MODEL KATASTROFE CUSP STOKASTIK: PENURUNAN FDP STASIONER

IndoMS Journal on Statistics Vol. 1, No. 2 (2013), Page. 23-33

MODEL KATASTROFE CUSP STOKASTIK: PENURUNAN FDP STASIONER Fathin Chamama1, Bevina D Handari2, Hengki Tasman3 1,2,3 Departemen Matematika,Universitas Indonesia Kampus UI Depok, Depok 16424 Email: [email protected]; [email protected]; [email protected]

Abstract The stochastic cusp catastrophe model has been used in various fields. In finance, this model was used to explain the American stock market crash on October 19, 1987, called Black Monday. The stochastic cusp catastrophe model is a stochastic differential equation that is difficult to solve because the stochastic process lies on both sides. There is an alternative solution using a link between the stochastic cusp catastrophe model and a stationary probability density function (PDF). This paper shows in detail the derivation of the stationary PDF from a stochastic cusp catastrophe model - firstly by determining the transition PDF using Fourier transform, conditional characteristic function, Taylor series and Dirac delta, and secondly, the transition PDF is changed into a stationary PDF using Fokker-Planck equation. Keywords : catastrophe, cusp, stochastic cusp, stationer PDF. Abstrak Model katastrofe cusp stokastik telah banyak digunakan di berbagai bidang, salah satunya untuk menjelaskan krisis pasar saham Black Monday pada 19 Oktober 1987 di Amerika. Model katastrofe cusp stokastik merupakan persamaan diferensial stokastik yang kedua ruasnya mengandung proses stokastik sehingga sulit dicari solusinya. Terdapat solusi alternatif yaitu dengan menggunakan hubungan model katastrofe cusp stokastik dengan fungsi densitas probabilitas (FDP) stasioner. Pada makalah ini dibahas secara rinci tentang penurunan FDP stasioner dari model katastrofe cusp stokastik. Tahap yang digunakan pada penurunan FDP stasioner adalah menentukan FDP transisi dengan menggunakan transformasi Fourier dari fungsi karakteristik bersyarat, deret Taylor dan delta Dirac. FDP transisi kemudian dibentuk menjadi FDP stasioner dengan menggunakan persamaan Fokker-Planck. Kata kunci : katastrofe, cusp, cusp stokastik, FDP stasioner.

1. Pendahuluan Model katastrofe cusp stokastik telah banyak digunakan di berbagai bidang di antaranya bidang biologi oleh Naparstek pada tahun 1974 yang disampaikan pada [8], bidang ekonomi pada tahun 1986 oleh Fischer dan Jammernegg [9], bidang kimia pada tahun 1990 oleh 2010 Mathematics Subject Classification: 60G15, 60H10 23

24

Fathin Chamama, Bevina D Handari, Hengki Tasman

Kwok [11], bidang sosial pada tahun 2003 oleh van der Maas et al. [14], dan di bidang keuangan pada tahun 2009 oleh Barunik dan Vosvrda [1]. Model katastrofe cusp stokastik merupakan persamaan diferensial stokastik (PDS) yang kedua ruasnya mengandung proses stokastik sehingga sulit dicari solusinya [12]. Terdapat hubungan antara model katastrofe cusp stokastik dengan FDP stasioner yang memberikan solusi alternatif bagi PDS cusp [5]. FDP stasioner yang diperoleh dari penurunan model katastrofe cusp stokastik dapat digunakan untuk menentukan peristiwa katastrofe, yaitu perubahan kestabilan sistem yang terjadi secara tiba-tiba. Peristiwa katastrofe pada cusp dapat dilihat dari perubahan nilai diskriminan Cardan dan perubahan jumlah modus dari FDP stasioner [1]. Chamama [3] menunjukkan hubungan model katastrofe cusp stokastik dengan peristiwa katastrofe menggunakan FDP stasioner yang dibawa ke bentuk umum FDP stasioner cusp. Parameter bentuk umum FDP stasioner cusp diestimasi dengan menggunakan metode momen kemudian ditransfomasi menjadi parameter bentuk standar FDP stasioner cusp. Parameter-parameter yang diperoleh disubstitusikan ke FDP stasioner dan diskriminan Cardan untuk menentukan peristiwa katastrofe. Hubungan antara model katastrofe cusp stokastik dengan FDP stasioner telah disinggung oleh Cobb dan Watson [5]. Pada makalah ini dibahas secara rinci penurunan model katastrofe cusp stokastik menjadi FDP stasioner, yaitu dengan menentukan FDP transisi menggunakan transformasi Fourier dari fungsi karakteristik bersyarat, deret Taylor dan delta Dirac. FDP transisi kemudian dibentuk menjadi FDP stasioner dengan menggunakan persamaan Fokker-Planck. FDP stasioner yang diperoleh dapat digunakan untuk estimasi parameter pada data di berbagai bidang. Contoh aplikasi di bidang keuangan adalah penjelasan mengenai peristiwa krisis Black Monday di pasar saham Amerika pada 19 Oktober 1987 yang dipengaruhi oleh faktor internal, yaitu sistem perdagangan pada saat itu [4]. 2. Tahapan Penurunan FDP Stasioner Penurunan FDP stasioner dari model katastrofe cusp stokastik dilakukan dengan menggunakan dua tahapan. Tahap pertama adalah pembentukan persamaan Fokker-Planck yang dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Menetapkan sifat umum transisi FDP pertama 𝑓(𝑥𝑡 ) ke FDP 𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 ) dari suatu proses stokastik 𝑋𝑡 , di 𝑡 ∈ 𝑇. 2. Mencari deret Taylor pada titik 𝑢 = 0 dari fungsi karakteristik bersyarat 𝜙(𝑢𝑡+Δ𝑡 |𝑥 ′ ). 3. Mencari solusi sifat umum transisi FDP pertama 𝑓(𝑥𝑡 ) dengan menggunakan transformasi Fourier dari fungsi karakteristik. 4. Membentuk persamaan Fokker-Planck dari transisi FDP 𝑓(𝑥𝑡 ). Pada tahap kedua dilakukan pembentukan FDP stasioner dari persamaan Fokker-Planck model katastrofe cusp stokastik. Untuk memudahkan penjelasan tahap pertama, digunakan persamaan Langevin. Persamaan Langevin untuk suatu proses Wiener adalah

