Bab III Program dan Verifikasi Bagian pertama bab ini akan menguraikan input pemodelan yang digunakan dalam program yang dibuat beserta diagram alir untuk tiap-tiap langkah dalam analisis modal. Bagian kedua akan memberikan beberapa contoh verifikasi program untuk struktur balok Euler-Bernoully dengan berbagai kondisi perletakan dimana solusi empiriknya tersedia. Penulis menyadari masih banyaknya kekurangan dan mungkin ketidakstabilan dalam pemrograman yang dilakukan. Untuk itu adanya bugs atau errors yang mungkin timbul sehingga menyebabkan eksekusi program dapat terhenti
akan dievaluasi per kasus bila ditemukan. III.1 Input Model dan Bagan Alir Pemrograman
Input text untuk pemodelan dilakukan sesuai urutan berikut dimana diasumsikan, massa dan kekakuan terdistribusi seragam, penampang balok yang digunakan merupakan penampang persegi dengan material yang elastik-isotropik. M NJ NR NM NRJ NM(i) E(i) ρ(i) ν(i) G(i) NJ(i) X(i) Z(i) M(i) JI(i) JJ(i) B(i) H(i) kv(i) MAT(i) MASSX(i) STIFFX(i) TYPE(i) NJ(i) JR1(i) JR2(i) JR3(i) dimana: M / M(i)
= jumlah member pada struktur / member ke-i pada stuktur
NJ / NJ(i)
= jumlah joint pada struktur / joint ke-i pada struktur
NR
= jumlah restraint pada struktur
NM / NM(i) = jumlah material yang digunakan / material ke-i yang digunakan NRJ
= jumlah titik yang memiliki restraint
E(i)
= modulus elastisitas untuk member ke-i
ρ(i)
= berat jenis untuk member ke-i
ν(i)
= poisson rasio untuk member ke-i
31
G(i)
= modulus geser untuk member ke-i
X(i)
= posisi absis-X untuk joint ke-i
Z(i)
= posisi ordinat-Z untuk joint ke-i
JI(i)
= label joint untuk ujung-I untuk member ke-i
JJ(i)
= label joint untuk ujung-J untuk member ke-i
B(i)
= lebar penampang member ke-i
H(i)
= tinggi penampang member ke-i
kv(i)
= shear area modifier untuk member ke-i
MASSX(i) = mass modifier untuk member ke-i STIFFX(i) = moment of inertia modifier untuk member ke-i TYPE(i)
= tipe member yang digunakan (a = beam dan b = column)
JR1(i)
= restraint UX untuk member ke-I (1 = restraint 0 = release)
JR2(i)
= restraint UZ untuk member ke-I (1 = restraint 0 = release)
JR3(i)
= restraint RY untuk member ke-I (1 = restraint 0 = release)
Data v(i), G(i) dank v(i) walaupun tidak berguna untuk studi ini namun diberikan disini untuk dapat digunakan bila seandainya program akan dikembangkan lebih lanjut.
Gambar III.1. Bagan Alir Utama Program Metoda Kekakuan Dinamik
32
Bagan alir program utama yang dibuat untuk metoda kekakuan dinamik dapat dilihat pada gambar III.1. Untuk bagan alir pelengkap dan source code dapat dilihat pada lampiran C. III.2 Verifikasi Program
Verifikasi program akan dilakukan untuk mendapatkan frekuensi dari balok lentur Euler-Bernoully
untuk
kasus
uncouple
lateral-axial
vibration
dengan
memperhitungkan beberapa kondisi batas. Persamaan karakteristik untuk frekuensi naturalnya untuk balok jenis ini sudah diberikan oleh Paz(4). Data-data yang digunakan adalah sebagai berikut: E = 23500 MPa; ρ = 2400 kg/m3 = 2400 × 9.81 × 10-9 = 0.000023544 N/mm3; L = 6000 mm; b = 300 mm; h = 600 mm; g = 9810 mm/det2 dan m = ρ . A g = 0.000432 N.det2/mm2. a. Balok jepit-jepit L
E , ρ , A, I
Gambar-III.2. Balok Sederhana Jepit-Jepit yang Seragam
Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok EulerBernoully dengan perletakan jepit-jepit adalah sebagai berikut: •
Gerak aksial nπ L
EA .................................................................................................... (III.1a) m
33
•
Gerak lentur 1 − cos(aL ). cosh (aL ) = 0 ............................................................................. (III.1b)
Penyelesaian persamaan (III.1a) dan (III.1b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.1a dan tabel III.1b berikut ini: Tabel III.1a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Jepit-Jepit) N
ω(rad/sec)
λ (rad2/s2)
T(sec)
1
1638.426383
2684441.012
0.003835
2
3276.852766
10737764.047
0.001917
3
4915.279148
24159969.107
0.001278
4
6553.705531
42951056.190
0.000959
8192.131914
67111025.297
0.000767
5
Tabel III.1b. Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler-Bernoully (Jepit-Jepit) N
aL
det[aL]
(aL)2
ω(rad/s)
λ(rad2/s2)
T(s)
1
4.730041
0.000000
22.373285
336.834215
113457.288683
0.018654
2
7.853205
0.000000
61.672823
928.496485
