BAB III UJI STATISTIK PORTMANTEAU DALAM VERIFIKASI MODEL RUNTUN WAKTU

22

BAB III UJI STATISTIK PORTMANTEAU DALAM VERIFIKASI MODEL RUNTUN WAKTU

Salah satu langkah yang paling penting dalam membangun suatu model runtun waktu adalah dari diagnosisnya dengan melakukan pemeriksaan apakah suatu model yang diidentifikasi telah tepat. Uji portmanteau telah menjadi bagian penting dari pemeriksaan diagnostik (diagnostic checking) runtun waktu. Tahap ketiga dari proses pemeriksaan diagnostik ini (Box dan Jenkins, 1994) tidak hanya memeriksa ketidakcukupan dari model yang sesuai tetapi juga menyarankan perbaikan pada model yang sesuai dalam langkah selanjutnya pada prosedur pementukan model. Residual sangat umum digunakan sebagai alat diagnostik untuk menguji seberapa baik kelayakan model. Suatu model dikatakan telah tepat jika deret dari residualnya terdistribusi secara bebas dan acak disekitar nol, serta jika tidak ada informasi yang dapat digunakan untuk memperbaiki suatu model. Dalam prakteknya cara yang paling popular dalam pemeriksaan diagnostik sebuah model runtun waktu adalah uji portmanteau. Uji ini pertama kali diusulkan oleh Box dan Pierce pada tahun 1970, dimana mereka mempelajari distribusi dari residual autokorelasi dalam proses ARIMA (Chand, 2011). Beberapa uji lack of fit untuk model ARIMA berdasarkan pada koefisien autokorelasi residual yang diberikan oleh

Judith Novelin Anastia, 2012 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dalam Verifikasi Model Runtun Waktu Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

23

𝑟𝑘 =

𝑛 𝑡=𝑘+1 𝜀𝑡 𝜀𝑡−𝑘 𝑛 𝜀 2 𝑡=1 𝑡

(𝑘 = 1,2, … )

Dan untuk memeriksa kecukupan dari model yang cocok tersebut Box dan Pierce mengusulkan uji statistik portmanteau 𝑚

𝑟𝑘 2

𝑄=𝑛 𝑘=1

yang berdistribusi 𝜒2𝑚−𝑝−𝑞. Dalam diskusi Prothero dan Wallis pada tahun 1976, Chatfield menyebutkan sifat kekuatan yang buruk dari 𝑄 dan merekomendasikan untuk fokus pada autokorelasi residual pada beberapa lag pertama dan lag musiman. Serta menunjukkan perkiraan yang buruk dari distribusi sampel 𝑄. Prothero dan Wallis juga menyarankan penggunaan faktor koreksi

3. 1

𝑛+2 𝑛−𝑘

pada 𝑄 (Chand, 2011).

Uji Portmanteau Ljung-Box (𝑸𝑳𝑩 ) Pada uji portmanteau Box-Pierce terjadi permasalahan ketika 𝑛 tidak

besar. Ljung-Box menunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 100 pendekatan statistik 𝑄 ke distribusi Chi-kuadrat tidak memuaskan. Setelah dilakukan beberapa diskusi mengenai distribusi sampel dari uji statistik yang diusulkan oleh Box-Pierce, sehingga Ljung-Box pada tahun 1978 mengusulkan uji statistik baru dengan menggantikan koefisien autokorelasi residual 𝑟𝑘 dengan nilai standarnya 𝑟𝑘 (Peña-Rodríguez, 2002). 𝑟𝑘 2 =

𝑛+2 𝑟 𝑛−𝑘 𝑘

Sehingga uji portmanteau Ljung-Box dirumuskan sebagai: Judith Novelin Anastia, 2012 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dalam Verifikasi Model Runtun Waktu Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

24

𝑚

𝑄𝐿𝐵 = 𝑛 𝑛 + 2 𝑘=1

𝑟𝑘 2 𝑛−𝑘

Statistik 𝑄𝐿𝐵 memiliki distribusi sampel yang jauh lebih dekat ke 𝜒2𝑚−𝑝−𝑞.

