Perhitungan Besaran Fisis Dinamika Fluida Relativistik dengan Menggunakan Lattice Gauge Theory
Tugas Akhir Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains
Andhika Oxalion 0303020139
Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Depok 2007
Lembar Persetujuan
Judul Skripsi
:
Perhitungan Besaran Fisis Dinamika Fluida Relativistik dengan Menggunakan Lattice Gauge Theory
Nama
:
Andhika Oxalion
NPM
:
0303020139
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui Depok, Mei 2007 Mengesahkan
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. L. T. Handoko
Dr. Terry Mart
Penguji I
Penguji II
Dr. Anto Sulaksono
Dr. Agus Salam
Kata Pengantar Teori Medan Kuantum (Quantum Field Theory), alat kita untuk menjelaskan gaya fundamental, diformulasikan dalam ruang-waktu kontinu dengan memperlakukan ruang dan waktu dalam dimensi yang setara. Di sisi lain, dinamika fluida klasik mengandung besaran yang bergantung ruang dan waktu. Hal ini menimbulkan ide mengenai kemungkinan dinamika fluida diformulasikan ulang menggunakan teori medan. Kemudian, jika dapat dilakukan, harus dapat dihitung besaran-besaran fisis yang ada dalam dinamika fluida tersebut. Sebelumnya, penulis lain telah berhasil memformulasikan dinamika fluida menggunakan teori medan, yaitu mencari Lagrangian dinamika fluida yang bila diproses lebih lanjut akan menghasilkan persamaan dinamika fluida relativistik. Pada tugas akhir ini, penulis menghitung besaran-besaran fisis dinamika fluida berdasarkan Lagrangian tersebut. Perhitungan besaran fisis ini dilakukan dengan menggunakan Lattice Gauge Theory di mana ruang dan waktu kontinu pada teori medan diganti dengan kumpulan titik diskrit pada kisi empat dimensi. Keuntungan yang diperoleh adalah, perhitungan yang rumit secara analitik dapat diperoleh secara numerik. Penulis secara khusus mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penyelesaian tugas akhir ini baik secara langsung maupun tidak langsung, antara lain: 1. Dr. L.T. Handoko selaku pembimbing I yang telah membimbing penulis mulai dari awal diskusi hingga penyelesaian tugas akhir ini serta atas ideide, dukungan dan saran yang diberikan. 2. Dr. Terry Mart selaku pembimbing II dan ketua peminatan Fisika Nuklir dan Partikel atas bimbingan dan dukungan yang diberikan baik itu selama kuliah maupun pengerjaan tugas akhir ini. iii
3. Dr. Anto Sulaksono dan Dr. Agus Salam selaku penguji I dan II atas diskusi dalam penyelesaian tugas akhir ini. 4. Orang tua dan kakak Alvin Stanza atas saran dan bantuan yang diberikan semasa kuliah. 5. Rekan-rekan di Lab Teori : Ryky, Victor, Juju, Beriya, Popo, Freddy, Handhika, Arum, Ardy, Nita, Harykin, Chandi, Pak Ayung, Pak Sulaiman, Mas Parada. 6. Teman-teman fisika angkatan 2003 dan teman-teman di KMK. 7. Special thanks, kepada Heribertus Bayu Hartanto serta Nowo Riveli yang sungguh membantu penulis mengejar materi dan juga dalam pemrograman. Kepada Arif Budi Mulyawan yang telah bersedia meminjamkan komputernya untuk menjalankan program. 8. Juga semua pihak yang tidak dapat disebutkan di sini atas dukungan dan doa kepada penulis selama penyelesaian tugas akhir ini. Penulis menyadari bahwa karya tulis ini masih jauh dari sempurna, maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca demi perkembangan riset di Fisika UI.
Depok, Mei 2007
Andhika Oxalion
iv
Abstrak Dinamika fluida berbasis teori medan diformulasikan dalam kisi ruang waktu diskrit. Dengan formulasi tersebut dihitung besaran fisis dinamika fluida relativistik dengan menggunakan simulasi Metropolis Monte Carlo. Formulasi ini memberikan pemahaman dasar untuk perhitungan bermacam-macam observable dari fenomena yang dimodelkan dengan Lagrangian dinamika fluida di mana tidak ada jaminan teori perturbasi berlaku. Kata kunci: Lagrangian dinamika fluida, lattice gauge theory, interaksi sistem multi fluida viii+30 hlm.; lamp. Daftar Acuan: 13(1993-2006)
Abstract Fluid dynamics based on the gauge field theory is formulated on a discrete spacetime lattice. Using this formulation, physical observable of relativistic fluid dynamics is calculated using Metropolis Monte Carlo simulation. This formulation provides basic knowledge to calculate some observables for phenomenon modeled with the fluid dynamics Lagrangian where no guarantee that perturbation theory can be applied. Keywords: Fluid dynamics Lagrangian, lattice gauge theory, multi-fluids interaction viii+30 pp.; appendices. References: 13(1993-2006)
v
Daftar Isi Kata Pengantar
iii
Abstrak
v
Daftar Isi
vi
Daftar Gambar
viii
1 Pendahuluan
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Dinamika Fluida Berbasis Teori Medan
4
2.1 Dinamika Fluida Klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Teori Medan Gauge untuk Dinamika Fluida . . . . . . . . . . . .
6
2.3 Sistem Multi Fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3 Teori Medan Gauge pada Lattice
12
3.1 Path Integral dalam Mekanika Kuantum . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2 Teori Medan Kuantum Menggunakan Path Integral . . . . . . . .
15
3.3 Diskritisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.4 Transformasi Gauge pada Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.5 Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.6 Path Integral dan Mekanika Statistik . . . . . . . . . . . . . . . .
24
vi
4 Hasil dan Pembahasan
26
5 Kesimpulan
30
A Evaluasi Path Integral dengan Metode Monte Carlo
31
B Pemrograman
35
B.1 Perhitungan Matriks Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
B.2 Generator Matriks SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
B.3 Program Simulasi pada Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
B.4 Program Iterasi Z terhadap |v| . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Daftar Acuan
46
vii
Daftar Gambar 3.1 Diskritisasi interval waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2 Lintasan partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3 Lattice atau kisi 3 dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.4 Lintasan C antara x dan y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.5 Uµνx pada sebuah Plaquette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.1 Nilai Z pada kisi 104 site |v| = 0, 8c hingga 0.9c . . . . . . . . . .
27
4
28
4
28
4
29
4.2 Nilai Z pada kisi 30 site dengan |v| = 0.8 hingga 0.9c . . . . . .
4.3 Nilai Z pada kisi 30 site dengan |v| = 0 hingga 0.5c . . . . . . .
4.4 Nilai F pada kisi 30 site dengan |v| = 0 hingga 0.5c . . . . . . .
viii
Bab 1 Pendahuluan 1.1
Latar Belakang
Dinamika fluida klasik diturunkan dari Hukum II Newton dan hukum kekekalan massa. Persamaan tersebut nonlinier sehingga mengakibatkan solusi sulit dicari karena solusinya tidak dapat disuperposisikan[1]. Sementara itu, banyak sistem-sistem yang dapat dimodelkan dengan menggunakan dinamika fluida, misalnya kosmologi turbulen, quark-gluon plasma, dll yang memerlukan solusi tersebut untuk melakukan perhitungan-perhitungan berikutnya. Sebagai alternatif, dinamika fluida dimodelkan sebagai Lagrangian boson yang invarian terhadap transformasi gauge. Metode ini telah diaplikasikan pada sistem fluida yang berinteraksi dengan soliton yaitu protein α heliks yang berinteraksi dengan biofluida [2]. Lagrangian yang invarian terhadap transformasi gauge tersebut dapat diformulasikan untuk sistem relativistik yang invarian terhadap transformasi Lorentz sehingga dengan menggunakan persamaan Euler-Lagrange dapat diperoleh persamaan dinamika fluida relativistik [3]. Dinamika fluida berbasis teori medan ini juga dapat mendeskripsikan sistem multi fluida dengan menggunakan Lagrangian yang invarian terhadap transformasi gauge non-Abelian.
1.2
Perumusan Masalah
Pendekatan alternatif untuk formulasi dinamika fluida dari first principle telah dilakukan dengan menggunakan mekanika analitik. Persamaan dinamika fluida diturunkan sebagai persamaan gerak dari Lagrangian boson yang invarian
1
terhadap transformasi gauge dengan menggunakan persamaan Euler-Lagrange. Interaksi pada sistem multifluida dimodelkan dengan menggunakan Lagrangian boson yang invarian terhadap transformasi gauge non-Abelian yang merepresentasikan fluida murni tanpa materi. Perhitungan fungsi partisi dan observable energi bebas interaksi fluida dilakukan dengan mengevaluasi path integral. Namun besarnya konstanta kopling g tidak diketahui, sehingga path integral secara umum harus dihitung secara non-perturbatif. Perhitungan secara non-perturbatif dilakukan dengan menggunakan Lattice Gauge Theory. Formulasi Quantum Chromodynamics dalam ruang-waktu diskrit atau sering disebut dengan Lattice QCD digunakan untuk menghitung besaranbesaran QCD pada energi rendah di mana konstanta kopling QCD sangat besar. Pada Lattice Gauge Theory, aksi disusun pada kisi ruang dan waktu diskrit sehingga memungkinkan path integral dihitung secara numerik dengan menggunakan metode Monte Carlo. Dengan menghitung observable dari Lagrangian ini maka diharapkan kita bisa mempelajari perilaku atau sifat-sifatnya terutama dalam kaitannya dengan besar konstanta kopling g maupun kecepatan.
