Analisa Frekuensi dan Probabilitas Curah Hujan
Rekayasa Hidrologi
Universitas Indo Global Mandiri Norma Puspita, ST.MT
• Sistem hidrologi terkadang dipengaruhi oleh peristiwa-peristiwa yang luar biasa, seperti hujan lebat, banjir, dan kekeringan. Besaran peristiwa ekstrim berbanding terbalik dengan frekuensi kejadiannya, peristiwa yang sangat ekstrim kejadiannya sangat langka. • Tujuan analisis frekuensi data hidrologi berkaitan dengan besaran peristiwa-peristiwa ekstrim yang berkaitan dengan frekuensi kejadiannya melalui penerapan distribusi kemungkinan. • Data hidrologi yang dianalisis diasumsikan tidak bergantung (independent), terdistribusi secara acak, dan bersifat stokastik.
• Frekuensi hujan adalah besaran kemungkinan suatu besaran hujan disamai atau dilampaui. • Sebaliknya, periode ulang adalah waktu hipotetik dimana hujan dengan suatu besaran tertentu akan disamai atau dilampaui. • Analisis frekuensi ini didasarkan pada sifat statistik data kejadian yang telah lalu untuk memperoleh probabilitas besaran hujan di masa yang akan datang dengan anggapan bahwa sifat statistik kejadian hujan di masa akan datang akan masih sama dengan sifat statistik kejadian hujan masa lalu.
Curah Hujan Rencana Curah Hujan Rencana adalah hujan harian maksimum yang akan digunakan untuk menghitung intensitas hujan. Curah Hujan Rencana dihitung berdasarkan distribusi atau sebaran curah hujan harian maksimum selama (minimal)10 tahun berturut turut
Analisa Curah Hujan Rencana Analisa Curah Hujan Rencana meliputi: • Analisa frekuensi curah hujan • Analisa Pengujian Kecocokan Sebaran • Analisa Distribusi Curah Hujan Rencana
Analisa Frekuensi Curah Hujan • Menghitung Simpangan Baku (Standar Deviasi) Simpangan Baku adalah besar perbedaan dari nilai sampel terhadap nilai rata-rata 𝑺 =
𝒏 𝒊=𝟏
𝑿𝒊 − 𝑿 𝒏
𝟐
Di mana : S = Deviasi standart Xi = Nilai varian ke i
𝑋 = Nilai rata-rata varian n = Jumlah data
Analisa Frekuensi Curah Hujan • Menghitung Koefesien Kemencengan/Skewness (CS) Kemencengan (skewness) adalah suatu nilai yang menunjukkan derajat ketidak simestrisan dari suatu bentuk distribusi. 𝑪𝑺 =
𝒏
𝒏 𝒊=𝟏
𝑿𝒊 − 𝑿 𝟑 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟐 𝑺𝟑
Di mana :
CS = Koefesien Skewness Xi = Nilai varian ke i
𝑋 = Nilai rata-rata varian n = Jumlah data S = Simpangan Baku
Analisa Frekuensi Curah Hujan • Menghitung Koefisien Kurtosis (CK) Pengukuran kurtosis dimaksud untuk mengukur keruncingan dari bentuk kurva distribusi, yang umumnya dibandingkan dengan distribusi normal. 𝟏 𝑪𝑲 = 𝒏
𝒏 𝒊=𝟏
𝑿𝒊 − 𝑿 𝑺𝟒
𝟒
Di mana : CK = Koefisien Kurtosis Xi = Nilai varian ke i 𝑋 = Nilai rata-rata varian n = Jumlah data S = Simpangan Baku
Contoh 1 Diketahui curah hujan harian maksimum stasiun hujan Ngujung Kota Batu Malang (Tabel dibawah) dari tahun (1998 – 2007). Hitung Simpangan Baku, Koefisien Kemencengan, Koefisien Kurtosis, dan koefisien Variasi dari data dibawah ini. Nama Pos Ngujung Nomor Pos 7d Jenis Alat Manual (MRG)
Provinsi Jawa Timur Kota/Kabupaten Kota Batu Kecamatan Bumiaji
Koordinat
07 51' 8'' LS - 112 32' 17'' BT Desa/Kampung Ngujung
Elevasi DAS
+ 1136 m K. Brantas
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pengelola Balai PSAWS Bango Gedangan (Malang) Nama Pengamat Tahun 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Curah Hujan Harian Maksimum 76 61 74 67 129 96 70 70 63 92
Penyelesaian: No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
𝑆= 𝐶𝑆 =
𝑛 𝑖=1
𝑛
Tahun 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Xi 76 61 74 67 129 96 70 70 63 92 798
𝑋𝑖 − 𝑋 𝑛−1
2
=
𝑿 79.8 79.8 79.8 79.8 79.8 79.8 79.8 79.8 79.8 79.8
𝑿𝒊 − 𝑿 -3.8 -18.8 -5.8 -12.8 49.2 16.2 -9.8 -9.8 -16.8 12.2
𝑿𝒊 − 𝑿 𝟐 14.44 353.44 33.64 163.84 2420.64 262.44 96.04 96.04 282.24 148.84 3871.60
3871,6 = 20.7403 10 − 1
𝑛 𝑖=1
𝐶𝑉 =
𝑋𝑖 − 𝑋 3 10 × 109574,04 = = 1,7053 𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑆 3 9 × 8 × 20,74033
𝑛 4 𝑛 𝑛+1 3 𝑛−1 2 𝑖=1 𝑋𝑖 − 𝑋 𝐶𝐾 = − 𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑛 − 3 𝑆4 𝑛−2 𝑛−3 10 × 11 × 6201736,43 3 × 92 = − = 2,9751 9 × 8 × 7 × 20,74034 8×7
𝑿𝒊 − 𝑿 𝟑 -54.87 -6644.67 -195.11 -2097.15 119095.49 4251.53 -941.19 -941.19 -4741.63 1815.85 109547.04
𝑿𝒊 − 𝑿 𝟒 208.51 124919.83 1131.65 26843.55 5859498.01 68874.75 9223.68 9223.68 79659.42 22153.35 6201736.43
𝑆 20,7403 = = 0,26 79,8 𝑋
Analisa Pengujian Kecocokan Sebaran Analisa Pengujian Kecocokan Sebaran dilakukan untuk menguji kecocokan (the goodness of fittest test) distribusi frekuensi sampel data terhadap fungsi distribusi peluang yang diperkirakan dapat menggambarkan atau mewakili distribusi frekuensi tersebut. Pengujian parameter yang sering dipakai adalah chi-kuadrat, dan smirnov-Kolmogorov. Syarat – syarat batas penentuan sebaran No.
