PREMI ASURANSI JIWA DWIGUNA DENGAN MODEL TINGKAT BUNGA DOTHAN

PREMI ASURANSI JIWA DWIGUNA DENGAN MODEL TINGKAT BUNGA DOTHAN Bismi Hayati1*, Hasriati2, Harison2 1

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya, Pekanbaru 28293 *

[email protected] ABSTRACT

This article studies the model of Dothan interest rate used in determining the annual premium endowment life insurance using Makeham law. Dothan interest rate model is a model of the equilibrium interest rate having lognormal distribution and constantly changing from time to time which is expressed with a stochastic differential equation following the model of geometric Brownian motion. The determination of Dothan interest rate model parameter estimation uses MLE (maximum likelihood estimation) then continued with numerical approach using Newton's method. Keywords: Model of Dothan interest rate, annual premium endowment life insurance, Makeham law ABSTRAK Artikel ini membahas tentang model tingkat bunga Dothan yang digunakan dalam penentuan premi tahunan asuransi jiwa dwiguna menggunakan hukum Makeham. Model tingkat bunga Dothan merupakan model tingkat bunga ekuilibrium yang berdistribusi lognormal dan selalu berubah dari waktu ke waktu yang mana dinyatakan dengan persamaan differensial stokastik mengikuti model geometrik Brownian motion. Penentuan estimasi parameter model tingkat bunga Dothan menggunakan MLE (maximum likelihood estimation) kemudian dilanjutkan dengan pendekatan numerik menggunakan metode Newton. Kata kunci: Model tingkat bunga Dothan, premi tahunan asuransi jiwa dwiguna, hukum Makeham 1. PENDAHULUAN Asuransi jiwa dwiguna merupakan gabungan dari asuransi jiwa dwiguna murni dan asuransi jiwa berjangka. Dalam asuransi jiwa dwiguna, pemegang polis baik meninggal dunia maupun bertahan hidup akan dibayarkan uang pertanggungan [4]. Premi adalah sejumlah uang yang dibayarkan oleh tertanggung kepada perusahaan asuransi sebagai pengalihan risiko yang diberikan oleh perusahaan asuransi [4]. Pada artikel ini Repository FMIPA

1

membahas tentang premi tahunan, dimana peserta asuransi memperoleh uang santunan apabila terjadi klaim. Selain itu dalam artikel ini, penulis menggunakan alternatif dalam menentukan besarnya premi asuransi jiwa dwiguna yaitu dengan menggunakan hukum Makeham yang diperoleh dari buku karangan Jordan [5]. Peluang hidup dan anuitas berdasarkan hukum Makeham akan diaplikasikan dalam penentuan premi asuransi jiwa dwiguna. Besarnya premi asuransi jiwa dwiguna yang dibayarkan oleh peserta asuransi dipengaruhi oleh tingkat bunga [4]. Model tingkat bunga yang digunakan adalah model tingkat bunga Dothan yaitu model tingkat bunga ekuilibrium yang berdistribusi lognormal. 2. PELUANG HIDUP DAN NILAI TUNAI ANUITAS HIDUP Pada bagian ini dibahas anuitas hidup awal berjangka dan premi asuransi jiwa dwiguna. Sebelumnya akan dibahas peluang hidup peserta asuransi menggunakan hukum Makeham. Peluang hidup seseorang yang berusia x tahun akan hidup sampai t tahun berikutnya yang dinotasikan dengan t p x berdasarkan hukum Makeham yaitu

p x  s t g c c 1 , sehingga untuk t  n persamaan (1) dapat juga dinyatakan dengan x

t

t

(1)

(2) p x  s n g c c 1 . Untuk peluang meninggal seseorang yang berusia x tahun akan bertahan hidup hingga t tahun dan akan meninggal hingga 1 tahun berikutnya berdasarkan hukum Makeham dapat dinyatakan dengan x

n

n

t

x t x t 1 q x  s t g c c 1  s t 1 g c c 1 .

