Model Runtun Waktu Stasioner

Chapter 3

Model Runtun Waktu Stasioner Proses-proses stasioner (W-S) yang penting adalah sebagai berikut: • White Noise • Moving Average: MA(1), MA(q), MA(∞) • Autoregressive: AR(1), AR(p), AR(∞) • Autoregressive Moving Average: ARMA(p, q) Pada sub bab berikut, proses-proses diatas akan dibahas lebih detail.

3.1

Proses White Noise

Proses ”white noise” {Xt } adalah barisan variabel random tidak berkorelasi dengan mean µ = 0 dan variansi σ 2 yakni cov(Xt+h , Xt ) = cor(Xt+h , Xt ) =

σ2 , h = 0 0, h 6= 0 σ2 , h = 0 0, h 6= 0

Dapat ditunjukan proses white noise bersifat stasioner. Proses ini merupakan ”buliding block” bagi proses stasioner lainnya. Sering ditulis Xt ∼ W N (0, σ 2 ). Perhatikan dari definisi diatas diperoleh bahwa cov(Xt , Xs ) = σ 2 jika dan hanya jika t = s, dan bernilai 0 jika t 6= s.

3.2

Proses MA(1)

Proses moving average orde 1 dapat dituliskan sebagai Xt = εt + θ εt−1 , t ∈ Z, εt ∼ W N (0, σ 2 ), θ ∈ R Dengan demikian E(Xt ) = 0, E(Xt2 ) = σ 2 (1 + θ2 ) < ∞ dan  2 h=0  (1 + θ2 )σZ 2 θσZ h = ±1 γX (t + h, t) =  0 |h| > 1 9

10

CHAPTER 3. MODEL RUNTUN WAKTU STASIONER

yang tidak bergantung pada t. Terlihat proses MA(1) merupakan proses yang stasioner. Selanjutnya disini diperoleh  1 h=0  θ h = ±1 ρX (h) = 2  (1+θ ) 0 |h| > 1

3.3

Proses MA(q)

{Xt } disebut proses moving average orde q, dapat dituliskan sebagai Xt = b0 εt + b1 εt−1 + · · · + bq εt−q =

q X

bj εt−j , εt ˜W N (µ, σ 2 )

j=0

dimana b0 = 1, b1 , b2 , · · · , bq ∈ R. Diperoleh • Mean m(t) = EXt = (b0 + b1 + . . . + bε )µ, merupakan suatu konstanta Kovariansi Definisikan

˜ t = Xt − m(t), ε˜t = εt − µ X

maka diperoleh

˜ t = ε˜t + b1 ε˜t−1 + · · · + bq ε˜t−q X

Dengan demikian diperoleh ˜ t2 = X

q X q X i=0 j=0

sehingga dari sifat proses white noise didapat ˜ 2) = E(X t

q X q X

bi bj εet−i εet−j

bi bj E(e εt−i εet−j ) = σ 2

i=0 j=0

q X

b2i

j=0

˜t ) = var(Xt ) tidak bergantung pada t. Selanjutnya, definisikan Yakni disimpulkan var(X ˜t X ˜s = X

q X q X i=0 j=0

bi bj εet−i εes−j

Asumsikan s ≤ t, maka diperoleh

˜tX ˜s = γ(t, s) = E X

  

σ2

q−s+t P

bi bi−t+s

|t − s| 6 q

i=0

0

|t − s| > t

hanya bergantung pada jarak s − t = h, yakni

γ(h) = dan

  

σ2

q−|h| P

bi bi+h

|h| 6 q

i=0

0

|h| > t

3.4. PROSES AR(1) (SKEMA MARKOV)

γ(h) =

      

11

q−|h| P

bi bi+h

i=0

q P

j=0

|h| 6 q

b2i

0

|h| > t

Catatan: Secara equivalen dapat ditunjukkan bahwa γ(t, s) = σ 2

Pq

i=t−s bi bi−t+s , 0

≤t−s≤q

Dari analisa diatas, terlihat bahwa M A(q) adalah proses (W − S) stasioner karena memenuhi aksioma proses stasioner.

