PERHITUNGAN NILAI-NILAI AKTUARIA DENGAN ASUMSI TINGKAT SUKU BUNGA BERUBAH SECARA STOKASTIK

PERHITUNGAN NILAI-NILAI AKTUARIA DENGAN ASUMSI TINGKAT SUKU BUNGA BERUBAH SECARA STOKASTIK Kumala Dewi S.; Ferry Jaya Permana; Farah Kristiani Jurusan Matematika, Fakultas Teknologi dan Ilmu Sains, Universitas Katolik Parahyangan, Bandung [email protected]

ABSTRACT Insurance company provides a product that solves economic unsteadiness as result of losing a member of family. It is a contract that provides a benefit to endured side’s heir when he/she die after pay premium to the company every period of time since the contract is signed. In present value of benefit and premium calculation, interest rate is needed. Since years ago, present value of benefit and annuity is calculated under assumption that interest rate is constant. In more realistic model, interest rate is always changing because of many factors as inflation, the amount of money at the market, etc. In this research writer intends to discuss about present value of benefit and premium insurance calculation under assumption stochastic interest rate that follow Vasicek model and CIR (CoxIngersol-Ross) model. Beside of interest rate, in present value of benefit and premium calculation, survival function is also needed. Writer will use two data, those are data of US population between 1979-1981 and the approximation using Gompertz Mortality Law assumption. Keywords: benefit, premium, interest rate, stochastic, gompertz

ABSTRAK Perusahaan asuransi menyediakan sebuah produk untuk menanggulangi guncangan ekonomi akibat kehilangan seorang anggota keluarga. Produk tersebut berupa kontrak yang menyediakan manfaat kepada ahli waris pihak tertanggung ketika meninggal setelah pemegang kontrak membayar premi kepada perusahaan asuransi setiap periode waktu sejak kontrak ditandatangani. Dalam perhitungan nilai tunai manfaat dan premi, dibutuhkan tingkat suku bunga. Selama ini, nilai tunai manfaat dan anuitas dihitung dengan tingkat suku bunga konstan. Pada model yang lebih realistis, tingkat suku bunga selalu berubah karena banyak faktor seperti inflasi, banyaknya uang yang beredar dalam masyarakat, dan sebagainya. Pada penelitian ini, akan dibahas perhitungan nilai tunai manfaat dan premi asuransi jiwa dengan tingkat suku bunga berubah secara stokastik yang mengikuti model Vasicek dan CIR (Cox-Ingersol-Ross). Selain tingkat suku bunga, dalam perhitungan nilai tunai manfaat dan premi, juga dibutuhkan fungsi hidup. Penulis akan menggunakan dua data, yaitu data penduduk Amerika Serikat antara tahun 1979-1981 dan pendekatannya dengan asumsi Hukum Mortalita Gompertz. Kata kunci: manfaat, premi, suku bunga, stokastik, gompertz

Perhitungan Nilai-Nilai …... (Kumala Dewi S.; dkk)

149

PENDAHULUAN Perusahaan asuransi menyediakan sebuah produk berupa kontrak perjanjian yang menyediakan pembayaran manfaat kepada ahli waris pihak tertanggung ketika meninggal setelah pemegang kontrak membayar premi setiap periode waktu. Perhitungan manfaat dan premi membutuhkan tingkat suku bunga. Pada kenyataannya tingkat suku bunga selalu berubah karena berbagai faktor. Perubahannya pun tidak dapat diprediksi. Pada penelitian ini, penulis menggunakan model Vasicek dan CIR (Cox-Ingersol-Ross) untuk tingkat suku bunga yang berubah secara stokastik. Perhitungan yang digunakan akan didasarkan pada tabel mortalita penduduk Amerika Serikat periode tahun 1979-1981 dan pendekatan modelnya dengan menggunakan asumsi Hukum Mortalita Gompertz. Setelah pendekatan model dilakukan dan data dipergunakan, akan dilihat pula tingkat error dari masing-masing nilai aktuaria meliputi error nilai tunai manfaat, nilai tunai anuitas dan nilai premi. Akan dianalisa juga bagaimana pengaruh usia pihak tertanggung pada saat penandatangan kontrak terhadap besaran nilai-nilai aktuaria yang ada.