Jenis Distribusi
Syarat
1
Normal
Cs = 0, Ck = 3
2
Log Normal
Cs = 3 Cv = 1.8, Cv = 0.6
3
Gumbel
Cs ≤ 1.1396 , Ck ≤ 5.4002
4
Pearson III
Cs ≠ 0, Cv = 0.3
5
Log Peason III
Cs < 0, Cv = 0.3
Analisa Pengujian Kecocokan Sebaran • Chi-Kuadrat (Chi-Square) Uji Chi-kuadrat dimaksudkan untuk menentukan apakah persamaan distribusi yang akan dipilih dapat mewakili distribusi statistik sampel data yang dianalisis. Analisa dapat diterima jika nilai Chi Kuadrat terhitung < Chi-Kuadrat Kritis 𝑮
𝑿2𝒉 = 𝒊=1
𝑶𝒊 − 𝑬 𝒊 𝑬𝒊
2
𝑋ℎ2
= parameter chi-kuadrat terhitung
G
= jumlah sub kelompok
Oi Ei
= jumlah nilai pengamatan pada sub kelompok i = jumlah nilai teoritis pada sub kelompok i
Analisa Pengujian Kecocokan Sebaran Chi-Kuadrat (Chi-Square)
Penentuan Jumlah sub kelompok (G) G = 1 + 3,322 Log n
Penentuan Derajat Kebebasan (DK) DK = G – (P + 1) Dimana nilai P untuk untuk distribusi normal dan binomial = 2 sedangkan untuk distribusi gumbel dan poisson = 1 Menghitung nilai teoritis 𝑛 • 𝐸𝑖 = 𝐺
Menghitung interval kelas 𝑋 − 𝑋 • ∆ 𝑋 = 𝑚𝑎𝑥𝐺 −1 𝑚𝑖𝑛 • 𝑋𝑎𝑤𝑎𝑙 = 𝑋𝑚𝑖𝑛 − 0.5 ∆𝑋 • 𝑋𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 + 0.5 ∆𝑋
Contoh 2: Berdasarkan data pada soal 1. Lakukan uji chi kuadrat untuk data tersebut. Penyelesaian : 1.Urutkan data pengamatan dari besar ke kecil atau sebaliknya No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Curah Hujan 129 96 92 76 74 70 70 67 63 61
2. Penentuan Jumlah sub kelompok (G) = 1 + 3,322 log 10 = 4,322 ≈ 5 3. Nilai batas sub kelompok : ∆𝑋 =
𝑋𝑎𝑤𝑎𝑙
𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛 129 − 61 = = 17 𝐺 −1 5−1 = 𝑋𝑚𝑖𝑛 − 0.5 ∆𝑋 = 62 − 0,5 × 17 = 52,5
𝑋𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 + 0.5 ∆𝑋 = 129 + 0,5 × 17 = 137,5
𝑛 10 = =2 𝐺 5 DK = G – (P+1) = 5 – (2+1) = 2 𝐸𝑖 =
Hitung Chi Kuadrat Terhitung Sub Kelompok
Oi
Ei
Oi - Ei
52,5 – 69,5 3 2 1 69,5 – 86,5 4 2 2 86,5 – 103,5 2 2 0 103,5 – 120,5 0 2 -2 120,5 – 137,5 1 2 -1 Chi Kuadrat Terhitung
(Oi Ei)2 1 4 0 4 1
𝑶𝒊 − 𝑬𝒊 𝑬𝒊 0.5 2 0 2 0.5 5
𝟐
Berdasarkan table chi kuadrat kritis diketahui 5,991 lebih besar dari nilai chi kuadrat terhitung sehingga analisa distribusi dapat diterima
Tabel Chi-Kuadrat (Chi-Square) Kritis Chi-Kuadrat (Chi-Square)
Tabel Chi-Kuadrat (Chi-Square) Kritis Chi-Kuadrat (Chi-Square)
Analisa Pengujian Kecocokan Sebaran • Smirnov-Kolmogorov Uji kecocokan Smirnov – Kolgomorov sering disebut juga uji kecocokan non parametrik, karena pengujiannya tidak menggunakan fungsi disribusi tertentu Prosedur pelaksanaannya adalah sebagai berikut: • Urutkan data ( dari besar ke kecil atau sebaliknya ) dan tentukan besarnya peluang dari masing-masing data tersebut. X1 = P(X1) X2 = P(X2) X3 = P(X3), dan seterusnya • Urutkan nilai masing-masing peluang teoritis dari hasil penggambaran data ( persamaan distribusinya ) X1 = P’(X1) X2 = P’(X2) X3 = P’(X3), dan seterusnya
