MODEL INVENTORI DETERMINISTIK DENGAN DISKON, BACKORDER, DAN PENUNDAAN PEMBAYARAN
FITRIA
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Model Inventori Deterministik dengan Diskon, Backorder, dan Penundaan Pembayaran adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2014 Fitria NIM G54090014
ABSTRAK FITRIA. Model Inventori Deterministik dengan Diskon, Backoder, dan Penundaan Pemmbayaran. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan TONI BAKHTIAR. Persediaan barang mempunyai fungsi yang sangat penting bagi perusahaan. Perusahaan menyimpan berbagai barang di antaranya bahan baku, barang untuk proses industri, dan barang jadi. Penyimpanan barang diperlukan untuk memenuhi permintaan pembeli dalam waktu cepat. Karya ilmiah ini membahas model persediaan deterministik. Jika barang dalam persediaan lebih kecil dari permintaan, maka ada permintaan yang tidak terpenuhi. Hal ini akan menunda permintaan barang dari pembeli, dan manajer perusahaan akan menawarkan diskon kepada pembeli yang bersedia menunggu pesanan terpenuhi. Dengan waktu penundaan pembayaran, perusahaan dapat mengetahui waktu habisnya persediaan serta waktu untuk pemesanan kembali sehingga total biaya persediaan minimum. Kebijakan pemesanan yang optimal dan diskon yang ditawarkan optimal dapat menentukan total biaya persediaan minimum. Kata kunci: Diskon, Inventori, Model deterministik, Penundaan pembayaran
ABSTRACT FITRIA. A Deteministic Inventory Model with Price Discount, Backorder, and Delay in Payment. Supervised by FARIDA HANUM and TONI BAKHTIAR. Inventory has a very important function for companies. The companies store variety of goods such as raw materials, goods for industrial processes, and other goods. The storages are required to keep the goods fulfill and buyers demand in a quick time. This paper discussed a deterministic inventory model. If the amount goods in the inventory is less than the buyers’ demand, then there is shortage of inventory. This would delay the demand for goods from the buyer to be fulfilled and the managers of the company would offer discounts to consumers for such a delay. By the delay time of payment, the company will know when the inventory ending time and reorder time so the total inventory cost would be minimized. The optimum ordering policy and the offered discount for the optimum shortage of inventory can be used to determine the minimum total inventory cost. Keywords: Delay in payment, Deterministic model, Inventory, Price discount.
MODEL INVENTORI DETERMINISTIK DENGAN DISKON, BACKORDER, DAN PENUNDAAN PEMBAYARAN
FITRIA
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
Judul Skripsi : Model Inventori Deterministik dengan Diskon, Backorder, dan Penundaan Pembayaran Nama : Fitria NIM : G54090014
Disetujui oleh
Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing I
Dr Toni Bakhtiar, MSc Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul dari karya ilmiah ini adalah Model Inventori Deterministik dengan Diskon, Backorder, dan Penundaan Pembayaran. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra Farida Hanum, MSi dan Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku pembimbing, serta Bapak Ruhiyat, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran, motivasi dan bimbingan dalam penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak, Mama, Kak Sepri, Ari serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Ucapan terima kasih juga penulis berikan kepada seluruh dosen, tenaga kependidikan, semua teman-teman Matematika 46, Evy, Dedew, Randita, Nur Lasmini, Fenny, Nurul, Eka Prety yang sudah menjadi sahabat terbaik dan banyak membantu dalam proses belajar, Ermi, Nisa, Sonia, Sevir yang sudah menjadi teman seperjuangan yang baik dalam menyelesaikan skripsi, temanteman Matematika angkatan 45, 47, Keluarga Wisma Shinta serta teman-teman di Institut Pertanian Bogor. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2014 Fitria
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vii
DAFTAR GAMBAR
vii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Sistem Persediaan
2
Model EOQ Dasar
2
Model EOQ dengan Backorder
5
ANALISIS MODEL PERSEDIAAN BARANG EOQ DENGAN DISKON, BACKORDER DAN PENUNDAAN PEMBAYARAN Analisis Hubungan Antarvariabel
7 14
IMPLEMENTASI
19
SIMPULAN
24
DAFTAR PUSTAKA
25
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
41
DAFTAR TABEL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Total biaya persediaan minimum Ilustrasi 1 Hasil perhitungan Ilustrasi 2 Kasus 1 (M ≤ T1) Hasil perhitungan Ilustrasi 2 Kasus 2 (M ≥ T1) Hasil perhitungan Ilustrasi 2 Kasus 1 (M ≤ T1) Hasil perhitungan Ilustrasi 2 Kasus 2 (M ≥ T1) Hasil perhitungan Ilustrasi 3 Kasus 1 (M ≤ T1) Hasil perhitungan Ilustrasi 3 Kasus 2 (M ≥ T1) Hasil perhitungan Ilustrasi 4a Kasus 1 (M ≤ T1) Hasil perhitungan Ilustrasi 4a Kasus 2 (M ≥ T1) Hasil perhitungan Ilustrasi 4b Kasus 1 (M ≤ T1) Hasil perhitungan Ilustrasi 4b Kasus 2 (M ≥ T1)
19 34 34 35 36 37 38 39 39 40 40
DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Tingkat persediaan model EOQ dasar Kurva biaya pesan, biaya simpan dan biaya persediaan total Model EOQ dengan Backorder Model persediaan dengan kondisi kekurangan persediaan dan penundaan pembayaran pada waktu M Kasus 1 : M ≤ T1 Kasus 2 : M ≥ T1 Hubungan antara biaya kekurangan persediaan (s1) dengan biaya persediaan total (C1) Kasus 1 Hubungan antara biaya penjualan yang hilang (s2) dengan biaya persediaan total (C1) Kasus 1 Hubungan anatra biaya penyimpanan (h) dengan biaya persediaan total (C1) kasus 1 Hubungan antara periode penundaan pembayaran (M) dengan biaya persediaan total (C1) Kasus 1 Hubungan anatra biaya kekurangan persediaan (s1) dengan biaya persediaan total (C2) Kasus 2 Hubungan antara biaya penjualan yang hilang (s2) dengan biaya persediaan total (C2) kasus 2 Hubungan antara biaya penyimpanan (h) dengan biaya persediaan total (C2) Kasus 2 Hubungan antara periode penundaan pembayaran (M) dengan biaya persediaan total (C2) kasus 2 Ilustrasi 1 Ilustrasi 2 Ilustrasi 3 Ilustrasi 4a Ilustrasi 4b
3 4 6 8 10 12 14 15 15 16 17 17 18 18 20 21 22 23 24
DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Penurunan persamaan (8) dan (9) Penurunan persamaan (13) Penurunan persamaan (14) Penurunan persamaan (15), (16), dan (17) Penurunan persamaan (18), (19), dan (20) Penurunan persamaan (22) Penurunan persamaan (23), (24), dan (25) Penurunan persamaan (26), (27), dan (28) Proses perhitungan Ilustrasi 1 Proses perhitungan Ilustrasi 2 Proses perhitungan Ilustrasi 3 Proses perhitungan Ilustrasi 4a Proses perhitungan Ilustrasi 4b
26 26 27 27 29 29 30 31 34 35 37 39 40
PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah persediaan merupakan salah satu masalah penting yang dihadapi berbagai perusahaan baik perusahaan manufaktur atau nonmanufaktur. Masalah yang dihadapi antara lain bagaimana pihak manajemen perusahaan menentukan banyaknya barang yang dipesan setiap kali pemesanan dan kapan barang tersebut dipesan untuk memenuhi kebutuhan produksinya sehingga dapat meminimumkan biaya persediaan totalnya. Persediaan barang mempunyai fungsi yang sangat penting bagi perusahaan. Dari berbagai barang yang ada seperti bahan baku, barang dalam proses, dan barang jadi, perusahaan menyimpannya karena berbagai alasan. Penyimpanan barang diperlukan untuk memenuhi permintaan pembeli dalam waktu cepat. Jika tidak memiliki persediaan barang dan tidak memenuhi permintaan pembeli pada waktu yang tepat, kemungkinan pembeli akan berpindah ke perusahaan lain. Demi kelancaran proses produksi, pihak manajemen perusahaan harus menentukan jumlah persediaan yang cukup. Jika terlalu banyak barang yang disimpan, biaya penyimpanan menjadi tinggi, tetapi persediaan yang terlalu sedikit mengakibatkan terganggunya proses produksi. Berdasarkan dua karakteristik utama parameter-parameter persediaan, yaitu tingkat permintaan dan periode kedatangan pesanan, model-model persediaan dibedakan menjadi model deterministik dan model probabilistik. Model deterministik ditandai oleh karakteristik tingkat permintaan dan periode kedatangan pesanan yang bisa diketahui sebelumnya secara pasti. Sebaliknya, model probabilistik ditandai dengan adanya salah satu atau kedua parameter yang tidak dapat diketahui secara pasti sebelumnya. Dalam karya ilmiah ini, masalah persediaan yang dibahas adalah model deterministik. Dalam suatu kasus, perusahaan sebagai pihak pembeli diperbolehkan melakukan penundaan pembayaran pembelian barang selama periode waktu tertentu. Ini berarti perusahaan tidak harus langsung melunasi pembayaran ketika pesanan datang. Jika pembayaran pembelian dilakukan masih dalam periode penundaan, maka pembeli tidak harus membayar bunga. Tetapi jika pembayaran melewati periode penundaan, maka pembeli harus membayar bunga kepada supplier. Oleh karena itu, kondisi ini dapat menguntungkan pihak manajer perusahaan sebagai pembeli yang boleh menunda pembayaran karena pembayaran dapat ditunda sampai akhir periode penundaan. Selama periode penundaan tersebut, perusahaan sebagai pembeli bebas menjual produk dan mengumpulkan pendapatan dari penjualan. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model inventori dengan diskon, backorder, dan penundaan pembayaran yang bersumber dari artikel A deterministic inventory model with permissible delay payment and price discount on backorders karangan Manisha Pal dan Sujan Chandra pada tahun 2012. Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah: 1 menentukan model inventori dengan diskon, backorder, dan penundaan pembayaran pembelian,
2 2 menentukan jumlah persediaan pada setiap awal siklus persediaan, jumlah barang yang dipesan tetapi belum dapat dipenuhi, waktu periode kehabisan persediaan, periode pemesanan, dan periode penundaan pembayaran sehingga biaya persediaan total yang dikeluarkan minimum.
