Judul
:
Perhitungan Premi Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek dengan Simulasi Monte Carlo
Nama
:
Pembimbing :
Desi Kurnia Sari (NIM: 1208405054) 1. Drs. I Nyoman Widana, M.Si. 2. Kartika Sari, S.Si, M.Si
ABSTRAK Vasicek merupakan salah satu model suku bunga stokastik yang dapat menangkap pergerakan suku bunga yang berubah-ubah secara acak. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment suku Vasicek Perhitungan premi dilakukan tanpa dan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo. Hasil perhitungan premi tanpa simulasi Monte Carlo dengan jangka waktu kontrak asuransi 30 tahun untuk pihak tertanggung berusia 35 tahun dan uang pertaggungan sebesar Rp.100.000.000,- adalah Rp. 1.179.980,sedangkan dengan simulasi Monte Carlo adalah Rp. 1.181.240,-. Perhitungan premi dengan simulasi Monte Carlo menghasilkan kisaran kerugian dan keuntungan perusahaan asuransi sebesar (-236.910, 236.910) untuk tingkat kepercayaan 95%. Kata Kunci: Perhitungan Premi, Asuransi Jiwa Endowment, Vasicek, Simulasi Monte Carlo.
v
Title
:
Endowment Life Insurance Premium Calculation with Vasicek Model Using Monte Carlo Simulation
Name
:
Supervisor :
Desi Kurnia Sari (NIM: 1208405054) 1. Drs. I Nyoman Widana, M.Si. 2. Kartika Sari, S.Si, M.Si
ABSTRACT Vasicek is one of the stochastic interest rate model that can capture interest rates movement. The aim of this research was to get the level premium for endowment life insurance under stochastic interest rate. The premium was calculated without and by using Monte Carlo simulation. It is found that for a 30 years endowment policy issued to 35 years old with benefit Rp.100.000.000,-, the net premium that calculated without Monte Carlo simulation is Rp. 1.179.980,-, and by using Monte Carlo simulation is Rp. 1.181.240,- per year. Premium calculation using Monte Carlo simulation give mean loss (-236.910, 236.910) for a 95% confidence interval. Keyword : Premium Calculation, Endowment Life Insurance, Vasicek, Monte Carlo Simulation.
vi
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas rahmatNya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir dengan judul βPerhitungan Premi Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek dengan Simulasi Monte Carloβ. Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak, baik berupa dorongan semangat maupun sumbangan pemikiran. Oleh karena itu, sehubungan dengan terselesaikannya tugas akhir ini, maka penulis mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu penulis, antara lain: 1.
Ibu Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si.,M.Si., sebagai Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana.
2. Bapak I Wayan Sumarjaya, S.Si, M.Stats., sebagai Ketua Komisi Tugas Akhir di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana. 3.
Bapak Drs. I Nyoman Widana, M.Si., selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Kartika Sari, S.Si.,M.Sc., selaku Dosen Pembimbing II yang telah membimbing, memberi masukan dan motivasi selama penyusunan tugas akhir ini.
4.
Ibu Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si.,M.Si, Ibu Desak Putu Eka Nilakusmawati, S.Si, M.Si. dan Ibu Ni Made Asih, S.Pd., M.Si selaku Dosen Penguji yang telah memberikan masukan dan saran selama penyusunan tugas akhir ini. vii
5. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika serta pegawai Fakultas MIPA Universitas Udayana yang telah memberikan dukungan dan motivasi ilmu selama penulis menjadi mahasiswa. 6. Keluarga yang selalu memberikan motivasi dan doa untuk kelancaran penyelesaian proposal tugas akhir ini. 7. Teman-teman dan sahabat yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah memberikan dukungan dalam penyelesaian tugas akhir ini. Penulis
menyadari
penulisan
tugas
akhir
ini
masih
jauh
dari
kesempurnaan, oleh karena itu saran dan kritik yang membangun dari berbagai pihak sangat diharapkan dalam penyempurnaan tugas akhir ini. Tugas akhir ini diharapkan dapat bermanfaat bagi semua pihak khususnya para pembaca di Universitas Udayana terutama di Jurusan Matematika. Akhir kata penulis ucapkan terima kasih.