1.3
Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat teoritik. Teori yang digunakan ialah dinamika fluida dengan pendekatan teori medan. Untuk memperoleh observable dari teori ini, aksi yang menggambarkan interaksi fluida murni terlebih dahulu diformulasikan dalam ruang dan waktu diskrit. Setelah itu dapat dihitung fungsi partisi dengan mengevaluasi path integral menggunakan metode Metropolis Monte Carlo.
1.4
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari teknik dasar perhitungan Lattice Gauge Theory dengan menggunakan metode Metropolis Monte Carlo dan implementasinya pada pemrograman serta menghitung besaran fisis dari dinamika fluida relativistik dengan metode Lattice Gauge Theory. Penelitian difokuskan pada formulasi teori gauge untuk fluida pada kisi ruang waktu diskrit dan besaran fisis 2
energi bebas dari interaksi fluida murni yang direpresentasikan dengan medan gauge dalam Lagrangian boson. Perhitungan besaran fisis ini dapat dilakukan dengan terlebih dahulu mencari fungsi partisi dari sistem, kemudian besaran fisis tersebut dapat dihitung dengan metode mekanika statistik.
3
Bab 2 Dinamika Fluida Berbasis Teori Medan Pada bab ini dibahas secara singkat teori dinamika fluida secara klasik maupun dengan pendekatan berbasis teori medan.
2.1
Dinamika Fluida Klasik
Fluida didefinisikan sebagai materi yang mengalami perubahan bentuk secara kontinu bila diberi tegangan geser. Dinamika fluida merupakan cabang dari ilmu fisika yang mempelajari aliran fluida (cairan dan gas). Persamaan dinamika fluida klasik, seperti mekanika klasik pada umumnya, diturunkan berdasarkan hukum II Newton dan hukum kekekalan massa ∂~v ~ + µ∇ ~ 2~v ~ v = − 1 ∇P + (~v · ∇)~ ∂t ρ
(2.1)
dengan ~v ialah kecepatan fluida, P ialah tekanan, ρ ialah kerapatan dan µ ialah koefisien viskositas. Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa fluida tidak dapat diciptakan maupun dimusnahkan. Bila kita memberi gangguan pada fluida, massa fluida sebelum dan sesudah gangguan haruslah tetap. Pandang suatu fluida dengan volume V dengan S merupakan permukaan tertutup dari volume R V . Massa fluida ialah V ρdV , sementara fluks massa fluida pada permukaan H tertutup S ialah (ρ~v ) · dS sehingga hukum kekekalan massa dinyatakan sebagai berikut
I
∂ (ρ~v ) · dS = − ∂t 4
Z
ρdV V
(2.2)
dengan teorema Gauss diperoleh, Z Z ∂ ~ ρdV ∇ · (ρ~v )dV = − ∂t V V Z ∂ρ ~ + ∇ · (ρ~v ) dV = 0 ∂t V ∂ρ ~ + ∇ · (ρ~v ) = 0 ∂t
(2.3)
yang tidak lain merupakan persamaan kontinuitas. Hukum II Newton menyatakan kekekalan momentum
2
d ~x F~ = m 2 (2.4) dt Terdapat dua jenis gaya yang dapat bekerja pada fluida yang bergerak, yaitu 1. Gaya badan (body force), yang bekerja langsung pada elemen volume fluida. Contohnya adalah gaya gravitasi, listrik dan magnet. 2. Gaya permukaan, (surface force) yang bekerja langsung pada permukaan elemen fluida. Hanya ada 2 sumber gaya jenis ini: (a) distribusi tekanan pada permukaan dan (b) distribusi regangan dan tegangan normal pada permukaan elemen fluida.
Untuk aliran fluida bermassa m → ρV dan percepatan, D~v d2~x → dt2 Dt dengan material derivative
D ∂ ~ = + ~v · ∇. Dt ∂t Maka hukum II Newton untuk aliran fluida dapat ditulis menjadi ρ
D~v F~ = Dt V
(2.5)
Gaya yang fundamental pada aliran fluida ialah gradien tekanan yang dapat ditulis sebagai berikut,
∂ Fi =− Πik , V ∂xk dimana tensor tekanan, Πik diberikan oleh Πik = P δik − σik , 5
(2.6)
(2.7)
dengan P tekanan dan σik ialah tensor viskositas. Tensor viskositas secara umum merupakan tensor asimetrik. Tensor viskositas dapat ditulis [4], ∂vk 2 ~ ∂vi ~ · ~v , + − δij ∇ · ~v + νδik ∇ σij = η ∂xk ∂xi 3
(2.8)
dengan η dan ν masing-masing merupakan koefisien viskositas kinematis dan dinamis. Dengan melakukan substitusi persamaan (2.6), (2.7) dan (2.8) ke hukum II Newton untuk fluida pada persamaan (2.5) dapat diperoleh, 1 ∂~v 2 ~ v = −∇P ~ + η∇ ~ ~v + ν + η ∇( ~ ∇ ~ · ~v ). + (~v · ∇)~ ρ ∂t 3
(2.9)
~ · ~v = 0 dan µ ≡ η/ρ didapatkan persamaan gerak Untuk fluida inkompresibel ∇ untuk fluida inkompresibel
∂~v ~ + µ∇ ~ 2~v ~ v = − 1 ∇P + (~v · ∇)~ ∂t ρ
(2.10)
seperti pada persamaan (2.1).
2.2
Teori Medan Gauge untuk Dinamika Fluida
Persamaan dinamika fluida merupakan persamaan nonlinier yang menggambarkan aliran fluida dengan kecepatan aliran ~v ≡ ~v (t, xi ), dimana xi adalah koordinat 3 dimensi. Hal ini memungkinkan persamaan tersebut diperumum sebagai per-
samaan nonlinier dalam koordinat 4 dimensi xµ ≡ (x0 , xi ) = (xt, ~r) = (ct, x, y, z)
dengan kecepatan ~v ≡ ~v (xµ ) Dalam hal ini digunakan ruang Minkowski dengan tensor metrik gµν = (1, −~1) = (1, −1, −1, −1) sehingga x2 = xµ xµ = xµ gµν xν =
x20 − x2 = x20 − x21 − x22 − x23 . Karena diturunkan dari hukum II Newton maka,
secara prinsip, persamaan gerak fluida dapat diturunkan melalui mekanika analitik dengan prinsip aksi minimum. Penurunan telah dikerjakan dalam sejumlah paper demikian pula dengan formulasi dinamika fluida menggunakan Lagrangian
berdasarkan simetri gauge. Beberapa paper bahkan menganalogikannya dengan persamaan Maxwell. Namun perlu ditekankan bahwa persamaan dinamika fluida dan persamaan Maxwell merupakan persamaan untuk sistem yang berbeda, analogi yang dimaksud adalah dalam konstruksi Lagrangian dinamika fluida. Pada subbab ini akan dijelaskan konstruksi persamaan dinamika fluida berdasarkan 6
first principle mekanika analitik yaitu dengan Lagrangian density. Karena persamaan gerak fluida secara umum bergantung pada ruang dan waktu, maka dapat digunakan metode pada teori medan relativistik yang memperlakukan ruang dan waktu dalam dimensi yang sama. Persamaan dinamika fluida diturunkan sebagai persamaan gerak dari Lagrangian boson yang invarian terhadap transformasi gauge dan transformasi Lorentz melalui persamaan Euler-Lagrange. Lagrangian untuk medan boson yang invarian terhadap transformasi gauge lokal ialah L = (∂µ φ∗ )(∂ µ φ) + V (φ) + LA
(2.11)
dimana
1 LA = − Fµν F µν + gJµ Aµ + g 2 Aµ Aµ φ∗ φ (2.12) 4 dengan tensor kuat medan Fµν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ , sementara arus vektor empatnya, Jµ = i [φ(∂µ φ∗ ) − φ∗ (∂µ φ)]
(2.13)
memenuhi kekekalan arus ∂ µ Jµ = 0. Suku-suku tambahan pada LA muncul seba-
gai konsekuensi sifat invarian Lagrangian boson tersebut terhadap transformasi gauge lokal U = exp[−iθ(x)] sehingga, φ → φ′ = e−iθ(x) φ ≈ (1 − iθ(x))φ (2.14) 1 Aµ → Aµ ′ = Aµ + (∂µ θ) (2.15) g Seperti disebutkan dalam [1], kita dapat melihat kemiripan bentuk persamaan dinamika fluida dengan persamaan Maxwell dengan mengganti medan magnet dan medan listrik dengan vektor Lamb dan vortisitas ~ → ~l = ~ω × ~v E
~ → ~ω = ∇ ~ × ~v B sehingga persamaan ”Maxwell” untuk fluida ialah ~ · ~l = ρ˜ ∇
~ × ~l = − ∂~ω ∇ ∂t ~ ∇ · ~ω = 0
~ ~ × ~ω = α~j + α ∂ l ∇ ∂t 7
dengan α = 1/~v 2. Hasil ini memberi petunjuk bahwa kita dapat mengkonstruksi Lagrangian yang bentuknya mirip dengan Lagrangian elektrodinamika kuantum yaitu LA pada persamaan (2.12). Hal ini dibuktikan dengan mengambil bentuk spesifik dari medan gauge,
~ Φ, A 1 2 |~v| , −~v = 2
Aµ =
(2.16)
dengan ~v ialah kecepatan fluida. Bentuk medan gauge tersebut jelas tidak memenuhi transformasi Lorentz. Namun, dengan pemilihan ini tampak jelas bahwa pada dinamika fluida, potensial skalar merupakan energi total per satuan massa berupa rapat energi kinetik, sementara potensial vektor menggambarkan dinamika dalam suku kecepatan. Dengan demikian, LA pada persamaan (2.12) tidak lain ialah Lagrangian yang menghasilkan persamaan dinamika fluida dengan pemilihan medan gauge di atas, LA = LDF . Berdasarkan prinsip aksi minimum δS = 0 dengan S = persamaan Euler-Lagrange ∂ν
R
d4 xLDF dapat diperoleh
∂LDF ∂LDF =0 − ν ∂(∂ Aµ ) ∂Aµ
(2.17)
Dengan melakukan substitusi persamaan (2.12) ke persamaan (2.17) maka dihasilkan persamaan gerak dalam Aµ , ∂ν (∂ µ Aν ) − ∂ 2 Aµ + gJµ = 0.