TINJAUAN PUSTAKA Sistem Persediaan Prawirosentono (2005) menyatakan berdasarkan jenis operasi perusahaan, arti persediaan dapat diklasifikasikan menjadi dua. 1 Pada perusahaan manufaktur yang memproses input menjadi output, persediaan adalah simpanan baku dan barang setengah jadi (work in process) untuk diproses menjadi barang jadi (finished goods) yang mempunyai nilai tambah lebih besar secara ekonomis, untuk selanjutnya dijual kepada pihak ketiga (konsumen). 2 Pada perusahaan dagang, persediaan adalah simpanan sejumlah barang jadi yang siap dijual kepada pihak ketiga (konsumen). Tujuan dalam penyelesaian masalah persediaan ialah meminimumkan biaya persediaan total. Menurut Siswanto (2007), biaya-biaya yang digunakan dalam masalah persediaan antara lain 1 Biaya pesan (ordering cost), yaitu biaya yang timbul pada saat terjadi proses pemesanan suatu barang. Contohnya biaya-biaya pembuatan surat, telepon, faksimili. 2 Biaya simpan (carrying cost), yaitu biaya yang timbul pada saat terjadi proses penyimpanan suatu barang. Yang termasuk ke dalam biaya simpan antara lain sewa gudang, premi asuransi, biaya keamanan. 3 Biaya kehabisan persediaan (stocking out cost), yaitu biaya yang timbul akibat persediaan telah habis atau tidak tersedia. Termasuk dalam kategori ini adalah kerugian karena mesin berhenti, karyawan tidak bekerja, atau peluang yang hilang untuk memperoleh keuntungan. Biaya ini meliputi: Lost sale cost, yaitu biaya yang terjadi apabila pesanan konsumen yang diterima perusahaan tidak dapat dipenuhi karena jumlah persediaan tidak cukup, dan konsumen tidak bersedia menunggu sehingga pesanan dibatalkan. Backorder cost, yaitu biaya yang terjadi apabila pesanan konsumen yang diterima perusahaan tidak dapat dipenuhi karena jumlah persediaan habis, dan konsumen bersedia menunggu sampai pesanan dipenuhi sehingga perusahaan tidak kehilangan keuntungan. 4 Biaya pembelian (purchasing cost), yaitu biaya yang timbul pada saat pembelian suatu barang. Model EOQ Dasar Model EOQ (Economic Order Quantity) dasar adalah model inventori (persediaan) deterministik yang pertama kali dikembangkan tahun 1915 secara
3 terpisah oleh Ford Harris dan R.H.Wilson (Siswanto 2007). Asumsi yang digunakan pada model ini ialah 1 Model untuk satu produk yang sama. 2 Biaya yang relevan adalah biaya pesan dan biaya simpan. Biaya pesanan untuk setiap kali pesan barang jumlahnya ialah tetap, sedangkan biaya penyimpanan dihitung dari nilai rata-rata persediaan barang. 3 Pemesanan tepat datang secara serentak pada saat persediaan sebelumnya habis. 4 Permintaan barang diketahui dengan tingkat pemakaian persediaan konstan. 5 Waktu tunggu (lead time), yaitu lamanya waktu antara menyampaikan pesanan sampai diterima barangnya, juga diketahui. 6 Shortage (kekurangan persediaan) tidak diperbolehkan, artinya persediaan selalu dapat memenuhi permintaan konsumen. Tujuan dari model ini ialah menentukan jumlah pesanan optimal sehingga biaya persediaan total minimum. Misalkan banyaknya kebutuhan suatu barang dalam satu periode adalah D, biaya yang dikeluarkan setiap kali pesanan dibuat adalah K, biaya yang harus dikeluarkan untuk menyimpan setiap unit persediaan adalah h, dan jumlah barang yang dipesan setiap kali pesanan dibuat adalah Q unit. Tingkat persediaan barang model ini dapat dilihat pada grafik sebagai berikut. Tingkat persediaan Q Satu siklus pesanan waktu t1
t2
t3
Gambar 1 Tingkat persediaan model EOQ dasar Gambar 1 memperlihatkan bahwa persediaan sebesar Q yang datang di t1 akan habis dipakai tepat pada t2. Pada saat di t2 penambahan persediaan sebesar Q tepat datang. Siklus ini berulang sebanyak D/Q. Hal ini membuat penambahan persediaan selalu sama, yaitu sebesar Q. Model inventori deterministik memperhitungkan dua macam biaya yaitu biaya pesan dan biaya simpan. Biaya pesan adalah biaya yang harus dikeluarkan karena pemesanan suatu barang, sehingga besarnya biaya pesan selama satu periode adalah hasil kali antara frekuensi pemesanan dalam satu periode dengan biaya sekali pemesanan, yaitu . Biaya simpan harus dikeluarkan karena berkaitan dengan penyimpanan persediaan. Karena siklus persediaan adalah datang-digunakan-habis maka volume persediaan didasarkan pada persediaan rata-rata, yaitu (persediaan awal + persediaan akhir)/2. Karena persediaan tepat datang sebesar Q, maka persediaan awal adalah Q dan persediaan akhir adalah nol
4 ersediaan rata-rata
sehingga
Ini berarti, besarnya biaya simpan
selama satu siklus ialah ( ) . Karena terdapat
siklus dalam satu periode,
maka biaya simpan selama satu periode adalah . Jadi biaya persediaan total (C) ialah: Biaya persediaan total (C) = Biaya pesan + Biaya simpan
Hubungan antara biaya pesan, biaya simpan dan biaya persediaan total dapat dilihat dalam grafik pada Gambar 2. Biaya persediaan total (C) akan naik jika semakin banyak unit (Q) yang dipesan maupun semakin sedikit unit yang dipesan. Ketika biaya pesan sama dengan biaya simpan, maka
⁄
(
)
Biaya C Biaya simpan
O
Q*
Biaya pesan Q
Gambar 2 Kurva biaya pesan, biaya simpan dan biaya persediaan total Gambar 2 memperlihatkan bahwa biaya pemesanan semakin mengecil apabila semakin besar jumlah barang yang dipesan (lihat garis melengkung yang semakin menurun) dan biaya penyimpanan semakin meningkat apabila jumlah barang yang dipesan semakin meningkat (lihat garis lurus yang ditarik dari titik asal). Misalkan nilai Q pada saat biaya pesan = biaya simpan dinyatakan dengan Q*. Akan ditunjukkan bahwa biaya persediaan total akan minimum pada saat Q = Q*. Selanjutnya untuk mencari nilai Q* sehingga diperoleh biaya persediaan total , akibatnya diperoleh yang minimum, maka haruslah
5
⁄
( Akan
)
ditunjukkan Q* meminimumkan fungsi biaya C. Karena nilai D, K, dan Q selalu positif, maka
Selanjutnya, untuk
setiap Q. Dengan demikian C adalah fungsi konveks sehingga C mencapai minimum mutlak di Q*. Biaya persediaan total mencapai minimum di Q* dengan nilai
⁄
⁄
⁄ ⁄
(
⁄
) ⁄
⁄
⁄
Dengan demikian terlihat bahwa nilai Q* yang meminimumkan biaya persediaan total terjadi tepat ketika biaya pesan sama dengan biaya simpan. Nilai Q* tersebut biasa dikenal dengan EOQ (Economic Order Quantity).