(3)

Nilai tunai anuitas hidup awal berjangka untuk seseorang yang berusia x tahun dengan jangka pembayaran premi selama m tahun untuk h  m  n dinotasikan dengan ax:m| dan dinyatakan dengan m 1

ax:m|   v t t p x ,

(5)

t 0

dengan v merupakan faktor diskon yang dinyatakan dengan [4, h. 2] 1 . (6) v 1 i Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (5) diperoleh nilai tunai anuitas hidup awal berjangka untuk seseorang yang berusia x tahun dengan jangka pembayaran premi selama m tahun berdasarkan hukum Makeham yaitu m 1

x t ax:m|   v t s t g c c 1 .

(7)

t 0

Repository FMIPA

2

3. PREMI MENGGUNAKAN MODEL TINGKAT BUNGA DOTHAN Model tingkat bunga Dothan merupakan model tingkat bunga ekuilibrium satu faktor dan diasumsikan memenuhi ukuran risk neutral untuk memprediksi pergerakan short rate. Model tingkat bunga Dothan merupakan model tingkat bunga yang berdistribusi lognormal, dengan rk menyatakan tingkat bunga pada waktu k ,  menyatakan parameter ekspektasi laju return,  menyatakan standar deviasi yang menunjukkan volatilitas tingkat bunga, W k  menyatakan Brownion motion dalam ukuran risk neutral, dan k menyatakan waktu. Model tingkat bunga Dothan dinyatakan [1, h. 62] drk   rk dk   rk dWk , (8) dengan menggunakan lemma Ito diperoleh solusi dari model tingkat bunga Dothan pada persamaan (8) yaitu   1  (9) rk  r0 exp      2 k   Wk  . 2    Model tingkat bunga Dothan selalu berubah dari waktu ke waktu sehingga dipnegaruhi oleh ekspektasinya. Ekspektasi dari model tingkat bunga Dothan adalah E rk   r0 exp k . (10) Pembayaran premi asuransi jiwa dwiguna dengan model tingkat bunga Dothan dipengaruhi oleh nilai faktor diskonnya yang dinyatakan dengan t 1 vt   . (11) k 1 1  E rk  Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (10) ke persamaan (11) diperoleh t 1 vt   , (12) k 1 1  r0 exp  k  sehingga untuk t  1 persamaan (12) dapat juga dinyatakan dengan t 1 1 v t 1   , (13) k 1 1  r0 exp  k  dan untuk t  n , persamaan (12) dapat juga dinyatakan dengan n 1 vn   (14) k 1 1  r0 exp  k  Solusi model tingkat bunga Dothan mengikuti proses wiener yang diperluas 1   (Generalized Process Wiener) yang memiliki mean  β   2 k dan variansi  2 k 2   yang berdistribusi normal pada waktu 0 sampai k sehingga dapat juga ditulis dengan   1  ln rk  ln r0 N     2 k ,  2 k  2   

ln rk

Repository FMIPA

  1   N ln r0      2 k ,  2 k  2     3

  1   (15) LOGN ln r0      2 k ,  2 k  . 2     Tingkat bunga rk yang berdistribusi lognormal dari persamaan (15) memiliki drift

rk

1   rate m  ln r0      2 k dan variance rate s   2 k sehingga fungsi kepadatan 2   peluang model tingkat bunga Dothan dalam selang waktu l, k  dengan l  k adalah 2     ln r   ln r     1  2 k      k  l  2    1 (16) . f (rk )  exp   2 2 2   k   rk 2 k     Selanjutnya dari fungsi kepadatan peluang persamaan (16) dapat dibentuk fungsi likelihoodnya yaitu 2     ln r   ln r     1  2 k    n 1   i  i 1  2     1 2 2 (17) . L(  ,  )   2 k exp   2 2 k   i 1 ri     Fungsi logaritma dari fungsi likelihood t  ln L ,   adalah





2   ln r   ln r     1  2 k   i  i 1  n n  2    n  1    t  ln    n ln    ln ri    2  2k  2 2 k i 1 i 1   

   .   