Analisa Pengujian Kecocokan Sebaran Smirnov-Kolmogorov • Dari kedua nilai peluang tersebut, tentukan selisih tersebarnya antar peluang pengamatan dengan peluang teoritis. D = maksimum (P(Xn)-P’(Xn)) • Berdasarkan tabel nilai kritis ( Smirnove-Kolmogorov test ) tentukan harga Do Derajat Kepercayaan, α n 0,2 0,1 0,05 0.01 • Tabel Nilai Kritis Do 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 n>50
0,45 0,32 0,27 0,23 0,21 0,19 0,18 0,17 0,16 0,15 1,07/n
0,51 0,37 0,30 0,26 0,24 0,22 0,20 0,19 0,18 0,17 1,22/n
0,56 0,41 0,34 0,29 0,27 0,24 0,23 0,21 0,20 0,19 1,36/n
0,67 0,49 0,40 0,36 0,32 0,29 0,27 0,25 0,24 0,23 1,693/n
Contoh 3: Berdasarkan data pada soal 1. Lakukan uji kecocokan Smirnov Kolmogorov untuk data tersebut. No Curah . Hujan 1 129 2 96 3 92 4 76 5 74 6 70 7 70 8 67 9 63 10 61
m 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9
𝒎 𝒏+𝟏 0.0909 0.1818 0.2727 0.3636 0.4545 0.5455 0.5455 0.6364 0.7273 0.8182
𝑷 𝒙 =
P(x<) = 1 - P(x) 0.9091 0.8182 0.7273 0.6364 0.5455 0.4545 0.4545 0.3636 0.2727 0.1818 Dmaks
𝒎 𝒏−𝟏 0.1111 0.2222 0.3333 0.4444 0.5556 0.6667 0.6667 0.7778 0.8889 1
𝑷′(𝒙) =
P'(x<) = 1 - P'(x)
D
0.8889 0.7778 0.6667 0.5556 0.4444 0.3333 0.3333 0.2222 0.1111 0
0.0202 0.0404 0.0606 0.0808 0.1010 0.1212 0.1212 0.1414 0.1616 0.1818 0.1818
Analisa Distribusi Curah Hujan Analisa distribusi sangat erat hubungannya dengan frekuensi hujan dan periode ulang hujan Frekuensi hujan adalah besaran kemungkinan suatu besaran hujan disamai atau dilampaui. Periode ulang adalah waktu hipotetik dimana hujan dengan suatu besaran tertentu akan disamai atau dilampaui.
Metode Analisis Distribusi Frekuensi yang sering digunakan dalam bidang hidrologi : 1.Distribusi Normal 2.Distribusi Log Normal 3.Distribusi Log Pearson Type III 4.Distribusi Gumbel
Analisa Distribusi Curah Hujan • Distribusi Normal
𝑿𝒕 = 𝑿 + 𝑲𝑻 𝑺 Xt = curah hujan rencana (mm/hari) 𝑋 = curah hujan maksimum rata-rata (mm/hari) S = Simpangan Baku KT = faktor frekuensi (Nilai variable reduksi Gauss)
• Distribusi Log Normal
𝒍𝒐𝒈 𝑿𝑻 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙 + 𝑲𝑻 𝑺 𝑿𝑻 = 𝟏𝟎𝒍𝒐𝒈 𝒙+ 𝑲𝑻 𝑺
Periode Ulang, T (tahun) 1.001 1.005 1.010 1.05 1.11 1.25 1.33 1.43 1.67 2 2.5 3.33 4 5 10 20 50 100 200 500 1000
Peluang
KT
0.999 0.995 0.990 0.950 0.900 0.800 0.750 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.250 0.200 0.100 0.050 0.020 0.010 0.005 0.002 0.001
-3.05 -2.58 -2.33 -1.64 -1.28 -0.84 -0.67 -0.52 -0.25 0 0.25 0.52 0.67 0.84 1.28 1.64 2.05 2.33 2.58 2.88 3.09
Contoh 4: Berdasarkan data pada Soal 2.1. Hitung curah hujan rencana untuk periode ulang 2, 5, 10, 20,50, dan 100 tahun menggunakan metode distribusi Normal dan log normal Penyelesaian : Distribusi Normal
No.
PUT (tahun)
1. 2. 3. 4. 5. 6.
2 5 10 20 50 100
𝑿 79.8 79.8 79.8 79.8 79.8 79.8
K
S
𝑿𝑻
0 0.84 1.28 1.64 2.05 2.33
20.7403 20.7403 20.7403 20.7403 20.7403 20.7403
79.80 97.22 106.35 113.81 122.32 128.12
Penyelesaian : Distribusi Log Normal No.