Model EOQ dengan Backorder Pada model EOQ dasar, diasumsikan bahwa pesanan akan datang tepat pada saat persediaan habis sehingga masalah kekurangan persediaan tidak pernah terjadi. Model EOQ dengan backorder, memungkinkan terjadinya kekurangan persediaan yang dapat diduga sebelumnya dan konsumen bersedia menunggu sampai pesanan datang. Model EOQ dengan backorder dapat digambarkan pada Gambar 3 sebagai berikut. Misalkan t1 adalah periode waktu ketika persediaan tersedia, t2 adalah periode waktu ketika persediaan tidak tersedia, T1 adalah waktu pada saat persediaan tepat habis dan T adalah waktu pemesanan persediaan.
6 Tingkat Persediaan
S Q T
T1 0
Waktu s
t1 t2
Gambar 3 Model EOQ dengan backorder Misalkan S ialah tingkat persediaan barang di awal periode pemesanan dan Q adalah jumlah barang yang dipesan setiap kali pesanan. Selama periode waktu [0, T1] persediaan S masih ada dan habis digunakan tepat di T. Selama periode waktu [T1, T] terjadi kekurangan persediaan sebesar s akibat ada permintaan konsumen yang belum dapat dipenuhi tetapi dapat dipenuhi pada periode berikutnya (Gambar 3). Dari Gambar 3 diperoleh hubungan kesebangunan segitiga sebagai berikut
Pada model ini, biaya persediaan total (C) adalah jumlah biaya pemesanan, biaya penyimpanan dan biaya kekurangan persediaan. Biaya pesan pada model ini bergantung pada frekuensi pesanan (D/Q) dan biaya sekali pemesanan (K), yaitu iaya esan Persediaan rata-rata selama periode t1 sebesar sehingga ersediaan rata rata biaya enyim anan ro orsi a tu ) ( ( rata rata ) ( ) selama eriode t ting at ersediaan selama (
)( )
(
)(
)
Persediaan rata-rata yang habis selama periode t2 sebesar s/2. Jika s1 ialah biaya kekurangan persediaan maka ro orsi a tu rata rata biaya ersediaan rata rata ada saat ( ehabisan ersediaan ) ( )( ) yang habis selama selama eriode ersediaan
7 ( )( )
Dengan demikian biaya persediaan total adalah
dengan C : Biaya persediaan total D : Jumlah permintaan dalam satu periode K : Biaya pesan setiap kali pemesanan dibuat h : Biaya penyimpanan persediaan per unit per periode Q : Jumlah pesanan ekonomis tiap periode s : Jumlah kekurangan persediaan pada setiap siklus persediaan s1 : Biaya kekurangan persediaan tiap unit per satuan waktu
ANALISIS MODEL PERSEDIAAN BARANG EOQ DENGAN DISKON, BACKORDER, DAN PENUNDAAN PEMBAYARAN Pada umumnya, perusahaan sebagai pihak pembeli harus melunasi pembayaran pembelian segera setelah pesanan datang. Dalam berbagai situasi, perusahaan diperbolehkan melakukan penundaan pembayaran pembelian selama periode waktu tertentu sebelum melunasinya kepada supplier. Artinya, perusahaan tidak harus langsung melunasi pembayaran ketika pesanan datang. Jika pembayaran pembelian dilakukan masih dalam periode penundaan, maka perusahaan tidak harus membayar bunga. Tetapi jika pembayaran melewati periode penundaan, maka perusahaan sebagai pembeli harus membayar bunga kepada supplier. Selama periode penundaan tersebut, perusahaan bebas menjual produk, mengumpulkan pendapatan, dan mendapatkan bunga dari hasil penjualan. Model yang digunakan dalam karya ilmiah ini ialah model persediaan barang dengan mempertimbangkan diskon pada kondisi backorder dan adanya penundaan pembayaran. Asumsi Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model persediaan ini ialah: 1 Model hanya untuk satu produk yang sama. 2 Persediaan yang dipesan akan datang secara serentak pada saat persediaan periode sebelumnya tepat habis (lead time = 0). 3 Shortage (kekurangan persediaan) diperbolehkan selama konsumen bersedia menunggu pesanannya datang. Menunda permintaan barang dari pembeli untuk dipenuhi disebut sebagai backlogging. 4 Tingkat permintaan konstan pada waktu t , yaitu D(t) = α, untuk 0 < t < T.
8 5 Misalkan b0 ialah batas atas rasio backorder. Selama periode kekurangan persediaan, terdapat proporsi terhadap permintaan yang tidak dapat dipenuhi (b), yaitu batas atas rasio permintaan yang tidak dapat dipenuhi (b0) dengan euntungan marjinal er unit π0), yang bergantung pada jumlah kekurangan persediaan dan potongan harga (π) pada kondisi backorder yang diberikan oleh manajer persediaan. Jadi tingkat backorder didefinisikan sebagai berikut
Misalkan a
π, ≤ ≤ , ≤ ≤ π , ma a a , dengan ≤
≤ .
Model persediaan dengan diskon pada kondisi backorder dan penundaan pembayaran M dapat digambarkan pada Gambar 4 berikut. Tingkat persediaan I(t)
S Q M
T1 M
0
T
Waktu s
Gambar 4 Model persediaan dengan kondisi kekurangan persediaan dan penundaan pembayaran pada waktu M Misalkan periode penundaan pembayaran sebesar M dengan 0 < M < T dan jumlah barang yang dipesan untuk setiap kali pemesanan sebesar Q unit. Tingkat persediaan pada awal periode ialah S unit. T1 adalah waktu pada saat persediaan tepat habis, T adalah waktu pemesanan dan α adalah jumlah permintaan dalam satu periode. Persediaan sebanyak S unit ini akan habis digunakan selama [0, T1]. Selama periode [T1, T] terjadi kekurangan persediaan sebesar s unit sehingga ada permintaan konsumen yang belum dapat dipenuhi, tetapi dapat dipenuhi pada periode berikutnya. Jumlah persediaan pada setiap awal siklus persediaan selama periode [0, T1] ialah sehingga waktu ketika persediaan habis (T1) ialah Jumlah persediaan yang dipesan oleh konsumen tetapi belum dapat dipenuhi (s) selama periode [T1, T] ialah
sehingga
9
Jadi waktu pemesanan persediaan (T) ialah (
)
Dari Gambar 4 terlihat bahwa pada periode (0, T) tingkat persediaan I(t) akan berubah setiap bertambahnya waktu. Karena permintaan diasumsikan diketahui dan konstan maka setiap bertambahnya t, jumlah persediaan I(t) akan berkurang sebesar α pada periode (0, T1) dan berkurang sebesar α pada periode (T1, T). Jadi laju perubahan persediaan terhadap waktu ialah konstan dan dipengaruhi oleh tingkat permintaan dan tingkat kekurangan persediaan. Laju perubahan persediaan dapat dirumuskan sebagai { Untuk periode (0, T1) diperoleh ∫ Karena I(T1) = 0, maka α T1 – t), untuk t (0, T1). Untuk periode (T1, T) diperoleh
, sehingga
Jadi I(t) = –αt
αT1 =
∫ Karena I(T1) = 0, maka , sehingga bαT1 = bα T1 – t), untuk t (T1, T). Jadi tingkat persediaan barang di setiap waktu t ialah
Jadi, I(t) = –bαt +
{ Dari Gambar 4 terlihat bahwa pada periode (0, T1) persediaan barang masih ada tetapi dengan bertambahnya waktu, persediaan semakin berkurang. Pada periode ini perusahaan mengeluarkan biaya penyimpanan. Total jumlah persediaan H selama periode (0, T1) ialah ∫ Penurunan Persamaan (8) diberikan di Lampiran 1. Di Gambar 4 juga terlihat bahwa pada periode (T1, T) persediaan barang telah habis dan perusahaan mengalami kekurangan persediaan. Pada periode ini perusahaan mengeluarkan biaya karena kekurangan persediaan. Backorder adalah permintaan yang belum dapat dipenuhi, tetapi kemudian dapat dipenuhi pada periode berikutnya. Dalam kondisi backorder, perusahaan tidak mengalami kehilangan penjualan ketika persediaan habis karena konsumen bersedia menunggu pesanannya sampai terpenuhi pada tahap produksi selanjutnya, tetapi perusahaan harus mengeluarkan biaya untuk kekurangan persediaan. Total jumlah persediaan yang belum terpenuhi A selama periode (T1, T) ialah ∫ Penurunan Persamaan (9) diberikan di Lampiran 1.
