KOMPUTASI SINYAL DIGITAL SINYAL DAN SISTEM. GEMBONG EDHI SETYAWAN, S.T., M.T. -

KOMPUTASI SINYAL DIGITAL

SINYAL DAN SISTEM

GEMBONG EDHI SETYAWAN, S.T., M.T. [email protected] - http://gembong.lecture.ub.ac.id

Apa itu sinyal?

Besaran fisis yang berubah menurut waktu, ruang atau variabel-variabel bebas lainnya

Apa saja yang bisa Anda katakan terhadap gambar ini?

Apa saja yang bisa Anda katakan terhadap gambar ini? SINYAL ANALOG

SINYAL ANALOG

SINYAL DIGITAL

SINYAL DIGITAL

KSD

...SINYAL DAN SISTEM • • • •

Definisi Sinyal dan Sistem Klasifikasi Sinyal Konsep Frekuensi Analog to Digital Conversion  Sampling

DEFINISI

SINYAL DAN SISTEM

SINYAL  Besaran-besaran yang tergantung pada waktu dan ruang  Besaran fisis (variabel tak bebas)  Waktu dan ruang (variabel bebas)

s1 ( t )  5 t 2 s 2 ( t )  20 t 2 s 3 ( x , y)  3 x  2 xy  10 y 2

Sinyal-sinyal dengan hubungan matematis yang jelas

 Suara pembicaraan (speech signals)

Sinyal –sinyal dengan hubungan matematis yang tidak jelas

 Suatu segmen dari suara pembicaraan dapat direpresentasikan sebagai :  Sejumlah sinyal sinusoidal dengan amplituda, frekuensi dan fasa yang berbeda N

s( t )   A i ( t ) sin [2 Fi ( t ) t  i ( t )] i 1

 Informasi yang terkandung di dalam suatu sinyal ditentukan dengan mengukur :  Amplituda(A)  Frekuensi(F)  Fasa()

SISTEM  Alat fisik yang melakukan suatu operasi pada suatu sinyal  Filter  Mereduksi (mengurangi) derau (noise)  Alat non fisik  Software (perangkat lunak)  Melakukan sejumlah operasi-operasi matematik  Algoritma

KLASIFIKASI SINYAL  Single-channel

signal

 Hanya terdiri dari satu sinyal (variabel tak bebas)  Nilainya bisa real atau kompleks

s1 ( t )  A sin(3t ) s 2 ( t )  Ae

j3 t

 A cos(3t )  jA sin(3t )

 Multi-channel

signal

 Lebih dari satu sinyal (variabel tak bebas)  Gelombang gempa (3 channels)  ECG (3 channels/12 channels)

Gelombang gempa :  Primary wave (Longitudinal)  Secondary wave (Transversal)  Surface wave (Permukaan)

Vektor

S1 ( t )  S( t )  S2 ( t ) S3 ( t ) 

 Sinyal satu dimensi  Hanya fungsi dari satu variabel bebas  Multi-dimensional signal  Fungsi lebih dari satu variabel bebas

S  I( x , y ) Sinyal dua dimensi

 Sinyal tiga dimensi  Gambar televisi hitam-putih S  I ( x , y, t )

 Multichannel multidimensional signal  Gambar televisi berwarna  I r ( x , y, t )    I ( x , y, t )   I g ( x , y, t )   I ( x , y, t )   b 

 Sinyal waktu kontinu  Speech signal  Sinyal waktu diskrit  Hanya ada pada waktu-waktu tertentu saja 0,8n n  0 x (n )   lainnya 0

0,8 0,64

 Sinyal berharga kontinu (Continuous-valued signal)  Dapat berharga berapa saja

Sinyal berharga kontinu dan waktu diskrit

 Sinyal berharga diskrit (Discrete-valued signal)  Berharga pada beberapa kemungkinan saja  Sinyal digital  Waktu diskrit  Harga diskrit

 Sinyal deterministik  Harganya dapat diprediksi Contoh: Sinyal Periodik x ( t )  x ( t  kT), k  I Sinyal Sinusoida

x ( t )  cos(2f t  )  cos[2f ( t  T)  ] T= perioda f =1/T= frekuensi  = sudut fasa

 Sinyal acak (random signal)  Harganya tidak dapat diprediksi

KONSEP FREKUENSI  Sinyal sinusoidal waktu kontinu xa (t )  A cos(t   )

  t  

t = waktu A = amplituda  = frekuensi sudut[radian/detik]  = fasa [radian]