Tahun
Xi
log Xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
76 61 74 67 129 96 70 70 63 92 798
1.880814 1.78533 1.869232 1.826075 2.11059 1.982271 1.845098 1.845098 1.799341 1.963788 18.90764
𝑆= No. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
log 𝑋𝑖 − log 𝑋 𝑛−1 PUT (tahun) 2 5 10 20 50 100
2
=
𝒍𝒐𝒈 𝑿 1.890764 1.890764 1.890764 1.890764 1.890764 1.890764
𝒍𝒐𝒈 𝑿 𝒍𝒐𝒈 𝑿𝒊 − 𝒍𝒐𝒈 𝑿 1.890764 -0.0099499 1.890764 -0.1054337 1.890764 -0.0215318 1.890764 -0.0646887 1.890764 0.21982618 1.890764 0.0915077 1.890764 -0.0456655 1.890764 -0.0456655 1.890764 -0.091423 1.890764 0.07302429
𝟐
𝒍𝒐𝒈 𝑿𝒊 − 𝒍𝒐𝒈 𝑿 9.9001E-05 0.01111627 0.00046362 0.00418463 0.04832355 0.00837366 0.00208534 0.00208534 0.00835816 0.00533255 0.09042211
0,09042211 = 0,100234 9 K 0 0.84 1.28 1.64 2.05 2.33
S 0.100234 0.100234 0.100234 0.100234 0.100234 0.100234
𝒍𝒐𝒈 𝑿𝑻 1.890764 1.9749606 2.0190635 2.0551478 2.0962437 2.1243092
XT 77.761387 94.397515 104.4873 113.5397 124.80837 133.1402
Analisa Distribusi Curah Hujan • Distribusi Gumbel Distribusi Gumbel atau Distribusi Extrim Tipe I digunakan untuk analisis data maksimum, misalnya untuk analisis frekwensi banjir. 𝒀𝑻 − 𝒀𝒏 𝑿𝑻 = 𝑿 + 𝑺 𝑺𝒏 XT = curah hujan rencana dalam periode ulang T tahun ( mm/hari)
𝑋 = curah hujan rata – rata hasil pengamatan (mm/hari) YT = reduced variable, parameter Gumbel untuk periode T tahun 𝒀𝑻 = −𝒍𝒏
𝑻−𝟏 𝑻
untuk T 20, maka
YT = ln T
Yn
= reduced mean, merupakan fungsi dari banyak data (n)
Sn S
= reduced standard deviasi = Simpangan Baku
Tabel Reduced Mean (Yn) n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 0,4952 0,5236 0,5363 0,5463 0,5485 0,5521 0,5548 0,5569 0,5586 0,5600
1 0,4996 0,5252 0,5371 0,5442 0,5489 0,5524 0,5550 0,5570 0,5587 0,5602
2 0,5035 0,5268 0,5380 0,5448 0,5493 0,5527 0,5552 0,5572 0,5589 0,5603
3 0,5070 0,5283 0,5388 0,5453 0,5497 0,5530 0,5555 0,5574 0,5591 0,5604
4 0,5100 0,5296 0,5396 0,5458 0,5501 0,5533 0,5557 0,5576 0,5592 0,5606
5 0,5128 0,5300 0,5400 0,5468 0,5504 0,5535 0,5559 0,5578 0,5593 0,5607
6 0,5157 0,5820 0,5410 0,5468 0,5508 0,5538 0,5561 0,5580 0,5595 0,5608
7 0,5181 0,5882 0,5418 0,5473 0,5511 0,5540 0,5563 0,5581 0,5596 0,5609
8 0,5202 0,5343 0,5424 0,5477 0,5515 0,5543 0,5565 0,5583 0,5598 0,5610
9 0,5220 0,5353 0,5430 0,5481 0,5518 0,5545 0,5567 0,5585 0,5599 0,5611
Tabel Reduced Standar Deviasi (Sn) n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.9496
0.9676
0.9833
0.9971
1.0095
1.0206
1.0316
1.0411
1.0493
1.0565
20
1.0628
1.0696
1.0754
1.0811
1.0864
1.0915
1.0961
1.1004
1.1047
1.108
30
1.1124
1.1159
1.1193
1.226
1.1255
1.1285
1.1313
1.1339
1.1363
1.1388
40
1.1413
1.1436
1.1458
1.148
1.1499
1.1519
1.1538
1.1557
1.1574
1.159
50
1.1607
1.1623
1.1638
1.1658
1.1667
1.1681
1.1696
1.1708
1.1721
1.1734
60
1.1747
1.1759
1.177
1.1782
1.1793
1.1803
1.1814
1.1824
1.1834
1.1844
70
1.1854
1.1863
1.1873
1.1881
1.189
1.1898
1.1906
1.1915
1.1923
1.193
80
1.1938
1.1945
1.1953
1.1959
1.1967
1.1973
1.198
1.1987
1.1994
1.2001
90
1.2007
1.2013
1.2026
1.2032
1.2038
1.2044
1.2046
1.2049
1.2055
1.206
100
1.2065
1.2069
1.2073
1.2077
1.2081
1.2084
1.2087
1.2090
1.2093
1.2096
Tabel Reduced Variate (YT) Periode Ulang 2 5 10 20 25 50 100 200 500 1000 5000 10000
Reduced Variate 0,3665 1.5004 2.2510 2.9709 3.1993 3.9028 4.6012 5.2969 6.2149 6.9087 8.5188 9.2121
Contoh 5: Berdasarkan data pada soal 1. Hitung curah hujan rencana untuk periode ulang 2, 5, 10, 20, 50, dan 100 tahun menggunakan metode Gumbel
𝒀𝑻 − 𝒀𝒏
𝒀 𝑻 − 𝒀𝒏 𝑺𝒏
S
𝒀𝑻 − 𝒀𝒏 𝑺 𝑺𝒏
𝑿𝑻
79.8 0.3665 0.4952 0.9496
-0.1287
-0.1355
20.7407
-2.8110
76.9890
5
79.8 1.5004 0.4952 0.9496
1.0052
1.0586
20.7407
21.9551
101.7551
3.