3. 2

Uji Portmanteau Monti (𝑸𝑴𝑻 ) Ljung (1982) menunjukkan bahwa menggunakan terlalu banyak

autokorelasi residual dapat mengurangi kekuatan uji. Sehingga, Monti pada tahun 1994 memperkenalkan uji portmanteau 𝑄𝑀𝑇 berdasarkan autokorelasi parsial residual 𝜙𝑘𝑘 yang dirumuskan sebagai berikut: 𝑚

𝑄𝑀𝑇 = 𝑛 𝑛 + 2 𝑘=1

2

𝜙𝑘𝑘 𝑛−𝑘

Statistik 𝑄𝑀𝑇 berdistribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasannya 𝑚 − 𝑝 − 𝑞. Berdasarkan hasil simulasi, Monti menunjukkan bahwa uji 𝑄𝑀𝑇 lebih sensitif dibandingkan uji 𝑄𝐿𝐵 , namun hasil evaluasi dari Kwan dan Wu (1997) melalui simulasi Monte-Carlo untuk data yang dibangkitkan dengan periode bulanan, hanya menemukan sedikit perbedaan antara uji 𝑄𝑀𝑇 dan uji 𝑄𝐿𝐵 .

3. 3

Uji Portmanteau Peña-Rodríguez 𝑫𝒎 Peña dan Rodríguez mengusulkan uji portmanteau yang baru pada tahun

2002 dengan menggunakan transformasi dari determinan 𝑅𝑚 untuk menguji adanya autokorelasi pada residual. Untuk data runtun waktu stasioner, matriks korelasi residual orde 𝑚, 𝑅𝑚 didefinisikan sebagai:

Judith Novelin Anastia, 2012 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dalam Verifikasi Model Runtun Waktu Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

25

1 𝑟1 … 𝑟𝑚 𝑟 1 … 𝑟𝑚−1 𝑅𝑚 = 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑟𝑚 𝑟𝑚−1 … 1

(3.1)

Uji portmanteau Peña-Rodríguez dirumuskan sebagai berikut: 𝐷 𝑚 = 𝑛 1 − 𝑅𝑚

1 𝑚

Dan didapatkan 𝑅𝑚 = 𝑅𝑚−1 1 − 𝑅𝑖 2

2

−1

dimana 𝑅𝑖 = 𝑟′(𝑚) 𝑅𝑚 𝑟(𝑚) , dengan 𝑟(𝑚) = 𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑚 ′, merupakan koefisien korelasi yang dikuadratkan dari model linier 𝜀𝑡 =

𝑖 𝑗=1 𝑏𝑗 𝜀𝑡−𝑗

+ 𝑢𝑡 . Secara rekursif

didapatkan 𝑅𝑚 dan 1 − 𝑅𝑚

1 𝑚

1 𝑚

=

𝑚 𝑖=1

1 − 𝑅𝑖

2

1 𝑚

(3.2)

dapat diinterpretasikan sebagai rata-rata kuadrat koefisien

korelasi (Peña-Rodríguez, 2002). 𝐷𝑚 dapat juga ditafsirkan berdasarkan koefisien autokorelasi parsial. 2

Perhatikan bahwa 1 − 𝑅𝑖 = 2

didapatkan 1 − 𝑅𝑖−1 =

𝐽𝐾𝑇 2

1 − 𝑅𝑖−1 2

𝐽𝐾𝑇

𝐽𝐾𝐺 (1,𝑖−1)

1 − 𝑅𝑖

dimana 𝜙𝑖𝑖 =

𝐽𝐾𝐺 (1,𝑖)

2

𝐽𝐾𝐺 1,𝑖−1 −𝐽𝐾𝐺(1,𝑖) 𝐽𝐾𝐺(1,𝑖−1)

=

kemudian dengan cara yang sama

sehingga 𝐽𝐾𝐺(1, 𝑖) 2 = 1 − 𝜙𝑖𝑖 𝐽𝐾𝐺(1, 𝑖 − 1)

merupakan kuadrat koefisien autokorelasi ke-i.

sehingga determinan 𝑅𝑚 dapat dituliskan sebagai

Judith Novelin Anastia, 2012 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dalam Verifikasi Model Runtun Waktu Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

26

𝑚

𝑅𝑚

1 𝑚

=

𝑚+𝑖−1 𝑚 2 1 − 𝜙𝑖𝑖

𝑖=1

𝜙 𝑚 = 𝜙11 , … , 𝜙𝑚𝑚 ′ dan menggunakan hasil dari Monti (1994) bahwa 𝑛1 2 𝜙 𝑚 cenderung berdistribusi normal multivariat dengan vektor rata-rata nol dan matriks varians-kovarians 𝐼𝑚 − 𝑄𝑚 , dimana 𝑄𝑚 = 𝑋𝑚 𝑉−1 𝑋′𝑚, 𝑉 adalah matriks informasi untuk parameter 𝜃 dan 𝜙, dan 𝑋𝑚 adalah matriks 𝑚 × 𝑝 + 𝑞 , 1

dengan elemen-elemen 𝜃′ dan 𝜙′ ditentukan oleh 𝜙 𝐵

′ 𝑖 ∞ 𝑖=0 𝜙𝑖 𝐵

1

dan 𝜃 𝐵

′ 𝑖 ∞ 𝑖=0 𝜃𝑖 𝐵 .