3.4

Proses AR(1) (skema Markov)

Proses AR(1) didefinisikan sebagai Xt = aXt−1 + εt , εt ∼ W N (µ, σ 2 ), a ∈ R Definisikan X˜t = Xt − E(Xt ) ε˜t = εt − E(εt ) → E(ε˜t ) = 0 Anggap sistem mulai dari t = 0, X0 konstanta atau non stokastik. Diperoleh dengan substitusi sederhana ˜ t = Xt − E(Xt ) X = aXt−1 + εt − E(aXt−1 + εt ) = aXt−1 + εt − aE(Xt−1 ) + E(εt ) = a(Xt−1 − E(Xt−1 )) + (εt − E(εt )) ˜ t−1 + ε˜t = aX Selanjutnya dengan substitusi berulang diperoleh ˜ t = at X ˜0 + X

t−1 X

aj ε˜t−j

j=0

Disini diperoleh ˜ t ) = at X ˜ 0 , yakni E(X ˜0 ) = X ˜ 0 diasumsikan konstanta E(X ˜t) = Var (X

t−1 X

a2j σ 2

j=0

t+h−1 X

˜t+h , X˜t ) = E( cov(X

aj ε˜t+h−j

j=0

t−1 X i=0

ai ε˜t−i ) =

t−1 X

ah+2i σ 2

i=0

Diperoleh beberapa keadaan ˜ t = ε˜t ←− proses stasioner. 1. a = 0 =⇒ X ˜ t ) −→ 0, t → ∞ dan var(X ˜ t ) → 1 2 σ 2 , t → ∞. Keadaan ini seringkali 2. |a| < 1 =⇒ E(X 1−a disebut kasus ”stable” atau BIBO (Bounded input gives Bounded Output), bersifat stasioner secara asimtotik

12

CHAPTER 3. MODEL RUNTUN WAKTU STASIONER ˜ t | = |a|t |X ˜ 0 | → ∞, t → ∞ 3. |a| > 1 =⇒ |E X ˜t ) = var(X

a2t − 1 2 σ → ∞, t → ∞ a2 − 1

=⇒ bersifat tidak stable secara eksponensial (exponentially unstable) ˜ t ) = |X ˜ 0 | dan var(X ft ) = σ 2 t. Terlihat variansi akan menuju tak hingga 4. |a| = 1 =⇒ E(X tetapi tidak secara exponentially unstable. Untuk a = 1 diperoleh proses ”random walk” ˜t = X

t−1 X

˜0 ε˜t−j + X

j=0

Proses ini sering digunakan untuk menggambarkan pergerakan harga saham. ˜ 0 , tetapi dimulai pada Sekarang misalkan sistem tidak dimulai dari waktu t = 0 dengan X ˜ waktu dengan t = −T dengan nilai awal X−T maka untuk kasus ”stable” dalam limit untuk T → ∞ diperoleh penyelesaian berbentuk ˜t = X

∞ X

aj ε˜t−j

j=0

Penyelesaian berbentuk demikian sering disebut penyelesaian ”steady state” karena merupakan penyelesaian untuk ”stable” yang dimulai dari ”waktu lampau yang tidak berhingga”. Penyelesaian ”steady-state” juga merupakan penyelesaian stasioner secara asimtotik.

3.5

Proses MA(∞)

Proses ini dapat dinyatakan sebagai Xt =

∞ X

bj εt−j , εt ∼ W N (0, σ 2 )

j=−∞

PN Interpretasi dari jumlahan/sum diatas adalah nilai limit dalam ”mean square” dari j=−N bj εt−j , N ∈N yakni berlaku N X E(Xt − bj εt−j )2 → 0, N → ∞ j=−N

