NILAI AKUMULASI DARI SUATU CASH FLOW DENGAN TINGKAT BUNGA BERUBAH BERDASARKAN FORMULA FISHER Devis Apranda1, Johannes Kho2, Sigit Sugiarto2 1
Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeritas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293 Indonesia 1
[email protected] ABSTRACT
This paper discusses Fisher’s formula derived from compounding interest rate’s formula. It is used to determine the predicted values of the interest rate which affected by the inflation rate. The accumulation cash flow can be determined from the predicted values for T periods, and Durbin-Watson’s statistic is used to verify the efficiency between predicted and actual values. Keywords: interest rate, inflation rate, Fisher’s formula, Durbin-Watson’s statistics. ABSTRAK Kertas kerja ini membahas tentang formula Fisher yang diperoleh dari formula tingkat bunga majemuk. Formula Fisher digunakan untuk menentukan nilai prediksi tingkat bunga yang dipengaruhi oleh tingkat inflasi. Nilai akumulasi dari suatu cash flow dapat diperoleh dari nilai prediksi untuk T periode, dan statistik Durbin-Watson digunakan untuk melihat efisiensi antara nilai prediksi dan nilai sebenarnya. Kata Kunci: formula Fisher, tingkat bunga, tingkat inflasi, statistik Durbin-Watson. 1. PENDAHULUAN Dalam persoalan transaksi keuangan terdapat suatu permasalahan yaitu permasalahan mengenai cash flow. Cash flow adalah pergerakan nilai uang atau biasa disebut dengan aliran dana yang dinotasikan dengan C. Aliran dana sebesar C dilakukan pada interval waktu yang sama dibuat dalam t periode, dengan t = 1, 2, 3,…,T. Karena aktivitas ekonomi maka nilai uang akan berubah setiap waktunya. Cash flow yang digunakan adalah cash flow tunggal yang mana hanya ada satu aliran dana diawal periode. Salah satu cara untuk memprediksi tingkat bunga yang sangat bervariasi adalah dengan menggunakan formula Fisher. Dalam formula Fisher terdapat faktor yang mempengaruhi tingkat bunga, yaitu tingkat inflasi. Tingkat inflasi yang dibahas pada [1] adalah tingkat inflasi yang terealisasi. Sedangkan tingkat inflasi yang menjadi variabel
1
dalam formula Fisher pada kertas kerja ini dapat dimodifikasi menjadi dua bentuk, yaitu formula Fisher dengan tingkat inflasi yang nilainya dapat ditentukan dengan mengetahui seberapa besar perbedaan harga yang terjadi setiap periodenya. Tingkat harga P terjadi karena adanya aktivitas ekonomi, yaitu adanya permintaan uang, peredaran uang dan transaksi. Serta formula Fisher dengan simpangan baku σ yang menjadi pengontrol kenaikan tingkat bunga i untuk mengimbangi naik atau turun tingkat inflasi h setiap periodenya. Upaya yang dilakukan untuk mengevaluasi perubahan tingkat bunga yang terjadi di setiap periodenya adalah dengan menggunakan data yang ada pada periode sebelumnya. Dari data tersebut akan diprediksi besarnya tingkat bunga pada periode selanjutnya. Dari data prediksi dan data asli diperoleh nilai residual yang akan digunakan pada uji Durbin-Watson untuk mendeteksi ada atau tidaknya autokorelasi. Autokorelasi merupakan korelasi antaranggota data pengamatan yang diurutkan berdasarkan waktu (time series). Sehingga untuk membantu menyelesaikan permasalahan tersebut dibahas juga tentang tingkat bunga bebas resiko (interest rate risk free), tingkat inflasi, kuantitas uang, efek Fisher dan formula Fisher. 2. PREDIKSI TINGKAT BUNGA BERDASARKAN FORMULA FISHER Dalam memprediksi tingkat bunga yang akan terjadi dimasa yang akan datang, cara yang digunakan adalah dengan melihat data tingkat bunga dan data tingkat inflasi yang terjadi dimasa sebelumnya. Beberapa hal yang dibutuhkan untuk memprediksi tingkat bunga adalah tingkat bunga itu sendiri dan tingkat inflasi yang datanya diambil dari Bank Indonesia. Tingkat bunga yang digunakan adalah tingkat bunga majemuk dinyatakan dengan
(1 i ) t . Tingkat bunga majemuk digunakan setelah memperoleh hasil prediksi tingkat bunga yang dipengaruhi tingkat inflasi disetiap periodenya. Tingkat inflasi yaitu perubahan persentase indeks harga tahunan. Inflasi secara umum dipahami sebagai suatu proses meningkatnya harga secara keseluruhan dan terus menerus, berkaitan dengan mekanisme pasar yang disebabkan oleh berbagai faktor yang dinotasikan dengan h. Inflasi juga merupakan proses menurunnya nilai mata uang secara kontinu. Dengan demikian, terjadi penurunan daya beli uang (decreasing purchasing power of money). Tingkat inflasi yang mempengaruhi tingkat bunga yang terjadi dimasa yang akan datang dapat dicari dengan selisih harga yang terjadi setiap periodenya yang dinyatakan dengan
ht
Pt
Pt Pt
2
1
1
.