METODE Dari (Bowers dkk, 1997) diketahui bahwa Pr menyatakan seseorang yang Pr menyatakan berusia tahun akan meninggal sebelum usia tahun dan seseorang yang berusia tahun akan bertahan hidup hingga usia tahun dengan peubah dan dapat dikaitkan dengan fungsi hidup acak yang menyatakan sisa usia seseorang. , yaitu 1

1

2

Untuk menyatakan peluang seseorang akan meninggal dan bertahan hidup hingga dan . digunakan notasi

1 tahun

menyatakan peluang seseorang mengalami kematian mendadak Dalam ilmu aktuaria, pada usia tahun dan dinyatakan dengan 3

Selain itu,

juga dapat dilihat relasinya dengan fungsi hidup exp

, yaitu 4

yang merupakan fungsi Pr dapat dinyatakan dengan distribusi dari peubah acak . Oleh karena itu, fungsi densitas dari peubah acak dapat diperoleh 5 Selain menggunakan tabel mortalita, ada pendekatan lain untuk menghitung nilai-nilai aktuaria, yaitu menggunakan hukum mortalita. Ada beberapa penemu hukum mortalita yang cukup

150

Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011: 149-162

terkenal seperti De Moivre, Gompertz, Makeham, dan Weibull. Hukum mortalita yang dipakai pada pembahasan ini adalah hukum mortalita Gompertz, di mana , ,

0, ,

0

Misal menyatakan fungsi peubah acak manfaat, menyatakan fungsi peubah acak diskon, 0 adalah maka peubah acak untuk nilai tunai manfaat asuransi seumur hidup untuk Misalkan pembayaran manfaat sebesar 1 unit pada akhir periode pihak tertanggung meninggal, yaitu pada saat , maka nilai tunai manfaat asuransi hidup untuk 0 adalah 1 exp Actuarial Present Value (APV) untuk ∑

adalah 6

exp

Misalkan pembayaran anuitas sebesar 1 unit pada awal setiap periode, maka nilai tunai anuitas hidup untuk 0 adalah | Actuarial Present Value (APV) untuk

adalah 7

exp

Dari persamaan (6) dan (7) dapat dihitung premi tahunan yang harus dibayar oleh nasabah dengan tingkat suku bunga konstan adalah sebesar 8 Untuk tingkat suku bunga stokastik yang dipakai adalah tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek dan CIR (Cox-Ingersol-Ross). Tingkat suku bunga dikatakan mengikuti model Vasicek jika pergerakan tingkat suku bunganya mengikuti persamaan diferensial berikut (Hull, 2003)

Misal menyatakan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek. exp

2

4

0

9

dengan


151

Tingkat suku bunga dikatakan mengikuti model CIR jika pergerakan tingkat suku bunganya mengikuti persamaan diferensial berikut (Hull, 2003)

menyatakan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat Misal untuk tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR. 2 exp exp

2

2 0 exp exp

exp

1

10

dengan 2 dan menyatakan tingkat suku bunga saat , menyatakan tingkat suku √ bunga jangka panjang, menyatakan kecepatan penyesuaian tingkat suku bunga terhadap tingkat suku bunga jangka panjang , menyatakan volatilitas, menyatakan proses Wiener, dan 0 , , , merupakan konstanta positif.

Parameter Pada Hukum Mortalita Gompertz Fungsi distribusi kumulatif pada hukum mortalita Gompertz untuk peubah acak 1 Dengan mengambil eksponensial diperoleh

exp

1

ln

adalah

1 dan menggunakan aljabar penjumlahan dan perkalian biasa serta sifat

ln ln

1

ln

1

ln

1 ln

Dengan menggunakan metode Linear Least Square diperoleh 0,0002 1,0744 sehingga fungsi distribusi kumulatif hukum mortalita untuk penduduk Amerika Serikat periode tahun 1979-1981 adalah 1

exp

2,7886

10

1,0744 1,0744

1

11

Akan selalu ada error dalam penggunaan asumsi hukum mortalita Gompertz pada tabel mortalita yang mengakibatkan adanya error pada perhitungan nilai-nilai aktuaria. Setelah dihitung, , dan masing-masing diperoleh hasil error relatif rata-rata untuk fungsi , , adalah sebesar 9,9661; 26,9280; 33,7318; dan 27,4343. Hal ini disebabkan oleh hukum mortalita Gompertz yang hanya memperhitungkan faktor usia saja, padahal dalam data tabel mortalita tidak hanya faktor usia saja yang diperhitungkan, sehingga faktor-faktor lain yang mempengaruhi dalam data tabel mortalita tidak terhitung pada hukum mortalita Gompertz.