Definisi 3.5.1. Misalkan {Xk , k ∈ N} adalah barisan variabel random {Xk , k ∈ N} konvergen ke X0 dalam ”mean-square” jika dan E(X02 ) < ∞ dan lim E(Xk − X0 )2 = 0

k→∞

Ditulis X0 = l.i.m.Xk k→∞

Catatan : var(Xk − X0 ) → 0 untuk X0 = E(Xk ) Teorema 3.5.2. (Riesz-Fischer) Diberikan barisan variabel random Xk dengan E(Xk2 ) < ∞. Maka terdapat variabel random X0 sedemikian hingga X0 = l.i.m. Xk jika dan hanya jika lim E(Xk − Xl )2 = 0

k→∞

untuk k, l → ∞

3.6. PROSES AR(P )

13

Terlihat dari teorema diatas, Xk memenuhi sifat Cauchy Convergence ∞ P Kondisi untuk Cauchy Convergence : b2j < ∞ j=−∞

∞ P

Proses M A(∞) dengan

j=∞

b2j

< ∞ adalah proses stasioner

Bukti : Karena fungsi ekspektasi adalah fungsi kontinu, maka dengan mengaplikasikan Monotone Convergence Theorem dan Lemma Fatou diperoleh E(Xt ) = E( lim

n→∞

n X

bj εt−j ) = lim E( n→∞

j=−n

= lim

n→∞

n X

bj εt−j )

j=−n n X

bj E(εt−j )

j=−n

=0 Selanjutnya, didapatkan cov(Xt , Xs ) = E(Xt Xs ) = E(

∞ X

bj εt−j )(

j=−∞

= =

∞ X

∞ X

bj εs−i )

i=−∞

bi bj E(εt−i εs−j )

i,j=−∞ ∞ X

bi bt−s+i σ 2

j=−∞

Definisikan jarak antar waktu h = t − s maka diperoleh cov(Xt , Xs ) = cov(Xt+h , Xt ) =

∞ X

bi bi+h σ 2

i=−∞

merupakan suatu fungsi yang hanya bergantung kepada jarak h, independen terhadap t.Dapat disimpulkan Xt proses stasioner. Contoh 3.5.3. Pandang proses AR(1) dengan |a| < 1 . Didepan telah ditunjukkan bahwa proses ∞ P ini stasioner dengan penyelesaian steady-state berbentuk Xt = aj εt−j , εt ∼ W N (0, σ 2 ). Denj=0

gan memandang bentuk untuk proses diperoleh bj = aj , j > 0 dan bj = 0 untuk P∞M A(∞) Pdiatas, ∞ 1 2 2j j < 0. Dengan demikian didapat j=0 bj = j=0 a = 1−a 2 < ∞, sehingga dapat disimpulkan bahwa penyelesaian steady-state untuk proses AR(1) diatas stasioner . Hasil ini juga dapat diperP a|h| j j+h oleh dari fakta bahwa E(Xt ) = 0 dan cov(Xt , Xt+h ) = σ 2 ∞ = σ 2 1−a 2 , suatu fungsi j=0 a a dari jarak h, bukan merupakan fungsi dari t.

3.6

Proses AR(p)

Proses autoregressive orde p dapat ditulis sebagai Xt = a1 Xt−1 + a2 Xt−2 + . . . + ap Xt−p + εt , t ∈ Z dengan a1 , a2 , . . . , ap ∈ R, εt ∼ W N (0, σ 2 ). Dengan mendefinisikan operator backward-shift (lag operator) untuk proses {Xt } sebagai (B j X)t = Xt−j

j, t ∈ Z

14


maka proses AR(p) dapat dituliskan sebagai berikut: Xt − a1 Xt−1 a2 Xt−2 − . . . − ap Xt−p = εt Xt − a1 (BX)t − a2 (B 2 X)t − . . . − ap (B p X)t = εt (1 − a1 B − a2 B 2 − . . . − ap B p )Xt = εt D(B)Xt = εt dengan polinomial D(z) = (−an z − . . . ap z p ). Jika polinomial D(z) memiliki sifat tertentu maka proses AR(p) akan bersifat stasioner (dibahas lebih lanjut pada subbagian ”kausalitas dan invertible”.

