16
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Model Persediaan 2.1.1 Model Deterministik
Model Deterministik adalah model yang menganggap nilai-nilai parameter telah diketahui dengan pasti. Model ini dibedakan menjadi dua: a. Deterministik Statis. Di dalam model ini total permintaan setiap unit barang pada setiap periode waktu diketahui dan bersifat konstan serta laju permintaan adalah sama untuk setiap periode. b. Deterministik Dinamik. Dalam model ini permintaan untuk setiap periode diketahui dan konstan, tetapi laju permintaan dapat bervariasi dari satu periode ke periode lainnya.
2.1.2
Model Stokastik (Probabilistik)
Model stokastik adalah model yang menganggap bahwa nilai-nilai parameter merupakan nilai-nilai yang tidak tetap dengan satu atau lebih parameter tersebut merupakan variabel random. Model ini dibedakan menjadi dua: a. Probabilistik Statik. Dalam model ini variabel permintaan bersifat random dan distribusi probabilistik dipengaruhi oleh waktu setiap periode. b. Stokastik Dinamik Model ini mirip dengan probabilistik statik dengan pengecualian bahwa distribusi probabilitas permintaan dapat bervariasi dari satu periode ke periode lainnya.
Universitas Sumatera Utara
17
2.2
Kategori Biaya
Umumnya terdapat empat kategori biaya persediaan yang menentukan jawab optimal masalah persediaan, yaitu:
2.2.1 Biaya Pembelian atau Produksi
Biaya pembelian adalah harga pembelian atau produksi yang memperlihatkan dua jenis biaya yaitu: a) Kalau harga pembelian adalah tetap maka ongkos persatuan adalah juga tetap, tanpa melihat jumlah yang dibeli. b) Kalau diskon tersedia maka harga per satuan adalah variable tergantung pada jumlah pembelian.
2.2.2 Biaya Pemesanan
Pada umumnya, jumlah ordering cost menurun atau menaik sesuai dengan jumlah pesanan. Biaya pemesanan ini biasanya mencakup beberapa hal, seperti: biaya transportasi untuk mengangkut pemesanan, gaji pegawai yang terlibat dalam pemesanan, seluruh perlengkapan yang digunakan dalam pemesanan, termasuk formulir, telepon, dan biaya-biaya lainnya.
2.2.3
Biaya Penyimpanan
Biaya penyimpanan terdiri dari semua ongkos yang berhubungan dengan biaya penyimpanan dalam stok. Biaya ini meliputi bunga modal yang tertanam dalam persediaan, sewa gudang, asuransi, dan lain sebagainya. Biaya ini sebanding dengan jumlah persediaan di dalam stok.
Universitas Sumatera Utara
18
2.2.4
Stock-Out Cost
Biaya ini timbul akibat tidak terpenuhinya kebutuhan pelanggan yaitu ketika permintaan lebih besar dari pada persediaan. Biaya ini bergantung pada dua kasus sebagai berikut. Kasus pertama, kalau pelanggan rela menunggu, toko dapat melakukan pemesanan
spesial pada gudang. Kasus kedua, adalah kalau pelanggan tidak rela menunggu, maka biaya terdiri dari
kehilangan untung dan lebih-lebih lagi kehilangan kepercayaan.
2.3 Titik Pemesanan Kembali (Reorder Point)
Reorder point (titik pemesanan kembali) adalah suatu tingkat persediaan yang tetap ada dalam stok yang jumlahnya sama dengan permintaan selama masa waktu yang dibutuhkan untuk menerima pesanan (disebut lead time). Ketika permintaan bersifat pasti, persediaan akan berkurang / dihabiskan pada tingkat yang diketahui, sehingga pesanan akan sampai tepat pada saat level persediaan mencapai titik nol. Titik pemesanan kembali (Reorder Point) pada permintaan pasti dalam model EOQ (Economic Order Quantity) ditunjukkan dalam gambar berikut ini: Level persediaan
Q
Titik Pemesanan Kembali,R t Tenggang waktu
2t Tenggang waktu
Gambar 2.1 Titik Pemesanan Ulang dan Tenggang Waktu
Universitas Sumatera Utara
19
Sebagai contoh, sebuah toko karpet melakukan pemesanan kepada pembuat karpet Super Shag dan dibutuhkan waktu 10 hari untuk menerima pesanan. Diketahui permintaan adalah konstan 10.000 yard per tahun. Andaikan: D permintaan per tahun
L Lead time (Waktu tenggang) R Reorder point
Satu tahun terdiri dari 365 hari, maka permintaan per hari adalah D / 365 . Titik pemesanan kembali dihitung dengan mengalikan lead time dengan permintaan per hari. Sehingga R dapat dihitung sebagai berikut: R L
D 365
R (10)
(10.000) 365
274 yard
Titik pemesanan kembali sebesar 274 yard mengandung arti bahwa suatu pemesanan harus dilakukan ketika persediaan mencapai 274 yard. Selama periode 10 hari ketika pesanan sedang dikirim, 274 yard yang akan benar-benar habis, sehingga tepat pada saat pesanan baru datang, tingkat persediaan akan mencapai nol.
