Mata kuliah SISTEM LINIER
Konvolusi Pada Sinyal Sinyal Kontinyu dan Diskrit Konvolusi Kontinyu Keluaran sistem dengan tanggapan impuls h(t) dan masukan x(t) dapat direpresentasikan sebagai: y (t ) = ∑ εx(τε )δ (t − τε ) allτ ∞
y (t ) =
∫ x( p)h(t − p)dp
(2.4)
−∞
atau dapat juga dinyatakan: ∞
y (t ) = ∫ h( p ) x(t − p )dp −∞
Kedua rumusan diatas dikenal sebagai integral konvolusi. Untuk dua fungsi sembarang x(t) dan h(t) maka integral konvolusi r(t) dapat dinyatakan sebagai: r(t) = x(t) * h(t) r (t ) =
∞
∫ x( p)h(t − p)dp
−∞
Konvolusi kontinyu mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: a) Komutatif x(t)*y(t) = y(t)*x(t) rxy(t) = ryx(t) b) Distributif x(t)*[y(t) ± z(t)] = [x(t)*y(t)] ± [x(t)*z(t)] rxy(t) = ryx(t) ± rxz(t) c) Asosiatif x(t)*[y(t)*z(t)] = [x(t)*y(t)]*z(t) Untuk memperjelas penggunaan integral konvolusi disajikan contoh sebagai berikut: Contoh soal 2.5: Dua buah isyarat mempunyai rumusan sebagai berikut: x(t) =
1
0
0,
t lainnya
dan,
10
Mata kuliah SISTEM LINIER
h(t) =
1
1
0,
t lainnya
Carilah sinyal r(t) yang merupakan hasil konvolusi dua isyarat tersebut. Penyelesaian: Untuk mencari nilai konvolusi kedua isyarat kontinyu digunakan: r(t) = x(t) * h(t) r (t ) =
∞
∫ x( p)h(t − p)dp
−∞
Pada rumus diatas dapat dilihat bahwa untuk mencari nilai r(t) diperlukan sinyal x(p) dan sinyal h(t-p). x(t) =
1
0
0,
t lainnya
1
0
0,
p lainnya
maka, x(p) =
sedangkan h(t-p) dapat dicari sebagai berikut: h(t-p) = 1 0,
1
yang dibutuhkan adalah fungsi h dalam p maka: h(t-p) = 1 0,
-2+t
Untuk mempermudah diilustrasikan sebagai berikut: x(p)
h(p)
1
1
-1
1
p
-1
h(t-p)
1 1
2
p
t-2
t-1
1
p
Gambar 2.2 Sinyal x(p), h(p) dan h(t-p) Pada gambar diatas sinyal h(t-p) adalah sinyal h(-p) yang tergeser sejauh t. Dari rumusan integral konvolusi dapat dilihat bahwa sinyal h(-p) dijalankan dari -∞ sampai +∞. Nilai integral konvolusi dapat dibagi menjadi beberapa kasus penggal waktu t yaitu:
♦ Pada saat t<1 11
Mata kuliah SISTEM LINIER
♦ Pada saat 1
3 Untuk memperjelas keempat kasus ini x(p) dan h(t-p) digambarkan dalam satu sumbu y(p).
y(p)
h(t-p) t-2
y(p) h(t-p) 1
x(p)
1 t-1
1
p
t-2
(a)
x(p)
t-1 1
p
(b) y(p)
y(p)
1
1 t-2 1 t-1
h(t-p)
x(p)
h(t-p)
x(p)
p
1 t-2
t-1
p
(d)
(c)
Gambar 2.3 (a) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat t<1 (b) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat 13 Hasil konvolusi r(t) pada tiap penggal waktu tersebut adalah sebagai berikut a) Pada saat t<1 Pada periode ini sinyal h(t-p) belum sampai ke titik awal x(p) maka: r (t ) =
∞
∫ x( p)h(t − p)dp
−∞
r(t) = 0
12
Mata kuliah SISTEM LINIER
b) Pada saat 1
r (t ) =
t −1
∫ x( p)h(t − p)dp 0
t −1
r (t ) = ∫ (1)(1)dp 0
r(t) = t-1 c) Pada saat 2
r (t ) =
∫ x( p)h(t − p)dp
t −2 1
r (t ) =
∫ (1)(1)dp
t −2
r(t)
= 1-(t-2) = 3-t
d) Pada saat t<3 Pada waktu ini h(t-p) sudah meninggalkan batas akhir x(p) sehingga: r (t ) =
∞
∫ x( p)h(t − p)dp
−∞
r(t) = 0 Dengan demikian hasil konvolusi secara keseluruhan adalah sebagai berikut: t-1 1
3-t 2
t lainnya r(t) t-1 1
3-t 1
2
3
t
Gambar 2.4 Sinyal r(t) hasil konvolusi x(t) dan h(t) 13
Mata kuliah SISTEM LINIER
Konvolusi Diskrit Konvolusi diskrit antara dua sinyal x(n) dan h(n) dapat dirumuskan sebagai berikut: r(n) = x(n) * h(n) = ∑ x(k)h(n - k)