Model Katastrofe Cusp Stokastik: Penurunan FDP Stasioner

𝑑𝑥 𝑑𝑡

= −𝜃𝑥 + 𝑓(𝑡)

25

(1)

dengan 𝑓(𝑡) independen terhadap 𝑥 [7]. Persamaan Langevin dapat dinyatakan dalam bentuk PDS Itô dengan 𝜇(𝑥) = −𝜃 𝑥, 𝜎 2 (𝑥) = 1, dan 𝑑𝑊𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 . Dengan demikian persamaan (1) dapat dituliskan sebagai 𝑑𝑥𝑡 = −𝜃𝑥𝑡 𝑑𝑡 + 𝑑𝑊𝑡 ,

(2)

dengan 𝑊𝑡 adalah proses Wiener standar [6]. Salah satu teori dasar yang digunakan pada bahasan utama adalah transformasi Fourier dari fungsi karakteristik. Misalkan 𝑋 adalah variabel acak dengan fungsi densitas 𝑓(𝑥). Fungsi karakteristik dari 𝑋, 𝜙𝑥 (𝑢) atau 𝜙(𝑢) didefinisikan sebagai [13] ∞

𝜙(𝑢) = 𝐸[𝑒 𝑖𝑢𝑥 ] = ∫−∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, (3) dengan 𝑢 ∈ ℝ. Suatu fungsi densitas terdefinisi secara unik dalam bentuk fungsi karakteristik dengan 1 ∞ 𝑓(𝑥) = ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑥 𝜙(𝑢)𝑑𝑢. (4) 2𝜋

Fungsi karakteristik 𝜙(𝑢) dan fungsi densitas 𝑓(𝑥) membentuk suatu pasangan transformasi Fourier dengan 𝑓(𝑥) merupakan balikan transformasi Fourier dari 𝜙(𝑢). Fungsi karakteristik dapat digunakan untuk melihat perilaku suatu fungsi di sekitar suatu titik dengan menggunakan deret Taylor. Deret Taylor dari 𝜙(𝑢) di sekitar titik pusat 𝑢 = 0 adalah 𝑢2

𝜙(𝑢) = 𝜙(0) + 𝜙 ′ (0) 𝑢 + 𝜙 ′′ (0) 2! + ⋯.

(5)

Pada tahap pertama dibahas FDP transisi yang ditentukan dengan mencari solusi integral karakteristik dengan menggunakan sifat-sifat delta Dirac. Delta Dirac adalah fungsi yang digeneralisasi (generalized function) yang didefinisikan sebagai (𝛿, 𝜓(𝑥)) = ∫ 𝛿 (𝑥 − 0)𝜓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜓(0),

(6)

dengan 𝛿(𝑥) adalah fungsi yang digeneralisasi dan 𝜓(𝑥) adalah fungsi uji (test function) [16]. Didefinisikan transformasi Fourier dari fungsi delta 𝛿(𝑥) adalah [16] 𝛾(𝑢) =

∞ 1 ∫ 𝑒 𝑖𝑢𝑥 𝛿(𝑥)𝑑𝑥 √2𝜋 −∞

=

1 √2𝜋

,

sehingga balikan tranformasi Fourier dari 𝛾(𝑢) adalah ∞ 1 1 ∞ 𝛿(𝑥) = ∫ 𝑒 −𝑖𝑢𝑥 𝛾(𝑢)𝑑𝑢 = 2𝜋 ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑥 𝑑𝑢. √2𝜋 −∞

(7)

(8)

Dengan mengubah variabel 𝑥 pada ruas paling kanan persamaan (8) menjadi Δ𝑥, diperoleh ′ 1 ∞ −𝑖𝑢Δ𝑥 1 ∞ 𝑑𝑢 = ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢(𝑥−𝑥 ) 𝑑𝑢 = 𝛿(𝑥 − 𝑥 ′ ) = 𝛿(Δ𝑥). (9) ∫ 𝑒 2𝜋 −∞ 2𝜋 Sifat pertama delta Dirac adalah turunan dari ruas paling kiri persamaan (9), dan dengan

26


menggunakan turunan parsial dan integral parsial dapat ditunjukkan bahwa 𝜕𝑛 1

∞

1

∞

(−1)𝑛 𝜕𝑥 𝑛 2𝜋 ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢Δ𝑥 𝑑𝑢 = 2𝜋 ∫−∞( 𝑖𝑢)𝑛 𝑒 −𝑖𝑢Δ𝑥 𝑑𝑢.