10
79.8 2.2510 0.4952 0.9496
1.7558
1.8490
20.7407
38.3494
118.1494
4.
20
79.8 2.9709 0.4952 0.9496
2.4757
2.6071
20.7407
54.0731
133.8731
5.
50
79.8 3.9028 0.4952 0.9496
3.4076
3.5885
20.7407
74.4272
154.2272
6.
100
79.8 4.6012 0.4952 0.9496
4.106
4.3239
20.7407
89.6814
169.4814
No.
PUT
1.
2
2.
𝑿
𝒀𝑻
𝒀𝒏
𝑺𝒏
Analisa Distribusi Curah Hujan • Distribusi Log Pearson Tipe III Distribusi Log Pearson Tipe III digunakan untuk analisis variabel hidrologi dengan nilai varian minimum misalnya analisis frekuensi distribusi dari debit minimum (low flows). 𝒍𝒐𝒈 𝑿𝑻 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙 + 𝑲. 𝑺 𝑿𝑻 = 𝟏𝟎𝒍𝒐𝒈 𝒙+𝑲.𝑺
Tabel Koefisien K
CS
3,0 2,5 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
2
5
10
50 -0,396 -0,360 -0,330 -0,307 -0,282 -0,254 -0,225 -0,195 -0,164 -0,148 -0,132 -0,116 -0,099 -0,083 -0,066 -0,050 -0,033 -0,017
20 0,420 0,518 0,574 0,609 0,643 0,675 0,705 0,732 0,758 0,769 0,780 0,790 0,800 0,808 0,816 0,824 0,831 0,836
10 1,180 1,250 1,840 1,302 1,318 1,329 1,337 1,340 1,340 1,339 1,336 1,333 1,328 1,323 1,317 1,309 1,301 1,292
Periode Ulang (tahun) 25 50 Peluang (%) 4 2 2,278 3,152 2,262 3,048 2,240 2,970 2,219 2,912 2,193 2,848 2,163 2,780 2,128 2,706 2,087 2,626 2,043 2,542 2,018 2,498 1,998 2,453 1,967 2,407 1,939 2,359 1,910 2,311 1,880 2,261 1,849 2,211 1,818 2,159 1,785 2,107
100
200
500
1 4,051 3,845 3,705 3,605 3,499 3,388 3,271 3,149 3,022 2,957 2,891 2,824 2,755 2,686 2,615 2,544 2,472 2,400
0.5 4,970 4,652 4,444 4,298 4,147 3,990 3,828 3,661 3,489 3,401 3,312 3,223 3,132 3,041 2,949 2,856 2,763 2,670
0.1 7,250 6,600 6,200 5,910 5,660 5,390 5,110 4,820 4,540 4,395 4,250 4,105 3,960 3,815 3,670 5,525 3,380 3,235
Tabel Koefisien K
CS
0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 -1,2 -1,4 -1,6 -1,8 -2,0 -2,2 -2,5
2
5
10
50 0,000 0,017 0,033 0,050 0,066 0,083 0,099 0,116 0,132 0,148 0,164 0,195 0,225 0,254 0,282 0,307 0,330 0,360
20 0,842 0,836 0,850 0,830 0,855 0,856 0,857 0,857 0,856 0,854 0,852 0,844 0,832 0,817 0,799 0,777 0,752 0,711
10 1,282 1,270 1,258 1,245 1,231 1,216 1,200 1,183 1,166 1,147 1,128 1,086 1,041 0,994 0,945 0,895 0,844 0,771
Periode Ulang (tahun) 25 50 Peluang (%) 4 2 1,751 2,054 1,761 2,000 1,680 1,945 1,643 1,890 1,606 1,834 1,567 1,777 1,528 1,720 1,488 1,663 1,488 1,606 1,407 1,549 1,366 1,492 1,282 1,379 1,198 1,270 1,116 1,166 1,035 1,069 0,959 0,980 0,888 0,900 0,793 1,798
100
200
500
1 2,326 2,252 2,178 2,104 2,029 1,955 1,880 1,806 1,733 1,660 1,588 1,449 1,318 1,200 1,089 0,990 0,905 0,799
0.5 2,576 2,482 2,388 2,294 2,201 2,108 2,016 1,926 1,837 1,749 1,664 1,501 1,351 1,216 1,097 1,995 0,907 0,800
0.1 3,090 3,950 2,810 2,675 2,540 2,400 2,275 2,150 2,035 1,910 1,800 1,625 1,465 1,280 1,130 1,000 0,910 0,802
Contoh 6 : Berdasarkan data pada soal 2.1. Hitung curah hujan rencana untuk periode ulang 2, 5, 10, 25, 50, dan 100 tahun menggunakan metode Log Pearson III. Penyelesaian: No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tahun 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Total
log Xi
76 61 74 67 129 96 70 70 63 92 798
1.880814 1.78533 1.869232 1.826075 2.11059 1.982271 1.845098 1.845098 1.799341 1.963788 18.90764