Sedangkan tingkat harga yang mempengaruhi tingkat inflasi dipengaruhi juga oleh kuantitas uang yang dinotasikan dengan M, perputaran uang transaksi (transaction velocity of money) yang dinotasikan dengan V, dan banyaknya transaksi yang dinotasikan dengan T dalam satu periode. Semua variabel tersebut diformulasikan dalam teori kuantitas uang [2] yang dinyatakan dengan
MV
PT atau P
MV . T
Formula Fisher adalah formula yang bersifat umum dan jelas dengan mengabaikan beberapa variabel tertentu yang bisa berpengaruh dalam perubahan tingkat bunga tersebut. Formula Fisher digunakan untuk memperkirakan tingkat bunga nominal dan tingkat bunga riil yang dipengaruhi oleh tingkat inflasi. Misalkan r adalah tingkat bunga riil dan h adalah tingkat inflasi maka tingkat bunga nominal dinyatakan dengan 1 + i = (1 + r)(1 + h) atau i = r + h + rh.
(1)
Dalam formula Fisher, selain tingkat inflasi, tingkat bunga yang ada didalam formula ini dibedakan menjadi dua, yaitu tingkat bunga riil dan tingkat bunga nominal. Tingkat bunga riil adalah tingkat bunga yang benar-benar diperoleh seseorang dalam suatu periode, yaitu tingkat bunga nominal yang sudah dikurangi dengan besarnya tingkat inflasi yang terjadi pada periode tersebut. Tingkat bunga riil pada suatu periode dinotasikan dengan rt. tingkat bunga riil dinyatakan dengan
rt
it
1
ht 1 .
Sedangkan tingkat bunga nominal adalah tingkat bunga yang bisa dicari nilainya dan telah ditetapkan seta nilainya benar-benar diamati setiap periodenya dalam sistem keuangan. Tingkat bunga nominal pada suatu periode dinotasikan dengan it. 3. NILAI AKUMULASI SUATU CASH FLOW DENGAN TINGKAT BUNGA PREDIKSI Cash flow (aliran dana) merupakan sejumlah dana yang keluar dan yang masuk sebagai akibat dari aktivitas ekonomi dengan kata lain adalah dana mengalir yang terdiri dari aliran dana masuk dalam perusahaan dan aliran dana keluar perusahaan serta berapa saldonya setiap periode. Cash flow yang digunakan adalah single cash flow dengan tingkat bunga yang bebas resiko. Nilai akumulasi cash flow merupakan nilai akumulasi dari sejumlah dana yang diinvestasikan pada waktu tertentu. Ini dapat digunakan untuk mengevaluasi jumlah uang yang diterima pada masa yang akan datang sebagai hasil dari suatu investasi yang dilakukan saat ini.
3
Misalkan terdapat C adalah suatu cashflow, it meyatakan tingkat bunga berubah pada periode ke-t dengan t = 1, 2, 3, ... , T, maka nilai akumulasi [3] dapat dinyatakan dengan T
ln(1 it )
Fv(C , t )
C (1 i1 )(1 i2 )(1 i3 )...(1 iT ) atau Fv(C , t )
Ce t 1
.
Besarnya nilai C yang digunakan pada formula ini adalah konstan, jadi hanya terdapat satu aliran dana dengan pembungaan yang dilakukan setiap periodenya. Tingkat bunga pada akumulasi cash flow adalah tingkat bunga yang sudah diprediksi nilainya menggunakan formula Fisher. Besarnya tingkat bunga yang akan terjadi beberapa periode selanjutnya diprediksi menggunakan formula Fisher. Dari persamaan (1), formula fisher dibagi menjadi tiga rumusan yang digunakan untuk memprediksi tingkat bunga yang akan terjadi pada periode selanjutnya, yaitu a. Formula Fisher dengan tingkat inflasi diketahui dan modifikasi rh = σ dinyatakan dengan iet
rt
ht
.