152


Nilai-Nilai Aktuaria Dengan menggunakan program MATLAB, diperoleh nilai-nilai aktuaria untuk tiga model tingkat suku bunga untuk berbagai usia tertanggung saat penandatanganan kontrak dan berbagai parameter , , dan . Setiap perhitungan akan dilakukan dengan menggunakan dua data, yaitu data dari hukum mortalita Gompertz dan data dari tabel mortalita penduduk Amerika Serikat periode tahun 1979-1981.

HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil Nilai tunai manfaat akan dihitung dengan menggunakan persamaan (6) dengan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang beragam yaitu konstan sebesar 5%, mengikuti model Vasicek pada persamaan (9) dan model CIR pada persamaan (10) dengan r(0) = 5%. Tabel 1 Nilai Tunai Manfaat untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun Parameter Konstan 0,055

1,1

0,070

0,080

0,055

2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

0,1169

0,1169

0,1169

Hukum Mortalita Gompertz Vasicek 0,0995 0,1741 0,7297 0,0643 0,1036 0,3695 0,0499 0,0764 0,2436 0,0992 0,1167 0,1678 0,0637 0,0731 0,0998 0,0493 0,0558 0,0736 0,0991 0,1065 0,1242 0,0635 0,0675 0,0769 0,0491 0,0518 0,0582


CIR 0,0994 0,1021 0,1077 0,0642 0,0661 0,0699 0,0499 0,0514 0,0544 0,0992 0,1000 0,1018 0,0637 0,0643 0,0655 0,0493 0,0498 0,0507 0,0991 0,0995 0,1003 0,0635 0,0637 0,0643 0,0491 0,0493 0,0497

Konstan

0,1061

0,1061

0,1061

Tabel Mortalita Vasicek 0,0889 0,1639 0,7506 0,0549 0,0930 0,3675 0,0415 0,0665 0,2357 0,0886 0,1060 0,1574 0,0544 0,0634 0,0893 0,0410 0,0470 0,0638 0,0886 0,0958 0,1134 0,0542 0,0580 0,0670 0,0408 0,0433 0,0493

CIR 0,0888 0,0915 0,0970 0,0548 0,0566 0,0603 0,0415 0,0429 0,0457 0,0886 0,0895 0,0912 0,0544 0,0549 0,0561 0,0410 0,0414 0,0423 0,0885 0,0889 0,0897 0,0542 0,0545 0,0550 0,0408 0,0410 0,0414

153

Tabel 2 Nilai Tunai Manfaat untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun Parameter Konstan 0,055 1,1

0,070

0,080

0,055 2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

0,1739

0,1739

0,1739

Hukum Mortalita Gompertz Vasicek CIR 0,1525 0,2398 0,7591 0,1065 0,1574 0,4384 0,0863 0,1227 0,3134 0,1521 0,1737 0,2330 0,1056 0,1184 0,1528 0,0852 0,0945 0,1189 0,1520 0,1612 0,1826 0,1052 0,1107 0,1233 0,0848 0,0888 0,0979

0,1524 0,1558 0,1626 0,1064 0,1090 0,1142 0,0862 0,0884 0,0927 0,1521 0,1532 0,1553 0,1056 0,1064 0,1080 0,0852 0,0859 0,0873 0,1520 0,1524 0,1534 0,1052 0,1056 0,1063 0,0848 0,0851 0,0857

Konstan


0,1594

0,1594

0,1594

CIR 0,1375 0,1410 0,1479 0,0914 0,0940 0,0992 0,0717 0,0738 0,0780 0,1372 0,1383 0,1406 0,0907 0,0915 0,0931 0,0709 0,0715 0,0729 0,1371 0,1376 0,1386 0,0904 0,0908 0,0915 0,0705 0,0708 0,0714

Tabel 3 Nilai Tunai Manfaat Untuk Pihak Tertanggung berusia 45 tahun Parameter Konstan 0,055

