30/10/2013
STATISTIK INDUSTRI 1 Agustina Eunike, ST., MT., MBA
Distribusi Peluang
DISKRIT DAN KONTINYU
Random Variable • Random variable / peubah acak: – Suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real dengan tiap elemen pada ruang sampel – Random/Acak karena tidak diketahui pasti nilai yang akan dihasilkan pada percobaan yang dilakukan – Notasi random variable: “huruf besar” (X, Y, A, B, ...) – Nilai random variable: “huruf kecil” (x, y, a, b, ...)
• Ruang sampel Diskrit – Bilangan bulat, berupa titik, ada gap antar titik sampel – Variabel acak diskrit
• Ruang sampel Kontinyu – Dapat berupa pecahan, semua poin pada interval dalam ruang sampel – Variabel acak kontinyu
Distribusi Peluang Diskrit – Distribusi Klasik • • • • •
𝑓(𝑥) ≥ 0, 𝑥 𝑓 𝑥 = 1, 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑓(𝑥), 0 ≤ 𝑃(𝑋 = 𝑥) ≤ 1 Mutually Exclusive
Distribusi Peluang • Distribusi frekuensi relatif yang secara teori seharusnya terjadi pada pengamatan suatu populasi • Pemahaman dasar tentang terjadinya suatu kejadian secara natural • Identifikasi peluang terjadinya suatu kejadian • Model yang menggambarkan peluang suatu kejadian dan penggambaran kapan terjadinya – Membantu pengambilan keputusan secara efektif – Persiapan untuk proses yang terkait dengan kejadian tersebut
Distribusi Peluang Diskrit – Distribusi Kumulatif / Frekuensi relatif • 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋≤𝑥 =
𝑡≤𝑥 𝑓
𝑡 , −~ < 𝑥 < ~
1
30/10/2013
Distribusi Peluang Diskrit
Distribusi Peluang Diskrit • Distribusi Peluang Diskrit Kumulatif – 𝐹 1 = 𝑃 𝑋 ≤ 1 = 𝑓 0 + 𝑓 1 = 0.25 + 0.5 = 0.75
– 𝐹(𝑥)
Distribusi Peluang Diskrit • Mean / Expected Value –𝜇=𝐸 𝑋 =
0, 0.25, 0.75, 1,
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 1 ≤ 𝑥 < 2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 2
Distribusi Peluang • Distribusi Peluang Kontinyu
𝑥 𝑥𝑓(𝑥)
– Probability density function
• Variansi – 𝜎 2 = 𝐸[ 𝑋 − 𝜇 2 ] =
𝑥 (𝑥
− 𝜇)2 𝑓(𝑥)
Distribusi Binomial • Percobaan berturut-turut dengan dua kemungkinan hasil: – Sukses vs Gagal – Yes vs No
• Mengacu pada Proses Bernoulli: Distribusi Peluang Diskrit
BINOMIAL
– – – –
Percobaan dilakukan berulang Tiap percobaan hanya ada 2 kemungkinan hasil Percobaan bersifat independen Peluang sukses selalu sama dari percobaan satu ke percobaan berikutnya
2
30/10/2013
Distribusi Binomial
Distribusi Binomial
• 𝑝 = 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠 • 𝑞 = 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙 • 𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚
• 𝐵 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑘𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 • 𝑃 𝑋 < 𝑟 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)
Distribusi Binomial
Distribusi Binomial
• Dengan Tabel:
Distribusi Binomial
• Dengan Tabel:
Distribusi Binomial • Rata-rata dan Variansi:
3
30/10/2013
Distribusi Binomial CATATAN: • Pada kondisi tertentu, distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi poisson atau distribusi normal • Hasil perhitungan berdasarkan pendekatan distribusi harus diterima dengan bijaksana dan penuh kehati2an. Karena pada prinsipnya setiap pendekatan menggunakan beberapa asumsi. Pada distribusi binomial, asumsi yang digunakan adalah asumsi independen pada proses percobaan bernoulli, dan bahwa 𝑝 adalah konsisten
Distribusi Multinominal
Distribusi Peluang Diskrit
MULTINOMIAL
Distribusi Multinominal
• 𝑝𝑖 = 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 • 𝑋𝑖 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚
Distribusi Multinominal
Distribusi Peluang Diskrit
HYPERGEOMETRIC
4
30/10/2013
Distribusi Hypergeometric • Percobaan berturut-turut dengan dua kemungkinan hasil: – Sukses vs Gagal – Yes vs No
• Tidak menganut proses Bernoulli ⇛percobaan tidak independen ⇛tanpa pengembalian (without replacement) • Aplikasi: penerimaan sampel (acceptance sampling), pengujian elektronik, jaminan mutu
Distribusi Hypergeometric 𝑘 𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑘 = 𝑥
max 0, 𝑛 − 𝑁 − 𝑘
𝑁−𝑘 𝑛−𝑥 , 𝑁 𝑛
• Notasi dalam percobaan hypergeometric: – variabel acak hypergeometric: • jumlah sukses variabel X dalam percobaan hypergeometric
– Distribusi hypergeometric:distribusi peluang dari variabel hypergeometric –x :jumlah sukses variabel X dalam percobaan n sampel – n :ukuran sample acak (dilakukan tanpa pengembalian) – N :jumlah keseluruhan obyek – k :jumlah obyek sukses dari keseluruhan obyek – n - x :jumlah gagal dalam percobaan – N - k:jumlah gagal pada keseluruhan obyek – h :nilai dari distribusi hypergeometric
Distribusi Hypergeometric Contoh:
≤ 𝑥 ≤ min 𝑛, 𝑘 .