(18)

Untuk memperoleh nilai parameter model tingkat bunga Dothan yaitu dengan cara menentukan turunan dari persamaan (18) terhadap  dan  yang nilainya adalah nol sehingga diperoleh

n  ln r0  ln rn   2 k 2  . nk

(19) n



8 ln r0 k  8 ln rn k  4n 2 k 2   4 ln ri  8 ln ri ln ri 1  4 ln ri 1 2

i 1

 4nk  n

2

k



2

.

(20)

Pada persamaan (20) masih mengandung parameter  , sehingga tidak dapat ditentukan parameter model tingkat bunga Dothan pada persamaan (19). Selanjutnya, penentuan estimasi dari model tingkat bunga Dothan akan dilanjutkan dengan Repository FMIPA

4

pendekatan numerik menggunakan metode Newton. Pada metode Newton digunakan taksiran awal untuk memperoleh nilai parameter yang dicari. Pada artikel ini metode Newton diselesaikan dengan menggunakan aplikasi Matlab. Taksiran parameter model tingkat bunga Dothan dengan metode Newton dinyatakan dengan bk 1   dan uk 1   , dengan  dan  merupakan taksiran parameter  dan  . Kemudian,

taksiran parameter dengan menggunakan metode Newton  dan  dihitung dalam bentuk iteratif seperti berikut [2, h. 613] 1

  (k  1)    (k )     (k )     (k )         H     s    (k  1)    (k )     (k )     (k )      (k  1)    (k )  1       2 2 2    (k  1)    (k )    t   t    t     2   2        

  2 t      

  2t  2 t   t       2        . (21)    2t  2 t   t       2       Proses iteratif pada persamaan (21) akan berhenti apabila maksimum bk  1  bk  , uk  1  uk   TOL , dengan variabel TOL menyatakan besarnya toleransi eror yang dikehendaki. Toleransi eror yang digunakan adalah sebesar TOL  10 5 dengan 100 iterasi atau memenuhi batas toleransi yang ditetapkan. Dengan menggunakan aplikasi Matlab maka diperoleh taksiran parameter model tingkat bunga Dothan dengan taksiran awal  0  0,2 dan  (0)  0,2 dan menggunakan data BI rate dari tahun 2005 sampai 2014 adalah   0,017841 dan   0,093635 . Nilai parameter yang telah diperoleh disubstitusikan pada nilai faktor diskon yang digunakan dalam penentuan premi asuransi jiwa. Premi asuransi jiwa menurut cara pembayarannya dibedakan menjadi dua, yaitu premi tunggal dan premi tahunan. Premi tunggal merupakan premi asuransi yang pembayarannya dilakukan pada awal kontrak asuransi disetujui dan selanjutnya tidak ada pembayaran lagi. Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna merupakan gabungan dari premi tunggal asuransi berjangka dan premi tunggal asuransi jiwa dwiguna murni [3, h. 90]. Premi tunggal asuransi jiwa berjangka dapat dinyatakan dengan  n1  A1x:n|  R  v t 1 t q x  . (22)  t 0  Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (13) ke persamaan (22) maka diperoleh Repository FMIPA

5

 n1  t 1   1  t q x  . (23) A1x:n|  R      t 0  k 1 1  r0 exp k    Sedangkan untuk premi tunggal asuransi jiwa dwiguna murni dapat dinyatakan dengan 1 (24) Ax:n  Rv n n p x  ,

dan dengan mensubstitusikan persamaan (14) ke persamaan (24) maka diperoleh  n   1 1  n p x  . Ax:n  R      k 1 1  r0 exp k   

(25)

Karena asuransi jiwa dwiguna merupakan gabungan dari asuransi jiwa berjangka dan asuransu jiwa dwiguna murni, maka premi tunggal asuransi jiwa dwiguna dapat dinyatakan dengan Axy:n  A1xy:n  A xy:n 1 . (26) Dengan mensubstitusikan persamaan (23) dan persamaan (25) ke persamaan (28) maka diperoleh  n1  t 1    n  1 1  t q x    n p x  . (27) Ax:n  R      k 1 1  r0 exp k    t 0  k 1 1  r0 exp k    n t 1 1 1 Misalkan M   dan N   persamaan (27) dapat juga k 1 1  r0 exp  k  k 1 1  r0 exp  k  dinyatakan dengan

 n1  Ax:n  R  M t q x  N np x  .  t 0 

(28)

