U R IK U LU M
Se
10
MATRIKS A.
MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS) Masih ingat angka 1 kan, setiap bilangan yang dikali satu apakah berubah? Tentunya tidak. Matriks satuan memiliki sifat yang sama dengan angka 1, maksudnya semua matriks apapun bila dikalikan dengan matriks satuan tidak akan berubah. Notasi dari matriks satuan adalah I. Bentuk matriks satuan adalah :
1 0 I2×2 = , I3×3 0 1
1 1 0 0 0 = 0 1 0 ,I4×4 = 0 0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 , dan seterusnya 0 1
Sifat dari matriks satuan dapat dituliskan dalam bentuk A. I = I . A = A
CONTOH SOAL 1.
2 4 1 0 Bila A = dan I = maka nilai dari = …. -1 3 0 1 Pembahasan: 2 4 2 4 1 0 A 2 .I = A.A.I = −1 3 −1 3 0 1 0 20 1 0 = −5 5 0 1 0 20 = −5 5
1
AN
MATEMATIKA
GA NG
si
AS
I-K
BU
KEL
XI
2 4 2 4 1 0 A 2 .I = A.A.I = −1 3 −1 3 0 1 0 20 1 0 = −5 5 0 1 0 20 = −5 5
B.
MATRIKS INVERS Masih ingatkah dengan operasi kebalikan? Penambahan kebalikannya pengurangan, pengalian kebalikannya pembagian dan pemangkatan kebalikannya akar pangkat. Kita sudah belajar operasi penambahan, pengurangan dan perkalian. Uniknya di matriks tidak ada operasi pembagian matriks. Hal ini disebabkan oleh sifat perkalian matriks yang tidak berlaku komutatif. Operasi kebalikan dari perkalian matriks adalah matriks invers. Notasi dari matriks invers A adalah A-1, berlaku sifat berikut: A.A −1 = A −1 .A = I
(A )
−1 −1
=A
dimana I adalah matriks satuan
CONTOH SOAL 1.
Diketahui persamaan matriks A.B = C, maka matriks B dapat dinyatakan …. Pembahasan: A .B=C A-1 (A . B) = A-1(C)
{ruas kiri dan kanan dikali A-1}
(A-1 . A) . B = A-1 . C
{sifat asosiatif }
I . B = A-1 . C
{sifat invers}
B=A .C
{sifat matriks satuan}
-1
2.
Diketahui persamaan matriks A-1BC = D, maka B dapat dinyatakan …. Pembahasan A-1BC = D A(A-1BC)C-1 = A(D)C-1
{ruas kiri kanan dikali matriks invers}
(AA-1)B(CC-1) = ADC-1
{sifat asosiatif }
I . B . I = ADC-1
{sifat matriks invers}
B = ADC
-1
2
3.
Diketahui persamaan matriks A-1BC = D, maka B dapat dinyatakan …. Pembahasan A-1BC = D A(A-1BC)C-1 = A(D)C-1
{ruas kiri kanan dikali matriks invers}
I . B . I = ADC-1
{sifat asosiatif }
B = ADC
{sifat matriks invers}
-1
B = ADC-1 4.
Diketahui persamaan matriks PQR = S, maka R dapat dinyatakan …. Pembahasan Cara 1 PQR = S P-1(PQR) = P-1S (P-1P)QR = P-1S I . QR = P-1S Q-1(QR) = Q-1(P-1S) (Q-1Q) R = Q-1P-1S I . R = Q-1P-1S R = Q-1P-1S Cara 2 PQR = S (PQ)-1(PQR) = (PQ)-1S (PQ)-1(PQ)R = (PQ)-1S I . R = (PQ)-1S R = (PQ)-1S Bila kita bandingkan kedua jawaban maka akan bisa disimpulkan sifat berikut (PQ)-1 = Q-1 . P-1
5.
Diketahui persamaan matriks KL-1M = P, maka matriks L dapat dinyatakan …. Pembahasan KL-1M = P (KL-1M)-1 = P-1
{kedua ruas diinverskan}
M LK = P
{sifat matriks invers}
-1
-1
-1
3
(MM-1)L(K-1K) = MP-1K L = MP-1K 6.
3 0 2 -1 Diketahui matriks A -1 = . Jika AB = , maka matriks B adalah …. 2 4 3 1 Pembahasan 3 0 AB = 2 4 3 0 B = A -1 2 4 2 B= 3 4 B= 11
-1 3 0 1 2 4 -4 4
Bagaimana cara mencari invers matriks? Invers matriks berukuran berordo nxn bisa ditemukan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan, atau eliminasi Gauss. Hanya saja, karena pelajaran matriks di kelas 12 hanya membahas matriks ukuran 2 × 2 atau 3 × 3, maka caranya adalah sebagai berikut:
a.