10 Jika konsumen tidak bersedia menunggu, maka perusahaan akan mengalami kehilangan penjualan (lost sale). Total jumlah penjualan yang hilang E dalam satu siklus persediaan yaitu
Total barang yang dipesan (Q) selama periode pemesanan harus dapat memenuhi permintaan selama periode (0, T1) dan kekurangan persediaan selama periode (T1, T). Jadi Q = α 1 + α(T – T1) = S+s. Pada periode 0 sampai T, terdapat dua kondisi penundaan pembayaran pembelian yang mungkin terjadi, yaitu 1 jika penundaan pembayaran pembelian dilakukan sebelum persediaan habis (M ≤ T1), 2 jika penundaan pembayaran pembelian dilakukan sesudah persediaan habis (M ≥ T1). Kasus 1 : Model persediaan dengan penundaan pembayaran (M) dilakukan sebelum persediaan habis diilustrasikan pada Gambar 5. Tingkat persediaan I(t)
S Q M
T1
0
T
Waktu
Gambar 5 Kasus 1 : M ≤ T1 Pada Kasus 1 (lihat Gambar 5) penundaan pembayaran pembelian dilakukan pada saat persediaan masih ada, sehingga perusahaan mendapatkan bunga sebesar Ie yang diperoleh dari hasil penjualan pada periode (0, T1). Total bunga yang diperoleh perusahaan I1 adalah hasil kali antara biaya pembelian per unit sebesar P dengan bunga yang diterima per unit dan tingkat persediaan barang pada periode (0, T1). ∫
∫
11
∫
(
(
)|
)
( )
Karena pembayaran dilakukan setelah waktu periode penundaan pembayaran maka perusahaan dikenakan bunga sebesar Ir sehingga total bunga yang harus dibayar R1 adalah hasil kali antara biaya pembelian per unit sebesar P dengan bunga persediaan per unit dan tingkat persediaan barang pada periode (M, T1) ∫ Penurunan persamaan (13) diberikan di Lampiran 2. Dengan memperhatikan persamaan (8), (9), (10), (12), dan (13), maka biaya persediaan total (C1) selama satu periode pada kasus M ≤ T1 adalah (biaya pemesanan + biaya penyimpanan periode (0, T1) + biaya kekurangan persediaan periode (T1, T) + biaya penjualan yang hilang + bunga yang harus dibayar – bunga yang diterima) per satu periode. Jadi }
{
, ,
, , a
dengan , ,
α
α
a
α
a a
Penurunan persamaan (14) diberikan di Lampiran 3. Nilai S, s, yang meminimumkan C1(S, s, ) diperoleh bila , , sehingga diperoleh α α α
,
, ,
,
, ,
, , , ,
, ,
Penurunan persamaan (15), (16), (17) diberikan di Lampiran 4. Dari persamaan (15) dan (16) diperoleh
12 Dari persamaan (16) dan (17) diperoleh
Nilai s pada persamaan (19) merupakan jumlah kekurangan persediaan yang optimal yang mengakibatkan biaya persediaan total minimum, jika penundaan pembayaran dilakukan saat persediaan masih ada. Jumlah persediaan pada awal periode yang optimal sehingga biaya persediaan total minimum pada kondisi ini, dapat dicari dengan menyubstitusikan persamaan (19) ke persamaan (18) sehingga akan diperoleh
Penurunan persamaan (18), (19), (20) diberikan di Lampiran 5. Kasus 2 : Model persediaan dengan penundaan pembayaran (M) dilakukan sesudah persediaan habis diilustrasikan pada Gambar 6. Tingkat persediaan I(t)
S Q T1 M
T
Waktu s
Gambar 6 Kasus 2 : M ≥ T1 Pada Kasus 2 (lihat Gambar 6) penundaan pembayaran pembelian dilakukan pada saat persediaan telah habis. Dalam kondisi ini, perusahaan tetap mendapatkan bunga sebesar Ie yang diperoleh dari hasil penjualan pada periode (0, M) sehingga besar bunga yang diperoleh perusahaan I2 adalah hasil kali antara biaya pembelian per unit sebesar P dengan bunga pendapatan per unit dan jumlah persediaan pada periode (0, M). [∫
∫
∫ (
]
∫ )
13 [
]
[
(
[
) ]
]
Dengan memperhatikan persamaan (7), (8), (9), dan (20) maka biaya persediaan total (C2) selama satu periode pada kasus M ≥ T1 adalah (biaya pemesanan + biaya penyimpanan selama periode (0, T1) + biaya kehabisan persediaan selama periode (T1, T) – bunga yang diterima) per satu periode. Jadi }
{
, ,
, , a
dengan , ,
α
α
a
a
e
a
[
a
]
α
Penurunan persamaan (22) diberikan di Lampiran 6. Nilai S, s, yang meminimumkan C2(S, s, ) diperoleh bila , , sehingga diperoleh [ a ] e α e a α
,
, ,
ea
α , ,
,
, ,
, ,
α
, ,
Penurunan persamaan (23), (24), (25) diberikan di Lampiran 7. Dari persamaan (23) dan (24) diperoleh
Dari persamaan (24) dan (25) diperoleh dengan [[
] [
]
{ [[
} ]
[
]
]
]
Jika s ≥ , ma a [
]
⁄
Penurunan persamaan (26), (27), (28) diberikan di Lampiran 8. Nilai S pada persamaan (26) merupakan jumlah persediaan pada awal periode yang optimal sehingga biaya persediaan total minimum jika pembayaran dilakukan pada saat persediaan habis, sedangkan nilai s pada persamaan (28)
14 merupakan jumlah kekurangan persediaan yang optimal sehingga biaya persediaan total minimum pada kondisi ini. Analisis Hubungan Antarvariabel Kasus 1 : M ≤ T1 1 Hubungan antara C1 dan s1 Dari persamaan (14) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan diperoleh , dengan γ, δ konstanta, γ > dan (
a
) a
a
{α
α
a
a
α
}
a
Nilai S, s, α, K, h, s2, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan a . Jika δ > 0, maka hubungan antara C1 dan s1 dapat dilihat pada grafik berikut. Semakin besar biaya kekurangan persediaan maka semakin besar juga biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan. C1
δ -δ/γ
s1 0
Gambar 7 Hubungan antara biaya e urangan ersediaan total Kasus
ersediaan
dengan biaya
2 Hubungan antara C1 dan s2 Dari persamaan (14) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan diperoleh , dengan ε, θ konstanta, ε ≥ 0 dan a α a α a ( )a a
{α
α
}
a
Nilai S, s, α, K, h, s1, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan a . Jika θ > 0, maka hubungan antara C1 dan s2 dapat dilihat pada grafik berikut. Semakin besar biaya penjualan yang hilang maka semakin besar juga biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan.
15 C1
θ -θ/ε
s2 0
Gambar 8 Hubungan antara biaya enjualan yang hilang ersediaan total Kasus
dengan biaya
3 Hubungan antara C1 dan h Dari persamaan (14) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan diperoleh , dengan μ, ρ konstanta, μ > 0, dan (
a
)
{α
α
a
a
α
}
a
Nilai S, s, α, K, s1, s2, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan a . Jika ρ > 0, maka hubungan antara C1 dan h dapat dilihat pada grafik berikut. Semakin besar biaya penyimpanan maka semakin besar juga biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan. C1
ρ -ρ/μ
h 0
Gambar 9 Hubungan antara biaya enyim anan ersediaan total Kasus
er unit
dengan biaya
4 Hubungan antara C1 dan M Dari persamaan (14) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan diperoleh , dengan σ, ω konstanta, σ > 0 dan (
a
)
16 {α
α
a
a
}
a
Nilai S, s, α, K, h, s1, s2, a , P, Ir, Ie, selalu bernilai positif dengan a .. Jika ω < 0, maka hubungan antara C1 dan M dapat dilihat pada grafik berikut. Semakin besar waktu penundaan pembayaran maka semakin kecil biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan. C1
, σ S2 ω
( (S - (-ω/σ
1/2
/α, M
0 Gambar 10 Hubungan antara eriode enundaan embayaran ersediaan total Kasus
dengan biaya
Kasus 2 : M ≥ T1 1 Hubungan antara C2 dan s1 Dari persamaan (22) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan diperoleh , dengan γ, δ1 konstanta, γ > 0 dan (
a
) a {α
a
a α
a a
e
[
a
α
]}
Nilai S, s, α, K, h, s2, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan a . Jika δ1 > 0, maka hubungan antara C1 dan s1 dapat dilihat pada grafik berikut. Semakin besar biaya kekurangan persediaan maka semakin besar juga biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan.