862105.723298
0.006767
3
10.995608
0.000000
120.903392
1820.224356
3313216.706027
0.003452
4
14.137165
0.000000
199.859448
3008.923323
9053619.566301
0.002088
5
17.278760
0.000001
298.555535
4494.812339
20203337.962420
0.001398
Dari tabel III.1a dan III.1b di atas dapat dilihat bahwa nilai frekuensi natural paling besar adalah 8192.131914 rad/det dari kesepuluh mode yang ditinjau sehingga akan digunakan ω* = 8200 rad/det sebagai fixed chosen frequency untuk program. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut, MODE 1 2 3 4 5 6 7 8 9
w2 113457.28868538 862105.672064405 2684441.01187037 3313216.52677949 9053619.56630181 10737750.2425387 20203337.371052 24159968.7783924 39411756.4967599
w 336.834215431538 928.496457755443 1638.42638280466 1820.22430672142 3008.92332343345 3276.85065917547 4494.81227317138 4915.27911500379 6277.87834357754
34
T 1.86536433038129E-02 6.76705361091912E-03 3.83489021729741E-03 3.45187419153677E-03 2.0881839222177E-03 1.91744634122587E-03 1.39787491119098E-03 1.27829674778799E-03 1.00084534349212E-03
10 11
42956264.8075977 67111025.2967593
6554.10289876484 8192.13191402332
9.58664428104064E-04 7.66978043459482E-04
Dari hasil eksekusi di atas diperoleh sebelas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 memberikan frekuensi 6277.87834357754 rad/det yang merupakan frekuensi natural ke-6 untuk gerak lentur jepit-jepit yang tidak diberikan pada tabel III.1b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat. Balok jepit-sendi
b.
L
E , ρ , A, I
Gambar-III.3. Balok Sederhana Jepit-Sendi yang Seragam
Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok EulerBernoully dengan perletakan jepit-sendi adalah sebagai berikut: •
Gerak aksial nπ L
•
EA .................................................................................................... (III.2a) m
Gerak lentur sin (aL ). cosh (aL ) − cos(aL ). sinh (aL ) = 0 .................................................... (III.2b)
Penyelesaian persamaan (III.2a) dan (III.2b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.2a dan tabel III.2b berikut ini:
35
Tabel III.2a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Jepit-Sendi) n
Ω(rad/sec)
λ (rad2/s2)
T(sec)
1
1638.426383
2684441.012
0.003835
2
3276.852766
10737764.047
0.001917
3
4915.279148
24159969.107
0.001278
4
6553.705531
42951056.190
0.000959
5
8192.131914
67111025.297
0.000767
Tabel III.2b. Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler-Bernoully (Jepit-Sendi) N
aL
Det[aL]
(aL)2
ω(rad/s)
λ(rad2/s2)
T(s)
1
3.9266023
0.000000
15.4182057
232.1241213
53881.60767
0.0270682
2
7.0685827
0.000000
49.964862
752.2308309
565851.2229
0.0083527
3
10.210176
0.000000
104.247696
1569.469586
2463234.781
0.0040034
4
13.351769
0.000000
178.269729
2683.885861
7203243.313
0.0023411
5
16.493361
0.000000
272.030971
4095.479808
16772954.86
0.0015342
Dari tabel III.2a dan III.2b di atas dapat dilihat bahwa nilai frekuensi natural paling besar adalah 8192.131914 rad/det dari kesepuluh mode yang ditinjau sehingga akan digunakan ω* = 8200 rad/det sebagai fixed chosen frequency untuk program. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut, MODE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
w2 53881.6077008414 565851.2220168 2463234.78114687 2684441.00877546 7203243.32689863 10737764.0378709 16772954.8568203 24159969.1068333 33689334.634663 42951056.1899259 60999235.309792 67110993.4965663
w 232.124121324867 752.230830275388 1569.46958592605 1638.42638186019 2683.88586323983 3276.85276414289 4095.47980788824 4915.27914841399 5804.25142758849 6553.70553121865 7810.20072147906 8192.12997312459
T 2.70682136406928E-02 8.35273569534413E-03 4.00338137388771E-03 3.83489021950805E-03 2.34107768636438E-03 1.91744510950679E-03 1.53417562823229E-03 1.27829673909914E-03 1.08251432343448E-03 9.58722554324353E-04 8.04484485257852E-04 7.66978225173727E-04
Dari hasil eksekusi di atas diperoleh duabelas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 dan mode ke-11 memberikan frekuensi berturut-turut 5804.25142758849 rad/det dan 7810.20072147906 rad/det yang merupakan frekuensi
36
natural ke-6 dan ke-7 untuk gerak lentur jepit-sendi yang tidak diberikan pada tabel III.2b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat c.