Matriks Invers Ukuran 2 x 2 a b -1 Suatu matriks A = , maka matriks invers dari A atau A dapat dicari dengan c d posisi tetap, tanda dibalik
A -1 =
1 ad − bc
determinan
d -c
- b a bertukar posisi, tanda tetap
Determinan dari matriks berukuran 2 × 2 dinotasikan dengan det A.
CONTOH SOAL 1.
2 3 Tentukan matriks invers dari ! 2 1
4
Pembahasan a b 2 3 = 1 d −b c d ad − bc −c a 2 1 1 1 −3 = 2.1− 3.2 −2 2 1 1 −3 =− 4 −2 2 3 − 1 4 = 4 1 1 − 2 2 2.
3 -5 5 1 Diketahui P = dan PQ = . Matriks Q adalah …. -1 2 2 1 Pembahasan 5 1 PQ = 2 1 5 1 Q = P-1 2 1 -1
3 -5 5 1 Q= -1 2 2 1 Q=
2 5 5 1 1 3.2 − (-5)(-1) 1 3 2 1
20 7 Q= 11 4 3.
-2 a 3 1 dan P-1 = Diketahui P = . Nilai a, b, dan c berturut-turut adalah …. b 3c 7 2 Pembahasan Cara 1 −1 3 1 3 1 P −1 = → (P −1 ) = 7 2 7 2 1 2 −1 P= 3.2 − 1.7 −7 3
−2 a 2 −1 b 3c = − −7 3 −2 a −2 1 b 3c = 7 −3
−1
5
−1 3 1 3 1 P = → (P −1 ) = 7 2 7 2 1 2 −1 P= 3.2 − 1.7 −7 3
−1
−1
−2 a 2 −1 b 3c = − −7 3 −2 a −2 1 b 3c = 7 −3 Dengan menggunakan prinsip kesamaan matriks akan didapatkan a = 1 , b = 7 dan c = -1. Cara 2 Kita bisa menggunakan sifat matriks invers, yaitu: P . P-1 = 1 -2 a 3 1 1 0 b 3c . 7 2 = 0 1 -6 + 7a -2 + 2a 1 0 3b + 21c b + 6c = 0 1 Dengan menggunakan prinsip kesamaan matriks akan didapatkan persamaan-persamaan berikut: −6 + 7a = 1 7a = 7 a =1 Bentuk sistem persamaan linear dua peubah 3b + 21c = 0 : 3 b + 6c = 1 x1 b + 7c = 0 b + 6c = 1 c = -1, dengan sub btitusi didapatkan b = 7 Dengan menggunakan sifat matriks invers akan didapatkan a = 1 , b = 7 dan c = -1.
C.
DETERMINAN MATRIKS Determinan suatu matriks A 2 × 2 , dinotasikan dengan det A atau |A| didefinisikan det A = |A| = ad – bc Sifat-sifat determinan adalah sebagai berikut: 1.
det A = 0 ↔ matriks A singular atau tidak punya invers
2.
det At = det A
3.
det A -1 =
1 detA
6
4.
det kAn × n = kn det An × n
5.
det AB = det A. det B
6.
untuk matriks-matriks An × n , Bn × n , danCn × n yang berlaku AB = C maka berlaku det A . det B = det C
7.
det An = (det A)n
CONTOH SOAL 1.
3 x Agar matriks singular maka nilai x adalah …. 5 2x − 1 Pembahasan: Syarat matriks singular 3 x det =0 5 2x − 1 x(2x − 1) − 15 = 0 2x 2 − x − 15 = 0 (2x + 5)( x − 3) = 0 5 x = − atau x = 3 2
2.
2 1 5 2 , B= Diketahui A = dan AC = B. Nilai dari determinan C adalah …. 4 3 4 2 Pembahasan: AC = B detA detC = detB (6 − 4)detC = (10 − 8) 2 detC = = 1 2
3.
4 5 2 1 -1 Diketahui P = dan Q = . Nilai dari det 3P Q adalah …. 2 3 4 3 Pembahasan: 2 P= 4 4 Q= 2
1 → det P = 6 − 4 = 2 3 5 → detQ = 12 − 10 = 2 3
7
2 P= 4 4 Q= 2
1 → det P = 6 − 4 = 2 3 5 → detQ = 12 − 10 = 2 3
Maka det3p-1Q = 32 detp-1 detQ 1 =9 detQ det P 1 = 9 2 2 =9
D.
