KOMPUTASI SINYAL DIGITAL
SINYAL DAN SISTEM
GEMBONG EDHI SETYAWAN, S.T., M.T.
[email protected] - http://gembong.lecture.ub.ac.id
Apa itu sinyal?
Besaran fisis yang berubah menurut waktu, ruang atau variabel-variabel bebas lainnya
Apa saja yang bisa Anda katakan terhadap gambar ini?
Apa saja yang bisa Anda katakan terhadap gambar ini? SINYAL ANALOG
SINYAL ANALOG
SINYAL DIGITAL
SINYAL DIGITAL
KSD
...SINYAL DAN SISTEM • • • •
Definisi Sinyal dan Sistem Klasifikasi Sinyal Konsep Frekuensi Analog to Digital Conversion Sampling
DEFINISI
SINYAL DAN SISTEM
SINYAL Besaran-besaran yang tergantung pada waktu dan ruang Besaran fisis (variabel tak bebas) Waktu dan ruang (variabel bebas)
s1 ( t ) 5 t 2 s 2 ( t ) 20 t 2 s 3 ( x , y) 3 x 2 xy 10 y 2
Sinyal-sinyal dengan hubungan matematis yang jelas
Suara pembicaraan (speech signals)
Sinyal –sinyal dengan hubungan matematis yang tidak jelas
Suatu segmen dari suara pembicaraan dapat direpresentasikan sebagai : Sejumlah sinyal sinusoidal dengan amplituda, frekuensi dan fasa yang berbeda N
s( t ) A i ( t ) sin [2 Fi ( t ) t i ( t )] i 1
Informasi yang terkandung di dalam suatu sinyal ditentukan dengan mengukur : Amplituda(A) Frekuensi(F) Fasa()
SISTEM Alat fisik yang melakukan suatu operasi pada suatu sinyal Filter Mereduksi (mengurangi) derau (noise) Alat non fisik Software (perangkat lunak) Melakukan sejumlah operasi-operasi matematik Algoritma
KLASIFIKASI SINYAL Single-channel
signal
Hanya terdiri dari satu sinyal (variabel tak bebas) Nilainya bisa real atau kompleks
s1 ( t ) A sin(3t ) s 2 ( t ) Ae
j3 t
A cos(3t ) jA sin(3t )
Multi-channel
signal
Lebih dari satu sinyal (variabel tak bebas) Gelombang gempa (3 channels) ECG (3 channels/12 channels)
Gelombang gempa : Primary wave (Longitudinal) Secondary wave (Transversal) Surface wave (Permukaan)
Vektor
S1 ( t ) S( t ) S2 ( t ) S3 ( t )
Sinyal satu dimensi Hanya fungsi dari satu variabel bebas Multi-dimensional signal Fungsi lebih dari satu variabel bebas
S I( x , y ) Sinyal dua dimensi
Sinyal tiga dimensi Gambar televisi hitam-putih S I ( x , y, t )
Multichannel multidimensional signal Gambar televisi berwarna I r ( x , y, t ) I ( x , y, t ) I g ( x , y, t ) I ( x , y, t ) b
Sinyal waktu kontinu Speech signal Sinyal waktu diskrit Hanya ada pada waktu-waktu tertentu saja 0,8n n 0 x (n ) lainnya 0
0,8 0,64
Sinyal berharga kontinu (Continuous-valued signal) Dapat berharga berapa saja
Sinyal berharga kontinu dan waktu diskrit
Sinyal berharga diskrit (Discrete-valued signal) Berharga pada beberapa kemungkinan saja Sinyal digital Waktu diskrit Harga diskrit
Sinyal deterministik Harganya dapat diprediksi Contoh: Sinyal Periodik x ( t ) x ( t kT), k I Sinyal Sinusoida
x ( t ) cos(2f t ) cos[2f ( t T) ] T= perioda f =1/T= frekuensi = sudut fasa
Sinyal acak (random signal) Harganya tidak dapat diprediksi
