34
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Pengertian Model dan Metode Transportasi
Hamdy A Taha (1996) mengemukakan bahwa dalam arti sederhana, model transportasi berusaha menentukan sebuah rencana transportasi sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan. Data dalam model ini mencakup: 1.
Tingkat penawaran di setiap sumber dan jumlah permintaan di setiap tujuan.
2.
Biaya transportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan.
Menurut Tamin (2000), model transportasi adalah suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi suatu produk (barang-barang) dari sumbersumber yang menyediakan produk (misalnya pabrik) ke tempat-tempat tujuan (misalnya gudang) secara optimal. Tujuan dari model ini adalah menentukan jumlah yang harus dikirim dari setiap sumber ke setiap tujuan sedemikian rupa dengan total biaya transportasi minimum.
Metode transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal. Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber ke tempat-tempat tujuan berbeda-beda, dan dari beberapa sumber ke tempattempat tujuan juga berbeda-beda (Subagyo et al. 1990).
Noer (2010) mengemukakan bahwa metode transportasi dimaksudkan untuk mencari solusi terbaik dari persoalan transportasi (pengangkutan) barang atau produk dari gudang/pabrik ke pasar tujuan dengan biaya termurah. Bila telah dapat diidentifikasi biaya angkut dari pabrik ke pasar, serta kapasitas pabrik dan
Universitas Sumatera Utara
35
permintaan pasar pun telah diketahui maka persoalan bagaimana cara pengalokasian terbaiknya dapat dikerjakan.
Metode transportasi adalah metode yang paling efisien dibandingkan dengan metode simpleks. Penggunaan metode transportasi ini dipelopori oleh FL. Hitchcock (1941), TC. Koopmans (1949) dan GB. Dantzig (1951). Beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan dengan metode transportasi adalah mengalokasikan barang/jasa dari suatu tempat (sumber/supply) ke tempat lainnya (demand/destination) secara optimal dengan mempertimbangkan biaya minimal, pengalokasian periklanan yang efektif, pembelanjaan modal dan alokasi dana untuk investasi, analisis pemilihan lokasi usaha yang tepat, keseimbangan lini perakitan, dan penjadwalan produksi (Zulfikarijah, 2004).
2.2 Persoalan Transportasi
Agustini dan Rahmadi (2004) mengemukakan bahwa kasus transportasi timbul ketika dicoba menentukan cara pengiriman (distribusi) suatu jenis barang (item) dari beberapa sumber (lokasi penawaran) ke beberapa tujuan (lokasi permintaan) yang dapat meminimumkan biaya. Biasanya jumlah barang yang dapat disalurkan dari setiap lokasi penawaran adalah tetap atau terbatas, namun jumlah permintaan pada setiap lokasi permintaan adalah bervariasi.
Permasalahan transportasi termasuk permasalahan program linier yang khusus yang dapat diselesaikan dengan metode transportasi. Persoalan dasar transportasi pada mulanya dikembangkan oleh F. L. Hitchcock pada tahun 1941 dalam studinya yang berjudul: The distribution of a product from several source to numerous locations. Pada awal 1947, T. C. Koopmans secara terpisah menerbitkan suatu hasil studi mengenai: Optimal utilization of the transportation system. Selanjutnya, perumusan persoalan linear programming, dan cara pemecahan yang sistematis dikembangkan oleh Prof. George Dantzig yang sering disebut bapak linear programming (Rangkuti, 2013).
Universitas Sumatera Utara
36
Menurut Siagian (2006), gambaran umum dari persoalan angkutan dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Sebuah perusahaan yang menghasilkan barang atau komoditi tertentu melalui sejumlah pabrik pada lokasi yang berbeda, akan mengirim barang ke berbagai tempat yang memerlukan dengan jumlah kebutuhan yang sudah tertentu. 2. Sejumlah barang atau komoditi hendak dikirim dari sejumlah pelabuhan asal kepada sejumlah pelabuhan tujuan, masing-masing dengan tingkat kebutuhan yang sudah diketahui. 3. Sasaran dalam masalah transportasi ini ialah mengalokasikan barang yang ada pada pelabuhan asal sedemikian rupa hingga terpenuhi semua kebutuhan pada pelabuhan tujuan. Sedangkan tujuan utama dari persoalan angkutan ini ialah untuk mencapai jumlah biaya yang serendah-rendahnya (minimum) atau mencapai jumlah laba yang sebesar-besarnya (maksimum).
