KOMPUTASI DAN DINAMIKA FLUIDA

KOMPUTASI DAN DINAMIKA FLUIDA

TUGAS 3

Oleh RIRIN SISPIYATI NIM : 20106003 Program Studi Matematika

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2009 1

1. Page 60 The orthogonality constraints in the successive characterization are natural constraints: although essential in the definition of the constraint set, there is no effect in the equation for the critical point: the corresponding multiplier vanishes. To verify this, consider the equation for   Crit R u  u  H ,N u , f   0 where f is any given function. The governing equation is for some multipliers µ,σ L  N  f, with   R   . Verify that σ = 0 if f is some eigenfunction, but that in general σ will not vanish. Penyelesaian:

  Crit R u  u  H ,N u , f   0 Juga bisa kita tulis   Crit Q u  u  H ,N (u )  1,N u, f   0 dengan f adalah sembarang fungsi. Nilai eigen yang bersesuaian: Q(u )   R( )  N ( ) Dari Multiply-Lagrange Rule maka ada µ,σ sedemikian sehingga L  N  f

L , f   N , f   f , f  Q  , f  N  , f  f , f

f dan  adalah fungsi eigen dari nilai eigen yang berbeda, maka dari proposisi 3.8 maka  dan f ortogonal terhadap bentuk kuadratik Q dan N , yaitu

Q , f  0 N , f 0 sehingga  f, f 0 Karena f fungsi eigen maka f  0 sehingga   0 Secara umum jika f bukan fungsi eigen dan N  u, f   0 maka

Q , f  f , f Jadi Q  , f  0 dan   0

2

2. Page 62 The special case   1 , p  1 , q  0 provides Fourier theory (for function that are odd on   ,   ): then the eigenvalues and (normalized) corresponding eigenfunction are given by m  m 2 ,  m  2  sin mx, m  1. The completeness result in the spectrual theorem implies that any function satisfying the boundary conditions can be written as a Fourier-sine series 

u  x   2   u m sin mx, 1

For Fourier coefficients given by u m  u ,  m  2   u  x sin mxdx  ;

The convergence in the N-norm is just the usual L2-norm: 2

M   u    1 u m m x  dx  0, for M   . The convergence in the Q-norm implies a much stronger statement. To investigate that, exploit the Poincare inequality: for some constant c1  0 it holds that

u   c1  u x2 for all u, u (0)  u ( )  0 2

Then the convergence in the Q-norm implies the pointwise convergence of the Fouriersine series: M

u   u m m  x   0 , for M   1



Penyelesaian : Sturm-Liouville eigenvalue problem: L   x ( p( x) x )  q ( x)   ( x) ,

N (u)    ( x)u 2 dx,



 (0)   (1)  0



Q (u)   p( x)u x2  q( x)u 2 dx

U 0  u  L2 u (0)  u ( )  0

Untuk kasus khusus dimana   1 , p  1 , q  0 maka L   x ( x )   , dengan  (0)   ( )  0 Diperoleh  xx    0 (*) Dalam mencari solusi persamaan (*), ada tiga kemungkinan: Nilai eigennya mungkin negative, nol, atau positif.

3

Kasus 1 (Nilai eigen negatif) Misal   v 2 diperoleh  xx  v 2  0 Persamaan Karakteristik: r 2  v 2  r1, 2  v Solusi umumnya:  ( x)  c1e vx  c 2 e  vx  (0)  c1  c 2  0  c1  c 2

 ( )  c1e v  c 2 e v  c1e v  c1e v  c1 (e v  e v )  2c1 sinh v Untuk v  0, c1  0, c2  0 , maka solusi yang didapatkan solusi yang trivial:  ( x )  0 Kasus 2 (Nilai eigen nol)