2.4 Permintaan Tak Pasti
Umumnya, sebuah perusahaan retail tidaklah menjual dalam jumlah yang tetap, tetapi tergantung pada permintaan yang jumlahnya juga tidak pasti (model persediaan stokastik dinamik). Masalah yang sering dihadapi perusahaan retail adalah kesulitan dalam menentukan reorder point. Kebutuhan selama lead time adalah tidak tetap dan jarang sama dengan kebutuhan sebagaimana diharapkan, bahkan kemungkinan akan terjadi stock-out
Universitas Sumatera Utara
20
selalu ada. Oleh karena itu, adalah mungkin bahwa meskipun memiliki reorder point kekurangan tetap saja terjadi. Suatu illustrasi yang menggambarkan keadaan kehabisan stok (stock-out) ketika permintaan tidak pasti dalam model EOQ (Economic Order Quantity) adalah seperti grafik di bawah ini:
Level Persediaan Q
Tingkat Pemesanan Kembali, R
0
waktu
Gambar 2.2 Permintaan Tak Pasti
Dalam siklus pemesanan yang kedua, kehabisan stok terjadi karena permintaan melebihi perkiraan selama lead time.
Sebagai pencegahan terhadap kekurangan ketika permintaan tidak pasti, perusahaan retail sering menggunakan penyangga (buffer) atas sejumlah persediaan tambahan yang disebut stok cadangan. Berikut ini akan digambarkan suatu grafik dalam model EOQ (Economic Order Quantity) dengan menambahkan suatu stok cadangan. Titik pemesanan kembali ditentukan sehingga tingkat stok cadangan diperlakukan sama seperti tingkat persediaan nol tanpa stok cadangan.
Sehingga terjadinya persediaan turun lebih
rendah dari pada tingkat stok cadangan dapat dihindari (seperti dalam siklus kedua) dan permintaan dapat tetap dipenuhi.
Universitas Sumatera Utara
21
Level Persediaan
Tingkat
Q
Pemesanan Kembali, R
Stok Cadangan
0 Waktu
Gambar 2.3 Model Persediaan dengan Stok Cadangan
Stok cadangan dapat ditentukan dengan: Stok cadangan = R E ( D) . dengan:
R titik pemesanan kembali E ( D) rata-rata permintaan
2.5
Model Persediaan Perusahaan Retail
Pada penelitian ini, dibahas penentuan stok barang dengan penyimpanan barang dilakukan pada dua tahap yaitu di gudang dan di toko (cabang). Pesanan gudang ditempatkan pada manufacturer dan toko melakukan pesanan terhadap gudang. Pengiriman barang dari gudang ke toko memerlukan waktu. Sehingga mengakibatkan adanya keinginan untuk juga mengadakan persediaan pada toko. Secara khusus, jika terjadi kekurangan, pelanggan pada toko tertentu dapat mengadakan pemesanan spesial pada gudang. Sedangkan kelebihan persediaan pada suatu toko tidak dapat digunakan untuk memenuhi kekurangan pada toko yang lain.
Universitas Sumatera Utara
22
Model ini melibatkan suatu sistem dinamis yang berkembang dalam waktu diskrit. Pengiriman barang-barang persediaan diilustrasikan dalam gambar 2.4. Setiap persegi menggambarkan suatu stok (buffer) yang dialokasikan pada point khusus terhadap waktu t . Barisan buffer berpindah dari manufaktur ke gudang dan dari gudang ke toko. Unsur-unsur utama yang harus diperhatikan dalam melakukan analisis terhadap persediaan adalah sebagai berikut: 1. Permintaan yaitu, suatu kebutuhan pelanggan yang sifatnya berubah-ubah. 2. Jumlah barang saat ini. Pemesanan toko tidak dapat melebihi persediaan barang (jumlah barang saat ini) pada gudang begitu juga pemesanan gudang tidak dapat melebihi kapasitas produksi. 3. Biaya-biaya
persediaan
yaitu,
biaya-biaya
yang
dikeluarkan
untuk
mengadakan persediaan. 4. Faktor-faktor pembatas jumlah persediaan, antara lain keterbatasan tempat penyimpanan pada gudang, keterbatasan tempat penyimpanan pada toko dan lain sebagainya.
