
maka
tub 6: Filter Digitol:
FIR
193
Koefisien filter dapat dicari dan hasilnya ditunjukkan sebagai berikut M
0
I
2
h ln1
0.0029
0.0077
-0.0000
N h [n1
6
7
0.0434
-0.0000
n
t2
h
[n1
,.3.
4
.J.:,'t,.,,
8
-0.0169 g't
'10
:n',
-0.0805
-0.0713
0.1t24
0.3747
-0.0146
0.0199 r
0.5000
Untuk koefisien lainnya sesuai dengan simetri positif dan hasil plot frekuensi dihrnjukkan pada Gambar 6.8.
0.1
0.2
0.3
Gambar 6.8 Plotfrehtensi contoh 6.4
Berikut adalah keuntungan dan kelemahan menghitung koefisien filter FIR menggunakan metode window:
l. 2. 3.
Keuntungan yang paling utama adalah metode ini mudah dan sederhana.;
Kelemahan yang utama adalah dengan menggunakan metode ini kurang fleksibel, karena passband puncak dan ripple stopband mempunyai nilai yang hampir sama, akibatnya kadang-kadang ripple passband terlalu kecil, atau atenuasi stopband terlalu besar; Karena efek konvolusi antara spektrum fungsi window dan respons yang diinginkan maka frekuensifrekuensi batas passband dan stopband menjadi tidak presisi;
Dasar Pengolohon Sinyal Digital
194
4.
Kecuali window Kaiser, amplitudo ripple dan atenuasi stopband maksimumnya tetap meskipun panjang fi lter divariasikan;
5.
Dalam beberapa aplikasi H
6.8
o(r)
terlalu sulit sehingga ho(co) tidak dapat diperoleh secara analitis.
METODE OPTIMAL
Metode ini pada dasarnya adalah ripple passband dan stopband yang sama (equiripple), sedangkan pada metode windowing ripple peak-nya terjadi pada ujung tepi passband (Gambar 6.9). Perhatikan
nilai magnitudonya bervariasi dari 1-6, sampai l+6p dan pada stopband nya bervariasi dari 0 sampai d. Selisih antara filter ideal dan filter yang sebenarnya, yang Gambar 6.4. Tampak pada passband
disebut sebagai fungsi kesalahan (error function), diny atakan sebagai
r (r) =w (r)lH o@) - n (r)7 dengan
Hr(r)
adalah respons
filter ideal,
tt(r)
6.23)
adalah respons filter yang diinginkan, dan
W(at)
adalah fungsi pembobotan.
Gambar 6.9 (a) Filter dengan windowing (b) Equiripple pada passband dan stopband Tujuan utama dari metode optimal ini adalah menentukan berbobot maksimum,
lU
(r)l
ft[n]
sedemikian sehingga kesalahan
diminimalkan, atau secara matematis
min[maxlr(a)l]
(6.24)
Bab 6:
Filter Digitol:
FtR
195
Riple-riple tersebut menunjukkan adanya suatu nilai maksimum dan minimum, yang keduanya disebut sebagai nilai ekstrem. Untuk filter fase-linear lowpas.s, terdapat jumlah nilai ekstrem sebanyak r + I
atau
r + 2,dengan, = (N+1)/2 (untut filter tipe t) atau r = N 12 (untuk filter tipe 2). Suatu algoritma yang disebut sebagai Parks-McClellan digunakan untuk merancang filter FIR faselinear optimum. Langkah-langkah yang digunakan untuk metode optimum:
l. 2. 3.
Gunakan algoritma Remez untuk menentukan frekuensi-frekuensi ekstrem optimum. Tentukan respons frekuensi dengan menggunakan frekuensi-frekuensi ekstrim. Mendapatkan koefisien-koefisien respons impuls.
Secara keseluruhan, diagram
alir untuk algoritma ini diperlihatkan pada Gambar 6.10. program untuk
algoritma ini dibahas di akhir bab ini.
Tentukan spesifikasi filter dan rnasuken unfuk progrim I
.t Tebakan awal titik ekstrinr r + I"
i Tentukan l.e/-]l dan ekstrain i +'l terbrasar I
+ Nilal ekstrim berub*h?
J
rider
Hitung koefiS*n r€q'on intputs Gambar 6.10 Diagram alir metode optimal
Dosor PengolahonSinyal Digital
196
menggunakan rumus (panjang fitter) dapat ditentukan dengan firter jumlah koefisien praktis, Dalam empiris, sePerti berikut: 1973 1. Fllter lowpass, YmE diusulkan oleh Herrman et' al'
(6.2s\
, =O$:rl-7go,a,)4tr*r dengan
D*(ar,4)
a'+ 4 [o, (tog'o 5o)' *a' log'o *[oo(tog,o 6o)' *ar log,o au+ o')
= logro
f (ar,a,)=ll,0l2l7+
0,51244[log'o do -tog'o
10-3 at =7 ,114 x l0-2 a, = -5,941x10-t ae = 4'278x10-l
at = 5,309x
2.
oleh Mintzer dan Fllter bandpass' yang diusulkan
o') (6.26)
4]
a, = 4,761x 10-r
Liu'
(6.27) aq =
-2,66x10-3
1979
(6.28)
,-*fJ-r(0,,0,)a7+r dengan
* log'o c- (ar,4 ) = loB,o 4 [4 (rog,. 5 o)' *0, ', *[ao(tog,o 5o)' *b,1og,o 6r+uu) g
4
= 0,01201
b, = -0,5705
bz
('r, 4 ) = -14' 6 log'' [])
=0,09664
bu=-0,44314
-'u''
b, = -0,51325
4]
(6.2e)
(6.30)
br=0,00203
Bob
6: Filter Digital:
6.9
FIR
197
METODE SAMPLING FREKUENST Metode
ini
sangat mudah digunakan karena pada prinsipnya metode
ini menggunakan sampling
dari respons frekuensi filter ideal yang kemudian sampel-sampel tersebut diubah menjadi respons impuls dengan menggunakan DFT. Perlu diingat respons frekuensi filter ideal dapat dinyatakan sebagai
HoU@). Diasumsikan bahwa sebagai
UoUr)
adalah periodik, dengan periode dasar
no(i(a*Zrn))=Ur(ira)
sampling seragam pada
Hr(irl)
dengan
sebesar
2n sehingga
n=1,2,3,.... Langkah selanjutnya
,=4,
dengan
0,1,2,...,N-1
adalah melakukan
tr/ adalah banyaknya sampel
ditunjukkan Gambar 6.11. Dengan demikian, nilai sampel ke-t dinyatakan sebagai dengan k =
dapat ditulis
seperti
Ur(iat*)= H(k)
.
x jr Rc
Gambar
6.ll
Samptingpada
Ho(ot)
Dengan menggunakan invers DFT didapatkan sampel fungsi impuls filter, yang dinyatakan sebagai
hlnT= IDFr
{u (r,)}=
*X"t
Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya bahwa nilai
hln)
k)eizo'*tN
adalah
riil. Untuk
(6.31)
mendapatkan nilai
riil
ketika k=0 atau ketika H (0) karena suku kompleks ,t2nnklN bernilai I (sudut fasa nol). Selanjutnya jika kita mengambil konjugat dai H (k),yaitu maka
jika dilihat dari
persamaan (6.31), dapat terjadi
198
Dosar Pengolohan Sinyal Digital
(u (tc)ei"'rt')'
=
H' (k)e-iz'*rN
=
n'
(k)e-i{znnk/N+2m)
=
H'
(k)ej2r(N-k)nlN
sehingga dapat disimpulkan
H'(k)=H(N-k).
Otetr karena itu, untuk Nganjil harus memenuhi
syarat:
l. 2.
Nilai I1(0) harus riil Memenuhi II* (k): H (N-k)
SebagaicontohketikaN=9maka F1(0) ,iit,Oan
H(l)=H'(8) , H(2)=H'(7).danseterusnya
seperti terlihat padaGambar 6.12.
komplek konjugat riil
0L234s678 Gambar 6.12 Contoh untuk syarat N gonjil, N Bagaimana untuk
N
genap? Tentunya kedua syarat tersebut
di
:
9
atas masih berlaku, namun ada
tambahan lagi, karena masih ada satu indeks, yang ditengah, yang tidak mempunyai pasangan. Bagaimana seharusnya
nilai dari indeks yaog ditengah G ' = y)
2'
H(N-k)=H'(k)g-+hlnJ=hlN-k1.
tersebut? Perhatikan bahwa
Jenis respons impuls tersebut termasuk dalam filter
FIR tipe 2, yaiit simetri positif dengan N genap sehingga berdasarkan subbab 6.3 didapatkan fungsi tersebut akan bernilai nol pada
,f = 0,5
genap harus memenuhi syarat:
l. NilaiI/(0) harusriil 2. Memenuhi H' (k)= U (tl -k)
atau pada o) =
7t
atau pada
k = +. Dengan demikian, untuk N 2
Bab
6: Filter Digital:
3.
Memenuhi
FIR
"(+)
199
= H a(ir)
=o
Contoh untuk N genap ditunjukkan pada Gambar 6.13, dengan adalah nol,
N:
H(0)
10, dengan
adalahriiL
H(s)
I/(l) = H' (9), H (2)= //- (8), dan seterusnya. lcomplek honiugat
nol
k
L23+s678 Gambar 6.13 Contoh untuk N genap, N
:
10
Dengan memperhatikan syarat-syarat tersebut maka persamaan (6.31) dapat disederhanakan. Pertama-tama keluarkan faktor
H(0)
dari sigma, karena
H(0)
riit. Hal kedua yang perlu
sudah pasti
diperhatikan adalah karena persamaan tersebut mempunyai bentuk simetri, kita hanya melakukan evaluasi
dari
k=l
sampai
tr=N=l
2"2untuk N ganjil, dan dari k=l
sampai
k=+
untuk
N
genap.
Penjumlahan dua bilangan kompleks konjugat sama dengan dua kali bilangan riilnya, dapat dibuktikan sebagai berikut:
(a + jb) + (a
-
jb) = 2a .Oleh sebab itu persamaan (6.31) menjadi
hlnl=*[",r, * z'"i/' n. {ru (k) ei"-^}], hl,1=*["
1ry
N ganjil
(6.32)
* zfx"{u (k)ei'^or'}],, senap
(6.33)
Contoh 6.5 Suatu filter lowpass FIR mempunyai spesifikasi passband 0
Oleh karena itu, frekuensi normalisasinya adalah -f
:0-
-
5 kHz dengan frekuensi sampling
5/18
atar-
a)=O-1^o. Jika kita 9
l8 kHz.
mengambil
Dosar Pengolahan Sinyal Digital
panjang filter N = 9 maka kita melakukan sampel setiap ar dari
-!e-i'(N-t\iz, =
0,
Kita akan melakukan evaluasi mulai
Kita mengasumsikan filter ideal dan fase linier, sehingga fungsinya adalah
ot=0-2n.
n r(ia)
=+
o < at
=;'
Yang lain
Proses sampling frekuensi ditunjukkan pada Gambar 6.14.
6 81012 -7T I I 9I -1T-flt?
-it 9
1of gl J
-lE I
\oEo t&) +19g l3 -ff 9
Gambar 6.14 Respons filter ideal dan proses samplingfrekuensi Berdasarkan Gambar 6.14 maka dapat ditentukan
H (k)=
"\."i*o\ 9 )
Ha(ia*)= H,(
, - i8zk19 _le_roL^t,
-
,
0,
k =0r1,2 k =3,4
Berdasarkan persamaan (6.32) dapat dihitung koefisien filternya, yaitu
l,[0] = =
i["1r1
*
zf n.{a (k) ei"to'tot"}] = }["101. z;n.1rl1t1]]
0,0725 + 2(-0,s3s7) 1[t \' / + 2(0,7660)] \ ' 'r = 9L
2n
Bab 5:
ft
Filter Digital:
[r] = i
1r1
["
*
FtR
zf
n.
z'(r)t t rt = {a (k\ ei } ] * ["
(
o) +
zf n
e
{u
Qc)
a'z"','
}]
r
=
t[,
hlzl=i
+
["
z(-o,s)+ z(-o,s)] = -o,l 1r1
*
t
=
,[,
hl3l=i =
["
1
r;
zf n, {a (k) ei'.{')n t' }] = nx)+
* 2fne
i [,
101
.,
z2 n, 1a
1
k) e''
* o\1
2(-o,e3e7)] = -o,ossi
{
a (r ) e;z'ta4r
1 }
=
i [r
1o;
*
zf n {a (k)
-,-
zf
o
",'*
\7
i[t + z(o,t aeo)+z(0, rzse)] = o,3tee
hl41=i =
+ z(0,
III
["
1
ry
* zf,ne
{
a
(k1 ei
z'to)o
t'
i["
}] =
1oy
n, { a o) 1
n
"**
\7
i[, + z(r) + z(r)] = 0,5556
Berdasarkan simetri mata
/l[8] = ft [0], hl77=
hU]1,
h[67= nfZ], dan ][5] = nlZl.