(2)
Pada persamaan (2), σ merupakan standar deviasi yang diperoleh dari tingkat bunga pada data Bank Indonesia. Data tingkat bunga pada Bank Indonesia diasumsikan berdistribusi normal, diketahui fungsi pembangkit momen distribusi normal [4] 2 2
r i
M (t ) e
t
t 2
.
(3)
Dengan menurunkan persamaan (3), untuk r = 1, ekspektasi dari tingkat bunga dapat dinyatakan dengan M i1 (0)
E (i)
(4)
.
Kemudian dengan menurunkan persamaan (1), untuk r = 2 diperoleh
M i2 (0)
E (i 2 )
2
2
.
(5)
dari persamaan (4) dan persamaan (5), maka variansi tingkat bunga dapat dinyatakan dengan 2 2 var(i) E(i 2 ) E(i) . sehingga dapat diperoleh deviasi standar sebagai berikut 2
var(i) .
4
Standar deviasi pada formula Fisher digunakan sebagai interval batas untuk tingkat bunga yang diprediksi. b. Formula Fisher dengan tingkat inflasi diketahui dinyatakan dengan i = r + h + rh.
(6)
Pada persamaan (6) tidak terdapat modifikasi seperti pada persamaan (5), untuk interval batasnya digunakan interval kepercayaan distribusi normal. c. Formula Fisher dengan tingkat inflasi yang diprediksi dinyatakan dengan
Mt 1 iet
1 rt
Pt
T
1
Pt
1
.
(7)
1
Pada persamaan (7), yang digunakan untuk mencari prediksi tingkat inflasi digunakan persamaan kuantitas uang dengan perputaran uang transaksi dianggap konstan. untuk interval batasnya digunakan interval kepercayaan distribusi normal. Untuk mengukur tingkat akurasi dan tingkat kesalahan dari setiap prediksi digunakan beberapa bentuk persamaan yang biasa digunakan dalam statistik [5], yaitu a. Coeficient of Variation (CV)
CV
Karena et
it
1 i
1 N
N
it iet
2
atau i CV
t 1
1 N
N
it
ie t
2
.
(8)
t 1
iet , maka persamaan (8) menjadi
CV
1 i
1 N
N
et
2
atau i CV
t 1
1 N
N
et
2
,
(9)
t 1
dengan i adalah rata-rata i, N banyaknya data, i t data asli periode t, ie t data prediksi periode t, dan et residual periode t.
5
b. Normalized Mean Squared Error (NMSE) N
1 N
NMSE
et
2
t 1
imax
,
imin
(10)
dengan i max adalah nilai terbesar dari deretan nilai i dan imin adalah nilai terkecil dari deretan nilai i. Substitusikan persamaan (9) ke persamaan (10) sehingga diperoleh
i CV . imax imin
NMSE
(11)
c. Uji Autokorelasi Autokrelasi adalah korelasi diantara nilai-nilai pengamatan yang terurut dalam waktu (time series). Keadaan dimana variabel gangguan pada periode tertentu berkorelasi dengan variabel gangguan pada periode lain. Autokorelasi bisa terjadi disebabkan oleh adanya variabel-variabel yang dihilangkan, kesalahan spesifikasi bentuk model matematika dan variabel sekarang bergantung atau ditentukan oleh variabel periode sebelumnya. d. Statistik Durbin-Watson n
et DW
et
2 1
t 2
,
n
(12)
2 t
e t 1
dengan et
1
adalah residual pada periode t 1
Dengan demikian selang kepercayaan dapat dibentuk yang melibatkan enam wilayah seperti yang ditunjukkan pada Tabel 1. Tabel 1: Standar Keputusan Statistik Durbin-Watson Nilai DW Kesimpulan (4 – DWL) < DW < 4 Tolak H0 (terdapat autokorelasi negatif) (4 – DWU) < DW < (4 – DWL) Tidak ada kesimpulan 2 < DW < (4 – DWU) Terima H0 DWU < DW < 2 Terima H0 DWL < DW < DWU Tidak ada kesimpulan 0 < DW < DWL Tolak H0 (terdapat autokorelasi positif) Hipotesis : H0: tidak ada autokorelasi. H1: ada autokorelasi.