Bukit Jimbaran, Desember 2016
Penulis
viii
BIODATA ALUMNI
Nama Lengkap
: Desi Kurnia Sari
NIM
: 1208405054
Jenis Kelamin
: Perempuan
Tempat/Tanggal Lahir
: Kediri, 21 Juni 1994
Alamat Asal
: Jalan Danau Batur Raya Ruko A/2 Taman Griya
Alamat Sekarang
: Jalan Danau Batur Raya Ruko A/2 Taman Griya
Agama
: Islam
Tanggal Lulus
: 2 Desember 2016
Kompetensi
: Terapan
IP Kumulatif
: 3,48
Predikat Kelulusan
: Sangat Memuaskan
Nilai TOEFL Lokal
: 510
Alamat Email
:
[email protected]
Nomor HP
: 08113200824
Nama Ayah
: Suparjo WR
Nama Ibu
: Suwarlina
Alamat Ayah/Ibu
: Jalan Danau Batur Raya Ruko A/2 Taman Griya
Nomor HP
: 082146175323 ix
DAFTAR ISI
Halaman LEMBAR JUDUL ................................................................................................... i LEMBAR PERSEMBAHAN ................................................................................. ii LEMBAR PERNYATAAN ................................................................................... iii LEMBAR PENGESAHAN ................................................................................... iv ABSTRAK ..............................................................................................................v ABSTRACT .......................................................................................................... vi KATA PENGANTAR ......................................................................................... vii BIODATA ALUMNI ............................................................................................. ix DAFTAR ISI ...........................................................................................................x DAFTAR TABEL ................................................................................................ xii DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiii DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................... xiv DAFTAR SIMBOL................................................................................................xv BAB I PENDAHULUAN .......................................................................................1 1.1
Latar Belakang ..........................................................................................1
1.2
Rumusan Masalah .....................................................................................3
1.3
Batasan Masalah .......................................................................................3
1.3
Tujuan Penelitian ......................................................................................4
1.4
Manfaat Penelitian ....................................................................................4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA .............................................................................5 2.1
Future Lifetime Random Variable ............................................................5
2.2
The Force of Mortality ..............................................................................7
2.3
Asuransi Jiwa Endowment (Dwiguna) ......................................................9
2.4
Nilai Tunai Manfaat ...................................................................................9
2.5
Nilai Tunai Anuitas Hidup .......................................................................11
2.6
Nilai Premi ..............................................................................................12
2.7
Distribusi Gompertz .................................................................................14 x
2.8
Gerak Brown ............................................................................................14
2.9
Suku Bunga Model Vasicek.....................................................................15
2.10 Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) ....................................17 2.11 Simulasi Monte Carlo ..............................................................................18 BAB III METODE PENELITIAN ........................................................................20 3.1
Jenis dan Sumber Data ............................................................................20
3.2
Metode Analisis Data ...............................................................................20
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ..............................................................22 4.1
Estimasi Parameter Distribusi Gompertz .................................................22
4.2
Estimasi Parameter Suku Bunga Model Vasicek.....................................24
4.3