3.7

Proses ARMA(p, q)

Proses Xt adalah suatu proses ARM A(p, q) dapat ditulis sebagai Xt − a1 Xt−1 − . . . − ap Xt−p = εt + b1 εt−1 + . . . + bq εt−q dengan a1 , a2 , . . . , ap , b1 , b2 , . . . , bq ∈ R, εt ∼ W N (0, σ 2 ). Dengan menggunakan operator lag maka proses ARMA(p, q) dapat ditulis menjadi D(B)Xt = C(B)εt dengan D(z) = 1 − a1 z − . . . − ap z p C(z) = 1 + b1 z + b2 z 2 + . . . + bq z q Jika polinomial D(z) memiliki sifat tertentu maka proses AR(p) akan stasioner (dibahas lebih lanjut pada bagian ”kausalitas dan invertible”). Kasus khusus dari proses ARM A(p, q) 1. AR(p) jika C(z) = 1, D(z) = 1 − a1 z − . . . − ap z p 2. M A(q) jika D(z) = 1, C(z) = 1 + b1 z + b2 z 2 + . . . + bq z q

3.8

Kausalitas dan Invertibilitas

Definisi 3.8.1. (Kausalitas)Jika proses linear Xt = ∞ P b2j < ∞, maka Xt disebut fungsi kausal (dari εt )

P∞

j=−∞ bj εt−j

berlaku bj = 0, j < 0 dan

j=0

Catatan: P∞ 1. Proses Xt = j=−∞ bj εt−j merupakan kelas proses stasioner yang penting, yang disebut proses linear (atau seringkali disebut sebagai proses Wold) 2. Untuk proses linear yang kausal berlaku Xt =

∞ P

bj εt−j , yakni proses Xt hanya bergantung

j=0

kepada nilai-nilai εs , s ≤ t (yakni nilai-nilai proses εt di nasa lampau). 3. Agar proses linear memenuhi kondisi l.i.m. maka dibutuhkan kondisi

∞ P

j=−∞

yang lebih umum untuk mean square convergence adalah: ∞

∞ P

j=−∞

b2j < ∞. Kondisi

|bj | < ∞ dan lim sup E|Xt |2 <

3.8. KAUSALITAS DAN INVERTIBILITAS

3.8.1

15

Kausalitas dari proses ARMA (p, q)

Misalkan {Xt } adalah ARMA (p, q) berbentuk D(B)Xt = C(B)εt , dengan polinomial D(•) dan C(•) tidak memiliki akar-akar yang sama. Maka {Xt } akan bersifat kausal jika dan hanya jika D(z) 6= 0 untuk |z| ≤ 1, z ∈ C . Dengan kata lain-polinomial D(z) (dari polinomial autoregresi) tidak memiliki akar-akar dalam unit circle |z| ≤ 1, yakni jika zi , i = 1, . . . , r adalah akar-akar berbeda dari D(z) maka berlaku |zi | > 1. ∞ P bj 2 < ∞ akan dipenuhi, yakni Xt akan stasioner. Pada Jika Xt bersifat kausal maka kondisi j=0

kasus kausal, penyelesaian untuk Xt dapat ditulis sebagai ∞

Xt =

∞

X X C(B) εt = bj B j εt = bj εt−j D(B) j=0 j=0

dengan εt ∼ W N (0, σ 2 ) Penyelesaian steady-state Jika polinomial D(z) 6= 0 untuk |z| = 1 (yakni akar-akar dari polinomial D(z) memiliki nilai mutlak 6= 1), maka terdapat penyelesaian yang bersifat ”steady state” untuk Xt . Xt =

∞ ∞ X X C(B) εt = bj B j εt = bj εt−j D(B) j=−∞ j=−∞

Penyelesaian yang diperoleh tidak selalu bersifat stasioner, stasioner hanya apabila ∞.

