matriks A. PENGERTIAN MATRIKS 1. Pengertian Matriks
Kolom
Dalam kehidupan sehari-hari dan dalam matematika, berbagai keterangan seringkali disajikan dalam bentuk matriks. Contoh 1: Hasil pertandingan grup I Liga Indonesia 2007 Seri Kalah Nilai Tim Main Menang
PSMS
21
12
4
5
40
Sriwijaya FC
20
11
6
3
39
Persija
21
12
3
6
39
Persib
20
11
4
5
37
Persik
20
11
2
7
35
baris Apabila dari daftar tabel contoh tersebut kepala kolom dan baris dihilangkan, kemudian susunan lambang bilangan itu diberi tanda kurung atau kurung siku, maka susunan itu disebut matriks. 21 20 Matriks Daftar tabel contoh 1, ialah : 21 20 20
12 11 12 11 11
4 6 3 4 2
5 3 6 5 7
40 39 39 37 35
Jadi Matriks adalah suatu susunan bilangan-bilangan yang berbentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom dan diletakkan di dalam dua kurung biasa atau kurung siku. Bentuk umum matriks :
A=
a11 a21 … am1
kolom ke-1
a12 a22 … am2
… ... ... …
a1n a2n ... amn
baris ke-1
baris ke-m
kolom ke n
Catatan: Setiap bilangan dalam matriks di atas disebut elemen matriks a11, a12, …, amn merupakan elemen-elemen matriks A amn adalah elemen pada matriks A yang terletak pada baris ke-m dan kolom ke-n
2. Notasi matriks Suatu matriks dinyatakan dengan sebuah huruf capital. 1 0 ; 𝐵 = 5 −6 3 12
4 −3 2 6 0 −2
Misalnya 𝐴 = 3. Ordo matriks
Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris diikuti banyaknya kolom. Contoh : 𝐴 =
4 −3 2 6 0 −2
;𝐵 =
5 −4 3 1
matriks A mempunyai 2 baris dan 3 kolom, maka dikatakan ordonya 2 x 3 (dibaca “2 kali 3”) dan ditulis A(2 x 3). Matriks B mempunyai 2 baris dan 2 kolom, karena banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, maka matriks B disebut matriks bujur sangkar. Karena istilah bujur sangkar disesuaikan menjadi persegi, maka disebut juga sebagai matriks persegi. Maka matriks B adalah matriks persegi dengan ordo 2.
4. Macam-macam Matriks a. Matriks baris Matriks yang hanya mempunyai elemen satu baris. Contoh:
𝑃 = 3 −2 1
; 𝑄 = 1 −1 6
7
b. Matriks kolom (lajur) Matriks yang hanya mempunyai elemen satu kolom. Contoh :
𝐾=
2 −1
5 ; 𝐿 = −1 3
c. Matriks Bujur Sangkar (Persegi) Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Contoh: 4
3
2
6
A=
B=
a d g
b e h
c f i
d. Matriks Segitiga Matriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal, dengan elemen-elemen 0 pada separuh bagiannya.
Contoh: 3
2
A=
a b d
B= 0
1
0 c e
0 0 f
5. Kesamaan Matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama jika:
Ordonya sama dan
Elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) sama. Contoh : 4 𝐴= 1
2 3
12 3
;𝐵 =
1
4 2 6 2
1 3
;𝐶 =
2 4
Dari contoh di atas matriks A = B Tetapi A ≠ C sebab walaupun elemen-elemen kedua matriks sama, tetapi letak elemen-elemen itu berbeda, sehingga elemen-elemen yang bersesuaian tidak sama. 6. Transpose Suatu Matriks Dari matriks A dapat dibentuk matriks baru dengan cara elemen baris 1 matriks A ditulis menjadi elemen kolom 1 matriks baru, elemen baris 2 matriks A dijadikan kolom 2 matriks baru, dan seterusnya. Matriks baru yang diperoleh disebut transpos dari matriks A dan dinyatakan dengan AT (dibaca “trans pos A). baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT, dan kolomkolom matriks A menjadi baris-baris AT. Contoh : 𝐴 =
1 4
2 3 5 6
1 4 → 𝐴𝑇 = 2 5 3 6
B. OPERASI MATRIKS 1.
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks a.