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke persamaan (28) diperoleh premi tunggal asuransi jiwa dwiguna dengan model tingkat bunga Dothan menggunakan hukum Makeham yaitu x t x t 1 x t  n1  (29) Ax:n  R  M s t g c c 1  s t 1 g c c 1  N s n g c c 1  .  t 0  Premi tahunan merupakan premi yang dibayar secara berkala. Premi tahunan yang dibayarkan selama m tahun m  n  oleh seseorang yang berusia x tahun dapat dinyatakan dengan [6, h. 58] Ax:n . (30) P  m x:n ax:m



 



Dengan mensubstitusikan persamaan (29) dan persamaan (7) ke persamaan (30) diperoleh x t x t 1 x t  n 1  R  M s t g c c 1  s t 1 g c c 1  N s t g c c 1   t 0 . (31) m Px:n  m 1 t t c x c t 1 v s g



 



t 0

Repository FMIPA

6

Contoh Firman berusia 39 tahun mengikuti program asuransi jiwa dwiguna dengan pertanggungan 16 tahun dan akan memperoleh uang pertanggungan sebesar Rp 47.000.000,00 dan premi dibayar selama 14 tahun. Firman mengikuti program asuransi jiwa pada tanggal 15 Januari 2015 dengan tingkat bunga pada waktu itu 7,5% . Maka akan ditentukan premi tahunan yang harus dibayarkan a. Perhitungan premi asuransi jiwa dwiguna. b. Perhitungan premi asuransi jiwa dwiguna berdasarkan hukum Makeham dengan menggunakan model tingkat bunga Dothan. Diketahui usia peserta asuransi x  39 tahun, masa pertanggungan asuransi n  16 tahun, premi dibayarkan selama m  14 tahun, dan uang pertanggungan R  Rp 47.000.000,00 dengan tingkat bunga i  7,5% dan r0  7,5% . a. Dengan tingkat bunga sebesar 7,5% , berdasarkan persamaan (6) dapat dihitung faktor diskon yaitu sebesar 1 v 1 i 1  1  0,075 v  0,9302325581. Sesuai Tabel Mortalita Indonesia tahun 1999, maka peluang hidup pria yang berusia 39 tahun dengan jangka pertanggungan selama 16 tahun yaitu 16 p39  0,929040378. Anuitas awal berjangka untuk peserta asuransi yang berusia 39 tahun, dengan pembayaran anuitas selama 14 tahun dan tingkat suku bunga 7,5% , berdasarkan persamaan (7) yaitu 13

a39:14|   v t t p39 t 0

a39:14|

 1  0,928242339  0,861520974    0,371531556  8,983494639 .

Dengan uang pertanggungan sebesar Rp 47.000.000,00 menggunakan persamaan (26) maka premi tunggal asuransi jiwa dwiguna yang akan dibayarkan adalah 1 1 A39:16  A39  A39:16 :16| A39:16

 Rp 47.000.000,000,327216851  Rp 15.379.192,01 .

Selanjutnya besarnya premi tahunan yang akan dibayar selama 16 tahun oleh tertanggung setiap tahunnya. Berdasarkan persamaan (30) diperoleh A39:16 P  14 39:16 a39:14| 14

Repository FMIPA

P39:16 

Rp 15.379.192,01 8,983494639 7

14

P39:16  Rp 1.711.938,69 .