  2F  x a ( t )  A cos(2 F t  ) F = frekuensi [siklus/detik, hertz (Hz)]

xa (t )  A cos(2t   )

x a ( t )  A cos(t  )



Untuk setiap frekuensi F

x a ( t  Tp )  x a ( t )



xa(t) periodik

1 Tp   perioda dasar F

 Sinyal-sinyal sinusoidal waktu kontinu dengan frekuensi berbeda dapat dibedakan  Frekuensi diperbesar Untuk suatu waktu tertentu jumlah perioda bertambah (menaikan laju osilasi)

 Sinyal sinusoidal waktu diskrit x (n )  A cos(n  )

  n  

n = bilangan bulat (integer) A = amplituda  = frekuensi [radian/sampel]  = fasa [radian]

  2 f

 x (n )  A cos(2 f n  )

f = frekuensi [siklus/sampel]

x (n )  A cos(2 f o n  )  1 o   fo  6 12   3

 x (n) periodik hanya bila frekuensi f merupakan bilangan rasional

x (n  N)  x (n ) cos[2f o (n  N)  ]  cos[2f o n  2f o N  ]  cos(2f o n  ) k 2f o N  2k  f o  N

Harga terkecil dari N disebut perioda dasar

 Sinyal-sinyal sinusoidal waktu diskrit dengan frekuensi-frekuensi yang berbeda sebanyak 2 k adalah identik (tidak dapat dibedakan)

cos[(o  2)n  ]  cos[o n  2n  ]  cos(o n  ) x k (n )  A cos(k n  ) k  0,1, 2  k  o  2 k 1 1     f  2 2  Frekuensi diperbesar  harga maksimum f = 1/2

x (n )  cos(o n )

ANALOG TO DIGITAL CONVERSION  Sampling (pencuplikan)  Quantization (kuantisasi)  Coding (pengkodean)

Xa(t)

Sampler

X(n)

Quantizer

Digital signal

Xq(n)

Coder

Analog signal Discrete-time signal

Quantized signal

01011

 Sampling (pencuplikan)  Sinyal waktu kontinu  sinyal waktu diskrit  T = sampling interval  Fs = sampling rate (sampel/detik)

x a ( t )  A cos(2Ft  ) x a (nT )  A cos(2FnT  )  2nF   A cos     Fs 

F x (n )  A cos(2 f n  )  f  Fs Fs 1 1 f max   Fmax   2 2 2T Fs F 2

 ?

x1 ( t )  cos[2(10) t ]  F1  10 Hz x 2 ( t )  cos[2(50) t ]  F2  50 Hz Fs  40 Hz   10  x1 (n )  cos[2 n ]  cos( n ) 2  40  5  50  x 2 (n )  cos[2 n ]  cos( n ) 2  40      cos(2  )n  cos(2n  n )  cos( n )  x1 (n ) 2 2 2 x2(n) identik dengan x1(n) 90 Hz, 130 Hz, …. juga alias 10 Hz

F2 (50 Hz) = alias dari F1(10 Hz)

x a ( t )  A cos(2Fo t  ) x (n )  A cos(2f o n  )

x a ( t )  A cos(2Fk t  ) Fk  Fo  kFs

k  1,  2, 

x (n )  x a (nT)  A cos(2Fk nT  )  Fo  kFs  x (n )  A cos 2 n    Fs   x (n )  A cos(2f o n  2k  ) x (n )  A cos(2f o n  ) Alias dari Fo

Hubungan antara f dan F Fs/2 folding frequency

Contoh Soal 1.1 Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 3 cos 100t a)

Tentukan Fs minimum

b)

Bila Fs = 200 Hz, tentukan x(n)

c)

Bila Fs = 75 Hz, tentukan x(n)

d)

Berapa 0 < F < Fs/2 yang menghasilkan x(n) sama dengan c)

Jawab: a) F = 50 Hz  Fs minimum = 100 Hz b)

100  x (n )  3 cos n  3 cos n 200 2

c)

d)

100 4 x (n )  3 cos n  3 cos n 75 3 2 2  3 cos(2  )n  3 cos( )n 3 3

2 1 x(n)  3 cos( )n  3 cos(2 )n 3 3 Fo f  Fs

1 f  3

1 Fo  f Fs  (75)  25 Hz 3

Fk  Fo  kFs  25  k (75) k  1,  2,  Fs 75 0 F    37,5 2 2

F  Fo  25 Hz

DIGITAL TO ANALOG CONVERSION  Kuantisasi sinyal amplituda kontinu xq (n)  Q[ x(n)]  eq (n)  xq (n)  x(n) Q = proses kuantisasi (rounding, truncation) xq(n) = sinyal hasil kuantisasi eq(n) = error kuantisasi

