SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 T - 25
Model Kerusakan Inventori dan Backlog Parsial Mukti Nur Handayani FMIPA, Universitas Gadjah Mada
[email protected]
Abstrak— Pada tesis ini dikembangkan dua jenis model kerusakan inventori dan backlog parsial, yang diasumsikan sebagai model inventori deterministik untuk kerusakan barang-barang, diijinkan adanya kekurangan dan permintaan yang tidak dipenuhi berupa backlog parsial. Model kerusakan inventori dalam tingkat yang konstan dan backlog parsial diasumsikan adanya inflasi yang tingkat permintaannya merupakan fungsi kuadratik terhadap waktu, tingkat kerusakan konstan, tingkat backlog berupa variabel dan bergantung pada lamanya pengisian berikutnya. Sedangkan model kerusakan inventori dalam tingkat yang bervariasi dan backlog parsial eksponensial diasumsikan tingkat permintaan dan kerusakan merupakan fungsi kontinu dan diferensiabel masing-masing terhadap harga dan waktu, serta backlog parsial di tingkat eksponensial negatif dengan waktu tunggu. Analisis inventori yang tepat diperlukan untuk mengurangi kerusakan. Metode yang digunakan dalam penelitian adalah studi literatur pengembangan dari paper model kerusakan inventori untuk permintaan kuadratik dan biaya penyimpanan konstan dengan backlog parsial dan inflasi. Metode ini dilakukan dengan cara pengidentifikasikan masalah, pemberian asumsi, penyusunan model matematika, pencarian solusi analitik dan pemberian contoh numerik. Model matematika yang digunakan merupakan bentuk persamaan diferensial lalu dicari solusi analitiknya. Penyelesaian numerik yang digunakan yaitu metode Newton Raphson dengan program Matlab. Hasil yang diperoleh pada penelitian yaitu ditemukan waktu tingkat inventori mencapai nol, panjang periode selama kekurangan diperbolehkan, harga penjualan optimal per unit, kuantitas pesanan per siklus, biaya total persediaan per waktu dan total keuntungan per waktu. Kata kunci: backlog parsial, inventori, kerusakan
I.
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Perekonomian jaman sekarang berkembang sangat pesat. Hal ini dapat dilihat pada persaingan antar perusahaan yang semakin ketat, khususnya perusahaan yang bergerak di bidang produksi, sehingga mendorong perusahaan untuk tidak mengalami kerugian yang besar, salah satu usahanya adalah dengan menganalisis hal-hal yang berhubungan dengan inventori atau persediaan. Oleh karena itu, dibutuhkan perkiraan kuantitatif yang cukup tepat dan akurat untuk mengambil keputusan yang terbaik dalam inventori. Inventori adalah material yang berupa bahan baku, barang setengah jadi atau barang jadi yang disimpan dalam suatu tempat atau gudang dimana barang tersebut menunggu untuk diproses atau diproduksi lebih lanjut [1]. Pada banyak sistem inventori, kerusakan barang-barang merupakan fenomena yang realistik. Suatu sistem inventori yang akan terjadi kerusakan sangat penting untuk dibahas. Inventori barang memburuk adalah fenomena umum dalam kehidupan sehari-hari. Barang-barang seperti susu, barang-barang fashion, komponen elektronik, telur, obat-obatan, bensin, cairan yang mudah menguap, bungkusan darah dan lain-lain dinamakan barang-barang memburuk dikarenakan kualitasnya menurun saat terjadi kerusakan (penguapan, kerusakan parah, kerugian, kekeringan dan seterusnya) selama periode penyimpanan normal. Akibatnya, saat menentukan kebijakan inventori optimal pada jenis produksi, kerugian akibat kerusakan tidak dapat diabaikan. Jadi kerusakan barang fisik dalam stok merupakan faktor yang sangat realistis dan terdapat kebutuhan besar untuk mempertimbangkan hal ini di model inventori. Pada paper ini dijelaskan tentang model kerusakan inventori dan backlog parsial yang dikhususkan pada dua jenis model yaitu yang pertama model kerusakan inventori dalam tingkat yang konstan dan backlog parsial [2], lalu yang kedua model kerusakan inventori dalam tingkat yang bervariasi dan backlog parsial eksponensial [3].
