DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI TANGGAPAN FREKUENSI

Bab8: Desain Sistem Kendali Melalui Tanggapan Frekuensi

EL303:Sistem Kendali

DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI TANGGAPAN FREKUENSI

Ì Pendahuluan Ì Tahap Awal Desain Ì Kompensasi Lead Ì Kompensasi Lag Ì Kompensasi Lag-Lead Ì Kontroler P, PI, PD dan PID Ì

Hubungan antara Kompensator Lead, Lag & Lag-Lead dengan Kontroler PD, PI dan PID

_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 30



* PENDAHULUAN ♦ Dalam desain sistem kendali (secara konvensional), unjuk kerja respons transient umumnya merupakan hal yang terpenting . ♦ Spesifikasi transient dinyatakan (secara tak langsung) dalam: ⇒ phase margin (faktor redaman) ⇒ gain margin (batas kestabilan) ⇒ lebar bidang frekuensi (kecepatan transient) ⇒

simpangan

puncak

resonansi

(faktor

redaman) ⇒ frekuensi resonansi ⇒ frekuensi gain crossover ⇒ konstanta-konstanta error statik (ketelitian steady state) ♦ Alat bantu perancangan: Bode Plot (lebih praktis) , Nyquist, dst. ♦ Terbatas pada SISO, linear, invarian waktu. • Spesifikasi

dicoba

dipenuhi

melalui

gain

adjustment dengan cara coba-coba. • Tak selalu berhasil mengingat plant tak selalu dapat diubah. • Perlu rancangan ulang : kompensasi (seri). _____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 2 dari 30



♦ Kompensator Lead, Lag dan Lag-lead Lead: fasa output mendahului input Lag : fasa output terbelakang dari input Lag-lead : phase lag terjadi pada daerah frekuensi rendah, phase lead terjadi pada daerah frekuensi tinggi. ♦ Kompensasi di domain frekuensi: merancang suatu filter untuk mengkompensasi karakteristik plant yang tak diinginkan / tak dapat diubah.




♦ Karakteristik respons transient harus di cek lagi setelah perancangan selesai.

♦ Pendekatan respons frekuensi dapat digunakan untuk penurunan karakteristik dinamis komponen-komponen tertentu (pnematik & hidraulik).




♦ Perancangan dengan pendekatan Diagram Bode: 1. Atur penguatan lup terbuka (untuk memenuhi spek akurasi steady state). 2. Gambar diagram Bode sistem semula. 3. Tentukan apakah gain & phase margins memenuhi spek. 4. Bila tidak, tentukan kompensator yang sesuai agar diperoleh respons frekuensi yang sesuai.

♦ Informasi pada Diagram Bode: • Daerah

frekuensi

rendah

(ω

<<

ωgco):

menggambarkan karakteristik steady state sistem. • Daerah frekuensi tengah (frekuensi

sekitar

titik -1+j0 pada polar plot): menggambarkan kestabilan relatif. • Daerah

frekuensi

tinggi

(ω

>>

ωgco):

menggambarkan kompleksitas sistem. _____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5 dari 30



• Respons Frekuensi (Loop Terbuka) Ideal: • Gain pada daerah frekuensi rendah harus cukup tinggi. • Slope kurva log magnitude (Bode Plot) dekat fgco : -20db/decade dan memanjang yang memadai agar diperoleh phase margin yang memadai. • Gain harus cukup cepat diredam pada daerah frekuensi tinggi untuk mengurangi efek derau.



* KOMPENSASI


LEAD

• Tujuan Kompensasi Lead: Mengubah kurva respons frekuensi agar diperoleh sudut phase lead yang cukup untuk mengkompensasi phase lag yang disebabkan oleh komponen-komponen sistem. • Asumsi: • Spesifikasi unjuk kerja diberikan dalam phase & gain margins, konstanta error statik dst. • Respons transient tak memuaskan. • Kompensasi dapat dicapai dengan penambahan kompensator seri. • Karakteristik Kompensator Lead E o ( s) R4 C1 = E i ( s) R3 C2 dengan:

1 R1C1 1 s+ R2 C2 s+

1 Ts + 1 T = K cα = Kc 1 αTs + 1 s+ αT

T = R1C1; αT= R2C2;

s+

Kc = R4C1/R3C2;