I
6.10 TRANSFORMASI FREKUENSI Koefisien filter FIR highpass dapat diperoleh dari koefisien f/,rter lowpass, dengan menerapkan transformasi berikut:
h,,olnf=
(-1)' h,oln|
|634)
r-(*- r)
(6.35)
Atau dalam domain frekuensi
,tr,o(r)= Contoh 6.6
Dari contoh 6.2, jika kita ingin menghitung koefisien filter highpass nya maka kita harus melakukan transformasi dahulu untuk frekuensi batas highpass,yait;u
202
t
Dosar Pengolohan Slnyol Digital
tr
-'s Jnp-j-Jrp
{
=2.5kf,z =9-t.s 2 Tiga koefisien pertama filter highpass tersebut adalah:
hrrlll=(-1)'(0,+:zs) hr,l2l= (-1)'
(o,
=0,4375
hroUT=(-1)'(0,:tu8)=-9,3111t
oootz) = o, o6o 12 I Pojok MATLAB
MATLAB mempunyai suatu tool yang dapat digunakan untuk menganalisis window. Ketil*an perintah berikut pada command window wintoo
1
maka kita dapat melihat suatu tampilan seperti pada Gambar M6.1. Dengan menggunakan fasilitas tersebut kita akan dapat melihat tipe-tipe window sesuai dengan spesifikasi yang kita inginkan.
Gambar 6,15 Tampilan wintool MATLAB
Bab 6:
Filter Digital:
FIR
203
Selanjutnya kita juga akan mencoba mencari panjang filter Kaiser dengan menggunakan program yang ditunjukkan sebagai berikut.
? Program 6. 1
B Menentukan parameter beta
? dan panjang fj_Iter Kaiser ripple = input(rMasukkan rippTe passband (dB) - '). atenuasi = input ('Masukkan atenuasi stopband (de1 = 1 , de1ta_f : input(tMasukkan del_ta f (normalj.sasi) = r).' s i-gma_p = ( 10 ^ ( ripp je / 20) ) -t ; sigma_s = 10^ (-atenuasi,/20); sigma = min (sigma_p, sigma_s) ; A : -20*1o910 (sigma) ; ifA<:21 beta : 0; elseif A>21 & A<50 beta = (0.5842* (A-21) ^0.4)+(0.07886* (A-21) ) ; eI se
beta : 0.1102* (A-8.7);
end
if A > 21 N = ceil, ( ( (A-7 .951 / (t4.36*de1ra f) else N : ceil I (0.9222/detra f) +1) ;
)
+1) ;
end
if
(N,21:=9 N : N+1;
mod
el-se
N:N;
end
disp ('Parameter beta : ') ;di_sp (beta) disp('Panjang f11ter = ');disp(N) Anda dapat memeriksa program tersebut dengan mengerjakan ulang contoh 6.3. Selanjutnya kita akan mencoba membuat program untuk mengerjakan contoh 6.2, yaiu mencari koefisien fiter lowpass dengan window Hamming, sebagai berikut.
E Program 6.2
t Menentukan koefisj_en filter
Towpass
dengan window Hamming f = input('Masukkan frekuensi batas passband (normalisasi) : ,1. del-ta_f : input('Masukkan delta f (normalisasi) = r;. %
f1 : f + 0.5*de1ta f,. %Mencari panjang fil-ter N = ceil(3.3,/de]ta f),. if mod (N, 2; :=6 N = N+1;
else
N:N;
end
n = 0:N-1; h_D = 2*f 1*sinc (2*fl .*n\ ; w = 0.54+0.45*cos (2/N*pi. *n)
;
2U
Dos;ar Pengolohan Sirryol Dig;ttal
h = h_D.*w; disp(rKoefisien filter =') ;disp(h) Pada dasarnya,
MATLAB mempunyai fungsi-ftngsi t&usus yang dapat menghasilkan koefisien-
koefisien window. Fungsi-fungsi tprsebut adalah sebagai,5srikul'
w w w w
= blackman (N) = hamming (N) = hanning (N) = kai.ser(N,beta)
Perlu diketahui bahwa fungsi-fungsi tersebut ocngfusilkan koefisien-koefisien untuk panjang window N ganjil dan terdefinisi mulai dari *(N -1)l2s fV < (N -1)12 Untuk melakukan plot fiekuensi, dapat menggunakan p€rintah [H, omega]
= freqz (h,1, sampel)
Berikut contoh program untuk menghitung koefisi€n filter lowpass dengan window Kaiser untuk contoh 6.4.
B Program 5.3
I Menentukan koefisien fi-lter JowTrass * dengan window Kaiser f = inpuE('Masukkan frekuensi batas pa.ssband (normalisasi; = t1' delta_f = input('Masukkan delta f (normalisasi) = r)' atenuasi = input(rMasukkan atenuasi stol>band (dB) = '1' sigma_s = 10^ (-atenuasi/20); A = -20*1o910 (sigma_s); f1=f+O.S*delta_f; EMencari panjang filter ifA<=21 beta = 0,' elseif A>21 & A<50 bera = (0.5842* (A-21) ^0.4) + (0.0?886* (A-21) ) ; '
else
beta = 0.1102* (A-8.7)
;
end
ifA>21 N = ceil( ( (A-7.95) / (14.36*delra_f) )+1); else N = ceil ( (0.9222/delta_f ) +1) ,' end
if
mod (Nr 2) ==0
else
N = N+1;
N=N;
end
n = - (N-1) /2 t (N-LI /2; h_D = 2*f1*sinc (2*f],. *n) ; w = kaiser(Nrbeta); h = h_D.*wr; disp ('Koefisien filter = ') ;disp lH,omegal = freqz(h,L,5L2) i
(h)
r&brd: Filter Digital:'FlR
205
: 20*1o910 (abs (H) ) ; plot (omega/pi,mag) xlabel (' frekuensl normalisasi' yIabeI ('gain, dB' )
mag
)
Fungsi lain yang dapat digunakan untuk menghitung koefisien filter FIR adalah
I
,b: b= b= b=
firl(L-1,Wn) firl (L-1,Wn,rtipe_filter') firl (L-1.Wn, windowl firl (L-1,Wn,'tipe_filter' ,windowl
0 dan 1, dengan I berkaitan dengan frekuensi Nyquist. Parameter 'tipe_filter' dapat diisi 'low', 'high', atau 'stop' untuk filter lowpass, highpass, dan bandstop berturut-turut. Jika tidak didefinisikan maka dianggap filter lowpass. Parameter Wn dapat bernilai antara
Untuk menghitung koefisien filter dengan menggunakan metode optimal, atau sering juga disebut sebagai algoritma Parks-McClellan dapat digunakan fungsi
b = remez(N-1,f,m) b = remez (N-1, frm, wt) adalah vektor frekuensi-frekuensi batas yang bemilai antara 0 dan I di mana I berkaitan dengan frekuensi Nyquist, m adalah vektor magnitudo, dan wt adalah vektor bobot relatif antar ripple pada pita-pita frekuensi. Parameter
f
Sebagai contoh diberikan spesifikasi filter passbandsebagai berikut
passband lebar transisi panjang filter frekuensi
sampling
1000
1500 Hz
500 Hz
4l 10000 Hz
Pita-pita frekuensinya adalah 0
(stopband).
-
-
500 kIz (stopband), 1000
-
Nilai 5000 Hz didapat karena merupakan setengah kali
-
5000 Hz fi'ekuensi Nyquist (frekuensi
1500 Hz Qsassband), dan 2000
sampling). Dengan menormalisasi frekuensi-frekuensi batas terhadap frekuensi maksimum didapat
0/5000:0 500/5000:0,1 1000/5000:0,2 1500/5000:0,3 2000/5000:0,4 5000/5000 = 1 sehingga f = [0 0.1 0.2 0.3 0.4 1). Magnitudopassband diberikan sebagai I sehingga menghasilkan m = [0 0 1 1 0 01. Berikut adalah program untuk mencari koefisien filter FIR dengan metode optimal.
n6
Da*r * Program 6.4 t Menentukan koefisien filter t dengan metode optimal fs = input ('Masukkan frekuensi sampling N = input('Masukkan panjang filter = ')i m = input('Masukkan vektor magnitudo * r),. f = input('Masukkan vektor frekuensi = '); b = remez (N-1, frm); lH, frekl = freqz (b,1,512, fs); mag = 20*Logl0 (abs (H) ); plot ( frek, mag) xlabel ( 'frekuensi' ) y1abe1 ( 'gain, dB')
I
)
Pengotohon Sinyal'Di gi tol
i
Hasilnya tampak pada Gambar 6.16.
-30
dl
E
s' '6
40
A
I
o,
-50
I
l
l I
I
I
l
ll
60iI
-70
I
1000 1500 No
25m $00
3500
4500
50()0
trdruensi
Gambar 6.16 Contoh plot responsfrelatercifilter bandpass untuk Program 6.4
Bob 6: Filter Digital: FIR
207
Untuk mencari koefisien filter dengan metode frekuensi sampling, dapat menggunakan
b = fir2(N-1,f,
H)
dengan f adalah vektor frekuensi normalisasi dengan rentang antaru 0 dan
l,
dengan normalisasi terhadap
setengah dari frekuensi sampling seperti dijelaskan sebelumnya dan H adalah vektor magnitudo pada
titik
yang didefinisikan oleh f. Sebagai contoh diberikan filter dengan panjang 15 sebagai berikut
lalt;l= r
k =0,1,2,3
=0,5571 k=4 =0,0841 k=5 k=6,7 -0 Diasumsikan frekuensi sampling adalah
Zktlz.
Titik-titik frekuensi yang dinormalisasi adalah f = [0 117 217 3n adalah g = [1 1 1 1 0,5571 0,0841 0 0]. Berikut adalah prograrnnya. %
Program 6.5
B Menentukan koefisien fil-ter % dengan metode frekuensi sampJ-ing
fs = input('Masukkan frekuensi sampling = '1; N : input(rMasukkan panjang filter :'); H = input ('Masukkan vektor magnitudo = I ) f : input ('Masukkan vektor frekuensi = ') ; b : fir2 (N-1,f ,H) ; lH1, frekl = freqz (b,1,512, fs); ,.
= 20*1o910 (abs (H1) ) ,' plot ( frek, mag) xlabel (rfrekuensi I ) ylabeI ( 'gain, dB' ) mag
Gambar 6.17 menunjukkan hasilnya.
4fi 5n 6ff 1]. Magnitudonya
208
Dasar Pengolahon Sinyol Digitol
I
0
100
200
300
400 5m lrskffii
@
7m
8m 9@
r(m
Gambar 6.17 Contoh plot respons frekuensiJilter lowpass untuk Program 6.5
SOAL.SOAL
l. 2. 3. 4. 5. 6.
7.
Tentukan 5 koefisien pertama filter FIR lowpass dengan spesifikasi: atenuasi stopband 50 dB, frekuensi batas passband 3,4 kHz, lebar transisi 0,6 kllz, dan frekuensi sampling 8 kHz. Tentukan jenis window yangAnda gunakan, mengapa memilih jenis window tersebut? Suatu filter FIR lowpass didesain untuk memenuhi spesifikasi: atenuasi stopband > 40 dB, frekuensi batas passband 100 Hz, ripple passband < 0,05 dB, lebar tuansisi l0 Hz, dan frekuensi sampling 1024Hz Hitunglah 5 koefisien pertama dari filter tersebut. Tentukan koefisien filter FIR highpass dari soal no. I dan 2 dengan menggunakan transformasi frekuensi. Tentukanjuga frekuensi batas highpass yang bersesuaian. Hitunglah koefisien filter FIR highpass dari soal no. I dan 2 dengan menggunakan metode windowing, optimal, atau frekuensi sampling. Bandingkan hasilnya dengan jawaban no. 3. Hitung ulang koefisien filter pada contoh 6.5 jika menggunakan N = 17 dan N= 16. Suatu filter FIP. bandpass, fasa linear mempunyai spesifikasi'. passband 8
- l2kllz, ripple stopband
0,001, ripple passband 0,01, frekuensi sampling 48 kJlz, dan lebar transisi 3 kHz. Hitunglah 5 koefisien pertama filter tersebut dengan menggunakan window Hamming, Kaiser, metode optimal, dan metode frekuensi sampling. Bandingkan hasilnya. Dengan menggunakan metode frekuensi sampling, diberikan
Bob
6: Filter Digital:
FIR
la(t)l =!, k =o =0, k =lr2r3 Tentukan keempat koefisien filter.
8.
Tentukan 5 koefisien pertama filter FIR bandpass dengan spesifikasi: passband 12-16 kHz, lebar transisi 3 1r}Jz, frekuensi sampling 96 kJlz, ripple passband 0,01 dB, dan atenuasi stopband 80 dB.
