SIFAT - SIFAT MATRIKS UNITER, MATRIKS NORMAL, DAN MATRIKS HERMITIAN

SIFAT - SIFAT MATRIKS UNITER, MATRIKS NORMAL, DAN MATRIKS HERMITIAN Tasari*

Abstrak : Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui pengertian dan sifatsifat dari matriks uniter, matriks normal, dan matriks hermitian. Metode penelitian yang digunakan adalah studi literature, yaitu semua bahan diambil dari buku referensi yang mendukung dan berhubungan dengan pengertian dan sifatsifat dari matriks uniter, matriks normal, dan matriks hermitian. Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: Sebuah matriks bujur sangkar A dengan anggota anggota bilangan kompleks dinamakan matriks uniter jika A 1  A * , dinamakan matriks normal jika AA* = A*A, dinamakan matriks hermitian jika A = A*. Sifatsifat matriks uniter adalah invers dan transpose matriks uniter adalah matriks uniter, hasil kali dua atau lebih matriks uniter adalah uniter, determinan matriks uniter mempunyai nilai mutlak 1, vektorvektor baris dan vektorvektor kolom matriks uniter membentuk suatu himpunan ortonormal pada Cn dengan hasil kali dalam Euclidean. Sifatsifat matriks normal adalah jika terdapat A matriks normal dan U matriks uniter, maka B = U*AU adalah matriks normal, jika Xi adalah vektor invarian yang berhubungan dengan akar karakteristik Xi dari suatu matriks normal A, maka Xi juga vektor invarian dari A* yang berhubungan dengan akar karakteristik  i , jika A normal maka suatu matriks bujur sangkar A similar secara uniter terhadap suatu matriks diagonal, vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari matriks normal adalah ortogonal. Sifatsifat matriks hermitian adalah nilai eigen dari suatu matriks hermitian adalah bilangan real, vektorvektor invarian yang berhubungan dengan akarakar karakteristik yang berlainan dari suatu matriks hermitian adalah saling ortogonal. Kata kunci: Matriks uniter, Matriks normal, Matriks hermitian PENDAHULUAN

CARA PENELITIAN

Salah satu cabang ilmu matematika adalah

Metode penelitian yang digunakan adalah studi

Aljabar. Didalamnya dipelajari tentang matriks. Jenis

literature, yaitu semua bahan diambil dari buku referensi yang mendukung dan berhubungan dengan pengertian dan sifatsifat dari matriks uniter, matriks normal, dan matriks hermitian.

jenis matriks ada bermacammacam, antara lain matriks bujur sangkar, matriks simetris, matriks diagonal dan lain sebagainya. Dimana matriksmatriks tersebut mempunyai sifatsifat tertentu. Pada penelitian ini peneliti tertarik untuk melihat sifatsifat Matriks Uniter, Matriks Normal dan Matriks Hermitian yang merupakan matriksmatriks dengan anggotaanggota bilangan kompleks.

PEMBAHASAN Berikut akan dibahas sifatsifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian.

* Pendidikan Matematika UNWIDHA Klaten

32

Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013 ISSN 0215-9511

Sifat - sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian

A.

Pengertian Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian merupakan matriks dengan anggotaanggota bilangan kompleks. Sebelum membahas pengertian Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian dijelaskan terlebih dahulu definisi dan sifatsifat dasar transpose konjugat dari A sebagai berikut: Definisi 1 (Anton, 2000:335) Jika A adalah suatu matriks dengan anggotaanggota kompleks, maka transpose konjugat dari A, yang dinyatakan dengan A*, didefinisikan oleh A* = AT Dimana A adalah matriks yang anggotaanggotanya adalah konjugat kompleks dari anggotaanggota yang berpadanan pada A dan AT adalah transpose dari . Contoh 1

2  1  i T  i 0 i 0 1  i 1  i 3  2i  . , maka A   . Sehingga A* = A   i Jika A      2 3  2i i   2 3  2i  i   0  i  Sifatsifat dasar dari operasi transpose konjugat adalah sebagai berikut: Teorema 1 (Anton, 2000:336) Jika A dan B adalah matriksmatriks dengan anggotaanggota kompleks dan k adalah sebarang bilangan kompleks, maka: (a) (A*)* = A (b) (A+B)* = A* + B* (c) (kA)* = k A* (d) (AB)* = B*A* Dibawah ini dijelaskan pengertian Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian: 1.