Simulasi Perhitungan Premi Tanpa Simulasi Monte Carlo ....................26
4.3.1
Menentukan Nilai π ππ₯ , ππ₯+π+1 dan ππ₯+π menggunakan Distribusi Gompertz ......................................................................27
4.3.2
Nilai Tunai Manfaat ....................................................................27
4.3.3
Nilai Tunai Anuitas .....................................................................31
4.3.4
Premi ............................................................................................35
4.4
Simulasi Perhitungan Premi dengan Simulasi Monte Carlo ...................37
4.4.1
Menentukan Sisa Usia Pihak Tertanggung (π‘) .............................37
4.4.2
Nilai Tunai Manfaat .....................................................................38
4.4.3
Nilai Tunai Anuitas ......................................................................41
4.4.4
Premi ...........................................................................................45
4.4.5
Menentukan Kisaran Kerugian dan Keuntungan Premi...............46
4.4.6
Perbandingan Hasil Perhitungan Premi Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek dengan dan tanpa Simulasi Monte Carlo .................................................................................49
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................51 5.1
Kesimpulan .............................................................................................51
5.2
Saran ........................................................................................................52
DAFTAR PUSTAKA .......... .................................................................................53 LAMPIRAN
xi
DAFTAR TABEL
Tabel
4. 1
Halaman
Rata-rata Tingkat Suku Bunga Tahunan Bank Indonesia bulan Desember 2005-Desember 2015 ................................................................25
4. 2
Hasil Estimasi Parameter Suku Bunga Model Vasicek ............................ 25
4. 3
Nilai Tunai Manfaat Tanpa Simulasi Monte Carlo ................................... 31
4. 4
Nilai Tunai Anuitas Tanpa Simulasi Monte Carlo .................................... 35
4. 5
Hasil Perhitungan Nilai Premi Tanpa Simulasi Monte Carlo ................... 36
4. 6
Nilai Tunai Manfaat dengan Simulasi Monte Carlo ................................. 41
4. 7
Nilai Tunai Anuitas dengan Simulasi Monte Carlo .................................. 44
4. 8
Nilai Premi dengan Simulasi Monte Carlo ............................................... 45
4. 9
Nilai Kerugian dan Keuntungan Perusahaan Asuransi untuk Pihak Tertanggung berusia 30 tahun ................................................................... 47
4. 10 Hasil Perhitungan Kisaran Kerugian dan Keuntungan Perusahaan Asuransi dengan Selang Kepercayaan 95% .............................................. 48 4. 11 Perbandingan Hasil Perhitungan Premi dengan dan tanpa Simulasi Monte Carlo................................................................................ 49
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar
4. 1
Halaman
Plot Persamaan Linier Distribusi Gompertz .............................................. 23
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Tabel Mortalitas Indonesia (TMI) 2011 2. Syntax Estimasi Parameter Suku Bunga Model Vasicek
3. Nilai Peluang π ππ₯ , ππ₯+π dan ππ₯+π Menggunakan Distribusi Gompertz 4. a. Nilai Tunai Manfaat Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa Simulasi Monte Carlo Gompertz b. Nilai Tunai Manfaat Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa Simulasi Monte Carlo TMI 2011 5. a. Nilai Tunai Anuitas Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa Simulasi Monte Carlo Gompertz b. Nilai Tunai Anuitas Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Tanpa Simulasi Monte Carlo TMI 2011 6. Nilai π’π , π‘π dan ππ 7. Nilai Tunai Manfaat Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Dengan Simulasi Monte Carlo 8. Nilai Tunai Anuitas Asuransi Jiwa Endowment Suku Bunga Vasicek Dengan Simulasi Monte Carlo
xiv
DAFTAR SIMBOL
Simbol
Arti
π₯
Usia pihak tertanggung.
ππ₯
Sisa usia dari pihak tertanggung yang berumur π₯ tahun.
πΉπ₯ π‘
Peluang pihak tertanggung berusia π₯ tahun tidak dapat bertahan hidup hingga usia π₯ + π‘ tahun.
ππ₯ π‘
Peluang pihak tertanggung berusia π₯ tahun dapat bertahan hidup hingga π‘ tahun.
ππ₯
Fungsi kehidupan (survival function) saat pihak tertanggung berusia π₯ tahun.
π0
Fungsi kehidupan sejak pihak tertanggung dilahirkan.
ππ₯
Peluang pihak tertanggung berusia π₯ tahun akan tetap hidup hingga mencapai usia π₯ + 1 tahun.