Balok jepit-bebas L
E , ρ , A, I
Gambar-III.4. Balok Sederhana Jepit-Bebas yang Seragam
Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok EulerBernoully dengan perletakan jepit-bebas adalah sebagai berikut: •
Gerak aksial
(2n − 1)π L
•
EA ........................................................................................... (III.3a) m
Gerak lentur 1 + cos(aL ). cosh (aL ) = 0 ............................................................................. (III.3b)
Penyelesaian persamaan (III.3a) dan (III.3b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.3a dan III.3b berikut ini: Tabel III.3a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Jepit-Bebas) N
ω(rad/sec)
λ (rad2/s2)
T(sec)
1
819.213191
671110.253
0.007670
2
2457.639574
6039992.277
0.002557
3
4096.065957
16777756.324
0.001534
4
5734.492340
32884402.395
0.001096
5
7372.918723
54359930.490
0.000852
37
Tabel III.3b. Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler-Bernoully (Jepit-Bebas) N
aL
det[aL]
(aL)2
ω(rad/s)
λ(rad2/s2)
T(s)
1
1.875104
0.000000
3.516015
52.934299
2802.040058
0.118698
2
4.694091
0.000000
22.034492
331.733607
110047.185901
0.018940
3
7.854757
0.000000
61.697214
928.863705
862787.782196
0.006764
4
10.995541
0.000000
120.901916
1820.202139
3313135.828223
0.003452
5
14.137168
0.000000
199.859530
3008.924558
9053626.994550
0.002088
Dari tabel III.3a dan III.3b di atas dapat dilihat bahwa nilai frekuensi natural paling besar adalah 7372.918723 rad/det dari kesepuluh mode yang ditinjau sehingga akan digunakan ω* = 7400 rad/det sebagai fixed chosen frequency untuk program. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut, MODE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
w2 2802.0403084403 110047.185892859 671110.252266727 862787.78029339 3313135.82724977 6039992.27348379 9053626.98436864 16777756.3296175 20203337.3796088 32884402.392492 39411756.4303817 54359930.487213
w 52.9343018130994 331.733606818572 819.213190974564 928.863703830325 1820.20213911801 2457.63957355097 3008.92455611114 4096.06595767421 4494.81227412323 5734.49233956172 6277.87833829087 7372.91872240655
T 0.118697802596212 1.89404545636401E-02 7.66978043859975E-03 6.76437811195531E-03 3.4519162307018E-03 2.55659347888071E-03 2.08818306674337E-03 1.53395608667084E-03 1.39787491089496E-03 1.09568291927648E-03 1.00084534433494E-03 8.52197826090877E-04
Dari hasil eksekusi di atas diperoleh duabelas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 dan mode ke-11 memberikan frekuensi berturut-turut 4494.81227412323 rad/det dan 6277.87833829087 rad/det yang merupakan frekuensi natural ke-6 dan ke-7 untuk gerak lentur balok jepit-bebas yang tidak diberikan pada tabel III.3b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat.
38
Balok sendi-sendi
d.