Pengertian Matriks Uniter Diberikan definisi sebagai berikut:

Definisi 2 (Ayres, 1989:113) Matriks bujur sangkar

disebut uniter jika A*A = AA* = I, yaitu jika A* = A1.

Contoh 2

1  i  A 2 1 i Diketahui   2

1 i  2  1 i   2 


33


Akan ditunjukkan bahwa A adalah matriks uniter.

1  i  A 2 1 i   2

1  i   1 i  T  2 A  A*   2  1 i Þ 1 i   2   2

1  i  AA*   2 1 i Maka   2

 1 i  A* A   2 1 i   2

1 i 2  1 i   2 

1 i  2  1 i   2 

 1 i  2 1 i   2

1  i  2 1  i   2

1 i  2  1 i   2 

1 i 2  1 0 1 i =    0 1 2 

1  i  2   1 0 1  i  0 1  2 

karena AA* = A*A = I maka terbukti bahwa A adalah Matriks Uniter. 2.

Pengertian Matriks Normal Sebuah matriks bujur sangkar A dengan anggotaanggota kompleks disebut normal jika AA* = A*A Jadi setiap matriks uniter merupakan matriks normal. Contoh 3 Setiap matriks uniter A adalah matriks normal karena AA* = I = A*A Jadi contoh di atas juga termasuk matriks normal

1  i  A 2 1 i   2

3.

1 i  2  1  i  adalah Matriks Normal  2 

Pengertian Matriks Hermitian Suatu matriks bujur sangkar A dengan anggotaanggota kompleks disebut Hermitian jika A = A* Jelas bahwa setiap matriks hermitian A adalah normal karena berlaku AA* = AA = A*A

34



Contoh 4

i 1 i   1  A A    i  5 2  i  , maka Jika 1  i 2  i 3 

 i 1 i  1  i  5 2  i   1  i 2  i 3 

i 1 i   1  A*  A    i  5 2  i   A Sehingga . Yakni A adalah Hermitian 1  i 2  i 3  T

B. Sifat-sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian Pada bagian ini akan dijelaskan sifatsifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian. 1.

Sifat-sifat Matriks Uniter Untuk menunjukkan sifatsifat dari Matriks Uniter diberikan beberapa teorema sebagai berikut: Teorema 2 (Ayres, 1989:113) Invers dan transpose dari matriks uniter adalah uniter. Bukti:

 Invers matriks uniter adalah uniter. A uniter  A1 Uniter A uniter artinya AA* = A*A = I Akan dibuktikan A1 uniter sebagai berikut: A1 merupakan invers dari suatu matriks A artinya AA1  A1 A  I . Jadi A1 uniter yakni A1 A1 *  A1 * A1  I

   



Transpose matriks uniter adalah uniter. A uniter  AT uniter A uniter artinya AA* = A*A = I Akan dibuktikan AT uniter sebagai berikut: AT merupakan transpose dari matriks A. Jadi AT uniter yakni AT AT *  AT * AT  I maka

   

T

T

A A  AA  I Contoh 5

 i 0  Þ A*  0 i 

Misal A  


 i 0   0  i  , maka invers dari A adalah:  

35


A1 

1 i2

 i 0 1  i 0   i 0  0 i  =  1 0 i  =  0  i       

Bukti bahwa A1 adalah uniter sebagai berikut:

 i 0   i 0 1 A1   Þ A *     0  i 0 i 

 