Penjumlahan matriks Dua matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan, jika ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. Adapun caranya kita jumlahkan elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian letaknya (seletak). Contoh : Diketahui : 𝐴=
5 1
𝑎. A + C
6 1 2 0 ; 𝐵 = −2 3 3 −2 0 7 𝑏. A + B
;𝐶 =
8 −1 3 , tentukan : 5 6 2 𝑐. Bt + C
Jawab : a. 𝐴 + 𝐶 =
5 2 1 3
8 0 + 5 −2
−1 3 5+8 2−1 0+3 13 1 = = 6 2 1 + 5 3 + 6 −2 + 2 6 9
3 0
b. A + B tidak terdefinisi untuk penjumlahan matriks karena ordo 𝐴 ≠ 𝐵 c. 𝐵𝑡 + 𝐶 =
b.
6 + 8 −2 − 1 0 + 3 6 −2 0 8 −1 3 14 −3 3 + = = 1 3 7 5 6 2 1+5 3+6 7+2 6 9 9
Pengurangan matriks Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks lawan B. Jadi A–B = A+(- B) Contoh: Diketahui matriks 𝐴 = a.
4 7 2 1 dan matriks 𝐵 = 3 2 3 −2
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵 4 7 4 7 2 1 −2 −1 2 6 − = + = 3 2 3 −2 3 2 −3 2 0 4
b.
𝐵 − 𝐴 = 𝐵 + −𝐴 4 7 2 1 2 − = 3 −2 3 2 3
−4 −7 1 −2 −6 + = −2 −3 −2 0 −4
Karena A – B tidak sama dengan B – A maka pada pengurangan matriks tidak berlaku hukum komutatif.
2. Perkalian Matriks a. Perkalian skalar (bilangan real) dengan matriks
Definisi Misalnya 𝑘 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 adalah suatu matriks yang berordo mxn. Perkalian bilangan real k dengan matriks A adalah suatu matriks baru yang berordo mxn yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen pada A dengan bilangan real k dan diberi notasi kA sedemikian sehingga 𝑘𝐴 = 𝑘𝑎𝑖𝑗 Contoh : 3 6 −2 3 3𝐴 = 3 6 −2 Jika 𝐴 =
−1 8 , tentukan matriks yang diwakili oleh 3A 4 −1 3. 3 3 . −1 9 −3 = = 3 . 6 3 . 8 18 24 8 4 3 . −2 3 . 4 −6 12
b. Perkalian Matriks dengan Matriks
Definisi Apabila matriks 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 adalah matriks yang berordo mxp dan matriks 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 adalah matriks yang berordo qxn maka perkalian matriks A dan B yang dinotasikan dengan AB dapat dilakukan apabila p=q. Hasil kali matriks AB didefinisikan sebagai matriks 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 yang berordo mxn dengan elemen baris ke I kolom ke j adalah : 𝐶𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 + 𝑎𝑖3 𝑏3𝑗 + … … + 𝑎𝑖𝑝 𝑏𝑞𝑗 , dengan i = 1, 2, 3, ….. , m j = 1, 2, 3, …. , n
Dari definisi di atas dapat diambil kesimpulan :
Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks ke dua
Contoh : Diketahui matriks 𝐴 = a. AB dan BA Jawab : a. 𝐴𝐵 =
2 1 3 5
𝑑𝑎𝑛 𝐵 =
4 , tentukanlah : 7
b. Apakah AB = BA ? 2 1 3 5
2.4 + 1.7 8+7 4 15 = = = 3.4 + 5.7 12 + 35 7 47
b. Berdasarkan definisi perkalian matriks maka BA tidak terdefinisi untuk perkalian matriks sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴
Contoh : Diketahui matriks 𝑀 =
Jawab : 𝑀𝑁 =
2 3 1 5 0 6
2 5 2
2 −1 3 1 𝑑𝑎𝑛 𝑁 = 5 3 , tentukanlah MN. 0 6 2 4 −1 2.2 + 3.5 + 1.2 2. −1 + 3.3 + 1.4 3 = 5.2 + 0.5 + 6.2 5. −1 + 0.3 + 6.4 4 4 + 15 + 2 −2 + 9 + 4 = 10 + 0 + 12 −5 + 0 + 24 21 11 = 22 19
2 5
C. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 1. Determinan Suatu Matriks a. Determinan Matriks ordo 2 x 2
Misalnya matriks A adalah matriks persegi yang berordo 2x2 yang ditulis dalam bentuk 𝑎 𝑏 𝐴= dapat ditentukan nilai yang disebut determinan . Determinan dari matriks 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝐴 yang dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑡 𝐴 , 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 adalah suatu nilai tertentu yang 𝑐 𝑑 besarnya 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 Contoh 1 : 3 4 5 10