L E , ρ , A, I
Gambar-III.5. Balok Sederhana Sendi-Sendi yang Seragam Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok EulerBernoully dengan perletakan sendi-sendi adalah sebagai berikut: •
Gerak aksial nπ L
•
EA .................................................................................................... (III.4a) m
Gerak lentur sin (aL ) = 0 ................................................................................................. (III.4b)
Penyelesaian persamaan (III.4a) dan (III.4b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.4a dan tabel III.4b berikut ini: Tabel III.4a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Sendi-Sendi) N
Ω(rad/sec)
λ (rad2/s2)
T(sec)
1
1638.426383
2684441.012
0.003835
2
3276.852766
10737764.047
0.001917
3
4915.279148
24159969.107
0.001278
4
6553.705531
42951056.190
0.000959
5
8192.131914
67111025.297
0.000767
39
Tabel III.4b. Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler-Bernoully (Sendi-Sendi) n
aL
det[aL]
(aL)2
ω(rad/s)
λ(rad2/s2)
T(s)
1
3.141593
0.000000
9.869604
148.588837
22078.642354
0.042286
2
6.283185
0.000000
39.478418
594.355346
353258.277670
0.010571
3
9.424778
0.000000
88.826440
1337.299529
1788370.030702
0.004698
4
12.566371
0.000000
157.913670
2377.421385
5652132.442714
0.002643
5
15.707963
0.000000
246.740110
3714.720914
13799151.471469
0.001691
Dari tabel III.4a dan III.4b di atas dapat dilihat bahwa nilai frekuensi natural paling besar adalah 8192.131914 rad/det dari kesepuluh mode yang ditinjau sehingga akan digunakan ω* = 8200 rad/det sebagai fixed chosen frequency untuk program. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut, MODE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
w2 22078.6423493219 353258.277773224 1788370.02909908 2684441.01000868 5652132.4432297 10737764.0405009 13799151.4572453 24159969.1068333 28613920.4910477 42951056.1899259 53010820.2983141 67111024.5608502
w 148.588836556862 594.3553463823 1337.29952856459 1638.42638223653 2377.42138528905 3276.85276454418 3714.72091243007 4915.27914841399 5349.19811663839 6553.70553121865 7280.85299249436 8192.13186910771
T 4.22857157561438E-02 1.05714289362817E-02 4.69841286336482E-03 3.83489021862718E-03 2.64285723433739E-03 1.91744510927197E-03 1.69142863092487E-03 1.27829673909914E-03 1.17460321531859E-03 9.58722554324353E-04 8.62973790798517E-04 7.66978047664649E-04
Dari hasil eksekusi di atas diperoleh dua belas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 dan mode ke-11 memberikan frekuensi berturut-turut 5349.19811663839 rad/det dan 7280.85299249436 rad/det yang merupakan frekuensi natural ke-6 dan ke-7 untuk gerak lentur balok sendi-sendi yang tidak diberikan pada tabel III.4b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat.
40
e.
Balok sendi-bebas L E , ρ , A, I
Gambar-III.6. Balok Sederhana Sendi-Bebas yang Seragam
Persamaan karakteristik untuk balok lentur sendi-bebas adalah sama dengan balok jepit sendi. Sehingga penyelesaian persamaan karakteristik untuk kondisi sendi bebas dapat dilihat pada tabel III.2a dan III.2b. Hasil eksekusi program untuk fixed chosen frequency yang sama adalah sebagai berikut, MODE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
w2 w T 1.03326727383301E-09 3.21444750125587E-05 195467.037639432 53881.6083037639 232.124122623574 2.70682134892493E-02 565851.226057213 752.230832961009 8.35273566552312E-03 671110.252947653 819.213191390161 7.66978043470877E-03 2463234.77195706 1569.46958299836 4.0033813813556E-03 6039992.27538153 2457.63957393706 2.55659347847908E-03 7203243.31466872 2683.88586096144 2.34107768835176E-03 16772954.7972695 4095.47980061793 1.53417563095576E-03 16777756.3277727 4096.06595744901 1.53395608675518E-03 32884402.3960163 5734.49233986901 1.09568291921777E-03 33689334.7456804 5804.25143715194 1.08251432165086E-03 54359930.49537 7372.91872295972 8.52197826026939E-04 60999235.1174639 7810.20070916644 8.04484486526106E-04
Dengan membandingkan tabel III.2a dan III.2b dengan hasil eksekusi, mode pertama pada balok jatuh pada mode kedua dari hasil eksekusi dan seterusnya sedangkan mode pertama memberikan nilai frekuensi sama dengan nol yang menunjukkan ragam dengan rigid body motion. Hal ini menunjukkan kondisi perletakan yang tidak stabil.