MATRIKS INVERS UKURAN 3 x 3 Matriks invers ukuran 3 × 3 atau lebih dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut: A -1 =
1 adjA det A
Dimana det A = determinan A Adj A = matriks adjoin A
a.
Determinan matriks 3 x 3 Mencari determinan matriks 3 × 3 dapat ditempuh dengan menggunakan 2 cara, yaitu cara determinan dan aturan sarrus. 1.
Cara Determinan a b c Misal matriks A = d e f , maka dengan cara determinan, determinan matriks A g h i dapat dicari dengan cara det A = a
e f d f d e -b +C g i g i g h
Perhatikan gambar ilustrasi berikut: a+ d g a d g a d g
b c e f e f a g h h i b- c d f e f -b g i h i b c+ d e e f +c g h h i
8
g h g h i a b- c d f d e f - b g i g h i + a b c d e d e f + c g h g h i
CONTOH SOAL 2 1 6 Tentukan determinan dari matriks 3 -1 -3 ! 4 1 0 Jawaban: 2
-1 -3 3 -3 3 -1 − +6 1 0 4 0 4 1
= 2 ( 0 − (-3) ) − ( 0 − (-12) ) + 6 ( 3 − (-4) ) = 6 − 12 + 42 = 36 2.
Cara Sarrus Cara ini yang paling mudah digunakan dalam mencari determinan matriks 3 × 3. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: •
Salin 2 kolom pertama matriks ke sebelah kiri
•
Kalikan menyilang ke arah kanan bawah 3 angka 3 angka lalu jumlahkan. Hasilnya kita sebut KA
•
Kalikan menyilang ke arah kiri bawah 3 angka 3 angka lalu jumlahkan. Hasilnya kita sebut KI
•
Determinan matriks 3 × 3 nya dapat dinyatakan det A = KA – KI
9
CONTOH SOAL 2 1 6 Tentukan kembali determinan dari matriks 3 -1 -3 dengan cara sarrus ! 4 1 0 Jawab •
Salin 2 kolom pertama matriks ke sebelah kiri 2 1 6 2 1 3 -1 -3 3 -1 4 1 0 4 1
•
Kalikan menyilang ke arah kanan bawah 3 angka 3 angka lalu jumlahkan. Hasilnya kita sebut KA 2 1 6 2 1 3 -1 -3 3 -1 4 1 0 4 1 0 + (-12) + 18 = 6 (KA)
•
Kalikan menyilang ke arah kiri bawah 3 angka 3 angka lalu jumlahkan. Hasilnya kita sebut KI 2 1 6 2 1 3 -1 -3 3 -1 4 1 0 4 1 -24 + (-6) + 0 = -30 (KI)
•
Determinan matriks 3 × 3 nya dapat dinyatakan det A = 6 – (-30) = 36
b.
Mencari Matriks Adjoin Matriks Adjoin adalah matriks yang berelasi pada determinan dan menjadi pembentuk matriks invers. Cara mencari adjoin yaitu dengan menggunakan transpose kofaktor. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1.
Mencari minor dari setiap unsur. Minor suatu unsur mxn adalah determinan matriks baru yang didapat dari pencoretan unsur baris ke-m dan kolom ke-n. Perhatikan ilustrasi berikut:
10
a d g a d g 2.
b c e e f m1 1 = h h i b c a e f m3 2 = d h i
f i c f
Tentukan Matriks kofaktor (C). Matriks kofaktor didapatkan dengan menggabungkan minor dengan diagram tanda berikut: + - + & - + - & + - + & M
3.
Matriks Adjoin bisa didapatkan dengan Adj A = Ct
CONTOH SOAL 2 3 2 Tentukan Adjoin dari matriks A = 3 -2 1 ! 3 5 2 Jawab 1.
Mencari minor dari setiap unsur 2 3 2 3 -2 1 m = -2 1 1 5 3 5 2 2 3 2 3 -2 1 m = 3 1 2 3 3 5 2 2 3 2 3 -2 1 m = 3 1 3 3 3 5 2
1 = -4 - 5 = -9 2 1 = 6-3=3 2 -2 = 15 - (-6) = 21 5
11
2 3 2 3 -2 1 m = 3 2 1 5 3 5 2 2 3 2 3 -2 1 m = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 2 3 -2 1 m = 2 2 3 3 3 5 2
2 = 6 -10 = -4 2 2 = 4 - 6 = -2 2 3 = 10 - 9 = 1 5
2 3 2 3 -2 1 m = 3 3 1 -2 3 5 2 2 3 2 3 -2 1 m = 2 3 2 3 3 5 2 2 3 2 3 -2 1 m = 2 3 3 3 3 5 2 2.