BAB
n/
Filter Digitul: IIR
PENDAHULUAN
7,1
etelah kita mempelajari merancang filter FIR, sekarang tibalah saatnya untuk mempelajari mengenai filter inJinite impulse responsse (IIR). Filter ini dikarakterisasi oleh persamaan rekursif sebagai berikut: oiy'M
tlnl=lnpc)xln-
kl
t=0
dengan
ar
ft[/r]
adalah respons impuls
adalahkoefisien filter, serta
xlnl
=
- kl-Zrrfln lurxln k=0 &=l
rcl
filter yang secara teori mempunyai panjang tak terhingga, aan
llnl
(7.1)
br
dan
adalahmasukan dan keluaran filter.
Dalam domain z, fungsi alih filter IIR dapat dituliskan sebagai
rt t _\ _
--
\-"
brz-* _ Zbr'-r t=0 M l+arz-t +...+ orz-u l+laoz-k
bo +
brz-t +.. .+
(1.2)
i=l yang dapat difaktorkan sebagai
(7.3)
Dasor Pengolahan Sinyal Digital
212
p1,P2,...,p* adalahpote H(z). Dari persamaan (7'3) perlu filter stabil nilai-nilai pole harus berada di dalam lingkaran berjari-jari l" oleh
dengan 21>22>...,2* adalah zero dan
diingat bahwa supaya tersebut tidak terpenuhi. Selain itu, karena karena itu, filter IIR mungkin saja tidak stabil apabila kriteria filter tIR bersifat rekursif maka terdapat umpan bahk (feedbocfr). seperti pada persamaan (7.1) maka jumlah koefisien filter IIR lebih sedikit dibandingkan filter FIR. yaitu penempatan Ada empat metode yang biasa digunakan untuk menentukan koefisien filter IIR, pole-zero, impulse invarianl, matched Z+ransform, dan bilineat Z-transform'
7.2
METODE PENEMPATAN POL$ZERO
nilai Metode ini memanfaatkan sifat da:ri zero dan pole. Respons frekuensi fiiter akan mempunyai terdapat pole, nol pada titik di rnana zero terletak dan tak terhingga (nilai puncak) pada titik di mana berjari-jari 1 akan semakin seperti ditunjukkan pada Gamb ar 7 .1. Pole yang semakin dekat ke lingkaran akan semakin membuat nilai peak semakin tinggi, sedangkan zero yang semakin dekat ke lingkaran membuat nilai impuls frekuensi minimum'
d =90o
*.E
0=0 tl
oFrFr34 424 6 =270o o
34 4
Gambar 7.1 Efek zero-pole pada respons frekuensi Dalam metode ini ada kaitan antara sudut (posisi peletakan zero atat pole) detgan frekuensi. filter harus riil Hubungan tersebut sederhana mengikuti perbandingan linier. Ingat bahwa koefisien penuh 360o bersesuaian sehingga zero atau poleharus riil atau kompleks konjugat. Jika satu putaran dengan frekuensi normalisasi 1, maka
g
=+!-x360" F,
(7.4)
Bob
7: Filter Digital: llR
213
Contoh 7.1 Suatu filter IIR bandpass akan dirancang dengan spesifikasi: stopband pada dc dan 250 Hz, pusat passband adalah 125 Hz, dan bcmdwidth 3-dR nya adalah l0 IIz. Frekuensi sampling diasumsikan 500 Hz. Sesuai dengan spesifikasi maka pada dc (0 Hz) dan 250 Hz harus ditempatkan zero.
Zero akan
diletakkan tepat pada lingkaran. Sudut yang bersesuaian dengan frekuensi tersebut adalah 0 g
=491360o = 1.80" . Pada frekuensi
=A
dan
125 Hz harus ditempatkan pale,yangbersesuaian dengan sudut
s00
0
= i_l25 ,360o 500
= +90o.
Sekarang saatnya menentukan jarak pole ke lingkaran
(ari-jari), dengan mengganggap r > 4,9
maka dapat menggunakan rumus
r=l*(BWlF,)n Oleh karena itu, jari-jari pole adalah
(7.5)
r=t-(10/500)z =0,9372.
Cambar zero-pole untuk hasil
perhitungan tersebut dapat dilihat pada Gambar 7.2.
0 = l80o
I o,erz t|,
\
0=O
fo'e,,,
Gambar 7.2 Zero - pole untuk contoh 7.2
i,,*tttt]K L:,j
I ,-', BsA'.o PsJS'.':1"':eco | { *n t: ' ' -r.': :.:r I
I
P".,;,'.:
I
Dosar Pengolohan Sinyal Digitol
214
Fungsi al ih unrr.rk filter ini adalah (lihat persamaan (7.3))
H(z)= =
l:L k:r)(z+r) = +0,87834384 (z - i0,9372)(z iA,%72) +
z2
l- z-2 1+ 0,878343842-2
Dengan melakukan invers transformasi
tfnl=
-0,878343
Z didapatkan
sayln- 2]* r[r] - xln -21
Jika dibandingkan dengan persamaan (7.1) rnaka dihasilkan bo
=l
br =
0
bz =
-l
ot =
0
a2
=0,87834384
r Contoh 7.2 Kita akan merancang suatu filter notch, yaitu suatu jenis filter yang tidak melewatkan satu frekuensi saja. Dalam hal ini frekuensi notch (yang tidak dilewatkan) adalah 50 Hz, lebar notch 3-dB (transisi) t5 Hz , dan frekuensi sampling 500 Hz.
Untuk menahan frekuensi pada 50 Hz maka pada pada frekuensi tersebut diletakkan zero yang bersesuaian dengan sudut d =
Karena
fiter
*
=5L " 500
360o =
t36o
yang be{ari-jari satu.
notch menahan satu frekuensi saja, dalam contoh ini adalah 50 Hz maka frekuensi di sekitar
50 Hz akan dilewatkan. Pole juga akan diletakkan pada posisi sudut yang sama dengan zero, narnur. dengan jari-jari yang berbeda, yaitu dengan menggunakan persamaan (7.5) sehingga didapatkan
r=l-(101500)a =0,9372.
Bandwidth untuk filter ini adalah
l0 Hz karena transisi filter
diketahui
merentang sebesar t5 Hz dari frekuensi notch. Gambar plot zero-pole dan respons magnitudo frekuensinya ditunjukkan pada Gambar 7.3.
tub 7: Fllter Digital:
ttR
215
Pld sero-polo
0,9372
-0.s
0
05
R!rl
(a) 10
Rcrlon m gnludo tratuanrl
0
10
€
,F
I
-,a0
-50
€0
(b)
Gambar 7.3 (a) Plot zero-pole (b) respons magnitudofrekuensi contoh 7.2
216
Dosor Pengolohon Sinyal Digitot
Duiplot zero-pole
\' t "rt(.\-
dapat dibentuk fungsi alihnya
, - u''*' 11, - ,"u ) (z -0,937)s-its")(z -0,9312uttu") (
+l l-1,,6182-t + z-2 +0,8784 l*1,51642-t +0,87842-2
zz -l,618z
z'
-1,51642
Dengan melakukan invers kansformasi Z, didapatkan
tlnl =x [n] - t, o t 8x [n - l] + xln - 2)+ r, 5 164yln - t] - o, rz 8a y[n - 2) sehingga diperoleh koefi sien-koefi sien bo =1
4 = -1,6180
at = -1,5164
az = 0,8783
bz =1
3
7.3
METODE IIIPULSE INUARIANT
Metode ini dimulai dengan menggunakan fungsi alih filter analog, yang dinyatakan dalam domain s (transformasi Laplace), yaitu.F(s). Kemudian didapatkan respons impuls filter dalam domain waktu, lz (r) dengan melakukan invers transformasi Laplace. Untuk mendiskritkan respons impuls tersebut, dilakukan
sampling dengan periode I sehingga menghasilkan h [nTl.Kemudian koefisien-koefisien filter yang diinginkan didapatkan dengan melakukan transformasi Z dari fungsi impuls diskrit tersebut, yaitu H(z\. Secara keseluruhan proses tersebut dapat digambarkan sebagai:
I/
(s)
--s:+ a (r)--ret-, nlnrl--z-+
ru
(r)
Misalkan fungsi alih suatu filter analog diberikan sebagai
H(s)=
(7.6)
s-p
Maka respons impuls domain waktu dapat dilakukan dengan invers tranformasi Laplace sebagai berikut
h(t) = r,
ln(,)l = r'
[*]
= ceP,
(7.7',)
Bob
7: Filter Digitol: llR
217
Dengan melakukan s ampling persamaan (7. 7), didapatkan sebagai berikut
nfnr)= h(t)|,*, Langkah terakhir adalah melakukan transformas i
z '
n=o
(7.8)
= CeP'r
sebagai berikut
=iceo,rz-n n=o
=-S:t- e'T z-l
(7.e)
Sehingga secilra umum, dari awal sampai dengan akhir, dapat ditulis
CC ,-p Jika
H(s)
r-77
(7'lo)
diberikan lebih kompleks dalam bentuk
rr(r)
C =f co s-pu F_rs_pt
C, +...+ =-9-,-+ s-pr s-pz
(7. I
l)
Maka sesuai persamaan (7.10) dihasilkan
$ c-pr =$ i'"tk=r s
Dalam hal
M =2,kitadapat
co= sPrr
(7.12)
,-l
membuat suatu formula yang lebih sederhana
C, *Cr C, - C, s - pt s - pz l- eo,r z-t | - eorr z-r _ cr+cr-(creo,'+creo'')2, -(ro,' * rnr)z 4, rb,*c,)r ,-z
Q,l3')
1
Iika pole
p,
dan
p,
adalah kompleks konjugat maka koefisien
C,
dan
C, juga kompleks
konjugat
sehingga persitmaan (7.13) dapat ditulis
ct_ * ci _TLtrcos
fi7-;;,l7= dengan
C,
dan
adalah bagian
C,
riil
adalah bagian
dan imajiner dari
riil
p,
dan imajiner dari
berturut-turut.
(r,r) + e sin (p, T))2er,r z-l Q.14)
C, berturut-turut
dan demikian
juga
p,
dan
p,
218
Dasar Pengolahon Sinyol Digitol
Contoh 7.3 Jika diberikan tungsi alih filter analog
g(r)=
dan frekuensi cut-off3 dB 150 Hz, serta
*#;
frekuensi sampling 1,28 kHz. Fungsi alih tersebut dinormalisasi dengan mengganti s dengan dengan ao
=2rf o =2rix150
H'(r) = H(r)1"*1,,
=
Cr=-j666,4324
dan
= 942,4778, sehingga
;;fi;
Dengan pr = -666,4324t-
4
j666,4324
Cr-
s=sf ao
=
dan
*. * p, = pi = -666,4324* j666,4324
C, = j666,4324
C,=0, C,=-666,4324, p,T=666,4324(f/fZSO) =0,5207, p,T=-666,4324(t/tZaO) =-0,5207 eP'' -e'4's207 =0,5941 , e'0,' -er'Mr4 =0,3530, sin(r,I) = sin(0,5207) = 0,4974 , dan cos(r;?') = cos(0,5207) = 0,8675 , dengan menggunakan
Dengan demikian didapatkan
persamaan (7.14) maka
n t -\ _ -l-ee0,4324x0,4974)2x0,59412*t _ n\z)= =6 Dengan melakukan normalisasi maka
tt t _\ _ rt\L)-@
Hasil tersebut @o
=2n
393,g6g7 z-l
H (z) dibagi dengan frekuensi sampling-nya, menjadi
0,3077 z-l
di
atas dapat juga dilakukan dengan menggunakan normalisasi pada ato, yaitu
x 150/1280
=0,7363
Persamaan perbedaan
.
dari fungsi alih tersebut dapat dilakukan dengan melakukan
transformasi Z, yaitu
!ln)=
0,3077
xln-
1]
+ L 030
tyln -t)-
0,3530y
[
" -2)
invers
fub7: Filter Digital:
llR
219
Dengan demikian, koefi sien-koefisiennya adalah Do
br = 0,3077
=0
dr = -1,0308
a2 =
0,3530
r Beberapa hal yang perlu diperiratikan pada metode ini: 1
.
Respons impuls filter diskrit
nlnfl
sama dengan respons impuls filter analog
h(t) pada t = nT ,
dengan n = 0,1,... . (Lihat Gambar 7.4). Oleh karena itu rnetode ini disebut impulse invariant.
2.
Frekuensi sampling mempengaruhi respons frekuensi {ilter diskrit. Frekuensi sampling harus dipilih sedemikian sehingga respons diskritnya dapat mewakili respons analognya.
3.
Spekhum frekuensi filter impulse invoriant sama dengan spektrum frekuensi filter analog, tetapi spektnrm ini akan berulang seiringga akan menimbulkan o/iasirg (lihat Gambar 7.5). Karena itu, metode
ini cocok digunakan untuk filter lotvpass dengan cublf yang tajam dan frekuensi sampling
yang tinggi. Namun, metode ini kurang cocok digunakan untuk filter highpass atan bandstop. kecuali fJ/rter ant
i-
al ias in g digunakan.