π ππ₯
Peluang pihak tertanggung berusia π₯ tahun akan tetap hidup hingga mencapai usia π₯ + π tahun.
ππ₯
Peluang pihak tertanggung berusia π₯ tahun akan meninggal sebelum usia π₯ + 1 tahun.
π ππ₯
Peluang pihak tertanggung berusia π₯ tahun akan meninggal sebelum usia π₯ + π tahun.
πΎ
Jumlah tahun lengkap.
πΎπ₯
Jumlah tahun lengkap yang akan di lewati oleh pihak tertanggung berusia π₯ tahun (curtate future lifetime). xv
ππ₯
Force of mortality dari seseorang yang berusia π₯ tahun.
ππ+1
Fungsi manfaat untuk tiap satu unit pembayaran pada akhir tahun kematian.
π£ π+1
Faktor diskonto pada waktu π + 1.
π
Jangka waktu polis asuransi.
π
Nilai sekarang dari pembayaran nilai tunai manfaat.
π΄π₯:π
Nilai tunai manfaat asuransi jiwa endowment.
π
Nilai sekarang dari anuitas hidup.
aπ₯:π
Nilai anuitas asuransi jiwa endowment.
π
Premi tahunan.
π(π‘)
Tingkat suku bunga pada waktu ke- π‘.
π
Perhitungan tingkat pengembalian rata-rata.
π
Tingkat suku bunga jangka panjang.
ππ π‘
Gerak brown pada waktu ke- π‘.
π
Volatility yang menggambarkan pergerakan fluktuatif dari tingkat suku bunga.
xvi
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Asuransi adalah suatu bentuk perlindungan yang bertujuan untuk
mengurangi resiko yang terjadi secara tidak pasti (Sembiring, 1986). Terdapat berbagai jenis asuransi, antara lain: asuransi jiwa, asuransi pendidikan, asuransi kerugian dan lain sebagainya. Asuransi jiwa merupakan suatu bentuk perjanjian antara pihak penanggung dan pihak tertanggung dengan tujuan untuk mengurangi resiko yang diakibatkan oleh resiko kematian, hari tua dan kecelakaan (Purba, 1995). Asuransi jiwa dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: asuransi jiwa tradisional dan modern. Asuransi jiwa tradisional meliputi: asuransi jiwa seumur hidup, berjangka dan endowment sedangkan asuransi jiwa modern terdiri dari: asuransi jiwa universal, unitized with profit dan unit link (Dickson et alΒΈ 2013). Asuransi jiwa endowment adalah salah satu jenis asuransi jiwa yang memberikan nilai tunai manfaat kepada pihak tertanggung sekaligus investasi. Setiap orang yang mengikuti asuransi wajib membayar premi. Premi merupakan sejumlah uang yang wajib dibayarkan oleh pihak tertanggung kepada pihak penanggung sesuai dengan kontrak asuransi yang telah disepakati. Terdapat beberapa faktor yang harus diperhatikan dalam perhitungan premi asuransi jiwa, yaitu: biaya perusahaan, tingkat kematian dan tingkat suku bunga (Sembiring, 1986). Sehubungan dengan tingkat suku bunga, selama ini premi asuransi dihitung menggunakan suku bunga tetap, sedangkan berdasarkan kenyataan yang ada suku
1
2
bunga selalu berubah-ubah secara tidak menentu karena berbagai faktor yang memengaruhinya, seperti: suku bunga SBI, kurs dollar, inflasi dan lain sebagainya. Hull (2003) menyatakan bahwa setiap nilai yang berubah terhadap waktu secara tidak menentu disebut mengikuti proses stokastik. Proses stokastik merupakan suatu himpunan variabel acak yang merupakan fungsi dari waktu (Paul, 2013). Suku bunga merupakan suatu nilai yang selalu berubah-ubah setiap waktu secara tidak menentu, sehingga perubahan suku bunga dapat dikatakan mengikuti proses stokastik. Oleh karena itu, diperlukan suatu model suku bunga yang dapat menangkap pergerakan suku bunga yang berubah-ubah mengikuti proses stokastik tersebut dan selanjutnya disebut sebagai model suku bunga stokastik. Vasicek merupakan salah satu model suku bunga stokastik yang sering digunakan dalam perhitungan-perhitungan finansial. Model Vasicek mempunyai ciri khusus yaitu tingkat suku bunga akan cenderung kembali ke tingkat suku bunga rata-rata setelah mengalami penurunan atau peningkatan. Model ini cocok digunakan