2 = 3 - (-4) = 7 1 2 = 2 - 6 = -4 1 3 = 4 - 9 = -13 -2
Tentukan Matriks kofaktor (C). +(-9) -(3) +(21) C = -(-4) +(-2) -(1) +(7) -(-4) +(-13) -9 -3 21 C = 4 -2 -1 7 4 -13
3.
Matriks Adjoin bisa didapatkan dengan -9 4 7 Adj A = C = -3 -2 4 21 -1 -13 t
Setelah memahami bagaimana cara mencari determinan dan matriks adjoin maka matriks invers bisa ditentukan.
CONTOH SOAL 2 1 6 Tentukan matriks invers dari 3 -1 -3 ! 4 1 0 Jawab Determinan dari matriks di atas sudah dicari yaitu 36. Langkah selanjutnya adalah mencari matriks adjoin, diawali dengan mencari minor pada setiap posisi matriks.
12
m1 1 =
-1 -3 = 0 - (-3) = 3 1 0
m2 1 =
1 6 = 0 - 6 = -6 1 0
m1 2 =
3 -3 = 0 - (-12) = 12 4 0
m2 2 =
2 6 2 6 = 0 - 24 = -24 m3 2 = = -6 -18 = -24 4 0 3 -3
m1 3 =
3 -1 = 3 - (-4) = 7 4 1
m2 3 =
2 1 = 2 - 4 = -2 4 1
m3 1 =
m3 3 =
1 6 = -3 - (-6) = 3 -1 -3
2 1 = -2 - 3 = -5 3 -1
Maka matriks kofaktornya adalah 3 -12 7 C = 6 -24 2 3 24 -5 Sehingga matriks adjoinnya adalah 6 3 3 C = -12 -24 24 7 2 -5 t
Sehingga matriks inversnya adalah 6 3 3 1 -12 -24 24 36 7 2 -5 Untuk membuktikan kebenarannya kita akan kalikan matriks pada soal dengan matriks inversnya 6 3 6 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 -1 -3 1 -12 -24 24 = 1 3 -1 -3 -12 -24 24 36 36 4 1 0 7 4 1 0 7 2 -5 2 -5 6 -12 + 42 12 - 24 +12 6 + 24 - 30 1 = 9 +12 - 21 18 + 24 - 6 9 - 24 +15 36 12 -12 + 0 24 - 24 + 0 12 + 24 + 0 36 0 0 1 = 0 36 0 36 0 0 36 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 Terbukti benar.
13
E.
APLIKASI INVERS DAN DETERMINAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Solusi sistem persamaan linear dua peubah dan tiga peubah dapat ditemukan dengan menggunakan konsep invers dan determinan. Sistem persamaan linear dua peubah adalah sistem linear yang memiliki bentuk umum ax + by = p cx + dy = q Yang dapat dinyatakan dalam bentuk matriks -1
a b x p x a b p c d y = q fi y = c d q Sistem persamaan linear tiga peubah adalah sistem linear yang memiliki bentuk umum ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = r Yang dapat dinyatakan dalam bentuk matriks -1
a b c x p x a b c p d e f y = q fi y = d e f q g h i z r z g h i r
CONTOH SOAL 1.
Gunakan metode matriks untuk mencari solusi dari SPLDP Pembahasan: Bentuk 4x – 3y = 5 3x + 5y = 11 Dapat ditulis -1
4 -3 x 5 x 4 -3 5 3 5 y = 11 → y = 3 5 11 x 1 5 3 5 → = y 29 -3 4 11 x 1 58 → = y 29 29 x 2 → = y 1
14
4x - 3y = 5 3x + 5y = 11
-1
4 -3 x 5 x 4 -3 5 3 5 y = 11 → y = 3 5 11 x 1 5 3 5 → = y 29 -3 4 11 x 1 58 → = y 29 29 x 2 → = y 1 Sehingga solusinya adalah (2, 1). 2.