0 diperoleh  xx ( x)  0   x ( x)  c1   ( x)  c1 x  c 2 Gunakan Boundary Condition  (0)  c1 (0)  c 2  0  c 2  0  ( )  c1  0  c1  0 Jadi solusinya juga trivial:  ( x )  0 Kasus 3 (Nilai eigen positif) Misal   v 2 diperoleh  xx  v 2  0 Persamaan Karakteristik: r 2  v 2  r1, 2  iv Solusi umumnya:  ( x)  c1 cos vx  c 2 sin vx  (0)  c1  0  c1  0

 ( )  c 2 sin v  0 Untuk solusi nontrivial c2  0 maka 4

sin v  0 Karena kita tahu bahwa sin m  0, m  0,1,2,3,... maka v  m untuk m  1,2,3,... (m=0 memberikan solusi trivial) Kita tulis L  m    m m  m ( x)  c 2 sin mx , m  1,2,3,...  m (x) adalah fungsi eigen Normalisasi dari  m (x) berarti  m ( x)  1 

1   m ( x)   m ,  m   c 2 sin mx c 2 sin mx dx 0



c

2 2

 sin

2

mx

0

 c 22  2x  sin42mmx  c



1 c

2  2 2

c 22 

2 

2  Sehingga  m ( x) 

 

 0

2  2 2

c2 

2 

sin mx, m  1 adalah basis ortonormal yang bersesuaian dengan

m  m 2 Misalkan u  U 0 yang diekspansi dengan menggunakan basis  m ( x) 

2 

sin mx

Maka u (x) dapat ditulis : 

u ( x )   u m m ( x )  1



2 

u

m

sin mx

1

Dimana

um 

u, m

 m , m

 u,  m 

 2 



 u( x) sin mxdx

m

,  m  1

0

Kekonvergenan dalam norm- N sama halnya dengan norm-L2:

 N u 

  1 u m sin mx   0    u M

2 

2

 1 u m sin mx   0 untuk M   M

2 

Poincare inequality: untuk c1  0 maka berlaku 5

u   c1  u x2 untuk semua u, u (0)  u ( )  0 2

6

maka  Q u 

  1 u m sin mx   0    2x  u M

2 

 karena   2x  u 

M

2 

u 1

M

u-

2 

u 1

m

m

M

2 

u 1

m

 sin mx   0 untuk M   

 sin mx   0 maka berdasarkan Poincare inequality 

 0 untuk M   .

sin mx 

7

3. Page 64 For given smooth and bounded functions p(x) and q(x), consider the quadratic forms 1

Qu    p x u  qx u , 2 x

2

0

1

N u    u 2 0

(a) Write down the Sturm-Liouille eigenvalue corresponding to Q and N on the set U0 of function from C1([0,1]) with u(1) = 0. (b) Show that if the function p in (1) is strictly positive on the entire interval [0,1], the Rayleigh quotient Qu  R u  : N u  is bounded from below on U0. Penyelesaian: a. Eigen Value Problem(EVP): Lu  Nu Q(u )  Lu , u N u   Lu , u Kita peroleh Lu dari Q (u )  2 Lu d Q(u; v)  d

1

 px 

x

(u  v) 2  q x (u  v) 2 dx  0

0

1

  2 p ( x) x u x v  2q ( x)uv dx 0

1

 2 p ( x)v x u 0   (2 x ( p ( x) x u )  2q ( x)u )vdx 1

0 1

 0   (2 x ( p ( x) x u )  2q ( x)u )vdx 0

maka diperoleh Q(u )  2 x ( p( x) x u )  2q( x)u  2 Lu sehingga Lu   x ( p( x) x u )  q( x)u Kita peroleh N dari N u   2 Nu 1

d N (u; v)  (u  v) 2  d 0

 0

1

 2  uvdx 0

8

Maka kita peroleh N u   2u  2 Nu maka N=1 Sehingga EVP:   x ( p ( x) x u )  q( x)u  u b. Jika p(x) fungsi bernilai positif pada interval [0,1], Rayleigh quotient Qu  R u  : N u  Dalam dimensi tak hingga Rayleigh quotient memenuhi terbatas di bawah atau terbatas di atas. Jika q(x) diasumsikan fungsi yang terbatas dan p(x) fungsi bernilai positif pada interval [0,1], maka Qu  definit positif sehingga R u  terbatas di bawah.

