MODEL ECONOMIC ORDER QUANTITY (EOQ) DENGAN MEMPERTIMBANGKAN SEBAGIAN PENUNDAAN WAKTU PEMBAYARAN PADA SISTEM PARSIAL BACKORDER

MODEL ECONOMIC ORDER QUANTITY (EOQ) DENGAN MEMPERTIMBANGKAN SEBAGIAN PENUNDAAN WAKTU PEMBAYARAN PADA SISTEM PARSIAL BACKORDER 1,2,3

Heny Maslahah1, Sunarsih2, Farikhin3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang, 50275 1 [email protected], [email protected]

Abstract.The problem of inventories commonly facing the company is determining the optimal order quantities so the demand must be fulfilled. In transaction betwen seller and buyer specified delay of payment is offered by the seller, so given one of alternative the inventory model an Economic Order Quantity (EOQ) with consider partial delayed payment on the partial backordering system. In the inventory model, retailer allowed to make partial payment at the beginning of the period to supplier and the remaining amount can be paid at the end of the period has been determined. There are two condition of stockout are stockout on the condition of lost sales (b = 0 ) and stockout on the condition of backorder (b = 1 ) . Based on the inventory model can determined when the period to make order and how many should be order, so the total cost of inventory issued to be minimum and total profit can be maximum. Keywords : Economic Order Quantity, Delayed Payment, Stockout, Partial Backorder.

1. PENDAHULUAN Persediaan merupakan salah satu bagian terpenting bagi seorang pengusaha karena biasanya sebagian besar dari total aset perusahaan di investasikan untuk memenuhi persediaan. Biaya persediaan dapat diminimalkan dengan menggunakan metode Economic Order Quantity (EOQ) yang telah dikembangkan pertama kali oleh Harris [1]. Dalam penelitian sebelumnya Goyal [2] telah mengembangkan model persediaan Economic Order Quantity (EOQ) dengan mengasumsikan keterlambatan pembayaran bagi retailer. Selanjutnya, Huang Y. F [3] mengembangkan model persediaan Economic Order Quantity (EOQ) dengan mengasumsikan adanya sebagian keterlambatan pembayaran bagi retailer. Model Economic Order Quantity (EOQ) dapat dipengaruhi oleh adanya stockout. Pentico dan Drake [4] menggabungkan model backorder dan model lost sales.

Dalam tulisan ini model yang dibahas menggunakan model EOQ yang mengacu pada jurnal dari A.A. Taleizadeh, D. W. Pentico, M. S. Jabalameli, M. Aryanezhad [5] dengan judul An EOQ with partial delayed payment and partial backordering Setelah model diformulasikan dilakukan simulasi numerik terhadap model Economic Order Quantity (EOQ) dengan mempertimbangkan sebagian penundaan waktu pembayaran pada sistem parsial backorder. 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada model Economic Order Quantity (EOQ) ini menggunakan a sebagai persentase dari biaya pembelian barang yang telah dibayarkan setelah barang diterima. Pada parsial backorder digunakan 2 sebagai persentase permintaan barang yang tidak terpenuhi karena stockout. Jika b = 1 artinya semua konsumen bersedia menunggu sampai pesanan datang, sedangkan jika b = 0 artinya tidak ada konsumen yang bersedia menunggu sampai barang datang. 53

Heny Maslahah, Sunarsih dan Farikhin (Model Economic Order Quantity (EOQ) dengan Mempertimbangkan…)

Selanjutnya diuraikan mengenai model EOQ dengan mempertimbangkan penundaan waktu pembayaran pada sistem parsial backorder dan simulasinya. a. Asumsi-asumsi Model optimasi EOQ ini diasumsikan bahwa tingkat permintaan barang diketahui dengan pasti dan konstan (tetap) dalam satu periode perencanaan. Model yang dikembangkan hanya untuk satu jenis barang (single item). Stockout atau kekosongan barang di gudang diperbolehkan.Penjualan akan hilang jika tidak mampu memenuhi pesanan konsumen yang tidak bersedia menunggu. Backorder dalam siklus diperbolehkan dan persentase backorder sebesar b diketahui dan konstan (tetap). Periode perencanaan satu tahun dan periode penundaan pembayaran pembelian sebesar Persentase dari biaya M diketahui. pembelian barang yang telah dibayarkan kepada supplier pada saat terjadi penundaan waktu pembayaran sebesar a diketahui. Saat pemesanan dilakukan, pembayaran pada masa penundaan sebelumnya sudah dilunasi (M > T ) . b. Notasi Parameter model : a : Persentase dari biaya pembelian barang yang telah dibayarkan setelah barang diterima pada saat terjadi penundaan waktu pembayaran. b : Persentase permintaan barang yang tidak terpenuhi pada kondisi backorder. D : Jumlah permintaan barang dalam satu tahun. A : Biaya pemesanan barang dalam satu kali pemesanan. C : Biaya pembelian barang per unit per tahun. P : Biaya penjualan barang per unit per tahun. g : Biaya kerugian barang per unit per tahun. 54