Distribusi Hypergeometric • Rata-rata dan Variansi: 𝜇 = 𝑛𝑘 𝑁 𝑁−𝑛 𝑘 2 𝜎 = 𝑁−1 . 𝑛. 𝑁 – Contoh:
Distribusi Hypergeometric
𝑘 1−𝑁
Distribusi Hypergeometric • Distribusi hypergeometric dapat diselesaikan dengan distribusi binomial, jika 𝑁𝑛 ≤0.05, 𝑝 = 𝑁𝑘 – Sehingga rata-rata dan variansinya dapat dihitung dengan cara:
𝑁 = 40, 𝑛 = 5, 𝑘 = 3,
5
30/10/2013
Distribusi Binomial Negatif • Percobaan binomial negatif – Mencari peluang 𝑘 sukses dalam 𝑥 percobaan
• Variabel acak binomial negatif – Jumlah 𝑋 percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan 𝑘 sukses pada percobaan binomial negatif
Distribusi Peluang Diskrit
BINOMIAL NEGATIF
Distribusi Binomial Negatif
• Distribusi peluang binomial negatif – Peluang jumlah 𝑋 percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan 𝑘 sukses pada percobaan binomial negatif
Contoh:
Distribusi Binomial Negatif
• Notasi: – – – – –
𝑏∗ x p q k
:peluang sukses pada trial tertentu :jumlah percobaan :peluang sukses :peluang gagal :jumlah sukses yang terjadi
Distribusi Binomial Negatif • Rata-rata dan Variansi: 𝜇 = 𝑘𝑝 𝜎 2 = 𝑘(1−𝑝) 𝑝2
Distribusi Peluang Diskrit
GEOMETRIC
6
30/10/2013
Distribusi Geometric • Kondisi khusus dari binomial negatif
Distribusi Geometric Contoh:
–𝑘 =1
Distribusi Geometric • Rata-rata dan Variansi: 𝜇 = 𝑝1 𝜎 2 = (1−𝑝) 𝑝2
Distribusi Poisson • Percobaan Poisson: Percobaan yang variabel acak-nya adalah banyaknya hasil selama selang waktu tertentu atau area tertentu Selang waktu: menit, jam, hari, minggu, bulan, tahun, dll X: banyaknya penelepon 108 per jam, X: banyaknya hari sekolah libur karena banjir X: banyaknya pertandingan bola ditunda pada musim hujan
Area: panjang garis, luas daerah, isi benda, potongan material, dll X: banyaknya tikus sawah per hektar X: banyaknya salah ketik per halaman
Distribusi Peluang Diskrit
POISSON
Distribusi Poisson • Karakteristik Proses Poisson: – Jumlah hasil yang terjadi pada selang waktu atau area adalah independen terhadap hasil yang terjadi pada selang waktu atau area lain yang terpisah. (poisson process has no memory) – Peluang satu hasil terjadi dalam selang waktu yang singkat atau area yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau ukuran area. Peluang tersebut independen terhadap hasil di luar interval waktu atau area tersebut.