(10)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (9), persamaan (10) dapat ditulis sebagai 𝜕𝑛

1

∞

(−1)𝑛 𝜕𝑥 𝑛 𝛿(Δ𝑥) = 2𝜋 ∫−∞( 𝑖𝑢)𝑛 𝑒 −𝑖𝑢Δ𝑥 𝑑𝑢

(11)

yang merupakan sifat pertama delta Dirac. Jika terdapat 𝑔(𝑥) dan fungsi delta Dirac 𝛿(𝑥 − 𝑦) maka menurut Zauderer [16] (𝑔(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑦), 𝜓(𝑥)) = (𝛿(𝑥 − 𝑦), 𝑔(𝑥)𝜓(𝑥)),

(12)

sehingga dengan menerapkan definisi delta Dirac pada persamaan (6) ke persamaan (12) diperoleh sifat kedua delta Dirac, yaitu 𝑔(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑦) = 𝑔(𝑦)𝛿(𝑥 − 𝑦).

(13)

3. Hasil dan Pembahasan 3.1 Model Katastrofe Cusp Stokastik Katastrofe cusp didasarkan pada fungsi degenerasi terisolasi 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 yang diberikan perturbasi dengan menambahkan dua parameter kontrol 𝑢 dan 𝑣. Fungsi parsial 𝐹𝑢𝑣 (𝑥): = 𝑥 4 − 𝑢𝑥 2 + 𝑣𝑥 merepresentasikan gangguan terhadap 𝑓 = 𝐹0,0, untuk setiap nilai parameter (𝑢, 𝑣). Variabel 𝑥 adalah variabel keadaan (state variable). Variabel kontrol 𝑢 dinamakan faktor bifurkasi karena perubahan nilai variabel 𝑢 dapat menunjukkan perubahan jumlah titik ekuilibrium stabil. Variabel 𝑣 dinamakan faktor asimetri karena perubahan nilai variabel 𝑣 mempengaruhi bentuk fungsi potensial cusp [3]. Fungsi potensial dapat digunakan untuk melihat perilaku suatu persamaan diferensial. 𝑑𝑥 𝑑 Sistem dinamik berkaitan dengan fungsi potensialnya yang dinyatakan dalam 𝑑𝑡 = − 𝑑𝑥 𝑉(𝑥). Jika 𝑥(𝑡) merupakan solusi sistem dinamik tersebut maka titik-titik ekuilibrium dari titik-titik ekstrim dari fungsi potensial 𝑉(𝑥) [10].

𝑑𝑥 𝑑𝑡

adalah

Pandang bentuk katastrofe cusp, dengan fungsi potensial yang didefinisikan sebagai: 1

1

𝑉(𝑥𝑡 ; 𝛽, 𝛼): = 4 𝑥𝑡4 − 2 𝛽𝑥𝑡2 − 𝛼𝑥𝑡 ,

(14)

dengan 𝑥𝑡 adalah variabel keadaan, 𝛽 adalah faktor bifurkasi, dan 𝛼 adalah faktor asimetri. Perilaku sistem dapat dilihat dari perubahan variabel keadaan sepanjang waktu 𝑡 yang dinyatakan sebagai [1]


𝑑𝑥𝑡 𝑑𝑡

=−

𝑑𝑉(𝑥𝑡 ;𝛽,𝛼) 𝑑𝑥𝑡

= −𝑥𝑡3 + 𝛽𝑥𝑡 + 𝛼.

27

(15)

Di bidang aplikasi yang memiliki faktor ketidakpastian diperlukan perilaku nondeterministik pada sistem. Gaussian white noise aditif dapat ditambahkan sebagai faktor ketidakpastian sehingga perilaku sistem akan berubah sepanjang waktu 𝑡 berdasarkan [1] 𝑑𝑥𝑡 = − dengan −

𝑑𝑉(𝑥𝑡 ;𝛽,𝛼) 𝑑𝑥𝑡

𝑑𝑉(𝑥𝑡 ;𝛽,𝛼) 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑡

+ 𝜎𝑥𝑡 𝑑𝑊𝑡 ,

(16)

adalah bagian deterministik (drift), 𝑑𝑥𝑡 adalah perubahan variabel keadaan,

𝜎𝑥𝑡 adalah standar deviasi pada proses 𝑥𝑡 , dan 𝑊𝑡 adalah proses Wiener dengan 𝑑𝑊𝑡 ∼ 𝑁(0, 𝑑𝑡). Persamaan (16) merupakan sistem dinamik nonlinear yang solusinya sulit ditentukan secara eksplisit [12]. Cobb dan Watson [5] memberikan solusi alternatif dengan menjelaskan hubungan antara solusi persamaan (16) dengan fungsi densitas probabilitas (FDP) stasioner 𝑓𝑠 (𝑥). Dengan menggunakan transformasi Fourier terhadap fungsi karakteristik dari fungsi densitas transisi 𝑓(𝑥𝑡 ), deret Taylor dan delta Dirac serta menggunakan persamaan FokkerPlanck diperoleh FDP stasioner [3] 𝑓𝑠 (𝑥)