h

CB

C LS

Ic

: Biaya penyimpanan barang per unit per tahun. : Biaya backorder barang per unit per tahun. : Keuntungan barang yang hilang, CLS = (P - C ) + g per unit per tahun. : Bunga (interest) yang dikenakan pada persedian, dengan I c ³ Ie

Ie

: Bunga (interest) yang diperoleh perusahaan. M : Periode penundaan pembayaran pembelian. Variabel Keputusan : T : Periode pemesanan barang dalam satu siklus. F : Persentase permintaan barang yang terpenuhi dalam satu siklus. Q * : Jumlah pemesanan optimal dalam satu siklus pemesanan. B : Tingkat kekosongan barang maksimum dalam satu siklus. Variabel lainnya : q BO : Biaya backorder barang per tahun.

q I C : Bunga yang dikeluarkan perusahaan per tahun. qO : Biaya pemesanan barang per tahun

q LS : Biaya kerugian barang per tahun qH

: Biaya penyimpanan barang per tahun.

qC : Biaya pembelian barang per tahun. qTP : Total profit yang diperoleh

perusahaan per tahun. qTR : Total pendapatan yang diperoleh perusahaan per tahun. c. Pembentukan Model Model persediaan Economic Order Quantity dengan parsial backorder yang telah dikembangkan oleh [5] diasumsikan diperbolehkannya penundaan waktu pembayaran. Pada model optimasi ini mempertimbangkan dua kondisi antara FT dan M yang mungkin terjadi : Kondisi

Jurnal Matematika Vol 19, No. 2, Agustus 2016 : 53-59

pertama

(M

£ FT )

dan Kondisi kedua (M > FT ) , sehingga dapat diilustrasikan pada Gambar 2.1 dan Gambar 2.2 sebagai berikut :

qH =

4.

=

DFT

5. -D

I Q

Ie 0

6.

T

M

FT

t

bB

Ic

(1 - b)B

B

(2.4)

Biayabackorder per tahun : q BO =

I (t )

DT

hD 2 I F T ´ h ´ FT ´ f = 2 2 Bo ´ C B ´ (1 - F )T ´ f 2

bC B D (1 - F ) 2 T 2

(2.5)

Biaya kerugian kehilangan penjualan per tahun : (2.6) q LS = Ls ´ g ´ f = gD(1 - b )(1 - F ) Total bunga yang dibebankan pada persediaan per tahun : a. Pada Kondisi Pertama (M £ FT ) berdasarkan Gambar 2.1 : q I C (1) =

Gambar 2.1 Inventory untuk Kondisi Pertama (M £ FT )

æ DFT ´ FT 1é D ´ M 2 öù æ DFT ´ FT ö ÷ú - DFT ´ M + ÷ + (1 - a )CIc çç êaCIc ç Të 2 2 2 ÷øû è ø è

I (t )

=

DFT

I

ê Të

Q

T

Ic

FT

Ie

M

t

bB

(1 - b)B

7.

B

2

ú û

Gambar 2.2 Inventory untuk Kondisi Kedua

(M

e

+

> FT )

C

T

Biaya penyimpanan per tahun :

(1 - a ) CI e DM 2 2T

b. Pada Kondisi Kedua (M > FT ) berdasarkan Gambar 2.2 :

2.1 Komponen Jenis Biaya

Pada model optimasi EOQ ini terdapat 7 komponen jenis biaya yang diperhitungkan. Secara sistematis, total profit pada model Economic Order Quantity mengikuti [5] dapat dinyatakan sebagai berikut : (2.1) q TP = q TR - q C - q O - q H - q BO - q LS - q I Biaya-biaya tersebut diuraikan sebagai berikut : 1. Biaya pembelian per tahun : q C = C ´ Q ´ f = CD ( F + b (1 - F )) (2.2) 2. Biaya pemesanan per tahun : (2.3) qO = A ´ f = A

2

Total pendapatan per tahun : a. Pada Kondisi Pertama (M £ FT ) berdasarkan Gambar 2.1 : q ( ) = PD ( F + b (1 - F ) ) + (1 - a ) CI b D (1 - F ) M (2.9) TR 1

3.