Gambar 7.a (d respons filter analog (b) respons Jilter diskrit
Dasar Pengolahan Sinyal Digitol
220
aliasing
Gambar 7.5 (a) spektrumfilter analog (b) spektrumfilter dislvit
7.4
METODE uIATaHEDZ'TRANSFORM Metode ini mengubah fungsi alih filter analog,
@n)
rr(r)
menjadi fungsi alih filter diskrit
u(,)
z, yait.t dengan cara memet akan pole dan zero di bidang s ke bidang
(r-")-(ldengan
T
rarr-t)
adalah periode sampling. Dengan demikian
tz'tsl
titik yang terletak pada s = a dipetakan ke
z=eo' Jika diberikan fungsi alih filter analog M
H(s)=
(s
II('-',)
- z,)(s - z,). ..(s - z,) - -te-r\/
(r-p,Xr-p,)...("-p,)
(7.t6)
II(' - pr) k=t
maka pemetaannya adalah
(r-rr)-(r -r'r'r-')
(7.t7)
- (r- ,or'r-')
(7"18)
(r-po)
Bob
7: Filter Digitol: llR
Dalam hal
M=N=2
221
maka dapat dibuat suatu bentuk yang lebih sederhana
1=ll=)
* r-, n ,k,+,2)r ,'z _i: (u',, :,,, .)
f'-ftFD"--;G\W Jika pole
dam zeraadalah
.-*
kompleks konjugat, pz =
(, -
,,
z,
dan
dan
zr= zr maka
)(t - ,r) . t -Ze"r cos(z,T) - r,J r -
z-t
*
- 2u"1** r\
Frn, dengan
pi
z, adalahbagian riil
dan imajiner dari
(1.te)
,22'r
,-2
Ae
(7.20)
z, berturut-turutoan p, dan p, adalahbagian riil
dan imajiner dari p1 berturut-turut. Secara umum, untuk fungsi alih filter analog orde 2
r/(s) -\-'' =
-C{' A - Ao + A's + A's?(r-p,)(r-pr) Bo+B,s+Brsz ('
(7,2t)
nilai pole dan zero nya dapat dicari dengan menggunakan
B, l( Ptz=-28,-lli ',_)'_&l'" ) B,
(7.22)
A, ,.^=_ "t2- *[[:r']' _61'''
(7.23)
-l
I
2A2-llz+) +)
Contoh 7.4
Kita akan mengerjakan ulang contoh 7.3 dengan menggunakan metode MZT. Sesuai dengan parameter2
parameter yang didapatkan pada contoh 7.3, diperoleh
H'(r) \ '/=---:b--
s' + Jlaos + alo
sehingga
pr=-666,4324+ j666,4324. Pada bagian pembilang tidak terdapat variabel s sehingga
tidak
dipetakan, yang dipetakan hanya bagian penyebut saja. Sehingga dihasilkan
tt (r)= \/
, atau setelah normalisa si H (z) = ,1-1,03082-' , ,111'10:T'j_ +0,35302-'-,
693,9566 1
- 1, 03082-t
+ 0,35302-2
Dasor Pengolohon Sinyal Digital
222
T Hal-hal yang pcrlu diperhatikan daiam MZT:
l. 2.
Metode ini berdasarkan zero dan pole sehingga sangat mudali digunakan. Jika membandingkan metode ini dengan metode impulse invariant maka penyebutnya sarfla, yang
3.
ditunjukkan oleh persamaan (7.19) dan (7'13)' Pada tilter digital pita frekuensinya terdapat mulai dari 0 sampai frekuensi Nyquist nya (setengah frekuensi sampling), sedangkan pada filter analog pita frekuensinya terdapat mulai dari nol sampai
tak berhingga. Metode ini melakukan kompresi pada pita frekuesi tak terbatas menjadi terbatas sehingga terjadi distorsi.
4.
Respons filter digital dengan metode ini akan terdistorsi akibat aliasing jika filter analog mempunyai
5.
pole pada frekuensi dekat frekuensi Nyquist atau zero pada frekuensi di atas frekuensi Nyquist. Namun respons filter analog untuk frekuensi di atas frekuensi sompling masih signifikan. Metode ini tidak cocok digunakan untuk filter analog yang fungsi alihnya hanya mempwryai pole saja karena tidak ada zero di atas frekuensi Nyquist, Hal ini dapat di atasi dengan menambahkanzero
pada z
7.5
=I
(padafrekuensiNyquist).
METODE BIUNARZ-TRANSFORIT @Zr)
Metode ini juga menggunakan respons frekuensi filter analog untuk menentukan koefisien filter digital yang bersesuaian. Sehingga metode menentukan koefisien filter digital IIR dengan menggunakan respons frekuensi analognya ada tiga metode : impulse invariant, MZT, BZT . Operasi-operasi yang terdapat pada filter analog adalah penjumlahan, perkalian dengan konstanta, dan integrasi. Operasi-operasi tersebut biasanya dilakukan dengan divais operational amplifier (op-amp).
Dalam filter digital kita harus melakukan transformasi untuk fungsi-fungsi tersebut. Namun, untuk penjumlahan dan perkalian dengan konstanta tidak terjadi perubahan baik dalam filter analog maupun filter digital. Yang terjadi perubahan adalah pada integrasi. Operasi integral dalam domain s dilambangkan dengan 11(r) = 1/s. Dalam domain waktu dapat operasi ini dapat ditulis sebagai
v(t)
=
(7.24)
lx(t)at
Jika ingin mengubah ke dalam bentuk diskrit maka perlu dilakukan sampling, sebagai berikut nT
tlnr)-- yl@- t)r]
+
I
x(t)dt
(7.2s)
(z-t)r
Dengan mengingat bahwa integral terbatas secara geometri adalah luas daerah persamaan (7.25) dapat diaproksimasi menjadi
di
bawah grafik,
Bob
7: Filter Digitol: llR
223
flnrl= yl@- r)r] *r{.L,rl+
x
[(n - r) r]]
(7.26)
atau lebih sederhana dapat ditulis
flnl= yln -t1*l{.1"1 + , [n - r]]
(7,27)
Dengan melakukan transfonnas i Z pada kedua ruas, didapatkan Y
(z) = Y (z) z-'\
*t r A*L x (i),''
(7.28)
atau
a(,)=ffi=rr(#)
(7.2e)
sehingga dapat ditulis
I T(r+r-'')
;-;[
r;.1
(7.30)
atau
z(t-r'.t
2(
z-t\
(7.31)
'-7[,*r-' )=flr.t) Dengan demikian, metode ini menyubstitusi variabel s menjadi
- z-l s-k_
(7.32)
z+7
dengan k
=l
atau
k
Kita akan melihat nanti mengapa konstan ta k, dapatbemilai 1. Persamaan =1. T
(7,24) memetakan bidang s ke bidang z seperti ditunjukkan pada Gambar 7.6. Suatu fungsi alih filter analog yang stabil mempunyai pole di sebelah kiri sumbu imajiner bidang s yang bersesuaian dengan berada di dalam lingkaran berjari-jari satu dalam bidang z.Hal tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut. Persamaan (7.32) dapat
dengan
k=r
ditulis
, = l-|j.
l-s
maka didapatkan
Jika kita menyubstitusi s = o +
jot'pada
,= 1*' =l+\o+ iro',!=\!-*o!* i,''.. l-s l-(o+iar) (t-o)ij6'l'
persamaan tersebut,
Dengan demikian, -
224
Dosar Pengolahan Sinyol Digitat
magnitudo dapat ditulis sebagai maka lzl >
l.
(t+o)'*(r')' lzl=
(r-o)'*(r')'
.Ketika
o<0 maka lzl<1 danketika a>0
Hal ini ditunjukkan pada Gambar 7.6,
lm, dJ'
bidangs
bidangz
Gambar 7.6 Pemetaan bidang s ke bidang z Substitusi langsung persamaan (7.32) mungkin menghasilkan respons yang tidak baik sehingga
perlu adanya transformasi frekuensi analog dan digital. Jika menjadi
t
= j@' yang bersesuaian dengan
lrl=t
atau z =
ei'
s=o* jat'
maka ketika
o=0,
akan
. Berdasarkan persamaan (7 .32) maka
tub 7: Filter Digital: llR
S=f--
225
z-l ztL , ej'-l
"lO)'= K---:et'+l -1.
iri'l'
,- 2 r
Zei'12
(ei,l,
+
. (ot\ \2)
srnl
=kj
(ei'lz - e-
i'tz)L
"-,,,r)f,.
|
;B
sehingga hubungan antara frekuensi analog dan digital diberikan oleh
(t)'=k"r(;) Dengan k
=l
atau
*
a' =?. T.
(7.33)
adalah frekuensi analog,
periode sampling. Dari persamaan (7,33)
a
adalah frekuensi digital, dan
jika ot' >0 maka 0
dan ketika
I
adalah
ar'>0
maka
l80o < o <360o. Dengan demikian bagian atas bidang s dipetakan menjadi setengah lingkaran atas pada bidang z, begitu juga bagian bawah bidang s dipetakan menjadi setengah lingkaran bawah pada bidang z. Lihat Gambar 7.6. Transformasi tersebut ditunjukkan pada Gambar 7.7. Gambar tersebut menunjukkan bahwa untuk frekuensi rendah franformasi digital dan analog hampir sama, namun untuk frekuensi tinggi akan terjadi distorsi/wa4ping. Karena itu, biasanya frekuensi analog dilakukan suatu proses yang disebut prewarp sebelum dilakukan BZT. Untuk flJter lowpass, frekuensi batasnya
(cutffi
dilakukan prewarp dengan
menggunakan rumus
do=k-[?) dengan
a,
adalah frekuensi batas yang diinginkan,
t =?, dan ?'adalahperiode sampling. T.
olo
adalah frekuensi batas prewarp,
(7.34)
k
=l
atau
Danr Pengolahan Sinya| Digitat
226
ktan(a/z)
ao
o o (u
Ll nn
dijmar
Gambar 7,7 Hubungan antarafrekuensi digital dan analog Secara umum langkah-langkah metod e BZT adalah:
l.
Gunakan spesifikasi
2.
dinormalisasi. Filter yang dijadikan referensi selalu filter lowpass. Jenis-jenis filter lainnya dapat dicari dengan menggunakan transformasi pada filter lowpass. Tentukan frekuensi prewarp dari frekuensi-frekuensi batas. Unfuk filter bandpass dan bandstop
filter digital untuk
menentukan
filter prototipe analog lowpass
yang
terdapat dua frekuensi batas, yaitu @or dan @oz. 3.
Denormalisasi fi lter prototipe analog dengan menggunakan transformasi s=
s
s
-;0o
lowpass ke lowpass
(7.3s)
lowpass ke highpass
(7.36)
_--r- lowpass ke bandpass -- Ws
(7.37)
a - ---{s
s=
s'
+ a'^
s= ,Vl/s , s- +@0 dengan cto = airroir2 dan L/' =
4.
aior-air,
aJl \z+l)
Gunakan transformasi s = k f
lowpasskebandstop
untuk mendapatkan fungsi alih filter digital.
(7.38)
&ab
7: Filter Digital: llR
5.
Nilai
t
sebenarnya tidak berpengaruh, karena pada dasan,ya akan habis akibat pembagian.
Sebagai contolt
nya adalah
,,
jika diberikan =,t
H'(") = //(r)|,=,f
-
, = o( '"(z4)
+r)
H(s)=+
s+l
dengan frekuensi cutoff
at,
makafrekuensi prewarp-
tun[?) *n*rga tungsi alihnya berubah menjadi d, =
Langkah selanjutnya mengubah
Wft$U.
--""''
sehirggu menghasilka "--"n H '^
z) \-/ (
menjadi
ltt (,-r)le+t))l t( an(ro,lz)+t'
Dengan demikian nilai ft tidak berpengaruh dan untuk menyederhanakan kita ambil lr =
6.
s
I
.
Dilihat dari langkahJangkah sebelumnya maka kita harus melakukan dua kali substitusi, untuk menyederhanakan dapat dilakukan satu
kali substitusi yaitu
dengan
,-
"rr(+)#.
,.r,.
diperhatikan bahwa substitusi ini berlaku hanya vntuk lowpass ke lowpass. 7
.
Untuk filter lowpass dan highpass, orde H bandpass dan bandstop, orde
(z)
akan sama dengan orde ^F1(s), namun untuk filter
H (z) akan dua kali orde ^H(s).
Contoh 7.5
Kita akan mengerjakan ulang contoh 7.3 dengan menggunakan metode BZT. Kita telah mengetahui frekuensi batasnya sebagai ao =2trfo =27tx150 = 942 rad/s, frekuensi batas normalisasi adalah ato=9421L280=0,7359, dan T =UF,=ll2gO=0,00078125 adalah oi,
=tan(ar12)=0,3855.
s
sehingga frekuensi prewarpnya
Ingat sudut dalam tan adalah dalam radian.