353
ISBN. 978-602-73403-0-5
B. Rumusan Masalah Masalah dalam paper ini adalah membentuk model matematika berdasarkan asumsi permasalahan, menyelidiki solusi analitik, menemukan waktu tingkat inventori mencapai nol, panjang periode selama kekurangan diperbolehkan, harga penjualan optimal per unit, kuantitas pesanan per siklus, biaya total persediaan per waktu dan total keuntungan per waktu, menerapkan dalam contoh numerik. C. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan penelitian ini adalah membentuk model matematika berdasarkan asumsi permasalahan, menyelidiki solusi analitik, menemukan waktu tingkat inventori mencapai nol, panjang periode selama kekurangan diperbolehkan, harga penjualan optimal per unit, kuantitas pesanan per siklus, biaya total persediaan per waktu dan total keuntungan per waktu, menerapkan dalam contoh numerik. Sedangkan manfaat yang akan diperoleh adalah diharapkan memberikan kontribusi terhadap perkembangan ilmu pengetahuan matematika terapan terutama dalam bidang inventori. II.
METODE PENELITIAN
Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literature. Pada paper ini mengacu pada model inventori deterministik. Semua asumsi model kerusakan inventori dalam tingkat yang konstan dan backlog parsial digabungkan untuk membentuk model matematika, biasanya dalam bentuk persamaan diferensial. Kemudian dicari solusi dari persamaan diferensial. Pada paper ini menggunakan persamaan diferensial biasa [4]. Solusi dari persamaan diferensial tersebut dipakai untuk mencari fungsi biaya yang terjadi. Kemudian mencari total keuntungan per waktu. Biaya total keuntungan per waktu tersebut diturunkan terhadap masing-masing waktu, lalu sama dengankan nol untuk memperoleh waktu tingkat inventori mencapai nol dan panjang periode selama kekurangan diperbolehkan. Selanjutnya, disubstitusikan ke biaya total keuntungan per waktu. Kemudian masing-masing waktu tersebut dibuktikan ada dengan tunggal. Setelah itu membuktikan suatu teorema. Setelah itu akan dibuktikan bahwa harga jual optimal dijamin ada dengan tunggal. Pada kasus model ini juga diberikan contoh numerik yang diselesaikan dengan algoritma yang merupakan rangkuman dari hasil solusi analitik, yang dibantu dengan metode Newton Raphson program Matlab menghasilkan waktu tingkat inventori mencapai nol, panjang periode selama kekurangan diperbolehkan, biaya total per satuan waktu, harga penjualan optimal per unit, kuantitas pesanan per siklus dan total keuntungan per waktu. Selanjutnya untuk model kerusakan inventori dalam tingkat yang bervariasi dan backlog parsial eksponensialdijelaskan analog seperti pada model kerusakan inventori dalam tingkat yang konstan dan backlog parsial. III.
HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Simbol : biaya pemesanan per unit : biaya pembelian per unit : tingkat kerusakan : biaya penyimpanan persediaan per unit per waktu : biaya backorder selama siklus per unit per waktu : biaya penjualan yang hilang selama siklus per unit : waktu tingkat inventori mencapai nol, : panjang periode selama kekurangan diperbolehkan, : lamanya waktu siklus : tingkat inventori maksimum selama per siklus : tingkat inventori maksimum selama periode kekurangan : kuantitas pesanan per siklus : tingkat inventori positif saat waktu , dimana : tingkat inventori negatif saat waktu , dimana : biaya total per waktu : fraksipermintaan tetap, : fraksidaripermintaan yang berubah terhadapwaktu, : fraksidaripermintaan yang berubah terhadapwaktu, : parameter backlog : waktu tunggu untuk pengisian berikutnya, : biaya penyimpanan per unit per waktu
354
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
: biaya pembelian : biaya tambahan per pesanan : harga jual per unit, dimana : biaya backorder per unit per waktu : biaya penjualan yang hilang (biaya goodwill) per unit : total keuntungan per waktu B. Asumsi Model Kerusakan Inventori Dalam Tingkat yang Konstan dan Backlog Parsial 1. Model ini hanya berlaku untuk satu jenis barang yang sama (homogen). 2. Tingkat / laju permintaan bergantung pada waktu dan bersifat dinamis. 3. Fungsi permintaan sebesar : 4. Tingkat / laju inflasi sebesar : 5. Biaya penyimpanan konstan 6. Kekurangan diijinkan dan backlogbesarnya parsial. 7. Lead time sebesar nol. 8. Pengisian tak terbatas. 9. Horison perencanaan terbatas. 10. Tingkat kerusakan barang-barang inventori besarnya konstan. 11. Selama periode kekurangan,tingkat backlog berupa variabel sebesar : C. Model Matematika Kerusakan Inventori Dalam Tingkat yang Konstan dan Backlog Parsial (1) (2) dengan syarat batas
di
dan
di
.