P∞

j=−∞

|cj | <

Ekspansi dari D(z)

Penyelesaian untuk proses ARMA, D(B)Xt = C(B)εt , dapat diperoleh dengan ekspansi dari poliC(B) nomial D(B) dalam persamaan Xt = D(B) εt (yakni ingin ditentukan deret berupa proses MA(∞) yang ekuivalen sebagai hasil ekspansi D(B) dikalikan polinomial C(B)). Untuk menentukan ben∞ P tuk ekspansi dari D(z) = hj z j = H(z) untuk r1 < |z| < r2 , r1 , r2 , ∈ C maka polinomial D(z) j=−∞

dapat dituliskan sebagai

D(z) = c(z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zr ) dimana z1 , z2 , . . . , zr adalah akar-akar dari D(z) dan c suatu konstanta yang harus ditentukan. Dengan demikian diperoleh 1 1 1 1 1 = . ... D(z) c z − z1 z − z2 z − zr 1 Ekspansi D(z) selanjutnya dapat diperoleh dengan melakukan ekspansi dari setiap faktor ke dalam deret geometri berikut

1. Kasus |zi | > 1 1 1 1 =− z − zi zi 1 − z1i z =−

∞ 1 X −j j (z )z , ∀|z| < zi zi j=0 i

16

CHAPTER 3. MODEL RUNTUN WAKTU STASIONER 2. Kasus |zi | < 1 1 1 X zi j 1 1 = zi = z − zi z1− z z j=0 z ∞

=

∞ X

zi z −(j+1)

j=0

= z −1 + zi z −2 + zi2 z −3 + . . . ∞ X = zij−1 z −j j=1

=

−1 X

zi−j−1 z j , ∀|z| > zi

j=−∞

=

−1 1 X (zi )−j z j zi j=−∞

Catatan: Untuk proses yang kausal, penyelesaian dapat diperoleh dengan metode lain, lihat bagian (3.8.3). Contoh 3.8.2.

1. AR(1) (Skema Markov) Xt = aXt−1 + εt ⇔ Xt − aXt−1 = εt ⇔ (1 − aB)Xt = εt 1 1 D(z) = 1 − aZ = −a(z − ) → c = −a, z1 = a a 1 1 1 1 H(z) = = =− D(z) c(z − zi ) a z − a1

Akar-akar dari D(z) = 0 → 1 − az = 0 1 1 ⇔ z = ⇒ jika | | > 1 atau |a| < 1 maka Xt kausal a a Misalkan |a| < 1 atau | a1 | > 1 ∞ ∞ X 1 1 X −j j =− (z1 )z = −a aj z j z − z1 z1 j=0 j=0

maka H(z) =

∞ ∞ X X 1 1 =− .−a aj z j = aj z j D(z) a j=0 j=0

Maka diperoleh penyelesaian kausal Xt = H(B)εt =

∞ X j=0

aj B j ε t =

∞ X

aj εt−j

j=0

2. AR(2) (Proses Yule) Xt = a1 Xt−1 + a2 Xt−2 + εt Agar stasioner (kausal) maka akar-akar dari polinomial D(z) = | − a1 z − az z 2 harus berada di luar ”unit circle”, yakni |zi | > 1, i = 1, 2. Sebagai contoh :


17

a D(z) = (1 − 1.5z + 0.56z 2) = (1 − 0.7z)(1 − 0.8z) 1 1 , z2 = 0.8 , |zi | > 1, i = 1, 2 → proses stasioner z1 = 0.7 b D(z) = (1 − 0.2z − 0.8z 2 ) = (1 − z)(1 + 0.2z) → z1 = 1, z2 = non kausal, non steady state sehingga non stasioner.