 

 i 0   i 0 1 0     0  i  0 i  0 1

1 1 Maka A . A *  

A * .A 1

1

 i 0  i 0  1 0     0 i   0  i  0 1

   

Jadi terbukti bahwa A1 adalah uniter karena A1 A1 *  A1 * A1  I  Transpose dari A adalah:

 i 0  i 0 T A  A    0 i  0 i  Karena A = AT, jadi jelas bahwa transpose dari A adalah uniter. Teorema 3 (Ayres, 1989:113) Hasil kali dua atau lebih matriks uniter adalah uniter. Bukti: A uniter artinya AA* = A*A = I B uniter artinya BB* = B*B = I Dar i A uniter dan B uniter di atas, dapat dibuktikan AB uniter sebagai berikut:

AB AB *   AB  * AB  I Contoh 6

   i 0  B  Misal A    dan  0 i      i 0  AB    0 i   

36

i 2 i 2

i 2 i 2

1  2  1  adalah matriks uniter, maka 2 

1   1  2   2   1   1 2   2

i  2  i  2 

  ( AB)*    

1 2 i 2

1  2   i   2 



Sehingga i  2  i  2 

 1  2 AB  ( AB)*    1  2   ( AB) *  AB    

1 2 i 2

    

1  2   i   2 

1 2 i 2

1  2   1 0 i  0 1  2 

 1  2   1  2

i  2   1 0 i  0 1 2 

Jadi terbukti bahwa hasil kali dua atau lebih matriksmatriks uniter adalah uniter karena

AB  ( AB )*  ( AB ) *  AB  I Teorema 4 (Ayres, 1989:113) Determinan matriks uniter mempunyai nilai mutlak 1. Bukti: A uniter artinya AA*  A * A  I Akan dibuktikan determinan matriks uniter mempunyai nilai mutlak 1 sebagai berikut

AA*  A * A  I , maka det (AA*) = det (I) det (A) det (A*) = det (I) det (A) =

1 det  A* 

Maka nilai mutlak dari det (A) =

1 1 det  A* 

Contoh 7

 i 0  , maka det (A) = i2 = 1 0 i 

Misal A  

det A   1  1

1  i  A 2 Misal 1 i   2

1  i  2  1 i   1  i  , maka det(A)=    2  2 

 1 i   1 i      2   2 

1 i  1 1 =  1   2  2 2

det  A  1  1


37


Teorema 5 (Anton, 2000:336) Jika A adalah suatu matriks nxn dengan anggotaanggota kompleks, maka yang berikut ini ekuivalen: a) A adalah matriks uniter b) Vektorvektor baris dari A membentuk suatu himpunan ortonormal pada Cn dengan hasil kali dalam Euclidean. c) Vektorvektor kolom dari A membentuk himpunan ortonormal pada Cn dengan hasil kali dalam Euclidean. Bukti: a) b) Anggota pada baris kei dan kolom kej dari hasil kali matriks AA* adalah hasil kali titik dari vektor baris kei dan vektor kolom kej dari A*. Tetapi, kecuali karena perbedaan notasi, vektor kolom kej dari A* adalah vektor baris kej dari A. Jadi jika vektorvektor baris dari A adalah r1 , r2 ,, rn , maka hasil kali matriks AA* bisa dinyatakan sebagai :

 r1  r1 r1  r2  r1  rn  r  r r  r  r  r  2 n AA*   2 1 2 2        rn  r1 rn  r2  rn  rn  Jadi AA*=I jika dan hanya jika r1  r1  r2  r2    rn  rn  1 dan ri  rj  0 jika i  j . Yang ang berarti jika dan hanya jika r1 , r2 ,, rn  adalah suatu himpunan ortonormal pada C n . b)  c) Anggota pada baris kei dan kolom kej dari hasil kali matriks AA* adalah hasil kali titik dari vektor baris kei dan vektor kolom kej dari A*. Kecuali karena perbedaan notasi, vektor baris kei dari A* adalah vektor kolom kei dari A. Jadi vektorvektor kolom dari A adalah