(2.18)
dengan Aµ merepresentasikan medan fluida. Relasi nontrivial diperoleh untuk µ 6= ν sehingga dapat dihasilkan persamaan gerak fluida. Untuk memperoleh persamaan gerak yang relativistik, kita dapat mendefinisikan ~ dengan potensial skalar dan vektornya sebagai berikut medan gauge Aa = Φ, A µ
[3],
|~v|2 φ, 1 − β2 ~ = p −~v φ, A 1 − β2 Φ =
8
(2.19) (2.20)
dengan β = |~v | /c. Suku pertama pada persamaan (2.19) menunjukkan versi
relativistik energi kinetik persatuan massa. Substitusi persamaan (2.19) dan (2.20) ke persamaan (2.18), diperoleh persamaan gerak yang relativistik, ∂~v ~ |~v |2 p −∇ = g J~˜ 2 2 1−β 1 − β ∂t 1
dengan J˜i ≡
R
(2.21)
R dxi J0 = − dtJi . Kita dapat memperoleh bentuk nonrelativistik
dengan mengambil |~v | ≪ c dan menggunakan relasi
1~ 2 ~ v + ~v × (∇ ~ × ~v ) ∇ |~v| = (~v · ∇)~ 2 sehingga didapatkan, ∂~v ~˜ ~ v = −~v × (∇ ~ × ~v ) + g J, + (~v · ∇)~ ∂t
(2.22)
Dengan demikian persamaan dinamika fluida untuk sembarang gaya konservatif telah dibentuk menggunakan teori medan gauge. Terlihat pada persamaan ~ × ~v ) yang (2.22) terdapat gaya tambahan, yaitu pada suku g J~˜ dan suku ~v × (∇
~ × ~v. Untuk fluida irotasional ∇ ~ × ~v = 0 dan relevan untuk fluida rotasional ∇ ~ · ~v = 0. Persamaan (2.21) invarian terhadap transformasi fluida inkompresibel ∇ Lorentz,
xi → x′i = p
xi − vi t
1 − |~v|2 /c2
,
p ~˜ dan J~˜ → J~˜′ = 1 − |~v |2 /c2 J.
t − xi /vi t → t′ = p 1 − |~v|2 /c2
Dari model yang dibuat untuk dinamika fluida dengan menggunakan teori medan gauge, tampak adanya interaksi antara fluida (Aµ ) dengan materi di dalamnya (φ). Dari suku pure gauge 1/4Fµν F µν tampak adanya interaksi fluida dengan fluida itu sendiri. Sementara itu, potensial pada Lagrangian menggambarkan interaksi antar medan boson. Pada dinamika fluida klasik, arus vektor empat Jµ = (ρ, ρ~v ) menggambarkan distribusi makroskopik dari kerapatan dan vektor rapat arus. Sementara dalam pendekatan ini, Jµ menggambarkan fungsi distribusi materi dalam fluida. Hal ini analog dengan arus yang terdapat pada persamaan Maxwell dan elektrodinamika kuantum (QED) yang merupakan akibat dari interaksi pasangan fermion. Konsekuensinya, arus fluida muncul akibat interaksi 9
medan fluida dengan mediumnya. Jadi kita dapat menginvestigasi dinamika fluida walaupun Jµ = 0. Dengan menggunakan Lagrangian tersebut, kita juga dapat mempelajari interaksi antara fluida dengan medium lainnya.
2.3
Sistem Multi Fluida
Model yang telah dikembangkan pada sub-bab sebelumnya dapat digeneralisasi untuk sistem multi fluida. Pada sistem ini kita menggunakan simetri SU(N) untuk menggambarkan sistem multi fluida serta interaksinya dengan materi. Untuk melakukannya, transformasi gauge yang digunakan ialah transformasi gauge lokal yang bersifat non-Abelian U = exp(−iT a θa (x))
(2.23)
dimana T a merupakan generator dari grup Lie dan memenuhi relasi komutasi [T a , T b ] = if abc T c dengan f abc merupakan konstanta struktur antisimetrik. Lagrangian untuk sistem multi fluida dapat dituliskan
dimana
L = (∂µ φ)† (∂ µ φ) + V (φ) + LA
(2.24)
1 a aµν i LA = − Fµν F + gJµa Aaµ + f abc g 2 (φ† T a φ)Abµ Acµ 4 2
(2.25)
a dengan tensor kuat medan Fµν ≡ ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gf abc Abµ Acν , sementara arus
vektor empatnya,
Jµa = i (∂µ φ)† T a φ − φ† T a (∂µ φ)
(2.26)
dengan transformasi gauge untuk tiap-tiap medan ialah φ → φ′ = e−iT
a θ a (x)
φ ≈ (1 − iT a θa (x))φ
1 Aaµ → Aaµ ′ = Aaµ + (∂µ θa ) + f abc θb Acµ g
(2.27) (2.28)
Bila Aaµ diperhatikan sebagai medan fluida yang mewakili sekumpulan fluida untuk tiap a, maka kita memiliki sistem multi fluida yang digambarkan oleh persamaan persamaan gerak tunggal dimana LA pada persamaan (2.27) merupakan
10
Lagrangian dari persamaan dinamika fluida (LDF ). Sebagai contoh, untuk menggambarkan interaksi antara 2 fluida, dapat digunakan Lagrangian yang berbentuk [5] Ltotal = LaDF + LbDF + Lab int
(2.29)
dengan Lab int merupakan Lagrangian interaksi antara dua fluida. Dari model yang
dibuat untuk sistem multi fluida, kita dapat melihat interaksi antara fluida (Aaµ ) dengan materi di dalamnya (φ) berdasarkan grup simetri SU(N) untuk n × 1
medan φ dan n × n generator T a secara umum. Pada Lagrangian juga terdapat suku interaksi antar fluida yang digambarkan oleh suku pure gauge 1 a aµν F LP G = − Fµν 4
11
(2.30)
Bab 3 Teori Medan Gauge pada Lattice Pada bab ini dijelaskan secara singkat metode path integral dan formulasi lattice serta hubungan antara keduanya. Metode path integral diperkenalkan oleh Feynman pada tahun 1948. Metode ini merupakan formulasi alternatif dari mekanika kuantum dan teori medan. Keuntungan menggunakan formulasi ini adalah dapat dilakukannya kuantisasi suatu teori hanya dengan menggunakan medan kompleks, tanpa mengubah medan menjadi operator [6]. Keuntungan lain yang didapat adalah • Merupakan cara termudah dan langsung untuk mendapatkan aturan Feynman untuk teori medan apapun.
• Memungkinkan diperoleh solusi eksak ataupun numerik dari medan inte-
raksi kuat, dimana ekspansi perturbasi tidak berlaku dengan lattice gauge theory.
• Memperlihatkan hubungan antara teori medan dengan mekanika statistik. Meskipun demikian, sebelum metode lattice dikenal banyak kasus hanya dapat dipecahkan menggunakan metode perturbatif dengan menggunakan probe energi tinggi di mana nilai konstanta kopling sangat kecil. Setelah metode lattice dari teori medan kuantum dikenal, barulah dapat dilakukan studi nonperturbatif pada Quantum Chromodynamics [7].