Toko 1 Gudang Barang-barang Manufaktur
…
…. Toko n ….
Pelanggan ….
Gambar 2.4 Ilustrasi Buffer pada Sistem Persediaan di Gudang dan Toko
Universitas Sumatera Utara
23
2.6 Dynamic Programming (Program Dinamik)
Dynamic programming (program dinamik) menawarkan suatu ide yang sangat
umum untuk masalah pengendalian yang bersifat stokastik (Bertsekas, 1995). Program dinamik digunakan sebagai suatu teknik matematis untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan. Pendekatan program dinamik didasarkan pada prinsip optimasi Bellman (1950) yang mengatakan “Suatu kebijakan optimal mempunyai sifat bahwa apapun state dan keputusan awal, keputusan berikutnya harus membentuk suatu kebijakan optimal dengan memperhatikan state dari hasil keputusan pertama.”
2.6.1 Proses Keputusan pada Multistage
Adapun proses keputusan dari stage tunggal digambarkan sebagai berikut:
R r ( S , X )
Input S
Stage Transformasi T = t(S,X)
Output T
Keputusan , X
Gambar 2.5 Proses Keputusan pada Stage Tunggal
Beberapa proses keputusan dikarakteristikkan dengan parameter input dan output, yang mana parameter input yaitu: 1. Parameter Input S 2. Variable keputusan X
Universitas Sumatera Utara
24
sedangkan parameter output: 1. Return R r ( S , X ) 2. Parameter Output T Output dihubungkan dengan input melalui stage transformasi fungsi yang dinotasikan oleh: T t( X , S )
(2.1)
Karena state input dari system mempengaruhi keputusan-keputusan yang dibuat, fungsi return dapat direpresentasikan sebagai berikut: R r( X , S )
(2.2)
Beberapa proses keputusan pada multistage yang disusun secara seri dapat direpresentasikan secara skematis seperti di bawah ini: R n 1
Rn
S n 1 n
xn
Sn
n-1
x n 1
R2
Ri
S n 1
Si 1 ...
i
Si
S3 ...
xi
R1
S2
2
1
x2
S1
x1
Gambar 2.6 Proses Keputusan Multistage
Untuk stage ke-i, state vektor input dinotasikan oleh Si 1 dan state vektor output dinotasikan oleh Si . Karena sistem merupakan suatu rangkaian seri, output dari stage i 1 harus sama dengan input pada stage i. Oleh karena itu, state transformasi dan fungsi return direpresentasikan sebagai berikut: si ti ( si 1 , xi )
(2.3)
Ri ri ( si 1 , xi )
(2.4)
dan
Universitas Sumatera Utara
25
yang mana xi menotasikan vektor variable keputusan pada stage i. Tujuan dari suatu masalah keputusan pada multistage adalah menentukan x1 , x2 ,..., xn untuk mengoptimalkan beberapa fungsi stage return secara individu yang disebut f ( R1 , R2 ,..., Rn ) dan memenuhi persamaan (2.3) dan (2.4).
2.6.2
Konsep Suboptimal dan Prinsip Keoptimalan
Program dinamik menggunakan konsep suboptimal dan prinsip keoptimalan dalam menyelesaikan masalah. Submasalah pertama dimulai pada stage, i 1 . Jika input untuk stage s2 ditentukan, maka berdasarkan pada prinsip keoptimalan, x1 harus diseleksi untuk mengoptimalkan R1. Terlepas dari apa yang terjadi pada stage lainnya, x1 harus diseleksi sedemikian hingga R1 ( x1 , s2 ) adalah optimum untuk input s2 . Jika optimum dinotasikan sebagai f1* , diperoleh f1* ( s2 ) opt[ R1 ( x1 , s2 )]
(2.5)
x1
Ini disebut suatu kebijakan satu stage karena input state f1* ditentukan, nilai optimal R1 , x1 dan s1 akan didefinisikan. Oleh karena itu, persamaan (2.5) adalah suatu persamaan parameter yang memberikan nilai optimum f1* sebagai suatu fungsi parameter input s2 . Jika f 2* menotasikan nilai fungsi optimum pada sub masalah kedua untuk suatu nilai input s3 , diperoleh f 2* ( s3 ) opt[ R2 ( x2 , s3 ) R1 ( x1 , s2 )]
(2.6)
x1 , x2
Universitas Sumatera Utara
26
Syarat prinsip keoptimalan yaitu x1 diseleksi sehingga mengoptimalkan R1 untuk nilai s2 yang diberikan. Untuk subproblem ke-i didefinisikan oleh: fi* ( si 1 ) opt [ Ri ( xi , si 1 ) Ri 1 ( xi 1 , si ) ... R1 ( x1 , s2 )]
(2.7)
xi , xi 1 ,..., x1
Dapat ditulis fi* ( si 1 ) opt[ Ri ( xi , si 1 ) fi 1* ( si )]
(2.8)
xi
Yang mana f i 1* dinotasikan sebagai nilai optimal dari fungsi tujuan untuk stage terakhir i 1 dan si adalah input pada stage i 1 .