1,1

0,070

0,080

0,055

2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

154

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

0,2511

0,2511

0,2511


0,2263 0,2303 0,2382 0,1700 0,1733 0,1798 0,1434 0,1463 0,1520 0,2259 0,2271 0,2297 0,1687 0,1697 0,1718 0,1417 0,1426 0,1445 0,2257 0,2263 0,2274 0,1681 0,1686 0,1696 0,1411 0,1415 0,1423

Konstan

0,2406

0,2406

0,2406


CIR 0,2147 0,2189 0,2271 0,1564 0,1598 0,1666 0,1293 0,1323 0,1381 0,2143 0,2156 0,2183 0,1552 0,1563 0,1585 0,1278 0,1287 0,1306 0,2141 0,2147 0,2159 0,1547 0,1552 0,1562 0,1272 0,1276 0,1285


Dilihat dari ketiga tabel di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sembarang nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan untuk sembarang nilai parameter k dan terhadap nilai tunai manfaat baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR. Nilai Tunai Anuitas Nilai tunai anuitas akan dihitung dengan menggunakan persamaan (7) dengan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang beragam yaitu konstan sebesar 5%, mengikuti model Vasicek pada persamaan (9) dan model CIR pada persamaan (10) dengan r(0) = 5%.

Tabel 4 Nilai Tunai Anuitas untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun Parameter Konstan 0,055

1,1

0,070

0,080

0,055

2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

18,0697

18,0697

18,0697



16,8817 17,0729 17,4468 14,0770 14,2446 14,5742 12,6717 12,8246 13,1260 16,8507 16,9117 17,0357 13,9770 14,0308 14,1403 12,5391 12,5884 12,6887 16,8376 16,8654 16,9222 13,9348 13,9593 14,0096 12,4832 12,5056 12,5517

Konstan

18,4348

18,4348

18,4348


CIR 17,1950 17,3944 17,7848 14,2804 14,4542 14,7961 12,8278 12,9857 13,2973 17,1632 17,2269 17,3561 14,1787 14,2345 14,3478 12,6933 12,7442 12,8477 17,1500 17,1788 17,2380 14,1359 14,1612 14,2133 12,6366 12,6598 12,7073

155

Tabel 5 Nilai Tunai Anuitas untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun Parameter Konstan 0,055

1,1

0,070

0,080

0,055

2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

16,8752

16,8752

16,8752


15,8710 16,0330 16,3489 13,4423 13,5892 13,8773 12,1923 12,3288 12,5972 15,8420 15,8940 15,9995 13,3474 13,3948 13,4912 12,0655 12,1098 12,1997 15,8299 15,8535 15,9020 13,3073 13,3290 13,3733 12,0119 12,0321 12,0736

Konstan


17,3943

17,3943

17,3943

CIR 16,3330 16,5042 16,8383 13,7753 13,9298 14,2329 12,4649 12,6079 12,8894 16,3031 16,3580 16,4694 13,6777 13,7275 13,8287 12,3348 12,3811 12,4752 16,2906 16,3155 16,3666 13,6366 13,6592 13,7058 12,2799 12,3010 12,3443

Tabel 6 Nilai Tunai Anuitas untuk Pihak Tertanggung Berusia 45 Yahun Parameter Konstan 0,055

1,1

0,070

0,080

0,055

2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

156

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

15,2476

15,2476

15,2476


14,4537 14,5819 14,8313 12,4808 12,6016 12,8378 11,4337 11,5484 11,7731 14,4276 14,4691 14,5530 12,3937 12,4330 12,5127 11,3161 11,3535 11,4295 14,4167 14,4356 14,4743 12,3568 12,3748 12,4116 11,2662 11,2834 11,3185

Konstan

15,8104

15,8104

15,8104


CIR 14,9676 15,1038 15,3687 12,8780 13,0059 13,2560 11,7723 11,8934 12,1309 14,9405 14,9845 15,0736 12,7877 12,8293 12,9136 11,6507 11,6902 11,7703 14,9292 14,9492 14,9902 12,7496 12,7686 12,8075 11,5992 11,6173 11,6543


Dilihat dari ketiga tabel di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sembarang nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan untuk sembarang nilai parameter k dan terhadap nilai tunai anuitas baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR. Premi Premi akan dihitung dengan menggunakan persamaan (8) dengan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang beragam yaitu konstan sebesar 5%, mengikuti model Vasicek pada persamaan (9) dan model CIR pada persamaan (10) dengan r(0) = 5%.