9

4. Page 82 A functional of Sturm-Liouville type: 2 L u    p  x  x u   q x u 2  2 f  x u dx





Akan dicari solusi hampiran u dengan metode Ritz-Galerkin. Penyelesaian: L





L (u )   p ( x)( x u ) 2  q( x)u 2  2 f ( x)u dx 0

Persamaan Euler-Lagrange:

L (u )   x ( p( x) x u )  q( x)u  f ( x)  0  (u )  0  L(u )  0 N

u ( x)  u~ ( x)   a j  j ( x) j 1

 (u~ )  0  N     a k  k ( x) ,  m ( x)  0  k 1 

, m  1,...N

  N   N     x  p ( x) x   a k  k ( x)    q( x)  a k  k ( x)   f ( x),  m ( x)  0  k 1   k 1    N    N        x  p( x) x   a k  k ( x)   m ( x)   q( x)  a k  m ( x) k ( x) dx   f ( x) m ( x)dx  0  k 1   I I  j 1  I N

   a k p ( x) m ( x) x  k ( x)  j 1

I

 N   N      p( x)  a k  x m ( x)  x k ( x) dx   q ( x)  a k  m ( x)  k ( x) dx I I  j 1   j 1 

  f ( x) m ( x)dx  0 I

   N    p( x)  a k  x m ( x)  x k ( x) dx   q ( x)  a k  m ( x)  k ( x) dx   f ( x) m ( x)dx  0 I I I  j 1   j 1  Jika Pmk   p ( x) x m  x k dx N

Qmk   q ( x)( m )( k )dx Fm   f ( x)( m )dx

10

Maka Pmk a  Qmk a  Fm   0 (N buah persamaan)

Sehingga diperoleh a1 , a 2 ,..., a N N

didapat u~(x)   a k  k k 1

5. S-L-Eigenvalue problem Diketahui masalah nilai eigen:   x p  x  x u  q  x u    x u Akan dicari solusi hampiran u dengan metode Ritz-Galerkin. Penyelesaian:

 (u )  0  L(u )  0 N

u ( x)  u~ ( x)   a j  j ( x) j 1

 (u~ )  0  N     a k  k ( x) ,  m ( x)  0  k 1 

, m  1,...N

  N   N   N     x  p ( x) x   a k  k ( x)    q ( x)  a k  k ( x)    ( x)  a k  k ( x) ,  m ( x)  0  k 1   k 1   k 1   N  N    N      x  p( x) x   a k  k ( x)   m ( x)   q ( x)  a k  m ( x ) k ( x) dx    ( x) a k  m ( x) k ( x) dx  0 k 1  k 1   I I  j 1  I N  N   N     a k p ( x) m ( x) x  k ( x)    p( x)  a k  x  m ( x)  x  k ( x) dx   q( x)  a k  m ( x)  k ( x) dx k 1  k 1   k 1  I I I N

   ( x) a k  m ( x) k ( x)dx  0 I

k 1

N    N     p ( x)  a k  x  m ( x)  x  k ( x) dx   q ( x)  a k  m ( x)  k ( x) dx    ( x) a k  m ( x) k ( x)dx  0 k 1 I  j 1  I  j 1  I N

Jika L

Pmk   p ( x)( x m )( x k )dx 0

L

Qmk   q ( x)( m )( k )dx 0

L

Rmk    ( x)( m )( k )dx 0

Maka 11

Pmk a  Qmk a   Rmk a  0 Sehingga diperoleh a1 , a 2 ,..., a N N

didapat u~(x)   a k  k k 1

12

13