17 C2
δ1 -δ1/γ
s1
0 Gambar 11 Hubungan antara biaya e urangan persediaan total (C2) Kasus 2
ersediaan
dengan biaya
2 Hubungan antara C2 dan s2 Dari persamaan (22) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan diperoleh , dengan ε, θ1 konstanta, ε ≥ 0 dan a α a α a ( )a a
e
{α
[
a
]}
α
a
Nilai S, s, α, K, h, s1, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan a . Jika θ1 > 0, maka hubungan antara C1 dan s2 dapat dilihat pada grafik berikut. Semakin besar biaya penjualan yang hilang maka semakin besar juga biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan. C2
θ1 -θ1/ε
s2 0
Gambar 12 Hubungan antara biaya enjualan yang hilang persediaan total (C2) Kasus 2
2
dengan biaya
3 Hubungan antara C2 dan h Dari persamaan (22) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan diperoleh , dengan μ, ρ1 konstanta, μ > 0 dan (
a
)
18 {α
α
a
a
e
a
[
a
α
]}
Nilai S, s, α, K, s1, s2, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan a . Jika ρ1 > 0, maka hubungan antara C1 dan h dapat dilihat pada grafik berikut. Semakin besar biaya penyimpanan maka semakin besar juga biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan. C2
ρ1 -ρ1/γ
h
0 Gambar 13 Hubungan antara biaya enyim anan persediaan total (C2) Kasus 2
er unit
dengan biaya
4 Hubungan antara C2 dan M Dari persamaan (22) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan diperoleh , dengan σ1, ω konstanta, σ1 ≥ 0 dan a e (
a
)
{α
α
a
a
}
a
Nilai S, s, α, K, h, s1, s2, a , P, Ir, Ie, selalu bernilai positif dengan a . Jika ω > 0 maka hubungan antara C1 dan M dapat dilihat pada grafik berikut. Semakin besar waktu penundaan pembayaran maka semakin kecil biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan. C2 (0, -σ1S2 ω
( (S 0
ω/σ1)1/2 / α, M
Gambar 14 Hubungan antara eriode enundaan embayaran ersediaan total Kasus
dengan biaya
19
IMPLEMENTASI Pada karya ilmiah ini dibahas empat ilustrasi. Setiap ilustrasi menunjukkan biaya persediaan total yang minimum dengan memperhatikan proporsi permintaan yang tidak dapat terpenuhi, biaya kekurangan persediaan (s1), biaya karena penjualan yang hilang (s2), waktu penundaan pembayaran yang diperbolehkan (M) dan biaya penyimpanan (h). Ilustrasi 1 meminimumkan biaya persediaan dengan biaya kekurangan persediaan (s1) yang berbeda - beda. Ilustrasi 2 meminimumkan biaya persediaan dengan biaya karena adanya penjualan hilang (s2) yang berbeda - beda. Ilustrasi 3 meminimumkan biaya persediaan dengan biaya penyimpanan (h) yang berbedabeda, sedangkan Ilustrasi 4 meminimumkan biaya persediaan dengan waktu penundaan pembayaran (M) yang berbeda-beda. Diberikan data untuk Ilustrasi 1, 2, dan 3 sebagai berikut: Biaya pemesanan : K = $50 Biaya pembelian : P = $100/kg Bunga yang dikenakan pada persediaan : Ir = 0.15 Bunga yang diperoleh perusahaan dari hasil penjualan : Ie = 0.13, Jumlah permintaan persediaan : α = 12 kg/hari Waktu penundaan pembayaran pembelian : M = 0.3 hari. Ilustrasi 1 Data yang digunakan yaitu Biaya penjualan yang hilang : s2 = $0.3/hari Biaya penyimpanan : h = $0.6 /kg/hari Proporsi backorder : b = a0 = 0.2336. Variabel yang akan diubah nilainya yaitu biaya kekurangan persediaan : s1 = $0.15/hari hingga s1 = $1.5/hari. Hasil dari Ilustrasi 1 dapat dilihat di Tabel 1. Tabel 1 Total biaya persediaan minimum Kasus s (unit) S (unit) T (hari) T1(hari) C ($) 1 11.21 22.48 5.87 1.87 4.44 2 14.56 0.39 5.23 0.032 13.13 Proses perhitungannya dapat dilihat di Lampiran 9. Dari Kasus 1 diperoleh C1(S, s, ) = $4.44/hari dan kasus 2 diperoleh C2(S, s, ) = $13.33/hari. Karena C1(S, s, ) < C2(S, s, ) maka diambil s = 11.21 kg, S = 22.48 kg, T1 = 1.87 hari dan T = 5.87 hari dengan biaya persediaan total minimumnya sebesar $4.44/hari. Tingkat persediaannya adalah { Model dari Ilustrasi 1 dapat dilihat pada gambar berikut.
20 Tingkat persediaan I(t)
Q = 33.69 kg
S = 22.48 kg
M 0
T1
1.87 hari
T
Waktu (t) s = 11.21 kg
4 hari 5.87 hari
Gambar 15 Ilustrasi 1 Gambar 15 memperlihatkan bahwa dalam satu siklus persediaan perusahaan dapat memesan barang sebesar 33.69 kg secara bertahap selama 5.87 hari dengan persediaan awalnya sebesar 22.48 kg dengan waktu persediaan habis selama 1.87 hari dan kekurangan persediaan sebesar 11.21 kg serta biaya persediaan total $4.44/hari pada kondisi penundaan pembayaran pembelian dilakukan pada saat persediaan mulai berkurang ( M ≤ T1). Proses perhitungan nilai s1 selanjutnya dapat dilihat pada Tabel 2 untuk Kasus 1 dan Tabel 3 untuk Kasus 2 di Lampiran 9. Dari hasil perhitungan tersebut diperoleh C1(S, s, ) < C2(S, s, ) untuk semua nilai s1. Ilustrasi 2 Data yang digunakan yaitu Biaya kekurangan persediaan : s1 = $0.35/hari Biaya penyimpanan : h = $0.6/kg/hari Proporsi backorder : b = a0 = 1.0000. Variabel yang akan diubah nilainya yaitu biaya penjualan yang hilang : s2 = $0.15/hari hingga s2 = $1.5/hari. Proses perhitungannya dapat dilihat di Lampiran 10. Dari Kasus 1 diperoleh C1(S, s, ) = $4.85/hari dan Kasus 2 diperoleh C2(S, s, ) = $30.84/hari. Karena C1(S, s, ) < C2(S, s, ) maka diambil s = 10.29 kg, S = 22.15 kg, T1 = 1.85 hari dan T = 2.70 hari dengan total biaya persediaan minimum sebesar $4.85/hari. Tingkat persediaannya adalah { Model dari Ilustrasi 2 dapat dilihat pada gambar berikut.
21 Tingkat persediaan I(t)
Q = 32.44 kg
S = 22.15 kg
M 0
T1
1.85 hari
T
Waktu (t) s = 10.29 kg
0.85 hari
2.70 hari Gambar 16 Ilustrasi 2 Gambar 16 memperlihatkan bahwa dalam satu siklus persediaan perusahaan dapat memesan barang sebesar 32.44 kg secara bertahap selama 2.70 hari dengan persediaan awal sebesar 22.15 kg dengan waktu persediaan habis 1.85 hari dan kekurangan persediaan sebesar 10.29 kg serta biaya persediaan total minimumnya $4.85/hari pada kondisi penundaan pembayaran pembelian dilakukan pada saat persediaan mulai berkurang ( M ≤ T1). Proses perhitungan nilai s2 selanjutnya dapat dilihat pada Tabel 4 untuk Kasus 1 dan Tabel 5 untuk Kasus 2 di Lampiran 10. Dari hasil perhitungan tersebut diperoleh C1(S, s, ) < C2(S, s, ) untuk semua nilai s2. Ilustrasi 3 Data yang digunakan ialah Biaya kekurangan persediaan : s1 = $0.35/hari Biaya penjualan yang hilang : s2 = $0.3/hari Proporsi backorder : b = a0 = 0.00040. Variabel yang akan diubah nilainya adalah biaya penyimpanan : h = $0.15 /kg/hari hingga h = $1.5 /kg/hari. Proses perhitungan dapat dilihat di Lampiran 11. Dari Kasus 1 diperoleh C1(S, s, ) = $2.03/hari dan Kasus 2 diperoleh C2(S, s, ) = $20.38/hari. Karena C1(S, s, ) < C2(S, s, ) maka diambil s = 0.00823 kg, S = 26.79 kg, T1 = 2.2325 hari dan T = 3.95 hari dengan total biaya persediaan minimum sebesar $2.03/hari. Tingkat persediaannya adalah { Model dari Ilustrasi 3 dapat dilihat pada gambar berikut.