r1 , r2 ,, rn , maka hasil kali matriks AA* bisa dinyatakan sebagai

 r1  r1 r  r AA*   1 2    r1  rn

r2  r1  rn  r1  r2  r2  rn  r2      r2  rn  rn  rn 

Jadi AA*=I jika dan hanya jika r1  r1  r2  r2    rn  rn  1 dan ri  rj  0 jika i  j . Yang ang berarti jika dan hanya jika r1 , r2 ,, rn  adalah suatu himpunan ortonormal pada C n Contoh 8

a)

38

1  i  A 2 1 i   2

1 i  2  A*  1 i    2 

1  i  2 1  i   2

1 i  2  1 i   2 



1  i  AA*   2 1 i Maka   2

1  i  A* A   2 1 i   2

1 i  2  1 i   2 

1 i  2  1 i   2 

1  i  2 1  i   2

1  i  2 1  i   2

1 i  2   1 0   1  i  0 1   2 

1 i  2   1 0   1  i  0 1   2 

Karena AA* = A*A = I, terbukti bahwa A adalah uniter.

1  i  A 2 b) Matriks 1 i   2

1 i  2  1  i 1 i  1 i 1 i  , ,   ; r2   1  i  mempunyai vektorvektor baris r1   2  2    2  2 2 

Hasil kali dalam Euclidean pada Cn mempunyai 2

2

r1 

1 i 1 i  2 2

r2 

1i 1  i  2 2

1 1  1 2 2



2

2



1 1  1 2 2

1  i   1 i  1  i   1  i       2  2   2  2 

dan r1  r2  

1  i  1  i   1  i   1 i        2  2   2  2 



i i  0 2 2

Sehingga vektorvektor baris tersebut membentuk suatu himpunan ortonormal pada C2.

1  i  A 2 1 i c) Matriks   2

1 i  1  i   1 i       2 r1   2  r2   2    1  i mempunyai vektorvektor kolom 1i , 1 i      2   2   2 

Hasil kali dalam Euclidean pada Cn mempunyai 2

r1 

1 i 1i  2 2


2



1 1  1 2 2

39


2

r2 

1 i 1  i  2 2

2



1 1  1 2 2

 1  i  1  i   1  i   1  i       2  2   2  2 

dan r1  r2  

 1  i  1  i   1  i   1  i      =  2  2   2  2 

=

2  2    = 0 4  4

Sehingga vektor-vektor kolom tersebut membentuk suatu himpunan ortonormal pada C2.

2.

Sifat-sifat Matriks Normal Sebelum menunjukkan sifatsifat dari matriks normal, tetapkan A sebagai matriks normal dan U sebagai matriks uniter dan tuliskan B  U * AU , maka B*  U * A * U dan B*B = U*A*U × U*AU = U*A*AU = U*AA*U = U*AU × U*A*U = B B*. Sifat 1 (Ayres, 1989:168) Jika A adalah matriks normal dan U adalah matriks uniter, maka B = U*AU adalah matriks normal. Bukti: A normal artinya AA* = A*A U uniter artinya AA* = A*A = I Akan dibuktikan B = U*AU normal sebagai berikut B*B = U*A*U × U*AU = U*A*AU = U*AA*U = U*AU × U*A*U = B B* Jadi terbukti bahwa B = U*AU normal, karena BB* = B*B Contoh 9