Tabel 7 Nilai Premi untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun Parameter Konstan 0,055

1,1

0,070

0,080

0,055

2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

0,0065

0,0065

0,0065



0,0059 0,0060 0,0062 0,0046 0,0046 0,0048 0,0039 0,0040 0,0041 0,0059 0,0059 0,0060 0,0046 0,0046 0,0046 0,0039 0,0040 0,0040 0,0059 0,0059 0,0059 0,0046 0,0046 0,0046 0,0039 0,0039 0,0040

Konstan

0,0058

0,0058

0,0058


CIR 0,0052 0,0053 0,0055 0,0038 0,0039 0,0041 0,0032 0,0033 0,0034 0,0052 0,0052 0,0053 0,0038 0,0039 0,0039 0,0032 0,0033 0,0033 0,0052 0,0052 0,0052 0,0038 0,0038 0,0039 0,0032 0,0032 0,0033

157


1,1

0,070

0,080

0,055

2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

0,0103

0,0103

0,0103


0,0096 0,0097 0,0099 0,0079 0,0080 0,0082 0,0071 0,0072 0,0074 0,0096 0,0103 0,0097 0,0079 0,0079 0,0080 0,0071 0,0071 0,0072 0,0096 0,0096 0,0096 0,0079 0,0079 0,0080 0,0071 0,0071 0,0071

Konstan

0,0092

0,0092

0,0092


CIR 0,0084 0,0085 0,0088 0,0066 0,0067 0,0070 0,0058 0,0059 0,0061 0,0084 0,0085 0,0085 0,0066 0,0067 0,0067 0,0057 0,0058 0,0058 0,0084 0,0084 0,0085 0,0066 0,0066 0,0067 0,0057 0,0058 0,0058


1,1

0,070

0,080

0,055

2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

158

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

0,0165

0,0165

0,0165


0,0157 0,0158 0,0161 0,0136 0,0138 0,0140 0,0125 0,0127 0,0129 0,0157 0,0157 0,0158 0,0136 0,0137 0,0137 0,0125 0,0126 0,0126 0,0157 0,0157 0,0157 0,0136 0,0136 0,0137 0,0125 0,0125 0,0126

Konstan

0,0152

0,0152

0,0152


CIR 0,0143 0,0145 0,0148 0,0121 0,0123 0,0126 0,0110 0,0111 0,0114 0,0143 0,0144 0,0145 0,0121 0,0122 0,0123 0,0110 0,0110 0,0111 0,0143 0,0144 0,0144 0,0121 0,0122 0,0122 0,0110 0,0110 0,0110


Dilihat dari ketiga tabel di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai premi untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sembarang nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai premi untuk pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan untuk sembarang nilai parameter k dan terhadap nilai premi baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR.

Tingkat Error Pada pemodelan tabel mortalita menggunakan hukum mortalita, tentu ada perbedaan pada nilainilainya. Begitu pula dengan nilai-nilai aktuaria yang dipengaruhi. Pada subbab ini, akan digunakan error relatif untuk setiap nilai-nilai aktuaria pada berbagai usia nasabah dan berbagai parameter.

Tingkat Error Untuk Nilai Tunai Manfaat Tingkat error untuk nilai tunai manfaat akan dihitung menggunakan data dari tabel 1 dan formula 100%

Tabel 10 Tingkat Error (%)

untuk Pihak Tertanggung yang Berusia 25 tahun Konstan

0,055

1,1

0,070

0,080

0,055

2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

10,1558

10,1558

10,1558


Vasicek 11,9106 6,2004 2,7916 17,1111 11,3801 0,5485 20,2395 14,9020 3,3333 11,9200 10,1554 6,6051 17,1129 15,4300 11,8122 20,2302 18,7243 15,3210 11,9221 11,1368 9,5213 17,1125 16,3734 14,8055 20,2262 19,5716 18,1506

CIR 11,9245 11,6130 11,0268 17,1239 16,7514 16,0409 20,2506 19,8730 19,1427 11,9241 11,8279 11,6346 17,1167 17,0023 16,7715 20,2335 20,1183 19,8847 11,9240 11,8809 11,7932 17,1142 17,0632 16,9588 20,2277 20,1764 20,0712

159

Dari table di atas, dapat diketahui bahwa semakin besar nilai parameter k, tingkat error nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung juga semakin besar. Sedangkan untuk parameter , semakin besar nilainya, tingkat error nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Hal ini ternyata berlaku untuk kondisi pihak tertanggung berusia 25, 35 dan 45 tahun.