Pada umumnya, masalah transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju beberapa tujuan dengan permintaan tertentu, pada biaya transportasi minimum. Karena bentuk masalah transportasi yang khas untuk menghitung minimasi biaya transportasi dalam bentuk tabel khusus yang dinamakan tabel transportasi (Mulyono, 2004).
2.3 Model Transportasi
Model transportasi dari sebuah jaringan dengan m sebagai sumber dan n sebagai tujuan dapat dilihat pada Gambar 2.1. Sumber dan tujuan diwakili dengan sebuah node, dan rute pengiriman barang dari yang menghubungkan sumber ke tujuan diwakili dengan busur yaitu: 1. Masing-masing sumber mempunyai kapasitas 2. Masing-masing tujuan mempunyai kapasitas 3.
: jumlah satuan unit yang dikirim dari sumber i ke tujuan j
4.
: ongkos pengiriman per unit dari sumber i ke tujuan j
Universitas Sumatera Utara
37
5. Z : total keseluruhan biaya distribusi/transportasi
tujuan
sumber 1
1
2 . . .
2
m
n
Unit
Unit Penawaran
. . .
Permintaan
Gambar 2.1 Model Transportasi dari Sumber ke Tujuan
Model transportasi yang digambarkan pada Gambar 2.1 dapat dibuat ke dalam bentuk tabel yaitu tabel transportasi yang dapat dilihat pada Tabel 2.1. Dengan demikian, formulasi program liniernya dari persoalan transportasi adalah sebagai berikut: Fungsi Tujuan: Meminimumkan
dengan batasan:
, untuk semua i dan j Kelompok batasan pertama menetapkan bahwa jumlah pengiriman dari sebuah sumber tidak dapat melebihi penawarannya. Demikian pula, kelompok batasan
Universitas Sumatera Utara
38
kedua mengharuskan bahwa jumlah pengiriman ke sebuah tujuan harus memenuhi permintaannya (Taha, 1996). Sebagai ilustrasi, Gambar 2.2 akan memodelkan persoalan transportasi dengan 3 sumber dan 4 tujuan (
).
Tujuan 1
X11 X12
Sumber 1 X14 X21 Sumber 2
X13
Tujuan 2
X22 X23
X24 X31 Sumber 3
X32
Tujuan 3
X33 X34 Tujuan 4
Gambar 2.2 Representasi Model Persoalan Transportasi
Fungsi Tujuan: Meminimumkan
dengan batasan:
Universitas Sumatera Utara
39
2.4 Keseimbangan Transportasi
Problema transportasi seimbang adalah problema biaya angkutan barang di mana jumlah barang yang dipasok dari tempat asal sama dengan jumlah barang yang diminta di tempat tujuan. Problema transportasi tidak seimbang adalah suatu problema transportasi di mana jumlah permintaan lebih besar daripada pemasokan atau jumlah pemasokan lebih besar daripada permintaan (Sitorus, 1997).
Model Gambar 2.2 pada subbab 2.3 menyiratkan bahwa penawaran total harus setidaknya sama dengan permintaan total. Ketika penawaran total sama dengan permintaan total
, formulasi yang dihasilkan disebut
model transportasi berimbang (balanced transportation model). Formulasi ini berbeda dengan formulasi sebelumnya hanya terletak pada batasannya yaitu bahwa semua batasan adalah persamaan, dituliskan sebagai berikut:
Dalam kehidupan nyata, tidak selalu dapat dipastikan bahwa penawaran sama dengan permintaan atau melebihinya. Tetapi, sebuah model transportasi dapat selalu berimbang. Pengimbangan ini, di samping kegunaannya dalam pemodelan situasi praktis tertentu, adalah penting untuk pengembangan sebuah metode pemecahan yang sepenuhnya memanfaatkan struktur khusus dari model transportasi ini (Taha, 1996).