1  i  A 2 1 i Misal   2

  U   

40

i 2 i 2

1 i  2  1 i   2 

1  2  U*   1  Þ 2 

 i  2   1  2

i  2  1  2 



Maka B = U*AU

i 1  i 1  i  i  2  2 2  2   1  1 i 1 i  i   2  2 2  2

 i  2  =  1  2  2  2i  4 =  2  2i   4

 2  2i  4  2  2i   4 

1  i  2 B = 1  i   2

1  i  2  1 i   2 

1 2  1 2 

2   2 2  =  2  2 2

2i   2 2   2i    2 2  

i 2 i 2

1  2  1  2 

Jadi terbukti bahwa B = U*AU adalah matriks normal. Sifat 2 (Ayres, 1989:168) Jika Xi adalah vektor invarian yang berhubungan dengan akar karakteristik Xi dari suatu matriks nomal A, maka Xi juga vektor invarian dari A* yang berhubungan dengan akar karakteristik  i . Bukti: Karena A normal, maka

I  AI  A*  I  AI  A * =   I  A *  A  AA * = I  A *  A  A * A = I  A * I  A Sehingga I  A adalah normal. Misal B  i I  A sehingga diperoleh BX i  i I  AX i  0 , maka

BX i  * BX i   X i * B * BX i



 X i * B  B * X i  B * X i  *  B * X i   0 dan



B * X i  i I  A * X i  0 Jadi, Xi adalah vektor invarian dari A* yang berhubungan dengan akar karakteristik i . Sifat 3 (Ayres, 1989:168) Suatu matriks bujur sangkar A similar secara uniter terhadap suatu matriks diagonal jika dan hanya jika A normal.


41


Bukti: Andai A normal, terdapat suatu matriks U sedemikian sehingga:

1 b12 0  2 U * AU   0 0  0 0

b13 b23 0 0

 b1, n 1 b1n   b2, n 1 b2 n  B  n 1 bn 1, n    0 n 

Menurut sifat 1 di atas, B adalah normal sehingga B*B=BB*. Sekarang elamen pada baris pertama dan kolom pertama B*B adalah 1 sedangkan elemen yang berpadanan di BB* adalah

1 1  b12 b12  b13 b13    b1n b1n Karena elemenelemen ini sama dan karena setiap bij bij  0, disimpulkan bahwa setiap bij = 0. Selanjutnya dengan elemenelemen yang berpadanan pada baris kedua dan kolom kedua dan seterusnya, disimpulkan bahwa setiap bij dari B adalah nol. Jadi, B = diagonal 1 , 2  , n  . Sebaliknya, tetapkan A diagonal; maka A normal. Diberikan teorema sebagai berikut: Teorema 6 (Anton, 2000:339) jika A adalah suatu matriks bujur sangkar dengan anggotaanggota kompleks, maka yang berikut ini ekuivalen: a) A dapat didiagonalkan secara uniter. b) A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal. c) A adalah normal. Bukti: a)  b) Karena A dianggap dapat didiagonalkan secara uniter, maka ada suatu matriks yang dapat dibalik atau konjugat dari A

 P11 P P   21     Pn1

P12  P1n  P22  P2 n      P2n  Pnn 

Sedemikian sehingga P–1AP (=P*AP) diagonal, katakanlah P–1AP (=P*AP) = D, dimana

1 0  0  0   0  2  D     adalah matriks diagonal    0 0  n 

42



n vektor kolom dari A adalah vektor eigen dari A karena P ortogonal, maka vektorvektor kolom ini ortonormal, sehingga A mempunyai n vektor eigen yang ortonormal. b)  a) Anggap A mempunyai n vektor eigen yang ortonormal, P1 , P2 ,   ,Pn. Matriks P dengan vektor eigen ini sebagai kolom mendiagonalkan A secara sama. Karena vektor eigen ini ortonormal, maka vektor P dapat dibalik atau merupakan konjugat transpose dari A. Jadi P–1AP (=P*AP) = D; yaitu, A dapat didiagonalkan secara uniter. a)

 c)