KONSEP FREKUENSI Sinyal sinusoidal waktu kontinu xa (t ) A cos(t )
t
t = waktu A = amplituda = frekuensi sudut[radian/detik] = fasa [radian]
2F x a ( t ) A cos(2 F t ) F = frekuensi [siklus/detik, hertz (Hz)]
xa (t ) A cos(2t )
x a ( t ) A cos(t )
Untuk setiap frekuensi F
x a ( t Tp ) x a ( t )
xa(t) periodik
1 Tp perioda dasar F
Sinyal-sinyal sinusoidal waktu kontinu dengan frekuensi berbeda dapat dibedakan Frekuensi diperbesar Untuk suatu waktu tertentu jumlah perioda bertambah (menaikan laju osilasi)
Sinyal sinusoidal waktu diskrit x (n ) A cos(n )
n
n = bilangan bulat (integer) A = amplituda = frekuensi [radian/sampel] = fasa [radian]
2 f
x (n ) A cos(2 f n )
f = frekuensi [siklus/sampel]
x (n ) A cos(2 f o n ) 1 o fo 6 12 3
x (n) periodik hanya bila frekuensi f merupakan bilangan rasional
x (n N) x (n ) cos[2f o (n N) ] cos[2f o n 2f o N ] cos(2f o n ) k 2f o N 2k f o N
Harga terkecil dari N disebut perioda dasar
Sinyal-sinyal sinusoidal waktu diskrit dengan frekuensi-frekuensi yang berbeda sebanyak 2 k adalah identik (tidak dapat dibedakan)
cos[(o 2)n ] cos[o n 2n ] cos(o n ) x k (n ) A cos(k n ) k 0,1, 2 k o 2 k 1 1 f 2 2 Frekuensi diperbesar harga maksimum f = 1/2
x (n ) cos(o n )
ANALOG TO DIGITAL CONVERSION Sampling (pencuplikan) Quantization (kuantisasi) Coding (pengkodean)
Xa(t)
Sampler
X(n)
Quantizer
Digital signal
Xq(n)
Coder
Analog signal Discrete-time signal
Quantized signal
01011
Sampling (pencuplikan) Sinyal waktu kontinu sinyal waktu diskrit T = sampling interval Fs = sampling rate (sampel/detik)
x a ( t ) A cos(2Ft ) x a (nT ) A cos(2FnT ) 2nF A cos Fs
F x (n ) A cos(2 f n ) f Fs Fs 1 1 f max Fmax 2 2 2T Fs F 2
?
x1 ( t ) cos[2(10) t ] F1 10 Hz x 2 ( t ) cos[2(50) t ] F2 50 Hz Fs 40 Hz 10 x1 (n ) cos[2 n ] cos( n ) 2 40 5 50 x 2 (n ) cos[2 n ] cos( n ) 2 40 cos(2 )n cos(2n n ) cos( n ) x1 (n ) 2 2 2 x2(n) identik dengan x1(n) 90 Hz, 130 Hz, …. juga alias 10 Hz
F2 (50 Hz) = alias dari F1(10 Hz)
x a ( t ) A cos(2Fo t ) x (n ) A cos(2f o n )
x a ( t ) A cos(2Fk t ) Fk Fo kFs
k 1, 2,
x (n ) x a (nT) A cos(2Fk nT ) Fo kFs x (n ) A cos 2 n Fs x (n ) A cos(2f o n 2k ) x (n ) A cos(2f o n ) Alias dari Fo
Hubungan antara f dan F Fs/2 folding frequency
Contoh Soal 1.1 Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 3 cos 100t a)
Tentukan Fs minimum
b)
Bila Fs = 200 Hz, tentukan x(n)
c)
Bila Fs = 75 Hz, tentukan x(n)
d)
Berapa 0 < F < Fs/2 yang menghasilkan x(n) sama dengan c)
Jawab: a) F = 50 Hz Fs minimum = 100 Hz b)
100 x (n ) 3 cos n 3 cos n 200 2
c)
d)
100 4 x (n ) 3 cos n 3 cos n 75 3 2 2 3 cos(2 )n 3 cos( )n 3 3
2 1 x(n) 3 cos( )n 3 cos(2 )n 3 3 Fo f Fs
1 f 3
1 Fo f Fs (75) 25 Hz 3
Fk Fo kFs 25 k (75) k 1, 2, Fs 75 0 F 37,5 2 2
F Fo 25 Hz
DIGITAL TO ANALOG CONVERSION Kuantisasi sinyal amplituda kontinu xq (n) Q[ x(n)] eq (n) xq (n) x(n) Q = proses kuantisasi (rounding, truncation) xq(n) = sinyal hasil kuantisasi eq(n) = error kuantisasi