mengingat
pergerakan
suku
bunga
yang
selalu
berfluktuatif
(Zetun dan Gupta, 2007). Soffan (2011) telah melakukan perhitungan premi asuransi jiwa berjangka dengan model Vasicek menggunakan metode numerik. Hasil penelitiannya adalah besar nilai suku bunga awal yang digunakan dalam perhitungan premi tidak memengaruhi konvergensi nilai suku bunga menuju tingkat suku bunga rata-rata. Sementara itu, sejauh ini penelitian mengenai perhitungan premi asuransi jiwa endowment dengan suku bunga Vasicek menggunakan metode simulasi Monte Carlo belum pernah dilakukan. Simulasi Monte Carlo merupakan suatu metode
3
simulasi yang dilakukan dengan cara membangkitkan bilangan acak. Kelebihan metode simulasi Monte Carlo dalam perhitungan premi asuransi adalah dapat dicari kisaran kerugian atau keuntungan yang dialami perusahaan asuransi untuk tingkat kepercayaam tertentu (Dickson et al, 2013). Oleh karena itu, dalam penelitian ini akan dikaji perhitungan premi asuransi jiwa endowment dengan suku bunga Vasicek menggunakan metode simulasi Monte Carlo. Selanjutnya akan dibahas perbandingan hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment suku bunga Vasicek tanpa menggunakan simulasi Monte Carlo dan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo. 1.2
Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, rumusan masalah pada
penelitian ini sebagai berikut: 1. Bagaimana hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment dengan suku bunga Vasicek menggunakan simulasi Monte Carlo? 2. Bagaimana perbandingan hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment suku bunga Vasicek tanpa dan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo? 1.3
Batasan Masalah Agar permasalahan tidak meluas, batasan masalah pada penelitian ini adalah: 1. Premi asuransi jiwa endowment yang akan ditentukan dalam penelitian ini adalah premi netto kasus diskrit. 2. Simulasi umur yang digunakan adalah 30, 35, 40, 45, 50, 55 dan 60 tahun. 3. Tabel Mortalita yang digunakan dalam penelitian ini adalah Tabel Mortalita Indonesia 2011.
4
4. Jangka waktu kontrak asuransi yang digunakan dalam penelitian ini adalah 30 tahun. 1.4
Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Untuk mengetahui hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment suku bunga Vasicek menggunakan simulasi Monte Carlo. 2. Untuk mengetahui perbandingan hasil perhitungan premi asuransi jiwa endowment suku bunga Vasicek tanpa dan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo.
1.5
Manfaat Penelitian Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah: 1. Bagi Pembaca Menambah pengetahuan pembaca mengenai perhitungan premi asuransi jiwa endowment dengan suku bunga Vasicek. 2. Bagi Perusahaan Diharapkan dapat dijadikan bahan pertimbangan kepada perusahaan asuransi yang masih menggunakan suku bunga konstan agar menggunakan suku bunga stokastik dalam menentukan premi asuransi. 3. Bagi Mahasiswa Penelitian ini diharapkan bisa dijadikan acuan dalam penelitian selanjutnya apabila ingin melakukan penelitian yang berhubungan dengan perhitungan premi asuransi jiwa dengan suku bunga Vasicek.