Dalam persoalan transportasi yang sebenarnya, jumlah supply yang tersedia tidak selalu sama dengan jumlah demand atau dengan kata lain jumlah
Universitas Sumatera Utara
40
supply yang tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada jumlah demand. Jika hal ini terjadi, maka model persoalan disebut sebagai model transportasi tidak seimbang (unbalanced transportation model). Setiap persoalan transportasi dapat dibuat seimbang dengan memasukkan kolom dummy atau baris dummy. Ada 2 kemungkinan yang terjadi pada persoalan transportasi tidak seimbang yaitu: 1. Bila supply lebih besar daripada demand diselesaikan dengan cara menetapkan dummy
, persoalan ini pada tujuan (kolom) untuk
menyerap kelebihan demand sebesar
2. Bila supply lebih kecil daripada demand
, persoalan ini
diselesaikan dengan cara menetapkan dummy pada sumber (baris) untuk mensupply kekurangan demand sebesar
dengan Pi = dummy untuk baris Pj = dummy untuk kolom Dummy tujuan pada kolom maupun dummy sumber pada baris tabel transportasi pada dasarnya adalah buatan (tidak riil). Dengan demikian, biaya distribusi pada kolom dummy dan baris dummy adalah nol. Hal ini dapat dipahami karena pada kenyataan tidak terjadi pengiriman dari sumber dummy dan tidak terjadi pengiriman ke tujuan dummy.
Universitas Sumatera Utara
41
Tabel 2.1 Tabel Persoalan Transportasi Seimbang Tujuan ∙∙∙
Ke Dari
1 1
C11 X11 C21 X21
X22
C2j X2j
Xij
C2n X2n
∙∙∙
Cin Xin
…
…
…
…
…
∙∙∙
Cmj
∙∙∙
Cmn
b1
Xmj
∙∙∙
b2
Xmn
∙∙∙
bj
a2
ai …
…
Cm2 Xm2
a1
…
Cij
X1n
…
∙∙∙
∙∙∙
C1n
Cm1 Xm1
Demand
X1j
∙∙∙
supply
n
…
Xi2
∙∙∙
C1j
…
Xi1
Ci2
∙∙∙
∙∙∙
j
…
…
Ci1
… m
C22
…
i
C12 X12
…
Sumber
2
2
am
bn
∑ ai=∑ bj
n
dummy 0 X1(n+1) 0
Tabel 2.2 Tabel Persoalan Transportasi Tidak Seimbang Ke Dari
1 1
C11 X11 C21
∙∙∙
C2n
∙∙∙
0
ai
Xi(n+1)
Xin Cmn
…
∙∙∙
…
bj
∙∙∙
a2
…
Xmj
Cin …
Cmj
a1
…
Xij
∙∙∙
supply
X2(n+1) …
∙∙∙
X1n
…
b2
C1n
…
Xm2
∙∙∙
Cij …
Cm2
∙∙∙ …
…
… Cm1
b1
∙∙∙
X2n
…
… Ci2
Xi2
Xm1
C2j
∙∙∙
X2j
…
Xi1
X1j
∙∙∙
X22 Ci1
… demand
C22
…
…
Sumber
X21
m
C12 X12
2
i
∙∙∙
2
Tujuan j C1j
0
am
Xm(n+1)
Xmn bn
Pj
∑ ai= ∑ bj + Pj
Universitas Sumatera Utara
42
Tabel 2.3 Tabel Persoalan Transportasi Tidak Seimbang Tujuan ∙∙∙ j
Ke Dari
1
2 C11
1
X11
C12 X12
C21
2
X21
X22
…
Xm1
Xm2 0
0
X(m+1)1
X(m+1)2
b1
b2
∙∙∙
∙∙∙
Xmj 0
∙∙∙
X(m+1)j
∙∙∙
Cmn Xmn 0 X(m+1)n
∙∙∙
bj
ai
bn
…
…
Cmj
a2
…
…
∙∙∙
Xin
…
…
demand
Cm2
Cin
∙∙∙
Xij
Cm1
X2n
…
…
Xi2
C2n
a1
…
…
Cij
X1n
…
…
∙∙∙
C1n
∙∙∙
X2j
Ci2
… dummy
C2j
supply
n
∙∙∙
X1j
Ci1 Xi1
m
∙∙∙
C1j
…
…
Sumber
i
C22
∙∙∙
∙∙∙
am Pi ∑ ai + Pi =∑ bj
2.5 Metode Transportasi
Metode transportasi yang dapat digunakan untuk mencari solusi awal adalah Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Method) dan Metode Biaya Terendah (Least-Cost Method).
1. Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Method) Metode sudut barat laut adalah metode yang paling sederhana untuk mencari solusi awal dari transportasi. Ciri dari metode ini adalah alokasi satuan belum memandang biaya transportasi (Rangkuti, 2013).
Langkah-langkah penyelesaiannya adalah: a. Mulai dari sudut kiri atas tabel dan alokasikan sebanyak mungkin pada tanpa menyimpang dari kendala penawaran atau permintaan (artinya ditetapkan sama dengan yang terkecil di antara nilai
dan
).
Universitas Sumatera Utara
43
b. Proses pertama akan menghabiskan penawaran pada sumber 1 dan atau permintaan pada tujuan 1. Akibatnya, tak ada lagi barang yang dapat dialokasikan ke kolom atau baris yang telah dihabiskan dan kemudian baris atau kolom itu dihilangkan. Kemudian pengalokasian sebanyak mungkin ke kotak di dekatnya pada baris atau kolom yang dapat dihilangkan. Jika kolom maupun baris telah dihabiskan, pindahlah secara diagonal ke kotak berikutnya. c. Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua penawaran telah dihabiskan dengan keperluan permintaan telah dipenuhi.
Metode North West Corner Rule atau yang dikenal dengan metode sudut barat laut merupakan salah satu pemecahan awal yang digunakan dalam menyelesaikan persoalan transportasi.
2. Metode Biaya Terendah (Least-Cost Method) Metode biaya terendah atau Least-Cost Method berusaha mencapai tujuan minimalisasi biaya dengan alokasi sistematik kepada kotak-kotak sesuai dengan besarnya biaya transportasi per unit (Rangkuti, 2013).
Prosedur metode ini adalah: a. Pilih variabel
(kotak) dengan biaya transport
alokasikan sebanyak mungkin. Untuk
terkecil,
terkecil dengan minimal
. Ini
akan menghabiskan baris atau kolom . b. Dari kotak-kotak sisanya yang layak (yaitu yang tidak terisi atau tidak dihilangkan) pilih nilai
terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin.
c. Lanjutkan proses ini sampai semua penawaran dan permintaan terpenuhi. Apabila telah diperoleh sebuah solusi fisibel awal atau feasible solution, maka tahap berikutnya adalah menguji apakah jawaban tersebut sudah optimal.
Metode transportasi yang dapat digunakan untuk mencari solusi optimal adalah Metode Batu Loncatan (Stepping Stone Method) dan Metode Potensial.
Universitas Sumatera Utara
44
1. Metode Batu Loncatan (Stepping Stone Method) Salah satu metode transportasi adalah metode batu loncatan (stepping stone method) yang digunakan untuk menghasilkan pemecahan layak bagi masalah dengan biaya-biaya operasi (biaya pabrik dan biaya transportasi), sehingga mendapatkan biaya pengiriman relatif minimal. Jumlah rute atau sel yang mendapat alokasi harus sebanyak
.
Langkah penyelesaian adalah: a.
Pemecahan fisibel yang pertama dengan menggunakan metode sudut barat laut.
b.
Kotak yang terisi disebut kotak basis, nilainya diberi tanda kurung buka dan tutup seperti (
), melambangkan baris dan untuk kolom.
c.
Kotak yang tidak terisi disebut kotak bukan basis (non-basis cell).
d.
Semua kotak memuat biaya angkut per unit barang sebesar
di mana 1 unit
barang diangkut dari sumber m ke tujuan n. e.
= supply atau persediaan barang di sumber m, dan dari tujuan n dan
= permintaan barang
jumlah biaya angkut yang harus dibuat
minimal. f.
Agar tabel tidak rumit, nilai yang menunjukkan biaya angkut tidak dicantumkan dalam tabel.
g.
Dibuat loop tertutup bagi setiap variabel non-basis di mana loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel non-basis, dan setiap titik sudut loop tersebut harus merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi.
h.