Teorema 3.3.1 Jika model teridentifikasi dengan benar, 𝐷𝑚 akan menyebar secara asimtot sebagai

𝑚 2 𝑖=1 𝜆𝑖 𝜒1,𝑖 ,

dimana 𝜒1,𝑖 2 𝑖 = 1, … , 𝑚 merupakan variabel acak 𝜒1 2 dan

𝜆𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑚 adalah nilai eigen dari 𝐼𝑚 − 𝑄𝑚 𝑊𝑚, dimana 𝑊𝑚 adalah sebuah matriks diagonal dengan elemen-elemen 𝑤𝑖𝑖 = 𝑚 − 𝑖 + 1 𝑚

𝑖 = 1, … , 𝑚 .

Pembuktian terdapat dalam lampiran 1.

Untuk model ARMA bentuk untuk nilai eigen dari 𝐼𝑚 − 𝑄𝑚 𝑊𝑚 sulit. Menurut Box dan Pierce (1970) matriks 𝑄𝑚 = 𝑋𝑚 𝑉−1 𝑋′𝑚 dapat diperkirakan dengan matriks 𝑄𝑚 = 𝑋𝑚 𝑋′𝑚 𝑋𝑚

−1

𝑋′𝑚 apabila 𝑚 cukup besar.

Berdasarkan uraian di atas peluang 𝑃 𝐷𝑚 > 𝑥 membalikan fungsi karakteristik dari

𝑚 2 𝑖=1 𝜆𝑖 𝜒1,𝑖

dapat ditaksir dengan

(Imhof, 1961). Pendekatan

distribusi 𝜆𝑖 𝜒21,𝑖 dilakukan oleh distribusi berbentuk 𝑎𝜒𝑏2 , distribusi Gamma dengan rata-rata dan variansi yang persis sama dengan distribusi sebenarnya Judith Novelin Anastia, 2012 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dalam Verifikasi Model Runtun Waktu Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

27

dengan parameter 𝑎 dan 𝑏 yang didefinisikan sebagai 𝑎 = Dimana

𝜆𝑖 dan

𝜆𝑖 2 𝜆𝑖

dan 𝑏 =

𝜆𝑖 2 𝜆𝑖 2

.

𝜆𝑖 2 dapat didekati oleh 𝑚

𝜆𝑖 = 𝑖=1 𝑚

𝜆𝑖 2 = 𝑖=1

𝑚+1 − 𝑝+𝑞 2

1 𝑚 + 1 2𝑚 + 1 − 𝑝 + 𝑞 6𝑚

Dengan demikian dapat ditentukan pendekatan distribusi 𝐷𝑚 dengan distribusi Gamma, Γ 𝛼 = 𝑏 2 , 𝛽 = 1 2𝛼 dimana parameternya didefinisikan dengan 3𝑚 𝑚 + 1 − 2 𝑝 + 𝑞 2 𝛼= 2 2 𝑚 + 1 2𝑚 + 1 − 12𝑚 𝑝 + 𝑞 dan 𝛽=

3𝑚 𝑚 + 1 − 2 𝑝 + 𝑞 2 𝑚 + 1 2𝑚 + 1 − 12𝑚 𝑝 + 𝑞 𝛼

𝑚+1

Distribusi ini memiliki rata-rata 𝛽 = 2− 𝑝+𝑞 dan variansi

𝛼 𝛽2

=

𝑚+1 2𝑚+1 3𝑚−2 𝑝+𝑞

.

Pendekatan di atas akan lebih baik jika menggunakan koefisien autokorelasi yang distandarkan 𝑟𝑘 sehingga uji portmanteau terbaru menjadi 𝐷𝑚 = 𝑛 1 − 𝑅𝑚

1 𝑚

𝑅𝑚 adalah matriks korelasi yang dibangun berdasarkan 𝑟𝑘. Pendekatan 𝐷𝑚 lebih baik dari 𝐷𝑚 , terutama untuk sampel berukuran kecil (Peña dan Rodríguez, 2002). Nilai 𝐷𝑚 akan bernilai lebih besar dari sama dengan nol untuk semua nilai 𝑟𝑘.

Judith Novelin Anastia, 2012 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dalam Verifikasi Model Runtun Waktu Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu