Analisis Sistem pada Domain Frekuensi Dinamika Sistem 9. Analisis Sistem pada Domain Frekuensi FTMD – ITB Semester 2 2012/2013 Indrawanto
• Bilangan Kompleks: review singkat • Respons Frekuensi sistem orde 1 linier tak berubah terhadap waktu • Plot Bode; Decibel; Breakpoint/corner frequencies • Respons frekuensi sistem orde 2 linier tak berubah terhadap waktu • Respons freekuensi sistem dengan redaman kecil
Contoh Sistem Mekanik dengan Input Sinusoida
Respons Frekuensi • Nyatakan perilaku steady-state suatu sistem terhadap eksitasi harmonik untuk suatu jangkauan frekuensi input tertentu • Contoh eksitasi sinusoida
1. Gaya bekerja pada massa
2. Input sinusoida diberikan sebagai perpindahan terhadap perpindahan pegas itu sendiri
– Tegangan AC pada 50 Hz – Memutar massa tak balans: roda, mesin perkakas, kipas angin M
F(t) = mu ω2sin ωt
Putaran tak balans
m
d2y dy + c + ky = F (t ) dt 2 dt
d2y dy + c + ky = F0 sin ωt dt dt 2
m
d2y dy + c + ky = kX 0 sin ωt dt dt 2
1
Contoh Sistem Mekanik dengan Input Sinusoida
Contoh Sistem Mekanik dengan Input Sinusoidal (Lanj’)
3. Input sinusoida diberikan sebagai perpindahan pegas dan damper secara paralel
2 y dy = −c dt dt 2 − ky
(M − m) d
−m
m
d2y dy dx + c + ky = c + kx dt dt dt 2
dx = X 0 ω cos ωt dt
d2y dy m 2 + c + ky = cX 0ω cos ωt + kX 0 sin ωt dt dt
y m = y + r sin ωt 2
Fy = m
d ( y + r sin ωt ) dt 2
M
d2 ( y + r sin ωt ) dt 2
d2y dy + c + ky = mrω 2 sin ωt dt 2 dt
Respons Frekuensi • Getaran paksa – respons sistem terhadap input sinusoidal. • Solusi transisi diabaikan dan hanya berhubungan dengan solusi tunak (steady state), y, yang memiliki frekuensi sama dengan sinyal input. • Respons tunak terhadap input sinussoidal pada suatu jangkauan frekuensi merupakan informsai yang sangat bermanfaat untuk memberitahukan banyak hal tentang sistem tersebut. • Respons frekuensi diperoleh untuk input sinusoidal dengan amplitudo tetap saat frekuensi berubah di jangkauan yang diinginkan. • Hanya dua parameter yang diperlukan untuk mendeskripsikan respons frekuensi suatu sistem linier: – Rasio amplitudo output tunak sistem terhadap fungsi gaya; – Perbedaan phasa antara sinyal input dan output.
• Untuk sistem linier tak berubah terhadap waktu – Respons tunak akan berupa sinusoida dengan frekuensi sama – Dapat dicirikan dengan • Gain (rasio amplitudo: output/input) • Sudut Phasa (antara input dengan output)
2
Representasi Bilangan Kompleks z = Me jφ
M = z moduli; φ phasa
z1 = M 1e jθ1 , z 2 = M 2 e jθ 2 ,L
z = M (cos φ + j sin φ ) z = a + bj
Bilangan Kompleks: Operasi
M = a 2 + b2 a = M cos φ ⇒ b φ = − tan −1 b = M sin φ a
z= z=
Kompleks konjugate z?
z = a + bj konjugate z = a − bj
N=
z = Me jb → z = Me − jb 2
z ⋅ z = z = a2 + b2 = M 2
z1 z 2 z3 z4
M 1M 2 j (φ1 +φ2 −φ3 −φ4 ) ⋅e M 3M 4
M 1M 2 M 3M 4
− 2 − 5 j 3 − 4 j − 2 − 5 j − 6 − 15 j + 8 j − 20 − 26 − 7 j = × = = 3+ 4 j 3−4 j 3+ 4 j 32 + 4 2 25
N =
Menghitung Respons Frekuensi
Contoh • Hitung kondisi tunak yss(t) T (s ) =
Langkah: 1. Ganti s = jω pada fungsi transfer T(s) • T(jω) adalah rasio bilangan kompleks 2. Hitung besar M dari T(jω) • Ini adalah rasio amplitudo output terhadap amplitudo input 3. Hitung phasa φ dari T(jω) • Ini adalah phase output relatif terhadap input
M =
Y (s ) 1 = , F (s ) s + 8
f (t ) = sin 10t
B = T ( jω ) A
φ = ∠T ( jω )
3
Soal (mirip) 9.1c • Hitung kondisi tunak yss(t)
Y (s ) s + 4 T (s ) = = , f (t ) = 2 sin 3t F (s ) s + 5
Sistem Orde Satu: Analisis Domain Waktu τ y& + y = f (t )
y (t ) =
Aωτ 1 sin ωt − cos ωt + e −t / τ 1 + ω 2τ 2 ωτ
f (t ) = A sin ωt
Soal 9.8a • Hitung kondisi tunak yss(t) T (s ) =
Sistem Orde Satu: Analisis Fungsi Transfer τ y& + y = f (t )
T (s ) =
2
A 1 + ω 2τ 2
φ = − tan −1 (ωτ )
B sin (ωt + φ )
A sin ωt
f (t ) = A sin ωt
y ss (t ) = B sin (ωt + φ )
B2 =
Y (s ) 20 = , f (t ) = 5 sin 0.2t F (s ) (10s + 1)(4s + 1)
Y (s ) 1 = F (s ) τs + 1
y (t ) = B sin (ωt + φ )
B 1 M = = A 1 + ω 2τ 2
B2 =
A2 1 + ω 2τ 2
T ( jω ) =
Y (s ) 1 = = F (s ) jωτ + 1
M = T ( jω ) =
1 1 + ω 2τ 2
φ = − tan −1 (ωτ )
4
Soal 9.6
Plot Respons Frekuensi •
• Diketahui: RAh& + h = Aqvi (t )
– Mudah untuk memanipulasi (plot tambah/kurang) – Menampilkan variasi frekuensi yang lebih lebar
qvi (t ) = 0.2 + 0.1sin 0.002t
• hitung h(t)
Umumnya digunakan skala logaritma
•
Plot besar Output/Input (M): – Sumbu-Y dinyatakan dalam Decibel (dB): m=20 log10M – Sumbu-X dalam log10 ω
•
Plot Phasa (φ): – Sumbu-Y menyatakan sudut phasa skalar – Sumbu-X dalam log10 ω
Sistem Orde Satu T (s ) = YF ((ss)) = τs1+ 1 Besar Respons Frekuensi M = T ( jω ) =
Sistem Orde Satu Phasa Respons Frekuensi T (s ) =
1
Per definisi: m=20log10 M [dB]
1 + ω 2τ 2
∠T ( jω ) = − tan
−1
(ωτ )
Y (s ) 1 = F (s ) τs + 1
• Catatan:
(
m = 20 log10 (1) − 20 log10 1 + ω 2τ 2
(
m = −10 log10 1 + ω 2τ 2
ωτ << 1
)
)
– untuk nilai kecil, m = 0 – untuk nilai besar, m turun 20dB per dekade
ωτ < 1
ωτ > 1
ωτ >> 1
5
Terminologi Respons Frekuensi Orde Satu τ y& + y = f (t ) T (s ) =
Y (s ) 1 = F (s ) τs + 1
– Berlaku sebagai filter low-pass, mengecilkan amplitudo sinyal frekuensi tinggi – Frekuensi Pojok atau Corner (sering kali disebut breakpoint atau cutoff) pada ω=1/ τ – Rasio Amplitudo menurun 20 dB/decade untuk ω>>1/ τ – Phasa berubah secara kontinyu dari sephasa pada frekuensi rendah ke phasa tertinggal 90 derajat pada frekuensi tinggi
Diagram Bode (174 − 6ω )
+ 144ω 2
[(
m(ω ) = 20 log 15 − 20 log 174 − 6ω 2
15 6 &x& + 12 x& + 174 x
T ( jω ) =
15 − 6ω + 12ωj + 174 2
Respons Frekuensi Sistem Orde Satu
15 2 2
Model suatu sistem
T (s ) =
• Observasi
M (ω ) =
Diagram Bode
)
2
+ 144ω 2
]
• Tentukan fungsi transfer T(s)=V(s)/F(s) • Hitung ekspresi untuk besar dan phasa respons frekuensi • Skets plot respons frekuensi
φ (w) = ∠(15) − ∠[(174 − 6ω 2 ) + 12ωj ] 12ω −1 2 − tan 174 − 6ω 2 if 174 − 6ω > 0 = 12ω tan −1 − 180 0 if 174 − 6ω 2 < 0 6ω 2 − 174
6
Sistem Orde Satu
Respons terhadap Input Sinusoidal
• Gunakan Matlab untuk membangkitkan respons frekuensi (plot bode) untuk τ = 0.01 ω=10 rad/sec >> bode(tf(1,[.01 1]));
ω=100 rad/sec
ω=1000 rad/sec
Respons Frekuensi: Sistem Orde Dua Redaman Kecil
Respons Frekuensi: Sistem Orde Dua Redaman Kecil T ( jω ) =
1
(1 − (ω / ω ) )
2 2
n
+ (2ςω / ω n )
2
Dekat ωn Dapat memperbesar input
• Pendekatan plat Boiler: – Dapatkan T(s), evaluasi T(jω), dan lihat besar dan sudut phasa, yang mana keduanya fungsi ω. – Plot kedua fungsi tersebut dan selesai … − 2ςω / ω n 2 1 − (ω / ω n )
φ = tan −1
Pada ωn Phase = -90 derajat
7
Resonansi
Base Motion and Transmissibility m&x& + cx& + kx = cy& + ky Input: base motion y(t)=Asin ωt Output: machine motion x Find an expression for the transmissibility ratio as a function of the base motion frequency ω
•
Frekuensi resonani (ωr) – Definisi: frekuensi input yang memaksimalkan amplitudo respons tunak
ω r = ω n 1 − 2ς 2 , 0 ≤ ζ ≤ 0.707 Mr =
• •
1 2ζ 1 − ζ 2
Displacement transmissibility
Force transmissibility
X (s ) = Y (s )
f t = c( y& − x& ) + k ( y − x ) Ft (s ) = (cs − k )(Y (s ) − X (s ))
Ft (s ) = kY (s )
, 0 ≤ ζ ≤ 0.707
Tabel 9.2.2 merangkum informasi yang berhubungan dengan resonansi Catatan: Frekuensi resonansi lebih rendah dibanding frekuensi pribadi tak teredam maupun teredam (redaman besar)
Response to general periodic inputs (qualitative considerations) • Based on two key observations: – Fourier Theorem: any periodic input can be expressed as a sum of a sinusoidals (typically infinite sum…) – For stable LTI systems, we can rely on the superposition principle and treat each term of the sum independently
X (s ) cs + k = Y (s ) ms 2 + cs + k
X (s ) cs + k ms 2 = kY (s ) k ms 2 + cs + k
Response to general periodic inputs (qualitative considerations) • Standard Solution Procedure – Step 1: take the periodic input function f(t) (its half period denoted by p below) and determine its Fourier series expansion (see App.D) • This amounts to finding the coefficients a1, a2,…, and b1, b2, … f (t ) =
π π 2π 1 a 0 + a1 cos t + b1 sin t + a 2 cos 2 p p p
2π t + b2 sin p
t + L
– Step 2: apply the good old frequency response analysis using each term of the sum (one at time): 1 π π 2π , etc. a 0 , a1 cos t , b1 sin t , a 2 cos t 2 p p p • Most of the time, there is an infinite number of terms but only the first terms are typically considered (how many though, it’s problem dependent)
– Step 3: sum up the response due to each of the harmonic inputs • You can do this because the principle of superposition allows you to do so
8
Steady-state response v s (t ) = 10 + 5 sin t + 3 sin 6t
Concept of filtering 1 Two frequencies, a high and a low, are fed to a frequency dependent system Low pass filter
Low pass filter transmits, or passes, the low frequencies
0.5v& + v = v s (t )
High pass filter
Concept of filtering 1 Two frequencies, a high and a low, are fed to a frequency dependent system
Broadband filter
Passes all frequencies within a specific range
Resonator
Provides magnification to a small range of frequencies
High pass filter transmits or passes the high frequencies
Bandwidth The range of frequencies over which the power transmitted or dissipated by the system is no less than one-half of the peak power.
9
Bandwidth
Example • • •
Frequency Response •
•
Frequency response is the a) Frequency at which a system responds to an input b) Transient response of a system to a harmonic input c) Steady-state response of a system to a harmonic input d) Total (transient and steady-state) response of a system to a harmonic input e) All of the above Hint: see section 1 (or introduction), of Chap.9
Compute the resonant frequency What would be the amplitude of the output at resonance Generate a Bode plot and confirm your calculations
MATLAB >> den=[10 30 1000]; >> num=100; >> bode(tf(num,den)) >> grid
Frequency Response T (s ) =
s+5
(s + 20)(s + 100)
For high frequencies, the amplitude of the frequency response will a) Increase at 20 dB/decade b) Be a constant c) Decrease at 20 dB/decade d) Decrease at 40 dB/decade e) Impossible to know Hint: see Table 9.2.1
10
Damping Ratio Increasing ζ of a second order system while leaving ωn unchanged: a) Reduces the resonant frequency ωr b) Reduces the response amplitude at resonance c) Can eliminate resonance d) Both (a) and (b) e) All of the above
Hint: see Table 9.2.2
11