(2.5)
all k
Komputasi tersebut diselesaikan dengan merubah indeks waktu diskrit n menjadi k dalam sinyal x[n] dan h[n]. Sinyal yang dihasilkan x[k] dan h[k] selanjutnya menjadi sebuah fungsi waktu diskrit k. Langkah berikutnya adalah menentukan h[n-k] dengan h[k] merupakan pencerminan dari h[k] yang diorientasikan pada sumbu vertikal dan h[n-k] merupakan h[ki] yang digeser ke kanan dengan sejauh n. Saat pertama kali hasil perkalian x[k]k[n-k] terbentuk, nilai pada konvolusi x[n]*v[n] pada titik n dihitung dengan menjumlahkan nilai x[k]h[n-k] sesuai rentang k pada sederetan nilai integer tertentu. Untuk lebih jelasnya diperlihatkan dalam contoh berikut. Contoh soal 2.6: Dua buah isyarat diskrit x(n) dan y(n) mempunyai representasi sebagai berikut: x(n) =
1
n = -1,0,1
0,
n lainnya
1
n=1
2,
n=2
0,
n lainnya
sedangkan,
y(n) =
carilah r(n) = x(n)*y(n). Penyelesaian: Untuk mencari nilai r(n) adalah sebagai berikut: r(n) = x(n) * y(n) = ∑ x(k)y(n - k) all k
dari rumusan tersebut dibutuhkan x(k) dan y(n-k). Nilai x(k) didapat dengan mengganti indeks n menjadi k. x(k) =
1
k = -1,0,1
0,
k lainnya
Sedangkan y(n-k) adalah sebagai berikut : 1
k=n-1
y(n-k) = 2,
k=n-2
0,
n lainnya 14
Mata kuliah SISTEM LINIER
Nilai r(n) dievaluasi untuk setiap n. a) Untuk n= -1 x(k) = δ(k+1) + δ(k) + δ(k-1) y(-1-k) = 2δ(k+3) + δ(k+2) r(n) = x(n) * y(n) = ∑ x(k)y(n - k) all k
r(-1) = ∑ x(k)y(-1 - k) all k
r(-1) = .... + x(-3)y(-3) + x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+.... r(-1) = 0 b) Untuk n= 0 x(k) = δ(k+1) + δ(k) + δ(k-1) y(-1-k) = 2δ(k+2) + δ(k+1) r(n) = x(n) * y(n) = ∑ x(k)y(n - k) all k
r(0) = ∑ x(k)y(-1 - k) all k
r(0) = .... + x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+x(1)y(1).... = ...+(0)(2) +(1)(1) +(1)(0)+(1)(0)+.... r(0) = 1 c) Untuk n= 1 x(k) = δ(k+1) + δ(k) + δ(k-1) y(-1-k) = 2δ(k+1) +δ(k) r(1) = .... + x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+x(1)y(1)+x(2)y(2)+.... r(1) = ...+(0)(0)+(1)(2)+(1)(1)+(1)(0)+(0)(0)+.... r(1) = 3 d) Untuk n= 2 x(k) = δ(k+1) + δ(k) + δ(k-1) y(-1-k) = 2δ(k) +δ(k-1) r(1) = .... + x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+x(1)y(1)+x(2)y(2)+.... r(1) = ...+(0)(0)+(1)(0)+(1)(2)+(1)(1)+(0)(0)+.... r(1) = 3 15
Mata kuliah SISTEM LINIER
e) Untuk n= 3 x(k) = δ(k+1) + δ(k) + δ(k-1) y(-1-k) = 2δ(k-1) +δ(k-2) r(1) = .... x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+x(1)y(1)+x(2)y(2)+ + x(3)y(3)+.... r(1) = ...+(0)(0)+(1)(0)+(1)(0)+(1)(2)+(0)(1)+(0)(0).... r(1) = 2 f) Untuk n= 4 x(k) = δ(k+1) + δ(k) + δ(k-1) y(-1-k) = 2δ(k-2) +δ(k-3) r(1) = .... x(-2)y(-2)+x(-1)y(-1)+x(0)y(0)+x(1)y(1)+x(2)y(2)+ + x(3)y(3)+.... r(1) = ...+(0)(0)+(1)(0)+(1)(0)+(1)(0)+(0)(2)+(0)(1).... r(1) = 0 Jadi secara keseluruhan hasil konvolusi antara x(n) dan h(n) adalah: r(n)= δ(n)+3δ δ(n-1)+ 3δ δ(n-2)+2δ δ(n-3) x(k)
y(k) 1
12 3
-3 -2 -1
2
1 k
12 3
-3 -2 -1
k
(a) y(-k) 2
y(n-k) 2
1
-3 -2 -1
12 3
k
1 12 3
-3 -2 -1
k
(b) r(n)
3 2
1 12 3 4 5
-3 -2 -1
n
(c)
16
Mata kuliah SISTEM LINIER
Gambar 2.5 (a) Sinyal x(k) dan y(k) (b) Sinyal y(-k) dan y(n-k) pada saat n=1 (c) Sinyal hasil konvolusi r(n)
17