(2.7)

b. Pada Kondisi Kedua (M > FT ) berdasarkan Gambar 2.2 : 2 2 2 (2.8) q IC (2) = 1 éaCIc DF T ù = aCI c DF T

-D

0

aCI c DF 2T (1 - a )CI c D(FT - M )2 + 2 2T

qTR(2) = PD(F + b(1- F)) + (1-a)CIe bD(1- F)M + (1-a)CIe D + (1 - a )CI e DF (M - FT )

F 2T 2

(2.10) Dari Persamaan (2.1), total profitper tahun yang diperoleh pada kondisi pertama dapat ditulis sebagai berikut :

qTP(1)

bCB D é A hD 2 ù 2 êT + 2 F1 T1 + 2 (1 - 2F1 + F1 )T1 ú ê 1 ú ê ú aCIc DF12T1 ê+ CLS D(1 - b )(1 - F1 ) + ú 2 ú = (P - C )D - ê ê (1 - a )CIc D F12T12 - 2F1T1 M + M 2 ú ê+ ú 2T1 ê ú ê (1 - a )CI DM 2 ú e ê- (1 - a )CIe bD(1 - F1 )M ú 2T1 ëê ûú

(

)

(2.11) 55

Heny Maslahah, Sunarsih dan Farikhin (Model Economic Order Quantity (EOQ) dengan Mempertimbangkan…)

sehingga Persamaan (2.11) dapat diringkas sebagai berikut : (2.12) q TP (1 ) = (P - C )D - j 1 (F1 , T1 ) Untuk memaksimalkan fungsi dari persamaan (2.12) yaitu dengan meminimalkan nilai dari fungsi : j1 (F1, T1 ) = l1F1 T1 - l2 F1T1 - l3F1 l + l4T1 + 5 + l6 T1 2

dengan :

(2.13)

æ h + CI c + bC B ö l1 = Dç ÷>0 2 è ø

l2 = bCB D > 0

l3 = C LS (1 - b )D + (I c - bI e )(1 - a )CMD > 0 bC B D l4 = >0 2

2 A + D(I c - I e )(1 - a )CM 2 >0 2 l6 = D(C LS (1 - b ) - bI e (1 - a )CM ) > 0

l5 =

Dari Persamaan (2.1), total profitper tahun yang diperoleh pada kondisi kedua :

qTP(2)

é A hD 2 bCB D ù 2 êT + 2 F T + 2 (1- F) T ú ê ú 2 aCIc DF T ê ú + C D(1- b )(1- F) + ú = (P - C)D - ê LS 2 ê ú 2 ê- (1-a )CI bD(1- F )M - (1-a )CI D F T ú e e ê 2 ú ê ú ( 1 a ) CI DF ( M FT ) e ë û

(2.14) sehingga Persamaan (2.14) dapat diringkas sebagai berikut : (2.15) q TP(2 ) = (P - C )D - j 2 (F2 ,T2 ) Untuk memaksimalkan fungsi dari persamaan (2.15) yaitu dengan meminimalkan nilai dari fungsi : f2 ( F2 , T2 ) = g 1F2 2T2 - g 2 F2T2 - g 3 F2

g5 + g6 T2 D(h + aCI c + bC B + (1 - a )CI e )

+ g 4T2 +

dengan : g 1 =

(2.16)

2

>0

g 2 = bCB D > 0 g 3 = CLS (1 - b )D + (1 - b )DIe (1 - a )CM > 0 bCB D >0 2 g5 = A > 0 g4 =

g 6 = CLS (1 - b )D - bDIe (1 - a )CM

56

2.2 Penentuan T * dan F * 1. Kondisi Pertama (M £ FT ) : Untuk memperoleh T1 * dan F1 * yaitu dengan menurunkan persamaan 2.12 terhadap T1 dan terhadap F1 dengan disamadengankan nol, sehingga diperoleh : ¶j1 (F1 , T1 ) = 2l1 F1T1 - l2T1 - l3 = 0 ¶F1 l T + l3 F1 = 2 1 2l1T1 ¶j1 (F1 ,T1 ) l 2 = l1F1 - l2 F1 + l4 - 52 = 0 ¶T1 T1

(2.17) (2.18)

kemudian substisusikan Persamaan (2.17) ke Persamaan (2.18) diperoleh : T1* =

4l1l5 - l3

2

4l1l4 - l2

2

(2.19)

l2 l3 4l1l4 - l2 + 2l1 2l1 4l1l5 - l32

2

F1* =

(2.20)

nilai T1 * dan F1 * dapat meminimalkan fungsi j1 (F1 ,T1 ) asalkan D(F1 , T1 ) > 0 dan ¶ 2j1 (F1 , T1 ) ¶F1