Karena ingin didesain filter lowpass maka perlu transformasi seperti persamaan (7.35), yaitu
228
Dasar PenEalahon Sinyol Digital
Langkah terakhir adalah menyrbstitusi persamaan t7.32) sehingga menjadi
n (r)= n'(r)1,=
e-r)le+r) =
ffi I
Melihat dari langkah-langkah pengerjaan pada contoh 7.5 kita mernerlukan normalisasi frekuensi sebelum mencari frekuensiprer,r,qrp nya. Kedua langkah tersebut dapat digabung menjadi satu sebagai
(atT\ . 0 =ktanl P I
'
(2)
e3g)
(r)=
dengan tiekuensi sampling i50 Hz dan
Contoh 7.6 Fungsi alih filter analog lowpassdiberikan sebagai H
s+l ' +
frekuensi cutoff 30 Hz. Kita ingin rnendesain filter digital IIP. highpass dengan spesifikasi tersebut.
Kita mencari frekuensi dalam radian yaitu ato=21Tx30=60r. Frekuensi prewarp dan normalisasi dapat dicari dengan persamaan (7.39)
.
( ooax(t/tso\) ao = tanl ---+r-----r F 0,7261
\z)
Langkah selanjutnya adalah melakukan transformasi dengan persamaan (7.36)
H'(") = H(r)|,=,;
l, =,
*fi^1
Langkah terakhir adalah melakukan substitusi
,
='-l z+l
(r-t)l(-!_ z-l H(z\_ =0.57e3 \ , (z -t)lp +l)+0,7261 z -0,1587
tub 7: Filter Digitot:
7.6
229
ltR
FILTER ANALOG
Fungsi-ftingsi alih filter analog pada contoh-contoh sebelumnya telah ditentukan. Sekarang kita akan menentukan sendiri fungsi alih filter analognya dan kemudian mengubah menjadi filter digital IIR dengan metode BZT. Tiga jenis filter analog yang biasa digunakan adalah Butterworth, Chebyshev, dan Elliptic. Respons frekuensi dari ketiga jenis filter tersebut tampak pada Gambar 7"8' l-".
F
.
\l
t.iot11
I I
F i I
1
(a)
la
Uat)l
1
I
J+e' I
7 @p
GJs
(b)
Gambar 7.8 Respons frekuensi filter analog (a) Butterworth, (b) Chebyshev tipe I,(c) Chebyshev tipe II, (d) Elliptic
Dasar Pengolahan SinYal Digital
2i0 lr(ia,)l
I I rJl +
-
e'
I A
lst.rrll 1
I
r/l+e'
-
I A
@p
o)s
f
(d)
Gambar 7'8 Laniutan mempwryai ripple (atat sangat kecil) baik di Tampak dari Gambar 7.g filter Butterworth tidak
passbandmaupunstopbancl.FilterChebyshevdibagimenjadiduatipe.FilterChebyshevtipelterdapatII pada stopband)' Sedangkan filter chebyshev tipe ripple di passbandsaja, tidak di stopband (monoton saja, tidak di passband (monoton pada passband)' kebalikannya, yaitu mempunyai ripple di stopband unyai ripple baik di pass band maupur. stopband' Filter yang ke tiga adalah jenis Elliptic yang memp JikamembandingkanGambarT.8denganGambar6'4,patameter-parametersedikitberbeda' Gambar 7'8 adalah parameter normalisasi sehingga Namun demikian, sebenarnya adalah sama, pada magnitudo maksimum adalah 1'
tub 7: Filter Digitol: llR
231
Ada dua parameter tambahan dalam filter analog, yaitu yang pertama adalah rasio hansisi atau parameter selektivitas yang didefinisikan sebagai rasio dari frekuensi batas passband dan frekuensi batas
stopband, atau
,@,
u-_L tu-
(7.40)
o)s
Parameter tersebut bernilai k
untuk fiter lowpass" Parameter yang ke dua adalah
parameter
diskriminasi, yaitu
t-_ 'Ll yang biasanya bemilai
kr << I
m €
(7.4t)
.
Filter Butterworth Respons frekuensi filter Butterwor'th lowpass diberikan sebagai
In (r)l'=
r*[iL
\ri
dengan
N
adalah orde dari
frekuensi normalisasi maka
filter tersebut dan
c$ = I . Orde filter
(7.42)
-;-I-.,,
otpo
I
)
is frekuensi batas 3
dB
(cutffi
dapat ditentukan dengan
*[+)
^,_,or[{]) "'r"Til=*(;) dengan
o{
Butterworth,
adalah frekuensi batas stopband (llhat Gambar (7.8)
.f/(")
(7.43)
di
atas). Fungsi alih analog filter
mempunyai zero ditak terhingga dan N polepada posisi
p, = si,(z dengan I
lowpass. Untuk
=L,2,...,N.
+x-t)t2N
-."r[g*k]. rr,,[g++]
(7.M)
Dosar Pengolahon Slnyol Digital
232
Filter Butterworth memiliki karakteristik sebagai berikut:
l. Z. 3.
Pada frelarensi
;f = 0
dan
.f = a
respons frekuensinya mendekati linear"
Respons frekuensi menurun secara monoton pada semua frekuensi
dai.f= 0 sampai f = o
perbedaan terbesar antara respons ideal dan sebenarnya tedadi pada
f =ll2z, dengan lfI (f\,/l)|2 = l.2
Tabel 7.1 menunjukkan penyebut untuk filter analog prototipe Butterworth lowpass normalisasi. Bagian pembilangnya adalah selalu 1. Sebagai contoh filter Butterworth orde 2 mempunyai respons frekuensi
I/(r)=
-;-#
s +V2s+lTabel 7.1 Penyebut untukfilter analog Butterworth normalisasi
Orde,
N
Penyebut
1
s+l
2
s' +.[2" + 1
3
(s'+s+r)(.r+t)
4
(s2 + 0.76536s +
+ 1.84776s + 1)
(s + 1)(s' + 0.6180s + r)(s' + 1.6180s + 1)
5
6
(s'
7 8
1)(s'
(s + (s'z
+ 0.5176s
+r)(s' +.,f2, *r)(s'
+1.9318s + 1)
1)(s' +0.4450s +i)(s' +r"2456s+r)(s' + 1.8022s +1)
+0.3986s +1)(s' +1.1 1 10s +1)(s'? +1.6630s+r)(s' +1.9622s+l)
Filter Chebyshev Respons frekuensi filter Chebyshev tipe
la
t dapat ditulis sebagai
(*)l'
=-:,
;--
(7.4s)
Bab
7: Filter Digitat:
dengan Tr
(r')
ttR
233
adalah polinomial chebyshev orde
fri yang didefinisikan
sebagai
Tr(*')= cos(Ncor ' ,'), io'ls t = cosh(ti cosh-,a'), lro,l> t
(7.46)
atau polinornial tersebut dapat ditulis dalarn bentuk rekursif
(*')
T,
dengan
To('')=
1 dan
rr(r')=
= 2a)'7,-,(ro')
-f,-r(al),
r>2
(7.47)
a-l'. Tabel 7.2 menunjukkan beberapa polinomial chebyshev.
Tabel 7.2 Polinomial Chebyshev C,(x)
r/
c, (*)
0
1
I
x
2 3 1 5 Orde filter Chebyshev tipe
I diberikan
,,
zx2
-l
4xt -3x gx4 -gx2 +l 16xs -2ax3 +5x sebagai
.o.r,
'(JZJ/,)
cosh-i
(r,l ,;r)
_ cosrr-, (Vr,) cosh-' (y k)
(7.48)
Pole pada fungsi alih tersebut terletak pada
p, =_at) tsr^l(zt
'
v-
L
-])"f* 2I
ia,s
"rrlr#l
(7.4e)
,-Y'-l ,4
(7.s0)
,-Y'+l '2y
(7.st)
Danr Pengolahon Sinyal Digital
234
(,t*6'1"
'=l " dengan I
(7.s2)
)
=1,2,...,N.
Respons magnitude filter Chebyshev tipe 2 disebut juga respons invers Chebyshev, diberikan oleh
ln
(r')l'
=
(7.53)
-.,15P,1!)1' ''" Lrr(oi,la')) ,
Dengan demikian, fungsi alih filter Chebyshev tipe 2 mempunyai pole dan juga zero sehingga dapat
ditulis dalam bentuk N
fI('-a) a(')=co#--
(7.s4)
fl('-P') l=l
dengan z ero terletak pada
"'
-';l%E
(7.ss)
l2N l dan pole pada
n: rt
d'o'
-,
d"F'
(7.s6)
"i*Fi'al+01
| (zr -t\n1 a,=-atr(st'Lfl
(7.s7\
p,=ao(co.[%n]
(7.s8)
, Y'-l
(7.s9\
I
:-
'2y
Bab
7: Filter Digital: llR
235
,-72+l
(7.60)
, =(n*J n, -r)''r
(7.6r)
'2y
dengan I
=1,2,...,N.
sama untuk tipe
l, yaitu
Orde filter Chebyshev tipe 2 dapat dicari dengan menggunakan persamaan yang seperti pada persamaan (7.48).
Filter Elliptic Filter Elliptic disebut juga filter Cauer, mempunyai respons magnitudo
l,o(r')l'=;d@6 dengan
R,
(
(7.62)
, ') adalah fungsi rasional orde i/ yang memenuhi RN (tl @') = ll Rr (ar ') . Orae frlter dapat
dicari menggunakan
N
dengan
p
>ztos(4lkt) tog(rlp)
(7.63\
k'=$-ri
(7.64)
dapat dicari sebagai berikut
r-Jn po=F@
(7.6s)
p = po +z(o)' +15(po)' + t5o(po)'3
(7.66)
Contoh 7.7 Dengan pendekatan Butterworth, kita akan menentukan orde filter dengan fungsi alih filter mempunyai karakteristik lowpass dengan frekuensi cut-off l-dB sebesar I kHz dan atenuasi minimum 40 dB pada 5 kHz. Pertama kita akan menentukan didapatkan
nilai
a
dan
A
sebagai berikut. Berdasarkan persamaan (7.42) maka
Dasar Pengotahon SinYal Digital
2i6
lu(;,)l'=u,fu=# f Ittta:)l'=l'\% )l =;10;,1r,y=T 1
magnitudo maksimum, yaitu 1, atau 0 dB' Frekuensi cut-off pada I dB berarti 1 dB di bawah respons adalah -1 dB. Dengan kata lain, pada frekuensi cut-off,respons magnitudonya
roroe[-L) "(l+e'/ = -, sehingga didaPatkan s2 = 0,25895 Ingat bahwa atenuasi minimum adalah
-2}log(ll A)
roronfa] "\-A') = 4o 10000. sehingga didapatkan '4 =
Nilai
fr
diperoleh dengan persamaan (7'40), yaitu
61^ 1000 1 P =-=5ooo 5
'" d, l--
Nilai
(
diperoleh dengan persamaan (7'41), yaitu
t.=-L=@=o.oo5l ' A'-l ./loooo-l J
sehingga orde filter
(t/t, ) _ tog (tgo, ozg+) =3.2797 tog(s)
"n, ,- tog(Yk) tog
Karena Nharus bilangan bulat
dipilih N = 4
I
tub 7: Filter Digital: llR
237
Contoh 7.8 Sekarang kita akan mengerjakan ulang contoh 7.7 denganmenggunakan filter Chebyshev.
cosh-r(yk,\:_cosh-r (tls,olt+) _ ___ _ __=2,2924
.'A/>_ -
.orn-r
sehingga y'/
1tlfr)
cosh-'(5)
=3
I Contoh 7.9 Kita akan kembali mengerjakan ulang contoh 7.7 dengan menggunakan frlter Elliptic.
P'=,fl:P e' =
d-(rT =o,e7e8 t-Jtr= +@=o,oo26 'u'o ](, +./o,e7e8 =
4;\4
)
p = po *2(pr)'
+
ls(po)'q + tsO(po
)t3
= 0, 0026 + z (0,0026)' + t s ( o, 0026)'q + I 50 ( 0, 00 26)t' *0, 0026
2los.(qlk.\ *tffii= ,o;=gbro*f
ztop(q/o.oos1)
sehingga
i/
=2'23e5
=3
I
7.7
BZf DENGAN FILTER ANALOG
Untuk mendesain filter lowpass, highpass, bandpass, dan bandstop sesuai dengan yang kita inginkan selalu ditransformasi ke filter analog prototipe normalisasi lowpass. Berikut penjelasannya Filter lowpass Hubungan antara
fiter
lowpass denormalisasi dan
fiter
lowpass prototipe tampak pada Gambar 7.9,
Gambar tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.
Kita telah mengetahui dari persamaan (7.35) bahwa transformasi yang digunakan untuk /owpass ke lowpass adalah
,
=
*. @o
Dengan menyubstitusi s =
jat danmenyatakan
frekuensi untuk filter prototipe
238 Dallrrr pengolohan Stnyot Dtgttot
dengan a;p (menambahkan superscriptp untuk prototipe), serta frekuensi adalah at,o makatransformasi tersebut menjadi
filter
lowpassyang diinginkan
af =%-
@,
Frekuensi-frekuensi utama untuk frrter prototipe yaitu: 0; frekuensi bataspassband, frekuensi batas sbpband, of
(7.67)
,ro
(selaru
l);
aan
.