12
3.1
Path Integral dalam Mekanika Kuantum
Perhitungan menggunakan path integral dilakukan dengan menggunakan Lagrangian dan Hamiltonian. Untuk lebih jelasnya, pandang suatu sistem mekanika kuantum satu dimensi dengan Lagrangian L = L(q, q) ˙ dan Hamiltonian H = H(p, q), yang pada mekanika klasik dinyatakan dengan 1 L = mq˙2 − V (q) 2
(3.1)
p2 + V q. (3.2) 2m Dalam persamaan tersebut, p dan q dihubungkan oleh persamaan kanonik p = H=
∂L/∂ q˙ = mq. ˙ Namun harus diperhatikan bahwa pada mekanika kuantum, p dan q adalah operator dengan relasi komutasi [p, q] = i~. Amplitudo transisi dalam mekanika kuantum dinyatakan dengan ′
hq ′ , t′ | q, ti = hq ′ | e−iH(t −t) | qi = hq ′ | U(t′ , t) | qi
(3.3)
dengan U(t′ , t) = exp(−iH(t′ − t)) adalah operator evolusi waktu. Selanjutnya,
dengan melakukan diskritisasi waktu T = t′ − t = n∆t dan memasukkan relasi kelengkapan eigenstate koordinat qn 1=
Z
dq | qi hq |
(3.4)
sebanyak n − 1 maka diperoleh Z ′ ′ h q , t | q, ti = dq1 . . . dqn−1 hq ′ | e−iH∆t | qn−1 i hqn−1 | e−iH∆t | qn−2 i × . . . hq2 | e−iH∆t | q1 i hq1 | e−iH∆t |qi .
(3.5)
Matriks transfer Tˆ didefinisikan sebagai amplitudo transisi suatu sistem pada interval waktu ∆t. Untuk n yang besar dan ∆t sangat kecil, eksponen pada elemen matriks Tˆ dapat diaproksimasi menggunakan suku pertama dari formula Baker-Campbell-Hausdorff menjadi [7] hqk+1 | Tˆ |qk i = hqk+1 | e−iH∆t |qk i ≈ hqk+1 | e−i∆tp 13
2 /2m
|qk i e−i∆tV (qk )
(3.6)
Gambar 3.1: Diskritisasi interval waktu
karena potensial V hanya bergantung pada koordinat spasial. Kemudian, elemen matriks hqk+1 | e−i∆tp
kelengkapan
2 /2m
| qk i dievaluasi dengan transformasi Fourier dan relasi
1 hq| pi = √ e−iqp , 2π
sehingga diperoleh m 12 −iH∆t hqk+1 | e | qk i ≈ exp i∆t 2πi∆t
Z
dq |pi hp | = 1,
(
m 2
qk+1 − qk ∆t
2
(3.7)
− V (qk )
)
(3.8)
Dengan mengevaluasi seluruh elemen matriks transfer, amplitudo transisi (3.3) dapat ditulis menjadi ( ) 2 Z n−1 n2 X q − q m m k+1 k dq1 . . . dqn−1 exp i ∆t − V (qk ) hq ′ | U(t′ , t) |qi = 2πi∆t 2 ∆t k=0 (3.9) ′
′
hq | U(t , t) |qi = = dengan
Z
Dq exp i
Z
DqeiS
Z
T
dt 0
nm 2
m n2 Dq ≡ dq1 . . . dqn−1 2πi∆t
q˙2 − V (q)
o (3.10)
(3.11)
Dengan S merupakan aksi fungsional dari suatu sistem, S(q) =
Z
t′
dtL(q(t), q(t)), ˙
(3.12)
t
dan
R
Dq merupakan integrasi dari seluruh fungsi q(t). Path integral merupakan
penjumlahan terhadap semua lintasan partikel q(t).
Lintasan partikel yang dimaksud bukan hanya lintasan dengan aksi minimum 14
Gambar 3.2: Lintasan partikel
seperti pada mekanika klasik. Lintasan klasik yang memenuhi persamaan gerak δS(q) = 0 yang dinyatakan dengan persamaan Euler-Lagrange ∂ ∂L ∂L − =0 ∂q ∂t ∂ q˙
(3.13)
hanyalah satu dari seluruh lintasan tak berhingga yang mungkin sebab mekanika kuantum tidak memperbolehkan adanya hanya satu lintasan unik [8]. Akibatnya, semua lintasan yang mungkin harus dilibatkan dalam perhitungan. Setiap lintasan memiliki bobot exp(iS) yang dinyatakan dalam persamaan (3.10) [9]. iS
Munculnya faktor bobot (sebenarnya : e ~ ) untuk setiap lintasan merupakan konsekuensi bahwa lintasan klasik harus diperoleh pada limit klasik ~ → 0.
3.2
Teori Medan Kuantum Menggunakan Path Integral
Pada subbab ini, representasi path integral dalam mekanika kuantum akan diadopsi dalam teori medan kuantum. Sebelumnya telah diturunkan formulasi path integral pada mekanika kuantum nonrelativistik dengan dimensi ruang 0 dan waktu 1. Formulasi path integral untuk teori medan didapatkan dengan mengganti variabel dasar q(t) menjadi medan skalar φ(x, t). Variabel-variabel yang diganti
15
antara lain [10]
Y t,i
S=
q(t) ↔ φ(x, t) Y dqi (t) ↔ dφ(x, t) ≡ Dφ
Z
t,x
dtL ↔ S =
Z
d4 xL
dengan S adalah aksi klasik. Besaran yang penting di teori medan ialah nilai ekspektasi vakum dari produk time-ordered operator medan, yaitu fungsi Green: h0 | φ(x1 )φ(x2 ) . . . φ(xn )) |0i ,
t1 > t2 > . . . > tn
(3.14)
seperti contohnya ialah propagator h0 | φ(x1 )φ(x2 ) |0i
(3.15)
Dengan analogi path integral mekanika kuantum kita menuliskan representasi fungsi Green dalam integral fungsional [11], Z 1 Dφ φ(x1 )φ(x2 ) . . . φ(xn )eiS h0| φ(x1 )φ(x2 ) . . . φ(xn ) | 0i = Z
(3.16)
dengan Z=
Z
DφeiS
(3.17)
Pada pembahasan sebelumnya, dapat dilihat bahwa perhitungan path integral melibatkan komponen eksponen imaginer, yang bila diekspansi merupakan komponen yang berosilasi. Hal ini membuat integral tidak dapat dihitung secara numerik. Namun, hal ini dapat diatasi dengan menggunakan kontinuasi analitik ke waktu imaginer. Dengan cara ini, eksponen menjadi real dan dapat dihitung secara numerik. Sistem ruang waktu dengan komponen waktu imaginer ini disebut ruang waktu Euclidean. Karena sebelumnya diturunkan persamaan menggunakan ruang waktu Minkowski, maka harus dilakukan substitusi t = x0 → −ix4 Sebagai contoh, kita lakukan kontinuasi pada medan skalar dengan aksi Z m2 2 1 µ 4 φ S = d x (∂µ φ)(∂ φ) − 2 2 16
(3.18)
(3.19)
Dengan melakukan integrasi parsial, aksi dapat ditulis sebagai Z 1 d4 xφ(−∂ 2 − m2 )φ. S= 2
(3.20)
Kontinuasi ke waktu imaginer dilakukan dengan substitusi d4 x = dx0 dx1 dx2 dx3 = −idx1 dx2 dx3 dx4 = −id4 xE ∂ 2 = ∂02 − ∂12 − ∂22 − ∂32 = −∂12 − ∂22 − ∂32 − ∂42 = −∂E2 yang menghasilkan i iS = 2
Z
(−i)d4 xE φ(∂E2 − m2 )φ Z 1 = − d4 xE φ(−∂E2 + m2 )φ 2 = −SE
(3.21)
dengan
Z 1 SE = d4 xE φ(−∂E2 + m2 )φ (3.22) 2 merupakan aksi medan skalar dalam ruang waktu Euclidean. Fungsi Green versi Euclidean adalah 1 h0 | φ(x1 )φ(x2 ) . . . φ(xn ) |0i E = Z
Z
Dφ φ(x1 )φ(x2 ) . . . φ(xn )e−SE
(3.23)
dengan Z=
Z
Dφe−SE
(3.24)
Selanjutnya huruf E untuk menunjukkan versi Euclidean akan dihilangkan, tetapi dimengerti bahwa kita menggunakan ruang waktu Euclidean. Kita lihat bahwa setelah dilakukan kontinuasi ke waktu imajiner, integran dari Z tidak lagi berosilasi sehingga integrasi tersebut dapat dihitung secara numerik. Dengan representasi Euclidean, faktor yang berosilasi berubah menjadi eksponensial menurun yang lebih mirip dengan faktor bobot klasik. Lintasan yang lebih disukai tetap lintasan yang memiliki aksi SE minimum [8]. 17
3.3
Diskritisasi
Setelah membuat formulasi ruang-waktu secara Euclidean, kita membentuk kisi sebagai metode perhitungan. Kisi pada hal ini adalah susunan ruang waktu secara diskrit dengan geometri hiperkubik empat dimensi dengan jarak antar tiap titik kisi (sites) adalah a. Dengan demikian pada, medan hanya memiliki nilai pada titik-titik kisi xµ = mµ a,
mµ = 0, 1, . . . , N − 1.