Tingkat Error Untuk Nilai Tunai Anuitas Tingkat error untuk nilai tunai anuitas akan dihitung menggunakan data dari tabel 4 dan formula 100%


untuk Pihak Tertanggung yang Berusia 25 tahun Konstan

0,055

1,1

0,070

0,080

0,055

2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

1,9807

1,9807

1,9807

Vasicek 1,8229 2,4024 4,0868 1,4251 1,8674 3,2757 1,2175 1,5820 2,7903 1,8216 1,9805 2,3556 1,4231 1,5430 1,8303 1,2150 1,3135 1,5506 1,8213 1,8903 2,0417 1,4225 1,4744 1,5892 1,2143 1,2569 1,3512

CIR 1,8217 1,8485 1,9002 1,4242 1,4499 1,4999 1,2168 1,2408 1,2879 1,8213 1,8296 1,8463 1,4228 1,4307 1,4468 1,2148 1,2222 1,2373 1,8212 1,8249 1,8324 1,4224 1,4259 1,4332 1,2142 1,2175 1,2243

Dari table di atas, dapat diketahui bahwa semakin besar nilai parameter k dan , tingkat error nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan untuk parameter , semakin besar nilainya, tingkat error nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung juga akan semakin besar. Hal ini ternyata berlaku untuk kondisi pihak tertanggung berusia 25, 35 dan 45 tahun.

160


Tingkat Error Untuk Premi Tingkat error untuk premi akan dihitung menggunakan data dari tabel 7 dan formula

100%


untuk Pihak Tertanggung yang Berusia 25 Tahun Konstan

0,055

1,1

0,070

0,080

0,055

2,0

0,070

0,080

0,055

3,0

0,070

0,080

0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35 0,01 0,20 0,35

12,3817

12,3817

12,3817

Vasicek

CIR

13,9885 8,8145 1,3504 18,8042 13,4996 3,9537 21,7214 16,7490 6,2994 13,9966 12,3812 9,1769 18,8035 17,2390 13,8969 21,7090 20,3045 17,1373 13,9984 13,2780 11,8041 18,8025 18,1149 16,6594 21,7041 21,0937 19,7690

14,0013 13,7150 13,1775 18,8161 18,4691 17,8079 21,7318 21,3791 20,6973 14,0004 13,9119 13,7345 18,8071 18,7006 18,4858 21,7121 21,6045 21,3867 14,0001 13,9606 13,8800 18,8041 18,7565 18,6594 21,7055 21,6576 21,5596

Dari table di atas, dapat diketahui bahwa semakin besar nilai parameter k dan , tingkat error nilai premi untuk pihak tertanggung akan semakin besar. Sedangkan untuk parameter , semakin besar nilainya, tingkat error nilai premi untuk pihak tertanggung juga akan semakin kecil. Hal ini ternyata berlaku untuk kondisi pihak tertanggung berusia 25, 35 dan 45 tahun.

Analisa Model Berdasarkan tabel-tabel aktuaria di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar parameter , pengaruh parameter terhadap nilai-nilai aktuaria semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, parameter tidak terlalu berpengaruh untuk setiap nilai parameter terhadap nilai-nilai aktuaria. Parameter cukup berpengaruh terhadap nilai-nilai aktuaria pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek maupun CIR untuk setiap nilai dan . Selain itu, usia nasabah saat penandatanganan kontrak juga berpengaruh pada nilai-nilai aktuaria. Semakin tinggi usia nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin tinggi juga nilai tunai manfaat dan premi yang harus dibayar oleh nasabah, tetapi nilai tunai anuitasnya semakin kecil.