Filter lowpass denormalisasi
Filter lowpass prototipe
Gambar 7'9 Hubungan anrara/ilter lowpass denormalisasi danfirrer rowpass prototipe Dari persam
l. 2' 3'
aan (7.67) dapat
diperoleh beberapa hal:
Jika o4r=0maka
of =0. Jika a4o = ato maka af = ai'f aio=1.
Freku.nsi ini disebut frekuensi bataspassband, @i Jika a4, = ar, maka ao ot,f do. Frekuensi ini disebut frekuensi = bawsbpband,
,!
.
.
Filter highpass
X*triil#ff:r?jy
'''oo^'denormalisasi
dan filter lowpass protoripe tampak pada Gamb ar
7.10.
Bab
7: Filter Digital: llR
239
Dari persamaan (7.36), transformasi
dad, lowpass
ke highpass adalah
, =gz.Dengan
frekuensi
s
filter highpass yang diinginkan adalah o4o maka diperoleh
a)p .- -@p
(7.68)
@oo
Dari persamaan (7.68) dapat diperoleh:
1. 2.
Ketika @ro=0 maka oP
3.
Ketika @r, =
4.
Ketika ,oo = -do maka
@P
5.
Ketika @nr=-ol,
ol'=\
=q
Ketika ,oo = do maka aP = -1 . Frekuensi ini disebut ftekuensi batas passband.
d,
maka
of = -2L o)s
^zl*u
=l o)s
Dengan demikian ada tiga frekuensi utama: 0, 1, dan ,;r
l
o;,
Filter highpass denormalisasi
Filter lowpass
p
rototi pe
Gambar 7.10 Hubungan antarafilter highpass denormalisasi danfilter lowpass prototipe
24
Dasor Pengolahan Sinyol Dtgttol
Filter bandpass Hubungan antara filter bandpass denormalisasi dan filter lowpass prototipe tampak pada Gambat 7.11. Berikut penjelasannya.
Dari persamaan (7.37), transformasi dari lowpass ke bandpass adalah frekuensi filter bandp4ss yang diinginkan adalah
,
au,
(lr=*
,-
s'
+
ai.
Densan
Ws
maka diperoleh
,r:r-rrt
(7,6e)
14/@w
dengan
:
frekuensi batas passbandbawah dan atas
o)", :
frekuensi batas stopbandbawah dan atas
@pr, @p2
c;,r,
o)o W:
:
frekuensi pusat dengan ao = alrroio, lebar pita frekuensi dengan W = ojo,
- dr,
Filter bandpass denormalisasi
Filter lowpass prototipe
Gambar
7.ll
Hubungan antarafilter bandpass denormalisasi danJilter lowpass prototipe
Bab 7:
Filter Digital: ltR 241
Dengan melihat persamaan (7.6g)maka didapatkan
1.
Ketika
@oo
=
maka atp =
ati
=W
2'
Ketika
@tp
= @p1 maka @p =
ati
=
d,,
3.
Ketika @rp=ep2 maka
4.
Ketika @b =
5.
d,z
= ,dr', (o;0,
of =atdr=4{g=
Ketika @oo=e)o maka @p
- dodo, _ _, -'
-
aor)ro, -
dr'r-dorrr,
wd* ('"-;;'P;=_,t
maka @p =
,i = min (lr;,il,ld"rl)
+S w ro,
*,i=d:1.-&
=4*;?i ,yri
Wr", =O
Dengan demikian tiga frekuensi urama adalah: O, f , min(fal,i
l,ldi!.
Filter bandstop
XJ,liTffil:,ffifiiter.
bandstop denomalisasi dan firter towpassprototipe tampak pada Gamb ar 7.t2.
Dari persamaan (7.3g), hansformasi dari rowposs ke bandstopadarah frekuensi frlter bandstopyang diinginkan adarah Q)0" makadiperoreh
orr=-%-ai - oti"
"
=
Ws
;tA.
Dengan
(7.70)
Daur Pengolohon Sinyol Digitol
242
Filter bandstop denormalisasi
Filter lowpass prototipe
Gambar 7.12 Hubungan antarafilter bandstop denormalisasi danfiher lowpass prototipe Dari persam
nn
(7 .7
l.
Ketika
@u,
= @0, maka n,o
2.
Ketika
@u,
=
3.
Ketika @tr=d,zmaka aP =rt(z)
4.
Ketika
5.
Ketika ,u, =
0b,
0) dapat diperoleh:
d,
maka
aP
-
Wdo,
d
d,,o;,,-a;;, -ri, -(drr-dorVl-,
61rA)
=#* = Yd"d -,?,
= @o maka atp - ,rQ) =
ffi
=
*
-,oi^)af' ,0,' ---maka ---ap = -+3+ -(d': = -, ,4 o;,,0;rr-c;;,
-r;h
Dengan demikian tiga frekuensi utama: 0, 1, dan
ari tmin(latjt"l,larr't'zll)l
Contoh 7.10
filter digital lowpass diinginkan mempunyai spesifikasi: passband:0 - 500 Hz, stopband: 2 - 4 kllz, ripple passband: 3 dB, atenuasi stopband: 20 dB, dan frekuensi sampling: 8 kHz. Kita akan Suatu
menggunakan Butterworth untuk menyelesaikan soal ini.
Bob 7: Filter Digitat: llR
243
Spesifikasi yang diberikan adalah:
a, =2fix o),
500
= 1000n Hz
=2fi x 2000 = 4000r Hz
ror"s[j7)= -, -) €2 =o,ee83
tr"r(*)
=-20.-> A2=roo
4 = 8000 Hz-+ I
= V8000 s
Frekuensi-frekuensi prew arp r,ya adalah
, =tanl( toooz ^"""'" )
@i^
'
\2x8000J l=
,
(
\
l=0,9992 -\.2 x 8000 /
a\ =tanl ' ar!
4oooz
0,tggg
=*=5,0262 @o
Karena itu frekuensi-frekuensi utamanya adalah: 0,
Kita akan mencari panJang filter sebagai berikut
k=g==l-=o,l99o a! 5,0262
' =@=o.loo4 Jloo-l
o,
los(g.gooz\ N>_"!j_____r_ =1.4239_> N =2 log(5,0251)
l,
dan 5,0262
2rU
Donr pengolahon Sinyat Digitot Letakpole dari fungsi alih adalah
,, =
"",f@2:k]-;,r,[krr,)"] = _*.
p,=Q -)11
j
-,Q
*
Fungsi arih anarog prototipe firter rowpassdengan orde 2 adarah
n(')=T--L s'+V2s+l
Kita substirusi
s,=;;s
dan dilanjutkan dengan substitusi
supaya menghasilkan persamaan dalam suku z_r
di u(r)= - \-./ . t*6ar
*
r;
x"
,=4
kemudian membagi dengan z2
t+22-t +z-z
t+J2atr*r;-W Langkah terakhir adalah dengan menyubstitusi nilai dari parameter-parameter
11
,i
JTrr,
-t=
+
atj =t*
0 (o,tga8)+(0,1988),
(0, t sss), _ I =_0, 96os
1-../1ro + atj
=t* JT OJg8s)+(0,1988),
oi| =(O,tl88)2 =0,0395 Fungsi alih filterkemudian menjadi
u (r) \ /= -
=\3178
o'o?99(1+
l-1,45772
z'" + ,u)
r+0fn67*
= 0,7612
tersebut.
Bab
7: Ftlter Dtgttal: llR
245
Contoh 7.1I Suatu filter
digial highpass diinginkan mempunyai spesifikasi
sebagai berikut: passband:
2 - 4 kllz,
stopband:0 - 500 Hz, ripple passband:3 dB, atenuasi stopband: 20 dB, dan frekuensi sampling:8 kHz. Kita juga akan menggunalsn Butterworth. Spesifikasi pada contoh ini mirip dengan contoh 7.10 sehingga diperoleh x 2000
= 4000n Hz
@p
=2n
@,
=2fi x500 = l000tr Hz
-, 1
ror"s(r,!u)
=
robs(*) *
-20.+ A2 = roo
€2 =
4=8000H2+I=V8000
o,ssul
s
Frekuensi- frelosensi pr ew arprry a adal ah
( qooo,t \ =* l=0,9992 " \2x8000) , (:*roooa \l=0,1988 o,=tanl ' \2x8000/ at^
=tarrl
at =%=5,0262 0), Karena itu frekuensi-frekuensi utamanya adalah: 0, Panjang filter sama dengan contoh 2.10, yaitu
l,
dan 5,0262
N =2
Letakpole-nya juga sama dengan contoh 2.10. Fungsi alih analog prototipe filter lowpass dengan orde 2 adalah
r(r)=n#*r
246
Dosar pengotahon Sinyat Digitot
Kita substiruri ,=-@{ dan dilanjutkan dengan
substitusi s =
supaya menghasilkan persamaan dalam suku z_,
H(z)= -----
t+Jzoto+oti
_iZ-t
z-l --z+I
kemudian membagi dengan z2
,.H)-=@ I
X'e'
+ Z-2
11J2atr*r;'
Langkah terakhir adalahdengan menyubstitusi nilai dari parameter-parameter 1
a
"/i, u + atj
= 1*
Ji
(0,g992) + (o,essz),
=
tersebut.
3, 3973
o;i -t=(o,essz), _t =_0,0016 1
-.,/7r, + a;
=t*
Ji
@,sgs2)+ (o,ssez)2 = 0,599s
oij =(o,gggz)'? =0,9984 Fungsi alih filter kemudian menjadi
H(z)=
A,2944(l+221
r*(9, 4192xt}a)za
* r-r) +0,17652-2
r
ContohT.lz
suatu filter digital Butterworth bandpassmemiliki spesifikasi: -tu*ur,frekuensi batas bawah passband:200 frekuensi batas atas passband: 300 Hz, frekuensi iuo, Hz, sbpband: sa Hz,frekuensi stopband: 450 Hz, rippre passband: 3d, ur"ruu, batas atas i stopband:2o dB, frekuensi sampling: krrz. Spesifikasi yang diberikan yaitu
r
@pt
=2nx20A = 400tr Hz
@p2
=2trx300 = 600r Hz
o),,
=2fix50 =1ggo 11" a,, =2ttx450 =9002 Hz
Bab
7: Fitter Digital: ttR 247
lol"s(#)= -3 -+ e2 = o,ee83
""-(+) 4
=
-20 -> A2= roo
=1000 Hz_>Z=/1000
s
Frekuens i- fre kuensip r ew a rpnya
'\
o,, =
tan(-lg"
doz =
run( aoo" )
(zrroooJ =0,7261
(zrrooo]=1,3750
lo0' \ ',, = tun( \.z"roooJ = 0,1583 a),, =
hn(
g0or
) =6'2846 -
\z"rofr'J
ao = aorao, =019984
w =dor-e)or=0164g9
oi
=1
at'f
=W=-9'6789
,1,
=+;f
=e,4406
a,j = min (la:l,la,:,1)
= e, 4406
Sekarang kita akan mencari panjang
k'"-'!-9A406=0'1059 =9i-
,-=;955 .mJ = o,loo4
tr,
filter
Dosar Pengolahan Sinyal Digital
248
"
9t!?'?19?l =t,oz4+ N ry r
= log(9,4429)
Fungsi alih filter analog orde
I
adalah
,
=#
a(r)=* Dengan melakukan substitusi
w( H
(z\=
, dilanjutkan dengan
, = 4:
didapatkan
4\
\z+l.i
(#l .*(*).a
Dengan menyubstitusi nilai W dan rof menghasilkan
H
(z)=
* r-')
0,6489(1
2,6457 + 0,99362-t + 1,347 9 za
I Contoh 7.13 Suatu filter Butterworth bandstop dengan spesifikasi: passband bawah: 0
500 Hz, stopband: 200 sampling: I kHz.
-
@p2
@,r
50 Hz, passband atas:450
-
300 Hz, ripple passband: 3 dB, atenuasi stopband'. 20 dB, dan frekuensi
Data spesifikasi adalah: @4 = Ztt x 50 =
-
l00n Hz
=2trx450 =900r Hz
=2fix200 = 4A0t Hz
o),, =2ttx300 = 600n Hz
1=) = -, -+ t' =0,9983 roroef. -[l+e'J
Bab 7:
Filt*r
Dig,ital:
/r\
j^l0losl "\A')i=
4
= 1000 Fiz
-ZA
-+.f
ltR
249
-+ A2 =l0A = V1000
s
Frekuensi-frekucnsi prewarpnya adalah
(
,
o)r, = t&n[,
1.