Pada bukti a)  b) ditunjukkan bahwa suatu matriks Anxn, yang dapat didiagonalkan secara uniter oleh suatu matriks Pnxn, yang kolomkolomnya membentuk himpunanhimpunan ortonormal dari vektorvektor eigen A. Anggap D adalah suatu matriks diagonal D = P–1AP (=P*AP) Jadi A = PD P–1 (=PD P*) Dengan demikian AA* = PD P–1 (=PD P*)* = PD P* PD* P* = PD I D* P* = PD D* P* = P I P* Sebuah matriks normal A didiagonalisasi oleh suatu matriks uniter yang vektorvektor kolomnya adalah vektorvektor eigen dari A. Dibawah ini diberikan prosedur mendiagonalkan suatu matriks normal adalah sebagai berikut Langkah 1. Cari suatu basis untuk masingmasing ruang eigen dari A. Langkah 2. Terapkan proses GramSchmidt pada masingmasing basis untuk mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen. Langkah 3. Bentuk matriks P yang kolomkolomnya adalah vektorvektor basis yang disusun pada langkah 2. Matriks ini secara uniter mendiagonalkan A. Contoh 10

 2 1  i Þ A*  3  1  i

Diketahui A  

 2 1  i 1  i 3  

Apakah matriks A dapat didiagonalkan secara uniter? Jika dapat maka carilah matriks P yang mendiagonalisasi secara uniter matriks A tersebut! Penyelesaian:

 2 1  i maka A adalah matriks Hermitian, sehingga A adalah matriks normal. 3  1  i

Karena A*  

Polinom karakteristik dari A adalah

1 0  2 1  i   0   2 1  i     2  1  i   = =  3   0   1  i 3    1  i   3  0 1 1  i

I  A   


43


   2  1  i Det I  A  Det   =   2  3   1  i  1  i  = 2  5  4  1  i   3  Sehingga persamaan karakteristiknya adalah

2  5  4  0

  1  4  0 Dan nilai eigennya adalah l = 1 dan l=4

 x1   x2 

Berdasarkan definisi x    Akan menjadi suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan  jika dan hanya jika x adalah penyelesaian tak terivial dari

   2  1  i   x1  0   1  i   3   x   0   2    Untuk mencari vektor eigen yang berpadanan dengan   1 , disubtitusikan nilai  pada

   2  1  i   x1  0   1  i   3   x   0   2      1  1  I   x1  0   1  i  2   x2  0  1  i   1  1  i  1 1 1  i    1  i  2  B1(1)   1  i  2  B2+(1 – i)B1       0 0   x1 + (1+i)x2 = 0 x1 =  (1+i)x2 x1 = (1i)x2 Misal x2 = s ,  x1 = (1i)s Sehingga vektor eigen dari A yang berpadanan dengan  =1 adalah vektorvektor tak nol dalam C2 yang berbentuk

 1  i s   1  i  x  s    s   1   1  i    1 

Jadi ruang eigennya berdimensi satu dengan basis u  

44



Untuk mencari vektor eigen yang berpadanan dengan  = 4, disubtitusikan nilai  pada

   2  1  i   x1  0   1  i   3   x   0   2     1  i   x1  0  2   1  i 1   x2  0    1  i  2 1  1  B  1  i 1  1  2     1  i

1 i   1  B2+(1 – i)B1  2 0 1  

1  i  2  0 

 1 i   x2  0  x1    2   1 i  x1    x2  2  1  i  x1    x2  2  1  i  s  2 

Misal x2 = s ,  x1 = 

Sehingga vektor eigen dari A yang berpadanan dengan  =4 adalah vektorvektor tak nol dalam C2 yang berbentuk:

 1  i   s  x   2       s 

1  i  s 2   1   

1  i   2  u  Jadi ruang eigennya berdimensi satu dengan basis  1    1  i    1  i    u  u  Maka 1  dan 2  2    1   1  Dengan menerapkan proses GramSchmidt yaitu menormalkan vektorvektor di atas diperoleh

u1 

P1 

2

 1  i ,1 3 2

u2 

2

1 i  1  2 1  3

 1  i 1   ,  3  3

1 i 2 1  2

2 6 1  4 2


45


1 i  ,1  2  1 i 2   , P2    6  6 6 2

Jadi

P  P1

1 i  P2    3  1  3

1  i  P * AP   3 Dari sini  1 i  6 1 i  3  =  4  4i  6

1 1  i 3   3 8  1 6   3

1 i  6  P*  2   6 

1 i  3   1 i  6

1  1 i  i 2 1   3 3    2  1  i 3   1  3 6 

1  3  2  6  1 i 6  2  6 

1 i 6  1 0 2 =  0 4 6 

Jadi P dapat mendiagonalkan A secara uniter. Teorema 7 (Anton, 2000:340) Jika A adalah suatu matriks normal maka vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari A adalah ortogonal. Bukti: Anggap v1 dan v2 adalah vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen 1 dan 2 yang berbeda dari matriks A. Akan ditunjukkan bahwa v1 v2 = 0. Untuk membuktikan ini diawali dengan ekspresi A v1 v2 ,diawali dengan pengertian matrriks Hermitian A adalah Normal. Jadi bahwa A v1 v2 = v1 A* v2 = v1 A v2 , tetapi v1 adalah suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan 1 dan v2 adalah suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan 2, sehingga dihasilkan hubungan 1 v1 v2 = v1 2 .v2 yang bisa ditulis ulang sebagai ( 1 2 )( v1 v2 ) = 0, tetapi 1 2  0 karena 1 dan 2 dianggap berbeda. Jadi dari ( 1 2 ) ( v1 v2 ) = 0 diperoleh bahwa v1 v2 = 0. Contoh 11

 2 1  i A adalah matriks normal, mempunyai vektor eigen yang berpadanan dengan 1  1 3  1  i 1  i   1  i    dan 2  4 adalah sebagai berikut u1    dan u2   2  akan ditunjukkan bahwa vektor 1    1  eigen dari ruang eigen yang berbeda dari A adalah ortogonal maka u1  u2  0

46



1  i  1 i    1 =  1 + 1= 0 u1  u2   1  i    11 =  1  i   2   2  jadi terbukti bahwa vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari A adalah ortogonal. 3.

Sifat-sifat Matriks Hermitian Sekarang akan dibahas sifatsifat dari matriks hermitian. Diberikan teorema di bawah ini. Teorema 8 (Anton, 2000:343) Nilai eigen dari suatu matriks hermitian adalah bilangan real. Bukti: Jika  adalah suatu nilai eigen dan v adalah vektor eigen yang berpadanan dari suatu matriks hermitian Anxn , maka Av  v . Dengan mengalikan setiap ruas dari persamaan, dari kiri transpose tasrif dari v diperoleh v * Av  v *  v   v * v Ditunjukkan bahwa matriks 1 x 1, v*Av dan v*v, keduanya mempunyai anggotaanggota real sehingga dari diperoleh bahwa  pastilah suatu bilangan real. Contoh 12

  2 1  i  adalah matriks hermitian 1  i  3 

Misal A  

Polinom karakteristik dari A adalah

1 0   2 1  i   = 0 1 1  i  3 

I  A   

 0    2 1  i   0    1  i  3  =    

   2  1  i  1  i   3   

   2  1  i det I  A  det   =   2   3   1  i  1  i  = 2  5  6  2  1  i   3  = 2  5  4 Sehingga persamaan karakteristiknya adalah

 2  5  4  0

  1  4  0 dan nilai eigennya adalah l1 = 1; l2 = 4 Jadi bahwa nilai eigen dari A adalah bilangan real. Teorema 9 (Ayres, 1989:168) Vektorvektor invarian yang berhubungan dengan akarakar karakteristik yang berlainan dari suatu matriks hermitian adalah saling ortogonal. Bukti: Tetapkan X1 dan X2 sebagai vektorvektor invarian yang masingmasing dihubungkan dengan akar akar karakteristik l 1 dan l2 yang berlainan dari A. Maka

AX 1  1 X1 dan AX 2  2 X 2 , juga X 2 * AX 1  1 X 2 * X 1 dan X 1 * AX 2  2 X 1 * X 2


47


c.