1 0.2

→ |z1 | = 1 → bersifat

Kondisi stasioner dari AR(2) dapat dinyatakan dengan parameter-parameternya a1 , a2 . Akar-akar dari D(z) = 1 − a1 z − a2 z 2 adalah p p a1 + a21 + 4a2 a1 − a21 + 4a2 z1 = , z2 = −2a2 −2a2 Jika z1 , z2 akar-akar dari persamaan D(z) maka 1 1 z)(1 − z) = 0 z1 z2 1 1 1 1 = 1 − ( + )z + ( )=0 z z z z | 1 {z 2 } | 1{z 2 }

D(z) = (1 −

−a1

a2

−2a 1 1 −2a p 2 p 2 + = −a1 + = 2 z1 z2 a1 + a1 + 4a2 a1 − a21 + 4a2 1 1 4a2 . = 2 = a2 z1 z2 4a2 Kondisi untuk stasioner: |zi | > 1 ⇐⇒ | z1i | < 1, i = 1, 2 maka |a2 | = |

|a1 | = |

1 1 | < 1 ⇒ −1 < a2 < 1 z1 z2

1 1 + | < 2 ⇒ −2 < a1 < 2 z1 z2

Untuk akar-akar real: a21 + 4a22 ≥ 0 −1 <

1 = z1

2a2 2a2 1 q p 6 = <1 2 + 4a z 2 2 −a − a 1 2 1 −a1 + a1 + 4a2 | {z } ≥0

2a2 p ⇐⇒ −1 < <1 −a1 + a21 + 4a2 q ⇐⇒ 2a2 + a1 < a21 + 4a2 , kuadratkan ⇐⇒ 4a22 + 4a2 a1 + a21 < a21 + 4a2 ⇐⇒ 4a22 + 4a2 a1 − 4a2 < 0 ⇐⇒ 4a2 (a2 + a1 − 1) < 0 ⇐⇒ (a2 + a1 ) < 1

18


2a2 p > −1 −a1 + a21 + 4a2

q ⇐⇒ 2a2 − a1 > a21 + 4a2 q ⇐⇒ a1 − 2a2 < a21 + 4a2

⇐⇒ −4a2 (a1 − a2 + 1) < 0 ⇐⇒ a1 − a2 < 1

3.8.2

Invertibilitas

Definisi 3.8.3. (Invertible) Suatu proses ARMA (p, q) didefinisikan dengan persamaan D(B)Xt = C(B)εt dengan D(z) = 1 − a1 z − . . . − ap z p C(z) = 1 + b1 z + . . . + bq z q disebut ”invertible” jika terdapat barisan konstanta {hj } sedemikian hingga εt =

∞ X

P∞

j=0

h2j < ∞ dan

hj Xt−j , t ∈Z, h0 = 1 (proses AR(∞))

j=0

Terlihat bahwa sifat kausalitas dan invertible menunjukan hubungan antara {Xt } dan {εt } Teorema 3.8.4. Diberikan {Xt } suatu proses ARMA(p, q) dengan polinomial D(•) dan C(•) tidak memiliki akar-akar yang sama. Maka {Xt } invertible jika dan hanya jika C(z) 6= 0 untuk semua z ∈ C sedemikian hingga |z| ≤ 1. Dengan kata lain, akar-akar berbeda dari C(z), yakni z1 , . . . , zk , akan memiliki sifat |zi | > 1, i = 1, 2, . . . , k. Contoh : 1. Tentukan apakah proses berikut proses yang kausal dan/atau invertible Xt = Yt − 0.4Yt−1 Wt = Yt − 2.5Yt−1 dengan Yt adalah suatu proses stasioner yang memiliki mean 0 Jawab : Xt dan Wt adalah proses M A(1), maka menurut definisi, M A orde q selalu Pproses ∞ merupakan proses kausal (yakni memenuhi definisi kausal, Xt = j=0 cj εt−j , cj = 0 untuk P∞ j < 0, j=0 cj < ∞ dan mengambil nilai cj = 0, j ≥ 2). Untuk proses Xt , polinomial 1 , sehingga |z1 | = 2, 5 > 1 maka bersifat C(z) = 1 − 0, 4z yakni akarnya adalah z1 = 0,4 1 invertible. Untuk proses Wt , polinomial C(z) = 1 − 2, 5z sehingga akar-akarnya z1 = | 2.5 |= 0.4 < 1, maka bersifat tidak invertible. Catatan : Berdasarkan definisi dapat ditunjukkan bahwa proses MA(q), q < ∞ selalu bersifat kausal, sedangkan proses AR(p), q < ∞ selalu bersifat invertible, sedangkan untuk proses ARMA(p, q) bergantung kepada akar-akar dari polinomial-polinomialnya.