D. Solusi Analitik Model Kerusakan Inventori Dalam Tingkat yang Konstan dan Backlog Parsial Penyelesaian persamaan diferensial (1) dan (2) : (3) dengan syarat batas
,
(4)
dengan syarat batas Gambar sistem inventorinya :
GAMBAR 1. SISTEM INVENTORI UNTUK MODEL KERUSAKAN INVENTORI DALAM TINGKAT YANG KONSTAN DAN BACKLOG PARSIAL
Oleh karena itu, kuantitas pesanan terhadap siklus tambahan dapat : (5) Tingkat inventori maksimum per siklus: (6) Berdasarkan persamaan (3), (4) dan (5) total keuntungan per siklus terdiri dari rumus-rumus : 1. Biaya Pemesanan 2. Biaya Penyimpanan Inventori : 3. Biaya Backorder :
355
ISBN. 978-602-73403-0-5
4. Biaya Penjualan yang Hilang : 5. Biaya Pembelian: 6. Pendapatan penjualan per siklus BiayaTotal : (7) Biaya Keuntungan : (8) Untuk memaksimumkan total keuntungan per waktu, ambil turunan orde pertama yang masing-masing berhubungan dengan .Pertama, untuk setiap diberikan harga penjualan , akan dibuktikan bahwa jadwal penambahan optimal tidak hanya terjamin ada tetapi juga tunggal. Lalu yang terakhir, solusi optimal
harus memenuhi persamaan
dan
,
sehingga diperoleh :
(9) Substitusikan
kedalam persamaan
,diperoleh :
356
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
(10) Kemudian, diperoleh hasil berikut ini. Teorema Diberikan untuk setiap , diperoleh : a.) Jika , maka solusi yang memaksimumkan tidak hanya dijamin ada tetapi juga tunggal dan . b.) Jika , maka nilai optimal terhadap adalah . Bukti a.) Akan ditunjukkan turun tegas pada interval dan naik tegas pada interval , dan mempunyai minimum di titik , yaitu adalah nilai minimum. Karena turun tegas pada interval , dan syarat bahwa , dari Teorema Nilai Intermediate, dapat ditemukan dengan tunggal solusi sedemikian sehingga . Selain itu, diperoleh determinan matrik Hessian di titik stasioner lebih dari nol. Sebagai hasilnya, dapat disimpulkan bahwa titik stasioner merupakan solusi optimal untuk masalah maksimum.Selanjutnya, diberikan interval . Karena naik tegas pada interval , saat , yang menyatakan tidak dapat menemukan suatu nilai sedemikian sehingga (pada keadaan ini, solusi optimal tidak dijamin ada), atau solusi dijamin ada dengan tunggal sedemikian sehingga , sehingga determinan matrik Hessian di titik stasioner kurang dari nol. Karena itu, bukan solusi optimal untuk masalah maksimum. Jadi, pernyataan ini terbukti. b.) Karena mempunyai global minimum di , jika , maka diperoleh untuk semua
, sehingga
yang menyatakan bahwa nilai lebih besar dari dikarenakan nilai lebih tinggi dari Karenanya nilai maksimum terjadi di titik . Untuk kasus lainnya, dan
naik tegas di masing-masing
dan
. , saat
. Sebagai hasilnya,
adalah titik infleksi dan nilai maksimum dari terjadi di titik . Jadi, pernyataan ini terbukti. . Selanjutnya, akan dibahas syarat harga penjualan optimal serta dijamin ada dan tunggal. Diberikan , syarat perlu orde pertama untuk maksimum adalah
dan
(11) Dengan demikian, dijamin ada dengan tunggal harga penjualan optimal . Solusi dari
katakan
yang memaksimumkan
merupakan batas bawah untuk
harga penjualan optimal sedemikian sehingga . Rangkuman hasil di atas, sekarang dapat disusun menurut algoritma berikut untuk mendapatkan solusi optimal masalah ini. Algoritma Langkah 1 : Mulai dengan
dan
, dengan
: solusi dari
Langkah 2 : Masukkan dan ke dalam persamaan (9) untuk mendapatkan nilai yang sesuai dalam yaitu . Lalu dari persamaan (10) untuk menghitung . Langkah 3 : Jika maka lanjut ke langkah 4. Sebaliknya, jika , dengan : bilangan positif yang cukup kecil dan himpunan maka kembali ke langkah 2. Langkah 4 : Dari persamaan (10) untuk menemukan nilai optimal sedemikian sehingga dan dari persamaan (9) untuk mendapatkan nilai yang sesuai dalam yaitu untuk harga jual yang diberikan. Langkah 5 : Gunakan hasil langkah 4 untuk menentukan optimal oleh persamaan (11). Langkah 6 : Jika perbedaan diantara dan cukup kecil, himpunan maka adalah solusi optimal dan berhenti. Sebaliknya, himpunan dan kembali ke langkah 2.