161

Berdasarkan tabel-tabel tingkat error, dapat diketahui bahwa semakin rendah usia seorang nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin tinggi tingkat error untuk nilai tunai manfaat yang terjadi akibat pemodelan tabel mortalita dengan hukum mortalita Gompertz, begitu juga sebaliknya. Hal ini disebabkan oleh tingkat error yang terakumulasi pada usia nasabah 25 tahun lebih banyak dibandingkan dengan tingkat error yang terakumulasi pada usia nasabah 35 tahun dan 45 tahun. Untuk nilai tunai anuitas, dapat diketahui bahwa tingkat error-nya paling kecil bila dibandingkan dengan tingkat error untuk nilai tunai manfaat dan premi. Hal ini disebabkan oleh nilai tunai anuitas hanya dipengaruhi oleh fungsi , di mana diketahui bahwa tingkat error relatif fungsi paling kecil bila dibandingkan dengan fungsi-fungsi yang lain, yaitu 9,9661%. Secara umum, kondisi seseorang yang berusia 25 tahun dan 35 tahun lebih prima bila dibandingkan dengan kondisi seseorang yang berusia 45 tahun, sehingga pada usia 25 tahun dan 35 tahun, seseorang lebih berani mengambil risiko yang akhirnya meningkatkan peluang hazard dibandingkan untuk usia 45 tahun. Padahal data pada tabel mortalita sudah memperhitungkan peluang hazard-nya. Oleh karena itu, tingkat error premi pada usia 25 dan 35 tahun lebih besar dibandingkan dengan tingkat error premi pada usia 45 tahun.

PENUTUP Tabel mortalita penduduk Amerika Serikat periode tahun 1979-1981 kurang sesuai jika dimodelkan dengan hukum mortalita Gompertz karena hukum mortalita Gompertz hanya memperhitungkan kematian yang disebabkan oleh faktor usia saja, padahal data dalam tabel mortalita tercatat kematian yang tidak hanya disebabkan oleh faktor usia saja. Hal ini dilihat dari adanya perbedaan nilai antara nilai-nilai aktuaria yang dihitung dengan tabel mortalia dengan nilai-nilai aktuaria yang dihitung dengan Hukum Mortalita Gompertz. Semakin tinggi usia seorang nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin tinggi juga nilai tunai manfaat asuransi dan premi yang harus dibayar oleh nasabah, tetapi nilai tunai anuitas hidupnya akan semakin rendah. Dengan kata lain, semakin rendah usia seorang nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin rendah juga nilai tunai manfaat asuransi dan premi yang harus dibayar oleh nasabah, tetapi nilai tunai anuitas hidupnya akan semakin tinggi. Untuk pengaruh nilai parameter-parameter pada model tingkat suku bunga stokastik, dapat dilihat bahwa pada model tingkat suku bunga Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai-nilai aktuaria semakin kecil. Pada model CIR, parameter k tidak terlalu berpengaruh untuk setiap nilai . Parameter sangat berpengaruh pada nilai-nilai aktuaria untuk tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek dan CIR. Pada pembahasan lebih lanjut dapat digunakan data penduduk Indonesia yang terbaru. Untuk pendekatan modelnya dapat digunakan asumsi Hukum Mortalita Makeham yang tidak hanya memperhitungkan faktor usia saja. Untuk nilai tunai manfaatnya dan anuitas dapat digunakan jenis asuransi selain asuransi jiwa seumur hidup.

DAFTAR PUSTAKA Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A., & Nesbitt, C. J. (1997). Actuarial Mathematics. Second Ed. Illinois: The Society of Actuaries.. Hull, J. C., (2003), Option, Futures, and Other Derivatives, 5th ed., Prentice Hall, USA. Noviyanti, L., & Syamsuddin, M. (2005), Life Insurance With Stochastic Interest Rate, 13th East Asian Actuarial Conference (EAAC), The Westin Resort, Bali, Indonesia, 12-15 September 2005 Zeytun S., Gupta, A. (2007), A Comparative Study of the Vasicek and the CIR Model of the Short Rate, Germany: Fraunhofer Institut Techno-und Wirtschaftsmathematik.

162


PERHITUNGAN NILAI-NILAI AKTUARIA DENGAN ASUMSI TINGKAT SUKU BUNGA BERUBAH SECARA STOKASTIK

Recommend Documents