2.7 Model Persediaan dalam Formula Program Dinamik
Pada bagian ini dihadirkan suatu bentuk khusus terhadap masalah persediaan barang retail dalam proses keputusan dengan program dinamik. 1. Andaikan S menjadi ruang lingkup pembicaraan (setiap elemen berhubungan secara khusus dengan level persediaan). Dihimpun dua state xt , yt S terhadap waktu t yang integer nonnegative dimana xt sebagai variabel state persediaan sebelum keputusan, yt sebagai variabel state persediaan setelah keputusan. 2. Suatu keputusan ut yang mempengaruhi sistem diseleksi dari suatu himpunan hingga U pada setiap langkah. Variabel keputusan ut menyatakan suatu vektor pesanan toko dan gudang pada waktu t. Keputusan ut harus ditentukan pada basis dari state sebelum keputusan xt . Ini melibatkan pemasukan barangbarang yang dipesan oleh gudang ke dalam buffer dan transisi barang-barang yang dipesan oleh toko dari buffer gudang ke buffer toko.
Universitas Sumatera Utara
27
3. State berkembang menurut dua persamaan yang berbeda: xt 1 f1 ( yt , wt ) dan yt f 2 ( xt , ut ) , yang mana
f1 dan
f2
adalah beberapa fungsi yang
menggambarkan fungsi dinamis system dan wt adalah variabel acak yang diambil dari suatu distribusi yang sudah fix, yang tidak terikat dari semua informasi yang tersedia terhadap waktu t . 4. State setelah keputusan yt ditransformasikan untuk memenuhi permintaan pelanggan. Hasil dari transformasi ini adalah state sebelum keputusan selanjutnya, xt 1 . 5. Terdapat suatu biaya, dinotasikan sebagai g ( yt , wt ) yang dipengaruhi oleh variabel acak wt ketika state persediaan setelah keputusan yt . 6. Suatu kebijakan (policy) merupakan pemetaan : S U yang menyatakan suatu keputusan sebagai suatu fungsi dari state sebelum keputusan, yaitu ut ( xt ) .
u1 x1
u2 y1
x2
ui y2
xi
ui 1
yi
w1
xi 1 wi
ut xt wt
Gambar 2.7 Ilustrasi Persediaan dalam Program Dinamik
Beberapa proses keputusan stage ke-i dikarakteristikkan dengan parameter input dan output, yang mana parameter input yaitu: 1. Parameter input state sebelum keputusan xi 2. Variable keputusan ui
Universitas Sumatera Utara
28
sedangkan parameter output: 1. State setelah keputusan yi 2. Parameter output wi Tujuan dalam pengendalian persediaan stokastik adalah memperoleh suatu kebijakan optimal. Hal-hal yang berhubungan dengan biaya diminimumkan sebagai rata-rata total biaya yang akan datang yang tidak terbatas jumlahnya, sebagai fungsi suatu state awal setelah keputusan, yaitu:
J ( y ) E t g ( yt , wt ) | y0 y, . t 0
(2.9)
(0,1) adalah discount factor, yang mana dalam waktu singkat diasumsikan bernilai 1 karena dalam waktu yang singkat, nilai biaya tidak banyak mengalami perbedaan.
J ( y ) menotasikan biaya rata-rata yang diberikan dimana sistem dimulai dalam state setelah keputusan y dan dikendalikan oleh suatu kebijakan . Suatu kebijakan optimal * meminimumkan J secara bersamaan untuk semua state awal setelah keputusan, dan fungsi J * dikenal sebagai nilai fungsi yang dinotasikan dengan J * . J * ( y) f1 ( y, w)
g ( y, w)
y w
x
t t 1
1
Gambar 2.8 Fungsi Biaya Persediaan dalam Program Dinamik
Suatu formula yang secara khusus berhubungan dengan masalah persediaan barang retail dalam program dinamik adalah bahwa nilai fungsi memenuhi persamaan Bellman yang mengambil bentuk:
Universitas Sumatera Utara
29
J * ( y ) Ew g ( y, w) J ( f1 ( y, w)) ,
(2.10)
yang mana J diberikan oleh J ( x) min J * ( f 2 ( x, u ))
(2.11)
uU
Lebih jauh, suatu kebijakan * adalah optimal jika dan hanya jika memenuhi
* ( x) arg min J * ( f 2 ( x, u ))
(2.12)
U
Menggunakan persamaan (2.12), dihasilkan suatu kebijakan optimal berdasarkan suatu nilai fungsi J * yang didefinisikan hanya terhadap state setelah keputusan. Suatu kebijakan optimal dapat ditemukan dengan menyelesaikan persamaan Bellman dan kemudian menghitung kebijakan optimal menggunakan hasil nilai fungsi (value function) J * .