7
30/10/2013
Distribusi Poisson
Distribusi Poisson • Dengan Tabel
• Rumus:
𝑃 𝑟; λ𝑡 =
– 𝜇 = λ𝑡 – 𝑃𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 = 𝑝 𝑥; λ𝑡 𝑝 𝑥; λ𝑡 = 𝑒
−λ𝑡
λ𝑡 𝑥 ,𝑥 𝑥!
𝑟
𝑝 𝑥; λ𝑡 𝑥=0
= 0, 1, 2, …
– 𝑡: "waktu", "jarak", "area", 𝑎𝑡𝑎𝑢 "volume“ – λ: "rata − rata jumlah hasil per satuan unit 𝑡“ – 𝑒 = 2,71828 …
Distribusi Poisson
Distribusi Poisson
Contoh:
Contoh:
• Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?
• Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tanker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak mampu melayaninya?
𝑝 6; 4.1 = 𝑒
−4 4.1 6 6!
−4 6
.4 = 2,71828 = 0,018∗4096 = 0,104196 6𝑥5𝑥4𝑥2𝑥1 720
– Dengan Tabel: 𝑝 6; 4 =
6 𝑥=0 𝑝
𝑥; 4 −
5 𝑥=0 𝑝
𝑥; 4 = 0.8893 − 0.7851 = 0.1042
– X: banyaknya tanker yang tiba tiap hari – 𝑃 𝑋 > 15 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 15 – 𝑃 𝑋 > 15 = 1 − 15 𝑥=0 𝑝 𝑥; 10 – 𝑃 𝑋 > 15 = 1 − 0,9513 – 𝑃 𝑋 > 15 = 0,0487
Distribusi Poisson • Rata-rata dan Variansi: 𝜇 = λ𝑡 𝜎 2 = λ𝑡
Distribusi Poisson • Poisson dan Binomial – Percobaan Binomial dapat diselesaikan dengan Poisson jika: • 𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑛 → ∞ • 𝑝 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 (𝑝 → 0) • 𝑛𝑝
𝑛→∞
𝜇, 𝑏(𝑥; 𝑛𝑝)
𝑛→∞
𝑝(𝑥; 𝜇)
8
30/10/2013
Distribusi Poisson • Poisson dan Binomial
Distribusi Poisson • Poisson dan Binomial
Distribusi Peluang Diskrit Distribution
Random Variable X
Possible Values of X
Binomial
No. of success in n trials with p = P (success) (draw w/ replacement, independet trials)
0, 1, … . , 𝑛
Negative Binomial
No of trials until the kth success with p = P (success)
𝑘, 𝑘 + 1, …
Geometric
No of trials until the 1st success with p = P (success)
1, 2, 3, …
Hypergeometric
No. of success in n trials with p = P (success) = k/N (draw w/o replacement, dependet trials)
max 0, 𝑛 − 𝑁 − 𝑘 ... min 𝑛, 𝑘
𝑘 𝑎
Poisson
No. of arrivals with arrivale rate λ during an interval length t
0, 1, 2,...
𝑒 −λ𝑡 λ𝑡 𝑎!
Distribusi Peluang Diskrit
RANGKUMAN
Distribution Function Fx(a) = P(X=a) 𝑛 𝑎 𝑝 1 − 𝑝 𝑛−𝑎 𝑎 𝑎 − 1 𝑘−1 𝑝 1− 𝑝 𝑘 −1
𝑎−𝑘
𝑝(1 − 𝑝)𝑎−1
𝑁−𝑘 𝑛−𝑎 𝑁 𝑛 𝑎
.𝑝
Mean E(X) 𝑛𝑝
𝑘/𝑝 1/𝑝
𝑛(𝑘 𝑁 )
λ𝑡
Distribusi Peluang Diskrit • The number of defectives found when inspecting 10 items produced by a production line with defective rate 5 %. (𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑛 = 10, 𝑝 = 5% ) • The number of flips required to observe the 4thhead flipping a biased coin with P(head)=1/3. (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑘 = 4, 𝑝 = 1/3 ) • The number of red balls observed when drawing without replacement 10 balls from a bag with 5 red and 20 black balls. (𝑦𝑝𝑒𝑟𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑁 = 25, 𝑘 = 5, 𝑛 = 10 ) • The number of bubbles observed when inspecting a piece of glass with area 100 𝑚2 where on the average there exist 5 bubbles on a piece of glass with area 10000 𝑚2 . (𝑝𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 λ = 5/10000, 𝑡 = 100 )
9