Pengambilan konjugat transpose

mutlak 1.

X1 * AX 2  1 X 1 * X 2 dan d.

X 2 * AX 1  2 X 2 * X 1 Maka 1 X 1 * X 2  2 X 1 * X 2 dan karena 1  2 , X 1 * X 2  0 . Jadi X 1 dan X 2 adalah ortogonal. 5. Selain dari teoremateorema di atas

b.

Jika X i adalah vektor invarian yang berhubungan dengan akar karakteristik Xi dari suatu matriks normal A, maka Xi juga vektor invarian dari A* yang berhubungan dengan akar karakteristik  i .

SIMPULAN Berdasarkan pembahasan di depan dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut: Matriks Uniter adalah suatu matriks bujur sangkar A dengan elemenelemen kompleks jika artinya bahwa berlaku A 1  A * AA*  A * A  I . Matriks Normal adalah sebuah matriks bujur sangkar A dengan anggotaanggota kompleks jika AA* = A*A. Jadi setiap matriks uniter merupakan matriks normal.

Jika terdapat A matriks normal dan U matriks uniter, maka B = U*AU adalah matriks normal.

untuk i ¹ j dan aij = aij untuk i=j.

2.

Vektorvektor baris dan vektorvektor kolom matriks uniter membentuk suatu himpunan ortonormal pada Cn dengan hasil kali dalam Euclidean.

Sifatsifat Matriks Normal a.

diberikan sifat matriks hermitian bahwa elemen elemen diagonalnya berupa bilangan riil aij ¹ aji

1.

Determinan matriks uniter mempunyai nilai

6.

c.

Suatu matriks bujur sangkar A similar secara uniter terhadap suatu matriks diagonal jika dan hanya jika A normal.

d.

Vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari matriks normal adalah ortogonal.

Sifatsifat Matriks Hermitian a.

Nilai eigen dari suatu matriks hermitian adalah bilangan real.

3.

Matriks Hermitian adalah suatu matriks bujur sangkar A dengan anggotaanggota kompleks jika A = A*. Jadi setiap matriks hermitian A adalah normal karena berlaku AA* = AA = A*A.

b.

Vektorvektor invarian yang berhubungan dengan akarakar karakteristik yang berlainan dari suatu matriks hermitian adalah saling ortogonal.

4.

Sifatsifat Matriks Uniter adalah sebagai berikut:

c.

Elemenelemen diagonalnya berupa bilangan riil aij ¹ aji untuk i ¹ j dan aij = aji untuk i=j.

a.

Invers dan transpose dari matriks uniter adalah uniter

b.

48

Hasil kali dua matriks atau lebih matriks matriks uniter adalah uniter.



DAFTAR PUSTAKA Anton H., 2000. Dasardasar Aljabar Linier. Batam: Interaksa. Ayres F., 1982. Theory and Problems of Matriks. Singapura: Mc GrawHill. Horn A. Roger and Johnson R. Charles, 1985. Matrik Analysis. Cambridge University Press. H.S. Suryadi dan M. Harini, 1990. Teori dan Soal Pendahuluan Aljabar Linier. Jakarta: Ghalia Indonesia.


Kartono, 2002. Aljabar Linier, Vektor dan Eksplorasinya dengan Maple. Yogyakarta: Graha Ilmu. Mundit, Armawi K., 1986. Teoriteori Penyelesaian Aljabar Linier. Bandung: CV. Armica. Padmodisastro, Sudarinah, 1989. Aljabar Linier. Surakarta: UNS Press. Supranto S. 1998. Pengantar Matriks. Jakarta: PT. Rineka Cipta.

49

SIFAT - SIFAT MATRIKS UNITER, MATRIKS NORMAL, DAN MATRIKS HERMITIAN

Recommend Documents