Jadi, besarnya premi tahunan yang harus dibayar setiap tahunnya oleh peserta asuransi jiwa yang berusia 39 tahun yang waktu pertanggungan selama 16 tahun, dan pembayaran premi dilakukan selama 14 tahun serta uang pertanggungan sebesar Rp. 47.000.000 adalah sebesar Rp 1.711.938,69. b. Selanjutnya untuk menghitung premi dengan model tingkat bunga Dothan menggunakan hukum Makeham Peluang hidup peserta asuransi yang berusia 39 tahun berdasarkan hukum Makeham menggunakan persamaan (1) adalah 16

39 16 p39  s16 g c c 1

1, 0447633439 1, 0447633416 1

 0,99500125 0,939068452 16 p39  0,697637876 . Selanjutnya estimasi parameter model tingkat bunga Dothan yang sudah diperoleh yaitu   0,017841 dan r0  0,075 disubstitusikan ke persamaan (13) sehingga dengan menggunakan persamaan (7), anuitas awal berjangka untuk peserta asuransi yang berusia 39 tahun, dengan pembayaran anuitas selama 14 tahun dengan model tingkat bunga Dothan menggunakan hukum Makeham yaitu 13  t c39 ct 1  t 1 s g a39:14|     t 0  k 1 1  r0 exp  k   16

a39:14|  7,479289205 . Dengan uang pertanggungan sebesar Rp 47.000.000,00 dan menggunakan persamaan (29) maka premi tunggal asuransi jiwa dwiguna dengan model tingkat bunga Dothan berdasarkan hukum Makeham yang akan dibayarkan adalah



 



x t x t 1 x t  15  A39:16  R  M s t g c c 1  s t 1 g c c 1  N s t g c c 1   t 0   Rp 47.000.000,000,014788567  0,014102664    0,182274069

A39:16  Rp 16.099.339,17 .

Selanjutnya besarnya premi tahunan yang akan dibayar oleh tertanggung selama 14 setiap tahunnya berdasarkan persamaan (31) diperoleh x t x t 1 x t  n 1  R  M s t g c c 1  s t 1 g c c 1  N s t g c c 1   t 0  14 P39:16  m 1 x t  v t s t g c c 1



 



t 0

Rp 16.099.339,17 7,479289205  Rp 2.152.522,62 . 

14

P39:16

Jadi, besarnya premi tahunan yang harus dibayar setiap tahunnya oleh peserta asuransi jiwa yang berusia 39 tahun dengan waktu pertanggungan selama 16 tahun, dan Repository FMIPA

8

pembayaran premi dilakukan selama 14 tahun serta uang pertanggungan sebesar Rp. 47.000.000,00 dengan model tingkat bunga Dothan dan berdasarkan hukum Makeham adalah sebesar Rp 2.152.522,62. 4. KESIMPULAN Model tingkat bunga Dothan pada persamaan (12) dipengaruhi nilai ekspektasi parameter dari model tingkat bunga Dothan yang nilainya tiap saat dapat berubah. Kemudian anuitas yang menggunakan model tingkat bunga tetap pada persamaan (5) lebih besar dibandingkan dengan nilai tunai anuitas menggunakan hukum Makeham dengan model tingkat bunga Dothan pada persamaan (7) sehingga menyebabkan perhitungan premi tahunan asuransi jiwa dwiguna dengan model tingkat bunga tetap pada persamaan (30) lebih kecil dibandingkan premi tahunan asuransi jiwa dwiguna menggunakan hukum Makeham dengan model tingkat bunga Dothan pada persamaan (31). DAFTAR PUSTAKA [1] Brigo, D. & F. Mercurio 2006. Interest Rate Models–Theory and Practice. Springer. Venice and Milan. [2] Burden, R. L. & J. D. Faires. (2001). Numerical Analysis, seventh editions. Brooks/Cole. USA. [3] Dickson, D. C. M., M. R. Hardy, H. R. Waters. 2009. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. Cambridge University Press. Cambridge. [4] Futami, Takashi. 1993. Matematika Asuransi Jiwa, Bagian I. Terj. dari Seimei Hoken Sugaku, Jokan (“92 Revision), oleh Herliyanto, Gatot. Penerbit Incorporated Foundation Oriental Life Insurance Cultural Development Center. Japan. [5] Jordan Jr, C. W. 1991. Society of Actuaries’ Textbook On Life Contingencies. The Society of Actuaries. Chicago. [6] Menge, W.O. & C.H. Fischer. 1985. The Mathematics of Life Insurance. Ulrich’s Books Inc. Michigan.

Repository FMIPA

9