Dihitung
jumlah
pada loop dengan koefisien ( ) dan ( )
secara bergantian. i.
Menentukan variabel yang masuk menjadi basis (entering variable) dengan cara memilih nilai
j.
yang terbesar atau
.
Menentukan variabel yang keluar dari basis dengan cara: 1) Dibuat loop yang memuat 2) Diadakan pengamatan pada
yang terbesar. dalam loop yang mempunyai koefisien ( ).
Universitas Sumatera Utara
45
3) Variabel
yang keluar basis bila dan hanya bila
minimal dari jalur
loop. k.
Menentukan harga variabel basis (yang berada di dalam loop yang baru) di mana nilai untuk variabel yang baru masuk basis diambil dari nilai variabel minimal dalam loop.
l.
Untuk variabel-variabel basis yang lain yang juga berada dalam loop yaitu: 1) 2)
m. Untuk variabel-variabel basis yang lain di luar loop harganya tetap dan hitung kembali nilai
untuk variabel non-basis.
n.
Diperoleh tabel optimal jika semua
o.
Jika masih ada nilai
.
, maka dapat ditentukan kembali entering
variable dan leaving (variabel yang masuk dan yang keluar).
2. Metode Potensial Dalam memecahkan masalah transportasi, metode potensial dapat juga dipergunakan untuk mencari solusi optimum. Metode potensial (metode U-V) melakukan evaluasi dari suatu lokasi transportasi secara matriks. Solusi dengan menggunakan metode potensial adalah suatu variasi dari metode stepping stone yang didasarkan pada rumusan dual. Perbedaan utama dari metode potensial dengan metode stepping stone ialah cara mengevaluasi setiap sel dalam matriks. Dalam stepping stone, lingkaran evaluasi harus dicari untuk semua sel, yaitu sebanyak
sel, yang tidak terletak dalam basis (Sudradjat, 2008).
Dalam metode potensial, lingkaran evaluasi hanya dicari untuk sel yang mempunyai harga paling negatif pada matriks evaluasi. Dalam proses mencari harga-harga sel evaluasi matriks, metode potensial terlebih dahulu harus menyusun satu matriks perubahan biaya. Matriks biaya awal dari transportasi dinyatakan dengan dengan
, matriks perubahan biaya yang akan dijelaskan dinyatakan
, sedangkan matriks evaluasi dinyatakan dengan
.
Universitas Sumatera Utara
46
Berdasarkan alokasi basis, maka sel dari basis dinyatakan dengan sel ini mempunyai jumlah sebanyak
. Sel-
. Selanjutnya dicari harga-harga
untuk setiap baris dan harga-harga
untuk setiap kolom, dengan perantara
persamaan:
Telah diketahui bahwa jumlah sel yang mendapat alokasi awal atau jumlah sel yang menjadi basis adalah sebanyak terdapat
, sehingga dengan demikian
persamaan. Supaya persamaan ini dapat dipecahkan,
sebenarnya diperlukan satu persamaan lagi, dan untuk itu diperoleh dengan memilih salah satu harga dari
atau
dipilih salah satu dari harga berikut dan
dengan konstanta tertentu (biasanya atau
). Setelah harga-harga
diketahui, maka dicari harga-harga sel lain yang tidak menjadi basis, yaitu
dengan menggunakan persamaan:
. Matriks yang diperoleh adalah
matriks perubahan biaya yang disimbolkan dengan matriks
.
Adapun langkah-langkah dalam metode potensial (U-V) adalah: a. Menentukan nilai
untuk setiap baris dan nilai-nilai
dengan menggunakan hubungan
untuk setiap kolom
untuk semua variabel basis dan
menentukan nilai b. Menghitung matriks perubahan biaya dengan menggunakan rumus c. Apabila hasil perhitungan terdapat nilai Selanjutnya dipilih
dengan nilai
untuk setiap variabel non basis . negatif, maka solusi belum optimal. negatif terbesar sebagai entering
variabel. d. Mengalokasikan sejumlah nilai ke entering variabel
sesuai dengan proses
Stepping Stone dan ulangi langkah pertama.
Universitas Sumatera Utara