0,9t xa (t )   0

t0 t0

0,9 n n  0 x ( n)   n0 0

FS  1 Hz  T  1 s

n

x(n)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0.9 0.81 0,729 0,6561 0,59049 0,5311441 0,4782969 0,43046721

xq(n) (Truncation) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,5 0,4 0,4

9

0,387420489

0,3

xq(n) (Rounding) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,7 0,6 0,5 0,5 0,4

eq(n) (Rounding) 0,0 0,0 - 0,01 - 0,029 0,0439 0,00951 - 0,031441 0,0217071 - 0,03046721

0,4

0,012579511

L = level kuantisasi



L = 11

 = Quantization step



 = 0,1

xmaks  xmin 1  0    0,1 L 1 11  1

    eq (n)  2 2

 Kuantisasi sinyal sinusoidal x(n)  A cos( 0t )

FS  2 B  eq (t )  xa (t )  xq (t ) xa(t) dianggap linier diantara level-level kuantisasi  = waktu selama xa(t) berada di dalam level kuantisasi

Error power (rms)

1 Pq  2





1 2  e (t )dt   0 eq (t )dt 2 q



 1  2 2 eq (t )  t  Pq     t dt  2  0  2  2 b = jumlah bit



2

L = 2b + 1

Xmaks-xmin = 2A 2

2A A   b  Pq  2b 2 3(2 )

1 Px  Tp

Tp

2 A 2 0  A cos ot  dt  2

Signal-to-quantization ratio

Px 3 2b SQNR   (2 ) Pq 2

SQNR (dB )  10 log SQNR  1,76  6,02 b  Word length (jumlah bit) ditambah satu  Level kuantisasi menjadi dua kali lipat  SQNR bertambah 6 dB Contoh :  Compact disk player  Sampling frequency 44,1 kHz  16-bit sample resolution  SQNR =96 dB

 Coding of Quantized Samples  Level kuantisasi L 

L bilangan biner yang berbeda

 Word lengh b



2b bilangan biner berbeda

 2b  L



b  2 log L

 L = 11



b = 4 bits

Contoh Soal 1.2 : Diketahui sinyal waktu diskrit :

 x(n)  6,35 cos( )n 10

Tentukan jumlah bit yang diperlukan oleh A/D converter agar resolusinya : a)  = 0,1 b) 

= 0,02

Jawab:

 a) x(n) maksimum pada saat : cos( ) n  1  n  0 10  x(n) minimum pada saat : cos( ) n  1  n  10 10

xmaks  xmin  L 1   0,1 



xmaks  xmin L 1 

[6,35(1)  6,35( 1)] L  1  128 0,1

2  128  b  7 bit b

b)

  0,02 

[6,35(1)  6,35( 1)] L  1  636 0,02

2  636  b  10 bit b

Contoh Soal 1.3 : Diketahui sinyal seismik analog dengan dynamic range sebesar 1 Volt. Bila sinyal analog ini dicuplik dengan frekuensi sebesar 20 sample/s menggunakan 8-bit A/D converter, Tentukan : a) Bit rate (bps) b) Resolusi c) Frekuensi sinyal maksimum yang ada pada digital seismic signal Jawab: a)

8 bit 20 sample bps   160 bit / s sample s

Dynamic range = xmaks - xmin b)

c)

dynamic range 1000 mV    7,875 mV 8 L 1 2 1 Fmaks

FS 20    10 Hz 2 2

Contoh Soal 1.4 : Suatu jaringan komunikasi digital akan digunakan untuk mentransmisikan sinyal analog :

xa (t )  3 cos( 600t )  2 cos(1800t ) Jaringan ini beroperasi pada 10000 bit/s dan setiap sampel dikuantisasi menjadi 1024 level tegangan yang berbeda. a) Tentukan frekuensi pencuplikan dan frekuensi folding b) Tentukan frekuensi Nyquist dari sinyal analog xa(t) c) Tentukan frekuensi-frekuensi pada sinyal waktu diskrit x(n) d) Hitung resolusinya

Jawab: a)

1024  2

b

 b  10 bit

bps 10000 FS    1000 Hz b 10 FS FD   500 Hz 2 b)

xa (t )  3 cos( 2 300t )  2 cos( 2 900t ) F1  300 Hz

F2  900 Hz

FN  2 Fmaks  2 F2  2(900 )  1800 Hz