19

2. Dimiliki proses ARMA(2,1) berbentuk Xt = 0.9Xt−1 − 0.04Xt−2 + εt + 0.25εt−1 dengan εt ∼ W N (0, σ 2 ). Diperoleh Xt − 0.9Xt−1 + 0.04Xt−2 = εt + 0.25εt−1 maka dimiliki D(z) = 1 − 0.5z + 0.04z 2 = (1 − 0.4z)(1 − 0.1.z) C(z) = 1 + 0.25z 1 1 Karena akar-akar D(z) adalah z1 = 0.4 , z2 = 0.1 maka Xt proses kausal dan stasioner! 1 Karena akar-akar dari C(z) adalah z1 = 0.25 maka xt adalah proses yang invertible.

3.8.3

Menentukan koefisien-koefisien dari penyelesaian Kausal

Diberikan proses ARMA(p, q) yang kausal D(B)Xt = C(B)εt maka penyelesaian kausal akan berbentuk Xt = H(B) εt =

∞ X

hj B j ε t

j=0

=

∞ X

hj εt−j

j=0

C(z) Polinomial H(z) = D(z) , |z| ≤ 1 diperoleh dengan ekspansi dari polinomial D(z) yang memiliki akar-akar dengan nilai absolut > 1. Disini diperoleh

D(z) = 1 − a1 z − . . . − ap z p C(z) = 1 + b1 z + . . . + bq z q Sehingga diperoleh dari H(z) =

C(z) D(z)

berlaku H(z)D(z) = B(z)

2

3

2

(h0 + h1 z + h2 z + h3 z + . . .)(1 − a1 z − a2 z − . . . − ap z p ) = (1 + b1 z + . . . + bq z q ) Dengan menyamakan koefisien diperoleh z 0 : h0 = b 0 = 1 z 1 : h 1 − h 0 a1 = b 1 ⇔ h 1 = b 1 + h 0 a1 = b 1 + a1 z 2 = h 2 − h 0 a2 − h 1 a1 = b 2 ⇔ h2 = b2 + h0 a2 + h1 a1 = h2 + a2 + c1 b1 + a21 .. . Bentuk Umum : (∗∗) hj −

X

ak hj−k = bj , 0 6 j < max(p, ε + 1)

0
(∗∗) hj −

X

0
ak cj−k = 0, j > max(p, q + 1)

20


dengan b0 = 1, bj = 0 untuk j > q, aj = 0 untuk j > p. Penyelesaian umum akan berbentuk hn =

k rX i −1 X

αij nj ξi−n , n > max(p, q + 1) − p

i=1 j=0

dengan ξi , i = 1, 2, . . . k menunjukkan akar-akar yang berbeda dari polinomial D(z), ri = mulPk tiplikasi dari ξi (banyaknya ξi yang sama), i=1 ri = p. Konstanta αij (p buah) dan koefisien hj , 0 ≤ j < max(p, q + 1) − p diperoleh dari syarat batas (*) Contoh : ARMA(2,1), p = 2; q = 1 1 (1 − B + B 2 )Xt = (1 + B)εt 4 1 A(z) = 1 − z + z 2 ⇒ z1 = 2, z2 = 2 4 1 1 (1 − z)(1 − z) = 0 ⇔ z1 = 2, k = 1, r1 = 2 2 2 1 a = 1, a1 = 1 − a2 = − , b0 = 1, b1 = 1 4 Dari persamaan (*) hj −

X

ak hj−k = bj

0 6 j < max(p, q + 1)

0
j = 0 ⇒ h0 = b 0 = 1 j = 1 ⇒ h 1 − a1 h 0 = b 1 ⇔ h 1 = a1 + b 1 = 1 + 1 = 2 Dari persamaan (**) hj −

X

ak hj−k = 0

j > max(p, ε + 1)