41
III.3 Solusi Terhadap Masalah Dengan Mode Finding
Pada bab II sudah dikemukakan masalah yang dapat timbul pada penentuan eigenvector
pada
metoda
kekakuan
dinamik
yang
berhubungan
dengan
{X } = 0 (mixed modes maupun local modes) dimana koefisien dari matrik kekakuan dinamik akan sangat besar secara numerik sehingga menyebabkan ill-conditioning pada penentuan eigenvector. Untuk itu baik pada metoda RFV dan metoda Yuan et al dilakukan frequency shifting terhadap nilai frekuensi natural untuk menentukan eigenvector pada nodal-nodal struktur dengan mengorbankan keakurasian dari nilai frekuensi natural namun shifting yang dilakukan tidak boleh terlalu jauh dari frekuensi natural yang seharusnya diperoleh. Analogi ini digunakan juga untuk penentuan eigenvector pada metoda elemen hingga karena akan memberikan konvergensi yang lebih cepat dalam mode finding bila shift dipilih sedekat mungkin dengan eigenvalue yang ingin ditentukan. Yuan et al menggunakan shifting untuk menghindari koefisien matrik yang secara teoretis tak berhingga pada mixed dan local modes dengan memperbesar toleransi kekonvergenan pada saat menentukan eigenvalue menggunakan WWA. Jadi pada saat eksekusi, kondisi menunjukkan N r = 1 namun N r 0 > 0 dan toleransi yang diberikan terpenuhi maka WWA diberhentikan tanpa keakurasian lebih lanjut. v
θ u
E , ρ , A, I L/2
L/2
Gambar III.7a. Submembering Balok Jepit-Jepit dengan Lokasi Node di Tengah Bentang
42
Illustrasi contoh adalah balok Euler-Bernoully dengan kondisi jepit-jepit yang diberikan sebagai verifikasi program pada subbab III.2 dimana model struktur dilakukan seperti yang ditunjukkan oleh gambar III.7a. Nodal 2 diinputkan pada tengah-tengah bentang sehingga membagi balok menjadi dua member. Perhitungan frekuensi natural memberikan mode ke-6 dan ke-10 dari struktur berimpit dengan frekuensi natural gerak aksial dari kedua elemen dengan kondisi jepit-jepit sehingga secara teoretis [K s (ω )] = ∞ karena tidak adanya deformasi aksial dari kedua member pada titik 2 akibatnya kondisi N r = 1 dan N r 0 > 0 akan terjadi. Dengan demikian strategi yang dilakukan adalah menghentikan perhitungan frekuensi sampai pada batas toleransi yang sesuai. Kalau dilihat dari hasil eksekusi untuk mode ke-6 dan 10 dengan frekuensi natural pada tabel 1a untuk n = 2 dan 4 terlihat terjadi pergeseran frekuensi dari 3276.8527 menjadi 3276.8506 untuk mode ke-6 dan 6553.7055 menjadi 6554.1028 untuk mode ke-10. Hal ini menunjukkan keakurasian yang hilang namun tidak signifikan secara digit, akan tetapi frequency shifting ini dapat menghindari [K s (ω )] = ∞ dan akan memberikan eigenvector yang bersangkutan secara tepat. Strategi lain adalah dengan memindahkan lokasi titik 2 sesuai persamaan (III.25b) seperti dapat dilihat pada gambar III.7b. v
θ u
E , ρ , A, I (1)
L ...Eq(25.b)
L(2 ) ...Eq(25.b)
Gambar III.7b. Submembering Balok Jepit-Jepit dengan Lokasi Node Sesuai Persamaan (III.25b)
43
Persamaan (III.25b) ini dapat digunakan untuk menghindari local modes dan keakurasian dari perhitungan eigenvalue dapat diperoleh karena tidak perlu dilakukan shifting seperti ditunjukkan oleh hasil eksekusi program sebagai berikut:
MODE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
w2 113457.287952608 862105.672059408 2684441.01187037 3313216.52615422 9053619.34619588 10737764.0474815 20203336.1937933 24159968.2077462 39411756.5227083 42951054.4619691 67111150.1083444
w 336.834214343805 928.496457752752 1638.42638280466 1820.22430654967 3008.92328685792 3276.85276560933 4494.81214221387 4915.27905695558 6277.8783456442 6553.70539938813 8192.1395317917
T 1.86536433640508E-02 6.76705361093874E-03 3.83489021729741E-03 3.45187419186248E-03 2.08818394760101E-03 1.91744510864871E-03 1.39787495191843E-03 1.27829676288435E-03 1.00084534316264E-03 9.58722573609458E-04 7.66977330256165E-04
Hasil eksekusi dengan menggunakan L(1) = 1200 mm dan L(2 ) = 4800 mm di bawah memberikan akurasi frekuensi yang baik akan tetapi frekuensi natural mode ke-11 struktur akan berimpit dengan frekuensi natural dari member 1 dengan n = 5 yang mana persamaan (III.25a) seharusnya digunakan.
44