α = R2C2/R1C1 (α <1)




• Untuk Domain Frekuensi:

Gc ( jω ) = K cα

jωT + 1 ; jωαT + 1

(0 < α < 1)

• Polar Plotnya (untuk Kc=1) 1−α 1− α sin φ m = 2 = 1+ α 1+ α 2

• Bode Plotnya (untuk Kc=1): HPF

Perhatikan bahwa : ωm = frekuensi tengah geometri antara 2 frekuensi sudut, sehingga:



log ω m =


1 1 1 ] atau ω m = [log + log 2 T αT

1 α T

• Prosedur Perancangan: 1. Anggap kompensator lead: 1 Ts + 1 T G c ( s) = K c α = Kc 1 αTs + 1 s+ αT s+

(0 < α < 1)

atau: G c ( s) = K

Ts + 1 αTs + 1

dengan K = K cα

Sehingga OLTF sistem terkompensasi: Gc ( s) G ( s) = K

Ts + 1 G ( s) = Gc| ( s)G1 ( s) αTs + 1

dengan:

G1 ( s) = KG ( s) Ts + 1 Gc| ( s) = αTs + 1 Tentukan K melalui konstanta error statik yang diinginkan. 2. Gambar diagram Bode G1(jω) dengan K yang diperoleh dari butir 1. Tentukan phase margin. Tentukan apakah phase margin yang diinginkan dapat _____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 9 dari 30



dicapai melalui gain adjustment. 3. Hitung sudut phase lead φ yang perlu ditambahkan pada sistem. 4. Hitung faktor redaman α melalui rumus: sin φ m =

1− α 1+ α

Hitung frekuensi gain crossover baru pada diagram Bode sistem G1(jω) dengan mengingat bahwa frekuensi tsb terjadi pada: magnitude = −20 log

1 α

Hitung T melalui rumus: ωm =

1 ; α T

ωm = frekuensi gain crossover. 5. Tentukan kedua frekuensi sudut kompensator sbb:

zero: ω =

1 ; T

pole: ω =

1 αT

6. Tentukan penguatan kompensator Kc melalui:

K = K cα 7. Teliti lagi apakah gain margin tercapai. _____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 10 dari 30


Bila

tidak,

mengubah

ulangi

lokasi

proses pole

&


perancangan zero

dengan

kompensator.




CONTOH SOAL G (s) =

Sistem semula :

4 s(s + 2)

+

G(s) -

Kv = 20 s−1

Diinginkan :

PM ≥ 500 GM ≥ 10db

Rancanglah kompensator yang diperlukan.

Solusi

:

1. Anggap kompensator lead : G c (s) = K cα

Ts + 1 ;0 < α < 1 αTs + 1

Sistem terkompensasi : +

G 'c (s)

-

G1(s)

Ambil : G1(s) = KcαG (s) =

G 'c (s) =

2.

4K s(s + 2)

dengan K = Kc α

Ts + 1 αTs + 1

Tentukan K dari syarat Kv K v = lim sG1(s) → 20 = lim s

4K → K = 10 s(s + 2)

→ syarat Kv sudah dipenuhi

3.

Gambar Bode Plot sistem semula dengan gain adjustment :

G1( jω ) =

20  ω  jω  j + 1  2 




Hitung ωgco : → terjadi pd g 1 ( jω) = 1 20 2

 ω ω   +1  2

=1

(

)

Pers : 400 = ω 2 0,25ω 2 + 1 ⇒ ω gco = 6,17 rad / s ∠G1 ( jω ) ω = 6,17 = −90 0 − tan −1

6,17 = −162 0 2 0 0 PM = 180 − G1 ( jω ) ω = 6,17 = 18

GM =~ ⇒ PM tak terpenuhi, perlu kompensator Lead

4.

Phase lead yang perlu dikontribusi oleh kompensator :

φ m = 500 − 180 + 50 = 37 0 offset

offset : perlu untuk kompensasi pergeseran ω gco kekanan akibat penambahan kompensator lead.

sin φ m =

5.

1− α 1+ α

⇒ α = 0,24 untuk φ m = 380

Tentukan pole dan zero kompensator : zero =

Ingat ω=

1 1 ; pole = T αT

φm terjadi pada tengah-tengah kedua frekuensi diatas atau pada 1 αT

Besarnya perubahan kurva magnitude pada ω = G1c (s) =

1 αT

akibat

Ts + 1 adalah αTs + 1

1 + jωT 1 = 1 + jωTα ω = 1 α αT



untuk α = 0,24 ⇒


1 1 = = 6,2 db α 0,49

Sehingga untuk mengkompensasi kenaikan gain 6,2 db, maka G 1( jω ) = −6,2 db , atau: 20

20 log

2

 ω ω   +1  2

= −6,2 db

Persamaan : 40,82 = 0,25ω 4 + ω 2 ⇒ ω 'geo = 8,92 rad / s ≅ 9 rad / s Sehingga frekuensi gain cross over baru ω 'gco = 9 rad / s =

1 ⇒ T = 0,227 , αT

Diperoleh : G c (s) = 10

6

Menentukan K c =

Catatan :

7.

0,227 s + 1 0,054 s + 1

K 10 = = 41,7 α 0,24

G c (s) Ts + 1 0,227s + 1 = = 10 αTs + 1 0,054s + 1 40 G1 (s) = 10G (s) = s(s + 1)

Pengecekan ulang setelah kompensasi : OLTF Sistem terkompensasi : G c (s) G (s) =

40(0,227s + 1) s(s + 2) (0,054s + 1)

sudut fasa pada frekuensi gain crosssover 8,92 rad/s

G c (s) G ( s)

=

s= j8,92



tan −1


2 8,92 0,48 − 90 0 − tan −1 − tan −1 = 1 2 1

63,4 0 − 90 0 − 77,4 0 − 25,6 0 = −129,6 0

PM = 1800 - 129,60 = 50,40 ⇒ terpenuhi GM = ~ ⇒ terpenuhi Terjadi kenaikan frekuensi gain crossover 6,17 rad/s ⇒ 8,92 rad/s : berarti kenaikan bandwidth (kenaikan kecepatan respons) • Terjadi kenaikan frekuensi resonansi : 6 rad/s ⇒ 7 rad/s

• • •




* KOMPENSASI LAG • Tujuan:

Meredam

daerah

frekuensi

tinggi

agar

diperoleh cukup phase margin. • Karakteristik Kompensator Lag

1 E o ( s) Ts + 1 T ; = Kc β = Kc 1 E i ( s) βTs + 1 s+ βT s+

β >1

dengan: T = R1C1;

βT= R2C2;

β= R2C2/R1C1 > 1

• Polar Plotnya




• Bode Plotnya (untuk Kc=.1; β=10)

LPF




Prosedur: 1. Anggap kompensator lag: 1 Ts + 1 T ; Gc ( s) = K c β = Kc 1 βTs + 1 s+ βT s+

G c ( s) = K

atau:

Ts + 1 βTs + 1

β >1

K = Kc β

dengan

Sehingga OLTF sistem terkompensasi: Gc ( s) G ( s) = K

Ts + 1 G ( s) = Gc| ( s)G1 ( s) βTs + 1

dengan:

G1 ( s) = KG ( s ) Tentukan

K

melalui

Gc| ( s ) = konstanta

Ts + 1 βTs + 1 error

statik

yang

diinginkan. 2. Gambar diagram Bode G1(jω) dengan K yang diperoleh dari butir 1. Bila gain & phase margins tak dipenuhi, tentukan frekuensi gain crossover baru sbb: f*gco= frekuensi pada sudut fasa sistem G1(jω) bernilai = -180o + spek phase margin + φoffset. dengan φoffset.= 5o sampai 12o untuk mengkompensasi phase lag kompensator . _____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 18 dari 30



3. Pole dan zero kompensator harus terletak jauh lebih rendah dari pada frekuensi gain crossover baru untuk menghindari efek detrimental. Pilih frekuensi sudut

ω=

1 T

lebih rendah

1 octave

sampai 1 decade dari f*gco. (Hindari konstanta waktu kompensator terlalu besar). 4. Tentukan redaman yang diperlukan untuk membawa kurva magnitude turun 0 db pada f*gco. β dapat ditentukan dengan mengingat : redaman = -20 log β. Tentukan frekuensi sudut kedua:

ω=

1 βT

5. Tentukan penguatan kompensator Kc melalui:

K = Kcα




CONTOH SOAL




* KOMPENSASI LAG-LEAD • Kompensator Lead: - memperbesar bandwidth: - mempercepat respons, - memperkecil %Mp pada respons step. • Kompensator Lag: - memperbesar gain pada frekuensi rendah (akurasi steady state membaik), - memperlambat respons (bandwidth mengecil). • Kompensator Lag-Lead: - memperbesar bandwidth dan - memperbesar gain pada frekuensi rendah.