0
⇔ j > 2 hj − a1 hj−1 − a2 hj−2 = 0 1 ⇒ hj − hj−1 + hj−2 = 0 4 Pk Pri =1 Penyelesaian umum : hn = i=1 j=0 αij nj ε−1 i . Masukkan nilai-nilai yang diperoleh di depan, didapat hn = (α10 + nα11 )2−n , n > max(p, q + 1) − p ⇒n>0 Dari boundary condition: h0 = 1, h1 = 2 diperoleh dari persamaan untuk hn . Untuk, n = 0 =⇒ α10 = h0 = 1 n = 1 =⇒ (α10 + α11 )2−1 = h1 = 2 ⇐⇒ α11 = 4 − α10 = 3 yakni hn = (1 + 3n)2−1 , n = 0, 1, 2, . . . Contoh : ARMA (1,1) (1 − a1 B)Xt = (1 + b1 B)εt z 0 = h0 = 1 z 1 : h 1 − h 0 a1 = b 1 ⇔ h 1 = a1 + b 1 z 2 = h2 − h1 a1 = 0 ⇔ h2 = a21 + a1 b1 = a1 (a1 + b1 ) z 3 = h3 − h2 a1 = 0 ⇔ h3 = h2 a1 = a21 (a1 + b1 ) .. . z j = hj = aj−1 1 (a1 + b1 )

j>1

3.9. FUNGSI AUTOKOVARIANSI PROSES LINEAR STASIONER

21

→ 0; j → ∞ sehingga −→ jika D(z) = 1 − a1 z kausal maka |z1 | = | a11 | > 1 ⇐⇒ |a1 | < 1 maka aj−1 1 P∞ akan berhingga j=0 P∞ −→ Xt = j=0 hj εt−j stasioner.

3.9

Fungsi Autokovariansi Proses Linear Stasioner

Jika {εt } adalah proses stasioner dengan fungsi autokovariansi γ(·) dan semua t ∈ Z, deret/series ∞ ∞ X X C(B)εt = cj B j ε t = cj εt−j −∞

P∞

2 −∞ cj

< ∞ maka untuk

−∞

konvergen (dalam m.s.) Definisikan Xt = C(B)εt . Maka Xt stasioner dengan fungsi autokovariansi ∞ X

γX (h) =

cj ck γ(h − j + k)

j,k=−∞

Bukti : E(Xt ) = lim

n→∞

n X

cj εt−j = (

j=n

=

∞ X

cj )E(εt )

(3.1)

j=−∞

E(Xt+h Xt ) = lim E( n→∞

∞ X

n X

cj εt+h−j )(

j=−n

n X

ck εt−k )

k=−n

cj ck {γ(h − j + k) + (Eεt )2 }

(3.2)

j.k=−∞

yang berhingga dan independen terhadap waktu t. Baris terakhir diperoleh dari fakta karen fungsi kovariansi untuk εt adalah γ(.) dan εt stasioner, maka γε (h) = E(εt+h εt ) − E(εt+h )E(εt ) = E(εt+h εt ) − (E(εt ))2 , dari E(εt+h εt ) = γε (h) + (E(εt ))2 Subsitusi (3.1) ke (3.2) diperoleh γX (h) = E(Xt+h Xt ) − E(Xt+h )E(Xt ) ∞ X = cj ck γ(h − j + k) j,k=−∞

3.10

Fungsi Autokorelasi Parsial

Fungsi Autokorelasi parsial (PACF) pada lag-k adalah korelasi di antara Xt dan Xt+k setelah dependensi linear antara Xt dan Xt+k variabel antara Xt+1 , Xt+2 , . . . , Xt+k−1 dihapus. Ada beberapa prosedur untuk menentukan bentuk PACF yang salah satunya akan dijelaskan sebagai berikut. Misalkan {Xt } adalah suatu proses stasioner dengan mean nol. Misalkan Xt+k dapat ditulis sebagai model liner. Xt+k = ak1 Xt+k + ak2 Xt+k−2 + . . . + akk Xt + et+k

(3.3)

Model Runtun Waktu Stasioner

Recommend Documents