(3.25)
sehingga panjang sisi dari kotak hiperkubik ialah L = Na dan volumenya L4 . Medan Aµ pada titik kisi xµ = mµ a ditulis dengan notasi Aµx . Dengan dilaku-
Gambar 3.3: Lattice atau kisi 3 dimensi
kannya diskritisasi, maka integral dapat digantikan dengan sumasi Z
d4 x → a4
−1 −1 N −1 N N −1 N X X X X m1
m2
m3
= a4
m4
X m
=
X x
yang pada limit kontinu harus dipenuhi Z L X f (x) → d4 xf (x), N → ∞, a → 0, L tetap x
(3.26)
(3.27)
0
Sekarang akan dilakukan diskritisasi suku pure gauge pada persamaan 2.12. Tensor kuat medan yang diberikan oleh Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ 18
(3.28)
Dengan turunan atau derivatif medan diganti dengan perbedaan atau selisih medan antara dua titik kisi, 1 (Aνx+aˆµ − Aνx ), a 1 (Aµx+aˆν − Aµx ) = a
∂µ Aν =
(3.29)
∂ν Aµ
(3.30)
dengan µ ˆ dan νˆ merupakan vektor satuan pada arah µ dan ν. Dengan diskritisasi yang telah dijelaskan maka kita dapat menulis aksi untuk medan pure gauge pada persamaan (2.12) dalam bentuk diskrit [7] Z 1X 1 1 d4 xFµν F µν → [(Aνx+aˆµ − Aνx ) − (Aµx+aˆν − Aµx )] S= 4 4 x a2
[(Aνx+aˆµ − Aνx ) − (Aµx+aˆν − Aµx )] (3.31)
3.4
Transformasi Gauge pada Lattice
Perhatikan aksi dari medan skalar pada persamaan (3.19). Untuk medan skalar kompleks, setelah diskritisasi, aksi tersebut dapat ditulis menjadi X φx+aˆµ + φx−aˆµ − 2φx 4 † 2 † S=a Re −φx + m φx φx a2 m,µ
(3.32)
Aksi tersebut invarian terhadap transformasi gauge global φx → φ′x = Ωφx † † φ†x → φ†′ x = φx Ω
dengan Ω = e−iθ merupakan elemen dari grup U(1). Kemudian, aksi tersebut harus invarian terhadap transformasi gauge lokal U(1), dengan elemen grup Ω bergantung pada titik kisi, Ω = Ωx . Sehingga medan φx bertransformasi sebagai berikut, φx → φ′x = Ωx φx
(3.33)
† † φ†x → φ†′ x = φx Ωx .
(3.34)
Dari transformasi tersebut, perhatikan besaran φ†x φx+aˆµ dan φ†x φx−aˆµ . Besaran tersebut tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal yang didefinisikan pada 19
persamaan (3.32) dan (3.33) φ†x φx+aˆµ → φ†x Ω†x Ωx+aˆµ φx+aˆµ ,
(3.35)
φ†x φx+aˆµ → φ†x Ω†x Ωx−aˆµ φx−aˆµ .
(3.36)
Agar besaran tersebut invarian, maka kita membutuhkan suatu besaran Uµx yang bertransformasi sebagai berikut, Uµx → Ωx Uµx Ω†x+aˆµ
(3.37)
Uµx merupakan besaran yang menghubungkan titik kisi yang satu dengan titik kisi lainnya pada lattice, dan disebut dengan variabel ”link ”. Di dalam variabel link terdapat medan gauge Aµ agar besaran pada persamaan (3.31) invarian terhadap transformasi gauge lokal. Variabel link didefinisikan sebagai Uµx = Ux,x+aˆµ = eigaAµx
(3.38)
Sehingga kita memiliki bentuk yang invarian terhadap transformasi gauge lokal pada lattice φ†x φx+aˆµ → φ†x Ux,x+aˆµ φx+aˆµ
(3.39)
† φ†x φx−aˆµ → φ†x Ux−aˆ µ µ,x φx+aˆ
(3.40)
† −igaAµx−aµˆ U−µx = Ux−aˆ µ = e µ,x = Ux,x−aˆ
(3.41)
dimana
Pada teori kontinum Uµx tidak lain merupakan parallel transporter yang analog dengan obyek yang sama pada geometri diferensial, yang memetakan vektor dari titik yang satu ke titik lainnya sepanjang kurva. U(x, y; C) = eig
Rx y
Aµ (z)dzµ
.
(3.42)
Parallel transporter tidak hanya bergantung pada titik x dan y tetapi juga kurva C yang dipilih. Dengan diperkenalkannya variabel link Uµx yang didalamnya terdapat medan gauge Aµ , maka kita dapat menulis aksi untuk medan gauge pada lattice yang 20
Gambar 3.4: Lintasan C antara x dan y invarian terhadap transformasi gauge lokal dalam Uµx . Untuk itu perhatikan medan gauge yang didefinisikan sebagai berikut Fµν F µν = (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )
(3.43)
di mana Aµ =
−~v |~v |2 p φ, φ 1 − β2 1 − β2
!
(3.44)
= ǫµ φ dengan ǫµ =
−~v |~v |2 ,p 2 1−β 1 − β2
!
(3.45)
Pada Aµ telah dibuat ansatz bahwa Aµ dapat diseparasi menjadi ǫµ dan φ, di mana φ merupakan suatu besaran medan berdimensi massa, [φ] = 1, atau suatu medan yang memiliki kecepatan ~v. Sehingga persamaan (3.42) dapat ditulis menjadi Fµν F µν = (∂µ (ǫν φν ) − ∂ν (ǫµ φµ )) (∂ µ (ǫν φν ) − ∂ ν (ǫµ φµ ))
(3.46)
Kemudian dilakukan separasi komponen waktu dan ruang secara eksplisit untuk mempermudah perhitungan. Sebagai berikut Fij F ij = (∂i (ǫj φj ) − ∂j (ǫi φi )) ∂ i ǫj φj − ∂ j ǫi φi Fi0 F i0 = (∂i (ǫ0 φ0 ) − ∂0 (ǫi φi )) ∂ i ǫ0 φ0 − ∂ 0 ǫi φi F0j F 0j = (∂0 (ǫj φj ) − ∂j (ǫ0 φ0 )) ∂ 0 ǫj φj − ∂ j ǫ0 φ0 21
(3.47) (3.48) (3.49)
Dengan asumsi bahwa loop yang diamati sangat kecil maka dapat diasumsikan bahwa ǫ0 = ǫi = ǫj = konstanta. Dengan menjumlahkan persamaan (3.47) hingga (3.49), diperoleh Fµν F µν = ǫi ǫj (∂i φj − ∂j φi) ∂ i φj − ∂ j φi + 2ǫ0 ǫi (∂0 φi − ∂i φ0 ) ∂ 0 φi − ∂ i φ0
(3.50)
Dalam tugas akhir ini digunakan variabel link yang berbeda sebab digunakan separasi pada Aµ . Variabel link, Uµx dengan Aµ yang kita gunakan dapat ditulis sebagai Uµx = eigaAµx = eigaǫµ φx ǫµ = eigaφx ¯ ǫµ = U x
(3.51)
dengan U¯x = eigaφx . Dengan cara ini, kita dapat menuliskan medan gauge pada persamaan (3.43) dalam variabel link U¯x sebagai ¯ix U ¯jx+ai U ¯† ¯ † + 2ǫ0 ǫi U¯0x U¯ix+a0 U¯ † ¯† Fµν F µν = ǫi ǫj U U U ix+aj jx 0x+ai ix Aksi pada kisi pada persamaan (3.31) yang kecil dapat dituliskan [7] 1X 4 1 1 XX † a Fµνx Fµνx Uµνx + Uµνx ≈ 1− S= 2 g x µ<ν 2 4 xµν
(3.52)
(3.53)
Dengan † † Uµνx = Uµx Uνx+aˆµ Uµx+aˆ ν Uνx
yang dapat ditulis dalam bentuk singkat 1 1 X † 1− SG [U] = 2 UP + UP g P 2
(3.54)
(3.55)
Untuk kasus non-Abelian SU (N ) SG [U]
2N X Tr 1 † = 2 UP + UP 1− g P 2N 2
22
(3.56)
Gambar 3.5: Uµνx pada sebuah Plaquette
3.5
Observable
Suatu besaran yang terukur (observable) dalam mekanika kuantum adalah hasil operasi suatu operator terhadap state tertentu. Didefinisikan hf | O | ii sebagai
nilai observable dengan operator O yang muncul akibat transisi dari keadaan | ii
ke keadaan |f i .
Observable suatu sistem tidak selalu bergantung pada transisi keadaan sistem.
Kita definisikan operator observable yang tidak bergantung transisi dan yang bergantung transisi masing-masing sebagai O′ dan O′ . Dengan demikian dapat dituliskan
hf | O |ii = hf | O′ + O′ | ii = hf | O′ | ii + hf | O′ | ii = hi| O′ |ii + hf | O′ | ii
(3.57)
Pada suku pertama r.h.s, keadaan akhir tetap |f i sebab interaksi tidak menyebabkan transisi, maka dari itu hanya suku kedua r.h.s yang diperhitungkan. Dalam kaitannya dengan path integral didapatkan Z hi| O′ |ii = D[medan]e−S0 Z ′ ′ hf | O |ii = D[medan]e−(S0 +S ) 23
(3.58) (3.59)
di mana pada persamaan tersebut, interaksi yang mengakibatkan munculnya observable O′ dan O′ adalah aksi S0 dan S ′ , sementara D[medan] menandakan
integrasi terhadap seluruh medan yang terdapat dalam integran. Langkah selanjutnya ialah normalisasi besaran hf | O | ii terhadap hi| O′ | ii , dinotasikan sebagai Z.
Z′ = Z= Z0
R
′
′
D[medan]e−(S0 +S ) R D[medan]e−S0
(3.60)
Ekspansikan e−S hingga orde pertama, didapatkan R D[medan](1 − S ′ )e−S0 R Z= D[medan]e−S0
Pada persamaan (2.11) dan (2.12) tampak bahwa medan pada Lagrangian fluida terdiri atas φ dan Aµ . Dengan menyatakan bahwa S ′ adalah aksi yang mengandung Aµ saja dan S0 sebagai aksi yang hanya mengandung φ, dapat dituliskan R DφDAS ′e−S0 R Z= (3.61) DφeiS0 R dengan DA pada r.h.s tidak diperhitungkan karena tidak bergantung transisi.
Karena aksi merupakan integrasi Lagrangian terhadap ruang-waktu tak berhing-
ga dan tidak dapat dipastikan memiliki suatu harga tertentu, maka integrasi ini tidak dilakukan sehingga kita hanya dapat menghitung densitas Z yang dinotasikan sebagai Z Z=
R
DφDAL′e−S0 R Dφe−S0
(3.62)
Persamaan di atas masih dapat disederhanakan mengingat S0 hanya bergantung pada φ dan L′ hanya bergantung pada Aµ sehingga didapatkan R R Dφe−S0 DAL′ R Z = Dφe−S0 Z = DAL′
3.6
(3.63)
Path Integral dan Mekanika Statistik
Formulasi teori medan kuantum Euclidean pada lattice memiliki analogi dengan mekanika statistik. Pada persamaan (3.24) kita telah melihat bahwa integral 24
fungsional memiliki bentuk serupa dengan fungsi partisi pada mekanika statistik. Berikut ini adalah beberapa analogi antara formulasi teori medan kuantum Euclidean dengan mekanika statistik [10]. Z Dφe−SE → Σe−βH SE → βH
Dengan dasar analogi formal tersebut dapat digunakan metode yang berlaku pada mekanika statistik dalam teori medan, dan sebaliknya. Bahkan terminologi yang digunakan pada keduanya seringkali identik. Dalam tugas akhir ini, fungsi partisi yang digunakan adalah densitas fungsi partisi yang telah dinormalisasi (3.66), sehingga besaran fisis yang didapat juga dalam bentuk densitas. Dengan persamaan (3.63) dan (3.52) dapat dihitung Z sebagai berikut Z 1 † † ¯0x U¯ix+a0 U ¯† ¯† DAǫi ǫj U¯ix U¯jx+ai U¯ix+aj U¯jx + 2ǫ0 ǫi U U Z = 0x+ai ix 4 4 Z Y ǫ0 ǫ1 ǫ2 ǫ3 1 −i ¯0x ¯ix ǫi ǫj U¯ix U¯jx+ai U¯ † ¯† = d U d U U ix+aj jx ¯1x U¯2x U ¯3x 4 ga U¯0x U i † † +2ǫ0 ǫi U¯0x U¯ix+a0 U¯0x+ai U¯ix (3.64) Besaran fisis pada mekanika statistik dapat diturunkan menggunakan fungsi partisi, contohnya [12] F = − ln Z ∂F P =− ∂V dP S= dT
energi bebas sistem tekanan entropi
25
Bab 4 Hasil dan Pembahasan Fluida murni dapat dimodelkan dengan Lagrangian pada persamaan (2.11 - 2.12) untuk kasus non-Abelian. Dalam persamaan tersebut terdapat suku pure gauge yang merepresentasikan fluida murni, yaitu 1 a aµν LP G = − Fµν F 4
(4.1)
Dari persamaan tersebut dapat dilihat adanya interaksi antar fluida yang berbeda (ditunjukkan oleh indeks a), maka Lagrangian untuk kasus non-Abelian menga gambarkan sistem multi fluida. Melalui definisi Fµν ≡ ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gf abc Abµ Acν
kita dapat mengetahui bahwa Lagrangian tersebut hanya mengandung suku kinetik (derivatif). Oleh karena itu, Lagrangian ini menggambarkan pergerakan (aliran) fluida saja, sehingga diinterpretasikan sebagai Lagrangian fluida murni. Besaran fisis dapat dihitung menggunakan fungsi partisi, sementara itu dari subbab (3.6) sudah diketahui bahwa terdapat hubungan antara path integral dengan
mekanika statistik. Dengan demikian dapat dicari besaran-besaran fisis sistem dengan menghitung path integral. Masalahnya adalah tidak diketahuinya besar konstanta kopling, g, untuk kasus fluida. Solusinya adalah perhitungan harus dilakukan secara nonperturbatif dengan metode Lattice Gauge Theory. Perhitungan path integral secara nonperturbatif dilakukan dengan menyusun aksi pada persamaan (3.56) dalam kerangka ruang-waktu diskrit berdasarkan teori pada bab 3, kemudian dilakukan perhitungan dengan metode Monte Carlo menggunakan algoritma Metropolis. Perhitungan fungsi partisi pada kisi 4 dimensi dilakukan 2 kali dengan jumlah titik kisi masing-masing 104 dan 304 titik kisi dengan menggunakan volume kisi 26
6 5.5
simulasi 1 simulasi 2 simulasi 3
5 4.5 4
Z density
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.79
0.8
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85 v(c)
0.86
0.87
0.88
0.89
0.9
0.91
Gambar 4.1: Nilai Z pada kisi 104 site |v| = 0, 8c hingga 0.9c 0, 54f m4 . Nilai konstanta kopling yang digunakan pada keduanya sama, yakni g = 1. Alasan pemilihan volume kisi yang kecil tersebut adalah karena kita mengharapkan fungsi yang dintegrasi tidak banyak berfluktuasi, sementara itu perhitungan secara nonperturbatif diwakili dengan nilai g = 1. Gambar 4.1 menunjukkan hasil perhitungan Z terhadap v pada kisi dengan jumlah titik kisi 84 . Pada gambar tersebut, diplot dua set data dengan parameter
yang sama. Tampak bahwa hasil ketiga perhitungan tidak berhimpit, terutama pada daerah kecepatan mendekati c. Hasil ini menunjukkan bahwa perhitungan harus diulang dengan jumlah titik kisi lebih banyak. Maka dari itu dilakukan perhitungan pada kisi dengan jumlah titik 304 titik dengan parameter yang sama, hasilnya adalah gambar 4.2. Secara umum, fluktuasi nilai Z dapat terjadi karena
metode Monte Carlo yang digunakan dalam perhitungan. Namun, fluktuasi ini dapat diperkecil dengan memperbanyak konfigurasi dalam perhitungan. Pada gambar 4.3, perhitungan menggunakan 304 titik kisi dilakukan hanya hingga |v| = 0.5c sebab nilai Z meningkat secara asimtotik. Kenaikan secara asimtotik
ini disebabkan adanya faktor Lorentz dalam Lagrangian.
27
650 600
simulasi 1 simulasi 2
550 500 450
Z density
400 350 300 250 200 150 100 50 0 0.79
0.8
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85 v(c)
0.86
0.87
0.88
0.89
0.9
0.91
Gambar 4.2: Nilai Z pada kisi 304 site dengan |v| = 0.8 hingga 0.9c 1.1 1 0.9 0.8 0.7
Z density
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 v(c)
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
Gambar 4.3: Nilai Z pada kisi 304 site dengan |v| = 0 hingga 0.5c Penjelasan pemilihan batas perhitungan pada |v| = 0.5c adalah : (a) penjelasan
matematis karena Z meningkat secara asimtotik dan, (b) penjelasan fisis karena
nilai F pada |v| = 0.5c sudah bernilai negatif seperti tampak pada gambar (4.4). 28
16 15 14 13 12 11 10 F density
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 v(c)
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Gambar 4.4: Nilai F pada kisi 304 site dengan |v| = 0 hingga 0.5c Pada gambar 4.4 diplot nilai F terhadap |v|. Dalam konteks sistem multi fluida,
F adalah nilai densitas energi bebas yang dapat digunakan dalam interaksi antar fluida. Dengan demikian, nilai F yang asimtotik pada |v| = 0 menandakan bahwa
fluida berinteraksi sangat kuat dengan fluida lainnya. Namun kuat interaksi ini menurun bila fluida bergerak dan akhirnya interaksi tidak terjadi lagi bila energi kinetik sudah lebih besar daripada energi interaksi. Sekilas bila kita perhatikan persamaan (3.63), tampak bahwa nilai konstanta lebar kisi a berada di luar tanda integral. Hal ini tentu menimbulkan pertanyaan
mengenai pengaruh pemilihan a terhadap nilai Z. Untuk menjawabnya, perlu
ditekankan bahwa nilai Z yang dihitung adalah nilai densitas pada satu titik kisi,
belum nilai Z sebenarnya. Untuk menghitung nilai Z perlu dilakukan integrasi Z
terhadap ruang-waktu 4 dimensi, yang tentu saja akan menghilangkan pengaruh nilai a4 pada penyebut. Perhitungan tersebut melibatkan teori finite temperature lattice gauge theory yang diharapkan akan menjadi kelanjutan dari tugas akhir ini.
29
Bab 5 Kesimpulan Dari perhitungan dan analisis yang dilakukan pada pemodelan fluida murni dengan dinamika fluida berbasis teori medan, dapat disimpulkan bahwa besarnya densitas fungsi partisi Z berubah secara asimtotik terhadap kecepatan |v| Perbe-
daan nilai Z dengan jarak antar titik kisi yang berbeda bukanlah suatu masalah sebab nilai Z adalah nilai densitas, bukan nilai Z sebenarnya. Fisika seharusnya
tidak berubah terhadap pemilihan jarak antar titik kisi. Fluktuasi memang dapat terjadi, tetapi hanya dapat disebabkan oleh kesalahan statistik pada perhitungan dengan menggunakan simulasi Monte Carlo. Perhitungan yang stabil pada jumlah titik kisi yang besar (jarak antar titik kisi yang kecil, bila volume kisi konstan) menunjukkan bahwa metode lattice memberi hasil yang baik pada daerah perhitungan sangat kecil. Nilai energi yang diskontinu pada kecepatan |v| = 0
menunjukkan bahwa interaksi antar fluida pada |v| = 0 sangatlah kuat. Kuat in-
teraksi ini menurun secara asimtotik pula dengan bertambahnya kecepatan, hal ini disebabkan partikel yang bergerak, secara logis, akan berinteraksi sangat kecil satu sama lain hingga pada kecepatan tertentu di mana energi interaksi sudah sangat kecil akibat besarnya energi kinetik. Formulasi dan perhitungan menggunakan LGT merupakan teknik yang menjanjikan untuk mempelajari sistem-sistem yang dimodelkan menggunakan Lagrangian dinamika fluida dimana tidak ada kepastian mengenai besarnya konstanta kopling, sehingga tidak ada jaminan teori perturbasi berlaku. Penelitian lebih lanjut memerlukan finite temperature lattice gauge theory dan melibatkan interaksi-interaksi selain interaksi antar fluida.
30
Lampiran A Evaluasi Path Integral dengan Metode Monte Carlo Berikut ini akan dijelaskan metode yang digunakan untuk mengevaluasi path integral secara numerik. Integrasi yang harus dilakukan untuk mengevaluasi path integral sangat banyak, sehingga metode Monte Carlo merupakan metode yang paling efisien. Sebagai ilustrasi, simulasi pada lattice dengan 40 titik kisi pada setiap arah, maka terdapat variabel link sebanyak 4 · 404. Bila simulasi dilakukan untuk grup gauge SU(3) maka terdapat variabel real sebanyak 81.920.000.
Secara prinsip, rata-rata path integral hhΓ[x]ii dari sembarang fungsional Γ[x]
dapat digunakan untuk menghitung berbagai sifat fisis di teori kuantum. Besaran R Dx(t)Γ[x]e−S[x] hhΓ[x]ii = R (A.1) Dx(t)e−S[x]
merupakan rata-rata terhadap konfigurasi dengan bobot e−S[x] . Konfigurasi acak dibuat dalam jumlah yang banyak, Ncf , xα ≡ xα0 xα1 . . . xαN −1 ,
α = 1, 2, . . . , Ncf
(A.2)
sehingga probabilitas untuk memperoleh konfigurasi tertentu x(α) ialah P [xα ] ∝ e−S[x]
(A.3)
Kemudian himpunan konfigurasi ini dirata-ratakan untuk mengaproksimasi nilai harapan hhΓ[x]ii
Ncf 1 X hhΓ[x]ii ≈ Γ ≡ Γ[x(α) ]. Ncf α=1
31
(A.4)
Γ merupakan ”Monte Carlo estimator ” untuk hhΓ[x]ii di lattice. Namun, seperti
statistik pada umumnya, akurasi dipengaruhi oleh banyaknya data yang digunakan, dalam hal ini : besar Ncf . Karena Ncf tidak mungkin dibuat tak berhingga, ketidakpastian Monte Carlo σΓ pada estimasi merupakan sumber kesalahan yang
potensial. Kesalahan atau deviasi dihitung seperti pada umumnya, ( ) Ncf X 1 1 2 Γ2 [x(α) ] − Γ σΓ2 ≈ Ncf Ncf α=1
(A.5)
Persamaan di atas menjadi σΓ2
hhΓ2 ii − hhΓii2 = Ncf
(A.6)
untuk Ncf yang besar. Dari persamaan (A-6) tampak bahwa ketidakpastian sta√ tistik sebanding dengan 1/ Ncf . Untuk mendapatkan konfigurasi acak dengan probabilitas (A.1), diperlukan algoritma tertentu. Berikut adalah beberapa metode yang umum digunakan untuk membuat konfigurasi : • Metode Metropolis • Algoritma Langevin • Algoritma Heatbath • Algoritma Hybrid dan Hybrid Monte Carlo • Metode Molecular Dynamics Simulasi untuk tugas akhir ini dilakukan dengan algoritma Metropolis. Prosedur adalah yang paling sederhana walaupun bukan yang terbaik. Prosedur ini dimulai dengan konfigurasi sembarang x(0) (inisialisasi) dan memodifikasinya dengan mengunjungi setiap titik kisi pada lattice, dan membangkitkan bilangan acak untuk xj pada titik kisi tersebut, dengan cara yang akan dijelaskan berikutnya. Di sini dibuat konfigurasi acak yang baru dari konfigurasi sebelumnya: x(0) → x(1) . Cara ini disebut dengan update konfigurasi. Dengan menerapkan al-
goritma tersebut ke x(1) kita mendapatkan konfigurasi x(2) , dan seterusnya hingga 32
Ncf konfigurasi. Himpunan konfigurasi ini akan terdistribusi secara tepat bila Ncf cukup besar. Algoritma untuk membangkitkan bilangan acak untuk xj pada titik kisi j ialah sebagai berikut [13]: • Bangkitkan bilangan acak ζ, dengan probabilitas terdistribusi seragam antara −ǫ dan ǫ dengan ǫ suatu konstanta.
• Ganti xj → xj + ζ dan hitung perubahan aksi ∆S. • Bila aksi berkurang, ∆S < 0, ambil nilai baru untuk xj dan lanjutkan proses ke titik kisi berikutnya.
• Bila ∆S > 0, bangkitkan bilangan acak η yang terdistribusi secara uniform antara 0 dan 1; ambil nilai yang baru untuk xj bila exp(−∆S) > η, selain-
nya ambil nilai yang lama dan lanjutkan proses ke titik kisi berikutnya. Terdapat dua hal penting terkait dengan algoritma ini. Pertama, secara umum, akan terdapat beberapa bahkan banyak nilai xj yang sama pada dua konfigurasi. Jumlah overlap ini ditentukan oleh parameter ǫ: bila ǫ sangat besar, perubahan pada xj biasanya besar dan sebagian besar akan ditolak; sementara bila ǫ sangat kecil, perubahannya akan kecil dan kebanyakan akan diterima, tetapi nilai xj yang baru akan mendekati atau sama dengan nilai yang lama. Parameter ǫ harus disesuaikan sehingga 40%-60% xj akan berubah untuk tiap update pada titik kisi. Berapapun ǫ, konfigurasi yang berurutan akan mirip (berkorelasi tinggi) dan mengandung informasi yang mirip pula. Solusinya, konfigurasi x(α) diakumulasi untuk estimasi Monte Carlo, kemudian hanya diambil tiap Ncor konfigurasi sehingga memberikan kita konfigurasi yang tidak bergantung secara statistik. Nilai optimal dari Ncor bergantung dari teori dan dapat diperoleh dengan mencoba. Ncor juga bergantung pada jarak antar titik kisi a, Ncor ∝
1 a2
(A.7)
Hal kedua yang perlu diperhatikan ialah prosedur untuk memulai algoritma. Konfigurasi awal yang digunakan untuk memulai seluruh proses biasanya kurang beraturan. Konsekuensinya kita harus mengabaikan sejumlah konfigurasi di awal, 33
sebelum memulai mengumpulkan nilai x(α) . Pengabaian 5Ncor hingga 10Ncor konfigurasi biasanya cukup. Proses ini disebut dengan ”termalisasi lattice”. Sebagai ringkasan, langkah-langkah perhitungan hhΓ[x]ii secara Monte Carlo un-
tuk suatu Γ[x] dengan konfigurasi x adalah
1. Inisialisasi konfigurasi, misalnya semua x diset menjadi nol. 2. Update konfigurasi 5Ncor sampai 10Ncor kali untuk termalisasi. 3. Update konfigurasi Ncor kali, lalu hitung Γ[x] kemudian simpan dan ulangi sebanyak Ncf kali. 4. Rata-ratakan Ncf nilai dari Γ[x] yang disimpan pada langkah sebelumnya untuk memperoleh Monte Carlo estimator Γ untuk hhΓ[x]ii.