• Karakteristik Kompensator Lag-Lead

Gc ( s) = K c

 1  1 s +  s +  T1   T2    γ s +  T1  

 1  s +  βT2  

⇓ lead

; γ > 1; β > 1

⇓ lag

• Polar Plotnya (Kc=1; β=γ) bagian lead (ω1< ω<~ ) bagian lag (0 < ω < ω1)

dengan: ω1 =

1 T1T2




• Diagram Bode nya (Kc=1; β=γ=10; T2= 10T1)




• Prosedur Perancangan: Kombinasi prosedur Perancangan untuk Kompensasi Lead dan Kompensasi Lag. Anggap OLTF sistem semula G(s) dan kompensator

    T s + 1 1   T2 s + 1  Gc ( s ) = K c   T1   βT2 s + 1  s + 1 β 

= Kc

 1  1 s +  s +  T1   T2    β s +   T1  

 1  s +   βT2  

dengan: β >1




CONTOH SOAL:




Kontroler PI dan Kompensator Lag: • Kontroler PI :  1  K p  1 + Ti s  Gc ( s ) = K p  1 +  =   Ti s  Ti  s  

• Kompensator Lag:

Gc ( s) = K c β

Ts + 1 ; βTs + 1

β >1

• Kontroler PI adalah kompensator Lag, dengan zero s=1/Ti dan pole pada s=0 (penguatan ∞ pada frekuensi 0) • Kontroler PI memperbaiki karakteristik respons steady state. • Kontroler PI menaikkan tipe sistem terkompensasi dengan 1, sehingga sistem tsb kurang stabil atau bahkan tak stabil. • Pemilihan nilai Kp dan Ti harus cermat agar diperoleh respons transient memadai: overshoot kecil atau nol, tetapi respons lebih lambat.




Kontroler PD dan Kompensator Lead Kontroler PD:

Gc ( s) = K p (1 + Td s) Kompensator Lead:

G c ( s) = K c α

Ts + 1 αTs + 1

(0 < α < 1)

• Kontroler PD = versi sederhana dari kompensator lead. • Kp ditentukan dari spesifikasi steady state • Frekuensi sudut 1/Td dipilih agar phase lead terjadi sekitar ωgco. Bila phase margin dinaikkan, maka magnitude kontroler naik terus untuk frekuensi tinggi ω > 1/Td, sehingga memperkuat derau pada frekuensi tinggi. • Kompensator Lead dapat menaikkan phase lead, tetapi kenaikan magnitude pada frekuensi tinggi sangat kecil dibandingkan dengan kontroler PD. • Kontroler PD tak dapat direalisasikan dengan elemen pasif RLC, harus dengan Op Am, R dan C. _____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 27 dari 30


• Realisasi

dengan

rangkaian


elektronik

dapat

menyebabkan masalah derau, meskipun tidak ada masalah bila direalisasikan dengan elemen-elemen hidraulik dan pneumatik. • Kontroler PD memperbaiki karakteristik respons transient (tr <,

%Mp <).




Kontroler PID dan Kompensator Lag-Lead: • Kontroler PID: Gc ( s) = K p (1 +

1 + Td s) Ti s

K p  Ti Td s 2 + Ti s + 1 =   Ti  s 

• Kompensator Lag-Lead:

Gc ( s) = K c

 1  1 s +  s +  T2  T1     γ  1   s +  s + βT2  T1    ⇓

⇓

lead

lag

; γ > 1; β > 1

• Bode Plot Kontroler PID untuk

G c ( s) = 2

( 0,1s + 1)( s + 1) s

Fig 7-47 p595




• Kontroler PID adalah Kompensator Lag-Lead. • Bila Kp dibuat tinggi, maka sistem dapat menjadi stabil kondisional.


DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI TANGGAPAN FREKUENSI

Recommend Documents