MATRIKS DAN KOMPUTASI Mata Kuliah Analisa Numerik Muchammad Chusnan Aprianto
Script Fungsi pada Matlab • sqrt(x) • Akar kuadrat. Contoh: • sqrt([1 2 3 4]) • Akan menghasilkan • 1.0000 1.4142 1.7321 2.0000 • plot(x) atau plot(x,y) • Menampilkan grafik 2D. Ex: • x = -1:.1:1; • plot(x,abs(x),'x')
Cont’d • abs(x) • Nilai absolut untuk x • acos(x) • Nilai arcsinus • acosh(x) • Arccosinus hiperbolik • asin(x) • asinh(x) • atan(x) • atan2(y, x) • atanh(x)
• ceil(x) • Integer terkecil atau nilai integer yang mendekati x terbesar • Ex: ceil(-3.9), ans = -3 • ceil(3.9), ans = 4 • cos(x) • cosh(x) • cot(x) • csc(x) • cosec dari x • date • exp(x)
Cont’d • fix(x) • Kebalikan dari ceil • Nilai integer yang mendekati nol • Fix(3.9), ans=3
• mean(x) • Nilai mean elemen vektor x
• length(x) • Jumlah elemen vektor x
• pow2(x) • 2𝑥
• log(x)
• log10(x) • max(x) • Nilai max elemen x
• min(x) • Nilai min elemen vektor x
• rand • Bilangan random semu dari 0 sampai 1
Contoh • Kita akan menampilkan
grafik acos, asin, atan dari x (dengan batas -1 sampai 1) • Jawab • x = -1:0.001:1; • y1 = acos(x); • y2 = asin(x); • y3 = atan(x); • y1 = 180*y1/pi; • y2 = 180*y2/pi; • y3 = 180*y3/pi;
• plot(y1,x,y2,x,y3,x),grid,legend
(’asin(x)’, ’acos(x)’, ’atan(x)’) • xlabel(’\theta dalam derajat’),ylabel(’x, nilai fungsi’)
Fungsi pada Matriks • Diketahui suatu matriks
• Kita ingin menentukan nilai
matriks baru dengan elemennya sinx/x, dimana x adalah nilai setiap elemen dari matriks A. • Jawab • Kita gunakan pembagian “./” • Tanda “ . “ menunjukkan bahwa
kita hanya melakukan pembagian elemen saja
• Gunakan • A = [pi/4 pi/2; pi/3 pi/6]; • sin(A)./A • ans = 0.9003 0.6366 0.8270 0.9549
• Hasil di atas akan
berbeda kalau kita melewatkan tanda “ . “ • sin(A)/A
Cont’d • Diketahui suatu matrik
• Tampilkan nilai: • Absolut A • Tanda setiap elemen A • Cosinus A • Sinus A • Eksponensial A • Sinus hiperbolik A
• Jawab • abs(A) • sign(A) • cos(A) • sin(A) • exp(A) • sinh(A)
Persamaan Linear • Suatu set persamaan liner dapat diformulakan dengan
Y = aX1 + bX2 + cX3 + … + D • Dimana Y dan Xi adalah varibel; a, b, c … adalah elemen dari variabel Xi dan D adalah konstanta. • Persamaan di atas adalah persamaan linear untuk n-dimensi • Misalkan • Y = 2 X + 3 dengan Y = 4, maka • Penyelesaian persamaan di atas X = (Y – 3)/2
Latihan • Buatlah script Matlab untuk menyelesaikan • Y = 4X + 20, jika X = -2 • Y = 2X + 3Z + 2, jika X = 1 dan Z= 3 • Y = cosX + 2, jika Y = 3
FUNGSI MATEMATIKA
Menyelesaikan Persamaan Simultan • Dua fungsi linear atau lebih dapat dituliskan dalam bentuk
matriks. Umumnya diformulakan dengan Ax = b • A adalah matriks n x n • x adalah matriks n x m • b adalah matriks n x m
Contoh • Terdapat dua set persamaan yaitu
dan • Persamaan di atas dapat ditulis dengan
• Penyelesaian dengan klasik, memerlukan waktu yang relatif
lama
Penyelesaian • Menggunakan Matlab • A = [ 2 3; 1 -1]; • b = [7 -2; 1 8]; • x = A\b; • Akan menghasilkan
• x= 2.0000 4.4000 1.0000 -3.6000 • Kesimpulan: penyelesaian untuk set persamaan pertama
dan kedua adalah dan
Fungsi Kuadrat • Fungsi adalah suatu cara untuk mengekspresikan hubungan
antar dua variabel atau lebih (variabel independent dan dependent) • Fungsi kuadrat diformulasikan dalam bentuk umum sebagai berikut 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 • Nilai y dengan mudah dihitung, jika variabel x, a, b, dan c sudah diketahui. • Misalnya terdapat fungsi: 𝑦 = 𝑎2 + 2𝑏 + 𝑐 • Jika nilai a = 2, b = 3 , dan c = 4 akan diperoleh nilai y =14
Dalam Matlab >> a=2; >> b=3; >> c=4; >> y=a*a+2*b+c; >> y y= 14
Latihan • Diketahui suatu fungsi
𝑦 = 2𝑥 2 + 3𝑥 + 5 • Nilai akar-akarnya dapat ditentukan dengan rumus −𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥1,2 = 2𝑎 • Buatlah script Matlab untuk menghitung akar-akar x1 dan x2!
Grafik Fungsi • Suatu fungsi dapat digambarkan menggunakan grafik
• Misalnya • 𝑦 = cos 𝑥 , dengan batas x dari 0 sampai 4π • Using Matlab, we get: • >> x = 0:pi/40:4*pi; • >> plot(x, sin(x))
Cont’d • Misalkan suatu fungsi • 𝑦 = 3𝑥 2 + 2𝑥 + 10, dengan batas x dari -20 sampai 20 • Menggunakan Matlab kita peroleh • >> x=-20:0.01:20; • >> y=3.*x.*x+2.*x+10; • >> plot(x,y)
Subplot • Kita bisa menampilkan sejumlah grafik pada satu tampilan
yang sama menggunakan perintah subplot, yaitu subplot(m, n, p) • Contoh: • >> [x, y] = meshgrid(-3:0.3:3); • >> z = x .* exp(-x.ˆ2 - y.ˆ2); • >> subplot(2,2,1) • >> mesh(z),title(’subplot(2,2,1)’) • >> subplot(2,2,2) • >> mesh(z) • >> view(-37.5,70),title(’subplot(2,2,2)’)
Fungsi Logaritma • Menggunakan perintah semilogy(x, y)
• Contoh: • >> x = 0:.01:4; • >> semilogy(x, exp(x)), grid
Koordinat Kutub • Koordinat kutub memiliki perwakilan titik (θ, r), dimana • x = r cos (θ), • y = r sin (θ), • Koordinat kutub ditampilkan dengan perintah
polar(theta, r) • Contoh: • x = 0:pi/40:2*pi; • polar(x, sin(2*x)),grid
Fungsi 3D • Gunakan perintah: plot3(x,
y, z) • Contoh • >> t = 0:pi/50:10*pi; • >> plot3(exp(-0.02*t).*sin(t),
exp(-0.02*t).*cos(t), t)
Garis permukaan fungsi 3D • Garis permukaan (meshgrid) ditampilkan dengan perintah
meshgrid • Contoh • >> [x y ] = meshgrid(-8 : 0.5 : 8); • >> r = sqrt(x.^2 + y.^2) + 2; • >> z = sin(r) ./ r; • >> plot3(x,y,z)
HATUR NUHUN