= Ψ exp (– 𝑉𝑠𝑡𝑜 (𝑥𝑡 )) 1

𝛽

2𝛼

= Ψ exp (− 2𝜎2 (𝑥𝑡 )4 + 𝜎2 (𝑥𝑡 )2 + 𝜎2 (𝑥𝑡 )), 𝑥𝑡

𝑥𝑡

𝑥𝑡

(17)

∞

dengan Ψ adalah konstanta yang memenuhi ∫−∞ 𝑓𝑠 (𝑥)𝑑𝑥 = 1. 3. 2 Pembentukan FDP Stasioner dari Model Katastrofe Cusp Stokastik Seperti pembahasan pada bagian dua, pembentukan FDP stasioner pada persamaan (17) dari model katastrofe cusp stokastik pada persaman (16) dilakukan dengan menggunakan dua tahapan yaitu pembentukan persamaan Fokker-Planck dan pembentukan FDP stasioner. Tahap Pertama: Pembentukan persamaan Fokker-Planck. Langkah 1: Bentuk sifat umum transisi FDP pertama 𝑓(𝑥𝑡 ) ke FDP 𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 ) dari suatu proses stokastik 𝑋𝑡 , di 𝑡 ∈ 𝑇. Akan ditentukan FDP 𝑓(𝑥𝑡 ), 𝑡 ≥ 0, dari proses stokastik 𝑋𝑡 jika diberikan 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓0 (𝑥). Misalkan 𝑓(𝑥𝑡 ) adalah FDP pertama dari suatu proses stokastik 𝑋𝑡 , di 𝑡 ∈ 𝑇 sedemikian sehingga transisi FDP pertama 𝑓(𝑥𝑡 ) ke FDP 𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 ) mempunyai sifat umum ∞

𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 ) = ∫−∞ 𝑓 (𝑥𝑡+Δ𝑡 |𝑥 ′ )𝑓(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ ,

(18)

′

dengan 𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 |𝑥 ) adalah fungsi densitas bersyarat dari variabel acak 𝑋𝑡+Δ𝑡 jika diberikan 𝑋𝑡 = 𝑥 ′ [13]. Langkah 2: Tentukan deret Taylor pada titik 𝑢 = 0 dari fungsi karakteristik bersyarat 𝜙(𝑢𝑡+Δ𝑡 |𝑥 ′ ). Misalkan Δ𝑋 = 𝑋𝑡+Δ𝑡 − 𝑋𝑡 adalah variabel acak, dengan 𝑋𝑡 = 𝑥 ′ . Fungsi karakteristik bersyarat

28


dari variabel acak Δ𝑋 adalah ∞

𝜙(𝑢𝑡+Δ𝑡 |𝑥 ′ ) = 𝐸[𝑒 𝑖𝑢Δ𝑥 |𝑥 ′ ] = ∫−∞ 𝑒 𝑖𝑢Δ𝑥 𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 |𝑥 ′ )𝑑𝑥,

(19)

dengan Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥 ′ . Persamaan Langevin pada persamaan (2) dapat ditulis dalam bentuk persamaan beda sebagai berikut: Δ𝑥𝑡 = −𝜃 𝑥𝑡 Δ𝑡 + Δ𝑊𝑡 ,

(20)

dengan Δ𝑊𝑡 = 𝑊𝑡+Δ𝑡 − 𝑊𝑡 adalah penambahan (increment) dari proses Wiener. Persamaan (20) memiliki fungsi karakteristik bersyarat [13] 𝜙(𝑢𝑡+Δ𝑡 |𝑥 ′ ) = 𝐸[𝑒 𝑖𝑢Δ𝑥 |𝑥 ′ ] = 𝐸[exp(𝑖𝑢(−𝜃 𝑥Δ𝑡 + Δ𝑊𝑡 )) |𝑥 ′ ] = 𝐸[exp(−𝑖𝑢 𝜃 𝑥Δ𝑡) |𝑥 ′ ] + 𝐸[exp(𝑖𝑢Δ𝑊𝑡 ) |𝑥 ′ ].

(21)

Ekspektasi bersyarat pada suku pertama ruas kanan persamaan (21) adalah 𝐸[exp(−𝑖𝑢 𝜃 𝑥Δ𝑡) |𝑥 ′ ] = exp(−𝑖𝑢 𝜃 𝑥 ′ Δ𝑡).

(22)

Karena Δ𝑊𝑡 merupakan variabel acak Gauss dengan mean nol dan variansi Δ𝑡 dan 𝑋𝑡 tidak bergantung terhadap Δ𝑊𝑡 maka ekspektasi bersyarat suku kedua ruas kanan persamaan (21) adalah (𝑖𝑢)2

(23) 𝐸[exp(𝑖𝑢Δ𝑊𝑡 ) |𝑥 ′ ] = exp ( Δ𝑡). 2 Dengan demikian fungsi karakteristik bersyarat persamaan (19) merupakan jumlahan dari persamaan (22) dan (23) yaitu 𝜙(𝑢𝑡+Δ𝑡 |𝑥 ′ ) = exp (−𝑖𝑢 𝜃𝑥 ′ Δ𝑡 +

(𝑖𝑢)2 Δ𝑡). 2

(24)

Selanjutnya untuk mendapatkan solusi sifat umum transisi 𝑓(𝑥𝑡 ) adalah dengan ekspansi fungsi karakteristik 𝜙(𝑢𝑡+Δ𝑡 |𝑥 ′ ) pada deret Taylor di sekitar 𝑢 = 0 sehingga diperoleh 𝜙(𝑢𝑡+Δ𝑡 | 𝑥 ′ ) = 𝜙(𝑢𝑡+Δ𝑡 | 𝑥 ′ )|𝑢=0 + 𝜙 ′ (𝑢𝑡+Δ𝑡 | 𝑥 ′ )|𝑢=0 𝑢 + 𝜙 ′′ (𝑢𝑡+Δ𝑡 | 𝑥 ′ )|𝑢=0

𝑢2 2!

𝑢2

(25) = 1 − 𝑖𝜃𝑥′Δ𝑡 𝑢 + 𝑖 2 Δ𝑡 . 2! Langkah 3: Menentukan solusi sifat umum transisi FDP pertama 𝑓(𝑥𝑡 ) dengan menggunakan transformasi Fourier dari fungsi karakteristik bersyarat 𝜙(𝑢𝑡+Δ𝑡 | 𝑥 ′ ) pada persamaan (19). Balikan transformasi Fourier dari persamaan (19) adalah [13] ∞

1 𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 | 𝑥 ) = ∫ 𝑒 −𝑖𝑢Δ𝑥 𝜙(𝑢𝑡+Δ𝑡 |𝑥 ′ )𝑑𝑢. 2𝜋 ′

−∞

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (25) ke persamaan (26) diperoleh 1

𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 | 𝑥 ′ ) = 2𝜋 ∫ 𝑒 −𝑖𝑢Δ𝑥 𝑑𝑢 −

𝜃𝑥 ′ 𝛥𝑡 ∫ 𝑖 𝑢 𝑒 −𝑖𝑢Δ𝑥 𝑑𝑢 2𝜋

𝛥𝑡

+ 2𝜋2! ∫( 𝑖𝑢)2 𝑒 −𝑖𝑢Δ𝑥 𝑑𝑢

(26)


= ∑2𝑛=0

𝑎𝑛 (𝑥 ′ ) 1 ∞ ∫ ( 𝑖𝑢)𝑛 𝑒 −𝑖𝑢Δ𝑥 𝑑𝑢, 𝑛! 2𝜋 −∞

′

𝑛

29

(27)

′

𝑛

′

dengan 𝑎𝑛 (𝑥 ) = 𝐸[Δ𝑋 | 𝑥 ] = 𝐸[(−𝜃𝑋Δ𝑡 + Δ𝑊(𝑡)) | 𝑥 )] disebut sebagai momen penambahan (incremental moments) yang berhubungan dengan 𝑋𝑡 [13]. Kemudian dengan menggunakan sifat delta Dirac pada persamaan (11) maka persamaan (27) menjadi 𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 | 𝑥 ′ ) = ∑2𝑛=0

(−1)𝑛 𝜕𝑛 𝑎𝑛 (𝑥 ′ ) 𝜕𝑥 𝑛 𝛿(Δ𝑥). 𝑛!

(28)

Dengan mensubstitusikan persamaan (28) ke persamaan (18) diperoleh sifat umum transisi FDP pertama 𝑓(𝑥𝑡 ) dari proses stokastik 𝑋𝑡 sebagai berikut: ∞

𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 ) = ∫−∞ ∑2𝑛=0

𝑛 (−1)𝑛 ′ 𝜕 𝑎 (𝑥 ) 𝛿(Δ𝑥)𝑓(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ 𝑛 𝑛! 𝜕𝑥 𝑛

(−1)𝑛 𝜕𝑛

∞

= ∑2𝑛=0 𝑛! 𝜕𝑥 𝑛 ∫−∞ 𝑎𝑛 (𝑥 ′ )𝛿(Δ𝑥)𝑓(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ . Dengan menuliskan 𝛿(𝑥 − 𝑥 ′ ) = 𝛿(Δ𝑥), persamaan (29) menjadi 𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 ) = ∑2𝑛=0

(−1)𝑛 𝜕𝑛 ∞ ∫ 𝑎 𝑛! 𝜕𝑥 𝑛 −∞ 𝑛

(𝑥 ′ )𝛿(𝑥 − 𝑥 ′ )𝑓(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ .

(29)

(30)

Dengan sifat delta Dirac pada persamaan (13), persamaan (30) menjadi (−1)𝑛 𝜕𝑛 ∞ ∫ 𝑎 (𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑥 ′ )𝑓(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ 𝑛! 𝜕𝑥 𝑛 −∞ 𝑛 ∞ (−1)𝑛 𝜕𝑛 ∑2𝑛=0 𝑎 (𝑥) ∫−∞ 𝛿 (𝑥 − 𝑥 ′ )𝑓(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ . 𝑛! 𝜕𝑥 𝑛 𝑛

𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 ) = ∑2𝑛=0 =

(31)

Sesuai definisi delta Dirac pada persamaan (6), persamaan (31) dapat ditulis sebagai [13] 𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 ) = ∑2𝑛=0

(−1)𝑛 𝜕𝑛 [𝑎𝑛 (𝑥)𝑓(𝑥)]. 𝑛! 𝜕𝑥 𝑛

(32)

Persamaan (32) merupakan solusi sifat umum transisi FDP pertama 𝑓(𝑥𝑡 ) ke FDP 𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 ) dari proses stokastik 𝑋𝑡 . Langkah 4: Bentuk persamaan Fokker-Planck dari transisi FDP 𝑓(𝑥𝑡 ). Lakukan modifikasi aljabar terhadap persamaan (32) sehingga diperoleh 𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 ) − 𝑓(𝑥𝑡 ) = ∑2𝑛=1 =

(−1)𝑛 𝜕𝑛 [𝑎𝑛 (𝑥𝑡 )𝑓(𝑥𝑡 )] 𝑛! 𝜕𝑥 𝑛

−𝜕[𝑎1 (𝑥𝑡 )𝑓(𝑥𝑡 )] 1 𝜕2 [𝑎2 (𝑥𝑡 )𝑓(𝑥𝑡 )] + . 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2

(33)

Kemudian dengan membagi persamaan (33) dengan Δ𝑡 dan menentukan limitnya ketika Δ𝑡 → 0 diperoleh 1 (𝑓(𝑥𝑡+Δ𝑡 ) − Δ𝑡→ 0 𝛥𝑡

lim

1 −𝜕[𝑎1 (𝑥𝑡 )𝑓(𝑥𝑡 )] ( 𝜕𝑥 Δ𝑡→ 0 𝛥𝑡

𝑓(𝑥𝑡 )) = lim 𝜕𝑓(𝑥𝑡 ) 𝜕𝑡

= −

𝜕 [𝛼1 (𝑥𝑡 )𝑓(𝑥𝑡 )] 𝜕𝑥

1 𝜕2 [𝑎2 (𝑥𝑡 )𝑓(𝑥𝑡 )] ) 𝜕𝑥 2

+2 +

1 𝜕2 [𝛼2 (𝑥𝑡 )𝑓(𝑥𝑡 )]. 2 𝜕𝑥 2

(34)

Fungsi 𝛼1 (𝑥𝑡 ) dan 𝛼2 (𝑥𝑡 ) pada persamaan (34) adalah momen-momen turunan (derivative moments) [13], yaitu momen penambahan yang dibagi dengan Δ𝑡 dan ditentukan limitnya ketika Δt → 0. Berikut adalah proses perhitungan momen-momen turunan 𝛼1 (𝑥𝑡 ) dan 𝛼2 (𝑥𝑡 ):

30


𝛼1 (𝑥𝑡 ) = lim

1

Δ𝑡→ 0 𝛥𝑡

𝐸[Δ𝑋(𝑡)|𝑋(𝑡) = 𝑥]

(35)

dengan Δ𝑥𝑡 = −𝜃 𝑥𝑡 Δ𝑡 + Δ𝑊𝑡 adalah persamaan Langevin pada persamaan (20), sehingga persamaan (35) menjadi 1 𝛼1 (𝑥𝑡 ) = lim 𝛥𝑡 𝐸[−𝜃𝑋𝑡 Δ𝑡 + Δ𝑊𝑡 |𝑋(𝑡) = 𝑥] Δ𝑡→ 0

1 (𝐸[−𝜃𝑋𝑡 Δ𝑡|𝑋(𝑡) 𝛥𝑡 Δ𝑡→ 0

= lim

= 𝑥] + 𝐸[Δ𝑊𝑡 |𝑋(𝑡) = 𝑥])

= −𝜃𝑋,

(36)

dan 1 𝐸[(Δ𝑋𝑡 )2 |𝑋(𝑡) = 𝑥] Δ𝑡→ 0 𝛥𝑡 1 lim 𝐸[(−𝜃𝑋𝑡 Δ𝑡 + Δ𝑊𝑡 )2 |𝑋(𝑡) Δ𝑡→ 0 𝛥𝑡

𝛼2 (𝑥𝑡 ) = lim =

= 𝑥]

= 1. (37) Dengan mensubstitusikan persamaan (36) dan (37) ke persamaan (34), maka persamaan (34) menjadi 𝜕𝑓(𝑥𝑡 ) 𝜕𝑡

1 𝜕2

𝜕

= 𝜕𝑥 [𝜃𝑥𝑓(𝑥𝑡 )] + 2 𝜕𝑥 2 [1𝑓(𝑥𝑡 )] =𝜃

𝜕 [𝑥𝑓(𝑥𝑡 )] 𝜕𝑥

+

1 𝜕2 [𝑓(𝑥𝑡 )]. 2 𝜕𝑥 2

(38)

Persamaan (38) dikenal sebagai persamaan Fokker-Planck. Dalam hal ini adalah persamaan Fokker-Planck dari persamaan Langevin. Persamaan Langevin pada persamaan (2) mengikuti bentuk PDS Itô, sehingga proses pada tahap pembentukan persamaan Fokker-Planck dapat dilakukan pada bentuk umum PDS Itô. Misalkan suatu persamaan diferensial stokastik memenuhi PDS Itô 𝑑𝑥𝑡 = 𝜇(𝑥𝑡 )𝑑𝑡 + 𝜎(𝑥𝑡 )𝑑𝑊𝑡 , dengan persamaan beda

(39)

Δ𝑥𝑡 = 𝜇(𝑥𝑡 )Δ𝑡 + 𝜎(𝑥𝑡 )Δ𝐵𝑡 .