,
,;
,ooa.l
= 0,1583
i -a''i:9fian \
,
oj^, YL= tanl o)",
ioozr \
=
tan
6,2946
2x1000,l-
(
4oon- \
l,r. *aol
=
4.726r
qgqr-]
.12^1000/ = 1.3750 'z. = tanl
ai
(Do
=A,9949
W = 6,1263
a{0 =9,6159 a1@
=*9'3514
a! =9,35L1 Sekarang kita akan mcneari panjang filter
=g= l^. = 0,1069 a{ 9,3514
k
' =€g-=o"ioo4 Jtoo-t
u
N>
los 19.9602
i
.:++--,.--.i -
log (9,35.+i )
1,028
+
N ", I
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
250
Fungsi alih filter analog orde
I adalah
r(r)=* Dengan melakukan substitusi u =
*!!s- -@;
dilanjutkan dengan
, ='1!,
z+l
didapatkan
( z-l\' H
(z)=
, *'; l.,,.)
(*)'.*(*).a
Dengan menyubstitusi nilai W dan
t\
.r
ra I Z, =
a.to2
menghasilkan
1,9898 +0,02042-r +1,98982-2 8, 1 I 61 -.-
0, 0204
z-' - 4,13652-' E
Contoh 7.14 Fungsi alih filter digital lowpass diinginkan mempunyai karakteristik: passband;0 - 60 Hz, stopband; > 85 Hz, dan atenuasi stopband: > 15 dB. Frekuensi sampling adalah 256}Iz dan filter adalah Butterworth. Spesifikasispesifikasi yang diberikan adalah clo = 2n x 60 = o),
=2r
l20n Hz
x85 = l70r Hz
rorosfl) "\A"
)
= -15 -+ A2
=3t,6228
Diasumsikanripple passband 3 dB, €2 = 0,9983
F,=256H2-+T
--11256 s
Frekuensi-fr ektensi prewarp rry a adalah
, ( t2on\ 0,9057 : l= " =tanl\ 2x256 )
ai^
Bab 7:
Filter Digital:
(
,
llR
251
17oa\
o. =tanl : " ( 2x256 )l=1,7137
,! =9+=1,8921 @, Kita akan mencari orde filtcr (Dp-
k---!-=0.5285 co!
0,9983
kr=
N>
= 0,1 806
3t,6228-l log(5,
fiz1)
log (1, 892t)
=2,6839-+N=3
Filter ana log lowpass orde
I/ (s) =
3
diberikan oleh
1
(s+i)(s'+s+1)
Dengan menyubstitusi
=
"e
=
a, (s)r/, (s)
4 a
Aun
P
H'(r)
, ='-l
z+l
didapatkan
(z +r)ai, =
Hr(r)=
(r+ a4), +(d,
djz' +zailz + oij (r + a,, * r;;) r' + (zai] - z), + (t - ai, * r;;)
Dengan menyubstitu
H,(z\=A.4753_ r\'
-
Hr(r)=
-r)
0,3009
si
a)io
= 0,9057 dihasilkan
z+l 0,0495 zz +22
+l
z'-a,L3182+0,3355
Dasor Pengolahan Sinyal Digital
252
Hasil akhirnya adalah
n (r)=O,tqlO
1, - o,o+es)(z'
- o,tll8z
+ 0,3355)
I Pojok MATLAB
Pada dasarnya MATLAB telah menyediakan suatu lool untuk medesain filter baik FIR maupun IIR dengan menggunakan fungsi
fdatool Tampilan rool tersebut ditunjukkan pada Gambar 7.13. Tooil tersebut dapat menampilkan respons frekuensi filter dan plot zero pole pada bidang z.
.--. .-.--.-j.-...---------1.--I.-------i..-.--------..:.....--.-.
f !
ii hmi'fln'ffnT ,'rrlrlrlllt
rp Fifri---l n'!do.re fT3 r--::l \J l:ffiFdc I
*, F----l F. @--
Gambar 7 .13 TamPilan fdatool
Untuk mendesain filter IIR dengan menggunakan metode
penempatan
pole zero
dapat
menggunakan program 7.1. Untuk menggambar pole zero pada bidang z kita dapat menggunakan fungsi
zpiane (Pembilang, PenYebut zplane (zerorpole)
)
Bab 7: Filter Digitol: llR
253
Sebagai contoh kita ingin rnendesain suatu
00 Hz dengan 1000 Hz.
1
ba
ndtv,idth 2A0
Hz
filter lowpass, untuk frekuensi
pusat passband adalah
dan stopband pada frekuensi 300 Hz. Frekuensi sampling dianggap
zero adalah pada frekuensi 300 Hz dan 500 Hz, yaitu pada posisi t(300i1000)x360o = +108o dan penempatan pole pada posisi 100 Hz, yaitu pada posisi
Untuk
t(100/1000)x %
penempatan
3o0o = -F36o.
Prc,lror: l,l
IIR Menentukan fungsi alih filter eo derrgor-, merode penempatan pole-zero
%
fs : input-(rNlasukkan frekuensi sampling: ';,' theta p: irrput('Masukkan vektor sudut frekuensi untuk dlletakkan pole (derajat) = ')i
theta_z = ir:put('Masukkan vektor sudut frekuensi untuk diletakkan zero (derajat) -
l\.
l,
Bi,{: input('lullasukkan bandwidth = '); theta_p : t:h--ra_p/1BC*pi; rhera_- = '.heta_: li B0*pj ; r_pole = 1 - ((B!'7lfs)*pi); r_zexc = 'L; pembilarg = pcly (r_zero*exp (l "theta-z) penyebut : poly (r_pole*exp (j *theta_p) ) figure ( i ) zplane (pembil
figure
(2
angr,
)
penvebut)
)
Iii, omeq.a] = f reqz (pembi1ang,penyebut,512) mag = 20'.lcqiC (abs (H) );
plo-u (oneg.r r pr, mag) xIabel (' f::ekuensi- normaLisasi' ylabel ('qrarn, dB')
;
)
Dengan memasukkan data-data tersebut, yaiflr
frel:u=r.s.r iar.plir:g = 1000 vekrcr suCur p:Ie = t-36 361 vektor sudut zero = t-108 l"0Bl hancl',r-Ct.r = 20C pada program didapat hasil
PsrtLurrdl'e *^*Lt
I ^,
Penyebui
-
=
1.0000
0.6180
1.0000
1.0c00
-0.6014
0.1381
danplot pole zero pada bidang z dan respons frekuensi ditunjukkan Gambar 7.l4dan Gambar 7.15.
254
Dasar pengotahan
Sinyat
Gambar 7.14 Gambar plot pole zero
ttrr,
/''
t/ I
Gambar 7.lS Gambar respons frekuensi Filter IIR dihasilkan dengan *"'ggunuY.n filter anarog. Fungsi-fungsi MATLAB yang digunakan filter analog' Butterw-Jrth, chebvshw chebyshev tipe 2, dan Eriptic adarah
f#;,Tltain
,# i
Digital
Bab 7:
Filter Digital: llR
Ib,
a] = butter
255
(N, tl'ln)
lb, al = chebyl (N, Rp, Wn) lb, al = cheby2 (N, Rs,wn) lb, al = el1ip (N, Rp, Rs,Wn) Fungsi-fungsi tersebut mempunyai parameter N, yaitu orde filter, Wn adalah frekuensi batas passband yang dinormalisasi, yang berada dalam rentang 0 dan 1. Parameter Rp dan Rs menunjukkan ripple passband dan atenuasi stopband dalam dB berturut-turut. Fungsi-fungsi tersebut adalah filter lowpass. Hasil dari fungsi-fungsi tersebut adalah koefisien-koefisien pembilang, b dan penyebut, a dengan suku
z-r.
Selain itu dapat juga menghasilkan pole, zero, dan goin dengan fungsi berikut:
lz,p,k) lz,p,k) lz,p,k) Lz,p,k)
: butter (N,Wn) = chebyl (N,Rp,Wn) = cheby2 (N,Rs,Wn) : ellip (N,Rp,Rs,Wn)
Contoh program untuk mendapatkan plot rcspons frekuensi untuk jenis-jenis filter analog dapat dilihat pada Program 7.2. Untuk memasukkan pilihan harus disertai dengan tanda' ' yang menandakan bahwa jenis karakter tersebut adalah string.
B Program 7.2
t Menentukan respons frekuensj? filter analog disp ( 'Jenis-jenis filter: B = butterworth' ) disp C1 = chebyshev tipe 1r) disp C2 = chebyshev tipe 2') disp E = elliptic' ) jenis = input('Masukkan jenis filter yang Anda inginkan ='); if jenis :: 'B' N = input('Masukkan orde filter = '); Wn = j-nput('Masukkan frekuensi batas passband (normalisasi) : t;' Ia, b] : butter (N, Wn) ; I H, omega ] : freqz (a , b , 572) ; mag : 20*1o910 (abs (H) ) ; plot. (omega/pi,mag)
el-seif jenis == 'C1 ' N = input('Masukkan orde filter = '); Wn = input('Masukkan frekuensi batas passband (normalisasi) = t;,' Rp = input('Masukkan ripple passband (dB1 = '1' la,bl = chebyl (N,Rp,Wn); IH, omega] = f reqz (a, b, 512 ) mag = 20*1o910 (abs (H) ) ; plot (omega,/pi,mag) elseif jenis := 'C2' N = input (tMasukkan orde filter = ') ; lin = input(tMasukkan frekuensi batas passband (normalisasi) = '); Rs = input ('Masukkan atenuasi stopband (dB) = t 1. la,bl = cheby2(N,Rp,Wn) ; IH, omega] = f reqz (a,b,5l2l ; ,.
Dosar. Pengolahon Si nyol Digi
256
= 20*Iog10 (abs (H) ) ; plot (omega/pi,mag) elseif jenis == rE' N = input('Masukkan orde filter = '); Wn = input rMasukkan frekuensi batas passband (normalisasi) = Rp = input 'Masukkan ripple passband (dB) = t1' Rs = input 'Masukkan atenuasi stopband (dB1 = '1' lpernbilang.penyebutl = elliP(N,RP,Rs,Wn) ; IH,omega] = fregz(a,b,5t2l ; mag = 20*1o910 (abs (H) ); plot (omega/pi, mag)
tol
mag
else
'
1 ,'
disp('Kode yang Anda masukkan salah')
end
Selanjutnya unhrk mendesain
filter IIR dengan menggunakan metode impulse invariant,
menggunakan fungsi
lb,al = impinvar(pembilang,penyebut,FT) [b,a] impinvar (pembilang, penyebut, ET, ' s I ) lb, al = impi-nvar (pembilang,penyebut) impinvar (pembilang, penyebut,' s' )
=
[b,
a]
=
Penambahan 's'berarti rentang pembilang dan penyebut tidak perlu dalam rentang 0 dan 1.
Contoh program untuk ini ditunjukkan pada Program 7.3.
E Program 7.3
* Menentukan respons frekuensi B dengan metode impulse invariant N = input('Masukkan orde filter = '); fc = input ('Masukkan frekuensi cut-off 3-dB = '); Wn : 2*pi*fc; [a, b] = butter (N, wn, 's I ) ; FT = input ('Masukkan frekuensi sampling = t 1,' tB;Al = impinvar(arb,FT) ; $1, omegal : f reqz (B, A, 512 ) ,' mag = 20*1o910 (abs (H) ) ; disp('Pembilang =' ) ;disp(B) di.sP('PenYebut =' ) ;disP(A) plot (omega,/pi, mag) xlabel (' frekuensi normalisasi' ) ylabel (rgain, dBr) Dengan mengerjakan ulang contoh 7.3 kita memasukkan nilai-nilai
N=2 fc = FT =
150
1280
dapat
Bab 7:
Filter Digitol: llR
257
Didapatkan hasil
Penibilang PenYebut
=
=
0 0.3078 1.0000 -1 .0308
0
0
.3s30
yang sesuai dengan hasil perhitungan. Plot respons frekuensinya ditunjukkan pada Gambar 7.16.
6 D .E-
d
o
0.4
0.5
0.6 trekuonsi nomalisasi
o.7
0.8
0.9
1
Gambar 7.16 Plot responsfrekuensi contoh 7.3 Metode selannjutnya, yanB paling sering digunakan adalah BZT. Perlu diperhatikan bahwa ketika kita menggunakan metodeBZT, kita harus mencari orde filter yang digunakan. Fungsi-fungsi MATLAB yang dapat digunakan untuk mencari orde filter adalah:
[N,Wn] : buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) [N,Wn] = cheb I ord(Wp,Ws,Rp,Rs) [N,Wn] : cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs) [N,Wn] : ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs)
[N,Wn] [N,Wn] [N,Wn] [N,Wn]
: buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') : cheb I ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') : cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s') : ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')
Dengan penambahan 's' berarti rentang Wp dan Ws tidak perlu dalam rentang 0 dan l. Di sini kita mencoba mengerjakan contoh 7.10. Berikut program untuk menentukan orde filter dan koefisien, serta
plot respons frekuensi.