22 Tingkat persediaan I(t)
Q = 26.80 kg
S = 26.79 kg
M 0
T1
2.23 hari
T
Waktu (t) s = 0.00823 kg
1.72 hari
3.95 hari Gambar 17 Ilustrasi 3 Gambar 17 memperlihatkan bahwa dalam satu siklus persediaan perusahaan dapat memesan barang sebesar 26.80 kg secara bertahap selama 3.95 hari dengan persediaan awalnya sebesar 26.79 kg dengan waktu persediaan habis 2.23 hari dan kekurangan persediaan sebesar 0.00823 kg serta biaya persediaan total minimumnya $2.03/hari pada kondisi penundaan pembayaran pembelian dilakukan pada saat persediaan mulai berkurang ( M ≤ T1). Proses perhitungan nilai h selanjutnya dapat dilihat pada Tabel 6 untuk Kasus 1 dan Tabel 7 untuk Kasus 2 di Lampiran 11. Dari hasil perhitungan tersebut diperoleh C1(S, s, ) < C2(S, s, ) untuk semua nilai h. Ilustrasi 4 Diberikan data sebagai berikut: Biaya pemesanan : K = $500 Biaya pembelian : P = $120/kg Bunga yang dikenakan pada persediaan : Ir = 0.4 Bunga yang diperoleh perusahaan dari hasil penjualan : Ie = 0.1 Jumlah permintaan persediaan : α = 20 kg/hari Biaya penyimpanan : h = $0.6/unit/hari Biaya kekurangan persediaan : s1 = $0.4/hari Biaya penjualan yang hilang : s2 = $0.2/hari. Ilustrasi 4a Data yang digunakan ialah proporsi backorder : b = a0 = 0.1044. Variabel yang akan diubah nilainya ialah waktu penundaan pembayaran pembelian : M = 0.2 hari hingga M = 1.4 hari. Proses perhitungan dapat dilihat di Lampiran 12. Dari Kasus 1 diperoleh C1(S, s, ) = $392.67/hari dan Kasus 2 diperoleh C2(S, s, ) = $297.41/hari. Karena C2(S, s, ) < C1(S, s, ) maka diambil s = 3.56 kg, S = 0, T1 = 0.000022 hari dan T = 1.70 hari dengan total biaya persediaan minimum sebesar $297.41/hari. Tingkat persediaannya adalah {
23 Model dari Ilustrasi 4a dapat dilihat pada gambar berikut. Tingkat persediaan I(t)
Q = 3.56 kg
S=0
M
T1 0 0.000022 hari
T
Waktu (t) s = 3.56 kg
1.69 hari
1.70 hari Gambar 18 Ilustrasi 4a Gambar 18 memperlihatkan bahwa dalam satu siklus persediaan perusahaan dapat memesan barang sebesar 3.56 kg secara bertahap selama 1.70 hari dengan waktu persediaan habis 0.000022 hari dan kekurangan persediaan sebesar 3.56 kg serta biaya persediaan total minimumnya $297.41/hari pada kondisi penundaan pembayaran ketika persediaan habis (M ≥ T1). Proses perhitungan nilai M selanjutnya dapat dilihat pada Tabel 8 untuk Kasus 1 dan Tabel 9 untuk Kasus 2 di Lampiran 12. Dari hasil perhitungan tersebut diperoleh C2(S, s, ) < C1(S, s, ) untuk nilai M dari 0.2 sampai 1.4. Ilustrasi 4b Data yang digunakan ialah proporsi backorder : b = a0 = 1.0000. Variabel yang akan diubah nilainya ialah waktu penundaan pembayaran pembelian : M = 1.6 hari hingga M = 2 hari. Proses perhitungan dapat dilihat di Lampiran 13. Dari Kasus 1 diperoleh C1(S, s, ) = $39.01/hari dan Kasus 2 diperoleh C2(S, s, ) = $76.47/hari. Karena C1(S, s, ) < C2(S, s, ) maka diambil s = 20 kg, S = 42.19 kg, T1 = 2.11 hari dan T = 3.11 hari dengan biaya total persediaan minimum sebesar $39.01/hari. Tingkat persediaannya adalah { Model dari Ilustrasi 4b dapat dilihat pada gambar berikut.
24 Tingkat persediaan I(t)
Q = 62.19 kg
S = 42.19 kg
M 0
T1
2.11 hari
T
Waktu (t) s = 20 kg
1 hari
3.11 hari
Gambar 19 Ilustrasi 4b Gambar 19 memperlihatkan bahwa dalam satu siklus persediaan perusahaan dapat memesan barang sebesar 62.19 kg secara bertahap selama 3.11 hari dengan persediaan awalnya sebesar 42.19 kg dengan waktu persediaan habis 2.11 hari dan kekurangan persediaan sebesar 20 kg serta biaya persediaan total minimumnya $39.01/hari pada kondisi penundaan pembayaran pembelian dilakukan pada saat persediaan mulai berkurang ( M ≤ T1). Proses perhitungan nilai M selanjutnya dapat dilihat pada Tabel 10 untuk Kasus 1 dan Tabel 11 untuk Kasus 2 pada Lampiran 11. Dari hasil perhitungan tersebut diperoleh C1(S, s, ) < C2(S, s, ) untuk nilai M dari 1.6 sampai 2.
SIMPULAN Dari keempat ilustrasi pada model inventori dengan diskon, backorder, dan penundaan pembayaran untuk diperoleh biaya persediaan total minimum maka kebijakan untuk jumlah kekurangan persediaan harus yang lebih tinggi, biaya kehilangan penjualan yang tinggi dan waktu penundaan pembayaran yang diijinkan lebih lama. Selain itu, untuk biaya kekurangan persediaan yang tinggi diberikan diskon yang lebih tinggi untuk persediaan yang kurang. Karya ilmiah ini membahas model persediaan deterministik dengan kondisi kekurangan persediaan dimungkinkan terjadi. Jika barang dalam persediaan lebih kecil dari permintaan, maka ada permintaan yang tidak terpenuhi. Hal ini memungkinkan untuk menunda permintaan barang dari pembeli untuk dipenuhi dan manajer perusahaan akan menawarkan diskon kepada konsumen yang bersedia menunggu pesanannya sampai terpenuhi. Manajer perusahaan sebagai pihak pembeli diperbolehkan melakukan penundaan pembayaran pembelian barang selama periode waktu tertentu. Jika pembayaran pembelian dilakukan masih dalam periode penundaan maka pembeli tidak harus membayar bunga, tetapi jika pembayaran melewati periode penundaan, maka pembeli harus membayar bunga kepada supplier. Oleh karena itu, kondisi ini dapat menguntungkan pihak manajer perusahaan sebagai pembeli yang boleh menunda pembayaran karena pembayaran dapat ditunda sampai akhir periode penundaan.
25 Dengan waktu penundaan pembayaran yang tepat perusahaan dapat mengetahui waktu habisnya persediaan serta pemesanan kembali sehingga total biaya persediaan yang dikeluarkan minimum. Kebijakan pemesanan yang optimal dan diskon yang ditawarkan untuk kekurangan persediaan yang optimal dapat menentukan minimum total biaya persediaan setiap pemesanan.
DAFTAR PUSTAKA Pal M, Chandra S. 2012. A deterministic inventory model with permissible delay in payment and price discount on backorders. Operational Research Society of India. 49(3):271-279. doi:10.1007/s12597-012-0076-3. Prawirosentono S. 2005. Riset Operasi dan Ekonofisika. Jakarta (ID): Bumi Aksara. Siswanto. 2007. Operations Research. Jakarta (ID): Erlangga.
26 Lampiran 1 Penurunan persamaan (8) dan (9) ∫
∫
(
∫
)| ( )
∫
∫
∫
)|
(
[(
)
)]
(
(
)
(
) (
)
(
)
Lampiran 2 Penurunan persamaan (13) ∫
∫
∫
(
[(
)
)|
(
)]
(
)
(
) (
) Karena
, maka
27 (
)
(
)
Lampiran 3 Penurunan persamaan (14) {
, ,
} α
α
{
α
a
α
α
}
α {α
a
a
a
α
α
a
} , , a
dengan sehingga
Lampiran 4 Penurunan persamaan (15), (16), dan (17) , ,
[
, ,
]
a
dengan , ,
α
a
α
a
α
a
maka (
α ( [
a
a
)
, ,
) , ,
α
a
a
[
α
, , a
α
, ,
]
]
28 α
, , , ,
[
, ,
]
a
dengan , ,
α
maka (
a
α
)( (
(
(
α
a
)
, ,
)
a
)
α
)
a
a
α
(
)
, ,
)
, ,
a
(
) a
a
(
α
a
α
, ,
α
, , , ,
[
, ,
]
a
dengan , ,
α
a
α
a
a
maka (
s
)( (
(a
)[
)
a
α
a
(
)
)
(
)
, ,
a
( α
)
a
(
) a
α α
, , , ,
, ,
, ,
]
α
29 Lampiran 5 Penurunan persamaan (18), (19), dan (20) Dari persamaan 15 dan 16 diperoleh [
]
Dari Persamaan 16 dan 17 diperoleh s s s s
Substitusi persamaan (19) ke persamaan (18) akan menghasilkan (
)
Lampiran 6 Penurunan persamaan (22) {
, , α
{ a
} α
{α
α a
a
e
α
α α
a a
[
a e
[
, , a
dengan sehingga
]}
α a
α
]}
30 Lampiran 7 Penurunan persamaan (23), (24), dan (25) , ,
[
, ,
]
a
dengan , ,
α
a
α
a
e
a
[
a
α
]
maka ea
e
(
α (
[
)
, ,
)
a ea
e
a
, ,
α
a
]
a
[
ea
e
, ,
α
]
a
α ea α ea a ]
e e
[
e
, , , , ea
, ,
[
, ,
α
, ,
]
a
dengan , , maka (a
α
a
α
)(
a
a
( (
a
)
α
)
a
α
(a )
a , ,
) (
)
, ,
)
, ,
a
( α
a
) a ( a
α α
, , , ,
e
[
a
α
]
31 , ,
[
, ,
]
a
dengan , ,
α
a
α
a
e
a
[
a
α
maka (
s
)( (
a
(
a
)
2
)(
2
( (
a
(
)
(
a
)
( (
(
, ,
a
)
]
)
)
)
a a
)
)
(
e
)
(
)(
α
, ,
)
a
) [(
α
)
)
( a α
(
)
)(
(
)
(
)
α α
, ,
Lampiran 8 Penurunan persamaan (26), (27), dan (28) Dari Persamaan 23 dan 24 diperoleh [ ]
Dari persamaan (24) dan (25) diperoleh α
e
a
α
]
32 e
α e
a e e
a
α
α a
α
a
α
untuk memudahkan penyelesaian, maka persamaan (26.1) disederhanakan dengan memperhatikan α – S terlebih dahulu. [
]
α [
]
]
α [
]
[
]
α [
]
[
]
α [
]
[
[
[
[ {
[
]
]
]}
[
]
[
][
]
[ [
]
[
{
]
[
]
)
{
{
[
]
[
]
]
(
[
]
]
[
(
]
)} [
(
] }
[
]
)}
substitusi persamaan (26.2) ke persamaan (26.1)
e
[
] [
[ [ [
e
[
]
{
{ ]
[ [
]
(
[
[
] {
)}
]
e
] (
] }
[
] )}
[
]
]
]
33
[
]
[
a
]
[[
]
[
]
[ [
]
] ]
[[
[
]
]
[
[
]
]
[ ]
]
[
]
[ [
[[
]
] [
]
] {
[[
} ]
[
]
]
]
sehingga diperoleh persamaan (27) dengan [[
]
] [
{ [[
} ]
[
]
]
Ji a s ≥ , ma a ]
[ [
]
⁄
⁄
]
34
Lampiran 9 Proses perhitungan Ilustrasi 1 Tabel 2 Hasil perhitungan Ilustrasi 1 Kasus 1 (M ≤ T1) s1 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1.00 1.15 1.20 1.50
b= a0.