Tentukan determinan matriks berikut : 𝐴 = Jawab : 𝑑𝑒𝑡 𝐴 =
3 4 = 3 . 10 − 4 . 5 = 30 − 20 = 10 5 10
Contoh 2 : Tentukan nilai x jika
2𝑥 − 1 5
𝑥 =4 3
Jawab : 2𝑥 − 1 𝑥 =4 5 3 3 (2x – 1) – 5x = 4 6X – 3 – 5x = 4 x=4+3=7 b. Determinan Matriks Ordo 3 x 3 Misalnya matriks 𝑎11 𝑎12 𝐴 = 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32
A adalah matriks persegi yang berordo 2x2 yang ditulis dalam bentuk 𝑎13 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎23 maka determinan matriks A = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎33 𝑎31 𝑎32 𝑎33
Nilai determinan dapat dicari dengan bentuk sebagai berikut : 𝑎22 𝑎23 𝑎21 𝑎23 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11 −1 1+1 𝑎 + 𝑎12 −1 1+2 𝑎 + 𝑎13 −1 𝑎 32 33 31 𝑎33
1+3
𝑎21 𝑎31
𝑎22 𝑎32
Ada banyak cara untuk menghitung harga determinan matriks persegi ordo tiga. Antara lain dengan menggunakan aturan sarrus. Langkah-langkah menggunakan aturan sarrus adalah sebagai berikut: 1. Letakkan kolom pertama dan kolom kedua di sebelah kanan garis vertikal dari determinan 2. Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali unsur-unsur yang sejajar dengan diagonal utama pada arah kanan, kemudian kurangi dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping. Perhatikan skema berikut:
|A|=
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33 +
a11 a21 a31 +
a12 a22 a32 +
| A | = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12 1 Contoh : Diketahui 𝐴 = 2 1
3 −1 1 5 4 1
Tentukan determinan A dengan dua cara tersebut di atas. Jawab : a. 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 1 −1
2
1 5 + 3 −1 4 1
3
2 5 + −1 −1 1 1
4
2 1
1 4
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 1 1 − 20 − 3 2 − 5 − 1 8 − 1 = −19 + 9 − 7 = −17 b. Aturan Sarrus
1 3 -1 2 1 5 1 4 1
|A|=
1 3 2 1 1 4
= (1.1.1) + (3.5.1) + (-1.2.4) – (1.1.-1) – (4.5.1) – (1.2.3) = 1 + 15 - 8 + 1 – 20 - 6 Jadi | A |
= - 17
3. Menentukan Invers Matriks Ordo 2 x 2 Misal matriks 𝐴 = 1
: 𝐴−1 = 𝑎𝑑 −𝑏𝑐
𝑑 −𝑐
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 maka invers matriks A adalah 𝑑
−𝑏 𝑎
Contoh : Tentukan invers matriks 𝐴 =
4 7 ! 1 2
Jawab : 𝐴−1 =
1 1 2 −7 2 −7 2 −7 = = −1 4 4 .2 − 7 . 1 −1 4 1 −1 4
4. Minor, Kofaktor dan adjoin matriks Sebelum kita membahas adjoin suatu matriks kita harus mengetahui terlebih dahulu minor dan kofaktor. a. Minor Missal A matriks bujur sangkar berordo 3 x 3, minor dari elemen aij matriks A adalah (Mij) Jadi, minor suatu elemen matriks adalah harga determinan dari elemen-elemen matriks dengan menghilangkan baris dan kolom yang memuat elemen tersebut. Perhatikan bentuk matriks di bawah ini :
𝐴=
𝑎11 𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎13 𝑎23 𝑎33
𝑎22 Jika baris ke 1 dan kolom ke 1 dihapuskan, maka diperoleh matriks 𝑎 32 𝑎22 𝑎23 sehingga minornya │M11│ = 𝑎 32 𝑎33
𝑎23 𝑎33
Dengan cara yang sama, diperoleh minor-minor dari matriks A = 𝑎22 𝑀11 = 𝑎 32 𝑎21 𝑀12 = 𝑎 31 𝑎21 𝑀13 = 𝑎 31
𝑎23 𝑎33 𝑎23 𝑎33 𝑎22 𝑎32
𝑎12 𝑀21 = 𝑎 32 𝑎11 𝑀22 = 𝑎 31 𝑎11 𝑀23 = 𝑎 31
𝑎13 𝑎33 𝑎13 𝑎33 𝑎12 𝑎32
𝑎12 𝑀31 = 𝑎 22 𝑎11 𝑀32 = 𝑎 21 𝑎11 𝑀33 = 𝑎 21
𝑎13 𝑎23 𝑎21 𝑎23 𝑎12 𝑎22
b. Kofaktor Missal A matriks bujur sangkar berordo 3 x 3, minor dari elemen aij matriks A adalah (Mij) dan kofaktor dari elemen aij = Kij adalah (-1)I + j (Mij). Misalnya : 𝐾11 = (−1)1+1 𝑀11
𝐾21 = −1
2+1
𝐾12 = (−1)1+2 𝑀12
𝐾22 = (−1)2+2 𝑀22
𝐾32 = (−1)3+2 𝑀32
𝐾13 = (−1)1+3 𝑀13
𝐾23 = (−1)2+3 𝑀23
𝐾33 = (−1)3+3 𝑀33
𝑀21
𝐾31 = −1
3+1
𝑀31
c. Adjoin Jika matriks A = (aij), dan kofaktor dari elemen aij kita sebut Aij, maka transpos dari matriks (Aij) disebut adjoin dari matriks A.