(40)

Dengan mengacu proses perubahan persamaan (2) menjadi persamaan (38), maka persamaan Fokker-Planck dari PDS Itô pada persamaan (39) adalah 𝜕𝑓(𝑥𝑡 ) 𝜕𝑡

=

𝜕 [−𝜇(𝑥𝑡 )𝑓(𝑥𝑡 )] 𝜕𝑥

+

1 𝜕2 [𝜎 2 (𝑥𝑡 )𝑓(𝑥𝑡 )]. 2 𝜕𝑥 2

(41)

Tahap Kedua: Tentukan FDP stasioner bentuk umum PDS Itô pada persamaan (41). Di bawah kondisi momen-momen turunan 𝛼𝑛 (𝑥𝑡 ) yang tidak bergantung terhadap waktu 𝑡, ekspektasi FDP 𝑓(𝑥𝑡 ) mendekati nilai stasioner [13]. Dalam menentukan FDP stasioner dilakukan hal-hal sebagai berikut: 𝜕𝑓(𝑥𝑡 ) =0 𝜕𝑡 𝜕 1 𝜕2 [−𝜇(𝑥)𝑓 ] + [𝜎 2 (𝑥)𝑓𝑠 ] 𝑠 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2

= 0, kemudian dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (42), diperoleh 1 𝜕

−𝜇(𝑥)𝑓𝑠 (𝑥) + 2 𝜕𝑥 [𝜎 2 (𝑥)𝑓𝑠 (𝑥)] = 𝑐1 .

(42) (43)


31

Dengan memisalkan 𝜎 2 (𝑥)𝑓𝑠 (𝑥) = ℎ(𝑥) [13], persamaan (43) menjadi 𝜕 2𝜇(𝑥) ℎ(𝑥) − 𝜎2 (𝑥) ℎ(𝑥) 𝜕𝑥

= 2𝑐1 .

(44)

Persamaan (44) memiliki bentuk persamaan diferensial linear orde 1 yang mempunyai solusi 𝑥

𝜇(𝑠)

𝑥

𝑟

𝑥 𝜇(𝑠) 𝑑𝑠] [𝑐 𝜎 2 (𝑠)

+ 2𝑐1 ∫0 exp [2 ∫𝑥 − 𝜎2 (𝑠) 𝑑𝑠] 𝑑𝑟].

𝜇(𝑠)

ℎ(𝑥) exp [2 ∫0 − 𝜎2 (𝑠) 𝑑𝑠] = ∫0 2 𝑐1 exp [2 ∫𝑥 − 𝜎2 (𝑠) 𝑑𝑠] 𝑑𝑟 + 𝑐, atau ℎ(𝑥) = exp [2 ∫0

𝑥

𝑟

𝜇(𝑠)

Kemudian jika pada persamaan (45) diasumsikan 𝑓𝑠 (±∞) = 0 dan 𝑓𝑠 (𝑥) =

ℎ(𝑥) 𝜎 2 (𝑥)

diperoleh

ℎ(𝑥) 𝜎 2 (𝑥)

𝑑 ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 𝜎 2 (𝑥)

= 0 dan

𝑑𝑓𝑠 (±∞) 𝑑𝑥

(45) = 0, maka karena

= 0. Dengan demikian persamaan (44) bernilai

0, atau dengan perkataan lain 𝑐1 = 0, sehingga persamaan (45) menjadi 𝑥 𝜇(𝑠) 𝑑𝑠]. 𝜎 2 (𝑠)

ℎ(𝑥) = 𝑐 exp [2 ∫0

(46)

Selanjutnya, karena ℎ(𝑥) = 𝜎 2 (𝑥)𝑓𝑠 (𝑥) maka persamaan (46) menjadi 𝑓𝑠 (𝑥) =

𝑐 exp 𝜎 2 (𝑥)

𝑥 𝜇(𝑠) 𝑑𝑠], 𝜎 2 (𝑠)

[2 ∫0

(47)

∞

dengan 𝑐 adalah konstanta yang memenuhi ∫−∞ 𝑓𝑠 (𝑥)𝑑𝑥 = 1 [13]. Persamaan (47) adalah FDP stasioner dari persamaan Fokker-Planck pada persamaan (41). Model katastrofe cusp stokastik pada persamaan (16) memiliki bentuk PDS Itô dengan 𝑑𝑉(𝑥 ;𝛽,𝛼) 𝜇(𝑥) = − 𝑑𝑥𝑡 dan 𝜎 2 (𝑥) = 𝜎𝑥2𝑡 . Dengan menggunakan langkah-langkah pada tahap 𝑡

pertama, PDS Itô pada persamaan (16) mempunyai persamaan Fokker-Planck 𝜕𝑓(𝑥𝑡 ) 𝜕𝑡

=

𝜕 𝑑𝑉(𝑥𝑡 ;𝛽,𝛼) 1 𝜕2 [ ]+ [𝜎 2 𝑓(𝑥𝑡 )]. 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑡 2 𝜕𝑥 2 𝑥𝑡

(48)

Kemudian dengan menerapkan proses tahap ke dua pada persamaan (48) seperti pada proses perubahan persamaan (41) menjadi persamaan (47), diperoleh 𝑓𝑠 (𝑥) =

𝑐 exp 𝜎𝑥2𝑡

𝑥 −𝑑𝑉(𝑠;𝛽,𝛼)/𝑑𝑠

[2 ∫0

𝜎𝑠2𝑡

𝑑𝑠].