s
S
T
1/T
H
0.2336 11.21 22.48 5.87 0.17 21.05 0.2816 10.14 22.54 4.88 0.20 21.18 0.3212 9.25 22.60 4.28 0.23 21.28 0.3544 8.51 22.64 3.89 0.26 21.37 0.3824 7.87 22.68 3.60 0.28 21.44 0.4064 7.32 22.72 3.39 0.29 21.50 0.4276 6.84 22.75 3.23 0.31 21.56 0.4460 6.42 22.77 3.10 0.32 21.61 0.5528 3.98 22.92 2.51 0.40 21.89 0.5704 3.57 22.94 2.43 0.41 21.93 0.5756 3.45 22.95 2.41 0.41 21.95 0.6004 2.88 22.99 2.32 0.43 22.01
C1 (S,s, )
A
E
I1
R1
22.43 15.21 11.10 8.51 6.74 5.49 4.56 3.85 1.19 0.93 0.86 0.58
36.79 25.86 19.55 15.49 12.70 10.68 9.16 7.98 3.22 2.69 2.55 1.92
222.72 224.29 225.59 226.68 227.61 228.40 229.10 229.71 233.27 233.86 234.03 234.87
273.67 275.29 276.63 277.75 278.71 279.52 280.25 280.87 284.53 285.14 285.32 286.17
4.44 4.61 4.76 4.88 4.98 5.06 5.14 5.21 5.59 5.65 5.67 5.76
Q
T1
33.69 32.68 31.85 31.15 30.55 30.03 29.59 29.19 26.90 26.51 26.40 25.87
1.87 1.88 1.88 1.89 1.89 1.89 1.90 1.90 1.91 1.91 1.91 1.92
Tabel 3 Hasil perhitungan Ilustrasi 1 Kasus 2 (M ≥ T1) s1
b= a0.
0.15 0.2336 0.20 0.2816
k1
k2
k3
35.73 51.55
-410.88 -542.47
-1593.78 -2299.19
s
S
T
1/T
14.56 0.39 5.23 0.19 13.76 0.49 4.11 0.24
H
A
0.01 0.01
37.83 28.03
E 47.78 35.11
I2 1.39 1.61
C2 (S, s, )
Q
T1
13.13 15.69
14.95 14.25
0.032 0.041
2 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1.00 1.15 1.20 1.50
0.3212 0.3544 0.3824 0.4064 0.4276 0.4460 0.5528 0.5704 0.5756 0.6004
68.60 86.63 105.38 124.73 144.65 164.94 379.65 445.94 468.19 601.83
-666.97 -784.07 -893.19 -995.32 -1092.85 -1184.04 -1894.37 -2061.84 -2115.60 -2412.62
-2973.28 -3601.34 -4174.90 -4698.02 -5183.99 -5623.75 -8497.70 -9022.64 -9180.45 -9949.99
13.04 12.40 11.83 11.31 10.86 10.44 7.84 7.37 7.23 6.54
0.56 0.62 0.66 0.70 0.73 0.75 0.84 0.84 0.84 0.83
3.43 2.97 2.63 2.38 2.18 2.01 1.25 1.15 1.12 0.98
0.29 0.34 0.38 0.42 0.46 0.50 0.80 0.87 0.90 1.02
0.01 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.03 0.03 0.03 0.03
22.07 18.09 15.24 13.11 11.48 10.19 4.64 3.97 3.78 2.97
27.57 22.59 19.10 16.52 14.53 12.97 6.35 5.55 5.33 4.35
1.78 1.91 2.02 2.12 2.20 2.27 2.66 2.73 2.76 2.86
18.08 20.32 22.43 24.44 26.35 28.17 43.04 46.66 47.81 54.16
13.61 13.02 12.49 12.01 11.58 11.19 8.68 8.21 8.07 7.37
0.047 0.052 0.055 0.058 0.061 0.063 0.070 0.070 0.070 0.070
Lampiran 10 Proses perhitungan Ilustrasi 2 Tabel 4 Hasil perhitungan Ilustrasi 2 Kasus 1 (M ≤ T1)
s2 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45
b= a0.
s
S
1.0000 10.29 22.15 0.9932 13.62 22.61 0.6120 10.49 22.63 0.3824 7.87 22.68 0.2340 5.62 22.76 0.1340 3.68 22.86 0.0644 1.99 22.98
T
1/T
H
A
2.70 3.03 3.31 3.60 3.90 4.19 4.49
0.37 0.33 0.30 0,28 0,26 0,24 0,22
20.45 21.30 21.34 21.44 21.59 21.78 22.00
4.41 7.78 7.49 6.74 5.62 4.20 2.55
E 0.00 0.09 6.65 12.70 18.38 23.75 28.87
I1
R1
215.15 225.84 226.32 227.61 229.50 231.91 234.74
265.85 276.88 277.38 278.71 280.66 283.13 286.04
C1 (S,s, ) 4.85 4.78 4.84 4.98 5.18 5.44 5.75
Q
T1
32.44 36.23 33.12 30.55 28.38 26.54 24.97
1.85 1.88 1.89 1.89 1.90 1.91 1.91
35
36 3 0.50 1.00 1.15 1.20 1.50
0.0144 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004
0.49 0.03 0.03 0.03 0.04
23.11 4.78 25.39 7.83 26.08 8.74 26.31 9.05 27.70 10.88
0,21 0,13 0,11 0,11 0.09
22.25 26.85 28.34 28.84 31.96
0.71 0.08 0.10 0.11 0.18
33.79 68.54 78.83 82.25 102.82
237.90 296.66 315.82 322.34 362.86
289.29 349.09 368.40 374.95 415.47
6.09 10.50 12.02 12.54 15.70
23.60 25.41 26.11 26.34 27.74
1.93 2.12 2.17 2.19 2.31
Tabel 5 Hasil perhitungan Ilustrasi 2 Kasus 2 (M ≥ T1)
s2
b= a0.
k1
k2
k3
s
S
T
1/T
H
A
E
I2
C2(S, s, )
Q
T1
0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1.00 1.15 1.20 1.50
1.0000 0.9932 0.6120 0.3824 0.2340 0.1340 0.0644 0.0144 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004
224.21 222.67 144.43 105.38 83.37 69.97 61.32 55.45 53.86 53.86 53.86 53.86
-2728.80 -3455.20 -1677.67 -893.19 -492.55 -265.25 -123.75 -27.47 -1.48 -1.70 -1.77 -2.22
-25905.48 -25573.06 -10215.34 -4174.90 -1630.31 -555.82 -133.13 -6.89 -0.01 -0.01 -0.01 -0.01
18.44 20.99 16.03 11.83 8.27 5.29 2.79 0.68 0.03 0.04 0.04 0.04
1.59 1.55 1.07 0.66 0.31 0.02 -0.23 -0.44 -0.97 -1.11 -1.16 -1.45
1.67 1.89 2.27 2.63 2.97 3.29 3.60 3.89 6.46 7.26 7.53 9.16
0.60 0.53 0.44 0.38 0.34 0.30 0.28 0.26 0.15 0.14 0.13 0.11
0.11 0.10 0.05 0.02 0.00 0.00 0.00 0.01 0.04 0.05 0.06 0.09
14.16 18.48 17.49 15.24 12.18 8.71 5.05 1.33 0.10 0.13 0.14 0.21
0.00 0.14 10.16 19.10 27.08 34.20 40.60 46.44 78.41 88.17 91.45 111.2
3.56 3.56 2.74 2.02 1.42 0.93 0.54 0.23 0.51 0.67 0.73 1.14
30.84 28.04 24.63 22.43 20.97 19.98 19.32 18.88 19.82 20.78 21.14 23.58
20.03 22.53 17.10 12.49 8.59 5.31 2.57 0.24 -0.93 -1.08 -1.12 -1.41
0.13 0.13 0.09 0.05 0.02 0.0015 -0.01 -0.03 -0.08 -0.09 -0.09 -0.12
4 Lampiran 11 Proses perhitungan Ilustrasi 3 Tabel 6 Hasil perhitungan Ilustrasi 3 Kasus 1 (M ≤ T1) h
b= a0.