357
ISBN. 978-602-73403-0-5
E. Asumsi Model Kerusakan Inventori Dalam Tingkat yang Bervariasi dan Backlog Parsial Eksponensial 1. Model inventori kerusakan deterministik. 2. Permintaan yang tidak terpenuhi di backlog parsial. 3. Model ini hanya berlaku untuk satu jenis barang yang sama (homogen). 4. Kerusakan barang-barang merupakan fungsi kontinu dan diferensiabel terhadap waktu. 5. Tingkat penambahan tak terbatas. 6. Waktu tunggu nol. 7. Horison waktu sistem inventori tak terbatas. 8. Tingkat permintaan merupakan fungsi turun, konveks, kontinu, non negatif pada harga jual di 9. Kerusakan barang-barang pada tingkat kerusakan yang berbeda-beda , dimana . 10. Kekurangan diijinkan. 11. Fraksi kekurangan dibackorder , dimana waktu tunggu untuk penambahan berikutnya dan konstanta positif. F. Model MatematikaKerusakan Inventori Dalam Tingkat yang Bervariasi dan Backlog Parsial Eksponensial (12) dengan syarat batas
dan diberikan
. (13)
dengan syarat batas
.
G. Solusi Analitik Model Kerusakan Inventori Dalam Tingkat yang Bervariasi dan Backlog Parsial Eksponensial Penyelesaian persamaan diferensial (12) dan (13) : (14) (15) Gambar sistem inventorinya :
GAMBAR 2. SISTEM INVENTORI UNTUK MODEL KERUSAKAN INVENTORI DALAM TINGKAT YANG BERVARIASI DAN BACKLOG PARSIAL EKSPONENSIAL
Oleh karena itu, kuantitas pesanan terhadap siklus tambahan : (16) Tingkat inventori maksimum per siklus: (17) Berdasarkan persamaan (14), (15) dan (16), total keuntungan per siklus terdiri dari rumus-rumus : 1. Biaya pesanan per siklus : 2.
Biaya penyimpanan per siklus :
3.
Biaya backorder per siklus :
4.
Biaya opportunity penjualan yang hilang per siklus :
358
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
5.
Biaya pembelian per siklus :
6.
Pendapatan penjualan per siklus :
BiayaTotal : (18) Biaya Keuntungan : (19) Untuk memaksimumkan total keuntungan per waktu, ambil turunan orde pertama yang masing-masing berhubungan dengan .Pertama, untuk setiap diberikan harga penjualan , akan dibuktikan bahwa jadwal penambahan optimal tidak hanya terjamin ada tetapi juga tunggal. Lalu yang terakhir, solusi optimal
harus memenuhi persamaan
dan
,
sehingga diperoleh : Substitusikan
(20) kedalam persamaan
,diperoleh :
(21) Kemudian, diperoleh hasil berikut ini. Teorema Diberikan untuk setiap , diperoleh : a.) Jika , maka solusi yang memaksimumkan tidak hanya dijamin ada tetapi juga tunggal dan . b.) Jika , maka nilai optimal terhadap adalah . Bukti a.) Akan ditunjukkan turun tegas pada interval dan naik tegas pada interval , dan mempunyai minimum di titik , yaitu adalah nilai minimum. Karena turun tegas pada interval , dan syarat bahwa , dari Teorema Nilai Intermediate, dapat ditemukan dengan tunggal solusi sedemikian sehingga . Selain itu, diperoleh determinan matrik Hessian di titik stasioner lebih dari nol. Sebagai hasilnya, dapat disimpulkan bahwa titik stasioner merupakan solusi optimal untuk masalah maksimum. Selanjutnya, diberikan interval . Karena naik tegas pada interval , saat , yang menyatakan tidak dapat menemukan suatu nilai sedemikian sehingga (pada keadaan ini, solusi optimal tidak dijamin ada), atau solusi dijamin ada dengan tunggal sedemikian sehingga , sehingga determinan matrik Hessian di titik stasioner kurang dari nol. Karena itu, bukan solusi optimal untuk masalah maksimum. Jadi, pernyataan ini terbukti. b.) Karena mempunyai global minimum di , jika , maka diperoleh untuk semua
, sehingga
dikarenakan nilai lebih tinggi dari . Untuk kasus lainnya,
yang menyatakan bahwa nilai lebih besar dari . Karenanya nilai maksimum , saat dan