Gunakan metode matriks untuk mencari solusi dari SPLDP 2x – 3y + z = -9 2x + y – z = 9 x+y+z=5 Pembahasan: Bentuk sistem persamaan 2x – 3y + z = -9 2x + y – z = 9 x+y+z=5 Dapat ditulis 2 -3 1 x -9 x 2 -3 2 1 -1 y = 9 → y = 2 1 1 1 1 z 5 z 1 1 x 2 1 → y = -3 14 z 1
1 -1 1
-1
-9 9 5 4 2 -9 1 4 9 -5 8 5
x 28 1 → y = 56 14 z -14 x 2 → y = 4 z -1 Sehingga solusi dari sistem pertidaksamaan tiga peubah diatas adalah (2, 4 , -1) Metode determinan dalam mencari solusi sistem persamaan linear dua dan tiga peubah. Bentuk SPLDP dan SPLTP dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan determinan. Perhatikan formula berikut
15
SPLDP: p a b x p dx q c d y = q → x = d = a c
b d b d
a dy c = →y= a d c
p q b d
SPLTP p q a b c x p d e f y = q → x = dx = r a d g h i z r d g
b e h b e h
c f i c f i
a d dy g = →y= a d d g
p q r b e h
c f i c f i
a d g d →z= z = a d d g
b e h b e h
p q r c f i
16
CONTOH SOAL Dengan metode determinan carilah solusi dari SPLTP x + y – z = -4 2x + 4y + 2z = 10 x + 3y + z = 4 Pembahasan: SPLTP x + y – z = -4 2x + 4y + 2z = 10 x + 3y + z = 4 dapat dituliskan -4 10 1 1 -1 x -4 2 4 2 y = 10 → x = dx = 4 1 d 1 3 1 z 4 2 1
1 4 3 1 4 3
-1 2 1 -8 = =2 -1 -4 2 1
1 2 dy 1 = →y= 1 d 2 1
-4 10 4 1 4 3
-1 2 1 4 = = -1 -1 -4 2 1
1 2 1 d →z= z = 1 d 2 1
1 4 3 1 4 3
-4 10 4 -20 = =5 -1 -4 2 1
Sehingga solusinya adalah (2, -1, 5).
17
LATIHAN SOAL 1.
2.
3.
4 3 3 -2 -1 Jika B = dan AB = , maka matriks A = …. 5 4 7 -5 A.
2 1 3 1
B.
13 5 2 10
C.
5 3 9 12
D.
9 5 12 3
E.
3 5 9 23
2 1 5 0 X= Jika , maka X= .… -1 1 2 -6 A.
3 -1 -1 5
B.
12 -6 3 4
C.
7 1 -1 5
D.
1 2 3 -4
E.
1 2 3 4
3 -x Diketahui A = adalah matriks singular. Nilai x adalah …. 6 8 A. -5 B. -4 C. -3 D. 3 E. 4
18
4.
5.
6.
2 1 1 0 Diketahui matriks A = dan I = . Matriks (A – kI)adalah matriks singular 0 -1 0 1 untuk k = …. A. 1 atau 2 B. 1 atau -2 C. -1 atau 2 D. -1 atau -2 E. -1 atau 1 2 1 -1 2 a -1 ,B = ,C = Diberikan matriks-matriks A = . Jika determinan dari 3 4 5 6 2 3 matriks 2A – B + 3C adalah 10, maka nilai a adalah …. A. -5 B. -3 C. -2 D. 2 E. 5 Hasil jumlah akar-akar persamaan A.
-
4 3
B.
-
2 3
C.
-
D. E. 7.
3x - 1 3 = 0 adalah …. x +1 x + 2
5 3 2 3 5 3
-5 4 4 3 -1 Diketahui P = dan Q = , maka (PQ) = …. -4 3 2 0 -5 2 2 A. - 5 2 3
B.
1 2 3 4 - 2 3
19
8.
9.
C.
1 - 3 5 4 - 1 3
D.
4 3 2 0
E.
1 -2 -3 4
1 2 3 Invers dari matriks 2 5 3 adalah …. 1 0 8 A.
-40 16 9 13 -5 -3 5 -2 -1
B.
-40 16 9 13 5 -3 5 -2 -1
C.
40 16 9 -13 -5 -3 5 -2 -1
D.
-40 16 9 13 -5 -3 5 -2 -1
E.
-40 16 -9 13 -5 -3 5 -2 -1
2 1 4 8 x + 2 x Nilai x yang memenuhi agar matriks tidak memiki invers adalah …. 2 1 3 A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
20
10.
11.
Carilah sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan menggunakan aturan invers! a.
7x + y = 13 x - 8y = 10
b.
3x - y = 11 5x + 3y = 23
Carilah solusi dari SPLTP berikut dengan menggunakan metode determinan! 3x – y + 4z = 13 x + y + 5z = 13 4x + 2y + z = 12
21