s
S
T
1/T
H
A
E
I1
R1
C1 (S,s, )
Q
T1
0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1.00 1.15 1.20 1.50
0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0372 0.1264 0.2336 0.9924 1.0000 1.0000 1.0000
0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.77 2.60 4.81 20.42 20.57 20.57 20.57
26.79 26.18 25.60 25.04 24.51 24.06 23.70 23.38 20.39 19.43 19.13 17.49
3.95 3.90 3.85 3.80 3.76 3.72 3.69 3.66 3.41 3.33 3.31 3.17
0.25 0.26 0.26 0.26 0.27 0.27 0.27 0.27 0.29 0.30 0.30 0.32
29.91 28.56 27.31 26.13 25.03 24.11 23.40 22.77 17.32 15.73 15.24 12.74
0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.66 2.23 4.12 17.50 17.63 17.63 17.63
20.56 20.56 20.56 20.56 20.56 19.81 17.97 15.77 0.16 0.00 0.00 0.00
336.15 318.73 302.52 287.41 273.30 261.52 252.40 244.44 176.21 156.59 150.64 120.51
388.80 371.32 355.00 339.74 325.43 313.45 304.14 296.00 225.22 204.46 198.12 165.61
2.03 2.38 2.73 3.07 3.41 3.73 4.06 4.37 7.17 7.92 8.16 9.51
26.80 26.19 25.61 25.05 24.52 24.82 26.30 28.18 40.81 40.00 39.70 38.06
2.23 2.18 2.13 2.09 2.04 2.00 1.97 1.95 1.70 1.62 1.59 1.46
37
38
5
Tabel 7 Hasil perhitungan Ilustrasi 3 Kasus 2 (M ≥ T1) h
b= a0.
k1
k2
k3
s
S
T
1/T
H
A
E
I2
0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1.00 1.15 1.20 1.50
0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0372 0.1264 0.2336 0.9924 1.0000 1.0000 1.0000
57.84 57.39 56.94 56.50 56.05 59.91 70.48 84.40 215.46 214.54 213.67 208.50
-0.48 -0.47 -0.47 -0.46 -0.46 -46.46 -190.36 -429.72 -4817.98 -4834.37 -4814.86 -4698.54
-0.01 -0.01 -0.01 -0.01 -0.01 -42.89 -485.04 -1618.08 -23924.03 -23658.38 -23459.16 -22281.48
0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 1.32 4.30 7.61 26.54 26.67 26.65 26.56
-0.28 -0.28 -0.28 -0.28 -0.28 -0.17 0.09 0.35 1.49 1.51 1.51 1.53
2.98 2.98 2.98 2.98 2.98 2.94 2.84 2.74 2.35 2.35 2.35 2.34
0.34 0.34 0.34 0.34 0.34 0.34 0.35 0.36 0.42 0.43 0.43 0.43
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.09 0.09 0.10 0.10
0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 1.95 6.10 10.33 29.58 29.63 29.60 29.39
36.05 36.06 36.06 36.07 36.08 34.12 29.73 24.97 0.20 0.00 0.00 0.00
0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.30 0.85 1.40 3.60 3.60 3.60 3.59
C2 (S, s, ) 20.38 20.38 20.38 20.37 20.37 20.62 21.18 21.76 24.18 24.22 24.23 24.28
Q
T1
-0.26 -0.27 -0.27 -0.27 -0.27 1.15 4.39 7.97 28.04 28.18 28.16 28.09
-0.020 -0.020 -0.020 -0.020 -0.020 -0.010 0.007 0.030 0.120 0.130 0.130 0.130
6 Lampiran 12 Proses perhitungan Ilustrasi 4a Tabel 8 Hasil perhitungan Ilustrasi 4a Kasus 1 (M ≤ T1) M
b= a0.
s
S
T
1/T
H
A
E
I1
R1
C1 (S,s, )
Q
T1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.1044 0.0516 0.0344 0.0256 0.0208 0.0172 0.0148
2.09 1.03 0.69 0.51 0.42 0.34 0.30
5.37 10.61 15.85 21.10 26.34 31.59 36.83
1.27 1.53 1.79 2.05 2.32 2.58 2.84
0.79 0.65 0.56 0.49 0.43 0.39 0.35
0.72 2.81 6.28 11.13 17.35 24.94 33.92
1.04 0.52 0.34 0.26 0.21 0.17 0.15
17.91 18.97 19.31 19.49 19.58 19.66 19.70
8.64 33.75 75.37 133.51 208.16 299.31 406.98
2.24 8.15 17.79 31.16 48.25 69.07 93.61
392.67 313.72 251.15 198.72 153.00 111.94 74.24
7.45 11.64 16.54 21.61 26.76 31.93 37.13
0.27 0.53 0.79 1.05 1.32 1.58 1.84
Tabel 9 Hasil perhitungan Ilustrasi 4a Kasus 2 (M ≥ T1)
M
b = a0.
k1
k2
k3
s
S
T
1/T
H
A
E
I2
C2(S, s, )
Q
T1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.1044 0.0516 0.0344 0.0256 0.0208 0.0172 0.0148
64.02 57.78 55.81 54.82 54.28 53.88 53.62
-138.86 -62.06 -40.00 -29.24 -23.55 -19.32 -16.55
-316.37 -288.32 -280.97 -272.95 -279.24 -273.44 -274.47
3.56 2.83 2.63 2.51 2.50 2.44 2.42
0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.01
1.70 2.75 3.82 4.91 6.00 7.09 8.18
0.59 0.36 0.26 0.20 0.17 0.14 0.12
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
3.03 3.89 5.03 6.17 7.48 8.65 9.91
30.52 52.10 73.83 95.68 117.47 139.37 161.24
0.50 0.99 1.49 1.97 2.49 2.97 3.48
296.41 186.03 134.77 105.83 87.35 74.51 65.10
3.56 2.84 2.63 2.51 2.50 2.44 2.43
0.000022 0.00011 0.00017 0.000051 0.00033 0.00020 0.00027
39
40
7 4
Lampiran 13 Proses perhitungan Ilustrasi 4b Tabel 10 Hasil perhitungan Ilustrasi 4b Kasus 1 (M ≤ T1)
M
b= a0.
s
S
T
1/T
1.6 1.0000 20.00 42.19 3.11 0.32 1.8 0.4556 9.11 47.37 3.37 0.30 2.0 0.0004 0.01 52.57 3.63 0.28
H
A
E
I1
R1
C1 (S, s, )
44.49 56.10 69.09
10.00 4.56 0.00
0.00 10.89 19.99
124.50 155.19 189.56
533.89 673.24 829.03
39.01 5.82 -25.91
Q
T1
62.19 2.11 56.48 2.37 52.58 2.63
Tabel 11 Hasil perhitungan Ilustrasi 4b Kasus 2 (M ≥ T1)
M
b= a0.
k1
1.6 1.0000 217.10 1.8 0.4556 113.40 2.0 0.0004 52.03
k2
k3
-7882.56 -1859.09 -0.42
-1596948.48 -423994.25 -0.41
s
S
T
1/T
H
A
E
I2
C2(S, s, )
Q
T1
105.82 14.60 6.02 0.17 5.33 279.94 0.00 154.77 76.47 120.42 0.73 69.89 9.88 8.16 0.12 2.44 268.03 83.51 122.53 61.59 79.77 0.49 0.09 -0.34 11.54 0.09 0.00 0.53 231.07 0.23 47.33 -0.24 -0.017
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Waingapu pada tanggal 10 April 1991 dari Bapak Muhammad Ali Uwa dan Ibu Yuliana Upa Rihi. Penulis adalah anak kedua dari tiga bersaudara, penulis mempunyai kakak bernama Sepriyadi Rihi dan adik Ari Syamsudin Uwa. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Menengah Pertama pada tahun 2006 di SMP Negeri 2 Waingapu. Pada tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Waingapu dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Penulis mendapatkan Beasiswa BBM tahun 2012-2013. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengajar Kalkulus di bimbingan belajar GUMATIKA. Penulis juga aktif dalam organisasi himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) sebagai staf divisi kesekretariatan pada periode 2011-2012 dan periode 2012-2013, serta staf divisi keuangan MIPA Go Field periode 2011-2012.