34
Lampiran B Pemrograman B.1
Perhitungan Matriks Kompleks
#include
#include #include <stdlib.h> const int N = 2; class Matriks { public: double re[N][N]; double im[N][N]; Matriks(); void identity(); void nol(); void printm(); void conjugate(); void dagger(); void kali(float a); float retrace(); Matriks operator + (Matriks m2); Matriks operator - (Matriks m2); Matriks operator * (Matriks m2); //Matriks Matriks::dagr(Matriks m2); };
class Kompleks { public: double re; double im; Kompleks(); void isi(float a, float b); void print(); Kompleks operator + (Kompleks k2);
35
Kompleks operator * (Kompleks k2); }; Kompleks::Kompleks() { re = 0; im = 0; } void Kompleks::isi(float a, float b) { re = a; im = b; } void Kompleks::print() { if (im < 0){ cout << re << " " << im << "i" << endl; } else{ cout << re << " + " << im << "i" << endl; } } Kompleks Kompleks::operator + (Kompleks k2) { Kompleks tmp; tmp.re = re + k2.re; tmp.im = im + k2.im; return(tmp); } Kompleks Kompleks::operator * (Kompleks k2) { Kompleks tmp; tmp.re = re*(k2.re) - im*(k2.im); tmp.im = im*(k2.re) + re*(k2.im); return(tmp); }
Matriks::Matriks() { int i,j; for (i=0;i
36
} void Matriks::identity() { int i,j; for (i=0;i
void Matriks::printm() { int i,j; cout << setprecision(2); cout << setiosflags(ios::fixed); for (i=0;i
37
} cout << resetiosflags(ios::fixed); cout << "=========" << endl; } void Matriks::conjugate() { int i,j; for (i=0;i
void Matriks::dagger() { Matriks tmp; int i,j; for (i=0;i
38
} for (i=0;i
Matriks Matriks::operator + (Matriks m2) { int i,j; Matriks tmp; for (i=0;i
39
Matriks tmp2; for (i=0;i
B.2
Generator Matriks SU(2)
#include #include #include <stdlib.h>
double a[4], phi, sin_alpha, sin_theta, cos_theta;
using namespace std; void GenSU2() { M_SU2.nol(); a[0]=2.0*(rand()/(RAND_MAX+1.0))-1.0; cos_theta=2.0*(rand()/(RAND_MAX+1.0))-1.0; sin_theta=sqrt(1.0-cos_theta*cos_theta); sin_alpha=sqrt(1-a[0]*a[0]); phi=2.0*Pi*(rand()/(RAND_MAX+1.0)); a[1]=sin_alpha*sin_theta*cos(phi); a[2]=sin_alpha*sin_theta*sin(phi); a[3]=sin_alpha*cos_theta; M_SU2.re[0][0]=a[0]; M_SU2.im[0][0]=a[3]; M_SU2.re[0][1]=a[2]; M_SU2.im[0][1]=a[1]; M_SU2.re[1][0]=-a[2]; M_SU2.im[1][0]=a[1]; M_SU2.re[1][1]=a[0]; M_SU2.im[1][1]=-a[3]; }
40
B.3
Program Simulasi pada Lattice
#include #include #include <stdlib.h> Matriks plaqsum, plaq, U0, U1, U2, U3, Uprod; Matriks staplesum, staple, dS; int getsite(int x[]){ int s = x[0]+nsite*(x[1]+nsite*(x[2]+nsite*x[3])); return s; } float eps(int i){ float result=0; if (i==0){ result = (v*v)/(1-v*v) ; } else { result = -v/sqrt(1-v*v); } return result; }
float KONST(int i, int j){ float result2 = 0; if (i==0) { result2 = 2*eps(0)*eps(j); } else { result2 = eps(i)*eps(j); } return result2; } void inisialisasi(){ for (x[0]=0;x[0]<nsite;x[0]++){ for (x[1]=0;x[1]<nsite;x[1]++){ for (x[2]=0;x[2]<nsite;x[2]++){ for (x[3]=0;x[3]<nsite;x[3]++){ s=getsite(x); for (mu=0;mu
41
x[d]+=1; if (x[d]>=nsite) x[d]-=nsite; } void movedown(int x[],int d){ x[d]-=1; if (x[d]<0) x[d]+=nsite; } float plaquette(int i,int j){ int s; plaqsum.nol(); int kkk=0; int mu, nu, ii, jj; for (mu=0;mu mu){ for (x[0]=0;x[0]<nsite;x[0]++){ for (x[1]=0;x[1]<nsite;x[1]++){ for (x[2]=0;x[2]<nsite;x[2]++){ for (x[3]=0;x[3]<nsite;x[3]++){ s=getsite(x); Uprod.nol();U0.nol();U1.nol();U2.nol();U3.nol(); U[s][0].dagger(); U0=U[s][0];U[s][0].dagger(); U[s][1].dagger(); U1=U[s][1];U[s][1].dagger(); U[s][2].dagger(); U2=U[s][2];U[s][2].dagger(); U[s][3].dagger(); U3=U[s][3];U[s][3].dagger(); Uprod = U0*U1*U2*U3; kkk += 1; plaq.nol(); plaq = U[s][mu]; for (ii=0;ii<(i-1);ii++){ moveup(x,mu); plaq = plaq*U[s][mu]; } moveup(x,mu); plaq = plaq*U[s][nu]; for (jj=0;jj<(j-1);jj++){ moveup(x,nu); plaq=plaq*U[s][nu]; } moveup(x,nu); movedown(x,mu); U[s][mu].dagger(); plaq = plaq*U[s][mu]; U[s][mu].dagger(); //back for (ii=0;ii<(i-1);ii++){ movedown(x,mu); U[s][mu].dagger(); plaq=plaq*U[s][mu]; U[s][mu].dagger(); //back } for (jj=0;jj<j;jj++){
42
movedown(x,nu); U[s][nu].dagger(); plaq=plaq*U[s][nu]; U[s][nu].dagger(); //back } plaq.kali(KONST(mu,nu)); plaq=Uprod*plaq; plaqsum = plaqsum + plaq; }}} }}}} return beta*(1-0.5*(plaqsum.retrace()/(kkk))); } void hitungstaple(){ staplesum.nol(); for (nu=0;nu mu){ staple.nol(); moveup(x,mu); staple = U[s][nu]; moveup(x,nu); movedown(x,mu); U[s][mu].dagger(); staple = staple*U[s][mu]; U[s][mu].dagger(); //back movedown(x,nu); U[s][nu].dagger(); staple = staple*U[s][nu]; U[s][nu].dagger(); //back staplesum = staplesum + staple; staplesum.kali(KONST(mu,nu)); /*staple.nol(); moveup(x,mu); movedown(x,nu); U[s][nu].dagger(); staple = U[s][nu]; movedown(x,mu); U[s][mu].dagger(); staple = staple*U[s][mu]; staple = staple*U[s][nu]); staplesum = staplesum*staple;*/ } } } void Metropolis_Update(){ for(mu=0; mu
43
old_U = U[s][mu]; GenSU2(); //M_SU2.printm(); U[s][mu]=M_SU2; dS=(U[s][mu]-old_U)*staplesum; dS.kali(beta); float dS_tr = dS.retrace(); float u = rand()/(RAND_MAX+1.0); if (dS_tr >0 && exp(-dS_tr)< u){ U[s][mu]=old_U; //cout << "terima" << endl; } //cout << "tolak" << endl; }}}} } }
B.4
Program Iterasi Z terhadap |v|
#include #include #include <stdlib.h> #include #include #define nsite 10 #define ndim 4 #define n_iter 30 #define Pi 3.14159265359 #define c 300000000 #define kop 1.0 #define lat 14.5 int x[ndim], mu, nu, s; int iter, k, ki, vi; float v, beta, dS_tr, lorentz, jac, spc; #include "matriks_kompleks.h"
Matriks U[nsite*nsite*nsite*nsite][ndim], M_SU2, old_U; #include "matriks_su2.h" #include "lattice.h" using namespace std; int main() { /*beta = 4N/g^2 dipilih g = 1 N = 2 karena SU2*/ beta = 4.0/(kop*kop); spc = lat/(nsite-1.0); jac = -1.0/(kop*kop*kop*kop*spc*spc*spc*spc); //cout << "GOOOO" << endl; for (vi=0;vi<40;vi++){
44
srand(time(0)); v = 0.025*vi; lorentz = eps(0)*eps(1)*eps(2)*eps(3); //cout << "Inisialisasi link" << endl; inisialisasi(); //cout << "Metropolis Update" << endl; for(iter=0; iter
45
Daftar Acuan [1] Sulaiman, A. Constructing Navier Stokes Equation using Gauge Field Theory Approach. Tesis S2. (2005). [2] Sulaiman, A. Large Amplitude of The Internal Motion of DNA Immersed in Bio-fluid. arXiv:physics/0512206. [3] Handoko, L.T. dan Sulaiman, A. Relativistic Navier Stokes Equation from a Gauge-invariant Lagrangian. arXiv:physics/0508219. [4] http://scienceworld.wolfram.com/physics/Navier-StokesEquation.html [5] Handoko, L.T. dan Sulaiman, A. Gauge Field Theory Approach to Construct The Navier Stokes Equation. arXiv:physics/0508086. [6] Gross, Franz. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. Wiley-Interscience. (1993). [7] Rothe, H.J. Lattice Gauge Theories: An Introduction. World Scientific. (1997). [8] Aitchison, I.J.R. and Hey, A.J.G. Gauge Theories in Particle Physics. Institute of Physics Publishing. (2001). [9] Smit, J. Introduction to Quantum Fields on A Lattice. Cambridge University Press. (2002). [10] Munster, G. dan Walzl, M. Lattice Gauge Theory A Short Primer. arXiv:hep-lat/0012005. [11] Ryder, L.H. Quantum Field Theory. Cambridge University Press. (1996). 46
[12] Laine, M. Finite Temperature Field Theory : with Applications to Cosmology. Lectures given at the Summer School on Astroparticle Physics and Cosmology. Trieste. (2002). [13] Lepage, G.P. Lattice QCD for Novices. arXiv:hep-lat/0506036.
47