2

> 0 sebagai berikut :

¶ 2j 1 (F1 , T1 ) ¶F1

2

D(F1 , T1 ) =

= 2l1T1 > 0

4l1l5 T1

2

dan

- (2l1 F1 - l 2 ) > 0 2

Menurut [4], T1 * parsial backorderharus lebih besar sama dengan T1 * EOQ, sehingga akan ditentukan terlebih dahulu T1 * EOQ berdasarkan persamaan 2.13 dengan F1* = 1

T1 didifesensialkan terhadap disamadengankan nol diperoleh :

dan

d j 1 (T1 ) l = l1 - l 2 + l 4 - 52 = 0 dT1 T1

T1 * =

l5 l1 - l 2 + l 4

(2.21)

Jurnal Matematika Vol 19, No. 2, Agustus 2016 : 53-59

T1 * dapat meminimalkan fungsi

nilai

2 j1 (T1 ) asalkan dj 1 (2T1 ) > 0 sebagai berikut

dT1

backorder ³ T1 * EOQ, diperoleh nilai b sebagai berikut :

(

maka

) (2.22)

CLSD+ Ic (1-a)CDM- (hD+CIcD) 2A+(Ic - Ie )(1-a)CDM2 CLSD+ Ie (1-a)CDM

Jika menentukan T1 * b < b 1 maka menggunakan Persamaan (2.21) dan jika b ³ b 1 maka menentukan T1 * dan F1 * menggunakan persamaan (2.19) dan persamaan (2.20). Sedangkan, jika pada kondisi pertama (M £ FT ) menghasilkan dengan membentuk M > F1 * T1 * maka persamaan

F1 =

M T1

diperoleh nilai T1 *

sebagai berikut : l M 2 - l3 M + l5 (2.23) T1 = 1 l4 2. Kondisi Kedua (M > FT) : Untuk memperoleh T2 * dan F2 * yaitu dengan menurunkan persamaan 2.14 terhadap T2 dan terhadap F2 dengan disamadengankan nol, sehingga diperoleh : ¶j2 (F2 , T2 ) = 2g 1F2T2 - g 2T2 - g 3 = 0 ¶F2 g T +g3 F2 = 2 2 2g 1T2 ¶j2 (F2 , T2 ) g 2 = g 1F2 - g 2 F2 + g 4 - 52 = 0 ¶T2 T2

F2 * =

4g 1g 5 - g 3

2

4g 1g 4 - g 2

2

2 g g2 4g 1g 4 - g 2 + 3 2g 1 2g 1 4g 1g 5 - g 3 2

¶F2

(2.24) (2.25)

(2.26)

2

= 2g 1T2 > 0

dan

Menurut [4], T2 * parsial backorderharus lebih besar sama dengan T2 * EOQ, sehingga akan ditentukan terlebih dahulu T2 * EOQ berdasarkan persamaan 2.16 dengan F2 * = 1

T2 didifesensialkan terhadap disamadengankan nol diperoleh :

dan

dj 2 (T2 ) g = g 1 - g 2 + g 4 - 52 = 0 dT2 T2

g5 g1 - g 2 + g 4

T2 * =

(2.28)

nilai T2 * dapat meminimalkan fungsi j 2 (T2 ) 2 asalkan d j 2 (T2 ) > 0 sebagai berikut:

d 2j 2 (T 2 ) dT 2

2

dT2

=

2

2g 5 T2

3

>0

T2 * parsial backorder ³ T2 * EOQ, diperoleh nilai b sebagai berikut : CLSD + CDIe (1-a )M - 2A D(h +aCIc + bCB + (1-a )CIe ) CLSD + CDIe (1-a )M

maka (2.29)

Jika menentukan T2 * b < b 2 maka menggunakan persamaan (2.28) dan jika b ³ b 2 maka menentukan T2 * dan F2 * menggunakan persamaan (2.26) dan persamaan (2.27), sedangkan jika pada kondisi kedua (M > FT ) menghasilkan (M £ F2 * T2 *) maka dengan membentuk persamaan F2 = M T2

(2.27)

¶ F2

4g 1g 5 2 - (2g 1F2 - g 2 ) > 0 2 T2

D(F2 , T2 ) =

b ³ b2 =

kemudian substisusikan Persamaan (2.24) ke Persamaan (2.25) diperoleh : T2 * =

2 j 2 (F2 ,T2 ) asalkan ¶ j 2 (F22 , T2 ) > 0

fungsi

¶ 2j 2 (F2 , T2 )