log 𝑋𝑖 − log 𝑋 𝑛−1
𝑆= 𝐶𝑆 =
Xi
𝑛
𝑛 𝑖=1
𝒍𝒐𝒈 𝑿 𝒍𝒐𝒈 𝑿𝒊 − 𝒍𝒐𝒈 𝑿 1.890764 -0.0099499 1.890764 -0.1054337 1.890764 -0.0215318 1.890764 -0.0646887 1.890764 0.21982618 1.890764 0.0915077 1.890764 -0.0456655 1.890764 -0.0456655 1.890764 -0.091423 1.890764 0.07302429 2
=
𝟐
𝒍𝒐𝒈 𝑿𝒊 − 𝒍𝒐𝒈 𝑿 9.9001E-05 0.01111627 0.00046362 0.00418463 0.04832355 0.00837366 0.00208534 0.00208534 0.00835816 0.00533255 0.09042211
0,09042211 = 0,100234 9
𝑋𝑖 − 𝑋 3 10 × 0.009370161 = = 1,2923 ≈ 1,29 𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑆 3 9 × 8 × 0,1002343
𝟑
𝒍𝒐𝒈 𝑿𝒊 − 𝒍𝒐𝒈 𝑿 -0.0000009851 -0.001172029 -0.0000099826 -0.000270699 0.010622781 0.000766254 -0.0000952280 -0.0000952280 -0.000764128 0.000389405 0.009370161
Berdasarkan table nilai K dilakukan interpolasi untuk mendapatkan nilai K pada CS 1,29. CK 1.4 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32 1.31 1.3 1.29 1.28 1.27 1.26 1.25 1.24 1.23 1.22 1.21 1.2
2 -0.225 -0.2235 -0.222 -0.2205 -0.219 -0.2175 -0.216 -0.2145 -0.213 -0.2115 -0.21 -0.2085 -0.207 -0.2055 -0.204 -0.2025 -0.201 -0.1995 -0.198 -0.1965 -0.195
5 0.705 0.70635 0.7077 0.70905 0.7104 0.71175 0.7131 0.71445 0.7158 0.71715 0.7185 0.71985 0.7212 0.72255 0.7239 0.72525 0.7266 0.72795 0.7293 0.73065 0.732
10 1.337 1.33715 1.3373 1.33745 1.3376 1.33775 1.3379 1.33805 1.3382 1.33835 1.3385 1.33865 1.3388 1.33895 1.3391 1.33925 1.3394 1.33955 1.3397 1.33985 1.34
Periode Ulang (tahun) 25 50 2.128 2.706 2.12595 2.702 2.1239 2.698 2.12185 2.694 2.1198 2.69 2.11775 2.686 2.1157 2.682 2.11365 2.678 2.1116 2.674 2.10955 2.67 2.1075 2.666 2.10545 2.662 2.1034 2.658 2.10135 2.654 2.0993 2.65 2.09725 2.646 2.0952 2.642 2.09315 2.638 2.0911 2.634 2.08905 2.63 2.087 2.626
100 3.271 3.2649 3.2588 3.2527 3.2466 3.2405 3.2344 3.2283 3.2222 3.2161 3.21 3.2039 3.1978 3.1917 3.1856 3.1795 3.1734 3.1673 3.1612 3.1551 3.149
200 3.828 3.81965 3.8113 3.80295 3.7946 3.78625 3.7779 3.76955 3.7612 3.75285 3.7445 3.73615 3.7278 3.71945 3.7111 3.70275 3.6944 3.68605 3.6777 3.66935 3.661
500 5.11 5.0955 5.081 5.0665 5.052 5.0375 5.023 5.0085 4.994 4.9795 4.965 4.9505 4.936 4.9215 4.907 4.8925 4.878 4.8635 4.849 4.8345 4.82
No. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
PUT (tahun) 2 5 10 25 50 100
𝒍𝒐𝒈 𝑿
K
S
𝒍𝒐𝒈 𝑿𝑻
XT
1.890764 1.890764 1.890764 1.890764 1.890764 1.890764
-0.2085 0.71985 1.33865 2.10545 2.662 3.2039
0.100234 0.100234 0.100234 0.100234 0.100234 0.100234
1.8699 1.9629 2.0249 2.1018 2.1576 2.2119
74.1080 91.8158 105.9113 126.4159 143.7431 162.8935
Intensitas Hujan Intensitas curah hujan umumnya dihubungkan dengan kejadian dan lamanya (duration) hujan turun, yang disebut Intensity Duration Frequency (IDF). Hubuungan antara intensitas, lama hujan, dan frekuensi hujan biasanya dinyatakan dalam lengkung Intensitas-Durasi-Frekuensi (IDF Curve). Talbot (1881) 𝑎 𝐼= 𝑡+𝑏 𝑎=
𝑖2
𝑖. 𝑡
𝑛
𝑖2
𝑖 2. 𝑡
−
−
𝑖
𝑖
2
Sherman (1905) 𝑎 𝐼= 𝑁 𝑡 log 𝑖 log 𝑡 2 − log 𝑡 . log 𝑖 log 𝑎 = 𝑛 log 𝑡 2 − log 𝑡 2 𝑁=
log 𝑖 𝑛
log 𝑡 − 𝑛. log 𝑡 2 −
log 𝑡 . log 𝑖 log 𝑡 2
𝑏=
log 𝑡
𝑖. 𝑡 𝑛
𝑖
− 𝑛.
𝑖2
−
𝑖 2. 𝑡 𝑖
2
Ishiguro (1953) 𝑎 𝐼= 𝑡+𝑏 𝑎= 𝑏=
Mononobe 𝑅24 24 𝐼= 24 𝑡
𝑖2
𝑖. 𝑡
𝑖2
𝑛
𝑖. 𝑡 𝑛
𝑖 2. 𝑡
− −
𝑖
− 𝑛.