A=
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
maka adjoin A = Kt =
K11 K12 K13
K21 K22 K23
K31 K32 K33
4. Invers Matriks Ordo 3 x 3 Dengan menggunakan matriks adjoin, maka kita dapat mencari inverts dari suatu matriks. 𝐴𝑑𝑗 𝐴 𝐴
Jika A adalah matriks persegi, maka: 𝐴−1 = 𝑑𝑒𝑡
, 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0
5. Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Menggunakan Matriks a. Sistem Persamaan Linear 2 Variabel Jika diketahui suatu persamaan linear dengan variable x dan y ax + by = e cx + dy = f
Dapat dituliskan dalam bentuk matriks menjadi 𝑎 𝑐
𝑥 𝑦 =
𝑏 𝑑
𝑒 𝑓
Untuk mencari x dan y menggunakan 2 cara yaitu : a.
Sifat invers matriks A.X = B 𝑥 𝑦 =
b.
X = A-1 . B
maka
1 𝑎𝑑 −𝑏𝑐
𝑑 −𝑐
−𝑏 𝑎
𝑒 𝑓
Dengan cara determinan 𝑥=
𝐷𝑥 𝐷
𝑦=
𝐷𝑦 𝐷
=
𝑒 𝑓 𝑎 𝑐
𝑏 𝑑 𝑏 𝑑
=
𝑎 𝑐 𝑎 𝑐
𝑒 𝑓 𝑏 𝑑
b. Sistem persamaan linear 3 variabel Diketahui persamaan linear dengan 3 variabel : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑝 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓𝑧 = 𝑞 𝑔𝑥 + 𝑦 + 𝑖𝑧 = 𝑟 Persamaan di atas diubah ke dalam bentuk matriks ordo 3 x 3 𝑎 𝑑 𝑔
𝑏 𝑒
𝑐 𝑓 𝑖
𝑥 𝑝 𝑦 = 𝑞 𝑧 𝑟
Penyelesaian dengan cara determinan : 𝑎 𝑑 𝐷 = 𝑔
𝑏 𝑒
𝑐 𝑓 𝑖
= 𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑 − 𝑐𝑒𝑔 − 𝑎𝑓 − 𝑏𝑑𝑖
𝑝 𝑏 𝑐 𝐷𝑥 = 𝑞 𝑒 𝑓 𝑟 𝑖 𝑎 𝑝 𝑐 𝐷𝑦 = 𝑑 𝑞 𝑓 𝑔 𝑟 𝑖 𝑎 𝐷𝑧 = 𝑑 𝑔
𝑏 𝑐
= 𝑝𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑟 + 𝑐𝑞 − 𝑐𝑒𝑟 − 𝑝𝑓 − 𝑏𝑞𝑖
= 𝑎𝑞𝑖 + 𝑝𝑓𝑔 + 𝑐𝑑𝑟 − 𝑐𝑞𝑔 − 𝑎𝑓𝑟 − 𝑝𝑑𝑖
𝑝 𝑞 𝑟
= 𝑎𝑐𝑟 + 𝑏𝑞𝑔 + 𝑝𝑑 − 𝑝𝑐𝑔 − 𝑎𝑞 − 𝑏𝑑𝑟
Untuk mencari nilai x, y, z yang memenuhi dengan : 𝑥=
𝐷𝑥 𝐷
,
𝑦=
𝐷𝑦 𝐷
,
𝑧=
𝐷𝑧 𝐷