T1

T1 * parsial

b ³b1 =

dapat meminimalkan

dan D(F2 , T2 ) > 0 sebagai berikut :

2 : d j1 (2T1 ) = 2l35 > 0

dT1

nilai T2 * dan F2 *

diperoleh nilai T2 *

sebagai berikut : T2 * =

g 1M 2 - g 3M + g 5 g4

(2.30)

57

Heny Maslahah, Sunarsih dan Farikhin (Model Economic Order Quantity (EOQ) dengan Mempertimbangkan…)

2.3

Simulasi Numerik Simulasi numerik dilakukan di salah satu toko di Semarang dikhususkan pada beras C4 yang banyak diminati oleh masyarakat sekitar sebagai berikut : diasumsikan dalam satu periode perencanaan toko tersebut berjualan selama 30 hari. Jumlah permintaan beras C4 ( D ) konstan yaitu 40.000 kg per tahun dan jika omset beras C4 sebesar Rp 400.000.000,00 mempunyai indeks harga 100%, maka diperoleh nilai dari parameter model yaitu C = 0,00227% /kg/tahun, P = 0,0025% /kg/tahun, A = 0,15% satu kali pemesanan, C B = 0,0006% /kg/tahun, g = 0,00008% /kg/tahun, C LS = 0,0003% /kg/tahun, b =

0,24, dan I e = 0,15. Berdasarkan data yang diketahui, sehingga diperoleh : Tabel 2.1 Biaya minimal kondisi pertama dan kondisi kedua

b

b1

F1 *

T1 *

0,6 75

0,661 30

0,877 91 0,861 00

0,079 63 0,096 78

b

b2

0,6 75

0,661 73

F1 *T1 * 0,069 96 0,083 33

M 0,083 33 0,083 33

F2 * T2 * F2 *T2 * M 0,879 72

0,078 45

0,069 01

0,083 33

j1 (F1 *, T1 *

3,82% j2(F2*,T2 *)

3,75%

karena j 1 (F1 *, T1 *) > j 2 (F2 *, T2 *) maka solusi optimal pada kondisi kedua yaitu

0,675, a = 0,5, M = 0,08333 tahun, I c = Tabel 2.2 Solusi Optimal

F2 *

T2 *

87,972% 0,07845

I (kg)

B (kg)

Bo (kg)

2761

378

255

3. PENUTUP Model Economic Order Quantity (EOQ) dengan mempertimbangkan sebagian penundaan pembayaran pada sistem parsial backorder perusahaan dapat melakukan pemesanan optimal beras C4 sebesar 3016 kg dan dilakukan setiap 29 hari sekali. Persediaan beras C4 yang terpenuhi sebesar 87,972 %, sehingga persediaan beras akan habis dalam waktu 25 hari. Total biaya persediaan yang diperoleh dengan menggunakan model EOQ dengan mempertimbangkan sebagian penundaan waktu pembayaran pada sistem parsial backordersebesar 31% dari laba kotor lebih minimum jika dibandingkan dengan total biaya persediaan yang dikeluarkan perusahaan yaitu sebesar 37% dari laba kotor.

58

Q (kg) j 2 (F2 *, T2 *) 3016

31% dari laba kotor

qTP (2 ) 8,25%

4. UCAPAN TERIMA KASIH Terima kasih kepada BULOG Mart yang telah memperkenankan kami untuk mengambil data di BULOG Mart. 5. DAFTAR PUSTAKA [1] F. Harris, (1990), How many parts to make at once, Factory, The magazine of Management 10 (1913) 135-136, 152, Operations Research, 38 (6) : 947-950. [2] Goyal, S. K, (1985), Economic order quantity under conditions of permissible delay in payments, Journal of the Operational Research Society, 44 : 335-338. [3] Huang, Y. F, (2007), Economic order quantity under conditionally permissible delay in payments,

Jurnal Matematika Vol 19, No. 2, Agustus 2016 : 53-59

[4]

European Journal of Operational Research, 176 : 911-924. Pentico, D. W., Drake, M. J., (2009) The deterministic EOQ with partial backordering : a new approach,

[5]

European Journal of Operational Research, 194(1):102-113. A.A. Taleizadeh, D. W. Pentico, M. S. Jabalameli, M. Aryanezhad, (2013), An EOQ model with partial delayed payment and partial backordering, Omega, 41: 354-368.

59