6
4. CONTOH Misalkan seorang investor ingin menginvestasikan uangnya sebesar Rp300.000.000,00 pada sebuah perusahaan dalam jangka 10 bulan. Sebelum berinvestasi, investor ingin mengetahui keadaan tingkat bunga pada perusahaan tersebut selama 10 bulan investasinya tersebut, berdasarkan data yang dipunyai akan diambil keputusan dengan memilih prediksi terbaik, jika tingkat bunga prediksi mendekati tingkat bunga sebenarnya dan bergerak naik atau tetap maka akan dilakukan investasi, jika tidak maka tidak dilakukan investasi. Diketahui data tingkat bunga dan tingkat inflasi diambil dari Bank Indonesia Juli 2005 – Desember 2012. Dari data tersebut diperoleh masing-masing 90 data tingkat bunga dan tingkat inflasi bulanan, data 1 – 80 digunakan untuk data observasi dan data 81 – 90 digunakan sebagai data uji. Dari data observasi menggunakan Ms. Excel diperoleh σ = 2,084 serta diperoleh juga besarnya r, h, untuk data uji masing-masing bentuk formula Fisher pada Tabel 2.
t 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
h(1 dan 2) 3,97 4,50 4,45 4,53 4,56 4,58 4,31 4,61 4,32 4,30
Tabel 2: Prediksi tingkat bunga (ie) h(3) r(1 dan 2) r(3) i ie(1) 2,18 2,19 2,19 5,75 6,16 0,53 1,78 3,57 5,75 6,28 2,21 1,25 5,22 5,75 5,70 1,95 1,30 3,54 5,75 5,83 0,15 1,22 3,80 5,75 5,78 1,12 1,19 5,60 5,75 5,77 1,18 1,17 4,63 5,75 5,48 1,16 1,44 4,57 5,75 6,05 1,37 1,14 4,59 5,75 5,46 3,10 1,43 4,38 5,76 5,73
ie(2) 6,25 6,36 5,76 5,89 5,84 5,82 5,53 5,16 5,51 5,79
ie(3) 4,42 4,12 7,55 5,55 3,95 6,78 5,87 5,78 6,03 7,62
Setelah diperoleh prediksi tingkat bunga masing-masing bentuk formula Fisher, akan dianalisa menggunakan CV, NMSE, dan statistik Durbin Watson (DW). Tabel 3: Analisis Prediksi Tingkat Bunga Formula Fisher CV NMSE Durbin Watson (DW) 1 0,046 26,58 1,69 2 0,051 29,89 1,43 3 0,217 124,775 1,92 Dari ketiga bentuk formula Fisher yang digunakan diatas diperoleh kesimpulan (i) CV1 < CV2 < CV3. (ii) NMSE1 < NMSE2 < NMSE3. (iii) DW3 > DW1 > DW2.
7
Dengan investasi dana sebesar Rp300.000.000,00 maka nilai akumulasi (Fv) untuk masing-masing prediksi untuk t = 1, 2, 3, ... , 10, diperoleh Fv
C (1 i1 )(1 i2 )(1 i3 )(1 i4 )(1 i5 )(1 i6 )(1 i7 )(1 i8 )(1 i9 )(1 i10 ).
Dengan menggunakan Ms. Excel dan dari Tabel 2, untuk berbagai tingkat bunga prediksi ie(1), ie(2), dan ie(3) diperoleh masing-masing nilai akumulasinya Fv(1) = Rp528.390.000,00, Fv(2) = Rp531.480.000,00 dan Fv(3) = Rp525.198.000,00. 5. KESIMPULAN Dari hasil yang diperoleh berdasarkan metoda prediksi yang digunakan, prediksi pertama adalah prediksi yang terbaik. Walaupun bukan nilai akumulasi terkecil (karena semakin kecil tingkat bunga bank maka tingkat bunga investasi menjadi lebih menarik) tetapi berdasarkan analisis CV, NMSE, dan DW menunjukkan bahwa prediksi pertama dapat dipercaya dan digunakan sebagai acuan. maka keputusan yang dilakukan investor adalah menginvestasikan uangnya karena dapat dilihat prediksi tingkat bunga berada dalam interval kepercayaan dan nilainya mendekati tingkat bunga sebenarnya serta terdapat keuntungan yang bisa diperoleh dari investasi tersebut. DAFTAR PUSTAKA [1] Ross, S. A., Westerfield, R. W. & Jordan, B. D. 2007. Fundamental of Corporate Finance. McGraw-Hill/Irwin, Cornell University. [2] Mankiw, N. G. 2003. Teori Makro Ekonomi. Jakarta: Erlangga. [3] Galadima, D. J., Choji, D. N. & Adejo, B. O. 2009. Stochastic Interest Rate Model in Compounding. Science World Journal. 4: 33-35. [4] Bain, L. J. & M. Engelhardt. 1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistic. Wadsworth Publishing Company, Belmount California. [5] Makridakis, S., Wheelwright, S. C. & McGee, V. E. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan, Edisi Kedua. Jakarta: Erlangga.
8