0,9t xa (t ) 0
t0 t0
0,9 n n 0 x ( n) n0 0
FS 1 Hz T 1 s
n
x(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0.9 0.81 0,729 0,6561 0,59049 0,5311441 0,4782969 0,43046721
xq(n) (Truncation) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,5 0,4 0,4
9
0,387420489
0,3
xq(n) (Rounding) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,7 0,6 0,5 0,5 0,4
eq(n) (Rounding) 0,0 0,0 - 0,01 - 0,029 0,0439 0,00951 - 0,031441 0,0217071 - 0,03046721
0,4
0,012579511
L = level kuantisasi
L = 11
= Quantization step
= 0,1
xmaks xmin 1 0 0,1 L 1 11 1
eq (n) 2 2
Kuantisasi sinyal sinusoidal x(n) A cos( 0t )
FS 2 B eq (t ) xa (t ) xq (t ) xa(t) dianggap linier diantara level-level kuantisasi = waktu selama xa(t) berada di dalam level kuantisasi
Error power (rms)
1 Pq 2
1 2 e (t )dt 0 eq (t )dt 2 q
1 2 2 eq (t ) t Pq t dt 2 0 2 2 b = jumlah bit
2
L = 2b + 1
Xmaks-xmin = 2A 2
2A A b Pq 2b 2 3(2 )
1 Px Tp
Tp
2 A 2 0 A cos ot dt 2
Signal-to-quantization ratio
Px 3 2b SQNR (2 ) Pq 2
SQNR (dB ) 10 log SQNR 1,76 6,02 b Word length (jumlah bit) ditambah satu Level kuantisasi menjadi dua kali lipat SQNR bertambah 6 dB Contoh : Compact disk player Sampling frequency 44,1 kHz 16-bit sample resolution SQNR =96 dB
Coding of Quantized Samples Level kuantisasi L
L bilangan biner yang berbeda
Word lengh b
2b bilangan biner berbeda
2b L
b 2 log L
L = 11
b = 4 bits
Contoh Soal 1.2 : Diketahui sinyal waktu diskrit :
x(n) 6,35 cos( )n 10
Tentukan jumlah bit yang diperlukan oleh A/D converter agar resolusinya : a) = 0,1 b)
= 0,02
Jawab:
a) x(n) maksimum pada saat : cos( ) n 1 n 0 10 x(n) minimum pada saat : cos( ) n 1 n 10 10
xmaks xmin L 1 0,1
xmaks xmin L 1
[6,35(1) 6,35( 1)] L 1 128 0,1
2 128 b 7 bit b
b)
0,02
[6,35(1) 6,35( 1)] L 1 636 0,02
2 636 b 10 bit b
Contoh Soal 1.3 : Diketahui sinyal seismik analog dengan dynamic range sebesar 1 Volt. Bila sinyal analog ini dicuplik dengan frekuensi sebesar 20 sample/s menggunakan 8-bit A/D converter, Tentukan : a) Bit rate (bps) b) Resolusi c) Frekuensi sinyal maksimum yang ada pada digital seismic signal Jawab: a)
8 bit 20 sample bps 160 bit / s sample s
Dynamic range = xmaks - xmin b)
c)
dynamic range 1000 mV 7,875 mV 8 L 1 2 1 Fmaks
FS 20 10 Hz 2 2
Contoh Soal 1.4 : Suatu jaringan komunikasi digital akan digunakan untuk mentransmisikan sinyal analog :
xa (t ) 3 cos( 600t ) 2 cos(1800t ) Jaringan ini beroperasi pada 10000 bit/s dan setiap sampel dikuantisasi menjadi 1024 level tegangan yang berbeda. a) Tentukan frekuensi pencuplikan dan frekuensi folding b) Tentukan frekuensi Nyquist dari sinyal analog xa(t) c) Tentukan frekuensi-frekuensi pada sinyal waktu diskrit x(n) d) Hitung resolusinya
Jawab: a)
1024 2
b
b 10 bit
bps 10000 FS 1000 Hz b 10 FS FD 500 Hz 2 b)
xa (t ) 3 cos( 2 300t ) 2 cos( 2 900t ) F1 300 Hz
F2 900 Hz
FN 2 Fmaks 2 F2 2(900 ) 1800 Hz