2.8 Metode Neuro-Dynamic Programming terhadap Persediaan
Metode
neuro-dynamic
programming
menawarkan
suatu
algoritma
untuk
menghasilkan strategi keputusan (control) yang optimal. Metode ini merupakan pengembangan dari program dinamik dengan menggunakan konsep intelegensi semu (Artificial intelligence) yang mencakup simulasi dan berbasis algoritma serta teknik aproksimasi seperti neural network. Dalam penerapannya pada suatu permasalahan, metode neuro-dynamic programming sering membutuhkan trial and error, dalam suatu proses yang panjang dari keputusan parameter yang diubah dan dicoba (Bertsekas P, 2005). Ide utama dalam metode neuro-dynamic programming adalah mengaproksimasi pemetaan J * : S menggunakan suatu aproksimasi arsitektur. Suatu aproksimasi arsitektur dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi J : S k . Algoritma neuro-
Universitas Sumatera Utara
30
dynamic programming mencoba untuk menemukan suatu parameter vektor r k sedemikian hingga fungsi J (., r ) mengaproksimasi J * .
2.8.1 On-Line Temporal-Difference Method
Temporal difference berasal dari difference, atau changes (berubah) dalam menaksir setiap langkah dalam suatu proses. Algoritma ini mengupdate parameter vektor r dari suatu approksimasi arsitektur selama setiap langkah waktu t dari simulasi. Penaksiran parameter vektor r (reorder point) pada setiap langkah waktu t diupdate untuk membawa semakin dekat terhadap taksiran dari jumlah yang sama pada setiap langkah waktu berikutnya. Algoritma ini dapat berjalan sukses setelah menambahkan active exploration (Bertsekas and Siklis, 2005). Adapun proses neuro-dynamic programming yang menggunakan Online Temporal Difference Method dengan sebarang suatu parameter vektor r0 dan menghasilkan suatu deretan rt , menggunakan prosedur sebagai berikut: 1. State sebelum keputusan x0 adalah sebagai simulator, dan kontrol u0 dihitung dari u0 min Jˆ ( f 2 ( x0 , u ), r0 )
2. Jalankan simulator menggunakan kontrol u0 untuk mendapatkan state setelah keputusan yang pertama y0 f 2 ( x0 , u0 ) 3. Secara umum, pada waktu t, jalankan simulator menggunakan kontrol ui untuk mendapatkan state sebelum keputusan selanjutnya xt 1 f1 ( yt , wt ) dan biaya g ( yt , wt )
Universitas Sumatera Utara
31
4. Dapatkan kontrol ut 1 dengan cara ut 1 min Jˆ ( f 2 ( xt 1 , u ), rt )
5. Jalankan simulator menggunakan kontrol ut 1 untuk mendapatkan state setelah keputusan. yt 1 f 2 ( xt 1 , ut 1 ) 6. Ulangi langkah 3 selama waktu t yang dibutuhkan.
2.8.2 Active Exploration
Algoritma yang digambarkan pada bagian sebelumnya selalu meng-update parameter vektor ke approximate values J ( x, r ) pada state x yang dikunjungi oleh kebijakan saat ini, yang mana dinyatakan oleh parameter vector r . Active exploration lebih memilih suatu mekanisasi yang membawa pada beberapa kecenderungan untuk mengunjungi suatu range state yang lebih besar (Bertsekas, 1997). Algoritma temporal-difference yang digunakan dengan active exploration mengikuti rute yang sama dengan tanpa active exploration. Secara umum, algoritma dapat digambarkan dengan langkah-langkah yang dihasilkan dalam bagian sebelumnya, kecuali dengan langkah (1) dan (4) diganti dengan u0 n0 min J ( f 2 ( x0 , u ), r0 ), uU
Dan ut 1 nt min J ( f 2 ( xt 1 , u ), rt ), uU
Setiap nt adalah sebuah istilah gangguan (noise term). Adapun besar noise term ditentukan secara random dari angka acak yang berdistribusi normal.
Universitas Sumatera Utara