(49)

Sesuai dengan model katastrofe cusp stokastik pada persamaan (16), maka persamaan (49) dapat dituliskan sebagai 𝑐

𝑥 (−𝑠3 +𝛽𝑠+𝛼)

𝑓𝑠 (𝑥) = 𝜎2 exp [2 ∫0 Ψ exp [2

𝑥𝑡 1 𝛽 (− 𝑥 4 + 𝑥 2 +𝛼𝑥) 4 2 𝜎𝑥2𝑡

𝜎𝑠2𝑡

𝑑𝑠] = (50)

], ∞

dengan Ψ adalah konstanta yang memenuhi ∫−∞ 𝑓𝑠 (𝑥)𝑑𝑥 = 1.

32


Karena koefisien difusi 𝜎𝑥𝑡 pada persamaan (50) merupakan fungsi konstan maka menurut Wagenmakers et al. [15], fungsi potensial 𝑉(𝑥𝑡 ) memiliki hubungan dengan fungsi potensial stokastik 𝑉𝑠𝑡𝑜 (𝑥𝑡 ) yang memenuhi persamaan 𝑉𝑠𝑡𝑜 (𝑥𝑡 ) =

2𝑉(𝑥𝑡 ) . 𝜎𝑥2𝑡

(51)

Dengan demikian diperoleh bahwa FDP stasioner pada persamaan (50) adalah FDP stasioner pada persamaan (17), sehingga telah ditunjukkan bahwa model katastrofe cusp stokastik berhubungan dengan suatu FDP stasioner.

4. Kesimpulan Dari uraian di atas diperoleh kesimpulan bahwa model katastrofe cusp stokastik dapat diturunkan menjadi suatu FDP stasioner yang merupakan solusi alternatif bagi PDS cusp. Ucapan terima kasih. Terimakasih kepada Loren Cobb yang telah mengirimkan beberapa artikel yang sangat mendukung penulisan makalah ini.

Daftar Pustaka [1] Barunik, J., & Vosvrda, M., 2009, ” Can a stochastic cusp catastrophe model explain stock market crashes?” Journal of Economic Dynamic & Control, 33, 1824-1836. [2] Castrigiano, D.P.L., & Hayes, S.A., 1993, Catastrophe theory, Addison-Wesley, Canada. [3] Chamama, F., 2012, “Model katastrofe cusp stokastik pada krisis pasar saham”, Tesis Departemen Matematika, Universitas Indonesia. [4] Chamama, F., Handari, B.D., & Tasman, H., 2012, “Aplikasi Model katastrofe cusp stokastik pada krisis pasar saham”, KNM XVI, IndoMS. [5] Cobb, L., & Watson, B., 1980, “Statistical catastrophe theory : An overview”, Mathematical Modelling, 1, 311-317. [6] Cobb, L., & Koppstein, P., & Neng, H.C., 1983, “Estimation and moment recursion relations for multimodal distributions of the exponential family”, Journal of the American Statistical Association, 78 (381), 124-130. [7] Cobb, L., 1999, ”Stochastic differential equations for the social sciences”. Mathematical Frontiers of the Social and Policy Sciences, Chapter 2. Westview Press. [8] Cobb, L., & Zacks, S., 1985, ”Applications of catastrophe theory for statistical modelling in the biosciences”. Journal of the American Statistical Association, 80 (392),793-802. [9] Fischer, E.O., & Jammmernegg, W., 1986,”Empirical Investigation of a catastrophe theory extension of the Phillips Curve”. The Review of Economics and Statistics, 68 (1),. 9-17. 10] Hale, J., & Kocak, H., 1991, Dynamics and bifurcations, Springer-Verlag, New York. [11] Kwok, L.S., 1990,”Application of Catastrophe Theory to Corneal Swelling”, Proceedings: Biological Sciences, 242 (1305), 141-147.


33

[12] Shreve, S.E., 2004, Stochastic calculus for finance II Continuous-time models, Springer, New York. [13] Soong, T.T., 1973, Random differential equations in science and engineering, Academic Press, New York. [14] van der Maas, H.L.J., Kolstein, R., & van der Pligt, J., 2003, ”Sudden Transitions in Attitudes”, Sociological Methods & Research, 32 (2), 125-152. [15] Wagenmakers, E.J., Molenaar, P.C.M,. Hartelman, P.A.I., & van der Maas, H.L.J., 2005. “Transformation invariant stochastic catastrophe theory”,Physica D, 211, 263-276. [16] Zauderer, E., 2006, Partial differential equations of applied mathematics (3rd ed), John Wiley & Sons, New Jersey.

34


MODEL KATASTROFE CUSP STOKASTIK: PENURUNAN FDP STASIONER

Recommend Documents