terjadi di titik naik tegas di masing-
masing
dan . Sebagai hasilnya, adalah titik infleksi dan nilai maksimum dari terjadi di titik . Jadi, pernyataan ini terbukti. . Selanjutnya, akan dibahas syarat harga penjualan optimal serta dijamin ada dan tunggal. Diberikan dan , syarat perlu orde pertama untuk maksimum adalah
(22)
359
ISBN. 978-602-73403-0-5
Dengan demikian, dijamin ada dengan tunggal harga penjualan optimal yang memaksimumkan . Solusi dari , katakan merupakan batas bawah untuk harga penjualan optimal sedemikian sehingga . Rangkuman hasil di atas, sekarang dapat disusun menurut algoritma berikut untuk mendapatkan solusi optimal masalah ini. Algoritma Langkah 1 : Mulai dengan dan , dengan : solusi dari Langkah 2 : Masukkan
dan
ke dalam persamaan (20) untuk mendapatkan nilai yang
sesuai dalam yaitu . Lalu dari persamaan (21) untuk menghitung . Langkah 3 : Jika maka lanjut ke langkah 4. Sebaliknya, jika , dengan : bilangan positif yang cukup kecil dan himpunan maka kembali ke langkah 2. Langkah 4 : Dari persamaan (21) untuk menemukan nilai optimal sedemikian sehingga dari persamaan (20) untuk mendapatkan nilai yang sesuai dalam yaitu untuk harga jual diberikan. Langkah 5 : Gunakan hasil langkah 4 untuk menentukan optimal oleh persamaan (22). Langkah 6 : Jika perbedaan diantara dan cukup kecil, himpunan maka adalah solusi optimal dan berhenti. Sebaliknya, himpunan dan kembali ke langkah 2.
dan yang
H. Contoh Numerik Diketahui data (dalam juta rupiah) sebagai berikut : : 250 per pesanan ; : 8 per unit ; : 0,5 per unit per unit waktu : 2 per unit per unit waktu ; : 2 per unit ; : 2 per unit ; : 1 per unit ; : 1 per unit : 25 – 0,5 , ; : Tingkat backlog : ; : ; : Hasil Perhitungan : Jadi, untuk model kerusakan inventori dalam tingkat yang konstan dan backlog parsial diperoleh waktu tingkat inventori mencapai nol hari, panjang periode selama kekurangan diperbolehkan hari,harga penjualan optimal per unit, kuantitas pesanan unit per siklus, total keuntungan per waktu dan biaya total persediaan per satuan waktu . Sedangkan untuk model kerusakan inventori dalam tingkat yang bervariasi dan backlog parsial eksponensial diperoleh waktu tingkat inventori mencapai nol hari, panjang periode selama kekurangan diperbolehkan hari, harga penjualan optimal per unit, kuantitas pesanan unit per siklus, total keuntungan per waktu dan biaya total persediaan per satuan waktu . IV.
SIMPULAN DAN SARAN
A. Simpulan Pada paper ini memberikan sifat yang berguna untuk menemukan harga optimal dan penjadwalan kembali backlog parsial. Variabel keputusan pada masalah ini tidak dapat diselesaikan dengan aljabar biasa, hanya bisa diselesaikan dengan numerik menggunakan metode Newton Raphson. B. Saran Pada paper ini masih dapat dilakukan pengembangan lebih lanjut untuk model kerusakan inventori lainnya dengan asumsi yang berbeda dari paper ini. DAFTAR PUSTAKA [1] [2] [3] [4]
Winston, W. L, “Operations Research Applications and Algorithms”, Third Editions, International Thomson Publishing, California, 1994. Yadav, Ravish Kumar, Amit Kumar vats,“A Deteriorating Inventory Model forQuadratic Demand and Constant Holding Cost with Partial Backlogging and Inflation”, IOSR Journal of Mathematics Vol. 10, pp. 47-52, 2014. Dye, Chung-Yuan, Tsu Pang Hsieh, Liang Yuh Ouyang,“Determining Optimal Selling Price and Lot Size With a Varying Rate of Deterioration and Exponential Partial Backlogging”,European Journal of Operational Research,181,668–678, 2007a. Ross, Shepley L., “Differential Equations”, Third Edition, University of New Hampshire, New Delhi, 2004.
360