𝑖2
−
𝑖
2
𝑖 2. 𝑡 𝑖
2
𝑖
2 3
Contoh 7: Berikut ini adalah data curah hujan jangka pendek yang diperoleh dari stasiun BMG Semarang, yaitu data curah hujan tahun 1984 – 1993 seperti terlihat dibawah ini. Hitung Intensitas hujan menggunakan rumus Talbot, Sherman, dan Ishiguro. No.
Tahun
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
5 15 15 31 27 15 16 10 12 15 24
10 27 25 46 32 26 26 21 20 22 32
15 35 35 62 37 36 30 31 31 32 43
30 47 55 72 60 51 44 52 41 58 80
45 61 71 5 5 71 55 59 48 80 90
60 67 95 100 88 81 80 59 50 85 98
Durasi (menit) 120 180 79 83 149 149 123 129 93 96 102 101 100 100 65 68 62 89 92 100 116 118
360 85 149 129 96 117 108 81 130 103 151
720 91 247 130 138 174 142 100 137 104 211
1440 91 253 130 138 174 142 115 137 104 276
2880 128 282 130 155 198 226 123 185 135 429
Penyelesaian: 1. Menentukan besaran curah hujan, yaitu perkalian besar hujan dan waktu 60 menit dibagi durasi hujan tsb.
No.
Tahun
1 1984 2 1985 3 1986 4 1987 5 1988 6 1989 7 1990 8 1991 9 1992 10 1993 Jmlh data (n) Total Maksimum Rata - Rata Simpangan Baku
5 180 180 372 324 180 192 120 144 180 288 10 2160 372 216
10 162 150 276 192 156 156 126 120 132 192 10 1662 276 166.2
15 140 140 248 148 144 120 124 124 128 172 10 1488 248 148.8
30 94 110 144 120 102 88 104 82 116 160 10 1120 160 112
45 81.33 94.67 6.67 6.67 94.67 73.33 78.67 64.00 106.67 120 10 726.67 120 72.67
Durasi (menit) 60 120 67 39.5 95 74.5 100 61.5 88 46.5 81 51 80 50 59 32.5 50 31 85 46 98 58 10 10 803 490.5 100 74.5 80.30 49.05
82.56
45.70
38.08
24.44
38.39
16.83
13.31
180 27.67 49.67 43.00 32.00 33.67 33.33 22.67 29.67 33.33 39.33 10 344.33 49.67 34.43
360 14.17 24.83 21.50 16.00 19.50 18.00 13.50 21.67 17.17 25.17 10 191.5 25.17 19.15
720 7.58 20.58 10.83 11.50 14.50 11.83 8.33 11.42 8.67 17.58 10 122.83 20.58 12.28
1440 3.79 10.54 5.42 5.75 7.25 5.92 4.79 5.71 4.33 11.50 10 65 11.5 6.50
2880 2.67 5.88 2.71 3.23 4.13 4.71 2.56 3.85 2.81 8.94 10 41.48 8.94 4.15
7.78
4.12
4.17
2.57
1.99
2. Tentukan curah hujan rencana dengan metode Gumbel untuk periode ulang 20 tahun Tr
YT
20
2.9709
5 431.24
10 285.34
15 248.07
30 175.72
45 172.75
Durasi (menit) 60 120 124.17 83.75
180 54.73
360 29.88
720 23.15
1440 13.21
2880 9.34
3. Hitung konstanta a, b, dan N No.
t
1 5 2 10 3 15 4 30 5 45 6 60 7 120 8 180 9 360 10 720 11 1440 12 2880 jumlah
i
i.t
i2
i2.t
log t
log i
log I. log t
(logt)2
𝒕
i 𝒕
i2 𝒕
431.2 285.3 248.1 175.7 172.7 124.2 83.7 54.7 29.9 23.1 13.2 9.3 1651.3
2156.20 2853.42 3721.11 5271.56 7773.72 7450.06 10049.82 9850.95 10756.34 16667.45 19016.83 26906.73 122474.2
185967.56 81419.94 61540.61 30877.00 29842.32 15417.60 7013.81 2995.10 892.74 535.89 174.40 87.28 416764.3
929837.80 814199.42 923109.17 926309.96 1342904.56 925056.20 841657.61 539118.12 321385.87 385838.65 251138.64 251379.29 8451935.3
0.70 1.00 1.18 1.48 1.65 1.78 2.08 2.26 2.56 2.86 3.16 3.46 24.1
2.63 2.46 2.39 2.24 2.24 2.09 1.92 1.74 1.48 1.36 1.12 0.97 22.7
1.84 2.46 2.82 3.32 3.70 3.72 4.00 3.92 3.77 3.90 3.54 3.36 40.3
0.49 1.00 1.38 2.18 2.73 3.16 4.32 5.09 6.53 8.16 9.98 11.97 57.0
2.24 3.16 3.87 5.48 6.71 7.75 10.95 13.42 18.97 26.83 37.95 53.67 191.0
964.28 902.33 960.79 962.45 1158.84 961.80 917.42 734.25 566.91 621.16 501.14 501.38 9752.7
415836.11 257472.46 238345.76 169120.29 200188.39 119424.24 76832.48 40183.49 16938.52 14379.36 6618.08 4684.18 1560023.4
Talbot: 𝑎=
122474.2 × 416764.3 − 8451935.3 × 1651.3 = 16 306.93 12 × 416764.3 − 1651.32
𝑏=
1651.3 × 122474.2 − 12 × 8451935.3 = 44.33 12 × 416764.3 − 1651.32
𝐼=
16306.93 𝑡 + 44.33
Sherman:
22.7 × 57.0 − 40.3 × 24.1 log 𝑎 = = 3.14 12 × 57.0 − 24.12 𝑎 = 103.14 = 1399.044 𝑁=
22.7 × 24.1 − 12 × 40.3 = 0.63 12 × 57.0 − 24.12
1399.044 𝐼= 𝑡 0.63 Ishiguro:
9752.7 × 416764.3 − 1560023.4 × 1651.3 𝑎= = 654.49 12 × 416764.3 − 1651.32 𝑏=
𝐼=
1651.3 × 9752.7 − 12 × 1560023.4 = −1.15 12 × 416764.3 − 1651.32 654.49 𝑡 − 1.15
4. Menghitung Intensitas Hujan dengan durasi 5 menit – 2 hari kemudian hitung deviasi antar ketiga rumus tersebut. Rumus yang mempunyai deviasi rata – rata M[s] terkecil dianggap sebagai rumus yang paling sesuai Intensitas Hujan I
No.