258
Dosar Pengolohon Sinyal Dtgital
t Program 7,4 t Menentukan orde filter Butterworth lowpass t dan plot respons frekuensi dengan metode BZT FT = input (rMasukkan frekuensi sampling = t 1; Fp = input('Masukkan frekuensi batas passband (Hz) = 'y. Es = input('Masukkan frekuensi batas stopband (Hz) = t;Rp = input('Masukkan ripple passband (da1 = '1. Rs = input('Masukkan atenuasi stopband (dB; = '1ggp = rp/ (0.S*FT); Ws = Fs/ (0.5*FT) ; IN,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) ; Ib,a] = butter(N,Wp); lg,el = freqz(bta,5L2) ; mag = 20*1o910 (abs (B) ) ; disp (rOrde filter = ') ; disp (!I) disp ('Koefisien pembilang = ') ; disp (b) dlsp(rKoefisie'n penyebut = '); disp(a) plot (A,/pi,mag) xlabel ( I frekuensi normalisasi' ) yIabeI ('gain, dB') Masukan untuk program tersebut adalah
= 8000 = soo Fs = 2000 RP=3 Rs=30 FT FP
Didapatkan hasil
Orde filter
= 2
Koefisien pembilang = 0.0300 Koefisien penyebut = 1 .0000
0.0599 -1,
.4542
0.0300 0. 5741
yang sesuai dengan hasil perhitungan. Plot respons frekuensi ditunjukkan pada Gambar 7.17.
Bab
7: Filter Digital: llR
259
0.3
0.4
0.5
0.6
o.7
lrek$nsi noflralisasi
Gambar 7.17 Responsfrekuensi contoh 7.10 Contoh 7.11 sama dengan contoh 7.10 namun bedanya hanya highpass sehingga ada penambahan 'high' pada fungsi butter. % Program 7.5
orde filter Butterworth highpass dan plot respons frekuensi dengan metode BZT ET: input('Masukkan frekuensi sampling = t1; Ep : input('Masukkan frekuensi batas passband (Hz) Fs = input('Masukkan frekuensi batas stopband (Hz ) Rp = input('Masukkan ripple passband (da1 = '1 Rs : input('Masukkan atenuasi stopband (dB) : t); wp : rp/ (0.5*ET) ; Ws : Fs,/ (0.5*ET) IN,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) ; lb, al : butt,er (N, Wp, 'high' ) ,' IB,A] = freqz (b,a,512) ; mag = 20*Iog10 (abs (B) ) ; disP('Orde filter =r); disP(N) disp('Koefisien pembilang =') ; disP(b) disp ( 'Koef isien penyebut = I ) ,' disp (a) plot (A,/pi, mag) xIabel (' frekuensi normalisasi' ) y1abe1 ('gain, dB') %
Menentukan
%
,.
fiter
lowpass diganti menjadi
2&
Dosar Pengolohan Sinyol Digital
SOAL.SOAL
l.
Suatu filter lowpass mempunyai pole danzero pada:
Zero: -0,5 Pole:0,370; 0,6+70,5 Cambarlah pole dan zero tersebrfi pada bidang
z dan tentukan fungsi alih filter
H(z)
dan juga
persamaan perbedaannya
2.
Tentukan tungsi alih filter digital dari impulse invariant dengan
3.
//(s)=
3s2
+7sz +lOs+7
(s'+s+r)(s'+2s+3)
menggunakan metode
7 = 0,1 s.
Tentukan tungsi alih filter
digital dan
H1r1=-{{s+8 \ , (sz +2s.3JG..,.D menggunakan metode impulse
invariant dengan T =0,2 s .
5.
6.
Diberikan suatu respons frekuensi filter analog normalisasi Butterworth orde 2 dengan frekuensi sampling 5 kHz dan frekuensi cut-off 3 dB sebesar I kElz. Tentukan fungsi alih digital dan persamaan perbedaannya dengan metode impulse invariant. Ulangi soal no. 4 dengan menggunakan metode BZT. Suatu filter highpass Butterworth akan didesain dengan spesifikasi: passband 2 - 4 kIIz, stopband 0 - 500 kllz, ripple passband 3 dB, atenuasi stopband 20 dB, dan frekuensi sampling 8 kHz. Tentukan:
a. b. c. 7.
9.
Frekuensi-frekuensiyangberkaitan Orde filter Fungsi alih dan koefisien-koefisien filter
Suatu filter bandpass dengan karakteristik Butterworth dengan spesifikasi: passband: 200 frekuensi sompling: 2000 Hz, dan orde filter: 2. Tentukan fungsi alih digitalnya.
- 300 Hz,
Tentukan fungsi alih digital dan koefisien-koefisien filter Elliptic dengan metode BZT dengan spesifikasi: passband: 4 - 12 kIIz, stopband: 0 - 3,4 kllz dan 12,6 - 16 kLlz, ripple passband: < 0,1 dB, atenuasi stopband: > 30 dB, dan frekuensi sampling:32H2. Suatu filter diinginkan memenuhi spesifikasi berikut: passband: I - 30 Hz, stopband;0 - 0,5 Hz dan 40 - 128 Hz, ripple passband: < 0,1 dB, atenuasi stopband: > 30 dB, dan frekuensi sampling: 256 Hz. Tentukan persamaan perbedaan filter.
Bab
7: Filter Digital: llR
10.
Suatu filter yang menyaring pita frekuensi yang kecil dibutuhkan dengan spesifikasi: batas-batas passband: 45 Hz dan 55 Hz, ripple passband; < 0,1 dB, atenuasi stopband: > 50 dB, dan frekuensi
261
sampling 500 Hz. Tentukan koefisien filter.
ll.
Tentukan fungsi alih digital untuk filter lowpass Chebyshev dengan spesifikasi: stopband: kHz, frekuensi sampling: 50 kHz, ripple passband:0,5 dB, dan orde filter: 6.
-oo0oo-
l0 -
15
DAFTAR PUSTAKA
Bernard StJar. Digital Communications: Fundamentals and Applications. Prentice Hall,2002 D.Sundararajan. A Practical Approach to Signals and Systems. John Wiley
& Sons,2008
David K. Cheng. Analysis of Linear Systems. Addison Wesley, 1961. Emmanuel C. Ifeachor and Barrie W. Jervis. Digitat Signal Processing: A Practical Approach,Znd ed. Prentice Hall,2002
John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications, 3'd ed. Prentice Hall, 1996 Lonnie C. Ludeman. Fundamentals of Digital Signal Processing. John Wiley & Sons, 1986 Monson H. Hayes. Schaum's Outline
Hill,
of Theory and Problems of Digital Signal Processing. McGraw-
1999
Roman Kuc. Introduction to Digital Signal Processing. BS Publications, 2008. S. C. Dutta Pioy. Video Lectures on
Digital Signal Processing,IIT Delhi.
Samir S. Soliman and Mandyam D. Srinath. Continuous and Discrete Signals and Systems. Prentice Hall, 1998
Sanjit K. Mitra. Digital Signal Processing Laboratory Using Matlab. McGrawHill,1999. Sanjit K. Mitra. Digital Signal Processing: A Computer-Based Approach. McGraw-Hill, 1998. Sen
M. Kuo, Bob H. Lee, and Wenshun Tian. Real-Time Digital Signal Processing: Implementations and Applications, Second Edition. John Wiley & Sons,2006
2U
Dasar Pengotohan Sinyal Digital
Simon Haykin and Barry Van Veen. Signals and Systems,2"d ed. John Wiley and Sons,2003 Steven T. Karris. Signak
Steven
and
Systems with MATLAB Applications,2nd ed. Orchard Publications
,2003
W. Smith. Digital Signal Processing: A Practical Guide for Engineers and Scientists. Newnes,
2003 T. W. Parks and C. S. Bumrs. Digital Filter Design John Wiley & Sons, 1987.
Vinay K. Ingle and John G. Proakis. Digital Signal Processing Using I,IATLAB Company, 1997
-oo0oo-
ta
4. PWS Publishing
TEIVTATTG PEIYULIS
adang Gunawtn, lahir di Bogor pada 14 Oktober 1958, adalah Guru Besar tetap pada Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia (FTUI). Penulis memperoleh gelar lnsinyur dari Universitas Indonesia pada 1983, gelar Master of Engineering dari Keio University - Japan pada 1989, dan gelar Ph.D dari University of Tasmania * Australia pada 1995, serta sejak tahun 2004 dipercaya untuk mengemban jabatan profesor yang kesemuanya pada bidang Teknik Elektro Telekomunikasi dan Pengolahan Sinyal. Sejak tahun 1985 sampai saat ini, ia sebagai dosen tetap pada Departement Teknik Elektro FTUI.
Mata kuliah yang diampu untuk program Sarjana adalah Pengolahan Sinyal, Teori Informasi dan Komunikasi Digital. Mata kuliah Pengolahan Sinyal Digital (DSP), Komunikasi Nirkabel & Bergerak, Komunikasi Pita Lebar-Multimedia, Kapita Selekta untuk program Pascasarjana. Sejumlah hibah penelitian telah berhasil dipeoleh diantaranya Indonesia Toray Science Foundation
-
Multi Years URGE - Dikti 1998 - 2000, Kajian Awal Kebijakan Ring Palapa - Diden Postel 2005, DTE Research Grant - 2005, The Development of Blueprint on the Implementation of Telkom's NGN - PT Telkom Indonesia 2006, fuset Unggulan Ul - 2007. Adapun bidang penelitian yang ditekuni adalal: Compression and Coding for Audio, Yideo & Multimedia, Wavelets and lts Applications, C'ctmmunicalion & Biomedical Signal Processing. Saat ini dipercaya sebagai Ketua WaSP RG (Wireless 1996,
und Signal Processing Research Group) DTE FTUI.
Di
samping aktif sebagai pemakalah pada Seminar/Conference/lVorkshop Nasional dan Internasional, juga sebagai reviewer baik untuk Jurnal maupun makalah pada Seminar/Conference/ Workshop Nasional dan lnternasional. Puluhan paper telatr dipublikasi dalam Jurnal dan SeminarlConference/lVorkshop Nasional dan Internasional baik penulis utama maupun bersama.
Dasar Pengolahan Sinyal Digital
266
Dari tahun 2008 sampai saat ini berlugas sebagai Kepala Laboratorium Telekomunikasi DTE FTUI. Tahun 2004 -2007 bertvgas sebagai Wakil Direktur Lembaga Teknologi FTUI. Dari tahun 2000 2004 bertugas sebagai Wakil Dekan Bidang Administrasi Umum & Keuangan. Tahun 1998 - 2000 bertugas sebagai Seketaris Program Studi Teknik Elektro Program Pascasarjana FTUI. Tahun 1996 1998 bertugas sebagai Asisten bidang Akademik DTE FTUI. Penghargaan yang pernah diperoleh meliputi Peneliti Terbaik dalam Bidang Ilmu Pengetahuan dan
Teknologi, Universitas Indonesia - 1996. Publikasi Terbaik Internasional dalam Bidang Ilmu Pengetahuan & Teknologi Universitas Indonesia - 1996. Finalis Peneliti Muda LIPI - 1996. Satyalencana Karya Satya XX - Presiden RI 2008. Prof. Dadang adalah Senior Member IEEE. Ia juga Pengurus IEEE Indonesia Section sejak tahun 1998 sampai dengan saat ini, dan pernah sebagai Ketua, Sekretaris dan Bendahara serta Ketua Communication Chapter IEEE Indonesia. [a juga anggota IEICE Jepang dan anggota PlI.
ilbert Hilman Juwono, lahir di
Jakarta pada 18 Desember 1984, adalah staf pengajar pada Departemen Teknik Elekho Universitas Indonesia. Penulis menyelesaikan kuliah sarjananya di Universitas Indonesia dalam bidang Teknik Elektro pada tahun 2007 dan memperoleh gelar Magister Teknik dalam bidang Teknik Telekomunikasi pada tahun 2009 juga dari Universitas Indonesia dengan predikat sebagai lulusan terbaik Fakultas Teknik. Mata kuliah yang diampu adalah Statistika dan Probabilitas (Sl Reguler), Sinyal dan Sistem (Sl Ekstensi), Teknik Telekomunikasi (Sl Ekstensi), Komunikasi Bergerak (Sl Reguler), dan Pengolahan Sinyal Digital (Asisten Profesor, S2). Saat ini penulis bergabung dalam WaSP RG (LYireless and Signal Processing Research Group) DTE FTUI dan aktif dalam penelitian. Bidang penelitian yang diminati adalah OFDM, komunikasi nirkabel, dan pengolahan sinyal untuk telekomunikasi. Ia juga telah menghasilkan sejumlah publikasi ilmiah dan aktif pada seminar/workshop/konferensi
NasionaVlnternasional baik sebagai panitia penyelenggara, pembicara, ataupun peserta. Selain tercatat juga sebagai anggota IEEE dan IACSIT.
-oo0oo-
;"-
;
itii
1 i$r '' r
i
i
I I
II
t.
1i
An
i,r.:^
K .
:-;lgo
r':pgn
ProPillsi ir''11'r TiGrut
I i !
i I
t
itu
Ia