t
Deviasi Ms = I - i
i Talbot
Sherman
ishiguro
Talbot
Sherman
ishiguro
1
5
431.24
330.55
511.54
602.57
-100.69
80.30
171.33
2 3
10 15
285.34 248.07
300.13 274.84
331.66 257.40
325.23 240.35
14.79 26.76
46.32 9.33
39.89 -7.73
4
30
175.72
219.38
166.89
151.25
43.66
-8.83
-24.47
5
45
172.75
182.54
129.52
117.75
9.79
-43.23
-55.00
6
60
124.17
156.30
108.20
99.22
32.13
-15.96
-24.94
7
120
83.75
99.23
70.15
66.75
15.48
-13.59
-17.00
8 9 10 11 12
180 360 720 1440 2880
54.73 29.88 23.15 13.21 9.34
54.45 35.30 22.89 14.84 9.62
53.36 36.72 25.48 17.79 12.46
17.96 10.45 -1.81 -2.22 -3.77 62.54 5.21
-0.28 5.42 -0.26 1.63 0.28 61.12 5.09
-1.37 6.84 2.33 4.58 3.12 97.59 8.13
72.69 40.33 21.33 10.99 5.58 Jumlah rata - rata
Contoh 8: Berdasarkan analisa metode gumbel didapatkan curah hujan rencana seperti dibawah ini. Hitung Intensitas Hujan dengan Metode Mononobe untuk durasi 5 menit – 2 hari.
𝒀𝑻 − 𝒀𝒏
𝒀 𝑻 − 𝒀𝒏 𝑺𝒏
S
𝒀𝑻 − 𝒀𝒏 𝑺 𝑺𝒏
𝑿𝑻
0.3665 0.4952 0.9496
-0.1287
-0.1355
20.7407
-2.8110
76.9890
79.8
1.5004 0.4952 0.9496
1.0052
1.0586
20.7407
21.9551
101.7551
10
79.8
2.2510 0.4952 0.9496
1.7558
1.8490
20.7407
38.3494
118.1494
4.
20
79.8
2.9709 0.4952 0.9496
2.4757
2.6071
20.7407
54.0731
133.8731
5.
50
79.8
3.9028 0.4952 0.9496
3.4076
3.5885
20.7407
74.4272
154.2272
6.
100
79.8
4.6012 0.4952 0.9496
4.106
4.3239
20.7407
89.6814
169.4814
No.
PUT
𝑿
1.
2
79.8
2.
5
3.
𝒀𝑻
𝒀𝒏
𝑺𝒏
𝑅24 24 𝐼= 24 𝑡
Penyelesaian :
2 3
Intensitas Hujan I (mm/jam)
No.
t (menit)
Periode Ulang Tahun t (jam)
2 76.99
5 10 20 Curah Hujan Rencana Maksimum, R24 (mm) 101.76 118.15 133.87 154.23
50
100 169.48
1
5
0.08
139.90
184.90
214.69
243.26
280.25
307.97
2
10
0.17
88.13
116.48
135.25
153.25
176.55
194.01
3
15
0.25
67.26
88.89
103.21
116.95
134.73
148.06
4
30
0.5
42.37
56.00
65.02
73.67
84.87
93.27
5
45
0.75
32.33
42.73
49.62
56.22
64.77
71.18
6
60
1
26.69
35.28
40.96
46.41
53.47
58.76
7
120
2
16.81
22.22
25.80
29.24
33.68
37.01
8
180
3
12.83
16.96
19.69
22.31
25.70
28.25
9
360
6
8.08
10.68
12.40
14.06
16.19
17.79
10 11 12
720 1440 2880
12 24 48
5.09 3.21 2.02
6.73 4.24 2.67
7.81 4.92 3.10
8.85 5.58 3.51
10.20 6.43 4.05
11.21 7.06 4.45
300
𝑅24 24 𝐼= 24 𝑡
2 3 PUT 2 thn
PUT 5 thn
PUT 10 thn
PUT 20 thn
PUT 50 thn
PUT 100 thn
8
10
250
200
150
100
50
0 0
2
4
6
12
PR Soal: Berdasarkan data curah hujan harian maksimum dibawah ini, Hitung curah hujan rencana untuk periode ulang 2, 5, 10, 20, 50, dan 100 tahun menggunakan metode distribusi normal, log normal, Gumbel, dan log pearson III.
No.
Tahun
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Curah Hujan Harian Maksimum 85 96 90 110 134 81 98 87 106 123 95 100 104 76 86
